第五章向量代数一解几习题

|
a
|
5,|
b
|
8,
且(aˆ,
b)
3
,
则
||
a
b
||
7
.
6.已知a (1,1,4),b (1,2,2),则Pr j a b
3 .
(aˆ, b)
3 .
4
7.设a (3,5,2),b (2,1,4),又a b与z轴垂直,则
, 满足关系式 2
.
二.计算题p3
1.a (2,3,1),b (1,1,3),c (1,2,0),计算 : (1) (a b)c (a c)b; (2) (a b) (b c); (3) (a b) c. 解 (1) (a b)c (a c)b
则OM
(3, 1, 3)
.
解
设M ( x, y, z),则由M1M
3
MM
得
2
( x, y, z) (3,5,3) 3[(3,3,5) ( x, y, z)],
4( x, y, z) (3,5,3) 3(3, 3,5) (12, 4,12),
( x, y, z) (3,1,3).
8.设 || a || 6,且a与x轴, y轴, z轴正向的夹角依次为
(1)求 4a 3b c; (2)求 Pr jx; (3)求在y轴上的分量; (4)求的方向余弦; (5)求与平行的单位向量.
解 (1) 4a 3b c
4{3,5,8} 3{2,4,7} {5,1,4}, {13,7,15}.
(2)求 Pr jx 13;
(3) 在y轴上的分量为7 j; (4) 的方向余弦为 13 , 7 , 15 ;
第五章向量代数与空间解析几 何
§5.1向量及其运算p.1
一.填空题
1.点M (4, 3,5)到Ox轴,Oy轴,Oz轴及原点O的距离分别是 d(M, x) 34 d(M, y) 41 , d(M,z) 5 , d(M,O) 5 2 .
解 d(M , x) (3)2 52 34. d(M , y) 42 52 41. d(M , z) 42 (3)2 5. d(M ,O) 42 (3)2 52 5 2.
A r1
r3
G
D
B r2
OG OC CG r3 CG, O
1
1
OG
3 (r1
r2
r3 )
( AG 3
BG
CG ),
G是ABC的重心, AG BG CG 0,
1 OG 3 (r1 r2 r3 ).
§5.1向量及其运算p.1完
§5.2向量的乘法运算p.3
一.填空题
1.与a (2,1,2)共线且满足a x 18的向量 x 2a (4,2,4) .
解 设所求向量为 (cosa,cosb,cosc),则
cosa cosb cosc, cos2 a cos2 b cos2 c 1, cosa cosb cosc 1 ,
3
1 (1,1,1).
3
4.向量AB的终点为B(2,1,7),且在x轴, y轴, z轴上的 投影依次为4,4,7,则起点A的坐标是 (2,3,0) .
, 和 ,则a (3,3,3 2).
.
33 4
解 a 6(cos ,cos ,cos ) (3,3,3 2).
334
二.计算题(p1)
二.计算题
1.设 {1,1,1}, {2,3,5}, {2,1,2},
(1)求 || ||,|| ||,|| ||; (2)求 , ,的单位向量 0 , 0 , 0;
各分点与点A连接,试以AB c, BC a表示D1A,
D2 A,D3 A和D4 A.
解
1 D1 A AD1 ( AB BD1 ) (c 5 a),
D2 A
AD2
(c
2 5
a),
A
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3
D3 A
AD3
(c
a ), 5
D4 A
AD4
(c
4 5
a).
c
B
D 1
a D2 D3
D4
C
3.设a {3,5,8},b {2,4,7},c {5,1,4},
cos 1 ,cos 2 ,cos 1 ,
2
2
2
, ,cos .
34
3
6.已知向量a i 5 j k与b 3i j k共线,则
15, 1
5
.
解
5 1 , 15, 1 .
31
5
7.设M1(3,5, 3), M2(3, 3,5),且点M使M1M 3MM2,
(3)用 0 , 0 , 0表示 , , . 解 (1) || || 3, || || 38, || || 3;
(2) 0 1 (1,1,2), 0
3
0 1 (2, 1, 2);
3
1 (2, 3,5), 38
(3) 3 0, 38 0 , 3 0 .
2.ABC的边BC五等分,分点依次为D1, D2, D3, D4,再把
解 设A( x, y, z),则AB (2,1,7) ( x, y, z) (4, 4,7),
( x, y, z) (2,1,7) (4,4,7) (2,3,0).
5.向量a i 2 j k与各坐标轴的夹角分别
是
,,
.
343
解 a i 2 j k 2( 1 i 2 j 1 k), 22 2
2.同时垂直于a (2,2,1)与b (4,5,3)的单位向量是
1 (1, 2,2) 3
.
3.以a (1,3,1)和b (2,1,3)为两边的平行四边形
的面积S 3 10 .
4.已知a (2,1,1),b=(3,0,1),
则sin(aˆ, b)
1 11 165 2 15 30
.
5.已知
2.在Oz轴上与点A(4,1,7), B(3,5, 2)等距离的
点是
14 (0,0, )
.
9
解 设所求点的坐标为(0,0, z),则
42 12 (z 7)2 32 52 (z 2)2,
z 14 ,所求点为(0,0, 14).
9
9
3.与三坐标轴正向成等角的单位向量是 1 (1,1,1) . 3
443 443 443
(5)求与平行的单位向量为 ( 13 , 7 , 15 ).
443 443 443
三.证明题p2
三.设ABC的重心为G,O是坐标原点,OA r1,OB r2,
OC
r3 ,求证:OG
1 3 (r1
r2
r3 ).
C
证明 OG OA AG r1 AG,
OG OB BG r2 BG,