一道简单的题目引发的思考

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由一道题引发的对创新意识的思考

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…‰“由一道题引发的前段时间，市教育局对全市所有六年级的学生进行了一次期末调研考试，其中有这样一道题：按规律填数，口、o、△分别代表一个数。

囵△回(35)(52)对创新意识的思考口徐凤果这道题难倒了众多考生。

据统计，某校某班有60名考生，只有7人做对。

其他大部分班级的情况也是如此。

当时笔者正好教二年级，试着把这道题拿给二年级的学生做(事前没有受过这方面的训练)，结果56名学生中竟有9名学生做对。

笔者又试着把这道题拿给一年级一个班的学生来做，当把题意给学生讲明白后(一年级的学生还没有独立读题的能力)，竟然有2名学生做了出来。

笔者很是惊奇，问及他们是怎样想的，二年级的学生说：“第一幅图和第二幅图都有△，而下面表示的数里面都有5，所以△就题意，从而达不到解决问题的目的。

陈重穆先生所说的“淡化形式，注重实质”，是在启示我们处理一些数学概念时要处理好非形式化表达。

在应用题教学方面，我们是否也可以联想到：应用题的教学内容应处理好数学与生活的关系，既关注到学生的现实经验与知识基础，同时又立足于培养学生解决问题的目标，为数学的后继学习奠定基础。

五、关于解题的反思：无招还是有招?我们先来看解决应用问题的基本环节，再来探讨需要怎样的招数。

如两步应用题：小朋友做纸花，黄花做了30朵，红花做了40朵，送给幼儿园50朵，剩下多少朵?(1)分析题意：数量关系的表征：30+40=50+口(2)计算表征：30+40一50=-70-50=-20(3)检验与反思：是否符合实际情况，解答是否正确。

一般认为，策略既有一般的解题策略，又有特殊的解题策略。

在一般解题策略方面，主要是教学解题的一般步骤，这与我国小学数学中讲的应用题的步骤基本相同。

把解题步骤分为圃券嚣嚣裟罴h 以下四步：1．理解题意；2．做解题计划；3．按计划解答；4．回答和检验。

值得我们进一步关注的是特殊解题策略。

一道题引发的思考——浅谈重心在初中数学几何中的作用

一道题引发的思考——浅谈重心在初中数学几何中的作用在八年级上册第一章《三角形的初步认识》第一节《认识三角形》的教学中，我发现了一个有趣的问题。

同学们在学习了三角形的三边关系，三角形内各边中线，高线，内角角平分线，简单了解三角形各心之后，在一次课堂上，有学生对一个数学问题提出了自己的想法。

1.问题呈现在作业中有这么一个拓展探究题：学校有一块菜地，如图所示，现计划从点D表示的位置（BD:DC=2:1）开始挖一条笔直的小水沟，希望小水沟两边的菜地面积相等。

有人说：如果D是BC的中点，那么从点D笔直地挖至点A就可以了，现在D不是BC的重点，问题就无法解决了。

有人对此表示怀疑，说认真研究，一定能办到，你认为上面两种意见中的哪种对呢？简述你的理由。

答案解析：过点D的直线分ABC面积成两块,记面积为S1和S2,在直线顺时针旋转的过程中，S1和S2在不断地变化，S1在增大，S2在减小，因此必然存在S1=S2,且唯一存在.因此后一种意见对.如图所示，可取AB的中点E，再取AE的中点F，则由点D笔直地挖至点F就可以，点F为线段AB的四等分点，且AF:BF=1:3.理由如下：连结AD,DE.∴沿着DF挖小水沟，两边的菜地面积相等.当我把本题的正确答案公布之后，王同学举手发表了他的想法，他觉得：过三角形重心的直线可以平分三角形的面积。

在科学中，重心是通过悬挂物体得到的，所以如果将三角形看成是一种均匀的介质，拿一根绳子进行悬挂，那么竖直向下的绳子进行延长一定是经过三角形的重心的，这样本题只需要先画出三角形的重心O，然后过点D和点O做一条直线，这条直线就能将三角形的面积平分。

一开始听到该学生的解释，好像并未觉得有什么不妥，但是是否有过三角形重心的直线平分三角形面积这一定理我表示很疑惑，因此到课后我对这一问题就行了探究。

1.问题探究在物理学中，地球上的任何物体都要受到地球的引力，若把物体假想地分割成无数部分，则所有这些微小部分受到的地球引力将组成一个空间汇交力系(汇交点在地球中心)。

一道数学题引发的思考

一道数学题引发的思考有一天，小明在做数学题时遇到了一道有趣的问题，让他思考了很久。

问题是这样的：给定一条长为L的绳子，要将其切割成n段，每段的长度都是整数。

假设每段绳子的长度都是l1, l2, ..., ln，那么它们的乘积P=l1 * l2 * ... * ln。

请问，怎样切割绳子才能使得乘积P最大？小明思考了一会儿，开始尝试找规律。

他先从简单的情况开始思考，比如绳子的长度L=2时，只能切割成两段长为1的绳子，此时乘积P=1。

当绳子的长度L=3时，可以切割成两段长为1的绳子或一段长为2的绳子，此时乘积P都为2。

小明发现，当绳子长度较小时，切割成多段长度为1的绳子乘积P最大；当绳子长度为2时，切割成两段长度为1的绳子乘积P最大；当绳子长度为3时，切割成一段长度为2的绳子乘积P最大。

当绳子长度L=4时，不管怎么切割，乘积P的最大值都是4，无法再切割得到更大的值。

小明继续思考，他发现了一个规律：当绳子的长度L大于等于5时，可以将其切割成一段长度为3的绳子和n-1段长度为1的绳子；或者切割成两段长度为2的绳子和n-2段长度为1的绳子。

小明觉得这是因为3 * 1 >(2 * 2) ，即将绳子切割成一段长度为3的绳子和n-1段长度为1的绳子乘积P会更大。

小明很高兴地发现，他找到了一种有效的方法来解决这个问题。

他将这个方法告诉了同学们，大家都觉得很有启发，开始想象和探索更多关于绳子切割的问题。

这道数学题引发了小明们对数学问题的思考，他们开始意识到数学不仅仅是死板的计算，还是一种思维方式和解决问题的工具。

他们发现，数学可以帮助我们从现实世界中抽象出一般性的规律，并通过逻辑推理和证明来解决问题。

数学能够让我们更深入地理解事物的本质和内在的规律，从而在各个领域中发现新的知识和创造新的价值。

通过这道数学题，小明们不仅锻炼了自己的数学思维能力，还激发了对数学的兴趣和探索的欲望。

他们开始主动寻找数学中的挑战和乐趣，希望通过数学的力量，解决更多的问题，改变自己和世界。

总有简单的方法——一道中考压轴题引发的思考

０Ｂ，Ｐ交Ｂ与点ＤＣ
（）１求抛物线的解析式；（）２点是ＡＣ延长线上一点，ＢＥＣ的平分线Ｃ交ｏ，Ｄｏ于点Ｄ，连接Ｂ求直Ｄ，线Ｂ的解析式；Ｄ（）（）条件３在２的下，物线上是否存抛

Ｍ，直线０Ｍ交Ｂ作Ｄ于点 Ⅳ，证Ｄ肘是易线段Ｂ的中垂线，Ｄ得 Ⅳ是线段ＢＤ的中点，易求点 Ⅳ 的坐标，求得直线ｏ Ⅳ 的解析，式，易求直线ＢＣ的解／。析式，得直线０Ｎ求图３与直线Ｂ的交点ＭＣ的坐标，求直线Ｄ的解析式，Ｍ最后求直线Ｄ与抛Ｍ物线的交点坐标。这种解法很容易理解，但计算量大。方法三：图４如，
￡ＯＤＫ —、 △ ＨＰＫ．
ＢＧ，
ＢＡＧ＝
Ａ
ＣＤ。易证ＣＦ＝ＣＤ，Ｂ是直径，ＡＢＢＤＢＡＧ是直角，ＢＧ＋ＡＧ＝９￣ＡＧ＋ＧＫ：ＡＢ０，ＢＢ９，得ＧＫ＝ＣＦ，ＣＤ＝ＢＧ＝。证得ＢＤＦＫ９ △ Ｃ △ ＧＢ。Ｃ胁ＫＦ：２得Ｇ，Ｋ：２得Ｇ７一４，，（，）ＰＢ交圆０于点，Ｄ易证点肘和点Ｇ关于轴
线。
，
得ｘ号一３吉２３＿＝
（）得点Ｐ坐标为（４２）坐标为（，）一．１，５［３一８的点不符合题意，舍去］。方法二：图３如，作ＰＢ＝ＣＤ，ＤＢ交抛物线于点Ｐ，Ｄ＝

脑筋急转弯最简单的三道题

脑筋急转弯最简单的三道题
1. 一只小鸟从树上飞下来，落在了一辆行驶中的车顶上。

请问，小
鸟是向前飞行还是向后飞行？
这个问题看似复杂，但实际上很简单。

小鸟落在了车顶上，说明车
在行驶中。

由于小鸟在飞行时要依靠空气的阻力，而车顶上的空气相
对静止。

所以，小鸟的飞行状态是相对于车顶的静止状态来说的，因
此小鸟并未向前或向后飞行。

相对而言，小鸟保持了相对静止的状态。

2. 有一天，你在河边看到一个火把和一本书漂浮在水面上。

请问，
你先救哪一个？
这个问题看似矛盾，但考虑实际情况，答案就显而易见了。

火把漂
浮在水面上，温度高，持续燃烧后可能引发火灾，对你和周围环境有
潜在的危险。

而书本只是受水浸泡，即使湿了也不会造成直接威胁。

因此，你应该先救火把，以避免可能引发的火灾隐患。

3. 有一天，老师给学生们出了一道数学题：“如果你有3根火柴，
可以摆成多少个正方形？”请问，你的答案是多少？
这道题看似简单，却需要一些思考。

初始时，我们拥有3根火柴。

要摆成一个正方形，我们需要4根火柴来构造一个完整的正方形边框。

然而，我们只有3根火柴，无法构成一个完整的正方形。

所以，答案
是0个正方形。

通过以上三道题目，我们可以看到，脑筋急转弯的题目有时候需要
我们以不同的角度去思考，从而得出准确的答案。

这些问题看似简单，
却需要我们透彻地分析和推理。

这也是锻炼我们思维和逻辑能力的好方法。

希望这些问题能够给大家带来一些乐趣和启发。

一碗牛肉面引发的思考

一碗牛肉面引发的思考牛肉面，一种普通的中国美食，但是有时候一个简单的碗面条，可以引发一些深刻的思考，使我们在平凡中发现不平凡。

这一天，我和几位朋友来到了一家牛肉面店，口感极佳的面条和鲜美可口的牛肉串让我们吃得大快朵颐。

突然，我的朋友开始讲述他曾经来这家店的经历，他说这家店以前的店主叫李先生，是一位非常勤劳朴实的老板，但不幸的是他得了一种无法治愈的病，最后不幸去世了。

听完这个故事，我感到十分感慨，一个人的生命是如此的渺小，但在生命中留下的痕迹却可以深深地影响着周围的人。

天色已经开始暗下来，快要关店了。

看着店员们开始收拾，突然一个干瘦的老者和一个小男孩走进了店里。

老者说这个小男孩是他的孙子，他们走了很长的路，为了在城里看看。

他们只有20元钱，想买两碗牛肉面，但因为他不熟悉这里的语言，又不知道这里的饭菜价格，所以他特地找到这家店，请求店主能够给他们点宽宏大量，一碗牛肉面也行。

店员较真，将老人驳回，但传来老板说：“这碗面不要钱，我们做生意不为赚钱，也是为了帮助像你们这样有需要的人”。

孙子开心的接过了碗面，不停的说着谢谢。

当他们离开时，并没有说再见，却让我一直陷入沉思。

每个无助需要帮助的人，在别人的帮助下逐渐走向解脱，拥有一次翻身的机会。

而这一份善良和关爱，至少会让这个疲惫的世界大变美好一些。

在这种平凡中，让我们看到了信仰，了解到了分享，以及感受到了宽容和爱心。

就像一碗牛肉面，虽然很平凡，但是它背后的故事和情感，却可以成为点亮自己和他人生命的一盏光。

回想起这个晚上，我们仅仅吃了一碗牛肉面，但在这一碗牛肉面背后，却散发出了人性的美好，让我们学会关爱他人，更加积极乐观地面对生活，也让我们更加珍惜当下的生活和身边的人。

那是一串一串的利于体验的牛肉面条，那是用心煮熟的人间微光，让我们一碗一碗地品味人间温情。

小题目,大境界——由一道高三考题引发的思考

【文章编号】０４５０ — ９８８９（２０１３）１０Ｂ一
００８９－０２
如利用最常见的特殊值 ±１，从． ±１）
无论生活、还是学习中，只要留心，总是会有很多细节让人受益匪浅。下面我
：ｓｉｎｌｅｆ＼业９，），排除答案Ｂ和
教学目标的教学方法，它具有很强的现
定答案Ａ正确。如果思维再放开一点，利用该函数实际在＝１ｒ有意义这点，从而
图象是（
）
该证明
在区间（０，霄）上的单调
摆脱原函数定义域的范围限制，通过计算
ＡＢ
．
性。对高中生来说，只有两条途径：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数这一利器。很显然，利用函数单调性的定义证明其在（０，１『）上的单调性，并非很好的选择。下面从导数出发加以证明：
三、小题大做
孚ｑ、
－
斗
，从其分子的值保持不变，而分
此题如果作为一道选择题，以上两种做法貌似相当完美，但是如果从数学学科的特点出发，我们总是会忍不住思考，该如何完整地证明其单调性呢？至少也应
母的值增大这个特点马上可知，函数 ’ ，＝旦在（０，竹）上单调递减的性质，从而确
证明： ‘ ． ‘ ）＝
‘ ．
，（订）＝０，可以更快地确定答案。
二、小题不做

明立意　提素养———由一道2022_年高考数学试题引发的思考

明立意㊀提素养由一道２０２２年高考数学试题引发的思考李㊀彦(江苏省姜堰中学ꎬ江苏泰州２２５５００)摘㊀要:高考承载着为高校选拔人才的重要任务ꎬ新课改背景下高考试题充分体现出考查学生核心素养的重要特征ꎬ高考试题的探究与分析是高中数学课程教学的重要任务之一.本文以２０２２年一道高考数学试题为探究载体ꎬ重点从试题分析㊁变式拓展㊁教学启示三个角度进行阐释.关键词:高中数学ꎻ高考试题ꎻ素养ꎻ能力中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００４０－０３收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:李彦(１９７８.９－)ꎬ江苏姜堰人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教育教学研究.基金项目:泰州市教育学会十四五规划重点立项课题新课程背景下高中数学高效课堂的建构研究阶段性研究成果(项目编号:ＴＺ２０２２０１５)㊀㊀高考试题一直是高中教师关注的焦点ꎬ对高考试题形式和考查意图的探究是提升备考效率的重要途径.近年来ꎬ高考数学试题中导数问题一直是考查重点内容之一ꎬ多数以初等函数为载体ꎬ以压轴题的形式呈现ꎬ侧重于考查学生的数学学科核心素养.命题专家一直十分青睐导数问题的考查ꎬ给不少学生带来一些困难ꎬ对于高中数学高考复习教学而言ꎬ整体把握导数问题是提升学生解题能力的关键[１].１真题回顾ꎬ多元剖析题目㊀(２０２２年全国高考理科数学第１６题)已知ｘ＝ｘ１和ｘ＝ｘ２分别是函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)的极小值点和极大值点.若ｘ１<ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围[２]解法１㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ存在两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令函数ｇ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘꎬ当ａ>１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң＋ɕ(不合题意ꎬ舍去).当０<ａ<１时ｘң－ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕꎻｘң＋ɕꎬｇ(ｘ)ң－ɕ(符合题意)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝２ａｘ(ｌｎａ)２－２ｅ.令ｇᶄ(ｘ０)＝０可得ｘ０＝ｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].由于函数ｇ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)内单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ＋ɕ)内单调递减ꎬ根据题意可令ｇ(ｘ)ｍａｘ＝ｇ(ｘ０)>０ꎬ即２ａｘ０ｌｎａ－２ｅｘ０>０.即２ａｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２] ｌｎａ>２ｅｌｏｇａ[ｅ/(ｌｎａ)２].即１ｌｎａ>ｌｏｇａｅｌｎ２ａ＝ｌｎ(ｅ/ｌｎ２ａ)ｌｎａ.由于ｌｎａ<０则ｌｎｅｌｎ２ａ>１.即１(ｌｎａ)２>１.即０<(ｌｎａ)２<１.则ａ的取值范围为１ｅ<ａ<１.解法２㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬ０４ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即２ａｘｌｎａ＝２ｅｘ.该方程有两个实数根分别为ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ令函数ｙ＝ａｘｌｎａ与函数ｙ＝ｅｘ图象在ｘ０处相切ꎬ可知ａｘ０ｌｎａ＝ｅｘ０ꎬ且ａｘ０(ｌｎａ)２＝ｅ.则ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０.则ａｘ０１ｘ０＝ｅｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅｘ２０.则(ｅ１ｘ０)ｘ０＝ｅｘ２０ꎬ即ｘ０＝ʃ１.(１)在ａ>１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝ｅꎬ若ａ减小ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图１所示).函数ｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ的图象如图２所示ꎬ根据前面的分析可知ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去)图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２(２)在０<ａ<１的情况下ꎬ当ｘ０＝１ꎬａ＝１ｅꎬ若ａ变大ꎬ则函数ｙ＝ａｘｌｎａ与ｙ＝ｅｘ的图象有两个交点(如图３所示)ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递减ң递增ң递减ꎬ且极小值ｘ１小于极大值ｘ２ꎬ则１ｅ<ａ<１.图３㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图４解法３㊀根据题意结合函数导数的性质可得ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘｌｎａ－２ｅｘ有两个零点ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２).令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ即ａｘｘ＝ｅｌｎａ.该方程有两个实根ｘ１和ｘ２(ｘ１<ｘ２)ꎬ如图４所示ꎬ在ａ>１的情况下ꎬ函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２从左到右的单调性为:递增ң递减ң递增ꎬ且极大值点ｘ１小于极小值点ｘ２(不符合题意ꎬ舍去).在０<ａ<１的情况下ꎬ令ｈ(ｘ)＝ａｘｘꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ａｘ(ｘｌｎａ－１)ｘ２.令ｈᶄ(ｘ０)＝０ꎬ即ｘ０＝１ｌｎａꎬ即ｌｎａ＝１ｘ０ꎬ即ａ＝ｅ１ｘ０ꎬ即ａｘ０＝ｅ.根据０<ａ<１ꎬｌｎａ<０ꎬ则ｘ０<０ꎬ显然函数ｈ(ｘ)在区间(－ɕꎬｘ０)上单调递增ꎬ在区间(ｘ０ꎬ０)上单调递减ꎬ则ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(ｘ０)＝ａｘ０ｘ０＝ｅｘ０.结合题意可得ꎬｅｘ０>ｅｌｎａ.即ｌｎａ>ｘ０.即１ｘ０>ｘ０.则ｘ０<－１.即１ｌｎａ<－１.即ｌｎａ>－１.则１ｅ<ａ<１.点评㊀解法１是直接从函数的性质视角进行探究ꎬ解题思路比较清晰但计算繁琐ꎬ需要学生具有一定的逻辑思维和数学运算能力ꎻ解法２是采取转化思想ꎬ借助于数形结合的方法进行求解ꎬ需要学生具备一定直观想象素养能力ꎻ解法３是采取分离函数㊁等价代换的手段进行求解ꎬ该方法过程简洁运算量不大ꎬ是多数学生优先选择的方法.２洞悉本质ꎬ变式拓展大量实践表明ꎬ机械刷题难以提升学生数学解题能力ꎬ直接影响数学素养的培养与提升.数学教师可以引导学生洞悉数学典型试题的内在本质规律ꎬ呈现多元变式ꎬ在师生共同探究中提升学生数学学１４科核心素养[３].变式１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２且ｘ２<ｘ１ꎬ试求ａ的取值范围?变式２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)存在极小值点ｘ１和极大值点ｘ２ꎬ试求ａ的取值范围?变式３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２ａｘ－ｅｘ２(ａ>０且ａʂ１)无极值点ꎬ试求ａ的取值范围?点评㊀变式训练是提升学生数学解题能力的重要方式ꎬ上述三个变式拓展试题是从函数的内在本质出发ꎬ通过对函数的极值点进行探讨ꎬ关注学生数学转化思想在数学解题中的实际运用.三道变式试题随着题设条件的变化ꎬ问题由浅入深ꎬ重点考查学生分析数学综合问题的能力ꎬ有助于学生核心素养的提升.３教学启示ꎬ落实素养第一ꎬ重视数学基本知识与技能训练ꎬ灵活运用数学思想方法.函数是高中数学教学中的重点和难点ꎬ每年高考离不开数学函数的考查ꎬ以函数为背景的命题受到命题专家的特殊青睐.导数引入高中数学函数的探究ꎬ已经成为探究函数问题的重要工具.高中数学函数问题注重考查函数与方程㊁数形结合㊁分类讨论㊁转化与化归㊁函数构造等数学思想方法.对于高中数学中的导数问题ꎬ应该关注分离㊁换元㊁构造等方法.在高考备考复习教学中ꎬ数学教师可以引导学生从基本的解题方法出发ꎬ积极探究解决众多问题中共同的㊁基本的解题方法ꎬ让学生感受通性通法合理应用于解题的实用性ꎬ尽量较少进行特殊解题技巧和方法的熏陶.第二ꎬ重视一题多解的探究与分析ꎬ从变式训练中提升创新思维能力.数学解题教学是高中数学课程教学的重要内容之一ꎬ学生解题能力的提升离不开典型数学试题的剖析.大量实践表明ꎬ 一题多解是从多个角度探讨同一问题ꎬ有效采取此教学思路有助于拓宽学生的解题思路ꎬ有助于培养学生的发散思维能力和解题能力.在高中数学教学实践中ꎬ学生的数学思维能力存在着一定的差异性ꎬ将一题多解和变式训练有机融合ꎬ能够有效激发不同层次学生数学探究的好奇心ꎬ引导学生从不同视角㊁不同维度探究问题ꎬ从多变的问题中探寻不变的性质与特征ꎬ不断强化学生的应变能力ꎬ发展学生的创新思维能力.第三ꎬ融合信息技术教学手段ꎬ充分呈现数学本质规律.数学图象是帮助学生理解和解决问题的重要手段ꎬ函数图象具有较高的直观性ꎬ有利于学生理解函数的内在本质规律.高中数学函数问题教学中ꎬ可以借助于ＧｅｏＧｅｂｒａ图象软件展示变化中的函数图象ꎬ特别是对函数单调性的增减问题ꎬ能够直观地显现出来ꎬ学生能够直接获得数学结论ꎬ激发学生深入探究的欲望ꎬ强化学生直观想象素养的形成与发展.作为高中数学教师ꎬ一定要给予学生动手操作实践的空间与时间ꎬ让学生在实践中体悟数学的本质魅力.高考试题是高中数学课程教学的重要资源与素材ꎬ对高考典型试题的探究是高考备考的必备动作.作为高中数学教师在平时的教学中ꎬ应该强化对高考试题的剖析与思考ꎬ充分挖掘高考试题中不变的本质规律ꎬ灵活运用数学思想方法进行教学方式的优化ꎬ不断促进学生创新思维能力的提升ꎬ尽可能实现高中数学核心素养的真正落地.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]杜斌.一道２０２２年联考导数题的多视角探究[Ｊ].中学数学教学ꎬ２０２２(０３):４２－４４.[３]季峰.低起点多层次高落差:２０２２年高考数学新高考Ⅰ卷试卷点评[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(１５):３０－３１.[责任编辑:李㊀璟]２４。

一道切点弦方程的题目引发的思考

数学·解题研究一道切点弦方程的题目引发的思考江苏南京师范大学附属实验学校（210046）王庆欢［摘要］文章主要对解析几何切点弦的问题展开讨论，通过不同解法对比，使教师能认识到优化解题方法的重要性，能够注重解题方法的总结，提高学生的解题能力。

［关键词］解析几何；切点弦；思考［中图分类号］G 633.6［文献标识码］A ［文章编号］1674-6058（2023）14-0027-03一、呈现数学试题，探索解题方法有一道解析几何多选题是这样的：已知抛物线C ：y 2=4x ，其焦点为F ，P 为直线x =-2上任意一点，过P 点作抛物线C 的两条切线，切点分别为A 、B ，斜率分别为k 1、k 2，则（）。

A.k 1·k 2=-12B.||k 1-k 2=2C.AB 过定点（2，0）D.||AF ·||BF 的最小值为8在考试中，学生对于这样的一道多选题，选对选全是很困难的，很多学生即使做对也耗时过多，后面的题目时间就不够用了，造成了隐形失分。

对此，笔者首先尝试了常规解法，具体如下：设P （-2，t ），PA ：y -t =k 1（x +2），PB ：y -t =k 2（x +2），与抛物线方程联立得k 21x 2+（4k 21+2k 1t -4）x +4k 21+4k 1t +t 2=0，因为直线PA 与抛物线相切，所以Δ=0，（4k 21+2k 1t -4）2-4k 21（4k 21+4k 1t +t 2）=0，即2k 21+tk 1-1=0，同理可得2k 22+tk 2-1=0，所以k 1、k 2是方程2k 2+tk -1=0的两根，由韦达定理可得出k 1k 2=-12，由此可知A 选项正确。

对于B 选项，||k 1-k 2=(k 1+k 2)2-4k 1k 2==显然不是定值，由此可知B 选项错误。

对于C 选项，就要求出切点弦AB 的方程，如果按照这个思路做下去，只要由k 21x 2+（4k 21+2k 1t -4）x +4k 21+4k 1t +t 2=0，方程有两个相等的实根得x A =-2-t k 1+2k 12，y A =2k 1，同理x B =-2-t k 2+2k 22，y B =2k 2，当x A ≠x B 时，即t ≠0时，k AB=y B -y A x B -x A =2k 2-2k 12k 22-2k 21-t k 2+t k 1=2k 1k 22（k 1+k 2）-tk 1k 2=-12()-t 2-()-12t =2t，则直线AB 的方程：y -2k 1=2t ()x +2+t k 1-2k 21，化简得y =2t x +4k 1t -4+4k 21tk 21，结合2k 21+tk 1-1=0，AB 的方程为y =2t x -4t ，即y =2t（x -2），当x A =x B ，即t =0时，AB 的方程为x =-2+2k 21=2，所以选项C 正确。

一道几何题引发的思考

一道几何题引发的思考我们常常觉得平面几何题难，但一看到人家作的辅助线，往往有两种反应：第一种是觉得不过如此，原来这么简单；第二种则是直呼神来之笔。

要我说这两者都不可取。

第一种情况最不可取，你看人家轻描淡写的背后，可能不知道经历了多少挫折，轮到你自己，换个题你还是不会。

第二种情况稍好点，但言下之意，既然是神来之笔，自己肯定想不到，其实神来之笔的背后并不一定完全是灵感，也许是思考过程的必然归宿。

遗憾的是，绝大多数的解题都只会给我们呈现正确的最终结果，没有给我们展现完整的思考过程，而这个过程才是最重要的。

平面几何题对我也是巨大的挑战，下面我以一个例子抽丝剥茧地展示一下我的完整思考过程。

题目如下：等边三角形ABC中，AD垂直于BC，M、N分别是AD 和AC上的两点，且AM=CN，请问，当BM+BN最小时，∠MBN是多少度？首先，这是一道与动点相关的题目。

很多人碰到动点就犯怵，其实没必要。

可以首先考虑几个极端情况，对问题有个总体的把握。

比如当AM=CN=0时，此时M与A重合，N与C重合，BM+BN=BA+BC，此时应该取得所有情况中的最大值。

而如果M与D重合，则此时BM取得最小值，但BN 并不取得最小值。

反之，如果N为AC的中点，此时BN取得最小值，但BM并不是最小值。

我的第一个思考是利用对称性，比如把BM转换成下面的CM，但这样CM和BN离得更远了。

显然，这样的辅助线没什么效果。

这里就涉及作辅助线的一个基本原则：辅助线应该把题目中分散的条件最大程度地联系起来，最好是聚合起来，而不是让它们更分散。

怎么利用AM=CN这个条件？这两条边现在没什么关联，我能不能让它们跑到一起，变成一个等腰三角形之类的？基于这一想法，我想到了下面的旋转。

即让三角形BCN 绕着点B逆时针旋转60°至三角形BAP的位置。

此时：AP=CN=AM，∠PAB=∠NCB=60°；因此∠PAM=90°，从而三角形APM为等腰直角三角形；同时，三角形BPN为等边三角形，因此BN=BP=PN。

一道数学中考题引发的思考与感悟作文

一道数学中考题引发的思考与感悟作文《一道数学中考题引发的思考与感悟》
哎呀呀，提起那道数学中考题，可真是让我印象深刻极了呀！那是在我中考的时候，考场上我可紧张啦。

当我看到那道数学题时，我的大脑瞬间就有点懵了。

那道题就像是一个调皮的小精灵，在我眼前蹦来蹦去，就是不让我抓住它的解题思路。

我一边咬着笔头，一边在心里嘀咕：“这题咋这么难呢，这出题老师也太狠了吧！”我着急得就像热锅上的蚂蚁，汗水都快冒出来了。

我使劲回想老师讲过的知识点，又在草稿纸上不停地写写画画，可还是没啥头绪。

就在我快要绝望的时候，突然，我好像看到了一点曙光。

我发现这道题好像和我们之前做过的一道练习题有点类似，我赶紧抓住这个线索，一点点地推导。

嘿，你还别说，慢慢地，解题的思路就清晰起来啦。

最后，我终于算出了答案，那一刻，我心里那个高兴呀，就别提了。

这场考试结束后，我就一直在想啊，这道题让我明白了好多。

遇到难题不能慌张，得冷静去思考，要善于发现那些细微的线索，而且呀，平时的学习真得好好下功夫，把知识掌握扎实了，不然在关键时刻就抓瞎啦。

同时呢，
我也体会到了坚持的重要性，要是我当时轻易就放弃了，那可就真答不出来了。

现在回想起来，那道数学中考题就像是我人生路上的一个小挑战，虽然有点难，但也让我收获了好多。

我相信，以后遇到其他的难题，我也一定能像这次一样，勇敢地去面对，去找到解决的办法。

哈哈，这就是那道数学中考题带给我的思考和感悟哟！。

由一道练习题引发的对学生数学思维品质的思考

由一道练习题引发的对学生数学思维品质的思考作者：代秀红来源：《速读·中旬》2018年第03期什么是数学思维品质？如何在小学数学教学中培养学生的数学思维品质？我想大部分数学教师在教学过程中会紧紧围绕如何解决问题来锻炼学生的思维能力，但对数学思维品质的培养就知之甚少了，下面我就结合人教版《小学数学五年级上》第三单元《小数除法》——《商的近似数》一课中的一道练习题来谈谈我对数学思维品质的理解和思考。

《小学数学五年级上》第41页11题：一种瓶装橙子粉重450g，，每冲一杯需要16g橙子粉和9g方糖。

冲完这瓶橙子粉，大约需要多少克方糖？这道题出现在学生已学习了用“四舍五入法”、“进一法”和“去尾法”解决问题后的练习九中，在求“可以冲多少杯？”这一问题时用450÷16=28.125（杯），计算出的结果是小数，而冲出的杯数必须是整数，因此要取计算结果的近似值。

在取近似值时，不能机械地使用“四舍五入法”，要根据具体情况确定“舍”还是“入”。

人教版《小学数学五年级上教师用书》中指出：一般方法是先求可以冲多少杯，450÷16≈28（杯），再求28杯需要多少克方糖，但也可能会有学生提出用“进一法”，450÷16≈29（杯），再求29杯需要多少克方糖，理由是可以将橙子粉冲淡一些，从解决实际问题的角度也是可以的。

对此，引发了我对培养学生数学思维品质的思考。

思维是人的理性认识过程。

所谓数学思维，是指人关于数学对象的理性认识过程。

思维能力的高低，直接影响到数学学习的效果，因此，培养学生的数学思维能力是提高数学教学效率的关键。

良好的数学思维品质主要包括思维的严谨性、广阔性、深刻性、灵活性和批判性，下面就结合本题对培养学生的数学思维品质进行讨论。

一、培养数学思维的严谨性思维的严谨性是指考虑问题的严密、有据。

首先要求学生要按步思维，思路清晰，就是要培养学生按照一定的逻辑顺序进行思考问题。

其次要求学生要全面、周密地思考问题，做到推理论证要有充分的理由作根据。

[++i 与i++]一道简单的题目引发的思考

一道简单的题目引发的思考++i 与i++——Don't believe in magic !Understand what your program do ,how they do .引言昨晚一时兴起，我脑子就问自己下面的代码会输出什么，也不知道我脑子为什么有这个代码模型，只是模糊的有些印象：01#include <stdio.h>02#include <stdlib.h>0304int main(int argc,char** argv)05{06 int i=3,j;07 j=(i++)+(i++)+(++i);08 printf("i = %d, j = %d\n",i,j);09 exit(0);10}您会怎样考虑这个问题呢？您不运行这个程序能准确地说出答案吗？我猜想肯定有大部分人不能肯定且准确地说出答案！如果您不能，这篇文章就是为你准备的，保证您看完之后豁然开朗！请细看下文，outline如下：1、诸君的回答我那这道题目问了几个人，他们的答案不尽相同。

1.1、A君的回答因为i = 3，故依次i++=4，i++=5，++i=6，i最后输出为i = 6；但是由于前面两个++是后置++，最后一个++是前置++，故j = 3+4+6 = 13。

1.2、B君的回答因为i = 3，故第一个i++后为4，第二个i++后为5，接着做i+i操作= 5+5=10，最后与(++i)相加= 10+6=16。

1.3、C君的回答因为i = 3，故依次i++=4，i++=5，++i=6，i最后输出为i = 6；但是第一i、第二个i 的++是后置++，先进行i+i操作，然后进行两次i++后置操作，故等价于(i)+(i) = 3+3=6，i++，i++，最后与++i=6相加等于12。

1.4、D君的回答因为i = 3，故依次i++=4，i++=5，++i=6，i最后输出为i = 6；但是前面两个++都是后置++，故先做i+i+(++i)操作，然后才在i++,i++操作，第三个++是前置++，故等价于i+i +(++i)=3+3+4=10，i++，i++。

由一道考试题引发的对做功条件的再思考

由一道考试题引发的对做功条件的再思考
摘要：本文由一道高考试题出发，通过自己的教学总结，进行了深入思考，强调了物理教师具有完整知识结构的重要性。
关键词：考试题再思考反思教学
中图分类号：G633.7文献标识码：A文章编号：1003-908201-0251-01
一、问题的提出
2006年全国高考理综卷第20题：
三、质点
不考虑物体本身的形状和大小，并把质量看作集中在一点时，就将这种物体看成“质点”。研究问题时用质点代替物体，可不考虑物体上各点之间运动状态的差别。“质点”是经典力学中常用的最基本的模型。若研究的问题不涉及转动或物体的大小跟问题中所涉及到的距离比较很微小时，即可将这个实际的物体抽象为质点。例如，在研究地球公转时，地球半径比日、地间的距离小得多，就可把地球看作质点。但是在物体的转动例如地球的自转中，球内各点的位移、速度和加速度的方向及大小差别悬殊，完全不能忽略，就不能视为质点。
对于中学物理教师的要求有以下几方面：要求对现代物理知识的观点、思想、方法要明；对普通物理知识要精；中学物理知识要熟。只有物理教师具有了完整的知识结构，才不会照本宣科，讲授教学才会有观点、有思想、有体会。
二、关于做功条件的思考
初中和高中物理教材都对做功的两个必要因素给出了明确的说明：作用在物体上的力及物体在力的方向上移动的距离。根据这两个条件分析这一高考题，如图1所示，人受到了地面施加的向上的支持力，并且重心在竖直方向上向上移动了h的距离，所以支持力做功了。那么错误出现在哪里了呢？错误原因是我们将重心移动的距离认为是在支持力的方向上移动的距离，同时认为人是一个理想模型，即“质点”。但是，在这一情境中，人不能看做是质点。那么，在本题中，人为什么不是质点呢？
可视为质点的运动物体有以下两种情况：

由一道习题引发的关于做功的思考

由一道习题引发的关于做功的思考【摘要】好多学生甚至有些老师对做功的计算和动能定理的应用存在理解误区。

通过例子来具体说明功W=Fv·（受力点位移L v），系统动能定理应为W 内+W外=∑ni=1 12mi（vi末2-vi初2）。

【关键词】受力点位移；内力做功；系统动能定理1. 功W=Fv·（受力点位移L v）在高中阶段，谈力做功也好，谈动能也罢，都是默认为以地面为参考系。

所以功W=Fv·L v 是力与受力点对地位移的点乘。

当物体可以看作质点或平动时，受力物体的位移与受力点的位移是一样的，所以功等于力与受力物体对地位移的点乘。

但是当物体不是平动而且也不能当作质点时，物体受力点的位移与物体的位移就不一定相同。

上题中力的作用点在脚上，而脚的运动情况与人的运动情况是不尽相同的，人既不是平动，也不能当作质点，因此应该用摩擦力乘以脚对地的位移。

人在跑步过程中，总是一只脚着地，一只脚在空中向前运动，空中的脚落地时，地上的脚离地在空中向前运动，双脚交替进行。

在地面上受摩擦力的脚与地面相对静止，没有位移，故摩擦力对着地脚做功为零；在空中运动的脚有位移但是不受地面的摩擦力，故摩擦力对空中的脚做功也为零。

人无论加速减速还是匀速运动，只要着地的脚与地面没有相对运动，那么地面的摩擦力对人就没有做功。

在开篇的习题中，脚与地面没有相对滑动，所以在各个阶段地面对人都没有做功。

所以正确答案应该为C。

为了便于理解，我们再举几个例子。

例1.1，一匀质长方体木块静止放于光滑地面上，一颗子弹以初速度v0 水平向右射入木块，最后留在木块中，子弹打入的深度为d，在打入过程中木块的位移为L，假设射入过程中子弹与木块间的力f 大小恒定，求子弹对木块和木块对子弹做的功W1 和W2 分别为多少？解析：为了简化，我们把子弹当作质点。

射入过程中，子弹对地的位移为（L+d），故而阻力对子弹做功W1=-f （L+d）。

木块长度不能忽略，木块也不能当作质点，子弹对木块作用力的作用点一直在变，子弹在木块上打入的深度为d 的径迹可以认为是由无数个质点组成的一条线段，在子弹对每一个质点作用过程中，每个质点在力作用下位移分别为l1 ，l2，，l3，，l4，，l5，，l6……在相同的时间段里，每个质点位移与木块的整体位移都相同，所以l1 ，l2，，l3，，l4，，l5，，l6……恰好就是木块在各个小时间段里的位移，所以这些小位移之和恰好等于木块总位移L。

奇乐数学小班题目太简单

奇乐数学小班题目太简单
奇乐数学小班题目太简单，这是一个值得我们关注和思考的问题。

在这样的教学环境中，学生能否得到良好的培养和提升，成为我们关注的焦点。

首先，我们要了解题目过于简单所带来的负面影响。

一方面，简单题目容易让学生产生依赖心理，他们对数学知识的探索和求知欲望可能会逐渐减弱。

另一方面，过于简单的题目无法锻炼学生的思维能力，容易导致学生对数学学习失去兴趣。

其次，我们需要分析原因。

奇乐数学小班的题目过于简单，可能是因为教师过于注重学生的兴趣和积极性，希望以此吸引学生。

然而，这种做法并不能长久地保持学生的学习兴趣。

学生需要面对挑战，克服困难，这样才能真正激发他们的学习潜能。

针对这个问题，我们可以提出以下解决方案：
1.调整题目难度：教师应该根据学生的实际水平，设计适当难度的题目。

难度适中的题目可以帮助学生保持学习兴趣，同时培养他们的思维能力。

2.培养学生解决问题的能力：教师应该引导学生学会独立思考，培养他们解决问题的能力。

这可以通过设计开放性、探究性的题目来实现。

3.教师角色转变：教师应从简单的题目发布者转变为引导学生探索的导师。

他们需要关注学生的学习过程，引导学生克服困难，激发学生的学习兴趣。

总之，奇乐数学小班题目太简单的问题需要我们重视。

通过调整题目难度、培养学生的解决问题的能力以及教师角色的转变，我们可以帮助学生获得
更好的学习体验，提高他们的数学素养。

小孩举左手举右手坐凳子题目

小孩举左手举右手坐凳子题目
（实用版）
目录
1.题目的背景和来源
2.题目的含义和象征
3.题目所引发的思考和启示
正文
“小孩举左手举右手坐凳子”这个题目来源于日常生活，它以简单的文字描述了一个富有深意的场景。

首先，我们可以从这个题目中感受到一种童真和趣味，它让人想起了小时候在幼儿园或者在家里和伙伴们一起玩耍的时光。

然而，如果我们深入思考这个题目，我们会发现它具有更深层次的含义和象征。

小孩举左手举右手，可能象征着选择和决策。

在生活中，我们常常会面临各种选择，这个时候，我们需要像小孩一样，举起左手或右手，做出决定。

坐凳子则象征着生活的琐事和日常的平淡。

无论是选择还是决策，最终都要落实到生活的点点滴滴中。

这个题目所引发的思考和启示是，我们应该如何在生活的琐事和平淡中做出选择和决策。

它提醒我们，生活中的每一个选择和决策都是重要的，都需要我们用心去对待。

同时，它也告诉我们，生活中的快乐和趣味并不在于选择和决策的结果，而在于选择和决策的过程。

第1页共1页。

教师随笔一道数学中招题引发的思绪

教师随笔一道数学中招题引发的思绪因为即将有中招考生的关系，也对今年中招题有了几分在意，当网上有中招试题及答案的时刻，第一时间存到电脑里，以便适合的机会让孩子试做并进行分析。

以后除看了网上的一些评议，和对试卷出题方向的评析，也没有太多思绪。

可是在今天傍晚之际，突然看到一条“河南省基础教学研究室关于对XX年河南省普通高中招生考试数学第21题有关问题的说明”时，我便有一些沉不住气。

想为何会出现一道题发布两种答案的结局，是不是真的如说明中所说的，“试题本身没有科学性问题，只是个别语句文字表述上不够精准，致使部份考生产生不同理解。

”于是，我迅速看了原题，题目是这样的：学校“百变魔方”社团准备购买A，B两种魔方。

已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买3个A种魔方和4个B种魔方所需款数相同。

（1）求这两种魔方的单价；（2）结合社员们的需求，社团决定购买A，B两种魔方共100个（其中A种魔方不超过50个）。

某商店两种优惠活动，如右图所示。

（内容是：优惠活动活动一：A种魔方八折，B种魔方四折活动二：“买一送一”购买一个A种魔方送一个B种魔方）请按照以上信息，说明选择哪一种优惠活动更实惠。

发现问题争议不是试题考查点问题，而是对“已知购买2个A种魔方和6个B种魔方共需130元，购买所需款数相同。

”中关于“所需款数相同”的理解不合，是把“3个A种魔方”“4个B种魔方”当做两种事物对比，仍是当做一个事物整体与逗号前部份对比；的确两种都合情合理。

本来简单的题在学生考试时由于发散的思绪，必然也造成份析做题时间，挑选上的迟疑，应该是命题者始料不及。

而作为一次带有选拔性考试，10分的试题直接会致使不同孩子升学的差距，也难怪有消息灵通人士爆料有关注命题及答案发布的人去省教育厅请示审议，也就出现这样一则说明来平息。

可是，正如很多人的评议，命题人不容易，审题人似乎也有惯性阅读理解的不同。

选择性的不同，对于一场考试老说，不仅是自己阅读力的不同，也是一种语境分析，若是作为一道语文题，让学生解析“所需款数相同”，学生会不会分类分析。

一个橙子引发的思考

一个橙子引发的思考“某日，两个孩子共同发现了一个橙子，二人争执不已，最终达成协议，将橙子各分一半。

一个孩子回到家中，将所得的半个橙子拨掉果皮，取其果肉，榨成果汁，供自己享用。

另一个孩子，则将所得橙子弃其果肉，留下果皮，磨成粉末，做成蛋糕，不亦乐乎。

”这是某次语文测试中的作文材料，要求学生们根据材料，各抒己见，形成文章。

如此题目，不禁也引起了我对于橙子故事的些许思考，尤其是当结合当自身职业的特殊性时，更是有了些不同以往的感受，于是一个橙子引发了我对于如何克服教师职业倦怠的几点思考：合作，交流，不自我。

首先说合作。

整则故事对于合作能够带来的益处比较显而易见，合作一词似乎更加盛行于西方现代企业管理制度中，即目前我们所听到的高频词汇：团队。

如果合作能够在团队中产生不可估量的激励和正面效应，那么在教师团队中亦是如此。

故事中的两个孩子，因为没有合作，使得部分橙子的果肉和果皮相继被浪费，因此双方所获得的橙子成品也随即减半，如果能够整合橙子的完整资源，每个人所获得的都将多于目前所拥有的。

因此，可见，合作可以事半功倍。

再则，合作如何能够帮助缓解教师职业倦怠，个人认为，要先从教师职业倦怠的起因说起。

道理很简单，如果每天鱼肉相伴，纵使美味，难免让人腻烦，如果每天绫罗绸缎，即便美丽，不免让人厌倦；感官神经上的疲劳就构成了我们所说的视觉、嗅觉疲劳，同理，大脑神经层也会出现自身的审美疲劳。

教师长期处于重复性工作中，所接触的层面比较缺乏广度和宽度，因此，接受和了解新事物的机遇较低，扩充及增加新鲜感的机会较少，久而久之，便产生了倦怠。

然而，毕竟我们生存在一个集体中，团队里的每一个人都有着自身的特点，甚至是过人之处，如果我们能够整合众人所掌握的资源，那么我们至少在一段时间内不会感到对目前状况的厌倦和倦怠。

有如橙子故事，如果两个孩子能够从合作中各取所需，资源就会扩大。

同样道理，教师如果在自己的岗位中有源源不断的学习空间和取之不尽的学习资源，克服职业倦怠，改善不良心理又岂是难事。