优化设计-孙靖民-课后答案第6章习题解答

第六章习题解答
1． 已知约束优化问题：
试从第k 次的迭代点[]T k x 21)(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。

并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。

[解] 1）确定本次迭代的随机方向：
2) 用公式：R k k S x x α+=+)()1( 计算新的迭代点。

步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。

到第二个约束边界上的步长可取为2，则：
该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2． 已知约束优化问题：
试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：
经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。

为最好点，0203x x
2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：
3）计算反射点1R x （取反射系数3.1=α）
4）去掉最坏点1R
0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011R
x x ，进行新的一轮迭代。

5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：
6）计算新一轮迭代的反射点得：
3． 设已知在二维空间中的点[]T x x x 21
=，并已知该点的适时约束的梯度[]T g 11--=∇，目标函数的梯度[]T f 15
.0-=∇，试用简化方法确定一个适用的可行方向。

[解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(k k k x f P x f P d
∇∇-=/)( k x
点的目标函数梯度为：[]T k x f 15.0)(-=∇ k x 点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：
梯度投影矩阵P 为：
则：适用可行方向为：
4． 已知约束优化问题：
试求在[]T k x 1/21/4
0=点的梯度投影方向。

[解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(k k k x f P x f P d
∇∇-=/)( k x
点的目标函数梯度为：[]T k x f 125.0125.0--=∇)( k x 点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=3，J=1： 梯度投影矩阵P 为：
则：适用可行方向为：
5．用内点法求下列问题的最优解：
（提示：可构造惩罚函数 []∑=-=21
)(ln )(),(u u x g r
x f r x φ，然后用解析法求解。

） [解] 构造内点惩罚函数：
令惩罚函数对x 的极值等于零： 得： 4
83661
21r x x +±== 舍去负根后，得483662r x ++=
当 []T x x r 31302=→→该问题的最优解为，时，。

6． 用外点法求下列问题的最优解：
[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：
subroutine ffx(n,x,fx)
dimension x(n)
fx=x(1)+x(2)
end
subroutine ggx(n,kg,x,gx)
dimension x(n),gx(kg)
gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)
gx(2)=-x(1)
end
subroutine hhx(n,kh,x,hx)
domension x(n),hx(kh)
hx(1)=0.0
end
然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：
============== PRIMARY DATA ==============
N= 2 KG= 2 KH= 0
X : .1000000E+01 .2000000E+01
FX: .3000000E+01
GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01
X : .1000000E+01 .2000000E+01
FX: .3000000E+01
GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01
PEN = .5000000E+01
R = .1000000E+01 C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05
=============== OPTIMUM SOLUTION ==============
IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0 R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06
X : .9493056E-07 .7203758E-07
FX: .1669681E-06
GX: -.7203757E-07 -.9493056E-07
7．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：
[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：
subroutine ffx(n,x,fx)
dimension x(n)
fx=x(2)-x(1)
end
subroutine ggx(n,kg,x,gx)
dimension x(n),gx(kg)
gx(1)=-log(x(1))]
gx(2)=-x(1)
gx(3)=-x(2)
end
subroutine hhx(n,kh,x,hx)
domension x(n),hx(kh)
hx(1)=x(1)+x(2)-1
end
然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：
============== PRIMARY DATA ==============
N= 2 KG= 3 KH= 1
X : .2000000E+01 .1000000E+01
FX: -.1000000E+01
GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01
X : .2000000E+01 .1000000E+01
FX: -.1000000E+01
GX: -.6931472E+00 -.2000000E+01 -.1000000E+01
HX: .2000000E+01
PEN = .5942695E+01
R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05
=============== OPTIMUM SOLUTION ==============
IRC= 29 ITE= 143 ILI= 143 NPE= 1190 NFX= 0 NGR= 172 R= .7205765E-11 PEN= -.9999720E+00
X : .1000006E+01 .3777877E-05
FX: -.1000012E+01
GX: -.5960447E-05 -.1000006E+01 .6222123E-05
HX: -.2616589E-06。