第六章——附有参数的条件平差
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矩阵的秩分别为 rk ( A) c, rk (B) u 。其随机模型为：
DLL
2 0
QLL
2 0
P
1
（1）式中的未知数为n个观测值的改正数V 和u个参数近似值的改正
数 xˆ ，即未知数的个数为m = n + u，而方程的个数为
c = r + u。由于m – c = n – r = t > 0，所以（1）式是一组具有无穷 多组解的相容方程组。必须根据最小二乘原理，求出能使
教材：6－1，6－2 习题：6.1.05， 6.1.09
第六章——附有参数的条件平差
3、 举例 某三角网如图所示，A、B为已知点，BD为已知边。其已
知数据为：
xA 1000 .00m, yA 0.00m, xB 1000 .00m, yB 1732 .00m, SBD 1000 .00m
第六章——附有参数的条件平差
sin(Lˆ5 Lˆ7 ) sin Xˆ sin Lˆ6 sin(Lˆ9 Xˆ ) sin(Lˆ6 Lˆ8 ) sin Lˆ5
1
固定边条件为（由AC推算AB）：
或
S AB
S AC
sin(Lˆ6 sin
Lˆ8 )sin Xˆ sin Lˆ3
Lˆ2
S AC sin(Lˆ6 Lˆ8 )sin Lˆ2 S AB sin Xˆ sin Lˆ3
数，并令其为零，即
2V T P 2K T A 0 V 2K T B 0 xˆ
第六章——附有参数的条件平差
亦即
V P1 AT K
BT K 0
（2）
将（1）式和（2）式联立，则得到附有参数的条件平 差的基础方程：
AV Bxˆ W 0
V P 1 AT K
（3）
BT K 0
将（3）式中的第二式代入第一式，消去改正数V，得： AP1 AT K Bxˆ W 0
B
T
Nຫໍສະໝຸດ Baidu
1 aa
B)
rk (B)
u
,且N bb
N 1 bb
，故
N bb 是满
秩的对称方阵，其逆存在。于是，由（7）式得：
xˆ
N
1 bb
B
T
N
aa1W
将（5）式代入（2）式的第一式，得：
（8）
V
P
1
AT
N
1 aa
(Bxˆ
W
)
（9）
（8）式和（9）式就是附有参数的条件平差的最终解。
第六章——附有参数的条件平差
由图知，可列2个图形条件，1个极条件和1个固定边条件。
这4个条件如下： v1 v2 v3 wa 0
v4 v5 v6 wb 0
sin Lˆ4 sin
sin(Lˆ1 Xˆ ) sin(Lˆ3 Lˆ5 Lˆ5 sin(Lˆ2 Lˆ4 ) sin Xˆ
1
根据如此含有u个参数的条件方程所进行的平差，称为 附有参数的条件平差。
第六章——附有参数的条件平差
§6-1 附有参数的条件平差原理
一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：
A V B xˆ W 0 （1）
cn n1 cu u1 c1 c1
式中V为观测值L的改正数，xˆ 为参数近似值 X 0 的改正数。其系数
第六章——附有参数的条件平差
为了解决这个问题，可以选择某个（或某几个）非观测量作
为参数。例如图中选择 X 作为参数。设选择了u个参数，则原来 的r个条件方程就变为c = r+u个了。如图中，由于选择了X 作为参
数，则条件方程的个数就变为c = r+u = 4+1=5个，即除了三个图 形条件外，还可以列出1个极条件和1个固定边条件。如下图，若 以A点为极，则极条件为：
各角的同精度独立观测值见表1。现选 DAB 的最或 是值为参数，试按附有参数的条件平差求观测值的平 差值和参数的平差值。
第六章——附有参数的条件平差
表1
角号
观测值
角号
观测值
1
600003
4
595957
2
600002
5
595956
3
600004
6
595959
第六章——附有参数的条件平差
本例中n = 6，t = 3，r = 3，u = 1，故c = r + u = 4
BT K 0
第六章——附有参数的条件平差
令
N aa AP 1 AT
则
Naa K Bxˆ W 0 BT K 0
(4)
（4）式称为附有参数的条件平差的法方程。因为
rk (N aa ) rk ( AP 1 AT ，) 且rk ( A) c
，
所以N
T aa
(是AP 满1 AT秩)T 的AP对1 A称T 方N阵aa ，其逆N a存a 在。于是，用
第六章——附有参数的条件平差
第六章 附有参数的条件平差
§6-1 附有参数的条件平差原理 §6-2 精度评定
第六章——附有参数的条件平差
问题的提出
由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测（n>t）的条件 平差问题，可以列出r=n-t个独立的条件方程，且列出r个独立的条 件方程后就可以进行后继的条件平差计算。然而，在实际工作中， 有些平差问题的r个独立的条件方程很难列出。例如，在下图所示 的测角网中，A、B为已知点，AC为已知边。观测了网中的9个角 度，即n=9。要确定C、D、E三点的坐标，其必要观测数为t=5， 故条件方程的个数为r=n-t=9-5=4，即必须列出4个独立的条件方程。 由图知，三个图形条件很容易列出，但第四个条件却不容易列出。
2、附有参数的条件平差的计算步骤
由以上推导，可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如下： （1）、根据具体的平差问题，选取u个独立的参数，并列出附有参
数的条件方程（1）式。 （2）、组成法方程（4）式。
（3）、按（8）式和（9）式计算参数近似值的改正数 xˆ 和观测值L
的改正数V。
（4）、按计算观测值和参数的平差值。 （5）、用平差值重新列平差值条件方程，检核整个计算的正确性。
V T PV min 的一组解。为此，下面就来求解这组解。
第六章——附有参数的条件平差
1、 基础方程及其解 为了求得解能使 V T PV min 的一组解，按求函数之条 件极值的方法，组成新函数：
V T PV 2K T ( AV Bxˆ W )
式中K是对应（6-1）式的联系数向量。
为了求函数 的极小值，将其分别对V和 xˆ 求一阶导
左乘（4）式的第一式，可得：
N 1 aa
(5)
再以（5）式带入K （ 4N）aa式1(B的xˆ 第W二) 式，得：
B
T
N
1 aa
Bxˆ
BT N aa1W
0
第六章——附有参数的条件平差
令 则有
N bb
B
T
N
1 aa
B
N bb xˆ BT N aa1W 0
(6) （7）
因为
rk (Nbb )
rk
(
DLL
2 0
QLL
2 0
P
1
（1）式中的未知数为n个观测值的改正数V 和u个参数近似值的改正
数 xˆ ，即未知数的个数为m = n + u，而方程的个数为
c = r + u。由于m – c = n – r = t > 0，所以（1）式是一组具有无穷 多组解的相容方程组。必须根据最小二乘原理，求出能使
教材：6－1，6－2 习题：6.1.05， 6.1.09
第六章——附有参数的条件平差
3、 举例 某三角网如图所示，A、B为已知点，BD为已知边。其已
知数据为：
xA 1000 .00m, yA 0.00m, xB 1000 .00m, yB 1732 .00m, SBD 1000 .00m
第六章——附有参数的条件平差
sin(Lˆ5 Lˆ7 ) sin Xˆ sin Lˆ6 sin(Lˆ9 Xˆ ) sin(Lˆ6 Lˆ8 ) sin Lˆ5
1
固定边条件为（由AC推算AB）：
或
S AB
S AC
sin(Lˆ6 sin
Lˆ8 )sin Xˆ sin Lˆ3
Lˆ2
S AC sin(Lˆ6 Lˆ8 )sin Lˆ2 S AB sin Xˆ sin Lˆ3
数，并令其为零，即
2V T P 2K T A 0 V 2K T B 0 xˆ
第六章——附有参数的条件平差
亦即
V P1 AT K
BT K 0
（2）
将（1）式和（2）式联立，则得到附有参数的条件平 差的基础方程：
AV Bxˆ W 0
V P 1 AT K
（3）
BT K 0
将（3）式中的第二式代入第一式，消去改正数V，得： AP1 AT K Bxˆ W 0
B
T
Nຫໍສະໝຸດ Baidu
1 aa
B)
rk (B)
u
,且N bb
N 1 bb
，故
N bb 是满
秩的对称方阵，其逆存在。于是，由（7）式得：
xˆ
N
1 bb
B
T
N
aa1W
将（5）式代入（2）式的第一式，得：
（8）
V
P
1
AT
N
1 aa
(Bxˆ
W
)
（9）
（8）式和（9）式就是附有参数的条件平差的最终解。
第六章——附有参数的条件平差
由图知，可列2个图形条件，1个极条件和1个固定边条件。
这4个条件如下： v1 v2 v3 wa 0
v4 v5 v6 wb 0
sin Lˆ4 sin
sin(Lˆ1 Xˆ ) sin(Lˆ3 Lˆ5 Lˆ5 sin(Lˆ2 Lˆ4 ) sin Xˆ
1
根据如此含有u个参数的条件方程所进行的平差，称为 附有参数的条件平差。
第六章——附有参数的条件平差
§6-1 附有参数的条件平差原理
一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：
A V B xˆ W 0 （1）
cn n1 cu u1 c1 c1
式中V为观测值L的改正数，xˆ 为参数近似值 X 0 的改正数。其系数
第六章——附有参数的条件平差
为了解决这个问题，可以选择某个（或某几个）非观测量作
为参数。例如图中选择 X 作为参数。设选择了u个参数，则原来 的r个条件方程就变为c = r+u个了。如图中，由于选择了X 作为参
数，则条件方程的个数就变为c = r+u = 4+1=5个，即除了三个图 形条件外，还可以列出1个极条件和1个固定边条件。如下图，若 以A点为极，则极条件为：
各角的同精度独立观测值见表1。现选 DAB 的最或 是值为参数，试按附有参数的条件平差求观测值的平 差值和参数的平差值。
第六章——附有参数的条件平差
表1
角号
观测值
角号
观测值
1
600003
4
595957
2
600002
5
595956
3
600004
6
595959
第六章——附有参数的条件平差
本例中n = 6，t = 3，r = 3，u = 1，故c = r + u = 4
BT K 0
第六章——附有参数的条件平差
令
N aa AP 1 AT
则
Naa K Bxˆ W 0 BT K 0
(4)
（4）式称为附有参数的条件平差的法方程。因为
rk (N aa ) rk ( AP 1 AT ，) 且rk ( A) c
，
所以N
T aa
(是AP 满1 AT秩)T 的AP对1 A称T 方N阵aa ，其逆N a存a 在。于是，用
第六章——附有参数的条件平差
第六章 附有参数的条件平差
§6-1 附有参数的条件平差原理 §6-2 精度评定
第六章——附有参数的条件平差
问题的提出
由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测（n>t）的条件 平差问题，可以列出r=n-t个独立的条件方程，且列出r个独立的条 件方程后就可以进行后继的条件平差计算。然而，在实际工作中， 有些平差问题的r个独立的条件方程很难列出。例如，在下图所示 的测角网中，A、B为已知点，AC为已知边。观测了网中的9个角 度，即n=9。要确定C、D、E三点的坐标，其必要观测数为t=5， 故条件方程的个数为r=n-t=9-5=4，即必须列出4个独立的条件方程。 由图知，三个图形条件很容易列出，但第四个条件却不容易列出。
2、附有参数的条件平差的计算步骤
由以上推导，可总结出附有参数的条件平差的计算步骤如下： （1）、根据具体的平差问题，选取u个独立的参数，并列出附有参
数的条件方程（1）式。 （2）、组成法方程（4）式。
（3）、按（8）式和（9）式计算参数近似值的改正数 xˆ 和观测值L
的改正数V。
（4）、按计算观测值和参数的平差值。 （5）、用平差值重新列平差值条件方程，检核整个计算的正确性。
V T PV min 的一组解。为此，下面就来求解这组解。
第六章——附有参数的条件平差
1、 基础方程及其解 为了求得解能使 V T PV min 的一组解，按求函数之条 件极值的方法，组成新函数：
V T PV 2K T ( AV Bxˆ W )
式中K是对应（6-1）式的联系数向量。
为了求函数 的极小值，将其分别对V和 xˆ 求一阶导
左乘（4）式的第一式，可得：
N 1 aa
(5)
再以（5）式带入K （ 4N）aa式1(B的xˆ 第W二) 式，得：
B
T
N
1 aa
Bxˆ
BT N aa1W
0
第六章——附有参数的条件平差
令 则有
N bb
B
T
N
1 aa
B
N bb xˆ BT N aa1W 0
(6) （7）
因为
rk (Nbb )
rk
(