高三数学上学期12月月考试题理
高三试卷数学-湖南省株洲市第二中学2023届高三上学期12月月考数学试卷及参考答案
湖南株洲第二中学2022-2023学年上学期教学质量检测高三数学试题（B）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={0,1,2,3,4,5}，B={1,3,6,9},C={3,7,8}，则()=C B A A ．{1,2,6,5}B ．{3,7,8}C ．{1,3,7,8}D ．{1,3,6,7,8}2．与圆224240x y x y +-++=关于直线30x y -+=成轴对称的圆的方程是A ．22810400x y x y +-++=B ．22810200x y x y +-++=C ．22810400x y x y ++-+=D ．22810200x y x y ++-+=3．已知c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距，则b c a +的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．)+∞C ．(D ．(4．已知实数a ，b ，0a >，0b >，则“2a b +<”是<（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()()2|| 1.00125()e ,log 3,log 8,2x f x x a f b f c f ===-=-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b>>B ．a b c>>C ．c b a>>D ．c a b>>6．已知A 、B 、C 是半径为3的球O 的球面上的三个点，且120ACB ∠= ，AB =2AC BC +=，则三棱锥O ABC -的体积为（）A ．12B ．6C ．3D 7．过点()22M p -，作抛物线2)20(x py p >＝的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则p 的值是()A ．1B ．2C ．1或2D ．-1或28．已知奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，22log 9b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0.92c f =--，则a ､b ､c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．c a b>>二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．下列说法正确的是（）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“423a <<”是“()()22123a a ---<-”的充要条件C ．命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”D ．已知函数()y f x =的定义域为R ，则“()00=f ”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件10．对于函数()sin cos sin cos 2x x x xf x ++-=，下列结论正确的是（）A ．()f x 是以2π为周期的函数B ．()f x 的单调递减区间为()52,2Z 24k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的最小值为-1D ．()f x ≥()32,2Z 44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦11．在数列{}n a 中，已知1210,,,a a a ⋯是首项为1，公差为1的等差数列，10101101(),,,n n n a a a ++⋯是公差为n d 的等差数列，其中N*n ∈，则下列说法正确的是（）A ．当1d =时，2020a =B ．若3070a =，则2d =C ．若1220320a a a +++=L ，则3d =D ．当01d <<时，()101101n a d<-＋12．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为棱CC 1上的动点，AM ⊥平面α，下面说法正确的是（）A ．若N 为DD1中点，当AM +MN 最小时，CM=2B ．当点M 与点C 1重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C ．若点M 为CC 1的中点，平面α过点B ，则平面α截正方体所得截面图形的面积为92D ．直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为32⎣⎦三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______．14．下列四个命题中：①已知()()()sin cos 21,sin cos 2πααπαπα-+-=++则tan 1α=-；②()00tan 30tan 30-=-=-③若sin α=则1cos 2;2α=-④在锐角三角形ABC 中，已知73sin ,cos ,255A B ==则119sin .125C =其中真命题的编号有_______.15．已知定义在[2,2]-上的函数()g x 为奇函数,且在区间[0,2]上单调递增,则满足(1)()g m g m -<的m 的取值范围为______16．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知{}n a 是递增的等差数列，12,a a 是方程2430x x -+=的两根．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-.（1）求函数()f x 的解析式；并写出函数的单调区间；（2）函数()f x 在区间[3,]a -上的最小值为()g a ，求()g a 的值域.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；（3）设椭圆222:41C x y +=，若M ，N 分别是1C ，2C 上的动点，且OM ON ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值．20．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin b a C A =+，点M 是BC 的中点.（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若a =AM 的最大值.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F是椭圆的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB （O 为坐标原点）的面积的最大值．22．已知函数()2ln bf x ax x x=-+.（1）若()f x 在1x =，12x =处取得极值.①求a 、b 的值；②若存在01[,2]4x ∈，使得不等式0()0f x c -≤成立，求c 的最小值；（2）当b a =时，若()f x 在(0,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围.参考答案1．C2．C3．D4．C5．D 6．B因为AB =，120ACB ∠= ，所以，ABC的外接圆半径为1==r ，所以，三棱锥O ABC -的高为h ==，在ABC 中，由余弦定理可得()22222232cos120AB AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC ==+-⋅=++⋅=+-⋅，所以，()231AC BC AC BC ⋅=+-=，所以，1sin1202ABC S AC BC =⋅ △，因为1133O ABC ABC V S h -=⋅=△.故选：B.7．C由题意得22x y p=，x y p '=，设切点分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以切线方程为别为111()x y y x x p-=-，222()x y y x x p -=-，化简可得11x x y y p =-，22x x y y p =-由于两条切线都过M 点，所以1122x p y p -=-，2222xp y p-=-，所以点11(,)A x y ，22(,)B x y 都在直线220x y p p -+=上，所以过A ，B 两点的直线方程为220x y p p -+=，联立22+2=0=2x y p p x py-⎧⎪⎨⎪⎩，消去x 得2234840py p y y p --+=，方程2234840py p y y p --+=的判别式()2232484464640p p p p D =---×=+>由已知2124812p y y p++==，解得1p =或=2p ，故选：C.8．B解：因为奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，222229log log log 992b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()0.90.922c f f =--=，∵0.9229log 4.6log 222>>>，∴()()0.9229log 4.6log 22f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a >>.故选：B.9．ACD解：对于A ：21a >，解得1a >或1a <-，所以“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：()()22123a a ---<-，则12310230a a a a ⎧->-⎪-≠⎨⎪-≠⎩解得423a <<且32a ≠，故B 错误；对于C ：全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”正确；对于D ：因为函数()y f x =的定义域为R ，若函数()y f x =为奇函数，则()00f =，若()00f =得不到()y f x =为奇函数，若()2f x x =，故“()00f =”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：ACD 10．AD依题意，()sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)2()2x x x x f x f x πππππ+++++-++==，()f x 是以2π为周期的函数，A 正确；5sin ,2244()(Z)3cos ,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪-<<+⎪⎩，函数sin y x =在5[2,2]24k k ππππ++()k ∈Z 上单调递减，函数cos y x =在[2,2]4k k πππ+()k ∈Z 上单调递减，B 不正确；函数cos y x =在3[2,2]4k k πππ-()k ∈Z 上单调递增，因此，324x k ππ=-()k ∈Z时，min ()2f x =-，C 不正确；由()f x ≥得522(Z)44sin 2k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或322(Z)44cos 2k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解522(Z)44sin 2k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得322(Z)44k x k k ππππ+≤≤+∈，解322(Z)44cos k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得22(Z)44k x k k ππππ-≤<+∈，综上得：322(Z)44k x k k ππππ-≤≤+∈，()2f x ≥的解集是3[2,2](Z)44k k k ππππ-+∈，D正确.故选：AD 11．ACD对于A ，当1d =时，1n d =，可知数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以201(201)120a =+-⨯=，故A 正确；对于B ，由已知1010a =，101120,,,a a a ⋯是公差为d 的等差数列，则201010a d =+，202130,,,a a a ⋯是公差为2d 的等差数列，则23010101070a d d =++=，即260d d +-=，解得：2d =或3d =-，故B 错误；对于C ，1220110101010101032022d d a a a ++++=⨯+⨯+=++L ，解得：3d =，故C 正确；对于D ，210(1)110101010101011n nn d a d d d d d+-=++++=<--L ，故D 正确；故选：ACD 12．AC对于A ，由展开图如下，当AM MN +最小时，2CM AC DN AD ==，得2CM =，故A正确对于B ，如图，取各边中点连接成六边形EFGHIJ ，由立体几何知1CC ⊥平面1A BD ，1CC ⊥平面EFGHIJ ，截面1A BD周长为3=84⨯=截面EFGHIJ6=62=对于C ，取1111,A D A B 中点分别为EF ，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，(2,2,1)AM =-- ，(2,2,0)DB =，(1,0,2)DE =，由数量积可知,AM BD AM DE ⊥⊥，而BD DE D ⋂=，故AM ⊥平面BDEF ，截面BDEF 为等腰梯形，EF DB ED FB ====面积为1922⨯=，故C 正确对于D ，设(0,2,)M t (0,2,0)AB = ，平面α的一个法向量为(2,2,)AM t =-故直线AB 与平面α所成角的正弦值sin []32θ==则cos []23θ∈，故D 错误13．112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭当1n =时，112a S +=，得11a =，当2n ≥时，由()2n n a S n ++=∈N ，得112n n a S --+=，所以110n n n n a S a S --+--=，所以120n n a a --=，所以112n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：112n -⎛⎫⎪⎝⎭14．②③对于①：因为()()()sin -cos 21,sin cos 2πααπαπα+-=++所以sin cos 1,sin cos 2αααα+=-所以sin 11cos ,sin 21cos αααα+=-即tan 11,tan 12αα+=-解得tan 3α=-，故①不正确；对于②：因为()()()00sin 30sin 30tan 30tan 30;cos303cos 30---===-=--故②正确；对于③：因为sin α=所以221cos 212sin 122αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭，故③正确；对于④：因为在锐角三角形ABC 中，73sin ,cos ,255A B ==所以00,0222A B C πππ<<<<<<，所以244cos ,sin ,255A B ====所以()()sin sin +sin +C A B A B π⎡⎤=-=⎣⎦73244117sin cos +cos sin +255255125A B A B ==⨯⨯=，故④不正确，故答案为：②③．15．1(,2]2∵()g x 为奇函数，且在[0,2]上为增函数，∴()g x 在[2,2]-上为增函数．∵(1)()g m g m -<，∴1-212-22m mm m -<⎧⎪≤-≤⎨⎪≤≤⎩，解得122m <≤．故答案为1(,2]2．16．5解：设顶角为θ，由余弦定理可得：2236121221212cos θ=+-⨯⨯⨯，解得：7cos 8θ=，sin θ∴=再由正弦定理可得62sin R θ=，2R ∴=R ∴故答案为：5．17．（1）221,n n a n S n =-=；（2）21n nT n =+（1）∵{}n a 是递增的等差数列,∴12a a <，又12,a a 是方程2430x x -+=的两根，∴121,3a a ==，∴21312d a a =-=-=，∴1(1)221n a n n =+-⨯=-.（2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+,∴11111111(1...)(1)2335212122121n n S n n n n =-+-++-=-=-+++.18．（1）()224,04,0x x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,；（2）[]4,3-（1）当0x <时，0x ->()()()2244f x x x x x∴-=---=+()f x 为奇函数()()24f x f x x x∴=--=--()f x 为R 上的奇函数()00f ∴=，满足()24f x x x=--()224,04,0x x x f x x x x ⎧->∴=⎨--≤⎩()f x \的单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,（2）当31a -<<-时，()()min 39123f x f =-=-+=，即()3g a =当10a -≤≤时，()()2min 4f x f a a a ==--，即()24g a a a =--()[]0,3g a ∴∈当02a <<时，()()2min 4f x f a a a ==-，即()24g a a a=-()()4,0g a ∴∈-当2a ≥时，()()min 2484f x f ==-=-，即()4g a =-综上所述：()g a 的值域为[]4,3-19．（1）根据题意可得1C的左顶点为(，设直线方程为2y x =+，与另一条渐近线y =联立求得交点坐标为1()42-，所以对应三角形的面积为112228S =⨯=；（2）设直线PQ 的方程是y x b =+，因直线与已知圆相切，1=，即b =由2221y x b x y =+⎧⎨-=⎩得()22210x bx b --+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122x x b +=，212(1)x x b ⋅=-+，则()()2222212121212221220OP OQ x x y y x x b x x b b b b b ⋅=+=+++=--++=-= ，故OP OQ ⊥；（3）当直线ON 垂直于x 轴时，1ON =，OM =MN =则O 到直线MN的距离为12d =．当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y kx =（显然2k >），则直线OM 的方程为1=-y x k.由y kx =与椭圆方程联立，得2214x k =+，2224k y k =+，所以22214k ON k+=+.同理222121k OM k +=-.设O 到直线MN 的距离为d ，则由12OM ON d ⋅=，得2221113d OMON=+=．综上，O 到直线MN .20．（Ⅰ）3A π=；（Ⅱ）32.（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos sin 3B AC C A =+.又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，∴tan A A π=<<，即3A π=.（Ⅱ）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆和ACM ∆中，由余弦定理得，2232cos 4c AM AM AMB =+-∠，①2232cos 4b AM AM AMC =+-∠.②由①②，得22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32.方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴2AB ACAM += ，两边平方得()22214AM b c bc =++，∴22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32.21．(1)2214x y +=；(2)1.(1)椭圆C 的半焦距为c ，离心率c e a ==因过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长为1，将x c =-代入椭圆C 方程得：2b y a =±，即221b a =，则有222221c e a b aa b c ⎧=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由(1)知，2F ，依题意，直线l 的斜率不为0，则设直线l的方程为x my =()11,A x y ，()22,B x y ，由2244x y x my ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩消去x 并整理得：()22410m y ++-=，12y y +=，12214y y m =-+，OAB的面积2122121122S OF y OF y y y =+-，12y y -==，设)1t t =≥，221m t =-，122244343t y y m t t t-===+++，3t t+≥，当且仅当t =，22m =时取得“=”，于是得1243y y t t-=≤+121S y y =-≤，所以OAB 面积的最大值为1.22．（1）11,33--，7126n -+；（2）[(0)，-∞⋃+∞试题分析：（1）①先求()f x '，根据函数在11,2x x ==处取得极值，则()110,()02f f ''==，代入可求得,a b 的值；②转化为()min c f x ≥，从而求函数()f x 在区间1[,2]4上的最小值，从而求得c 的值；（2）当a b =时，()2ln af x ax x x=-+，①当0a =时，符合题意；②当0a ≠时，分0,0a a ><讨论()f x 在(0,)+∞上正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a 的取值范围．试题解析：（1）①∵()21bf x ax nx x=-+，∴()21'2b f x a x x =++，∵()f x 在1x =，12x =处取得极值，∴()10f '=，102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，即2102420a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴所求a 、b 的值分别为11,33--.②在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在0x ，使得不等式()00f x c -≤成立，只需[]min c f x ≥（），由()()()2222211211231'3333x x x x f x x x x x x ---+=--+=--，∴当1142x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '<，故()f x 在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是单调递减；当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '>，故()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增；当[]12x ∈，时，()0f x '<，故()f x 在[]12，是单调递减；∴12f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值，()1111711221223236f n n f n ⎛⎫=+=-=-+ ⎪⎝⎭，且()321321411422f f n ne n ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又3160e -＞，∴321140ne n ＞-，∴[]2min f x f =（）（），∴()7126min c f x m ⎡⎤≥=-+⎣⎦，∴c 的取值范围为7126n ，⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭，所以c 的最小值为7126n -+.（2）当a b =时，222ax x a f x x（）++='，①当0a =时，()1f x nx =，则()f x 在()0,+∞上单调递增；②当0a >时，∵0x >，∴220ax x a ++>，∴()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增；③当0a <时，设()22g x ax x a =++，只需0≤ ，从而得4a ≤-，此时()f x 在()0,+∞上单调递减；综上得，a 的取值范围是][04⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，，点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中（1）①考查了函数取得极值的性质，若函数在0x 处取得极值，则0()0f x =，但0()0f x '=，0x 不一定是函数的极值点，即某点的导数为0是该点为极值的必要不充分条件；②注意是“存在14x ∈[,2]，使得0()c f x ≥成立，等价于()min c f x ≥”（2）结合极值考查了函数的额单调性，需要分类讨论思想在解题中的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力．。
2022-2023学年北京理工大学附属中学高三上学期12月月考数学试题含详解
2022—2023学年度第一学期高三年级数学学科12月练习一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，则（）A.ABB.BAC.A B B⋃= D.A B ⋂=∅2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A.()1,0 B.()2,0 C.()0,1 D.()0,23.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1y x =-+ B.()21y x =- C.ln y x= D.12y x=4.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若132,12a S ==，则4S =A.24B.20C.16D.105.已知平面向量()0,1,0a = ，130,,22b ⎛=- ⎝⎭ ，则a 与a b + 的夹角为（）A.π3B.2π3C.π6D.5π66.直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是（）A .相交B.相切C.相离D.不确定7.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且()()5f x f x +=.若()21f >，()3f a =，则（）A .3a <- B.3a > C.1a <- D.1a >8.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是（）A.//m β，αβ∥B.m β⊥，αβ⊥C.m n ⊥，n α⊥，m α⊄ D.m 上有不同的两个点到α的距离相等9.我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线2(0)y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z，得截面圆的面积为2l ππ=.由此构造右边的几何体1Z ：其中AC ⊥平面α，AC L =，1AA α⊂，1AA π=，它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，且PQ π=，FP l =，则几何体Z 的体积为A.2L πB.3L π C.212L πD.312L π10.在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111D C B A 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A.0个B.1个C.2个D.3个二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若0.31(2a =，20.3b -=，12log 2c =，则a ，b ，c 按从大到小的顺序排列依次为______．12.圆C ：222210x y x y +--+=的圆心坐标是__________；直线l ：0x y -=与圆C 相交于A ，B 两点，则||AB =__________．13.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p =_________．14.已知ABC ，6a =，给出下列结论：①若10b =，3A π=，则B 的值唯一；②若6A π=，则ABC S 有最大值；③若10b c +=，则cos A 的最小值为725.其中，所有正确的结论序号为___________.15.已知函数(2)(),1,()1, 1.x a a x x f x a x --≤=->（1）若0a =，[04],x ∈，则()f x 的值域是________；（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．三､解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,ωϕπ><的图像如图所示.（1）求,ωϕ的值；（2）设()()4g x f x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间.17.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．18.已知函数()1e ln xf x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中R a ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线exy =-垂直，求a 的值；（2）当()0ln2a ∈，时，证明：()f x 存在极小值.19.已知椭圆C 的两个焦点分别为()1F ，)2F ，短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点，过M 点作两条互相垂直的直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，直线AB 是否过定点？并求出DAB 面积的最大值.2022—2023学年度第一学期高三年级数学学科12月练习一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，则（）A.A BB.BAC.A B B⋃= D.A B ⋂=∅B【分析】判定出两集合的关系判断选项AB ；求得A B A ⋃=否定选项C ；求得A B ⋂≠∅否定选项D.【详解】由{}|0A x x =≥，{}0,1,2B =，可得B A故选项A 判断错误；选项B 判断正确；{}{}{}0||0,1,20A B x x x x B =⋃=≥≥≠⋃，则选项C 判断错误；{}{}{}00,1,20,1|,2A B x x ⋂=≥⋂=≠∅，则选项D 判断错误.故选：B2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为A.()1,0 B.()2,0 C.()0,1 D.()0,2B 【分析】【详解】试题分析：∵2(1i )(1i)1i 2z =+-=-=，∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()2,0.考点：复数的乘法运算、复数与复平面的点的对应关系.3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.1y x =-+ B.()21y x =- C.ln y x= D.12y x=D【分析】利用一次函数单调性判断选项A ；利用二次函数单调性判断选项B ；化简ln y x =，则可得到单调区间，即可判断选项C ；利用幂函数单调性判断选项D.【详解】1y x =-+在区间()0,∞+上单调递减，则选项A 判断错误；()21y x =-在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增,则选项B 判断错误；ln ,1ln ln ,01x x y x x x ≥⎧==⎨-<<⎩在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增,则选项C 判断错误；12y x =在区间()0,∞+上单调递增，则选项D 判断正确故选：D4.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是它的前n 项和，若132,12a S ==，则4S =A.24 B.20C.16D.10B【分析】根据等差数列的前n 项和公式化简312S =，将12a =代入求出公差d 的值，然后由首项1a 和公差d ，利用等差数列的前n 项和公式求出4S 即可．【详解】由132,12a S ==得3132363122S a d d ⨯=+=+=解得2d =所以41434812202S a d ⨯=+=+=故选B.【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，属于基础题．5.已知平面向量()0,1,0a =，10,,22b ⎛=- ⎝⎭，则a 与a b + 的夹角为（）A.π3B.2π3C.π6D.5π6A【分析】由题意可得1(0,,22a b += ，设a 与a b + 的夹角为θ，由()cos ||||a a b a a b θ⋅+=⋅+求解即可.【详解】解：因为()0,1,0a = ，130,,22b ⎛=- ⎝⎭，所以13(0,,22a b += ，设a 与a b +的夹角为θ，则1()12cos 112||||a a b a a b θ⋅+===⨯⋅+，又因为[0,π]θ∈，所以π3θ=.故选：A6.直线l ：10mx y m -+-=与圆C ：22(1)5x y +-=的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定A 【分析】由直线方程可得直线过定点(11)，，又点(11)，在圆内，得到答案.【详解】直线l ：10mx y m -+-=过定点(11)，，因为221(11)5+-<，则点(11)，在圆22(1)5x y +-=的内部，∴直线l 与圆相交，故选：A.7.定义在R 上的函数()f x 为奇函数，且()()5f x f x +=.若()21f >，()3f a =，则（）A.3a <-B.3a > C.1a <- D.1a >C【分析】由()()5f x f x +=可知函数()f x 的周期为5，即()()23f f a -==，再结合函数()f x 为奇函数，所以()()221f f a =--=->，进而可得1a <-.【详解】因为()()5f x f x +=，所以函数()f x 的周期为5，所以()()23f f a -==，又因为函数()f x 为奇函数，所以()()221f f a =--=->，所以1a <-.故选：C.8.已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，那么使//m α成立的一个充分条件是（）A.//m β，αβ∥B.m β⊥，αβ⊥C.m n ⊥，n α⊥，m α⊄ D.m 上有不同的两个点到α的距离相等D【分析】根据直线与平面，平面与平面的关系可得.【详解】对于A 项，//m β，αβ∥则可能m α⊂，故A 不正确；对于B 项，m β⊥，αβ⊥则可能m α⊂，故B 不正确；对于C 项，m n ⊥，n α⊥，m α⊄，则//m α，故C 正确；对于D 项，m 上有不同的两个点到α的距离相等，则可能m 与α相交故选：D9.我国南北朝时期的科学家祖暅，提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：如果两个等高的几何体，在等高处的截面积恒等，则这两个几何体的体积相等.利用此原理求以下几何体的体积：曲线2(0)y x y L =≤≤绕y 轴旋转一周得几何体Z ，将Z 放在与y 轴垂直的水平面α上，用平行于平面α，且与Z 的顶点O 距离为l 的平面截几何体Z ，得截面圆的面积为2l ππ=.由此构造右边的几何体1Z ：其中AC ⊥平面α，AC L =，1AA α⊂，1AA π=，它与Z 在等高处的截面面积都相等，图中EFPQ 为矩形，且PQ π=，FP l =，则几何体Z 的体积为A.2L πB.3L π C.212L π D.312L πC【分析】通过截面面积相等可求得BC 的长度，再利用三棱柱体积公式即可求解.【详解】由题意可知：在高为L 处，截面面积为L π，且截面面积相等11BB C C S L π∴=BC L ⇒=111212ABC A B C ABC V S L ππ-∆∴=⋅=本题正确选项：C 【点睛】本题考查空间几何体中柱体体积的求解，属于基础题.10.在一个正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形1111D C B A 四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，,M N 分别为,AB BC 中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段1D Q 与OP 互相平分，则满足MQ MN λ=的实数λ的值有A.0个B.1个C.2个D.3个C【详解】因为线段D 1Q 与OP 互相平分，所以四点O ，Q ，P ，D 1共面，且四边形OQPD 1为平行四边形．若P 在线段C 1D 1上时，Q 一定在线段ON 上运动，只有当P 为C 1D 1的中点时，Q 与点M 重合，此时λ＝1，符合题意．若P 在线段C 1B 1与线段B 1A 1上时，在平面ABCD 找不到符合条件Q ；在P 在线段D 1A 1上时，点Q 在直线OM 上运动，只有当P 为线段D 1A 1的中点时，点Q 与点M 重合，此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个故选C.二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若0.31(2a =，20.3b -=，12log 2c =，则a ，b ，c 按从大到小的顺序排列依次为______．b ac >>【分析】可看出0.321210()1,031,log 202．-<<，从而比较出a ，b ，c 的大小．【详解】解：0.30110(()122<<=，200.30.31->=，1122log 2log 10<=；b ac ∴>>．故答案为b a c >>．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，根据单调性比较数的大小的方法．12.圆C ：222210x y x y +--+=的圆心坐标是__________；直线l ：0x y -=与圆C 相交于A ，B 两点，则||AB =__________．①.(1,1)②.2【分析】由圆的一般式方程，利用配方法，整理得圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，根据圆心与已知直线的位置关系，可得答案.【详解】圆22:2210C x y x y +--+=，即22(1)(1)1x y -+-=，所以圆心为(1,1),半径为1,圆心(1,1)在直线:0l x y -=上,所以AB 为直径，所以2AB =.故答案为：(1,1)；2.13.若抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，则p =_________．4【分析】根据双曲线顶点和抛物线焦点相关知识直接求解即可.【详解】双曲线2214x y -=右顶点坐标为()2,0，抛物线22y px =的焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为抛物线22y px =的焦点与双曲线2214x y -=的右顶点重合，所以22p=，即4p =.故答案为：414.已知ABC ，6a =，给出下列结论：①若10b =，3A π=，则B 的值唯一；②若6A π=，则ABC S 有最大值；③若10b c +=，则cos A 的最小值为725.其中，所有正确的结论序号为___________.②③【分析】利用正弦定理，余弦定理以及均值不等式逐项进行检验即可求解.【详解】对于①，因为10b =，3A π=，由正弦定理可得：sin sin a b A B =，所以5sin sin 1326b B A a ==⨯=>，所以ABC 无解，故①错误；对于②，由余项定理可得：2222cos a bc bc A =+-，也即2236(2b c bc =+≥-（当且仅当b c =时取等号）所以36(2bc ≤=+，则11sin 9(224ABC S bc A bc ==≤+ ，所以ABC S 有最大值，故②正确；对于③，由余弦定理可得：22222()232cos 122b c a b c bc a A bc bc bc+-+--===-，又因为2()252b c bc +≤=（当且仅当b c =时取等号），所以327cos 12525A ≥-=，故③正确，故答案为：②③.15.已知函数(2)(),1,()1, 1.x a a x x f x a x --≤=->（1）若0a =，[04],x ∈，则()f x 的值域是________；（2）若()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是_________．①.[1,1]-②.(,0)-∞【详解】（1）因为0a =时，2,1,()1, 1.x x f x x -≤=->，01x ≤<时，210,x -≤-<14x ≤≤时，011,≤-≤所以，[04],x ∈，则()f x 的值域是[]1,1-；（2）当1a >时，没有零点；当1a =时有一个零点1x =，当01a <<时，有一个或有两个零点，当0a =时只有一个零点，当a<0时，有三个零点()2,2,1x a x a x a ===-，所以()f x 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是(),0-¥，故答案为[]1,1-，(),0-¥.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和性质、函数的零点与方程、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.三､解答题共4小题，共55分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,ωϕπ><的图像如图所示.（1）求,ωϕ的值；（2）设()()4g x f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间.（1）2ω=，2πϕ=-；（2）[,]()2828k k k Z ππππ-+∈.【分析】（1）由图象可知44T π=，则T π=，可求出2ω=，再根据图象过点(,1)2π，求出ϕ的值；（2）利用第（1）题的结果，化简()f x ，再得出()g x 的解析式，利用正弦函数的单调性，求复合函数的单调区间.【详解】解：（1）由图可知44T π=，则T π=，22πωπ∴==，图象过点(,1)2π，则2222k ππϕπ⨯+=+，()k ∈Z 22k πϕπ∴=-又ϕπ<Q ，2πϕ∴=-，故2ω=，2πϕ=-；（2）由（1）可得()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，则()()()4g x f x f x π=-cos 2[cos 2()]4x x π=---cos 2sin 2x x =1sin 42x =由24222k x k ππππ-≤≤+，解得2828k k x ππππ-≤≤+，故函数()g x 的单调递增区间为[,]()2828k k k Z ππππ-+∈.【点睛】本题考查了由三角函数的图象求解析式，余弦型复合函数的单调区间求解问题，属于中档题.17.如图1，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E 分别是AC，AB 上的点，且DE∥BC，DE＝2．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C⊥CD，如图2．(1)求证：A 1C⊥平面BCDE；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．（1）略（2）4π(3)见解析【考点定位】此题第二问是对基本功的考查，对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解答．第三问的创新式问法，难度非常大【详解】试题分析：（1）证明A 1C ⊥平面BCDE ，因为A 1C ⊥CD ，只需证明A 1C ⊥DE ，即证明DE ⊥平面A 1CD ；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A 1BE 法向量，=（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a ∈[0，3]，求出平面A 1DP 法向量为假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．（1）证明：∵CD ⊥DE ，A 1D ⊥DE ，CD∩A 1D=D ，∴DE ⊥平面A 1CD ，又∵A 1C ⊂平面A 1CD ，∴A 1C ⊥DE又A 1C ⊥CD ，CD∩DE=D∴A 1C ⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C （0，0，0），D （﹣2，0，0），A 1（0，0，2），B （0，3，0），E （﹣2，2，0）∴，设平面A 1BE 法向量为则∴∴∴又∵M （﹣1，0，），∴=（﹣1，0，）∴∴CM 与平面A 1BE 所成角的大小45°（3）解：设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为（0，a ，0），则a ∈[0，3]∴，设平面A 1DP 法向量为则∴∴假设平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，则，∴3a+12+3a=0，6a=﹣12，a=﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直考点：向量语言表述面面的垂直、平行关系；直线与平面垂直的判定；用空间向量求直线与平面的夹角．18.已知函数()1e ln x f x a x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中R a ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e x y =-垂直，求a 的值；（2）当()0ln2a ∈，时，证明：()f x 存在极小值.（1）0a =（2）见解析【分析】（1）由题意，求得函数的导数()f x '，由()1e f '=，即可求得a 的值；（2）求得导数()f x '，得到()f x '与221ln a x x x +-+同号，构造()221ln g x a x x x =+-+，求得()g x '，求得函数()g x 在存在01(,1)2x ∈，使得()00g x =，进而得到()f x 在1(,1)2上的调性，即可作出证明.【小问1详解】()f x 的导函数为()2211121e ln e e ln x x xf x a x a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+++-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⋅⎝⋅⎭⎭⎭，依题意，有()()1e 1e f a +'==，解得0a =.【小问2详解】由()221e ln x f x a x x x ⎛⎫'=++- ⎪⋅⎝⎭及e 0x >知：()f x '与221ln a x x x++-同号.令()221ln g x a x x x =++-，则()2322x x g x x -+'==()2311x x-+.所以对任意()0,x ∈+∞，有()0g x '>，故()g x 在()0,x ∈+∞单调递增.因为0ln2a ∈（，），所以110g a =+>（），012ln 2g a ⎛⎫ ⎪-⎝=<⎭故存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =.()f x 与()f x '在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上的情况如下：x 01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭0x ()0,1x ()f x '-0+()f x ↘极小值↗所以()f x 在区间01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间()0,1x 上单调递增.所以()f x 存在极小值()0f x .【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，以及函数问题的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.19.已知椭圆C 的两个焦点分别为()1F ，)2F ，短轴长为2.（1）求椭圆C 的标准方程及离心率；（2）M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点，过M 点作两条互相垂直的直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，直线AB 是否过定点？并求出DAB 面积的最大值.（1）2214x y +=，32e =（2）直线过定点，DAB 面积的最大值6425【分析】（1）根据条件求出,,a b c 的值即可；（2）联立直线方程x ty m =+和椭圆方程后利用两直线垂直可算出m ，然后利用点到直线的距离算三角形面积，利用函数性质求最值即可.【小问1详解】解：由题意得：c =22b =故可知2224a b c =+=椭圆方程为：2214x y +=，离心率为：32c e a ==【小问2详解】M ，D 分别为椭圆C 的左､右顶点又由（1）可知：(2,0)M -设直线AB 的方程为：x ty m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 联立方程可得：22222(4)24044x ty m t y mty m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩有韦达定理可知：12224mt y y t +=-+，212244m y y t -=+又2AMB π∠=()()12121212122202()40x x y y x x x x y y ∴+++=⇒++++=又1122x ty m x ty m=+⎧⎨=+⎩ 221212(1)(2)()(2)0t y y mt t y y m ∴++++++=2222222(1)(4)24(44)(4)0t m m t mt m m t +---++++=展开后整理得：2516120m m ++=，解得：65m =-或2m =-（舍去）65x ty ∴=-直线恒过定点6(,0)5-()()122122125464254t y y t y y t ⎧+=⎪+⎪∴⎨⎪=-⎪+⎩12216322564(2)25254DAB S y y t =+-==⋅+V 令(8)u u =≥则2232323236642536425DAB u u S u u u u =⋅==-+++△由对勾函数的单调性可知：363625882u u +≥+=所以6425DAB S ≤V ，当且仅当8u =，即0=t 时取等号此时DAB S 的最大值为：6425。
2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题 1．已知复数i2iz =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i 55+B ．12i 55-C ．21i 55+D ．21i 55-【答案】B【分析】根据复数的运算公式求复数z 的代数形式，再求其共轭复数即可. 【详解】()()()i 2i i 12i 12=i 2i 2i 2i 555z -+===+++-， 所以z 的共轭复数为12i 55-，故选：B.2．已知集合()(){}120A x x x =+-<，{}Z 1B x x =∈≥，则()A B =R （ ） A ．[]{}1,21⋃- B ．[]1,2C ．{}1,1,2-D ．{}1,2【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解绝对值不等式求得集合B ，由此求得()A B ⋂R . 【详解】由120x x，得1x <-或2x >，所以[]1,2R A =-；由1x ≥，得1x ≤-或1x ≥，所以{Z|1B x x =∈≤-或}1x ≥， 从而(){}1,1,2A B ⋂=-R ． 故选：C3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，若()()12436P X P X >=⋅<，则()23P X <<=（ ） A ．13B ．14C ．16D ．19【答案】A【分析】利用对称性可得(2)(4)P X P X <=>结合条件可求()2P X <，再由 1(2)(4)(23)2P X P X P X -<-><<=求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，又()()12436P X P X >=⋅<， 所以1(2)(4)6P X P X <=>=， 故1111(2)(4)166(23)223P X P X P X =---<-><<==. 故选：A.4．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（ ）A ．27πB ．C ．D ．16π【答案】A【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则r l 2π=π，所以2l r =，=，所以213r π⨯=，解得3r =，故其表面积291827S r rl πππππ=+=+=；故选：A ．5．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.6．已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a，可得2ba =，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.7．如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，13AA =，2AB =，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A ．513B ．713C ．913D ．1213【答案】B【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于1A B ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.【详解】取11A C 的中点D ，连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ， 则1//DE A B 且112DE A B =，则1DEB ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角． 易求1113A B BC =13B D ，则113DE B E ==， 所以222111113133744cos 21313132DE B E B D DEB DE B E +-+-∠===⋅⨯⨯. 故选：B ．8．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数()1f x +为奇函数，当[]0,1x ∈时，()2xf x k a =⋅+，若()()036f f +=，则()2log 96f =（ ）A ．2B ．0C ．-3D ．-6【答案】C【分析】根据条件，可以证明()f x 是周期为4的周期函数，计算出a 和k ，由周期性可得()()22log 961log 3f f =+ ，再利用函数的对称性即可求解.【详解】因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，又()f x 为偶函数， 所以()()11f x f x -+=-，所以()()11f x f x -=-+，即()()2=-+f x f x ， 所以()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 是以4为周期的周期函数；由()()11f x f x -+=-+，易得()10f =，()()()3110f f f =-==，所以()06f =， 所以6k a +=，20k a +=，解得6k =-，12a =；所以()()()222log 965log 31log 3f f f =+=+()23log 2223log 31log 621232f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=--⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故选：C ．9．已知0a b >>，0c d <<，则（ ） A ．a b d c> B ．a b d c< C ．ac bd < D ．ac bd >【答案】BC【分析】利用不等式的基本性质判断不等关系． 【详解】因为0c d <<，所以0cd >，所以110d c <<，所以110d c->->，又0a b >>，所以a b d c ->-，所以a bd c<，故 A 错误，B 正确； 因为0a b >>，0c d ->->，所以ac bd ->-，所以.ac bd <故D 错误，C 正确． 故选：BC ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．若22n S n n =-，则{}n a 是等差数列 B ．若121n n S +=-，则{}n a 是等比数列 C ．若{}n a 是等差数列，则202310122023S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，则221212n n n S S S -+⋅> 【答案】AC【分析】利用n a 与n S 的关系，结合等差数列与等比数列的定义，可得A 、B 的正误；根据等差中项以及等差数列求和公式，可得C 的正误；取1n =时的特殊情况验证不等式，可得D 的正误.【详解】对于A ，若22n S n n =-，则11a =，当2n ≥时，143n n n a S S n -=-=-，显然1n =时也满足43n a n =-， 故43n a n =-，由14n n a a --=，则{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，若121n n S +=-，则13a =，2214a S S =-=，3328a S S =-=，显然3212a a a a ≠，所以{}n a 不是等比数列，故B 错误； 对于C ，因为{}n a 为等差数列，则()12023101220231012202320232202322a a a S a +⨯===，故C 正确；对于D ，当1n =时，()()222222132111110S S S a q q a q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时，不等式不成立，即221212n n n S S S -+⋅>不成立，故D 错误．11．关于函数()()π3sin 21R 3f x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+∈，下列说法正确的是（ ）A ．若()()121f x f x ==，则()12πZ x x k k -=∈B ．()y f x =的图像关于点2π,13⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()y f x =的图像向右平移π12个单位长度后所得图像关于y 轴对称【答案】BD【分析】对于A ，根据三角函数的对称中心性质即可判断； 对于B ，可根据对称中心对应的函数值特征即可判断； 对于C ，根据三角函数单调性判断即可；对于D ，求出平移后的解析式并根据偶函数的性质进行判断即可.【详解】对于A ，由()()121f x f x ==知()1,1x ，()2,1x 是()π3sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的两个对称中心，则12x x -是函数()f x 的最小正周期的整数倍，即()12πZ 2k x x k -=∈，故A 不正确； 对于B ，因为2π3sin π113f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π,13⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，故B 正确；对于C ，由()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈解得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈， 当0k =时，()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 不正确；对于D ，()y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象对应的函数ππ3sin 213cos 21123y x x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ()()3cos213cos21()f x x x f x ∴-=--+=-+=3cos 21y x =-+是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故D 正确.故选：BD.12．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）A ．存在某个位置，使直线BD 与平面ABC 所成的角为45°B ．当二面角D AC B --为23π时，三棱锥D ABC - C ．当平面ACD ⊥平面ABC 时，异面直线AB 与CD 的夹角为60°D ．O 为AC 的中点，当二面角D AO B --为23π时，三棱锥A OBD -外接球的表面积为10π 【答案】ACD【分析】A.当当平面ACD ⊥平面ABC ，即可判断；B.根据锥体体积公式，即可求解； C.将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即可求解； D.将三棱锥补体为三棱柱，即可求球心和半径.【详解】A.当平面ACD ⊥平面ABC 时，取AC 的中点O ，连接,BO DO ，DO AC ⊥，DO ∴⊥平面ABC ，DBO ∴∠为直线BD 与平面ABC 所成的角， DBO 是等腰直角三角形，45DBO ∴∠=，故A 正确；B.DO AC ⊥，BO AC ⊥，DO BO O ⋂=，AC ∴⊥平面DBO ，且23DOB π∠=， AC ⊂平面ABC ，∴平面DBO ⊥平面ABC ，且交于BO ，∴点D 在平面ABC 的射影落在BO 上，∴点D 到平面ABC 的距离6sin 602d DO =⋅=，三棱锥D ABC -的体积1166223223V =⨯⨯⨯⨯=，故B 错误；C.取,BC BD 的中点,M N ，连接,,OM ON MN ，则//OM AB ，/MN DC ，所以OMN ∠或其补角是异面直线AB 与CD 的夹角，根据A 的证明可知()()22222BD =+=，112ON BD ==，且1OM MN ==，所以OMN 是等边三角形，60OMN ∠=，故C 正确；D.由条件可知AO ⊥平面DOB ，23DOB π∠=，且DO OB =，所以可以将四棱锥A DOB -补成底面是菱形的直棱柱因为四边形OBCD 是菱形，且23BOD π∠=，所以点C 是底面OBD 外接圆的圆心，取侧棱1CC 的中点E ，则E 是四棱柱外接球的球心，连结OE ，()222221022OE OC CE ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以四棱锥A OBD -外接球的半径10R =2410S R ππ==，故D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知向量()3,1a =-，(),2b m =，且()2a a b ⊥+，则+=a b ______． 85 【分析】由向量线性运算及垂直的数量积表示可得方程解出m ，即可由坐标计算向量模. 【详解】()()()23,12,223,5a b m m +=-+=-，由()2a a b ⊥+得()()()23,123,5a a b m ⋅+=-⋅-6950m =-++=，解得73m =． 则()723,1,2,333a b ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2228533a b ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭85. 14．63x x ⎛⎝展开式的常数项为______.【答案】2160【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.【详解】6(3x展开式的通项公式为36662166C (3)(3(2)C ,N,6r r r r r r rr T x x r r ---+==⋅-∈≤， 令3602r -=，解得4r =，则244563(2)C 916152160T =⋅-=⨯⨯=， 所以展开式的常数项为2160. 故答案为：216015．已知函数()()()10 ln f x x x =+≥，将()f x 的图象绕原点逆时针旋转(]()0,ααθ∈角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为______．【答案】π4##1π4【分析】求得()f x 在点()0,0处的切线方程，从而求得正确答案. 【详解】依题意0x ≥， ()11f x x '=+，所以()01f '=，故函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线为y x =， 切线向上的方向与y 轴正方向的夹角为π4，函数()f x 的图象绕原点旋转不超过π4时，仍为某函数图象，若超过π4，y 轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故θ的最大值为π4．故答案为：π416．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则3P =_________；该棋手获胜的概率为__________． 【答案】34##0.75 85256【分析】根据题意找出(38)n P n ≤≤与21,n n P P --的关系即可求解. 【详解】由题311132224P =+⨯=，因为2111(38)22n n n P P P n --=+≤≤，故11112n n n n P P P P ----=--，由2112P P -=-，所以111,22n n n P P n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，累加可得：2878108111118518521,1222128225612P P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-+⋅⋅⋅+-==== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭．故答案为：34；85256.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()22214cos a b B ab +-=-，且2cos c b B =．(1)求B ；(2)若ABC 的周长为423+，求BC 边上中线的长． 【答案】(1)π6B = (2)7．【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得2π3C =，再由正弦定理求B . （2）由（1）求出角A ，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC 边上中线的长．【详解】（1）由()22214cos a b B ab +-=-，有22224cos a b b B ab +-=-，又2cos c b B =，所以2224cos c b B =，即222a b c ab +-=-， 由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-． 又()0,πC ∈，所以2π3C =，由2cos c b B =及正弦定理，得sin 2sin cos C B B =，所以3sin 22B =， 由π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得2π20,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23B =，解得π6B =.（2）由（1）可知π6B =，2π3C =，所以π2πππ636A =--=， 所以a b =，由2cos c b B =，得3c a =． 因为ABC 的周长为423+，所以3423a a a ++=+，解得2a =． 设BC 的中点为D ，则112CD BC ==，如图所示:AD==，所以BC．18．已知数列{}n a的前项和为n S，若()12n nnS n S+=+，且11a=.(1)求{}n a的通项公式;(2)设()2112nn nb na a-=≥，11b=，数列{}n b的前n项和为n T，求证32nT<.【答案】(1)n a n=(2)证明见解析【分析】（1）由已知等式可得12nnS nS n++=，采用累乘法可求得当2n≥时的nS，利用1n n na S S-=-可求得n a，检验首项后可得结论；（2）由（1）可得2n≥时nb的通项，由()()112122nbn n n n=<--，采用裂项相消法可求得11112nTn⎛⎫<+-⎪⎝⎭，由1n>可得结论.【详解】（1）由()12n nnS n S+=+得：12nnS nS n++=，则当2n≥时，()123211232111143123212n n n nn n nn nS S S S S S n n nS S S S S S n n n-----++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---，又111S a==，()12nn nS+∴=，()()11122n n nn n n na S S n-+-∴=-=-=，经检验：11a=满足na n=；()na n n*∴=∈N.（2）由（1）得：当2n≥时，()()11111212221nbn n n n n n⎛⎫=<=-⎪---⎝⎭；123111111111112223341n n nT b b b b bn n-⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅++<+-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪-⎝⎭11112n⎛⎫=+-⎪⎝⎭，1n>，111n∴-<，1113111222nTn⎛⎫∴<+-<+=⎪⎝⎭.19．2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.(1)赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y (秒)与训练天数x (天)有关，经统计得到如下表数据：经研究发现，可用b y a x=+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为多少秒？(2)小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为35，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．参考数据：(其中1i t x =) 参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221n i ii n i i u v nu v unu β==-⋅=-∑∑，v u αβ=-⋅. 【答案】(1)100013ˆ0=+yx；150； (2)513625． 【分析】(1)令1t x =，则可利用最小二乘法估计ˆˆˆy bt a =+，从而得到ˆˆˆb y a x=+，代入x =50即可预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度；(2)设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，最后一局一定是小明获胜，且最多再进行4局就结束比赛分出胜负，则小明赢得比赛得概率P =P (X =2)+P (X =3)+P (X =4)．【详解】（1）由题意，()19909904503203002402105007y =++++++=，令1t x =，设y 关于t 的线性回归方程为ˆˆˆy bt a =+， 则7172217184570.37500ˆ10000.557i ii i i t y t y b tt ==-⋅-⨯⨯===-∑∑， 则ˆ50010000.37130=-⨯=a， ∴100013ˆ0=+yt ， ∴y 关于x 的回归方程为100013ˆ0=+y x， 当50x =时，ˆ150=y， ∴预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为150秒；（2）设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负，X 的可能取值为2、3、4．当2X =时，小明4∶1胜，∴()33925525P X ==⨯=； 当3X =时，小明4∶2胜，∴()12333363C 1555125P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭； 当4X =时，小明4∶3胜，∴()2133331084C 1555625P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭． ∴小明最终赢得比赛的概率为93610851325125625625++=． 20．如图，圆台下底面圆O 的直径为AB ， C 是圆O 上异于,A B 的点，且30BAC ∠=，MN 为上底面圆O '的一条直径，MAC △是边长为23的等边三角形，4MB =.(1)证明：BC ⊥平面MAC ；(2)求平面MAC 和平面NAB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析313【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【详解】（1）∵AB 为圆台下底面圆O 的直径，C 是圆O 上异于,A B 的点，故=90ACB ︒∠又∵=30BAC ︒∠，23AC =，∴4AB MB ==∵AC MC =，BC BC =∴ABC MBC ≅，∴=90BCM ︒∠∴BC MC ⊥，又∵BC AC ⊥，AC MCC ，,AC MC ⊂平面MAC ∴BC ⊥平面MAC（2）取AC 的中点，连接,DM DO ，则MD AC ⊥，由(1)可知，BC DM ⊥∵AC BC C =，∴DM ⊥平面ABC ， 又∵OD AC ⊥∴以D 为原点，DA 为x 轴，DO 为y 轴，DM 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,0,0)A ，(3,2,0)B -，∵OO '⊥平面ABC ，∴//'DM OO ，四边形ODMO '为矩形，∴(0,2,3)N平面MAC 的一个法向量为1(0,1,0)n =.设平面NAB 的一条法向量为2(,,)n x y z =，(23,2,0)AB =-，(3,2,3)AN =-由2200n AB n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得23203230x y x y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ 令3x =3y =，1z =-平面NAB 的一个法向量为2(3,3,1)n =-则平面MAC 与平面NAB的夹角的余弦值为1212·3nn n n ==∴平面MAC 和平面NAB 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>在点()01,M y 处的切线斜率为12． (1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在不同的两点关于直线:2l y x m =+对称，求实数m 的取值范围．【答案】(1)24x y =；(2)94m >.【分析】（1）根据给定条件，求出切线方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式计算作答.（2）设出抛物线C 上关于l 对称的两点A ，B 的坐标，并设出直线AB 的方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式及韦达定理计算作答.【详解】（1）点1(1,)2M p ，则切线方程为：11(1)22y x p -=-，由221(1)2py p x x py -=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得： 210x px p -+-=，依题意，24(1)0p p ∆=--=，解得2p =，所以抛物线C 的方程是24x y =.（2）设抛物线C 上关于l 对称的两点为1122(,),(,)A x y B x y ，则设直线AB 方程为：12y x t =-+， 由2124y x t x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理得：2240x x t +-=，则有4160t '∆=+>，解得14t >-， 122x x +=-，12121()2212y y x x t t +=-++=+，显然线段AB 的中点1(1,)2t -+在直线l 上， 于是得122t m +=-+，即有52t m =-，而14t >-，因此，5124m ->-，解得94m >， 所以实数m 的取值范围是94m >. 【点睛】结论点睛：抛物线22(0)x py p =≠在点200(,)2x x p 处的切线斜率0x k p =； 抛物线22(0)y px p =≠在点2000(,)(0)2y y y p ≠处的切线斜率0p k y =. 22．某品牌轿车经销商组织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种. 方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，每次摇出一个号. 其优惠情况为：若摇出3个幸运号打6折；若摇出2个幸运号打7折；若摇出1个幸运号打8折；若没摇出幸运号不打折.(1)若某型号的车正好6万元，两名顾客都选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更优惠的概率；(2)若你朋友看中一款价格为10万元的轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种优惠方案.【答案】(1)247256(2)方案二【分析】（1）设顾客三次没摇出幸运号为事件A ，由独立事件概率乘法公式求得()P A ，则利用对立事件概率得所求概率为()21P A -； （2）方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈，求出X 的分布列，期望与方案一比较即可.【详解】（1）方案一相当于打9折，要使选择方案二比选择方案一更优惠，则需要至少摇出1个幸运号，设顾客不打折即三次没摇出幸运号为事件A ，则()223344416P A =⨯⨯=， 故所求的概率()2232471116256P P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. （2）若选择方案一，则需要付款100.69.4-=（万元）若选择方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈， ()322116416P X ⨯⨯===，()322322122157416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===， ()322322322178416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===，()31016P X ==， 故X 的分布列为所以()1573678107.93759.416161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=<（万元），所以选方案二划算.。
高三试卷数学-湖北省武昌实验中学2024届高三上学期12月月考数学试卷及参考答案
湖北省武昌实验中学高三年级12月月考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U =R ，，，则（）A.B.C.D. 2．已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则＝（）4．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为，则原圆锥的母线长为（）A ．BC ．D ．5．已知双曲线C ：，直线l 与C 相交于A，B 两点，若线段AB 的中点为，则直线l 的斜率为（）A ．B ．1C D ．26．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 上靠近点B 的三等分点，连接DE 并延长到点F ，使得，则的值为（）A. B. C. D.7．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，{}1A y y x ==≥{}ln(2)B x y x ==-[2,)+∞[1,)+∞[1,2)[1,2]1z 42z i =-11z i-242221(0)y x b b-=>(1,2)N 1-2DE EF = AF BC ⋅23-112-11223()f x R ()21f x +()2f x +[]1,2x ∈．若，则的值是（）A. B. C. 2D. 12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知事件A ，B 满足，，则（）A ．若，则B ．若A 与B 互斥，则C ．若，则A 与B 相互独立D ．若A 与B 相互独立，则10．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC ，C 1D 1的中点，则下列说法正确的是（）A ．M ，N ，A 1，B 四点共面B ．C ．过点A 1，B ，N 的平面被正方体所截得的截面是等腰梯形D ．过MN 作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为11．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（）A. B. C. 是数列中的最大项D. 12．已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（ ）()2=⋅+x f x a b ()()036f f +=()2log 96f 12-2-()0.3P A =()0.6P B =A B ⊆()0.18P AB =()0.9P A B +=()0.1P A B =()0.12P AB =11A M AB ⊥52π{}n a q n n S n n T 11a >202320241a a >()()20232024110a a --<1q >202320241S S +>2023T {}n T 40471T >()f x ()g x R ()(),f x g x ''()(),f x g x ()()5f x g x '+=()()225f x g x '--+=()g xA ．B ．C ．D ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．展开式中的常数项为．14．在平面直角坐标系中，圆关于直线对称的圆为，则的方程为__________．15．已知曲线y ＝lnx 与y ＝ax 2（a ＞0）有公共切线，则实数a 的取值范围为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量，（），函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）若是函数的任意两个相异零点，且的最小值为，求函数在上的值域．18．如图，四棱锥中，是等边三角形，，.（1）证明：；（2）若，，求点到平面的距离．()25f -=()()4g x g x +=()()8g x g x -'='()()8f x f x +'='6xOy 221:2C x y +=l 222:2430C x y x y ++-+=l sin ,sin 22x x a ωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭ cos ,sin 22x x b ωω⎛⎫= ⎪⎝⎭0ω>()2f x a b =⋅2ω=()f x 12,x x ()f x 12x x -π2()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭P ABCD -ABD △PA PB PD ==BC CD =BD PC ⊥BD =CD AP =A PCD DPCA19．已知数列中，，设为前n 项和，．（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n 项和．20．为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格：序号12345678910成绩（分）38414451545658647480记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为．经计算，，．（1）求；（2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩 不合格的人数为，求的分布列；（3）经统计，高中生体测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为，求的数学期望．附：若ξ～，则，，．21．已知函数)0()ln()(>-=m x mx x f ．（1）若0)(≤x f 恒成立，求的取值范围；（2）若)(x f 有两个不同的零点21,x x 且122x x >，求实数m 的取值范围.{}n a 21a =n S {}n a 2n n S na ={}n a ()()1sin1cos 1cos 1n n n b a a +=++{}n b n T i i x 2,x s 1021()1690i i x x =-=∑102133050i i x ==∑x X X 2(,)N μσ2,x s 2,μσ[30,82]Y Y ()E Y 2(,)N ξμσ ()0.6827P μσξμσ-+≈≤≤(22)0.9545P μσξμσ-+≈≤≤(33)0.9973P μσξμσ-+≈≤≤m22．已知是椭圆上关于原点对称的两点，且，是椭圆上异于的一点，直线和的斜率满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P 、N ，若的值为定值，则称此时的点为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，试求出所有“稳定点”；若没有，请说明理由．,A B C O ()A M C ,AB MA MB 13MA MB k k ⋅=-C Q C 11PQ QN +Q高三年级12月月考数学参考答案一．单选题 1-8. ADCDB BBD 二．多选题 9. BD 10. BCD 11. BC 12.ACD三．填空题13. 【答案】-160 14．【答案】 15．【答案】 16. 【答案】3．四．解答题17.(1)由已知.---------3分当时，，令，解得：，∴函数的单调递增区间为；---------5分(2)由（1）知，令，得，所以，.当最小时，不妨取，，即，，则.因为，则，故.---------8分因为，所以，，所以函数在上的值域为---------10分2450x y -+=1[,)2e+∞()()22sincossin sin 1cos 222xxx f x x xωωωωω⎛⎫=⋅-=-- ⎪⎝⎭sin cos 114πx x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭2ω=()π214f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()πππ2π22π242k x k k -≤+≤+∈Z ()3ππππ88k x k k Z -≤≤+∈()f x ()3πππ,π88k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦()π14f x x ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0f x =πsin 4x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭1πsin 4x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭2πsin 4x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭12x x -1ππ44x ω+=2π3π44x ω+=10x =2π2x ω=12π2x x ω-=12minπ2x x -=ππ22ω=1ω=π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()(π114f x x ⎛⎫⎤=+-∈- ⎪⎦⎝⎭()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭(1⎤-⎦18.【解析】（1）如图，连接，交于点，连接， 由，，，可得，所以，又，所以，所以，即为中点，在等腰中，可得，在等腰中，，又，所以平面，又平面，所以．（2）方法一：（对角线交点建系法）由（1）可得，，又，所以，，由于为正三棱锥，点在底面的垂足一定在上，设垂足为，根据正三棱锥的性质可得，如图，以，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系．可得，，，，，（或）又，（或，）设平面的法向量，可得⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00DC n PC n，不妨令，所以345||||=⋅=nAC n d ，故点到平面方法二：（等体积转化法）设点到平面的距离为，可得，由（1）可得，，又，AC BD O PO AD AB=CD BC =AC AC =ABC ACD△△≌BAC DAC ∠=∠AO AO =AOB AOD △△≌BO OD =O BD PBD △BD OP ⊥BCD △BD OC ⊥OP OC O = BD ⊥POC PC ⊂POC BD PC ⊥AC BD ⊥CD =12OD BD ==2CO ==3AO ==P ABD -P ABD AO M 223AM AO ==PM ==OA OB x y (3,0,0)A (2,0,0)C -(0,D P (3,0,PC =- (DC =- DP =(5,0,0)AC =- (3,AD =- (AP =- PCD (,,)x y z =n 3002020x z x x ⎧--=+=⎪⇒⎨-+==⎪⎪⎩⎩x =3)=-n A PCD A PCD h P ACD A PCD V V --=AC BD ⊥CD =12OD BD ==所以，，由于为正三棱锥，点在底面的垂足一定在上，设垂足为，根据正三棱锥的性质可得，，作中点，连接，由于，所以，，所以，所以，所以 于是，代入可得所以点到平面19.(1)数列中，，为前n 项和，当时，，，当时，①，②，由②-①得：，，即，当时，，---------3分递推可得：，… ，，，由累乘法可得：，，又因为，所以，即，经检验，当时，符合上式，所以；---------6分(2)由（1）可知，，所以：2CO ==3AO ==P ABD -P ABD AO M 223AM AO ==PM ==1115()3322P ACD ACD V S PM AC OD PM -=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△PC N DN PD CD =DN PC ⊥PC ==PN =2DN ==12PDC S PC DN =⨯⨯=△1532A PDC PDC V S h -=⨯⨯=△h =A PCD {}n a 21a =n S {}n a 1n =111122S a a a =⇒=10a ∴=2n ≥2n nS na =()1121n n S n a ++=+()11221n n n n S S n a na ++--+=()()1121n n n n S S n a na ++-=+-()11n n na n a +=-2n ≥11n n a na n +=-112n n a n a n --=-4332a a =3221a a =1341321321221n n n n a a a a n n a a a a n n +--⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-- 12n a n a +=21a =1n a n +=1n a n =-1n =10a =1n a n =-1n a n =-1n a n+=，---9分所以nb ++ ；所以数列的前n 项和.---------12分20.【解析】（1）．（2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以的可能取值为0，1，2，3．因为，，，．所以的分布列为（3）因为，，所以，．因为9545.0)22()8230(≈+≤≤-=≤≤σμσμx P x P ， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间得概率约为，因为100名学生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y ～，所以．【详解】（1）()f x 的定义域为{}0x x >. 令()0f x ≤，得e xm x≤，令()(0)xe g x x x=>，则2e (1)()xx g x x -'=，()()1sin1cos 1cos 1n n n b a a +=++()sin1cos cos 1n n =+()()sin 1cos cos 1n n n n +-⎡⎤⎣⎦=+()()()sin 1cos cos 1sin cos cos 1n n n n n n +-+=+()()()()sin 1cos cos 1sin cos cos 1cos cos 1n n n nn n n n ++=-++()tan 1tan n n =+-123n T b b b =+++L ()()()()tan 2tan1tan 3tan 2tan tan 1tan 1tan n n n n =-+-++--++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()tan 1tan1n =+-{}n b ()tan 1tan1n T n =+-1(38414451545658647480)5610x =⨯+++++++++=X 373107(0)24C P X C ===217331021(1)40C C P X C ===12733107(2)40C C P X C ===333101(3)120C P X C ===X 56x =222222222221(181512520281824)16910s =⨯+++++++++=56μ=13σ=[3082]，0.9545[3082]，(1000.9545)Y B ，1000.954595.45E Y =⨯=（）X 0123P72421407401120令()0g x '=，可得1x =，当(0,1)x ∈时，()0g x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增.所以min ()(1)e g x g ==， 所以(0,e]m ∈.（2）()()1122ln ,ln mx x mx x ==，两式相减，得2211ln x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令212x t x =>，则1ln (1)t t x =-， 故12ln ln ,11t t t x x t t ==--，记ln (),21t h t t t =>-， 则211ln ()(1)t t h t t '--=-，构造函数()()11ln 2H t t t t =--≥，()'22111t H t t t t-=-=，所以()H t 在[)2,+∞上()()'0,H t H t <递减，由于()11121ln 2ln 20222H =--=-<-=，所以当2t >时，()0H t <， 所以211ln ()0(1)t t h t t '--=<-，所以函数()h t 在区间(2,)+∞上单调递减，故1()(2)ln 2x h t h =<=，即10ln 21x <<<，而e ()xm g x x==，()g x 在区间(0,1)上单调递减，故()12(ln 2)ln 2m g x g =>=，即2,ln 2m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭.22.解：（1）设(),M x y，易知)1B-，由13MA MB k k ⋅=-13=-，化简得22162x y +=，故椭圆的标准方程为22162x y +=. ……4′C(2) 点Q 是椭圆长轴上的不同于左右顶点的任意一点，设0(,0)Q x ，则00x ≠.设直线PN 的方程为01122,(,),(,)x my x P x y N x y =+，由022612x my x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22200(3)260m y mx y x +++-=，01212202226,,033mx y y y m x y m --∴+==∆>++恒成立. ……6′11PQ QN ∴+===== ……10′要使其值为定值，则20612x -=，故当204x =，即02x =±综上，存在这样的稳定点(2,0)Q ±,即椭圆的焦点为稳定点. ……12′C。
安徽省蚌埠市怀远县2013届高三数学12月月考试题 理(含解析)
2012-2013学年安徽省蚌埠市怀远县高三（上）12月月考数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）（2013•自贡一模）复数的虚部是（）
利用复数的代数形式的乘除运算，得到=i
=
+
的虚部是．
2．（5分）（2012•黄州区模拟）已知全集U=R，集合A={x|y=}，集合B={y|y=2x，
A={x|y=
A={x|y=
3．（5分）已知，则=（）
）（
∴f（﹣）（﹣））=
4．（5分）（2012•安徽模拟）设向量满足：，则等于（）
平方，再把条件代入即可求出
，∴
5．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）
﹣
，
，
，①
，
=
）×
．
=
“x＞1”是“
：“x＞1”是“”，但是
7．（5分）（2012•安徽模拟）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为单调递减函数，且f（2）=0，则不等式的解集为（）
时，不等式
的解集为
8．（5分）下列函数图象是一个函数与其导函数在同一个坐标系中的图象，其中一定错误的
B C
9．（5分）（2012•湖北）定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；
，
≠
|≠
10．（5分）等差数列{a n}的公差d∈（0，1），且，当n=10时，
n n1
．．。
辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题
（1）证明：直线 l 与椭圆 C 相切；
（2）已知直线 l 与椭圆 D ：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0) 交于 A
， B 两点，且点W
为
AB
的中
点.
（i）证明：椭圆 D 的离心率为定值；
试卷第61 页，共33 页
( ) （ii）记VOAB
的面积为 S
，若 b2
=
4 3
+
1 4n
，证明：
Sn+1 - Sn = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an
an+1 an
=
2
答案第11 页，共22 页
所以{an} 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
an = 1× 2n-1 = 2n-1
Qa1 = 1 ，符合上式
所以{an} 是通项为 an = 2n-1 的等比数列，A 选项正确；
对于 B，已知 Sn = 2n +1 ，所以 Sn+1 = 2n+1 +1 ， a1 = S1 = 21 +1 = 3
Sn+1 - Sn = 2n+1 - 2n = 2n an+1 = 2n an = 2n-1
Q a1 = 3 ，不符合上式 所以，B 选项错误；
对于 C，已知 an+1 = 2an ，当首项为零时，不符合题意，C 选项错误；
的虚部为 sin1 > 0 ， 因此命题①②③都正确，即正确说法的个数为 3. 故选：A 3．A
【分析】用 Sn 与 an 的关系，求出{an} 通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误.
深圳市示范性高中(高三)12月月考数学试题理科
深圳市示范性高中（高三）12月月考数学试题理科一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1、复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( D ) A ．21-B ．2C ．2-D ．21 2、在锐角△ABC 中，角A B C 、、所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于( A )A . 30oB . 45oC . 60oD . 75o3、已知等差数列{}n a 中，20132,a a 是方程0222=--x x 的两根，则=2014S （ D ）A ．2014-B ．1007-C ．1007D ．2014 4、若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的B 等于（ A ）A ．63B ．31C ．127D ．155、若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切， 则m ＝( C )A ．21B ．19C ．9D ．－116、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( B )A.16B.36C.13D.337、已知函数()sin()f x A x x R ωϕ=+∈，（其中0022A ππωϕ>>-<<，，），其部分图像如下图所示，将()f x 的图像纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向右平移1个单位得到()g x 的图像，则函数()g x 的解析式为（ B ）A.()sin(1)2g x x π=+ B.()sin(1)8g x x π=+C.()sin(1)2g x x π=+ D.()sin(1)8g x x π=+8、已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( C )A ．5B ．29C ．37D ．499、已知P 是以F 1，F 2若∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，且cos αsin(α+β D ）A43 B 33 C 42 10．设函数2()21ln f x x x a x =-++有两个极值点12,x x ，且12x x <，则（ D ） A 212ln 2()4f x +<-B ．212ln 2()4f x -<C ．212ln 2()4f x +>D ．212ln 2()4f x -> 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.11、已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ={}2,1,0,1-.12、已知=-+=αααααcos 3sin 2cos 4sin 3.2tan 则1013、已知向量a (2,1)=，向量)4,3(=，则a 在b 方向上的投影为__2___14、已知函数1214)(--=x x x f ，则=++++)20152014()20152013(...)20152()20151(f f f f _4028_. 15、已知下列五个命题：③直线01=++y x 与圆 ④“b a 1010≥”是“b a lg lg ≥”的充分不必要条件.⑤过M （2,0）的直线lP 1P 2两点，线段P 1P 2中点为P ，设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2其中真命题的序号是：1，3，5三、解答题：大题共6小题，共75分.解答应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤.16、（本小题满分12分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =+-，ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（I ）求()f x 的单调递增区间及对称轴的方程； （Ⅱ）若()1,f B C +=1a b ==，求角C 的大小.解：（I）因为21()cos cos 2222x x x f x =+-cos 122cos 121x x x x =+-=++ πsin()6x =+令πππ2π2π262k x k -<+<+ 解得2ππ2π2π 33k x k -<<+ 所以函数()f x 的单调增区间为2ππ(2π,2π) 33k k -+，()Z k ∈ 对称轴的方程)(3Z k k x ∈+=ππ(Ⅱ) 因为()1,f B C +=所以πsin()16B C ++=，又(0,π)B C +∈，ππ7π(,)666B C ++∈ 所以πππ,623B C B C ++=+=，所以2π3A =由正弦定理sin sin B Ab a=把1a b ==代入，得到1sin 2B =又,b a <B A <，所以π6B =，所以π6C =17、成都市海关对同时从A ，B ，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A ，B ，C 各地区商品的数量；（2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品中来自C 地区的样品数X 的分布列及数学期望。
河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期12月摸底考试理科数学试卷含答案
2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试题卷上答题无效。
考试结束后，只收答题卷.第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={∣x 2x 2-x -15≤0}，B ={-3,-1,1,3,5}，则A B =（）A ．{1,3}B ．{-3,-1,1}C ．{-1,1}D ．{-1,1,3}2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（）A ．172B ．183C ．191D ．2113．已知sin π2123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．79-B ．59C ．59-D ．794．已知平面向量a ，b 满足3a= ，()13b = ，，211a b -= ，则a 在b上的投影为（）A ．3B ．1C ．2D ．65．若函数()()()log 20,1a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是（）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭6．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（）A ．269B ．66C ．579D ．3067．已知函数()e 2e ln e xf x x x -=-+，若e 2e 2021e 2022e 2023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b+的最小值为（）A ．34B ．32C ．54D ．228．在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（）A ．4y x =+B ．4y x =-+C ．24y x =+D ．24y x =-+9．已知抛物线22x py =()0p >的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，且AF 的最小值为1，M 是线段AB 的中点，()2,3P 是平面内一定点，则下列选项不正确的是（）A ．2p =B ．若8AF BF +=，则M 到x 轴的距离为3C ．若2AF FB =，则3AB = D ．AP AF +的最小值为410．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．3D ．511．已知0x 是函数()22e e x x f x -=-的图象与函数()1ln g x x x x=++的图象交点的横坐标，则020e ln xx =（）A ．2-B ．ln 2-C ．ln 2D ．212．已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．134,3⎛⎤ ⎥⎝⎦第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷的相应位置.13．()22204x x dx +-=⎰______________．14．在三棱锥P －ABC 中，23PA AB PB AC ====，AC ⊥平面PAB ，则三棱锥P －ABC 的外接球O 的体积为______．15．已知函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，当4x π=-时函数()f x 能取得最小值，当4x π=时函数()y f x =能取得最大值，且()f x 在区间5,1826ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则当ω取最大值时ϕ的值为__________.16．已知函数ln (),()e x xf xg x x x-==，若存在12(0,),∈+∞∈R x x ，使得()()12==f x g x k 成立，则下列命题正确的有___________．①当0k >时，121x x +>②当0k >时，212e 2exx <+<③当0k <时，121+<x x ④当0k <时，21e k x x ⋅的最小值为1e-三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23122n S n n =+，递增的等比数列{}n b 满足：1418b b +=，2332b b ⋅=．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，求n S ，n T ．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2cos cos cos a A b C c B =+．(1)求A ；(2)若ABC 的面积为63，27a =，求ABC 的周长．19．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足024t <≤，t ∈N .经测算，当1624t ≤≤时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当016t <<时，候车人数会减少，减少人数与(16)t t -成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为()f t .(1)求()f t 的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为()3160320f t P t-=+，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少?20．如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为正方形，二面角S-AB-D 为直二面角，∠SAB =∠SBA ，点M 为线段AD 的中点.(1)证明：SD ⊥MC ；(2)若SA =AB ，点N 是线段BD 上靠近点B 的三等分点，求直线SA 与平面SMN 所成角的正弦值.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点()0,2G 与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由.22．已知函数()ln ln f x x a x =-，其中0a >且1a ≠．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()1e lnf x a a≥在()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．全科免费下载公众号《高中僧课堂》2023届高三第一学期12月月考数学试卷（理科）考试时间：120分钟试卷满分：150分本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三年级上册学期12月月考数学试题【含答案】
2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}32A x x =-≤≤，{}2230B x x x =+-≤，则()RAB =（ ）A ．(]1,2B ．[]1,2C ．[)3,1-D ．[]3,1-【答案】A【分析】求出集合B ，用补集和交集的运算性质计算即可.【详解】因为集合{}{}223031B x x x x x =+-≤=-≤≤，所以{}31R B x x x =-或．又{}32A x x =-≤≤，所以(){}12R A B x x ⋂=<≤． 故选：A ．2．设函数()2log f x x =，若13log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.2C f e =，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．b a c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a b c <<【答案】A【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，由此可得3(log 2)a f =，然后利用对数函数和指数函数的性质比较0.253log 2,log 2,e 的大小，从而可比较出a ，b ，c 的大小【详解】解：因为22()log log ()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，所以1333(lo lo g 2)(log 22)g a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，当0x >时，2(x)log f x =在(0,)+∞上为增函数， 因为530log 2log 21<<<，0.201e e >=， 所以0.2530log 2log 2e <<<， 因为()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以0.253(log 2)(log 2)()f f f e <<，所以b a c <<， 故选：A【点睛】此题考查对数函数和指数函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题.3．已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且()()e xf xg x +=，若关于x 的不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln3上恒成立，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．40,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．400,9⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．150,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】由奇偶性求得()f x ，()g x ，化简不等式，并用分离参数法变形为()()24e e eex x xx a --+≤-，设e e x x t -+=，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得a 的范围．【详解】解：已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，则()()()(),f x f x g x g x =-=--，又()()e x f x g x +=①，则()()()()e e x xf xg x f x g x ---+-=⇒-=②，由①②可得()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==， 则不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln3上恒成立，转化为：()2e e e e 04x xx x a ---+-≥在()0,ln3上恒成立，因为()0,ln3x ∈，所以e e 0x x -->，即()()()()224e e 4e e e e e e 4x xxxx xxxa ----++≤=-+-，令e e x x t -+=，则24444t a t t t≤=--，e e x x t -=+，()0,ln3x ∈，则e e 0x x t -'=->，e e x x t -=+在()0,ln3上是增函数，102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又4y t t =-在102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时是增函数，所以432015t t <-<，则41548t t >-， 又()()24e e ee x x xx a --+≤-在()0,ln3x ∈上恒成立，则158a ≤． 则正实数a 的取值范围是150,8⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D ．4．函数()(1)ln 1f x x x =+-的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由1()02f ->排除两个选项，再由2x >时，()0f x >排除一个选项后可得正确选项．【详解】∵()(1)ln 1f x x x =+-，所以113()ln 0222f -=>，故排除C ，D ，当2x >时，()(1)ln(1)0f x x x =+->恒成立，排除A ， 故选：B ．5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，4x π=-是函数的一个零点，且4x π=是其图象的一条对称轴.若,96ππ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，则ω的最大值为A ．18B ．17C ．15D ．13【答案】D【分析】由已知可得()221T k Z k π=∈+，结合2T πω=，得到21k ω=+（k Z ∈），再由96ππ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的一个单调区间，可得1692ππ-≤T ，即9T π≥，进一步得到8.5k ≤，然后对k 逐一取值，分类求解得答案．【详解】由题意，得()1+42442k T k Z πππ⎛⎫⎛⎫=--=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()221T k Z k π=∈+， 又2T πω=，∴21k ω=+（k Z ∈）．∵96ππ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的一个单调区间，∴1692ππ-≤T ，即9T π≥，∵221T k π=+，∴2118k +≤，即8.5k ≤．①当8k =，即17ω=时，174k πϕπ-+=，k Z ∈，∴174k πϕπ=+，k Z ∈，∵||2ϕπ<，∴4πϕ=，此时()sin 174A x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调，∴17ω=不符合题意； ②当7k =，即15ω=时，154k πϕπ-+=，k Z ∈，∴154k ϕππ=+，k Z ∈， ∵||2ϕπ<，∴4πϕ=-，此时()sin 154A x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调，∴15ω=不符合题意； ③当6k =，即13ω=时，134k πϕπ-+=，k Z ∈，∴134k ϕππ=+，k Z ∈． ∵||2ϕπ<，∴4πϕ=，此时()sin 134A x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，∴13ω=符合题意，故选D ．【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性，ω对周期的影响，零点与对称轴之间的距离与周期的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结合选项逐步对系数进行讨论是解决该题的关键，属于中档题.6．如图所示，平面向量OA ，OB 的夹角为60°，22OB OA ==，点P 关于点A 的对称点Q ，点Q 关于点B 的对称点为点R ，则PR 为（ ）A 3B ．3C ．4D ．无法确定【答案】B【分析】首先根据条件转化向量()2PR OB OA =-，再利用向量数量积求模. 【详解】()()222PR QR QP QB QA AB OB OA =-=-==-，()2222222PR OB OA OB OAOB OA OB OA ∴=-=-=+-⋅241221cos60=+-⨯⨯⨯3=.故选：B7．在等差数列{}n a 中，12022a =-，其前n 项和为n S ，若1082108S S -=，则2022S =（ ） A ．2021 B ．-2021C ．-2022D ．2022【答案】C【分析】由等差数列前n 项和公式可得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据1082108S S -=可得公差为1，即可求解20222022S的值，即可得出结论.【详解】解：因为数列{}n a 为等差数列，故1()2n n n a a S +=，则12n n S a an +=，当2n ≥时，11112n n S a a n --+=-，则111111222n n n n n n S S a a a a a an n ---++--=-=-， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ．又10822108S S d -==，即1d =，又1120221S a ==-，所以()202212023n S n n n =-+-=-+，所以20222023202212022S=-+=-，即20222022S =-． 故选：C.8．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2e xf x f x -=，当0x >时，()()0f x f x +'>，若()()1e 212a f a f a -+≥+，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．][(),11,-∞-⋃+∞D ．][(),22,∞∞--⋃+【答案】C【分析】令()()e x g x f x =，根据()()2e xf x f x -=，可得()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，再根据当0x >时，()()0f x f x +'>，利用导数判断函数()g x 在()0,∞+上得单调性，再根据()()1e 212a f a f a -+≥+，即()()212e21e 2a a f a f a +++≥+，即()()212g a g a +≥+，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为()()2e xf x f x -=，所以()()()e e ex x xf x f x f x --==-， 令()()e xg x f x =，则()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()0f x f x +'>，所以()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在(),0∞-上单调递减， 因为()()1e212a f a f a -+≥+， 所以()()212e21e 2a a f a f a +++≥+，所以()()212g a g a +≥+， 即212a a +≥+， 解得1a ≤-或1a ≥. 故选：C.【点睛】本题重点考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，关键在于构造正确的函数，考查了利用导数判断函数在区间上的单调性，考查了数据分析能力，有一定的难度.二、多选题9．已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①x ∀∈R ，()()f x f x -=；②m ∀，()0,n ∈+∞，当m n ≠时，都有()()0f m f n m n-<-；③()10f -=.则下列选项成立的是（ ）A ．()()34f f >-B ．若()()12f m f -<，则()3,m ∈+∞C ．若()0f x x<，()()1,01,x ∈-⋃+∞ D ．x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M ≤【答案】ACD【分析】根据条件判断函数的奇偶性、单调性，对于A ，根据函数性质比较函数值大小；对于B ，()()12f m f -<，等价于12m ->，求得参数范围；对于C ，若()0f x x<，分类讨论求得不等式解集；对于D ，根据函数的性质知，函数存在最大值()0f ，从而满足条件.【详解】由①知函数()f x 为偶函数；由②知，函数()f x 在()0,x ∈+∞上单调递减； 则函数()f x 在(),0x ∈-∞上单调递增； 对于A ，()()3(3)4f f f =->-，故A 正确；对于B ，()()12f m f -<，则12m ->，解得()(,3,1)m ∈⋃-∞-+∞，故B 错误； 对于C ，若()0f x x<，由题知()1(1)0f f -==，则当0x >时，()0f x <，解得1x >；当0x <时，()0f x >，解得10x -<<，故C 正确；对于D ，根据函数单调性及函数在R 上的图形连续知，函数存在最大值()0f ，则只需()0M f ≥，即可满足条件，故D 正确； 故选：ACD10．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的有（ ）A ．166AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1AA 与1B C 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 6【答案】ABD【分析】利用空间向量法，根据空间向量的线性运算和数量积运算，及线面垂直的判定定理逐项分析即得.【详解】以{}1,,AB AD AA 为空间一组基底，则11AC AB AD AA =++， ()2211AC AB AD AA =++()2221112AB AD AA AB AD AD AA AB AA =+++⋅+⋅+⋅()3636362366cos60216=+++⨯⨯⨯︒=，所以166AC =A 选项正确；由题可知四边形ABCD 是菱形，所以⊥BD AC ， 又BD AD AB =-，()1111BD CC AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅66cos6066cos600=⨯⨯︒-⨯⨯︒=，所以1BD CC ⊥，即1BD CC ⊥，由于1AC CC C ⋂=，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ， 所以BD ⊥平面1ACC ，B 选项正确；由题可知1BB 与1B C 的夹角为120，也即1B C 与1AA 的夹角为120，C 选项错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，()()22222111112BD AD AA ABAD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅()363636266cos6066cos6066cos6072=+++⨯⨯⨯︒-⨯⨯︒-⨯⨯︒=，所以162BD =AC AB AD =+，()2222236266cos 6036108AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=，所以63AC =()()11BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+11AD AB AA AB AB AB AD AD AA AD AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅ 266cos6036=⨯⨯⨯︒=，设直线1BD 与直线AC 所成角为θ，则111cos cos ,6BDAC BD AC BD ACθ⋅===⋅D 选项正确. 故选：ABD.11．关于函数()cos 2cos f x x x x =-⋅，则下列命题正确的是（ ） A ．存在1x 、2x 使得当12x x π-=时，12()()f x f x =成立 B ．()f x 在区间[]63ππ-，上单调递增C ．函数()f x 的图象关于点(0)12π，中心对称 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度后与()2sin 2g x x =的图象重合. 【答案】AC【分析】化简f (x )的解析式，利用余弦型或正弦型函数的图像与性质即可逐项判断﹒【详解】()cos 2cos cos 222cos(2)3f x x x x x x x π=-⋅==+，A 选项，周期为22ππ=，根据f (x )图像的对称性知存在1x 、2x 使得当12x x π-=时，12()()f x f x =成立，A 对；B 选项，[],20,,2cos 633x x y t ππππ⎡⎤∈-⇒+∈=⎢⎥⎣⎦在[]0,t π∈上单调递减，故()f x 在区间[]63ππ-，上单调递减，B 错；C 选项，因为()2cos(2)012123f πππ=⨯+=，所以函数()f x 的图象关于点(0)12π，中心对称，C 对； D 选项，()f x 的图象向左平移512π个单位长度后为()52cos 22sin 22sin21233h x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 错； 故选：AC.12．树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第()*,2n n n ∈N 天募得的捐款数为1180012n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭元.若甲小组前n 天募得捐款数累计为n S 元，乙小组前n 天募得捐款数累计为n T 元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（ ） A ．66S T >B ．甲小组募得捐款为9550元C ．从第7天起，总有n n S T <D ．121800800,2142n n nT n n --=+⋅≤≤且*n ∈N 【答案】AC【分析】利用等差数列求和公式求出甲小组两周的募捐的钱数，得到B 错误； 利用等比数列求和公式及分组求和，得到乙小组两周募捐的钱数，得到D 错误； 计算出66,S T ，比较得到大小；令21800252254002n n n n C T S n n -=-=--+，先计算出70C >，再结合数列单调性得到答案. 【详解】由题可知114n ≤≤且*n ∈N ， 设n a 代表第n 天甲小组募得捐款，且0n a >，对于甲小组，11000,50a d ==-，所以()115010500n a a n d n =+-=-+>，所以120n ≤≤， 所以()12251025,142n n n a a S n n n +==-+且*n ∈N ，所以149450S =，故选项B 不正确；设n b 代表第n 天乙小组募得捐款，由题可知，11000,118001,22n n n b n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩， 所以12321600111400800180018001222n n n T b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()231111140080018002222n n -⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭，*1800800400,22,14n n n n -=+-∈≤≤N ，故选项D 错误； 因为6665250,5175S T S ==<，故该选项A 正确；选项C ，令21800252254002n n n n C T S n n -=-=--+，所以737.50C =>， 而当7n ≥时，18005020002n n n C C n +-=+->， 所以数列{}n C 为递增数列，因此0n n S T -<，所以n n S T <，故选项C 正确. 故选：AC三、填空题13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈） 【答案】2027【分析】n 年后产生的垃圾为()3000150%n⨯+，得到不等式()3000150%30000n⨯+>，解得答案. 【详解】n 年后产生的垃圾为()3000150%n ⨯+，故()3000150%30000n⨯+>，即3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()lg3lg21n ->，即1 5.68lg 3lg 2n >≈-，故6n ≥， 故2027年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨. 故答案为：202714．在三角形ABC 中，已知1tan 2A =，1tan 3B =，若2sin()sin()sin cos x A x B C x ++=，则tan x 的值为__________． 【答案】43-或12【分析】由tan 12A =，1tan 3B =解出A ，B ，C 的正余弦值，将等式化简后代入，解出tan x . 【详解】因为tan 12A =，1tan 3B =，A ，()0,πB ∈， 所以5sin 5A =，5cos 52A =，10sin 10B =，310cos 10B =，2sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+=． ()()()()22sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x A x B x A x A x B x B C xx++++==，即()()25102sin cos 3sin cos 2510cos 2x x x x x ⨯++=， 所以()()2tan 13tan 15x x ++=，解得4tan 3x =-或1tan 2x =.故答案为：43-或12．15．如图所示，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ､B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是___________【答案】2-【分析】由向量的线性运算得2PA PB PO +=，因此()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅，只要求得PO PC ⋅的最大值即可，这可由基本不等式得结论． 【详解】解：因为O 为AB 的中点，所以2PA PB PO +=，从而()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅.又2PO PC OC +==为定值，再根据2()12PO PCPO PC +⋅≤=，可得22PO PC -⋅≥-，所以当且仅当1PO PC ==时，即P 为OC 的中点时，等号成立，()PA PB PC +⋅取得最小值是2-， 故答案为：2-. 16．若函数()21ln 2f x x ax x =-+存在平行于x 轴的切线，则实数a 取值范围是______. 【答案】[)2,+∞【分析】求出导函数，只需()0f x '=有正解，分离参数可得1a x x=+，利用基本不等式即可求解. 【详解】函数定义域为()0,∞+，导函数为()1f x x a x'=-+，使得存在垂直于y 轴的切线，即()0f x '=有正解，可得1a x x=+有解， 因为0x >，所以12a x x =+≥，当且仅当“1x x=，即1x =”时等号成立， 所以实数a 的取值范围是[)2,+∞ 故答案为：[)2,+∞四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1126sin sin A B +=3C π=，6c =. (1)求证：2a b +=； (2)求ABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)33【分析】（1）由已知条件结合正弦定理可得sin A =sin B =再由11sin sin A B+=11a b += （2）由余弦定理结合（1）的结论可求得12ab =，从而可求出三角形的面积 【详解】（1）证明：3C π=，6c =，所以sin cC=根据正弦定理得sin A =sin B =，又11sin sin A B+=所以11a b +=2a b +=（2）由余弦定理得()2222222cos 3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-， 由（1），得a b +=，结合6c =可得()26720ab ab --=. 即()()1260ab ab -+=，解得12ab =或6ab =- （舍去），所以1sin 2ABCSab C ==18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+. （1）证明：{}1n a -为等比数列； （2）设1n n b =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值. 【答案】（1）见解析（2）14【解析】(1)利用1n n n a S S -=-得到1,n n a a -的递推公式再构造数列证明即可.(2)根据(1)可求得12nn a =-,进而求得2n b n =,再用裂项求和求解12231111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+进而求得t 的最小值【详解】解：（1）11221n n n n n a S S a a --=-=--()1121(2)n n a a n -⇒-=-≥, 故{}1n a -为等比数列.（2）令1n =,则有111211S a a =+⇒=-, 所以()111122n n n a a --=-⋅=-,所以12n n a =-,令122n n n b n =-==,令1111141n n n c b b n n +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭, 所以122311*********...412231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪+⎝⎭()111111414414n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.所以14t ≥. 故t 的最小值为14.【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了裂项相消求和的方法与不等式的范围问题,属于中等题型.19．第二届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒x 万箱且全部售完，每万箱的销售收入为()H x 万元，2803,020,()3000(2)90,20.(1)x x H x x x x x -<≤⎧⎪=-⎨+>⎪+⎩(1)写出年利润()M x （万元）关于年产是x （万箱）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润． 【答案】(1)()()2318040,020300021040,201x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩(2)年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元【分析】（1）分020x <≤和20x >两种情况讨论，根据利润=销售收入-成本得到函数解析式； （2）根据二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）解：当020x <≤时，()()2280340100318040M x x x x x x =---=-+-，当20x >时，()()()()()30002300029010040104011x x M x x x x x x x ⎡⎤--=+--=-+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故()()2318040,020300021040,201x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩； （2）解：当020x <≤时，()223180403(30)2660M x x x x =-+-=--+，对称轴为30x =，开口向下，故()max ()202360M x M ==，当20x >时，()()()3000210401x M x x x -=-+-+()()300013 10401x x x +-=-+-+90001029601x x =--++ ()900010129701x x =-+-++ ()90002101297023701x x ≤-+⋅+=+， 当且仅当()90001011x x +=+，即29x =时，等号成立，因为 23702360>，所以当29x =时，利润最大，最大值为2370万元，故年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，且22AB AD ==，2PA =，3PAB PAD π∠=∠=．(1)求线段PC 的长度；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值； (3)若E 为AB 的中点，证明：PA ED ⊥． 【答案】3215(3)证明见解析【分析】（1）由已知角的三边作为空间向量的一组基底，由基底表示PC 再进行模长计算即可； （2）由基底表示PC 、BD ，再代入向量夹角公式计算即可； （3）由()AP DE AP AE AD ⋅=⋅-计算即可得结果. 【详解】（1）因为PC PA AC PA AB AD =+=++，所以222222244122213PC PA AB AD PA AB PA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅=++-⨯-⨯=， ∴||3PC =，所以线段PC（2）∵()()PC BD PA AB AD AD AB ⋅=++⋅-PA AD AB AB AD AD PA AB AB AD AD AB=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅111222112200222=-⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯+-=-，||5BD =，∴cos ,3PC BD PC BD PC BD⋅-<>===⋅故异面直线PC 与BD . （3）因为E 为AB 的中点，所以AD AE =，又∵()AP DE AP AE AD AP AE AP AD ⋅=⋅-=⋅-⋅112121022=⨯⨯-⨯⨯=，∴AP DE ⊥，即PA ED ⊥． 21．已知向量()()23cos ,1,sin ,cos (0)m x n x x ωωωω=-=>，函数()f x m n =⋅图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）若07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()012f x =，求0cos2x 的值.【答案】（1）1()sin(2)62f x x π=--；（2）【分析】（1）由题知，根据向量数量积运算求得()23cos sin cos f x m n x x x ωωω=⋅=-，化简，由条件22T ππω==求得参数1ω=，从而写出解析式.（2）由()012f x =得0sin(2)6x π-=，根据角的范围求得0cos(2)6x π-，从而有0000cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666cos2x x x x ππππππ=-+=---，求得结果.【详解】（1）由题知，()23cos sin cos f x m n x x x ωωω=⋅=-1cos 212sin(2)262x x x ωπωω+=-=--， 又函数相邻两条对称轴之间的距离为2π.即22T ππω==，则1ω=，1()sin(2)62f x x π=--（2）由题知，0011()sin(2)622f x x π=--=，则0sin(2)6x π-=07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当02,632x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，0)6sin(2x π-∈，而0sin(2)6x π-=， 因此02,62x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时0cos(2)6x π-= 则0000cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666cos2x x x x ππππππ=-+=---12==22．已知函数()()1ln R f x x a ax=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行.(1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x m =有两个零点12x x ，，且12x x <，求证：121x x +>.【答案】(1)=2a ，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增；(2)证明见解析【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出a ，然后分析导函数的符号得出函数()f x 的单调性；（2）由已知得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=，两式相减，得121211ln ln 022x x x x -+-=，即有1212122ln x x x x x x -=，令12,x t x =构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，求导函数，分析导函数的符号，得出函数()h t 的单调性和范围可得证.【详解】（1）函数()f x 的定义域：()0,∞+，由()1ln f x x ax =+可得()211f x x ax'=-， 所以由题意可得()11112f a=-='，解得=2a ， ()1ln 2f x x x∴=+， ()22112122x f x x x x -'∴=-=， 令()0f x '<，解得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减；令0fx，解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增； （2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=， 两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x x x x x x -=， 因此1211212ln x x x x x -=，2121212lnx x x x x -=，令12x t x =，由12x x <，得01t <<， 则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=，构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<， 则()()22211210t h t t t t-=+-=>'，所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->，故命题121x x +>得证【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，用导数证明有关函数零点的不等式，解题思路是对两个零点120x x <<，引入参数1201x t x <=<，把有关12,x x 的表达式表示为t 的函数，然后再由导数研究新函数得证结论。
福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题(解析版)
福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（ ） A ．16k ≥B ．16k >C ．8k ≥D ．8k >2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（ ） A ．23B ．233πC ．23π D ．32π 3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．2D ．35．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．66．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．137．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（ ）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（ ） A ．a c b c +≥+B ．-≤-a bC ．22a b ≥D ．2211ab ba ≥10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（ ）A ．16B ．56C ．13D ．2311．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（ ）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π412．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（ ）A ．0.5B ．1C ．2D ．3三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________．14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________. 四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ．18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>2过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △2(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A(),A B(),B A(),B B甲30天20天40天10天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >．福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（ ） A ．16k ≥ B ．16k > C ．8k ≥ D ．8k >【答案】D【分析】由于集合A 中至少有2个元素，所以2log 3k >,从而可求出k 的取值范围 【详解】解：因为集合A 中至少有2个元素， 所以2log 3k >，解得8k >， 故选：D2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（ ）A ．23B C D 【答案】B【分析】分别计算侧面积和面积作比即可. 【详解】设底面圆的半径为r ，则母线长为2r ， 得侧面积是212222r r r ππ⨯⨯=轴截面是一个正三角形，边长为2r ， 则其面积2122sin6032r r r ⨯⨯⨯= .故选：B3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求出tan y x =与sin y x =的对称中心，比较两个中心关系.【详解】tan y x =的对称中心为(π,0),Z 2kk ∈，sin y x =的对称中心为(π,0),Z k k ∈，tan y x=的对称中心不一定为sin y x =的对称中心；sin y x =的对称中心一定为tan y x =的对称中心. 故选：B ．4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（ ）A B C ．2 D ．3【答案】D【分析】根据题意结合共轭复数的概念运算整理的()2221b a -=+，即复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上，根据圆的性质求z 的最大值.【详解】设()=+i,,R z a b a b ∈，则()()2i=+2i,+2i=2i z a b z a b ----∵()()()()()222i 2i =2i 2i 21a b a b b z z a +----=⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦+⎦⎣-∴复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上圆()2221x y +-=的圆心()0,2C ，半径=1r ，则z 的最大值为3OC r +=，其中O 为复平面的坐标原点 故选:D.5．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得3k d =+，由0d >，即可得k 的最小值. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ， 则0d >，1q >，因为121a b ==，26a b =， 所以41d q +=①，而10k a b =， 所以81(1)k d q +-=②，由①②得：2(1)1(1)d k d +=+-， 即3k d =+，0d >，k *∈N ，所以k 的最小值为4. 故选：B6．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（ ）A ．3B ．32C ．1D ．13【答案】A【分析】由向量加减的几何意义可得233AB ACAP =+，结合已知有233AM AN AP x y =+，根据三点共线知21133x y+=，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，如下图示：23333BC AC AB AB ACAP AB BP AB AB -=+=+=+=+，又AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，∴233AM AN AP x y=+，由,,M P N 三点共线，有21133x y +=， ∴21522522)23333333323(2)(x y x yx y y x x xy y y x +=+=⋅++≥++，当且仅当x y =时等号成立. 故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到AP 、AM 、AN 的线性关系，根据三点共线有21133x y+=，再结合基本不等式求最值. 7．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（ ）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>【答案】A【分析】由双曲线定义有122F F c =、122F N F N a -=，结合正多边形的性质求得12F N F N -关于c 的表达式，即可求各图对应双曲线的离心率.【详解】在图1中，122F F c =，又122(31)F N F N a c -==，则1232e =-在图2中，122F F c =，221210(2)2F N c c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，22F N =， 121022F N F N a --==，则2102e =-． 在图3中，122F F c =，212F N c =，由余弦定理得：2211221222cos 60F N F F F N F F F N =+-︒13=，121312F N F N a --==，则3131e =-． 因为232102131<，所以123e e e >>． 故选：A8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（ ）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-【答案】C【分析】对()f x 求导得()f x '，得到m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系可得m ，n 的关系，然后构造函数，利用导数求单调性，进而得最值.【详解】由2()ln f x x x ax =+-得：2121()2x ax f x x a x x-+=+-=' m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系得：1,22a m n mn +==，故12n m=22222221()()ln ln lnln 24m f m f n m m am n n an m n m m n m-=+---+=-+=+-， 令[]2,1,4x m x =∈记[]1()ln 2,1,44g x x x x x =+-∈，则()222222111414()10444x x x g x x x x x----'=--==<，故()g x 在[]1,4x ∈上单调递减. ()()max 311n24g x g ==-故选：C二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（ ） A ．a c b c +≥+ B ．-≤-a b C ．22a b ≥ D ．2211ab ba ≥ 【答案】ABD【解析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例．【详解】因为0a b -≥，所以a b ≥.根据不等式的性质可知A ，B 正确； 因为a ，b 的符号不确定，所以C 不正确； 2222110a b ab ba a b --=≥. 可得2211ab ba ≥，所以D 正确. 故选：ABD ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（ ）A ．16B ．56C ．13D ．23【答案】BCD【分析】由题得()2sin 6πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ，令6x k πωπ-=，求出,6k x ππωω=+解不等式062ππω<得解.【详解】由题得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，令6x k πωπ-=，解得,06k x ππωωω=+>，取k ＝0， 062ππω∴<，即13ω． 故选：BCD11．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（ ）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4【答案】BCD【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明PA ⊥平面EFP ，根据面面垂直判定定理证明平面APF ⊥平面EPF ，判断B ，根据锥体体积公式求三棱锥P AEF -的体积判断A ，由线面垂直的性质判断C ，由球的截面的性质判断D.【详解】由已知22215F AE A =+22112=+=EF 翻折前AB BE ⊥，CE CF ⊥，AD DF ⊥， 翻折后，则有PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF ⊥， 因为PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF P =，,PE PF ⊂平面EFP ，所以PA ⊥平面EFP ，因为PA ⊥平面EFP ，PE PF ⊥，又1PE PF ==，2PA =，所以111123323P AEF A EFP EFPV V SAP --==⨯⨯=⨯⨯=，A 错误，因为PA ⊥平面EFP ，又PA ⊂平面APF ，所以平面APF ⊥平面EPF ，B 正确，因为PA ⊥平面EFP ，EF ⊂平面EFP ，所以PA EF ⊥， 因为PA PF ⊥，PE PF ⊥，PA PE P =，,PE PA ⊂平面PAE ，所以PF ⊥平面PAE ，又AE ⊂平面PAE ，所以PF ⊥AE ， 同理可证PE AF ⊥，所以三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直，C 正确， 将三棱锥P AEF -补成长方体PEQA FGNH -，则三棱锥P AEF -的外接球球心O 为体对角线PN 的中点， 且2226PN PE PF PA =++O 的半径为6R =， 所以，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面圆的半径设为r ， 设球心O 到截面圆的距离为d ，则0d OM ≤≤， O 、M 分别为PN 、PH 的中点，则1122OM HN ==， 则102d ≤≤，又22r R d -12d =时，2r 取最小值54，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4，D 正确， 故选：BCD.12．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（ ）A ．0.5B ．1C ．2D ．3【答案】AB【分析】问题可转化为,a b 是()ln xf x x=大于2的两个不同零点，利用导数研究单调性并作出图象，结合图象即可求解【详解】因为实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，所以ln ln b a a b =，即ln ln b a a b =， 所以ln ln a ba b=， 令()ln xf x x=，()21ln xf x x -'=， 令0f x解得0e x <<，令()0f x '<解得e x >，所以()f x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞上单调递减， 作出()ln xf x x=的图象如下：2a >，2b >，不妨设a b >，()()()()ln 2ln 4ln 22,4,24242f f f f ====， 由图象可知：e 4a <<，2e b <<，且422a b -<-=， 所以AB 正确，CD 错误； 故选：AB三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________． 【答案】2y x =【分析】求出两圆圆心坐标，过两圆圆心的直线即为所求直线. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，圆22240x y x y +--=化为标准方程为：()()22125x y -+-=，其圆心为()1,2，同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线过两圆圆心， 所以所求直线方程为()200010y x --=--，即2y x =. 故答案为：2y x =.14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）【答案】30.84【分析】先利用二项式定理将原式化为5(10.998)1+-，再变形为5(20.002)1--，利用二项式定理展开，并近似计算．【详解】原式55(10.998)1(20.002)1=+-=--32051423255555555344C 2C 20.002C 20.002C 20.002C 20.002C 0.0021=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-320.16130.84≈--=故答案为：30.84．15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______ 【答案】2022-【分析】根据()πf x +的图象关于点()π,0-对称判断函数为奇函数，再赋值法确定()3f 的值，进而得到函数是周期函数，找出()2023f 与()1f 的关系可得答案.【详解】()πf x +的图象关于点()π,0-对称，所以()f x 的图象关于点()0,0对称， 即()f x 为奇函数，在()()()63f x f x f =-+中，()()()()36333=0f f f f =-+∴，， 所以()()6f x f x =-，又()(),f x f x =--∴()()6f x f x --=-,()()6,f x f x ∴-=+()()()()612,12f x f x f x f x ∴-+=+∴=+， 所以()f x 是12T =的周期函数，()()()()()202312168776112022.f f f f f =⨯+==+=-=- 故答案为：2022-16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________.【答案】【分析】设直线AB ，MN 的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理证明直线AB ，MN 是过定点的，运用几何意义即可求解.【详解】设直线AB 的方程为221212,,,,44y y x my n A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将x my n =+代入24y x =中有2440y my n --= ，故12124,4y y m y y n +==-，又1244,22PA PB k k y y ==++， 所以()()()121212124441442224212PA PB y y m k k y y y y y y m n++++=+===++++++-，解得1n =-， 故直线AB 过定点()1,0Q -.因此点E 在以PQ 为直径的圆上， 同理点F 在以PQ 为直径的圆上.PQ =； 故点E F ､距离的最大值为圆的直径故答案为：四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ． 【答案】(1)证明见解析..【分析】（1）将2sin sin sin()A C B A =+-化为2sin sin()sin()A B A B A =++-，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦定理角化边，即可证明结论;（2）利用（1）的结论和题设，结合余弦定理可推出a c =，再用222cos 2a c b B ac +-=化简求值，可得答案.【详解】（1）由题意知，2sin sin()sin()A B A B A =++-， 所以2sin sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A =++-， 所以2sin 2sin cos A B A =，而(0,π),sin 0B B ∈≠ ，结合正弦定理，所以sin cos sin A aA B b==. （2）由（1）知：222cos 2a b c a A b bc+-==, 所以222ac ac c a =+-，即220a c ac -+=，所以2210a ac c+-=解得a c =（舍）,所以2222211cos 11)2222a c b a c ac a c B ac ac c a +-+-⎛⎫===+-== ⎪⎝⎭. 18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .【答案】(1)21nn b =-(2)123236n n S n +=⋅--【分析】（1）先化简()()1311122n nn n a a +--+-=+，再推导出111n n b b +++等于一个常数，即可求解；（2）结合第一问，先求出数列{}n a 的满足的规律，然后再求和.【详解】（1）由已知有：12=21,3(1)1(1)12,22n n n n n n a n k k Za a a n k k Z ++∈⎧--+-=+=⎨+=∈⎩，， 所以21+1+1n n b a -=，()1212212121111=2222222(1)2(1)n n n n n n n b a a a a a b ++---++=++=+=+=+=+， 其中11+1+12b a ==，所以数列{}1n b +为以2为首项，公比为2的等比数列. 所以11222n n n b -+=⨯=，得21n n b =-.（2）由（1）知：2121nn n b a -==-，22122(21)n n n a a -==-，所以1231232(21)(21)(21)(21)2[(21)(21)(21)(21)]n n n S =-+-+-++-+-+-+-++-1233[(21)(21)(21)(21)]n =-+-+-++-1233(2222)3n n =++++-2(12)3312n n -=⨯--13236n n +=⋅--.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)9331【分析】（1）取CD 中点N ，连接,MN NF ，先明平面//MNF 平面PAD ，再证明结论；（2）先根据题意，建立空间直角坐标系，利用用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：证明：取CD 中点N ，连接,MN NF ， 因为M 为CE 中点，所以//MN DE ， 因为MN ⊄平面PAD ，DE ⊂平面PAD 所以//MN 平面PAD ，又因为//AD BC ，F 为AB 中点， 所以//FN AD ，因为FN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD 所以//FN 平面PAD ，因为MN FN N ⋂=，MN 、FN ⊂平面MNF ， 所以平面//MNF 平面PAD ， 又因为MF ⊂平面MNF ， 所以//MF 平面PAD ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系， 设4AD a =，()0,43E a t t -，()0,2t a ∈，则()0,0,0A ，()2,0,0F ，()4,2,0C ， ()2,2,0FC →=，()2,4FE a t →=--，平面PAD 的法向量为()1,0,0m →=，直线EF 与平面PAD 所成的正弦值为FE mFE m→→→→⋅==⋅，当ta =1sin302=︒=， 解得1a =，(FE →=-， 设平面CEF 的法向量为(),,n x y z →=， 220230FC n x y FE n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y=)n →=，3cos ,311n m n m n m⋅===⋅⋅ 所以平面CEF 与平面PAD20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈. 【答案】(1)73；79 (2)0.8 (3)20【分析】（1）利用题给条件和平均数与第三四分位数的定义即可求得这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（2）利用正态分布的性质即可求得该成绩在区间()6295，的概率； （3）利用独立事件同时发生的概率列出关于n 的不等式，解之即可求得n 的最大值. 【详解】（1）550.1650.3750.4850.1950.173x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 35701078.7540+⨯=， 则这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值分别为73，79 （2）()()11629520.680.960.820.822P P ξμσξμσ<<=-<<+≈⨯+⨯=≈，（3）()0.80.01n≥，即0.8lg0.012log 0.0120.62lg0.83lg21n -≤==≈-， 故n 的最大值为20.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)22142x y += (2)APB ∠为定值90【分析】（1）由离心率可得,,a b c 之间关系，根据通径长可得2b PC a=，由2PACPOCS S=可构造方程求得22,a b ，由此可得椭圆方程；（2）设直线():0AP y kx k =>，结合斜率公式可求得2AC kk =，由此可得直线AC 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得B 点坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得0PA PB ⋅=，由此可得结论. 【详解】（1）椭圆离心率22c e a ==，2212c a ∴=，则222212b a c a =-=， 当C 为椭圆右焦点时，212b PC a a ==； 211122222224PACPOCSSc a ac a ==⨯⋅===，解得：24a =，22b ∴=，∴椭圆E 的方程为：22142x y +=.（2）由题意可设直线():0AP y kx k =>，()00,P x kx ，()11,B x y ， 则()00,A x kx --，()0,0C x ，0002AC kx kk x x ∴==+，∴直线()0:2k AC y x x =-； 由()0222142k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()22222002280k x k x x k x +-+-=， 2001222k x x x k ∴-+=+，则2010222k x x x k =++， ()2300110002222222k x k x k k y x x x x k k ⎛⎫∴=-=+-= ⎪++⎝⎭，23000222,22k x k x B x k k ⎛⎫∴+ ⎪++⎝⎭；2002222,22k x kx PB k k ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭，又()002,2PA x kx =--，()20000222222022k x kx PA PB x kx k k ⎛⎫∴⋅=-⋅+-⋅-= ⎪++⎝⎭，则PA PB ⊥，APB ∴∠为定值90.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③结合韦达定理的结论表示出所求量； ④化简整理可得定值.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >． 【答案】(1)0.3，0.4； (2)分布列见解析，1.9； (3)证明见解析.【分析】(1)由统计表确定甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐频率和乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的频率，由频率估计概率即可；(2)由条件确定随机变量X 的可能取值，再求取各值的概率，根据期望的定义求期望；(3)由条件结合条件概率公式证明()()()P NM P N P M >⋅，由此证明()()P M N P M N >.【详解】（1）设事件C 为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐”， 事件D 为“乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的天数为30， 乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的天数为40， 所以()300.3100P C ==，()400.4100P D ==． （2）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为0.1， 乙员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率为0.2，记X 为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1、2， 所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==， 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=． （3）由题知()()P N M P N M >，即()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P M P M ->=-，即()()()P NM P N P M >⋅，即()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-， 即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，即()()()()P NM P NM P N P N >，即()()P M N P M N >．。
辽宁省沈阳二中2015届高三上学期12月月考试题 数学(理) Word版含答案
沈阳二中2014——2015学年度上学期12月份小班化学习成果阶段验收高三（ 15 届）数学（理科）试题命题人：高三数学组 审校人：高三数学组说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上第Ⅰ卷 （60分）一、选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1、已知R 是实数集，集合3|1M x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,{}N=y y x =则()R NC M = ( ) .[0,2]A .[2,)B +∞ .(,2]C -∞ .[2,3]D2.已知()2,f x x i =是虚数单位，则在复平面中复数()13f i i++对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、已知()πα,0∈，22)3cos(-=+πα，则=α2tan （ ）A.33B.3-或33-C.33- D.3-4.已知两个不同的平面αβ、和两个不重合的直线m 、n ，有下列四个命题：①若//,m n m n αα⊥⊥，则；②若,,//m m αβαβ⊥⊥则；③若,//,,m m n n αβαβ⊥⊂⊥则； ④若//,//m n m n ααβ⋂=，则.其中正确命题的个数是 （ ）A.0B.1C.2D.35．下列说法中，正确的是 （ ）A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题B ．命题“存在R x ∈，02>-x x ”的否定是：“任意R x ∈，02≤-x x ” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题 D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件6.点(),a b 在直线23x y+=上移动，则24ab+的最小值是（ ）A.8B. 6C.D.7、若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率是 ( ) A B D8. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A . 28π+B . 88π+ C . 48π+ D . 68π+9．对于非零向量βα,，定义一种向量积：αβαβββ⋅=⋅．已知非零向正视图侧视图俯视图量)4,0(,πθ∈的夹角b a ，且a b b a ,都在集合}|2{Z n n∈中。
2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学(理)试题(解析版)
2023届河南省九师联盟高三上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}39xA x =>，{}24B x x =-≤≤，则()U A B ⋂=（ ）A ．[)1,0-B ．()0,5C ．[]0,5D ．[]22-,【答案】D【分析】根据指数不等式化简集合A ,进而根据集合的交并补运算即可求解.【详解】{}{}392xA x x x =>=>，故{}U2A x x =≤ ，所以(){}[]U 222,2A B x x ⋂=-≤≤=-.故选:D2．在复平面内，3i1i-+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C 【分析】先化简3i1i-+，即可判断. 【详解】()()()23i 1i 3i 3i 3i 33i 1i 1i 1i 222----+===--++-，故3i 1i -+对应的点为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限. 故选：C.3．新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV ）、纯电动汽车（BEV ，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV ）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：由上表可知其线性回归方程为ˆˆ0.16y bx =+，则ˆb 的值是（ ）．A ．0.28 B ．0.32 C ．0.56 D ．0.64【答案】A【分析】先计算x ，y ，再根据样本中心点(),x y 适合方程ˆˆ0.16ybx =+解得ˆb 的值即可. 【详解】由表中数据可得1234535x ++++==，0.50.61 1.4 1.515y ++++==，将()3,1代入ˆˆ0.16ybx =+，即ˆ130.16b =⨯+，解得ˆ0.28b =． 故选:A ．4．已知πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 1tan αα-的值为（ ）A ．34-B ．34C ．32-D ．32【答案】A【分析】根据正弦的和差角公式可得1sin cos 2αα-=，平方可得3sin cos 8αα=，进而化切为弦即可求解.【详解】由πsin 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭)sin cos αα-1sin cos 2αα-=， 所以()21sin cos 12sin co 4s αααα-=-=，则3sin cos 8αα=， 故3sin sin cos 3811tan cos sin 42αααααα===----. 故选：A.5．已知平面向量a ，b 满足3a =3b =，()a b b -⊥，则sin ,a b =（ ） A ．13B ．23CD【答案】D【分析】由()a b b -⊥，可得()0a b b -⋅=化简结合已知条件和数量积公式可求出cos ,a b ，再利用同角三角函数的关系求出sin ,a b 的值【详解】由于()a b b -⊥，所以()22cos ,0a b b a b b a b a b b -⋅=⋅-=⋅⋅-=，21cos ,03ba b a b==>⋅， 所以,0,2πa b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2122sin ,133a b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选：D6．执行如图所示的程序框图，若输出的S 是56，则输入的()*n n N ∈是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C【分析】模拟程序运行，得出程序的功能是求和()101231i ++++++-，结合条件从而可得出答案.【详解】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出：()101231S i =++++++-根据题意可得()10123156S i =++++++-=即()()11231552i i i ⨯-++++-== 解得：11=i所以当11112i =+=时，则中止循环，故12n = 故选：C7．()252y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数是（ ）A ．5B ．15C ．20D ．25【答案】B【分析】根据题意得到()52x x y +与()25y x y x+的展开式通项，列出方程即可得到结果.【详解】因为()()()2255522y y x x y x x y x y x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭，()52x x y +的展开式通项为561552C 2C kkk kk k k T x xy x y --+=⋅⋅=⋅⋅，()25y x y x+的展开式通项为2542155C C r r r rr r r y S x y x y x --++=⋅⋅=⋅⋅， 由6343k r -=⎧⎨-=⎩可得31k r =⎧⎨=⎩因此()252y x x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，33x y 的系数为31552C C 15-=.故选:B.8．已知函数()()22cos10,2xf x x x ωωω=->∈R ，若()f x 在区间()π,2π内没有零点，则ω的最大值是（ ）． A ．16B ．34C ．1112 D ．53【答案】C【分析】利用三角恒等变换化简()f x ，结合正弦函数零点性质，即可求解．【详解】()2π2cos1cos 2sin 26xf x x x x x ωωωωω⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭， 令()0f x =，()ππ6x k k ω+=∈Z ，()ππ6k x k ωω=-∈Z ． 又函数()f x 在区间()π,2π内没有零点，所以6(1)26k k πππωωπππωω⎧-≤⎪⎪⎨+⎪-≥⎪⎩，解得()1116212k k k ω+-≤≤-∈Z ，0ω>， 所以0k =，5012ω<≤，1k =，511612ω≤≤，所以ω的最大值是1112． 故选：C ．9．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，且PA ⊥平面ABCD ，||3||PA AB =，则直线PB 与直线AC 所成角的余弦值是( ) A ．110BC ．15D【答案】D【分析】连接BD 交AC 于O ，取PD 的中点E ，连接OE ，AE ．运用中位线定理，可得AOE ∠即为直线PB 与直线AC 所成角．运用线面垂直的性质和勾股定理，解△AOE ，即可得到所求值． 【详解】连接BD ，与AC 交于O 点，取PD 的中点E ，连接OE ，AE ．由中位线定理，可得OE PB ∥，且1||||2OE PB =， 即有AOE ∠即为直线PB 与直线AC 所成角． 由PA ⊥平面ABCD ，设||3||3PA AB a ==， 可得直角△PAB 中，|10|PB a =，|10|OE =， 在直角△PAD 中，11||||02AE PD =， ∴AOE △为等腰三角形， 在正方形ABCD 中，12||||2AO AC ==， 可得12522cos 11|20|||AO OE AOE a ∠=．故选：D ．10．已知O 为坐标原点，抛物线2:2(0)C x py p =>与曲线:E y x =A ，其横坐标为4，记C 的平行于OA 的切线为1,l E 的平行于OA 的切线为2l ，则下列判断错误的是（ ） A ．4p =B ．OA 的方程为20x y -=C ．1l 的方程为210x y --=D ．2l 的方程为210x y --=【答案】D【分析】选项A ：利用点A 的坐标计算出p 即可；选项B ：利用,O A 两点坐标计算出OA 的方程即可；选项C ：设出1l 的方程，利用1l 与C 相切，然后求出直线方程即可；选项D ：设出2l 的方程，利用2l 与E 相切，然后求出直线方程即可.【详解】选项A ：因为点A 的横坐标为4x =，点A 在曲线:E y x =所以()4,2A ，又因为点A 在抛物线()2:20C x py p =>上，所以2422p =⨯，解得4p =，故A 正确；选项B ：因为()4,2A ，()0,0O ，所以得OA 的方程为20x y -=，故B 选项正确；选项C ：由选项A 可知C 的方程为28x y =，设11:2l y x m =+，联立2812x yy x m ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2480x x m --=， 因为1l 与C 相切，所以()()24480m ∆=--⨯-=，解得12m =-，所以111:22l y x =-，即1l 的方程为210x y --=，故C 选项正确； 设21:2l y x n =+，联立12y y x n⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得()224140x n x n +-+=， 因为2l 与E 相切，所以()()22161440n n ∆=--⨯=，解得12n =， 所以211:22l y x =+，即2l 的方程为210x y -+=，故D 错误； 故选：D .11．已知点(),P m n是函数2y =3515m n ++的最小值是（ ） A．22B．22C1- D1 【答案】A【分析】函数式化简后知函数图象是半圆（下半圆），所求最小值表达式变形后可能通过半圆上的点到直线35150x y ++=的距离来表示，从而由圆心到直线的距离可得出最小值． 【详解】式子2y =22(1)(2)1x y ++-=，又2y ≤，因此函数2y =22(1)(2)1x y ++-=在2y =下方的半圆，如图， 作出直线35150x y ++=，平移该直线，由图可知它能与下半圆相切，(,)P m n 到直线35150x y ++=的距离．圆心为(1,2)C -，半径为1，d =，因此P 到直线35150x y ++=1， 所以3515m n ++的最小值是1)22= 故选：A ．12．若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（ ） A ．2a b > B ．2a b <C ．|||2|>a bD ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∵22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∵()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∵()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.二、填空题13．已知函数()2e 8xf x a x x =+-的图象在点()()0,0f 处的切线斜率为5-，则=a ______.【答案】3【分析】求出()0f '，根据()05f '=-即可求解.【详解】由已知得()e 28xf x a x '=+-，因为()085f a '=-=-，所以3a =. 故答案为：3.14．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若()2cos cos sin a C c A B +，则cos B =______.【答案】12##0.5【分析】由正弦定理结合诱导公式得到22sin B B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而求出sin B =用同角三角函数关系求出答案.【详解】()2cos cos sin a C c A B +=，由正弦定理得：()2sin cos sin cos sin A C C A B B +，即()2sin sin A C B B +，其中()()sin sin πsin A C B B +=-=，故22sin B B = 因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0B ≠，故sin B =1cos 2B ==.故答案为：12.15．在三棱锥-P ABC 中，PA BC ==，PB AC ==5AB PC ==，则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积是______． 【答案】29π【分析】由题意，PA BC ==PB AC ==5PC AB ==，将三棱锥-P ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为5，求出长方体的棱长，长方体的外接球就是三棱锥的外接球．【详解】由题意，PA BC ==PB AC ==5PC AB ==，将三棱锥-P ABC 放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为5，设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ,=5=， 解得：4a =，2b =，3c =．长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R ，∴222222(2)4294π29πR a b c R S R ⇒⇒球＝＋＋＝＝＝﹒故答案为：29π．16．已知椭圆和双曲线有相同的焦点1F ，2F ，它们的离心率分别为1e ，2e ，点P 为它们的一个交点，且1223F PF π∠=，则2212e e +的取值范围是______. 【答案】()2,+∞【分析】根据椭圆与双曲线的定义求出12,PF PF 用12,a a 表示，在12F PF △中，根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅找到12,,a a c 的关系，然后整理成离心率解决. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距2c ，点P 为椭圆与双曲线在第一象限的交点，则1212+=PF PF a ，1222-=PF PF a ，解得112=+PF a a ，212=-PF a a ，如图：在12F PF △中，根据余弦定理可得22212121222cos3F F PF PF PF PF π=+-⋅⋅， 整理得2221243c a a =+，即2212314e e +=， 设211t e =，222t e =，则有1201t t <<<，12314t t +=， 所以121143134t t t t -=-=，即有121143t t t =>-，所以1314t <<， 所以2221111212111424343t t t e e t t t t t -+=+=+=--，设143u t =-，则134u t +=，且01u <<， 所以222124313144u u e e u u u ++⎛⎫+==++ ⎪⎝⎭，因为3y x x=+在()0,1上单调递减， 所以34u u+>，所以22122e e >+.故答案为：()2,+∞三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()123*n n a S n N +=+∈． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 【答案】(1)3nn a ＝；(2)见解析﹒【分析】(1)利用公式法(n a 与n S 关系)即可求的{}n a 的通项公式； (2)分析{}n b 的通项公式可知其前n 项和可以用错位相减法求得﹒ 【详解】（1）∵123n n a S +=+ ∴当n ≥2时，123n n a S -＝＋ ∴11222n n n n n a a S S a ---＋＝＝ ∴13n n a a ＋＝∴{}n a 为从第二项开始的等比数列，公比为q ＝3， 又13a ＝，∴21239a S ＝＋＝，∴3nn a ＝(n ≥2)，n ＝1时13a ＝也满足上式，∴*3(n n a n N ∈＝)；（2）∵33log log 333n n n n n n a nb a ＝＝＝， ∴231233333n n nT ＝＋＋＋＋ ①∴234111231333333n n n n n T -＋＝＋＋＋＋＋ ② ①－②得，23121111333333n n n n T -＋＝＋＋＋＋ 111123313313n n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭--＋＝ ∴3134342n n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝＋ ∵*n N ∈，∴130342n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＞，∴34n T ＜． 18．某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为12.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资.（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人.（ⅰ）记该厂每月获利为X 万元，求X 的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？【答案】（1）1132；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）是. 【分析】（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．利用二项分布计算公式即可得出．（2）X 的可能取值为34，46，58．利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列． 【详解】（1）因为该厂只有1名维修工人，所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障，故该工厂能正常运行的概率为6524126611111111112222232C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯⨯-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）（ⅰ）X 的可能取值为34，46，58，()61134264P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()5561134612232P X C ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()1357581643264P X ==--=， 则X 的分布列为故13571133446586432642EX =⨯+⨯+⨯=. （ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为610357⨯-=万元.因为113572<，所以该厂应再招聘1名维修工人. 【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，D ，E 分别为11,AA B C 的中点.(1)求证：//DE 平面ABC ；(2)若DE BC ⊥，二面角A BD C --的大小为3π，求直线1B C 与平面BCD 所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)6π【分析】(1)取BC 的中点M ，连结AM EM ，，根据平行四边形的判断定理和性质可得∥DE AM ，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设1(0)AB AC b b ==>，，12(0)AA c c =>，根据空间垂直向量的坐标表示求出b ，利用向量法求出平面BCD 、平面ABD 的法向量，结合向量的数量积求出二面角，进而求得c ，再利用向量法即可求出直线1B C 与平面BCD 所成角.【详解】（1）取BC 的中点M ，连结AM EM ，，则1∥DA BB ，且1112DA BB EM BB =，//，且112EM BB =. 所以∥DA EM ，且DA EM =，所以四边形AMED 为平行四边形，所以∥DE AM .又AM ⊂平面ABC DE ⊄，平面ABC ，所以//DE 平面ABC .（2）以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 设11(0)2(0)AB AC b b AA c c ==>=>，，，则11(1,0,0)(0,,0)(0,0,)(1,0,2),,22b B C b D c B c E c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，， 所以1,,0(1,,0)22b DE BC b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，. 因为DE BC ⊥，所以0DE BC ⋅=，所以1b =.又(1,1,0)(1,0,)BC BD c =-=-，， 设平面BCD 的一个法向量(,,)n x y z =，则00n BC n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00x y x cz -+=⎧⎨-+=⎩， 令1x =，则11y z c ==，，所以11,1,n c ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 又平面ABD 的一个法向量(0,1,0)=AC ，所以cos 3||||⋅=n AC n AC π，即12=c =(1,1,2)n =.又1(1,1,=-BC ， 所以1111cos ,211||n B C n B C n B C ⋅〈===+〉，所以直线1B C 与平面BCD所成角为6π. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点分别为1212,,4A A A A =，且过点⎭． (1)求C 的方程；(2)若直线:(4)(0)l y k x k =-≠与C 交于M ，N 两点，直线1A M 与2A N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出此定直线的方程．【答案】(1)22143x y +=； (2)证明见解析，1x =.【分析】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程.（2）设()()1122,,,M x y N x y 则111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--，联立直线l 与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k 的范围及12x x +、12x x 关于k 的表达式，再联立直线1A M 与2A N 求交点坐标，即可证结论并确定直线方程.【详解】（1）因为124A A =，所以24a =，解得2a =．因为C过点⎭221b ⎝⎭=，解得b = 所以C 的方程为22143x y +=． （2）由题意，设()()1122,,,M x y N x y ，则111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =--． 由()224143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2222343264120k x k x k +-+-=，则()()()2222Δ3243464120k k k =--+->，解得1122k -<<且0k ≠，21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+． 由()()11222222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩得：()()()()()()()()21211221212112212224224222424222y y k x x k x x x x x y y k x x k x x x x +-++---+===-+-----+()()221221212112122211211264123222422426234341323838438434k k x x x x x x x x x x k k k x x x x x x k -⨯-⨯--+---++===--+--⨯--+， 所以点G 在定直线1x =上．21．已知函数1()ln =+f x a x x，其中R a ∈． (1)若函数()f x 的最小值为2a ，求a 的值；(2)若存在120x x <<，且122x x +=，使得()()12f x f x =，求a 的取值范围．【答案】(1)1(2)()1,+∞【分析】（1）根据题意，分0a ≤和0a >两种情况讨论求解即可；（2）由题知212121ln 022x x x a x x x +-=，进而令21x t x =，1t >，1()ln 22t t a t t ϕ=+-，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点，再讨论1a ≤时，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进而进一步转化为，当1a >时则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，且函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点问题，再根据导数研究函数的零点即可.【详解】（1）解：函数定义域为{}0x x >，2211()a ax f x x x x-'=-=． 若0a ≤，则()0f x '<，函数()f x 为减函数，无最小值．若0a >，由()0f x '=得1x a=． 所以，x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的最小值即极小值为11ln f a a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 所以，21ln a a a a+=，即ln 1a a +=．设()ln g a a a =+，则()110g a a '=+>， 所以，()g a 为()0,∞+上的增函数，又因为()11g =．所以，1a =．（2）解：由()()12f x f x =，得121211ln ln a x a x x x +=+， 即212111ln 0x a x x x +-=，将122x x +=代入， 有：21212121ln022x x x x x a x x x +++-=，得212121ln 022x x x a x x x +-=． 令21x t x =，1t >，1()ln 22t t a t t ϕ=+-， 所以，将问题转化为函数()t ϕ在区间()1,+∞上有零点．所以，2221121()222a t at t t t tϕ-+-'=--=．其中()11a ϕ'=-． 因为函数221y t at =-+-的对称轴方程为t a =．所以，当1a ≤，则()0t ϕ'<恒成立，得()t ϕ在区间()1,+∞为减函数，又()10ϕ=，所以()0t ϕ<，函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点．当1a >，则()0t ϕ'=有两不等正实根1t 和2t ，设12t t <，有121t t =，且1201t t <<<．所以，t ，()t ϕ'，()t ϕ的变化如表：又()10ϕ=，得()2(1)0t ϕϕ>=．下面证明函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点． 考虑到1()ln 22t t a t t ϕ=+-中含参数a ， 取2(1)a t a =>e ．则()222222211ln 22222a aa a a a a a ϕ=+-=+-e e e e e e ， 当1a >时，22111222a <<e e ，则()2221222aa a ϕ<+-e e ． 令221()222a m a a =+-e ，则()24a m a a '=-e ， 令()24a h a a =-e ，当1a >时，有22()42420a h a '=-<-<e e ，所以，函数()h a 在1a >时为减函数，由()2140m '=-<e ，知()0m a '<恒成立．所以，()221e 222am a a =+-为()1,+∞上的减函数． 所以()2222155()(1)2022222am a m ϕ-<<=+-=-=<e e e e ． 又()20t ϕ>，于是()()220a t ϕϕ<e ，所以，函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点．综上，实数a 的取值范围是()1,+∞．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意，利用换元方法，将问题转化为证明函数1()ln 22t t a t t ϕ=+-在区间()1,+∞上有零点，进而先排除当1a ≤函数()t ϕ在区间()1,+∞无零点，进一步将问题转化为函数()t ϕ在减区间()2,t +∞上存在零点.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,42sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.(1)把1C 的参数方程化为极坐标方程：(2)求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<.【答案】（1）24cos 8sin 160p p p θθ--+=；（2）1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）先把曲线1C 化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线1C 和曲线2C 的方程解得即可.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为：()()22244x y -+-=，即2248160x y x y +--+= . 1C ∴的参数方程化为极坐标方程为24cos 8sin 160p p p θθ--+=； (2)联立2481604p pcos psin p sin θθθ⎧--+=⎨=⎩可得：424p p ππθθ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩或，1C 与2C 交点的极坐标为4,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，和4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.23．已知()()f x x a a R =+∈．（1）若()21f x x ≥-的解集为[]0,2，求a 的值；（2）若对任意x R ∈，不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）(]-2∞，【分析】（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出a 的值；（2）利用绝对值不等式求出()f x x a +-的最小值，把不等式()32f x x a a +-≥-化为只含有a 的不等式，求出不等式解集即可．【详解】（1）不等式()21f x x ≥-，即21x a x +≥-两边平方整理得()2232410x a x a -++-≤由题意知0和2是方程()2232410x a x a -++-=的两个实数根 即2240231023a a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯=⎪⎩，解得1a =（2）因为()()()2f x x a x a x a x a x a a +-=++-≥+--=所以要使不等式()32f x x a a +-≥-恒成立，只需232a a ≥-当0a ≥时，232a a ≥-，解得2a ≤，即02a ≤≤；当a<0时，232a a -≥-，解得25a ≤，即a<0； 综上所述，a 的取值范围是(],2∞-【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．。
2024届天津市静海区一中高三上学期12月月考数学试题及答案
静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a << B. b c a <<C. a b c<< D. b a c<<5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）.A. 1B. 0C. 1-D. 26. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 29. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨--≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 取值范围是（ ）A 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．13. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设的.AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA的面积是三角形的BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 前n 项和n T .（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11xf x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()cos f x x x a x >-.的静海一中2023-2024第一学期高三数学（12月）学生学业能力调研试卷命题人：李静 审题人：陈中友考生注意：本试卷分第Ⅰ卷基础题（133分）和第Ⅱ卷提高题（14分）两部分，共147分.3分卷面分.知 识 技 能学习能力内容集合简单逻辑函数圆锥曲线立体几何数列基本不等式平面向量三角函数复数关键环节分数10153520205518514第Ⅰ卷 基础题（共131分）一、选择题（每小题5分，共45分）1. 设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（ ）A. {3}B. {1,6}C. {5,6}D. {1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B2. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.【详解】由等比数列的通项公式可得，111n n n a a a qq q-=⋅=⋅，.当10a >且01q <<时，则10a q >，且n y q =单调递减，则1n n aa q q=⋅是递减数列，故充分性满足；当1n n a a q q =⋅是递减数列，可得1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩，故必要性不满足；所以“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的充分不必要条件.故选：A3. 函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】方法一：根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断；方法二：根据函数的奇偶性及某个函数值的符号排除即可判断.【详解】方法一：因为202xx+>-，即()()220x x +⋅-<，所以22x -<<，所以函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，又()()242()log 2xf x x f x x--=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；当()0,2x ∈时，212x x+>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B C ,；又()211log 302f =>，所以排除A.故选：D.4. 设0.32,sin28,ln2a b c === ，则（ ）A. c b a<< B. b c a<<C. a b c <<D. b a c<<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数、正弦函数的性质，借助“媒介数”比较判断作答.【详解】00.32,si 2n n212i 81s 30a b >=<===2e <<，则1ln 212<<，即112c <<，所以b<c<a .故选：B5. 已知2243x y ==，则3y xxy-的值为（ ）A. 1 B. 0C. 1- D. 2【答案】C 【解析】【分析】利用指数与对数互化的公式表示出224log 3,log 3x y ==，再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.【详解】因为2243x y ==，所以224log 3,log 3x y ==，由换底公式和对数的运算性质可得33333322433131813log 2log 24log 8log 24log log 1log 3log 3243y x xy x y -=-=-=-=-===-.故选：C6. 若三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，若该三棱雉的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. 18πC. 20πD. 【答案】C 【解析】【分析】由题设知三棱锥-P ABC 是相应正六棱柱内的一个三棱锥，由此知该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，求出正六棱柱的外接球半径即可得．【详解】三棱锥-P ABC 中，已知PA ⊥底面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，故该三棱锥为图中正六棱柱内的三棱锥-P ABC ，所以该三棱锥的外接球即为该六棱柱的外接球，所以外接球的直径2R ==，则R =所以该球的表面积为224π4π20πS R ==⋅=．故选：C ．7. 已知函数()sin cos f x x x x =+，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数()f x 的最小正周期为πB. 函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 的图象可由πsin 3y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到D. 函数()f x 的图象可由sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到【答案】B 【解析】【分析】首先化简函数()f x ，再根据三角函数的性质，求最小正周期判断A ，整体代入法判断对称中心判断B ，利用函数图象变换法则即可判断CD.【详解】()1πsin cos sin 22sin 223f x x x x x x x ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；当π6x =时，πππ2πsin 2sin 06633f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,06⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()f x 一个对称中心，故B 错误；由πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变得到πsin(23y x =+，故C 正确；将sin2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位得到ππsin[2()]sin(2)63y x x =+=+，故D 正确.故选：B的8. 已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）A. 3B.C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan bF F P a ∠=可得12cos aF F P c ∠==，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-⋅∠，即有2229422aa a c a c c=+-⨯⨯，化简可得223c a =，所以双曲线的离心率==ce a．故选：C ．9. 设a R ∈，函数2sin 2,0()474,0x x f x x x a x π<⎧=⎨-+-≥⎩，若()f x 在区间(),a ∞-+内恰有5个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 7511,2,424⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ B. 75,22,42⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C. 37511,,2424⎛⎤⎡⎫⋃⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】解法一：利用排除法，分别令94a =和138a =求解函数的零点进行判断，解法二：分类讨论，分()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点，()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点和()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点三种情况求解即可【详解】法一（排除法）：令94a =，则2sin 2,0()42,0x x f x x x x π<⎧=⎨--≥⎩，当0x <时，()f x 在区间9,04⎛⎫- ⎪⎝⎭有4个零点，当0x ≥时，()020f =-<，Δ240=>，()f x 在区间[)0,∞+有1个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除A ､C.令138a =，则2sin 2,0()14,02x x f x x x x π<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，当0x <时，()f x 在区间13,08⎛⎫- ⎪⎝⎭有3个零点，当0x ≥时，()1002f =>，Δ140=>，()f x 在区间[)0,∞+有2个零点，综上所述，()f x 在区间(),a ∞-+内有5个零点，符合题意，排除B ，故选D.法二（分类讨论）：①当()f x 在区间(),0a -有5个零点且在区间[)0,∞+没有零点时，满足0532a ∆<⎧⎪⎨-≤-<-⎪⎩，无解；②当()f x 在区间(),0a -有4个零点且在区间[)0,∞+有1个零点时，满足()000522f a ⎧⎪∆>⎪<⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得522a <≤；③当()f x 在区间(),0a -有3个零点且在区间[)0,∞+有2个零点时，满足()000322f a ⎧⎪∆>⎪≥⎨⎪⎪-≤-<-⎩，解得3724a <≤，综上所述，a 的取值范围是375,2,242⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦，故选：D.二、填空题：每小题5分，共30分.10. 已知复数2i2i 1a +-是纯虚数，则实数=a ______.【答案】1【解析】【分析】由复数的除法运算、纯虚数的概念即可求得参数a .【详解】由题意()()()()()()2i 2i+12241i 41i2i 222i 12i 12i+14155a a a a a a +-++++-===-----，由题意复数2i 2i 1a +-是纯虚数，则2205a-=且4105a +-=，解得1a =.故答案为：1.11. 抛物线28y x =，过焦点的弦AB 长为8，则AB 中点M 的横坐标为____.【答案】2【解析】【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦AB 的中点M 到准线的距离，最后求出弦AB 的中点M 的横坐标.【详解】抛物线28y x =的准线l 的方程为：2x =-，焦点为(2,0)F ,分别过,,A B M ，作,,AC l BD l MH l ⊥⊥⊥，垂足为,,C D H ，在直角梯形ABDC 中，2AC BDMH +=，由抛物线的定义可知：,AC AF BD BF ==，因此有4222AC BDAF BFAB MH ++====，所以点M 的横坐标为422-=.故答案为：2.12. 已知圆()22200x ax y a =+->截直线0x y -=所得弦长是，则a 的值为______．【答案】2【解析】【分析】化圆的方程为标准方程，可得圆心和半径，求得圆心到直线0x y -=的距离d ，代入弦长公式，即可求得答案.【详解】圆()22200x ax y a =+->可变形为：222()x a y a -+=，所以圆心为(,0)a ，半径r a =，所以圆心到直线0x y -=的距离d ，根据弦长公式可得2==，因为0a >，解得2a =.故答案为：213. 设数列 {}n a 的通项公式为()π21cos 2n n a n =-⋅，其前n 项和为n S ，则20S =__________【答案】20【解析】【分析】先由()πcos2n f n =的周期性及函数值特点，分析数列{}n a 的特点1234n n n n a a a a ++++++=()1,5,9,13,16n = ，；再根据这个特点求解即可.【详解】由()πcos 2n f n =可得：周期为2π4π2T ==，()π1cos 02f ==，()2π2cos 12f ==-，()3π3cos 02f ==，()4π4cos 12f ==.因为()π21cos 2n n a n =-⋅，所以123n n n n a a a a ++++++()()()()()()()1π2π3ππ21cos221cos 241cos 261cos 2222n n n n n n n n +++=-⋅++-⋅++-⋅++-⋅4=，()1,5,9,13,16n = ，所以数列{}n a 的前n 项和具有周期为4的周期性，且这样一个周期内的和为 4 ，所以204520S =⨯=故答案为：20.14. 已知0m >，0n >，21m n +=，则()()11m n mn++的最小值为______.【答案】8+8+【解析】【分析】对代数式结合已知等式进行变形，再利用基本不等式进行求解即可.【详解】因为21m n +=，所以()()()()1122262238m n m m n n m n n m n mmnmnm nmn++++++⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为0m >，0n >，所以62n m m n +≥=，当且仅当62n m m n =时取等号，即23n m =-=时，()()11m nmn++有最小值8+，故答案为：8+【点睛】关键点睛：利用等式把代数式()()11m n mn++变形为628n m mn++.15. 如图是由两个有一个公共边的正六边形构成的平面图形Γ，其中正六边形边长为1，设AG xAB y AI =+ ，则x y +=______；P 是平面图形Γ边上的动点，则GE AP ⋅的取值范围是______.【答案】 ①. 1 ②. 3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】以I 为原点，建立平面直角坐标系，根据,,G B I 三点共线，得到1x y +=，设(,)P x y ，求得)GE AP x ⋅=+ ，令z x =+，转化为求该直线在y 轴上截距的取值范围，得到目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】以I 为原点，,BG IO 所在的直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，因为,,G B I 三点共线，且AG xAB y AI =+，所以1x y +=，由正六边形的内角均为120 ，且边长为1，可得31(()22G E A -，设(,)P x y ，可得31),(22GE AP x y ==+ ，则31()22GE AP x y x ⋅=⋅+=+，令z x =，则)y x z =-，当该直线经过点C 时，截距最大，对应的z 最大，此时·GE AP最大值为3，当该直线经过点(G 时，截距最小，对应的z 最小，此时·GE AP的最小值为32-，所以·GE AP 3,32⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1；3[,3]2-.三、解答题：（本大题共5小题，共72分）16. 在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A C =，150B =︒，ABC 的面.（1）求a 的值；（2）求sin A 的值；（3）求sin 26A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）；（2； （3）1314.【解析】【分析】(1)已知条件结合三角形面积公式和正弦定理即可求a ；(2)由余弦定理求出b ，再根据正弦定理即可求出sin A ；(3)根据sin A 求出cos A ，再由正弦和角公式、正余弦二倍角公式即可求值.【小问1详解】∵sin A C =，∴由正弦定理得a =，又ABC1sin1502ac ︒=，解得2c =，∴a =；【小问2详解】由余弦定理有2222cos150b a c ac =+-︒，∴b =.由正弦定理sin sin sin a b A A B =⇒==.【小问3详解】∵B ＝150°，∴A ＜90°，∴由sin A得，cos A =，∴sin 22sin cos A A A ==，211cos 22cos 114A A =-=.∴13sin 2sin 2cos cos 2sin 66614A A A πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.17. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ABCD ⊥面，M 是棱PD 的中点，且2AB AC PA ===，BC =（I ）求证：CD PAC ⊥面； （Ⅱ）求二面角M AB C --的大小；（Ⅲ）若N 是AB 上一点，且直线CN 与平面MAB，求AN NB 的值．的【答案】（I ）见解析；（Ⅱ）4；（Ⅲ）1．【解析】【分析】【详解】试题分析：(I)，，所以平面PAC ；(II)建立空间直角坐标系，求出两个法向量，平面MAB 的法向量，是平面ABC 的一个法向量，求出二面角；(III)设，平面MAB 的法向量，解得答案．试题解析：证明：(I)连结AC ．因为为在中，，，所以，所以．因为AB //CD ，所以．又因为地面ABCD ，所以．因为，所以平面PAC ．(II)如图建立空间直角坐标系，则．因为M是棱PD的中点，所以．所以，．设为平面MAB的法向量，所以，即，令，则，所以平面MAB的法向量．因为平面ABCD，所以是平面ABC的一个法向量．所以．因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为．(III)因为N是棱AB上一点，所以设，．设直线CN与平面MAB所成角为，因为平面MAB的法向量，所以．解得，即，，所以．18. 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为A ，B ．已知椭圆的离心率为12，||3AF =．（1）求椭圆的方程；（2）已知P 为椭圆上一动点（不与端点重合），直线BP 交y 轴于点Q ，若四边形OPQA 的面积是三角形BFP 面积的3倍，求直线BP 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）2)4y x =-【解析】【分析】（1）根据已知线段长度与离心率，求解出,a c 的值，然后根据222a b c =+求解出b 的值，则椭圆方程可求；（2）根据条件将问题转化为三角形ABQ 与三角形OBP 的面积比，由此得到关于,P Q y y 的关系式，通过联立直线与椭圆方程求得对应坐标，然后求解出参数值得P 的坐标，则可求BP 直线方程.【小问1详解】因为，12c e a ==，||3AF =，所以2,3a c a c =+=，所以2,1a c ==，所以b ==所以椭圆方程为22143x y +=；【小问2详解】如图，因为四边形OPQA 与三角形BFP 的面积之比为3:1，所以三角形ABQ 与三角形OPB 的面积比为5:2，所以152122QP AB y OB y ⋅=⋅，所以54Q P y y =，显然直线BP 的斜率不为0，设直线BP 的方程为2x my =+，联立2223412x my x y =+⎧⎨+=⎩，所以()2234120m y my ++=，所以21234P m y m =-+，2Qy m=-，所以22512434m m m -=-+，解得m =，当m =:2BP x y =+，当m =时，:2BP x y =+，故直线BP的方程为2)y x =-.19. 已知数列{}{},,n n n a b S 是数列{}n a 的前n 项和，已知对于任意N*n ∈，都有323n n a S =+，数列{}n b 是等差数列，131log b a =，且2465,1,3b b b ++-成等比数列.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.（2）记211,N n n n n nb d n b b a *++-=∈，求数列{}n d 的前n 项和n T.（3）记2,,n n na n cb n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求211n k k k c c +=∑.【答案】（1）3nn a =，21n b n =-（2）1122(21)3n nT n =-+⋅ （3）175402591648n n +-+⋅【解析】【分析】（1）首先根据n a 与n S 的关系得到n a ，再根据等比数列的性质即可得到n b ；（2）利用裂项相消法即可得结果；（3）将分组求和与错位相减法相结合即可得结果.【小问1详解】当1n =时，11323a a =+，解得13a =.当2n ≥时，11323n n a S --=+，所以113233n n nn n a a a a a --=⇒=-，即{}n a 是以首先13a =，公比为3的等比数列，即3nn a =.因为131log 3b ==，2465,1,3b b b ++-成等比数列，所以()()()2426153b b b +=+-，即()()()213115153d d d ++=+++-，解得2d =.所以()12121n b n n =+-=-.【小问2详解】由（1）得2112(2)2(21)(21)3n n nn n n b n d b b a n n ++-+-==-+⋅()()()()122111212132213213n n n n n n n n -⎡⎤+==-⎢⎥-+⋅-⋅+⋅⎢⎥⎣⎦，则123n nd d d d T +++⋅⋅⋅+=0112231111111111[((()(2133333535373(21)3(21)3n nn n -=-+-+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅0111()213(21)3n n =-⨯+⋅1122(21)3nn =-+⋅【小问3详解】1223221211k k n n n k c c c c c c c c =++=+++∑ ，因为()()()()2121212221221211021332193n n nn n n n n n n c c c c c c c n n -+-+-++=+=-+=-⋅，设()219n n d n =-⋅，前n 项和为n K ，则()121939219n n K n =⨯+⨯++-⨯ ，()()23191939239219n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，()()()()12118119892992199221919n n n n n K n n -++--=+++--⋅=+⨯--⋅- 1458593232n n n K +-=+⋅.所以211110754025931648n n n k k k c c n K +=+-==+⋅∑第Ⅱ卷提高题（共14分）20. 已知函数()()e 11x f x a x =+--，其中a ∈R .（1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a >时，证明：()ln cos f x x x a x >-.【答案】（1）30x y -=（2）答案见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出()0f '，利用导数几何意义结合点斜式方程即可求出切线方程；（2）求出导函数，按照1a ≥和1a <分类讨论研究函数的单调性即可；（3）把原不等式作差变形得()()e cos 1ln 0,0,x a x x x x x x ∞++--->∈+，结合()cos cos a x x x x +>+，把不等式证明转化为e cos 1ln 0x x x x +-->问题，构造函数，求导，利用函数的单调性求得最值即可证明.【小问1详解】当3a =时，()e 21x x x f =+-，()e 2x f x '=+，所以()00e 23f '=+=，又()00e 10f =-=，由导数几何意义知，曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()030y x -=-，即30x y -=.【小问2详解】因为()()e 11x f x a x =+--，所以()e 1x f x a =+-'，当1a ≥时，()e 10xf x a =+->'，函数()f x 在R 上单调递增；当1a <时，由()e 10xf x a =+->'，得()ln 1x a >-，函数()f x 在区间()()ln 1,a ∞-+上单调递增，由()()e 10x f x a =+-<'，得()ln 1x a <-，函数()f x 在区间()(),ln 1a -∞-上单调递减.【小问3详解】要证()ln cos f x x x a x >-，即证()()e 11ln cos ,0,x a x x x a x x ∞+-->-∈+，即证()()e cos 1ln 0,0,xa x x x x x x ∞++--->∈+，设()cos k x x x =+，则()1sin 0k x x ='-≥故()k x 在()0,∞+上单调递增，又()010k =>，所以()1k x >，又因为1a >，所以()cos cos a x x x x +>+，所以()e cos 1ln e cos 1ln x xa x x x x x x x x ++--->+--，①当01x <≤时，因为e cos 10,ln 0x x x x +->≤，所以e cos 1ln 0x x x x +-->；②当1x >时，令()e cos ln 1x g x x x x =+--，则()e ln sin 1xg x x x '=---，设()()h x g x '=，则()1e cos x h x x x=--'，设()1e cos x m x x x =--，的则()21e sin x m x x x=++'，因为1x >，所以()0m x '>，所以()m x 即()h x '在()1,+∞上单调递增，所以()()1e 1cos10h x h >=--'>'，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()1e sin110h x h >=-->，即()0g x '>，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，()()1e cos110g x g >=+->，即e cos 1ln 0x x x x +-->.综上可知，当1a >时，()e cos 1ln e cos 1ln 0x xa x x x x x x x x ++--->+-->，即()ln cos f x x x a x >-.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的常见形式是()()f x g x >，一般可构造“左减右”的函数，即先将不等式()()f x g x >移项，构造函数()()()h x f x g x =-，转化为证不等式()0h x >，进而转化为证明min ()0h x >，因此只需在所给区间内判断()h x '的符号，从而得到函数()h x 的单调性，并求出函数()h x 的最小值即可.。
2022届天津市第一中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)
2022届天津市第一中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合()(){}210M x x x =+-<，{}10N x x =+<，则M N =（ ） A ．()1,1- B ．()2,1- C ．()2,1--D ．()1,2【答案】C【分析】解出集合M 、N ，利用交集的定义可求得集合M N ⋂.【详解】()(){}()2102,1M x x x =+-<=-，{}()10,1N x x =+<=-∞-， 因此，()2,1M N =--.故选：C.2．若,a b ∈R ，且0ab ≠，则“a b >”是“11a b<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据充分必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】当0a b >>时，11a b <不成立；当110a b<<时，a b >不成立，所以“a b >”是“11a b<”的既不充分也不必要条件．故选D ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题． 3．函数2()22x x f x x -=--的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性可排除C ，再根据()()3,5f f 的符号即可排除AD ，即可得出答案.【详解】解：函数的定义域为R ，因为()2()22x xf x x f x --=--=，所以函数()f x 是偶函数，故排除C ；()17398088f =--=>，故排除A ；()1152532703232f =--=--<，故排除D. 故选：B.4．为了解学生课外使用手机的情况，某研究学习小组为研究学校学生一个月使用手机的总时间，收集了500名学生2019年12月课余使用手机的总时间（单位：小时）的数据．从中随机抽取了50名学生，将数据进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．已知这50人中，恰有2名女生的课余使用手机总时间在[18,20]区间，现在从课余使用手总时间在[18,20]样本对应的学生中随机抽取2人，则至少抽到1名女生的概率为（ ）A ．25B ．710C ．815D ．715【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在[18,20]区间的学生人数，然后求出抽取2人的总方法数和至少有1名女生的方法数，从而计算出概率．【详解】500.105⨯=，则[18,20]样本对应的学生为5人，即2名女生，3名男生，从中抽取2人有25C =10种方法，至少抽到一名女生有2253C C -=7种方法，概率为710． 【点睛】本题考查频率分布直方图，考查古典概型，正确理解频率分布直方图是解题基础，求出至少抽到1名女生所含有的基本事件的数量是解题关键．5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P －ABC 的体积为A ．124B ．118 C ．19D ．112【答案】B【详解】连接AC 交BD 于O ，连接PO ，则∠APC=2∠APO ∵tan ∠APO=AOPO∴当PO 最小时，∠APO 最大， 即PO ⊥BD 1时，∠APO 最大， 如图，作PE ⊥BD 于E ，∵正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1， ∴2BD 13 ∵OP ⊥BD 1，PE ⊥BD ， ∴△BDD 1∽△BPO ∽△PEO ， ∴11OP OB DD BD =，1PE OPBD BD = ∴6，PE=13，∴三棱锥P-ABC 的体积V=ABC 11PE 318S⨯⨯=，, 故选项为：B点睛：立体几何的核心思想：空间问题平面化.本题把问题转化到平面BDD 1中，当PO 最小时,即∠APO 最大，借助平面几何知识易得：6PE=13，从而得到了三棱锥P-ABC 的体积.6．已知3log 1a a ⋅=，31b b ⋅=，21c c ⋅=，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】C【分析】根据等式特征，构造函数，利用函数图象，结合数形结合思想进行判断即可.【详解】显然0,0,0a b c >>>， 331log 1log a a a a ⋅=⇒=，1313b b b b ⋅=⇒=，1212c cc c⋅=⇒=， 构造函数()()31log (0),20,30,(0),x xy x x y x y x y x x=>=≥=≥=>在同一直角坐标系画出它们的图象，如下图所示：有b c a <<成立， 故选：C7．函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图，把函数()f x 的图象上所有的点向右平移6π个单位长度，可得到函数()y g x =的图象，下列结论中： ①3πϕ=；②函数()g x 的最小正周期为π；③函数()g x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；④函数()g x 关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭中心对称其中正确结论的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】对①，先根据图象分析出ω的取值范围，然后根据()03f =ϕ的可取值，然后分类讨论ϕ的可取值是否成立，由此确定出,ωϕ的取值；对②，根据图象平移确定出()g x 的解析式，利用最小正周期的计算公式即可判断；对③，先求解出()g x 的单调递增区间，然后根据k 的取值确定出,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是否为单调递增区间；对④，根据3g π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是否为0,即可判断. 【详解】解：由图可知： 1112113124T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，11211129πππω∴<<， 即18241111ω<<， 又()02sin f ϕ==0ϕπ<<，由图可知：23ϕπ=， 又11112sin 21212f ππωϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 112,122k k Z ππωϕπ∴+=+∈， 且113,2122ππωπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 113,3122ππωϕπ⎛⎫⎛⎫∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故1k =， 当23ϕπ=时，1111126πωπ=，解得：2ω=，满足条件，()22sin 23f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， 故()22sin 22sin 2633g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对①，由上述可知①错误； 对②，()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()g x ∴的最小正周期为2=2ππ，故②正确； 对③，令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，即5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 令0k =，此时单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，且5,,3121212ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；对④，2sin 230333g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=-≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ,03π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭不是对称中心，故④错误； 故选：C.【点睛】方法点睛：已知函数()()sin g x A x ωϕ=+()0ω>， 若求函数()g x 的单调递增区间，则令ππ2π2π22k x k ωϕ-<+<+，Z k ∈； 若求函数()g x 的单调递减区间，则令π3π2π2π22k x k ωϕ+<+<+，Z k ∈； 若求函数()g x 图象的对称轴，则令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈； 若求函数()g x 图象的对称中心或零点，则令πx k ωϕ+=，Z k ∈．8．如图，1F ，2F 是双曲线()222:103x y C a a -=>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若点A 为1F B 的中点，且12F B F B ⊥，则12F F =（ ）．A ．4B ．43C ．6D ．9【答案】A【分析】结合已知条件得2//OA F B ，推出1260AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，然后求出a ，即可求得12||F F ．【详解】因为点A 为2F B 的中点，所以2//OA F B ，又12F B F B ⊥，所以1OA F B ⊥，12||||||OF OF OB ==，所以1260AOF AOB BOF ∠=∠=∠=︒，3tan 603=︒=1a =，所以132c =+=． 故12||24F F c ==． 故选：A.9．已知偶函数(),()y f x x R =∈，满足(2)()f x f x +=-且[1,0]x ∈-时()||f x x =，则6()log (1)0f x x -+=的解的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】已知函数()f x 是周期为2的周期函数，在同一个坐标系中，画出函数()y f x =和()6log 1y x =+的图像，可以得出两个图像的交点的个数是5个. 【详解】由()y f x =为偶函数， 得()(2)()f x f x f x +=-=， 所以()f x 的周期为2，由6()log (1)0f x x -+=可得6()log (1)f x x =+， 令()()6log 1g x x =+，即求6()log (1)0f x x -+=的解的个数转化为函数()y f x =与函数()y g x =的交点个数问题；在同一个坐标系中，画出函数()y f x =和()y g x =的图像，如图所示：观察图像可得两个函数共有5个交点. 故选：B.【点睛】本题主要考查了函数图像的交点个数，考查了数形结合思想．属于较易题. 二、填空题10．用()Re z 表示复数z 的实部，用()Im z 表示复数z 的虚部，若已知复数：满足()173z i i -=+，其中z 是复数z 的共轭复数，则()()Re Im z z +=______．【答案】3-【分析】根据复数除法运算求得z ，进而得到z ，实部加虚部即可得到结果.【详解】由题意得：()()()()73173410251112i i i iz i i i i ++++====+--+ 25z i ∴=- 则()()Re Im 253z z +=-=- 本题正确结果：3-【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数的定义、复数的实部和虚部的定义，属于基础题.11．72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为__________.【答案】280-【分析】写出72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项，令x 的指数为1，求出参数的值，再代入通项即可得解.【详解】72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()77217722rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令721r -=，解得3r =.因此，72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()()3372358280C ⋅-=⨯-=-. 故答案为：280-.【点睛】本题考查利用二项式定理求展开式中指定项的系数，考查计算能力，属于基础题.12．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为______. 【答案】67【分析】由对立设事件的概率分别得到连续熬夜48小时和连续熬夜72小时未诱发心脏病的概率，再利用条件概率公式求解.【详解】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()0.055P A =，()0.19P B =， 则()0.945P A =，()0.81P B =，由条件概率公式可得：()()()()()0.8160.9457P AB P B P B A P A P A ====.故答案为：67【点睛】本题主要考查对立事件和条件概率的求法，属于基础题.13．正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是______． 【答案】[6，＋∞)【分析】先利用基本不等式，求得a b +的最小值为16.再对题目所给的恒成立的不等式分离常数m ，求得含有x 的表达式的最小值，由此求得m 的取值范围.【详解】因为a >0，b >0，1a ＋9b ＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )·19a b ⎛⎫⎪⎝⎭＋＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立． 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查不等式恒成立问题的解决策略——分离常数法.属于中档题.14．法国数学家布丰提出一种计算圆周率π的方法——随机投针法，受其启发，我们设计如下实验来估计π的值：先请200名同学每人随机写下一个横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数的平方和小于1的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值.已知某同学一次试验统计出156m =，则其试验估计π为______. 【答案】3.12【解析】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.由几何概型概率的计算公式,及试验所得结果,即可估计π的值.【详解】横、纵坐标都小于1的正实数对(),x y 构成第一象限内的一个正方形, 两数的平方和小于1的数对(),x y 为单位圆在第一象限的部分.其关系如下图所示:则阴影部分与正方形面积的比值为1:14π由几何概型概率计算公式可知115642001π=解得15643.12200π⨯== 故答案为: 3.12【点睛】本题考查了几何概型概率的求法,根据题意得各部分的关系是解决问题的关键,属于基础题.15．已知向量a ，b 满足1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值为______ 【答案】【分析】设a ，b 的夹角为θ，则a b a b ++-=y =平方后化简可求出其最大值，从而可求得a b a b ++-的最大值【详解】解：设a ，b 的夹角为θ（[0,]θπ∈）， 因为1a =，2b =， 所以()()22a b a b a b a b ++-=++-222222a a b b a a b b +⋅++-⋅+令y =210y =+因为[0,]θπ∈，所以2cos [0,1]θ∈，所以当2cos 0θ=时，2y 有最大值102520+⨯=，即y 有最大值所以a b a b ++-的最大值为 故答案为：三、解答题16．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且4B π=．（1）b =3a =，求sinA 的值；（2）若b =3ac +=，求ABC 的面积． 【答案】（1；（21.【分析】（1）直接利用正弦定理即可求出sin A 的值；（2）根据5b =，3a c +=，4B π=，利用余弦定理求出ac ，即可求出ABC 的面积． 【详解】解：（1）由正弦定理sin sin b a B A =得sin 310sin 10a B Ab ==. （2）由余弦定理2222cos b ac ac B =+-得2252a c ac =+-，所以25()(22)9(22)a c ac ac =+-+=-+，得422ac =-. 所以1sin 212ABC S ac B ==-. 17．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，ABD △为等边三角形，BCD △是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒，PC BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点.（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）若PD PB ⊥，求二面角C PA B --的余弦值大小.【答案】（1）见解析；（221 【解析】（1）设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，首先通过条件得出CB AB ⊥，加DN AB ⊥，可得//DN BC ，进而可得//DN 平面PBC ，再加上//MN 平面PBC ，可得平面//DMN 平面PBC ，则//DM 平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、CO ，可得PO ⊥平面ABCD ，加上BD ⊥平面PCO ，则可如图建立直角坐标系O xyz -，求出平面PAB 的法向量和平面PAC 的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】（1）证明：设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，ABD 为等边三角形，DN AB ∴⊥，DC CB =，120DCB ∠=︒，30CBD ∴∠=︒，603090ABC ∴∠=︒+︒=︒，即CB AB ⊥，DN AB ⊥，//DN BC ∴，BC ⊂平面PBC ，DN ⊄平面PBC ，//DN ∴平面PBC ，MN 为PAB △的中位线，//MN PB ∴，PB ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，//MN ∴平面PBC ， MN 、DN 为平面DMN 内二相交直线，∴平面//DMN 平面PBC ，DM ⊂平面DMN ，//DM ∴平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、COABD 为等边三角形，BCD △是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒AO BD ∴⊥，CO BD ⊥，A ∴、C 、O 共线，PC BD ⊥，BD CO ⊥，PC CO C =，PC ，CO ⊂平面PCOBD ∴⊥平面PCO .PO ⊂平面PCOBD PO ∴⊥平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，PO ⊂平面PBDPO ∴⊥平面ABCD .设2AB =，则3AO =在BCD △中，由余弦定理，得：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠又BC CD =，222222cos120BC BC ∴=-⋅︒， 233CB CD ∴==，33CO =， PD PB ⊥，O 为BD 中点，112PO BD ∴==， 建立直角坐标系O xyz -（如图），则C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，)A，()0,1,0B . ()3,1,0BA ∴=-，()3,0,1PA =-， 设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则，000y n BA n PA z ⎧-=⋅=⇒⎨⋅=-=⎩，取1x =，则y z == (1,3,n ∴=， 平面PAC 的法向量为()0,1,0OB =， 21cos ,7n OBn OB n OB ⋅==⋅ 二面角C PA B --为锐角，∴二面角C PA B --的余弦值大小为7. 【点睛】本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.18．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，以原点O 为圆心，短半轴长为半径的圆恰好经过椭圆C 的两焦点，且该圆截直线10x y +-=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过定点()2,0P 的直线交椭圆C 于两点A 、B ，椭圆上的点M 满足OA OB OM +=，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）)2y x =-.【分析】（1）由题意可知，b c =，再由圆222x y b +=截直线10x y +-=得=，可求出b ，从而求出2a 的值，可得到椭圆的标准方程； （2）设过点P 的直线为2x my =+，与椭圆方程联立成方程组，消元后得()222420m y my +++=，先使判别式大于零，求出m 的取值范围，再利用根与系数的关系得到12242m y y m +=-+，然后结合OA OB OM +=将点M 的坐标表示出来代入椭圆方程中可出m 的值，从而可得直线AB 的方程.【详解】（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为222x y b +=.∵ 圆222x y b +=过椭圆C 的两焦点， ∴b c =，∵ 圆222x y b +=截直线10x y +-=∴1b =， ∴ 222222a b c b =+==.∴ 椭圆C 的标准方程为2212x y +=. （2）设过点P 的直线方程为2x my =+.A ，B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 联立方程22122x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222420m y my +++=，2281602m m ∆=->⇒>， ∴ 12242m y y m +=-+， ∵ OA OB OM +=，∴点()1212,M x x y y ++，∵ 点M 在椭圆C 上，∴有()()22121222x x y y +++=，即()()221212422m y y y y ++++=⎡⎤⎣⎦，∴ ()()()22121228140m y y m y y +++++=， 即()2222442814022m m m m m m ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得214m =，符合22m >， 直线AB方程为)214y x =±-. （2）方法二：由题意知直线AB 的斜率存在，设过定点()2,0P 的直线为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则直线与y 轴交于点()0,2k -，因为OA OB OM +=，所以()1212,M x x y y ++，将直线()2y k x =-与椭圆2212x y +=联立并化简可得， ()2222218820k x k x k +-+-=，则()()()22228421820k k k ∆=--+->，解得k << 所以2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+， 所以()121224421k y y k x x k +=+-=-+， 因为点M 在椭圆上， 所以()1212,M x x y y ++满足椭圆方程2212x y +=， 将2122821k x x k +=+，122421k y y k +=-+代入得， ()()422222321612121k k k k +=++，化简得k ⎛= ⎝⎭， 直线AB方程为)2y x =-. 【点睛】此题考查了求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题.19．给定数列{c n }，如果存在常数p 、q 使得c n+1＝pc n +q 对任意n ∈N 都成立，则称{c n }为“M 类数列”．（1）若{a n }是公差为d 的等差数列，判断{a n }是否为“M 类数列”，并说明理由； （2）若{a n }是“M 类数列”且满足：a 1＝2，a n +a n+1＝3•2n ．①求a 2、a 3的值及{a n }的通项公式；②设数列{b n }满足：对任意的正整数n ，都有a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，且集合M ＝{n|n nb a ≥λ，n ∈N}中有且仅有3个元素，试求实数λ的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）①234,8a a == ，2n n a =；②71,162λ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【分析】（1）通过a n+1＝a n +d 与c n+1＝pc n +q 比较可知p ＝1、q ＝d ，进而可得结论； （2）①通过a 1＝2、a n +a n+1＝3•2n 计算出a 2、a 3的值，进而利用数列{a n }是“M 类数列”代入计算可知数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，计算可得结论；②通过①可知2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，利用2b n ＝（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）计算可知b n ＝2n ﹣1，从而M ＝{n|212nn -≥λ，n ∈N}，分别计算出当n ＝1、2、3时λ的值，进而可得结论．【详解】（1）结论：公差为d 的等差数列是“M 类数列”．理由如下：∵数列{a n }是公差为d 的等差数列，∴a n+1＝a n +d ，此时p ＝1、q ＝d ，即公差为d 的等差数列是“M 类数列”；（2）①∵a 1＝2，a n +a n+1＝3•2n ，∴a 2＝3•2﹣a 1＝4，232328a a =⋅-=，又∵数列{a n }是“M 类数列”，∴2132a pa q a pa q=+⎧⎨=+⎩，即4284p q p q =+⎧⎨=+⎩，解得：p ＝2，q ＝0， 即a n+1＝2a n ，又∵a 1＝2，∴数列{a n }是以首项、公比均为2的等比数列，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n ；②由①可知a 1b n +a 2b n ﹣1+a 3b n ﹣2+…+a n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，即2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1＝3•2n+1﹣4n ﹣6，∴2b n ﹣1+22b n ﹣2+23b n ﹣3+…+2n ﹣1b 1＝3•2n ﹣4（n ﹣1）﹣6＝3•2n ﹣4n ﹣2()2n ≥，∴22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1＝3•2n+1﹣8n ﹣4，∴2b n ＝（2b n +22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）﹣（22b n ﹣1+23b n ﹣2+…+2n b 1）＝（3•2n+1﹣4n ﹣6）﹣（3•2n+1﹣8n ﹣4）＝4n ﹣2，即b n ＝2n ﹣1()2n ≥，当1n =时，11b =也符合上式，所以b n ＝2n ﹣1.∴集合M ＝{n|n n b a ≥λ，n ∈N}＝{n|212n n -≥λ，n ∈N}， 当n ＝1时，λ≤21122-= ；当n ＝2时，λ≤2221324⨯-=； 当n ＝3时，λ≤3231528⨯-= ；当n≥4时，λ≤42417216⨯-=； 又∵集合M ＝{n|n n b a ≥λ，n ∈N}中有且仅有3个元素，∴71162λ<， 故实数λ的取值范围是71,162⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【点睛】本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．已知函数()e 1e x xx f x a =--，其中0a >. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值.【答案】（1）10x y -+=；（2）a 的值为1.【分析】(1)求出函数的导数，得出曲线在点(0,(0))f 处的切线的斜率，再求出切点坐标，得出切线方程.(2) 问题等价于关于x 的方程1(1)e e x x x a =+有唯一的解时，求a 的值,令1()(1)e e x x x g x =+,求出函数()g x 的导数，得出函数()g x 的单调性，从而得出答案.【详解】（1）当2a =时，()2e 1ex x x f x =--，所以1()2e e x x x f 'x -=-， 所以(0)211f '=-=；又(0)211f =-=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x -=，即10x y -+=.（2）问题等价于关于x 的方程1(1)e e x x x a =+有唯一的解时，求a 的值. 令1()(1)e e x x x g x =+，则212e ()e xxx g'x --=. 令()12e x h x x =--，则()2e 0x h'x =--<，∴()h x 在(,)-∞+∞上单调递减.又(0)0h =，∴当(,0)x ∈-∞时，()0h x >，()0g x '>，∴()g x 在(,0)-∞上单调递增.当(0,)x ∈+∞时，()0h x <，)'(0g x <，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，∴()g x 的极大值即最大值为(0)1g =.∴当(,0]x ∈-∞时，()(,1]g x ∈-∞；当(0,)x ∈+∞时，()(0,1)g x ∈.又0a >，∴当方程1(1)e e x xx a =+有唯一的解时，1a =. 综上，当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为1.【点睛】本题考查求曲线的切线方程，利用导数讨论函数的零点问题，属于中档题.。
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2019届高三数学上学期12月月考试题理
本试卷分第1 卷（选择题）和第 2 卷（非选择题）两部分，满分150 分.考试时间120 分钟.
一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
3.向量 a (m,1) , b1, m,则“m1”是“a/ /b ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.非充分又非必要条件
8.设随机变量N (2, 2 ) ,若P(a) 0.3 ,则P( 4 a) 等于( )
A.0.4
B.0.5
C.0.6
D.0.7
10. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、…、《辑古算经》等
部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（）
第2 卷（非选择题）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13 题--第21 题为必考题，每个试题考生都必须回答.
第 22 题-第 23 题为选考题，考生根据要求做答.
二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
15.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术. 得诀自诩无所阻,额上
坟起终不悟.” 在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
18.随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1 吨该商品可获利润0.5 万元，未售出的商品，每1 吨亏损 0.3 万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了
130 吨该商品．现以x（单位：吨，）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．
一、选择题：
1-12 CDABBCBDAACB 二、填空题
13. （2,1）14.
27
15.63 16.
4
三、解答题
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。