优化设计-孙靖民-课后答案第6章习题解答

第六章习题解答

1． 已知约束优化问题：

试从第k 次的迭代点[]T k x 21)(-= 出发，沿由（-1 1）区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点)1(+k x 。并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。

[解] 1）确定本次迭代的随机方向：

2) 用公式：R k k S x x α+=+)()1( 计算新的迭代点。步长α取为搜索到约束边界上的最大步长。到第二个约束边界上的步长可取为2，则：

该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。

2． 已知约束优化问题：

试以[][][]T T T x x x 33,14,12030201===为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。

[解] 1）计算初始复合形顶点的目标函数值，并判断各顶点是否为可行点：

经判断，各顶点均为可行点，其中，为最坏点。为最好点，0203x x

2）计算去掉最坏点 02x 后的复合形的中心点：

3）计算反射点1R x （取反射系数3.1=α）

4）去掉最坏点1R

0301x x x x 和，，由02构成新的复合形，在新的复合形中 为最坏点为最好点，011R

x x ，进行新的一轮迭代。 5）计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得：

6）计算新一轮迭代的反射点得：

3． 设已知在二维空间中的点[]T x x x 21

=，并已知该点的适时约束的梯度[]T g 11--=∇，目标函数的梯度[]T f 15

.0-=∇，试用简化方法确定一个适用的可行方向。 [解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(k k k x f P x f P d

∇∇-=/)( k x

点的目标函数梯度为：[]T k x f 15.0)(-=∇ k x 点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=2，J=1：

梯度投影矩阵P 为：

则：适用可行方向为：

4． 已知约束优化问题：

试求在[]T k x 1/21/4

0=点的梯度投影方向。 [解] 按公式6-32 计算适用的可行方向：)(k k k x f P x f P d

∇∇-=/)( k x

点的目标函数梯度为：[]T k x f 125.0125.0--=∇)( k x 点处起作用约束的梯度G 为一个J n ⋅ 阶的矩阵，题中：n=3，J=1： 梯度投影矩阵P 为：

则：适用可行方向为：

5．用内点法求下列问题的最优解：

（提示：可构造惩罚函数 []∑=-=21

)(ln )(),(u u x g r

x f r x φ，然后用解析法求解。） [解] 构造内点惩罚函数：

令惩罚函数对x 的极值等于零： 得： 4

83661

21r x x +±== 舍去负根后，得483662r x ++=

当 []T x x r 31302=→→该问题的最优解为，时，。

6． 用外点法求下列问题的最优解：

[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：

subroutine ffx(n,x,fx)

dimension x(n)

fx=x(1)+x(2)

end

subroutine ggx(n,kg,x,gx)

dimension x(n),gx(kg)

gx(1)=x(1)*x(1)-x(2)

gx(2)=-x(1)

end

subroutine hhx(n,kh,x,hx)

domension x(n),hx(kh)

hx(1)=0.0

end

然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：

============== PRIMARY DATA ==============

N= 2 KG= 2 KH= 0

X : .1000000E+01 .2000000E+01

FX: .3000000E+01

GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01

X : .1000000E+01 .2000000E+01

FX: .3000000E+01

GX: -.1000000E+01 -.1000000E+01

PEN = .5000000E+01

R = .1000000E+01 C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05

=============== OPTIMUM SOLUTION ==============

IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0 R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06

X : .9493056E-07 .7203758E-07

FX: .1669681E-06

GX: -.7203757E-07 -.9493056E-07

7．用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：

[解] 将上述问题按规定写成如下的数学模型：

subroutine ffx(n,x,fx)

dimension x(n)

fx=x(2)-x(1)

end

subroutine ggx(n,kg,x,gx)

dimension x(n),gx(kg)

gx(1)=-log(x(1))]

gx(2)=-x(1)

gx(3)=-x(2)

end

subroutine hhx(n,kh,x,hx)

domension x(n),hx(kh)

hx(1)=x(1)+x(2)-1

end

然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：

============== PRIMARY DATA ==============

N= 2 KG= 3 KH= 1

X : .2000000E+01 .1000000E+01

FX: -.1000000E+01