离心率专题总结大全
高考离心率知识点总结
高考离心率知识点总结高考是对学生十几年学习成果的一次总结和检验。
其中，数学作为高考的一门重要科目，对于许多学生来说，是十分关键和困惑的。
而在数学中，离心率是一个涉及到椭圆、抛物线和双曲线的重要概念。
本文将对高考中常见的离心率知识点进行总结。
离心率是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它是椭圆、抛物线和双曲线的特征之一。
一般来说，离心率越大，圆锥曲线形状越扁平。
离心率的计算公式如下：离心率=√(1-(b²/a²))其中，a是椭圆的长半轴长度，b是椭圆的短半轴长度。
接下来，我们将通过具体的例子来讨论高考中可能遇到的离心率问题。
1. 椭圆的离心率求解假设有一个椭圆的长轴长度为8，短轴长度为6。
我们可以先计算出椭圆的离心率。
离心率=√(1-(6²/8²))=√(1-36/64)=√(1-9/16)=√(7/16)因此，这个椭圆的离心率为√(7/16)。
2. 抛物线的离心率求解抛物线是一种特殊的圆锥曲线，其离心率定义为1。
所以，无论抛物线的形状如何，其离心率始终为1。
3. 双曲线的离心率求解对于双曲线，其离心率的计算稍微复杂一些。
假设有一个双曲线的方程为x²/16 - y²/9 = 1，我们可以通过方程来求解其离心率。
首先，将方程化简为标准形式，即(x²/16) - (y²/9) = 1。
然后，我们将方程与椭圆的标准方程进行比较，可以发现椭圆的长半轴为4，短半轴为3，进而计算出椭圆的离心率。
离心率=√(1-(3²/4²))=√(1-9/16)=√(7/16)因此，这个双曲线的离心率为√(7/16)。
综上所述，离心率是数学中重要的概念之一，对于高考尤为重要。
本文通过椭圆、抛物线和双曲线的例子，展示了离心率的计算方法。
希望通过这篇文章的阅读，学生们能够对离心率有一个更加清晰的理解，从而在高考中能够更好地应用和运用相关知识。
椭圆离心率专题
椭圆离心率专题1．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e 为2．F 1，F 2分别是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，O 为坐标原点，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点A 、B ，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为3．若椭圆上一点与其中心及长轴的一个端点构成等腰直角三角形，则此椭圆的离心率为4．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是5．椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，椭圆的离心率是6．椭圆2222x y a b+＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M ，若MF 1垂直于x 轴，则椭圆的离心率为________．7．直线x －2y ＋2＝0经过椭圆2222x y +＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．8．已知椭圆12222=+by a x （a >0,b >0）的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。
9．以1F 、2F 为焦点的椭圆2222x y a b +＝１（0a b >>）上一动点P ，当12F PF ∠最大时12PF F ∠的正切值为2，则此椭圆离心率e 的大小为 。
10．对于椭圆22221(0,x y a b c a b +=>>=，定义c e a=为椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是(0,1)e ∈，离心率越大椭圆越“扁”，离心率越小则椭圆越“圆”．若两椭圆的离心率相等，我们称两椭圆相似．已知椭圆2214x y m +=与椭圆2219x y m +=相似，则m 的值为11．如图,椭圆中心在坐标原点,F 为左焦点,当FB AB ⊥时,其离心此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e 等于12．以等腰直角△ABC 的两个顶点作为焦点，且经过另一顶点的椭圆的离心率为 .13．直线022=-+y x 经过椭圆)(12222o b a by ax >>=+的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于________．14．已知正方形ABCD 的四个顶点在椭圆）（0122>>=+b a b ya x 上，AB ∥x 轴，AD 过左焦点F ，则该椭圆的离心率为 ． 15．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为______．16．已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆122=+ny m x 的离心率为17．椭圆)0(12222>>=+b a by a x 满足a ≤，离心率为e ，则2e 的最大值是_______．19．若椭圆221x my +=_______________.20．已知P 是以1F ,2F 为焦点的椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上的一点,若021=⋅PF PF ,21tan 21=∠F PF ,则此椭圆的离心率为____________.23．如图椭圆12222=+by a x (a >b >0)的上顶点为A ，左顶点为B , F 为右焦点, 过F 作平行与AB 的直线交椭圆于C 、D 两点. 作平行四边形OCED, E 恰在椭圆上．（1）求椭圆的离心率；参考答案1．D【解析】由题意得：0tan 60a b==，∴b a =，∴2213b a =，∴22213a c a -=，即2113e -=，∴223e =，∴e =。
高中数学高考数学离心率题型总结
F 2P F 1xy OF 2PF 1xy OF 2PF 1xyOQF 2PF 1xyO高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率二．典例剖析：例.若椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 短轴端点为P 满足21PF PF ^，求椭圆离心率。
圆离心率。
分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到 2221222222=Þ=Þ=+=e e c c b a 的结论。
的结论。
变 式1.在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 上有一点P （除短轴端点外），若21PF PF ^，求椭圆离心率取值范围。
，求椭圆离心率取值范围。
分析：点P 在椭圆上Þ b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上Þc OF OF OP ===21,所以得到c>b ，进而得到÷÷øöççèæÎÞ>Þ<+=1,2221222222e e c c b a 的结论。
变 式2. 满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 内，求椭圆离心率取值范围。
内，求椭圆离心率取值范围。
分析：满足21PF PF ^的所有点P 都在椭圆内Þ以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆内Þb c <，进而得到÷÷øöççèæÎÞ<Þ>+=22,021222222e e c c b a 的结论。
的结论。
变 式3.过椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 右焦点2F 的直线交椭圆于QP 、两点且满足PQPF ^1，若135sin 1=ÐQP F ，求该椭圆离心率。
离心率秒杀36个公式
离心率秒杀36个公式常见的离心率公式：一、经典离心率公式：1. 离心率公式一：Vr=n*r*h2. 离心率公式二：R=n*h*ρ3. 离心率公式三：ω2=n2*g*ρ4. 离心率公式四：ω2=g*ρ二、球形离心率公式：1. 球形离心率公式一：ω2=4π2*R3*ρ2. 球形离心率公式二：ω2=4π2*n2*h3*ρ3. 球形离心率公式三：mω2=G(M+m)r4. 球形离心率公式四：vR=nR*ha三、重力离心率公式：1. 重力离心率公式一：Vr=Gmh2. 重力离心率公式二：Vr=Gmh/a3. 重力离心率公式三：Vr=mgsinθ4. 重力离心率公式四：Vr=φmv2/R四、其他离心率公式：1. 其他离心率公式一：r=∛M/ρ2. 其他离心率公式二：mω2=mgl3. 其他离心率公式三：v2=2gh4. 其他离心率公式四：vR=gRm/h离心率是极重要的物理参数，作为物理运动活动的基础，它影响着物体运动的速度和轨迹的形状。
这意味着，通过熟练掌握离心率的相关公式，我们就能解答许多有关物理运动问题的疑惑。
常见的离心率公式总结如上所示，分别是：经典离心率公式、球形离心率公式、重力离心率公式和其他离心率公式，每种分类共包括四个公式。
首先，经典离心率公式中，公式一Vr=n*r*h 是计算实验室中半径为r、角速度为n（弧度/秒）、水深为h的叶片转速下离心率的公式；公式二R=n*h*ρ 是计算圆柱体半径为R、角速度为n（弧度/秒）、滞流的平均密度为ρ的离心率的公式；公式三ω2=n2*g*ρ 以及公式四ω2=g*ρ 都是计算圆柱容器半径为R、角速度为n （弧度/秒）、滞流的平均密度为ρ的离心率时采用的公式，其中g是由重力提供的加速度。
其次，球形离心率公式中，公式一ω2=4π2*R3*ρ用于计算球形滞流转速ω、球形容器半径R以及滞流的平均密度ρ时的离心率；公式二ω2=4π2*n2*h3*ρ是计算球形滞流的角速度n、球形容器的半径R以及滞流的平均密度ρ的离心率的公式；公式三 mω2=G(M+m)r 能够用来计算太阳系中太阳的质量M、行星质量m、球形太阳系的半径r以及滞流的角速度ω时的离心率；而公式四 vR=nR*ha 则是用于计算太阳系中太阳的质量M、行星质量m、球形太阳系的半径r以及滞流的角速度ω时的离心率的公式。
(完整版)专题椭圆的离心率解法大全,推荐文档
椭圆的离心率为(
)
[解析] b ( b ) 1 a2 c2 ac e 5 1
ac
2
3，以椭圆的右焦点 F2 为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于 M、N 两点，椭圆的左焦点为 F1，直线
MF1 与圆相切，则椭圆的离心率是 3 1
变式（1）：以椭圆的一个焦点 F 为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心 O 并且与椭圆交于 M、N 两点，如果
22
m2
3
综上 m 16 或 3 3 3
3，已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是
5
4，已知 m,n,m+n 成等差数列，m，n，mn 成等比数列，则椭圆 x2 y2 1的离心率为 mn
2n 2m n
[解析]由 n2 m2n mn 0
m 2 n 4 ，椭圆
x2 m
可得| PF1 |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 4c2 ，则| PF1 || PF2 | 2(a2 c2 ) 2b2 ，
PF1
，
PF2
是方程 z 2
2az
2b2
0 的两个根，则
4a2
8(a2
c2) 0 e2
c2 a2
1 2
e
2 2
解法 3：正弦定理
设记 PF1F2 ，PF2 F1 ，由正弦定理有
4
0 3 则 2 sin( ) 1，1 2 sin( ) 2
24
44 2
4
4
所以 2 e 1 2
解法 5：利用基本不等式由椭圆定义，有 2a | PF1|| PF2 | 平方后得 4a 2 | PF1|2 | PF2 |2 2| PF1|| PF2 | 2(| PF1|2 | PF2 |2 ) 2| F1F2 |2 8c2
求离心率方法归纳总结
求离心率方法归纳总结离心率是描述一个椭圆轨道与圆轨道之间的偏离程度的参数，它在天文学、航天科学等领域中具有重要的应用价值。
本文将对多种求离心率的方法进行归纳总结。
一、通过轨道要素计算离心率离心率可以通过轨道的半长轴（a）和半短轴（b）来计算。
公式为：e = √(1 - (b^2/a^2))二、通过观测数据计算离心率1. 天文观测法通过观测行星或天体在不同时刻的位置，可以推导出轨道要素，进而计算离心率。
2. 航天器轨道测量法使用航天器的测距、测速和测向数据进行轨道计算，从而得到离心率。
三、通过物理定律计算离心率1. 能量守恒法利用能量守恒定律，通过测量天体的速度和位置信息，推导出离心率。
2. 角动量守恒法利用角动量守恒定律，通过测量天体的质量、速度和距离信息，计算出离心率。
四、通过数值模拟计算离心率1. 数值积分法利用数值积分方法，对天体在重力场中的运动进行模拟计算，从而得到离心率。
2. 万有引力定律法根据万有引力定律，利用数值解的方法，计算天体在引力作用下的运动轨迹，并通过轨迹数据推导出离心率。
五、通过实验测定离心率1. 实验观测法通过精密实验测量天体的运动参数，然后根据测量数据计算离心率。
2. 探测器测量法利用探测器对天体进行观测和测量，通过测量数据计算离心率。
综上所述，求离心率的方法主要包括通过轨道要素计算、观测数据计算、物理定律计算、数值模拟计算和实验测定。
不同的方法适用于不同的情况和领域，选择合适的方法可以提高准确性和可靠性，为相关研究提供有力支持。
离心率问题的7种题型15种方法(教师版)
目录题型一:椭圆离心率的求值 2方法一：定义法求离心率 2方法二：运用通径求离心率 3方法三：运用e=e=1+k2λ-1λ+1求离心率 4方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα+sinβ求离心率 4方法五：运用k OM⋅k AB=-b2a2求离心率 5方法六：运用正弦定理、余弦定理、三角函数求离心率 6方法七：运用相似比求离心率 6方法八：求出点的坐标带入椭圆方程建立等式 7方法九：运用几何关系求离心率 7题型二:双曲线离心率的求解 9方法一：定义法关系求离心率 10方法二：运用渐近线求离心率 10方法三：运用e=1+k2λ-1λ+1求离心率 11方法四：运用e=c a=sin(α+β)sinα-sinβ求离心率 11方法五：运用结论k OM•k AB=b2a2求离心率 12方法六：运用几何关系求离心率 13题型三:椭圆、双曲线离心率综合运用 15题型四:根据已知不等式求离心率的取值范围 17题型五:根据顶角建立不等式求离心率范围 18题型六:根据焦半径范围求离心率范围 19题型七:题型七根据渐近线求离心率的取值范围 21离心率问题的7种题型15种方法1离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式椭圆公式1:e =ca 公式2:e =1-b 2a2证明：e =c a=c 2a 2=a 2−b 2a 2=1-b 2a 2公式3:已知椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),两焦点分别为F 1,F 2,设焦点三角形PF 1F 2，∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,则椭圆的离心率e =sin (α+β)sin α+sin β证明：∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=β,由正弦定理得：F 1F 2 sin (180o −α−β)=PF 2 sin α=PF 1sin β由等比定理得：F 1F 2 sin (α+β)=PF 1 +PF 2 sin α+sin β，即2c sin (α+β)=2a sin α+sin β∴e =c a =sin (α+β)sin α+sin β。
双曲线离心率专题
双曲线离心率专题一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．312．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．518．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+122．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或231．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2 40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．双曲线离心率专题参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段F1F2为直径的圆，则双曲线离心率的取值围是（）A．（1，2）B．（1，）C．（，2）D．（2，+∞）【解答】解：设F1（﹣c，0），双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，过点F1与双曲线的一条渐近线平行的直线方程为y=（x+c），联立渐近线方程y=﹣x，可得交点P（﹣c，），点P在以线段F1F2为直径的圆，可得（﹣c）2+（）2＜c2，即有＜3，可得双曲线的离心率e==＜2，但e＞1，即1＜e＜2．故选：A．2．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β．若=﹣，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A（﹣a，0），B（a，0），点P（m，n）是C上异于A，B的一点，可得﹣=1，即有=，设k1=tanα=，k2=tanβ=，k1k2=tanαtanβ===，若=﹣，则==﹣，解得tanαtanβ=5，即b2=5a2，可得双曲线的离心率为e===．故选：D．3．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=，则该双曲线离心率e的值为（）A．2B．C．2D．【解答】解：如图，可设|AF|=m，|OF|=c，F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，可得四边形AFBF'为矩形，在直角三角形ABF中，∠ABF=，即有|BF|=m，|AF'|=m，2c=2m，2a=m﹣m，则双曲线的离心率e===+1．故选：B．4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）为双曲线的两个焦点，若双曲线上存在点P使得，则双曲线离心率的取值围为（）A．（1，+∞）B．[2，+∞）C．D．【解答】解：设P（m，n），可得m2+n2≥a2，由•=（﹣c﹣m，﹣n）•（c﹣m，﹣n）=m2﹣c2+n2=﹣c2，可得m2+n2=c2，则c2≥a2，即有e=≥，故选：C．5．双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c）、F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且以MN为直径的圆过F2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c），由，解得x=±，以MN为直径的圆的方程为x2+（y+c）2=，以MN为直径的圆过F2，可得4c2=，即有4c2a2=（c2﹣a2）2，即为a4﹣6a2c2+c4=0，解得a2=（3﹣2）c2，椭圆的离心率的平方为=1﹣（3﹣2）=2﹣2．故选：C．6．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．圆x2+y2=a2+b2与双曲线C的右支交于点A，且2|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设A为第一象限的点，且|AF1|=m，|AF2|=n，由题意可得2m=3n，①由双曲线的定义可得m﹣n=2a，②由勾股定理可得m2+n2=4（a2+b2），③联立①②③消去m，n，可得：36a2+16a2=4a2+4b2，即b2=12a2，则e====，故选：D．7．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞）的左焦点为F，右顶点为E，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线C相交于不同的两点A，B，若△ABE为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值围为（）A．（1，2）B．（1，2]C．（2，3]D．[2，3）【解答】解：根据双曲线的对称性，得：△ABE中，|AE|=|BE|，∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角，由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|，∵|AF|==，|EF|=a+c，∴＜a+c，即2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，得e2﹣e﹣2＜0，解之得﹣1＜e＜2，∵双曲线的离心率e＞1，∴该双曲线的离心率e的取值围是（1，2），故选：A．8．已知双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵双曲线的一条渐近线过点（2，﹣1），∴渐近线方程为y=±x，因此，点（2，﹣1）在直线y=﹣x上，可得a=4，∴b=2，可得c=2，由此可得双曲线的离心率e==．故选：C．9．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点M，N 在E上，MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，线段F2M交E于点Q．且=，则E的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：F1（﹣c，0），F2（c，0），∵MN∥F1F2，|MN|=|F1F2|，∴M的横坐标为﹣，N的横坐标为，把x=﹣代入﹣=1得：y=±=±b，∴M（﹣，b），∵=，即Q为MF2的中点，∴Q（，），把Q坐标代入双曲线方程得：﹣=1，即﹣+=1，解得e=．故选：B．10．已知双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，则C1的离心率为（）A．或B．2或C．2或D．或【解答】解：双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线将第一象限三等分，可得双曲线C1的一条渐近线倾斜角为30°或60°，即有=或，e===或2．故选：B．11．已知F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点，若点F到C的一条渐近线的距离为3，则该对曲线的离心率为（）A．B．2C．D．3【解答】解：F为双曲线C：x2﹣m2y2=3（m＞0）的一个焦点（，0），点F到C的一条渐近线x+my=0的距离为3，可得：=3，解得m=，则a=，c=2，双曲线的离心率为：e==2．故选：B．12．设F1，F2分别为椭圆与双曲线C2公共的左、右焦点，两曲线在第一象限交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，若椭圆C1的离心率，则双曲线C2的离心率e2的取值围是（）A．（1，5]B．[2，4]C．[2，5]D．[4，5]【解答】解：∵F1，F2为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2的左右焦点，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|=2，∴|MF2|=|F1F2|=2c，∵椭圆C1的离心率e1∈[，]，∴当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==2，当e1=时，=，解得c=，双曲线C2的离心率e2==5，∴双曲线C2的离心率取值围是[2，5]．故选：C．13．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线的经过点（﹣2，1），则它的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（2，﹣1），可得2b﹣a=0，即4c2﹣4a2=a2，可得4c2=5a2e=．故选：A．14．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的实轴为A1A2，虚轴的一个端点为B，若三角形A1A2B的面积为b2，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设B（0，b），则|A1A2|=2a，∵三角形A1A2B的面积为b2，∴S=×2a•b=ab=b2，即a=b，则离心率e====，故选：A．15．过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P．若点P的横坐标为2a，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：x=2a时，代入双曲线方程可得y=±b，取P（2a，﹣b），∴双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线的斜率为，∴=∴e==2+．故选：B．16．若双曲线C的渐近线与实轴的夹角为，则该双曲线的离心率为（）A．3B．2C．D．【解答】解：∵双曲线不妨设为：（a＞0，b＞0）的渐近线与实轴的夹角为30°，∴a=b，∴c==2b，∴e===．故选：D．17．已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（﹣2，），P4（2，）中在双曲线上，则P1（2，1），一定不在双曲线上，则P2（1，0）在双曲线上，∴a=1，，解得b2=，∴c2=a2+b2=，∴c=，∴e==，故选：A．18．若双曲线的渐近线与抛物线相切，则C的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：双曲线的渐近线为y=±x，所以其中一条渐近线方程为y=x，又因为渐近线与抛物线y=x2+相切，所以，消去y得x=x2+，即x2﹣x+=0，所以△=﹣4×1×=0，解得b=a，又c2=a2+b2，所以c2=a2，所以离心率e==．故选：A．19．过双曲线的左焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的右顶点，若点M在以AB为直径的圆的外部，则此双曲线的离心率e 的取值围为（）A．（）B．（1，）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：设双曲线方程为，a＞0，b＞0则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，m），B（﹣c，﹣m），∴，解之得m=，得|AF|=，∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆外部，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0，两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，解之得1＜e＜2，故选：D．20．已知双曲线C1：（a＞0，b＞0）的焦点为F1（0，﹣c），F2（0，c），抛物线C2：的准线与C1交于M、N两点，且MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线C2：的准线方程为y=﹣c，焦点坐标为（0，c）由，解得x=±，则MN=，∵MN与抛物线焦点的连线构成等边三角形，∴=tan60°=，∴2ac=b2=（c2﹣a2），即2e=（e2﹣1），解得e=，∴椭圆的离心率为==，故选：B．21．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的切圆在边AF2上的切点为Q，若|F2Q|=2|AQ|，|OA|=b（O是坐标原点）则双曲线C的离心率是（）A．B．C．5D．+1【解答】解：设△PAF2的切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|=|PN|，|AQ|=|AN|，|QF2|=|MF2|，由双曲线的对称性可得|AF1|=|AF2|=|AQ|+|QF2|，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=|PA|+|AF1|﹣|PM|﹣|MF2|=+|AN|+|NP|﹣|PM|﹣|QF2|=+|AQ|﹣|QF2|=﹣|AQ|=﹣==2a，化为9a2=2c2﹣a2，即5a2=c2，离心率e==．故选：B．22．已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E 的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：由已知中点P是双曲线E右支上的一点，线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，可得P点横坐标为c，则P为通径的一个端点，则，即b=2a，则c==，故双曲线E的离心率e=，故选：D．23．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，即=，∴b=a，∴c==a，∴双曲线的离心率为e===．故选：D．24．设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2=90°，且|MF1|=2|MF2|，设|MF2|=t，|MF1|=2t，（t＞0）双曲线中2a=|MF1|﹣|MF2|=t，2c==t=2a，∴离心率为，故选：D．25．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：直线1：y=（x+c）（c为双曲线的半焦距）恰好与圆：x2+y2=a2相切，可得=a，化简可得c=2a，即e==2，故选：C．26．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M是双曲线右支上一点，|MF2|=|F1F2|，并且sin∠F1MF2=，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设|MF2|=|F1F2|=2c，并且sin∠F1MF2=，可得cos∠F1MF2==，由双曲线的定义可得|MF1|=2a+|MF2|=2a+2c，在△MF1F2中，可得cos∠F1MF2===，即4c=5a，即e==．故选：B．27．已知双曲线的标准方程，F1，F2为其左右焦点，若P是双曲线右支上的一点，且tan∠PF1F2==2，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），可得﹣=1，F1（﹣c，0），F2（c，0）为其左右焦点，可得直线PF1的斜率k1=，直线PF2的斜率k2=，k2=﹣2，k1=，即为=，=﹣2，解得m=c，n=c，则﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=可得9e2﹣=25，化为9e4﹣50e2+25=0，即为e2=5（＜1舍去），可得e=．故选：A．28．若双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，则C的离心率的取值围为（）A．（4，+∞）B．（1，4）C．（2，+∞）D．（1，2）【解答】解：双曲线的焦点（0，±），双曲线的焦点都在直线x+2y﹣4=0的下方，可得：2﹣4＜0，解得b2＜3，因为a=1，所以c∈（1，2）．∴双曲线C的离心率的取值围为：（1，2）．故选：D．29．若m＜﹣2，则双曲线的离心率的取值围是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，双曲线中，a=1，c=，m＜﹣2，其离心率e==，故选：A．30．已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．2D．或2【解答】解：∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线与y轴所形成的锐角为30°，则这条渐近线与x轴的夹角为60°，∴=tan60°=，∴e===2．故选：C．31．直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），若∠AOM=∠MON，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：直线x=2a与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）在第一和第四象限分别交于点M和N．O为坐标原点，A为y轴上一点〔（不与O重合），∠AOM=∠MON，可得∠AOM=∠MON=60°，所以M（2a，），所以，∴b=，e===，故选：C．32．双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点若△MNF1是直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作实轴的垂线交双曲线C于M，N两点，不妨M在第一象限，若△MNF1是直角三角形，可得M（c，2c），可得，即，e＞1，解得e2=3+2，可得e=1+．故选：B．33．已知双曲线﹣=1，经过点M（2，2），则其离心率e=（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1，经过点M（2，2），可得﹣=1，解得m=4，则双曲线的a=，b=2，c=，则其离心率e==，故选：A．34．已知F1，F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线右支上的点，且∠F1PF2=45°，若坐标原点O到直线PF1的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．【解答】解：如图，OM⊥PF1，ON⊥PF1，依题意|OM|=a，|NF2|=2a，∵且∠F1PF2=45°，可知三角形PF2N是一个等腰直角三角形，∴|PF2|=2a，|PF1|=2a+2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得：（2c）2=（2a+2a）2+（2a）2﹣2×，化简得c2=3a2，∴该双曲线的离心率为．故选：B．35．已知点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，则C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：点P（1，2）在双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线上，可得：，即b=2a，所以e===．故选：D．36．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，PQ⊥PF1，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：可设P，Q为双曲线右支上一点，设|PF2|=m，|QF2|=n，|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|=2a+m，|QF1|=2a+n，且|PF1|、|PQ|、|F2Q|依次成等差数列，可得2|PQ|=|PF1|+|QF2|，即2（m+n）=2a+m+n，即|PQ|=2a，由PQ⊥PF1，在直角△PF1Q中，|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2，即（4a﹣m）2=（2a+m）2+4a2，解得m=a，|PF1|=2a+m=a，由|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即a2+a2=4c2，化为e2==，即e=，故选：A．37．已知双曲线的渐近线方程为y=，则双曲线的离心率（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵双曲线的焦点在x轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴2b=a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．当双曲线的焦点在y轴上，∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）可得双曲线的渐近线方程是y=x结合题意双曲线的渐近线方程是y=±x，∴b=2a，可得c==a因此，此双曲线的离心率e==．故选：C．38．设双曲线的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：双曲线的一个焦点为F（0，﹣c），渐近线方程为y=±x，若，可得BF=2FA，由F到渐近线y=x的距离FA==b，BF=2b，在直角三角形OAF中，OF=c，可得OA==a，在直角三角形OAB中，可得OB=，由OF为∠AOB的平分线可得=，即=，化为a2=3b2，由b2=c2﹣a2，可得3c2=4a2，则e==．故选：C．39．若双曲线的两个焦点为F1，F2，若双曲线上存在一点P，满足|PF1|=3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值围是（）A．1＜e＜2B．1≤e≤2C．1＜e≤2D．1≤e＜2【解答】解根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，即3|PF2|﹣|PF2|=2a．∴a=|PF2|，|PF1|=3a在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，∴＜2，当p为双曲线顶点时，=2又∵双曲线e＞1，∴1＜e≤2故选：C．40．F为双曲线（a＞0，b＞0）右焦点，M，N为双曲线上的点，四边形OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN的面积为bc，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设M（x0，y0），x0＞0，y0＞0．∵四边形OFMN为平行四边形，∴，∵四边形OFMN的面积为bc，∴|y0|c=bc，即|y0|=b，∴，代入双曲线方程得，∵e＞1，∴．故选：B．。
离心率及范围总结
. 离心率求解总结一．椭圆的离心率1.离心率e=a c=21）（a b -、e 2=1-2）（ab 2.焦半径︱P F 1︱=a+ex 0 ︱P F 2︱= a-ex 0 2,1cos ep b MF p e aθ==-3.∠F 1BF 2 ， ∠A 1BA 2为最大张角4.P 是椭圆上一点，∠PF 1F 2=α ∠PF 2F 1=β， 则e=βαβαsin sin sin ++）（=cos2cos2e αβαβ+=- 5.AF FB λ=u u u r u u u r 2221cos 1e λθλ-⎛⎫= ⎪+⎝⎭6.e = 其中P 为椭圆上任意一点，A,B 为顶点12,k kx二．双曲线的离心率①e == ② e = 其中P 为双曲线上任意一点，A,B 为顶点12,k k 为斜率 ③sin2sin2e αβαβ+=- ∠PF 1F 2=α ∠PF 2F 1=β 一．含直角三角形及夹角的离心率例1在椭圆中有一点P 12PF PF ⊥求椭圆的离心率0,0a b a c >>>>OM b≥分析: b<OP<c例2．过椭圆右焦点1F 的直线交椭圆与P,Q 两点且满足1PF PQ ⊥ 若15sin 13FQP ∠=，求椭圆的离心率 分析：1PF =5x, 1F Q =13x PQ =12x, 11PQ PF FQ ++=4a 例3椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1 ,求e?变形1：椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，P 是椭圆上一点，且∠F 1PF 2 =60°，求e 的取值范围？ 分析：上题公式直接应用。
离心率专题
椭圆离心率专题1.求解离心率的三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝c a，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．2.求离心率范围的常用思路(1)通过几何方法如点的坐标、三角形中的不等关系等转化为离心率的取值范围．(2)通过代数方法如基本不等式、函数最值求得离心率的范围．题型一:分类讨论 1．若椭圆2215x y m+=的离心率为e =，则m 的值为 题型二：利用正余弦定理1．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 1F ， 2F 是椭圆C 的两个焦点，点P 在椭圆C 上，且1230PF F ∠=︒， 2190PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率是2.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，焦距为2c ，若直线()3y x c =+与椭圆交于点，且满足12212MF F MF F ∠=∠ ，则椭圆的离心率是（ ）B ．1C ．．3.椭圆C 的焦点为F 1(-1,0），F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点，若AF 2=2F 2B,AB=BF 1，椭圆的离心率为题型三：焦点弦的定比分弦问题1．倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ． 32B ． 23C ． 22D ． 33 2．设12F F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过点()1,F c o -的直线交椭圆E 于,A B 两点，若113AF F B =，且2AB AF ⊥，则椭圆E 的离心率是（ ）A ． 12B ． 52C ． 32D ． 22 3．已知焦点在x 轴的椭圆222:13x y C b+= (0)b >的左、右焦点分别为，直线AB 过右焦点2F ，和椭圆交于,A B 两点，且满足223AF F B =， 0160F AB ∠=，则椭圆的离心率为题型四：利用中位线和相似1．如图，设椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右顶点为A ，右焦点为F ， B 为椭圆E 在第二象限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ）A ． 12B ． 13C ． 23D ． 142．已知椭圆的左焦点为1F ，右焦点为2F .若椭圆上存在一点P ，且以椭圆的短轴为直径的圆与线段2PF 相切于线段2PF 的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A ． 13B ． 23C ． 36D ． 53 题型五：椭圆的中点弦问题1．在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆2222:x y C a b+=1(0)a b >>与不过坐标原点O 的直线:l y = kx m +相交于A B 、两点,线段AB 的中点为M ,若AB OM 、的斜率之积为34-,则椭圆C 的离心率为____ ___.12,F F C2．已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）A ． 12⎛ ⎝⎭B ． 2⎝⎭C ． 14⎛ ⎝⎭D ． 11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3．已知椭圆C ： 22221x y a b+= （0a b >> ），点M ， N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使102MH NH k k ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭， ，则离心率e 的取值范围为（ ）A ． 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ． 02⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，C ． 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 02⎛ ⎝⎭， 题型六：张角最值1．已知F 1、F 2分别是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，椭圆C 上不存在点P 使∠F 1PF 2为钝角，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ． [√22，1)B ． [12，1)C ． (0，√22]D ． (0，12] 2．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的上动点P ,左、右焦点分别为F 1、F 2，当P 点运动时，∠F 1PF 2的最大角为钝角，则此椭圆的离心率e 的取值范围为___ __． 题型七：利用椭圆的焦半径范围1．已知F 1，F 2分别是椭圆C : 22221x y a b+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ． 1,32⎡⎢⎣⎦ C ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦2．已知椭圆22221(0)x y a b c a b+=>>>的左、右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心， b c -为半径作圆2F ，过椭圆上P 作此圆的切线，切点为T ，且PT )a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是3．椭圆M ： ()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ， P 为椭圆上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是A ． 11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． 1,22⎡⎢⎣⎦C ． ,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ． 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．已知以两坐标轴为对称轴的椭圆E 的一个长轴端点M 及一个短轴端点N 在直线24y x =-+上.（1）求椭圆E 的离心率.（2）若P 是椭圆C 上一点，（异于M ，N ），试求PMN 面积的最大值.。
椭圆离心率题型总结
椭圆离心率题型：一）求离心率1）用定义（求出a,c 或找到c/a ）求离心率1、已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P .求椭圆C 的离心率;【答案】解:122a PF PF =+==所以,a =又由已知,1c =, 所以椭圆C 的离心率2c e a===2、（12）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）【解析】选C解： ∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==3、（12辽理）已知点（2，3）在双曲线C ：)0,0(12222>>=+b a b y a x 上，C的焦距为4，则它的离心率为 ．【答案】24、（06应准线距离为1，则该椭圆的离心率为 。
[解法一]：通径：22b a= 根据焦准距有21b c =②；①式除以②式，得22221b c a b =，于是2e =[解法二]：（老手的方法）2||/2||12AF eAD ===椭圆的第二定义5、（江西）椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ,B ,左、右焦点分别是F 1，F 2。
若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.13.55利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.故55c e a==.即椭圆的离心率为55.2)、根据题设条件构造a 、c 的齐次式方程，解出e 。
最新离心率专题(含焦点分焦点弦成比例)知识讲解
焦点分焦点弦成比例
1、已知双曲线 C： x2 y 2 1（a>0,b>0）的
a2 b2
右焦点分别为 F，过 F 且斜率为 3 的直线交 C 于
A、B 两点，若 AF 4FB ，则双曲线 C 的离心率
为（ ） A、 6
5
B、 7
5
C、 8
5
D、 9
5
2、（2010 全国Ⅰ，16）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴上的一个端点，线 段 BF 的延长线交 C 于点 D，且 BF 2FD ， 则 C 的离心率为__________.
3、（2010
辽宁，20）设椭圆
x2 a2
y2 b2
1
（a>b>0）的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与
椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线l 的倾斜角
为 60o ， AF 2FB .
（1）求椭圆 C 的离心率；
（2）如果 AB 15 ，求椭圆 C 的方程。
4
离心率求值或其取值范围的求法
一 椭圆
D、（5，+∞）
7、双曲线 C： x2 y 2 1（a>0,b>0）的两个
a2 b2
焦点为 F1、F2，若 P 为其上一点，且 PF1 2 PF2 ， 则双曲线离心率 e 的取值范围是______.
8、已知点 P 是以 F1、F2 为左、右焦点的双
曲 线 的 右 支 上 的 一 点 ， 且 满 足 PF1 PF2 0 ，
1的离心
率 e 的取值范围是（ ）
A、（ 2 ，2 ]
B、（ 2 ， 5 ）
C、（2，5）
D、（2， 5 ）
焦点分焦半径成比例
数学离心率知识点总结
数学离心率知识点总结一、离心率的定义离心率是描述椭圆形状的一个重要参数，它反映了椭圆的偏心程度。
在数学中，离心率通常表示为e，对于一个给定的椭圆，离心率e的定义如下：e = c / a其中，a是椭圆的半长轴，c是椭圆的焦距之一。
从定义可以看出，离心率e是一个无单位的数值，它的取值范围是[0,1)，当e=0时，表示椭圆退化为一个圆，当e=1时，表示椭圆退化为一条直线。
离心率e越接近0，表示椭圆越接近圆形；离心率e越接近1，表示椭圆的偏心程度越大。
二、离心率的计算对于一个给定的椭圆，要计算其离心率，可以根据椭圆的半长轴a和焦距c来确定。
首先确定椭圆的焦点F1和F2，然后计算焦距c，最后根据离心率的定义计算出离心率e。
具体的计算步骤如下：1. 确定椭圆的焦点F1和F2对于一个给定的椭圆，其焦点F1和F2的坐标可以通过椭圆的标准方程确定。
2. 计算焦距c椭圆的焦距c可以通过半长轴a和半短轴b来计算得到：c = √(a^2 - b^2)3. 计算离心率e根据离心率的定义，离心率e可以通过焦距c和半长轴a计算得到：e = c / a通过以上计算步骤，就可以得到一个给定椭圆的离心率e。
三、离心率的性质离心率在椭圆的研究中有着重要的作用，它的一些性质也是非常有用的。
下面将介绍一些关于离心率的性质：1. 离心率与椭圆形状的关系离心率e反映了椭圆的偏心程度，当e=0时，表示椭圆为圆；当0 < e < 1时，表示椭圆为椭圆；当e=1时，表示椭圆为抛物线；当e>1时，表示椭圆为双曲线。
2. 离心率与周长的关系对于一个给定的椭圆，其周长L可以通过椭圆的半长轴a和离心率e来计算得到：L = 4aE(e)其中E(e)表示第二类椭圆积分，它是一个与离心率e有关的特殊函数。
3. 离心率与焦点之间的距离对于一个给定的椭圆，其焦点F1和F2到椭圆上任意一点P的距离之和是一个常数，这个常数就等于椭圆的长度轴2a。
具体的关系可以表示为：PF1 + PF2 = 2a通过上述性质，可以看出离心率在描述椭圆形状以及计算其周长等方面都有着重要的作用。
高中数学-高考数学离心率题型总结
高中数学 高考数学离心率题型总结 求解含直角三角形的椭圆离心率二．典例剖析：例.若椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 短轴端点为P 满足21PF PF ⊥，求椭圆离心率。
分析：利用椭圆半焦距、短半轴长的相等关系即2OF OP =，得到2221222222=⇒=⇒=+=e e c c b a 的结论。
变式1.在椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 上有一点P 外〕，若21PF PF ⊥，求椭圆离心率取值X 围。
分析：点P 在椭圆上⇒b OP >；点P 在以O 为圆心，OP 为半径的圆上⇒c OF OF OP ===21,所以得到c>b ，进而得到⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⇒>⇒<+=1,2221222222e e c c b a 的结论。
变式2.满足21PF PF ⊥的所有点P 都在椭圆)0(,12222>>=+b a bya x 内，求椭圆离心率取值X 围。
分析：满足21PF PF ⊥的所有点P 都在椭圆内⇒以O 为圆心，OP 为半径的圆都在椭圆内⇒b c <，进而得到⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⇒<⇒>+=22,021222222e e c c b a 的结论。
变式3.过椭圆)0(,12222>>=+b a by a x 右焦点2F 的直线交椭圆于P 、两点且满足PQ PF ⊥1，若135sin 1=∠QP F ，求该椭圆离心率。
分析：在前面例题1和变式的基础上，将线段2PF 拉长和椭圆交于点Q ，此时内含于椭圆的直角三角形发生了一些变化。
求解离心率问题不能套用前面的方法了，此时必须抓住椭圆定义式和直角三角形相关性质。
解题思路和解题方法都发生了迁移，题目难度有了一定的提升。
在解题思维的迁移上，通过分析和探讨，把难度分解，把梯子放下来，让学生通过理性的分析，清晰思维过程，通过细致解答获得正确答案，进而获得成功的喜悦感，激发其学习兴趣。
离心率题型总结
离心率题型总结离心率题型是高中数学中的一种常见题型，考察学生对离心率的理解和计算能力。
离心率是椭圆和双曲线的一个重要参数，能够描述曲线的瘦胖程度。
本文将对离心率题型进行总结，并给出相关的参考内容。
一、离心率的定义和性质：离心率（eccentricity）是一个与椭圆和双曲线有关的数值，可以描述曲线的瘦胖程度。
对于椭圆，离心率的取值范围是0到1之间，离心率为0时，曲线为圆形；离心率为1时，曲线为线段。
对于双曲线，离心率的取值范围大于1，离心率越大，曲线越瘦长。
离心率的计算公式如下：对于椭圆：离心率e = √(1 - (b²/a²))，其中a为长轴的长度，b 为短轴的长度。
对于双曲线：离心率e = √(1 + (b²/a²))，其中a为长轴的长度，b为短轴的长度。
二、离心率题型的解题方法：1. 已知长轴和短轴长度，求离心率：根据离心率的计算公式，直接代入长轴和短轴的长度即可计算得到离心率。
2. 已知曲线上一点的坐标，求离心率：根据椭圆和双曲线的定义，对于椭圆，任意一点到两个焦点的距离之和等于两个焦点的距离；对于双曲线，任意一点到两个焦点的距离之差等于两个焦点的距离。
利用这个性质，可以通过已知点的坐标和两个焦点的坐标来求离心率。
3. 已知离心率和焦点的坐标，求曲线方程或者曲线的其他相关参数：根据离心率的定义，可以根据已知的离心率和焦点的坐标来推导曲线的方程。
例如，已知离心率和焦点的坐标，可以先求出a或b的值，然后代入椭圆或双曲线的标准方程，从而得到曲线的方程。
三、离心率题型的解题技巧：1. 注意单位的转换：在计算离心率时，要注意长度的单位一致，需要进行单位的转换。
2. 注意计算中的精度：在计算离心率时，要注意计算的精度，尤其是对于平方根的运算，需要注意书写方式，避免计算错误。
4. 熟练掌握椭圆和双曲线的性质：掌握椭圆和双曲线的性质，对于解题过程中的推导和计算是至关重要的。
离心率知识点总结
离心率知识点总结一、离心率的概念离心率（eccentricity）是描述椭圆度的一个物理量。
在天体力学中，离心率是指行星或其他天体轨道的偏心程度，即轨道的形状。
二、离心率的计算对于椭圆轨道来说，离心率的计算公式为：e = √(1 - (b^2/a^2))其中，a为椭圆长半轴的长度，b为椭圆短半轴的长度。
e为离心率。
对于椭圆轨道来说，离心率也可以由轨道参数计算得出：e = (r_a - r_p) / (r_a + r_p)其中，r_a为远地点距离，r_p为近地点距离。
e为离心率。
在圆形轨道的情况下，离心率为0；在抛物线轨道的情况下，离心率为1。
三、离心率的意义离心率是天体轨道形状的一个重要物理量，它反映了天体轨道的偏心程度。
离心率越接近于0，则轨道越接近于圆形；离心率越接近于1，则轨道越接近于抛物线。
通过离心率的大小，可以判断天体轨道的形状和行星运动的规律。
四、离心率的应用1. 行星轨道在天体力学中，离心率是描述行星轨道形状的重要物理量。
根据离心率的大小，可以判断行星轨道的形状，从而推断行星的行星运动规律和轨道特征。
2. 太阳系模拟在太阳系模拟中，利用行星的离心率可以模拟出行星的运动轨道，并进一步研究行星之间的相互作用和天体运动的规律。
3. 行星探测在探测行星和其他天体的过程中，利用离心率可以计算出探测器的轨道参数，从而使探测器的轨道更加准确地接近目标天体，并实现探测任务。
4. 太空旅行在太空探索和太空旅行中，离心率是指导轨道规划和飞行轨迹设计的重要参数。
利用离心率可以对太空飞行轨道进行精确计算和控制，从而实现太空飞行目标。
五、离心率的影响因素离心率的大小受到多种因素的影响，其中主要包括以下几个方面：1. 初始速度行星或其他天体的初始速度决定了其轨道离心率的大小。
初始速度越大，则离心率越大；初始速度越小，则离心率越小。
2. 万有引力根据牛顿万有引力定律，行星或其他天体之间的万有引力也是影响离心率的重要因素。
离心率题型总结
离心率题型总结离心率是物理学中一个重要的概念，它是描述椭圆轨道的形状的参数之一。
在物理学、天文学、航天学等领域中，离心率的概念被广泛应用。
本文将从定义、计算、应用等方面进行总结。
一、定义离心率是描述椭圆轨道形状的一个参数，它的定义是椭圆轨道焦点与椭圆中心之间的距离与椭圆长轴长度的比值。
离心率的取值范围是0到1，当离心率为0时，椭圆变成了一个圆；当离心率为1时，椭圆变成了一个抛物线；当离心率大于1时，椭圆变成了一个双曲线。
二、计算计算离心率的公式如下：e = (r_max - r_min) / (r_max + r_min)其中，r_max是椭圆长轴的长度，r_min是椭圆短轴的长度。
例如，某颗行星的椭圆轨道长轴长度为8000km，短轴长度为6000km，那么它的离心率为：e = (8000 - 6000) / (8000 + 6000) = 0.2三、应用离心率在物理学、天文学、航天学等领域中有着广泛的应用。
1. 天文学中的应用离心率在天文学中被广泛应用于描述行星、卫星、彗星等天体的轨道形状。
例如，地球的轨道离心率为0.0167，而哈雷彗星的轨道离心率为0.967。
离心率的大小直接影响着天体的运动速度和轨道形状，因此对于天文学家来说，离心率是一个非常重要的参数。
2. 航天学中的应用离心率在航天学中也有着重要的应用。
例如，火箭发射时需要计算离心率，以确定火箭所需的速度和轨道。
此外，离心率还可以用于计算卫星的轨道高度和周期等参数。
3. 物理学中的应用离心率在物理学中也有着许多应用。
例如，在原子物理学中，离心率可以用于描述原子轨道的形状；在分子物理学中，离心率可以用于描述分子的形状和结构等。
四、总结离心率是描述椭圆轨道形状的一个重要参数，它的大小直接影响着天体的运动速度和轨道形状。
离心率在物理学、天文学、航天学等领域中有着广泛的应用，对于研究天体运动、火箭发射、原子物理学、分子物理学等方面都有着重要的意义。
求离心率知识点总结
求离心率知识点总结首先，我们需要明确离心率的定义。
在物理学中，离心率（eccentricity）通常用e表示，它是描述一个椭圆轨道偏心程度的参数。
对于圆形轨道，离心率等于0，而对于椭圆轨道，离心率在0到1之间。
当离心率为1时，轨道是一个抛物线，当离心率大于1时，轨道是一个双曲线。
离心率的定义可以用数学公式表示为：\[ e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} \]其中，a和b分别是椭圆轨道的长轴和短轴，e是离心率。
这个公式可以帮助我们理解离心率的物理意义，即描述了轨道的形状和偏心程度。
在天文学中，离心率通常用来描述行星绕太阳的轨道，而在工程学和化工领域，离心率则用于描述离心机等设备中旋转物体的离心力。
其次，我们需要了解如何计算离心率。
在天体力学中，可以通过观测天体的轨道和运动来计算离心率。
通过测量天体的运动参数，比如距离和速度，可以推导出轨道的形状和离心率。
在工程学和化工领域，离心率常常通过离心机等设备的设计参数来计算。
离心机是一种利用离心力将混合物分离成不同组分的设备，它的设计和运行参数决定了离心率的大小和分离效果。
离心率的计算方法因情境而异，但都可以通过测量和推导轨道参数来得出。
在天文学中，计算离心率需要利用开普勒定律等理论框架，而在工程学中，则需要考虑离心机的结构和操作参数。
无论情境如何，确定离心率都是对系统运动和形状的重要分析手段。
最后，我们需要讨论离心率的应用。
离心率在物理学、天文学和工程学中都有重要的应用价值。
在天文学中，离心率被用来描述行星和其他天体绕太阳的轨道形状，帮助科学家研究行星运动规律和宇宙结构。
在工程学中，离心率被用来设计和优化离心机等设备，以便更有效地分离和提纯混合物。
离心率还被广泛应用在化工和生物工程领域，比如用于分离油水混合物、提纯生物制剂等。
总之，离心率是一个重要的物理参数，它描述了一个系统中离心程度的大小。
通过对离心率的定义、计算和应用的讨论，我们可以更深入地了解这一重要概念在不同领域中的作用和意义。
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离心率专题
对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类:一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型,对大多数学生来说是没什么难度的。
一般来说,求椭圆(或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a与b或a与c的其次式，从而根据（这是椭圆）（这是双曲线）,就可以从中求出离心率,用最淳朴的定义来解题是最好的,此时无招胜有招！
一、求椭圆与双曲线离心率的值：
（一）、用定义求离心率问题：
【强化训练】1.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．
2、已知正方形ABCD,则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_________；
3、已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。
4。
已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是()
A．B．C．D．
5、如图，和分别是双曲线的两个焦点，
和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交
点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为( ）
(A）(B)(C）（D)
（二）、列方程求离心率问题：构造、的齐次式，解出
根据题设条件，借助、、之间的关系，构造、的关系（特别是齐二次式),进而得到关于的一元方程，从而解得离心率
例2、如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为。
变式：设双曲线(a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( ）
（A) （B)2 （C）（D）
【点评】本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能。
【强化训练】1、设双曲线的一个焦点为,虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ )
（A) (B) （C) (D)
2。
在平面直角坐标系中，椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心，a 为半
径的圆,过点（错误!，0）作圆的两切线互相垂直，则离心率e=．
3。
已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。
则k =( ）
（A）1 （B）（C）（D）2
4. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为（） .
A． B. C. D.
二、求椭圆或双曲线的离心率范围问题：一般来说，求椭圆（或双曲线)的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆(或双曲线）本身的范围，列出不等式.模型三：几何性质求离心率：
F2,若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，则椭
圆离心率的取值范围是．
【强化训练】1。
已知椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的焦
点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P,
使得∠F1PF2＝60°,则椭圆离心率的取值范围是．
2．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点
使，则该双曲线的离心率的取值范围是．
例 4.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，
则椭圆离心率的取值范围是（）
A． B． C． D．
【强化训练】1、椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若,则该椭圆离心率的取值范围是（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
2、已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的
最大值为：（）
A．B．C．D．
3、双曲线（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2｜PF2|，则双曲线离心率的取值范围为（）
A。
(1,3）B。
C。
（3，+）D。