数学：小升初数学总复习：几何专题

小升初总复习 几何专题【例1】【分析与解】(1)用标数法得0+1+2+3+…+9=45，或者排列组合法210109452C ⨯== （2）因为∠AOB 内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.总共有角：10+9+…+2+1=55（个）.（3）①要数多少条线段：先看线段AB 、AD 、AE 、AF 、AC 、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC 、MN 、GH 这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三角形，先看在△AGH 中，在GH 上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH 中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN 与△ABC 中，三角形有同样的个数，所以在△ABC 中三角形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）.(4)AB 边上的线段有：5+4+3+2+1=15. BC 边上的线段有：3+2+1=6. 长方形：15×6=90(个),含★的长方形有2×2×2×4=32（个）(上下左右的线段数相乘)(5)长宽高三个方向线段数相乘,分别为222548C C C ⨯⨯=1680（个）含★的长方体的个数2×6×2×3×1×3=216(个) (上下左右前后的线段数相乘)（6）几何中的线、面、体计数问题常用组合知识，任意两点可以组成一线段，任意两线段可以组成一矩形，任意三线段可组成一个立方体。

【评析】 在几何计数当中也用到了很多排列组合的方法． 【拓展】【分析与解】若周角中含有n 个基本角，那么它上面角的总数是 n （n-1）+1.所以为111. 【例2】【分析与解】长方形个数：2265150C C ⨯=(个)为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.①以一条基本线段为边的正方形个数共有： 6×5=30（个）. ②以二条基本线段为边的正方形个数共有： 5×4=20（个）. ③以三条基本线段为边的正方形个数共有： 4×3=12（个）. ④以四条基本线段为边的正方形个数共有： 3×2=6（个）. ⑤以五条基本线段为边的正方形个数共有： 2×1=2（个）.所以，正方形总数为：6×5+5×4+4×3+3×2+2×1=30+20+12+6+2=70（个）. 【评析】若一长方形的长被分成m 等份，宽被分成n 等份，（长和宽上的每一份是相等的）那么正方形的总数为（n ＜m ）：mn+(m-1)(n-1)+…+（m-2）（n-2）+…+（m-n+1）·1 【例3】【分析与解】分析图中有若干个大小不同、形状各异但有规律的三角形.因此适合分类来数.首先要找出三角形的不同的种类？每种相同的三角形各有多少个？根据图中三角形的形状和大小分为六类：Ⅰ.与△ABE相同的三角形共有5个；Ⅱ.与△ABP相同的三角形共有10个；Ⅲ.与△ABF相同的三角形共有5个；Ⅳ.与△AFP相同的三角形共有5个；Ⅴ.与△ACD相同的三角形共有5个；Ⅵ.与△AGD相同的三角形共有5个；所以图中共有三角形5+10+5+5+5+5=35（个）。

【例4】【分析与解】利用图形的对称性，可得出以下剪拼方法：【例5】【分析与解】从A出发的第一步共有6条路线，每条线有9种方案，共54种方法。

【例6】【分析与解】应用标数法，可得A到B有10种，B到C有3种，所以A经过B到C有3×10=30种。

B处不能走，则B处标0，由标数法可得26【例7】【分析与解】教师要帮助学生理解三天路线有什么不同？每天的路线有无限制条件？若有，是什么？仍然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有16条；第二天（必须经过公园）共有8 条；第三天（必须不经过公园）共有8条．【例8】【分析与解】(1)设登上n级楼梯共有an种不同走法，n＝1，2，….把上到第n级楼梯的情形分为两种走法.一类是先上到第n-1级楼梯，然后再上一级，共有an-1种走法.另一类是先上到第n-2级楼梯，然后再上两级，共有an-2种走法.由加法原理，上到第n级楼梯的走法an满足下列递推关系式：an=an-1＋an-2。

又∵a1=1，a2=2，故上楼梯方法数an依次为1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….∴上到第12级楼梯共有233种不同走法。

(2)如果一次可以走1级、2级、3级则依次为1,2,4,7,13,24,……，即前三数的为等于下一个数。

(3)如果有一级坏，就标0处理。

【教师点评】上面的数列叫兔子数列，也叫斐波那契数列.【分析与解】为了便于理解，可以将本题转化为：上16级楼梯，每次上2级或3级，共有多少种不同方法？如下图所示，后一级的走法等于前2，前3级的走法数之和，最后得37.【补充】【分析与解】图中只有E、D是奇点，从E或D出发可以不重复地走过每条棱，而从B点出发不可能不重复地过每一条棱再到D，至少要多走一条棱，所以从E点出发的蚂蚁获胜．图中只有A与C两个奇点，从A点出发的人可以不重复地走遍每一条路．从B点出发的人至少有一条路要重复走．又两人速度相同，所以从E点出发的人快．【补充】【考点分析】一笔画问题，三年级★★★★，四年级★★★，五年级★★，六年级★★【分析与解】(方法2)胡先友老师推荐方法：8个奇点，要8÷2=4笔才能画成。

其中3笔最少画3条4分米的线段，所以它最多爬过的距离为(4＋5＋6)×4-3×4=48分米。

【评析】一笔画问题三大结论的应用。

【补充】【分析】一层：周长=（20＋12)×2二层：三层：周长=（3×20+3×12）×2………依此类推，摆好十二层后周长为(12×20+12×12）×2【解】（12×20+12×12)×2=768（厘米）答：摆好后图形的周长是768厘米．【例10】★★分别求出图中各图形的面积（∷的面积为2）．求下右图ABC的面积（∴的【解】(方法一：图形分割法)图①分解成1个梯形＋1个正方形． 图①的面积=梯形面积＋正方形面积=（1+3）×1÷2+1=3，3×2=6 图②分解成4个小三角形，2个长方形和一个平行四边形．图②的面积=三角形面积＋长方形面积十平行四边形面积=2+8+1=11,11×2=22 图③分解成4个小三角形，1个长方形和1个平行四边形．图③的面积=三角形面积＋长方形面积＋平行四边形面积=2+3+1=6,6×2=12 图④的面积(4÷2+4-1)×6=30 (方法二：公式法) 【小结】顶点都在格点上的多边形叫格点多边形，有正方形格点多边形和三角形格点多边形。

求格点多边形面积可以统一用：S =2+-1S ÷⨯格点多边形（边点内点），S 表示最小的平行四边形的面积。

(记忆提示：边2内1。

妈妈配在儿子旁边学奥数的格点面积，好累咽) 【例11】【分析与解】连结AC ，∵AB//CD ，∴S △ADE=S △ACE 又∵AD//BC ，∴S △ACF=S △ABF而 S △ACF=S △ACE+S △AEF ∶S △ABF=S △BEF+S △AEF ∴ S △ACE=S △BEF ∴S △BEF=S △ADE=1．【评析】同时加一块在面积计算中的应用。

或都说梯形蝴蝶定理中双腰相等结论的应用。

【例12】【解】AD ︰BE ︰EC=8︰6︰9，86ABD ABES S=，ABDS=34ABES,ABD S-ABE S =AOD S -BOE S，14ABD S =10，ABD S=4096,8BCD ABDS S+=154075.8BCDS=⨯=()ABCD 4075115S ABD S BCD =+=+=梯形S 平方厘米【例13】【分析与解】 方法一：因为CEFG 的边长题中未给出，显然阴影部分的面积与其有关．设正方形CEFG 的边长为x ，有：=10A B C D S ⨯正方形2=x ,S 正方形CEFG 2111x-x=DGG F =(1222DGFS ∆⨯又1=1010=50,2ABD S ∆⨯⨯2110x+x =(10+x)x=.22BEF S ∆阴影部分的面积为: DGF ABD BEFABCD CEFG S S S S S ∆∆∆++--正方形正方形2221010100505022x x x x x -+=++--=(平方厘米).方法二：连接FC ，有FC 平行与DB ，则四边形BCFD 为梯形．（梯形蝴蝶定理中两腰相等）有△DFB 、△DBC 共底DB ，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然,△DBC 的面积11010502⨯⨯=(平方厘米)．阴影部分△DFB 的面积为50平方厘米． 【拓展】【分析与解】（方法一）两块阴影部分的面积相等，AM/BC=GM/GB=21,所以GB/BM=32，而三角形ABG 和三角形AMB 同高，所以S △BAG=32S △ABM=32×21×1÷2=61，所以阴影面积为61×2=31（方法二）利用梯形蝴蝶定理，设AMG 的面积为X ，则BCG 面积为4X ，BGA 的面积=MCG 的面积=2X ，阴影面积=(1-1×0.5÷2)÷9×4=1/3【补充】【分析与解】在△A ′B ′B 与△ABC 中，∠A ′BB ′+∠ABC=180°．因为 AB=AA ′，所以A ′B=2AB ，又因为B ′B=BC ，所以S △A ′B ′B=1×2×S △ABC=2S △ABC=2．同理S △B ′C ′C=2×1×S △ABC=2．S △A ′C ′A=2×1×S △ABC=2．所以S △A ′B ′C ′=S △A ′B ′B+S △B ′C ′C+S △A ′C ′A+S △ABC=2+2+2+1=7。

【补充】【分析与解】连结AG 、CG ，如图所示， ∵ AF=EC ，有S △AGF=S △CGE ， 又∵ED=BG ，有S △AED=S △ABG,且 S △CDE=S △BCG ，由此可见：△EFG 的三个部分中S △ABG 补到了S △EAD ，S △AFG 补到了S △CEG 之后，又将其中的S △BCG 补到了S △CDE 而S △AEG 的位置不变，由此一来相当于将△EFG 等积变形到了四边形ABCD ，两者面积相同，即：S △EFG=1．【评析】见到线段相等或者成倍数关系，应该立刻想到“线段关系转化为面积关系”。