惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理
平移非惯性参考系中的动能定理
1 引言
经典力学中的动能定理表述为质点动能的改 变量等于力的功[ 1 ] . 即
m
2
vb -
2
m
2
va =
2
∫
a( l)
b
图 1
F・ dr
或
Ek ( b) - Ek ( a) = A ab
这一过程中 ( 即从开始到两物块相对静止时) 系统 动能的变化为 Δ Ek = m + M v2 - m v2 0 2 2
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58
物理与工程 Vol . 17 No . 1 2007
am =
f f′ , a M = m M
参 考 文 献
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i
=
m a′ m , 牛顿第二定律形式上成立 . 假设惯性力与真
实力一样做功 , 则从开始到两物块相对静止时合 力做功为
f + f ∑F ・d r = ∫ M ∫ mM m
・ dr = -
高二物理竞赛课件：惯性参考系与非惯性参考系
F r
单位：焦耳(J)
a
O
直角坐标系中
F
Fxi
Fy
j
Fzk
dr dxi dyj dzk
dA F dr Fxdx Fydy Fzdz
总功：A
b
dA
b
F
cosds
b
F
dr
a
a
a
b
Fxdx Fydy Fzdz
a
a
ds dr
r
b
F r
O
示功图(功的图示法)
假设物体沿 x 轴运动，外力
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
A
1 2
mvb2
1 2
mva2
Ek b
Ek a
•12ddAx2 (12aababbxFmmidvdddrtdry2vydjva)12bm•Ed(dkd(dvtx2dx irdy2 )ay
b
jd)rvxdx
1
dva
2
F
2
vb
y d y
注意：
• 动能是标量，是状态量v的单值函数，也是状态量； • 功与动能的本质区别：它们的单位和量纲相同，
L
b
m
L1 F
L2 a
物体沿闭合路径绕行一周，这些力所做的功恒为零，
具有这种特性的力统称为保守力(conservative force)。没有 这种特性的力，统称为非保守力(nonconservative force) 或 耗散力(dissipative force) 。
保守力：重力、弹性力、万有引力、静电力
但功是过程量，动能是状态量。
• 功是能量变化的量度； • 动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参
惯性参考系与非惯性参考系之间的区别
惯性参考系与非惯性参考系之间的区别引言：在物理学中，参考系是分析和描述物理现象时所依据的基准框架。
惯性参考系和非惯性参考系是物理学中两个重要的概念。
本文将从定义、特征、应用等多个角度探讨这两者之间的区别。
一、定义1.惯性参考系惯性参考系是指一个相对于其它物体或参考系静止或匀速直线运动的参考系。
在惯性参考系下，物体在没有外力作用时将保持匀速直线运动或静止状态。
经典力学的基本定律在惯性参考系中成立。
2.非惯性参考系非惯性参考系是指一个受到非零合外力或加速度的参考系。
在非惯性参考系下，物体的运动状态可能受到参考系的运动加速度影响，从而出现惯性力。
惯性力是为了使物体在非惯性参考系中服从牛顿定律而引入的一种虚拟力。
二、特征1.惯性参考系的特征（1）牛顿定律成立：在惯性参考系中，牛顿定律可以简洁地描述物体的运动状态，即质点的运动由力决定，且力等于质点的质量乘以加速度。
（2）惯性力的消失：在惯性参考系中，物体不会出现惯性力，因为物体的运动状态只受力的作用而决定，没有由于参考系加速度引起的附加力。
（3）惯性量守恒：在惯性参考系中，动量、角动量和能量都是守恒的。
2.非惯性参考系的特征（1）牛顿定律不成立：在非惯性参考系中，物体的运动状态不完全由力决定，还受到惯性力的作用。
牛顿定律需要进行修正或引入附加项来解释物体在非惯性参考系中的运动规律。
（2）惯性力的存在：非惯性参考系中的物体存在惯性力，这是为了使牛顿定律在非惯性参考系中成立而引入的一种虚拟力。
（3）惯性量不守恒：在非惯性参考系中，由于存在非零合外力或加速度，物体的动量、角动量和能量都不再守恒。
三、应用1.惯性参考系的应用（1）大地测量学：采用地球为惯性参考系，可以测量地球的形状和尺寸，并对地球的运动进行研究。
（2）航天工程：在航天器设计和轨道计算中，通常选择以地球为基准的惯性参考系，利用地球的自转和公转等特征进行导航和定位。
（3）天体力学：惯性参考系在天体运动的研究中起着重要的作用，例如描述行星运动、彗星轨道等。
动能定理不依赖惯性参考系选取的证明
第45卷第2期2019年6月延边大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fY a n b i a nU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c e )V o l .45N o .2J u n e 2019收稿日期:20190226 作者简介:苏石磊(1988 ),男,博士,讲师,研究方向为量子计算与量子信息.基金项目:教育部高等学校教学研究项目(DW J Z W 201701z n -1);河南省高等教育教学改革研究与实践项目(2017S J G L X 186)文章编号:1004-4353(2019)02-0150-03动能定理不依赖惯性参考系选取的证明苏石磊, 闫磊磊, 潘志峰(郑州大学物理工程学院,郑州河南450001)摘要:大多数大学物理教材仅将动能定理简单地描述为 动能定理的形式不依赖于惯性参考系 ,而没有给出严格的证明,这使得学生难以真正理解动能定理.针对这一问题,本文首先利用不同惯性参考系之间的速度变换方法证明了动量定理形式不依赖于参考系的选取,然后基于此证明并利用类似的方法严格证明了动能定理形式不依赖于参考系的选取.该结果不仅能够丰富大学物理的教学内容,有利于学生全面掌握动能定理,而且还有助于提高学生的创新思维.关键词:动量定理;动能定理;基本参考系;运动参考系中图分类号:O 411.1 文献标识码:AP r o o f o f t h e k i n e t i c e n e r g y t h e o r e md o e s n o t d e pe n d o n t h e i n e r t i a l r ef e r e n c e s ys t e m S US h i l e i , Y A N L e i l e i , P A NZ h i f e n g(S c h o o l o f P h y s i c s a n dE n g i n e e r i n g ,Z h e n g z h o uU n i v e r s i t y ,Z h e n gz h o u 450001,C h i n a )A b s t r a c t :M o s t u n i v e r s i t yp h y s i c s t e x t b o o k s s i m p l y d e s c r i b e t h e k i n e t i c e n e r g y t h e o r e ma s t h e f o r mo f t h e k i -n e t i c e n e r g y t h e o r e md o e s n o t d e p e n d o n t h e i n e r t i a l r e f e r e n c e s y s t e m ,a n d d o e s n o t g i v e a s t r i c t pr o o f ,w h i c h m a k e s i t d i f f i c u l t f o r s t u d e n t s t o t r u l y u n d e r s t a n d t h e k i n e t i c e n e r g y t h e o r e m.T o a d d r e s s t h i s i s s u e ,t h e p a pe rf i r s t l y u s e s t h e v e l o c i t y t r a n s f o r m a t i o n m e t h o db e t w e e nd i f f e r e n t i n e r t i a l r e f e r e n c es y s t e m s t o p r o v e t h a t t h e f o r mo fm o m e n t u mt h e o r e md o e s n o t d e p e n do n t h e r e f e r e n c e s y s t e m.T h e n ,b a s e do n t h i s p r o o f ,t h e s i m i l a r p h y s i c a lm e t h o d i s u s e d t o p r o v e t h a t t h e f o r mo f t h e k i n e t i c e n e rg y th e o r e md o e s n o t d e pe n do n t h e r ef e r e n c e s y s t e m.T h er e s u l t so ft h i s p a p e rc a nn o to n l y e n r i c ht h et e a c h i ng c o n t e n to fu n i v e r s i t yph y si c sa n dh e l p s t u d e n t s t o f u l l yg r a s p t h ek i n e t i c e n e r g y t h e o r e m ,b u t a l s o i m p r o v e s t u d e n t s a b i l i t y o f i n n o v a t i v e t h i n k i n g .K e yw o r d s :m o m e n t u mt h e o r e m ;k i n e t i c e n e r g y t h e o r e m ;b a s i c r e f e r e n c e s y s t e m ;m o t i o n r e f e r e n c e s y s t e m 0 引言牛顿第二定律指出: 质点的运动状态发生改变的前提是受到外力的作用,获得加速度. 牛顿第二定律描述的是力对物体的瞬时作用,但在很多实际情况时,作用在物体上的力会持续一段时间,移动一定的位移.力在时间上的累积作用F Δt 对物体运动状态的影响体现在动量定理[1].力在空间上的累计作用F ㊃Δr 对物体运动状态的影响由动能定理体现[2].目前,大多数大学物理教材[1-4]在介绍动能定理的特点时,仅将其简单地描述为: 动能定理不依赖于惯性系的选取 ,并没有给出严格的证明,这使得学生难以真正掌握动能定理,影响后续大学物理知识的学习.针对这一问题,本文利用基本惯性参考系和运动惯性参考系来证明动能定理不依赖于惯性参考系的选取,以第2期苏石磊,等:动能定理不依赖惯性参考系选取的证明此加深学生对动能定理的理解,帮助学生提高创新思维和发散思维[5-8].1 预备知识1)动量定理.牛顿第二定律为:F =d p d t =d (m v )d t,(1)式中F 代表作用在系统上的合外力,p =m v 为系统的动量,t 为时间,m 为系统质量.对公式(1)变形并积分可得:ʏt 2t 1F (t )d t =p 2-p 1,(2)式中p 1为系统在t 1时刻的动量,p 2为系统在t 2时刻的动量.公式(2)即为动量定理的积分形式,其物理意义为:在给定的时间间隔内,外力作用在质点上的冲量,等于质点在此时间内动量的增量.如果力为恒力,则积分变为力与时间的乘积.2)动能定理.如图1所示,质量为m 的质点在合力F 的作用下,自A 点沿曲线移动到B 点.质点在点A 和点B 的速率分别为v 1和v 2.设作用在位移元d r 上的合力F 与d r 之间的夹角为θ,则合力对质点所做的元功为d W =F ㊃d r =F c o s θd r.图1 动能定理示意图由牛顿第二定律及切向加速度的定义可得:F c o s θ=m a t =md vd t.因为d s =v d t ,得d W =m v d v .再对d W =m v d v 进行积分可得动能定理:W =12m v 22-12m v 21.(3)3)相对运动.如图2所示,考虑2个参考系,一个为o x y 坐标系(S 系),另一个为o ᶄx ᶄy ᶄ坐标系(S ᶄ系).初始时2个参考系重合.本文研究的质点,在S 系中的位置以P 表示,在S ᶄ系中的位置用P ᶄ表示.在Δt 时间内,S ᶄ系相对于基本参考系以速度u 沿y 轴运动.在S 系中,质点从P 点运动到Q 点,其位矢为Δr .在S ᶄ系中,质点从P ᶄ点运动到Q 点,其位矢为Δr ᶄ.这些矢量之间满足以下关系[3]:Δr =Δr ᶄ+ΔD ,Δr Δt =Δr ᶄΔt+u .(4)当取Δt ң0,可得v =v ᶄ+u ,(5)其中v 为质点相对于基本参考系的速度,v ᶄ为质点相对于运动参考系的速度.图2 质点在相对作匀速直线运动的两个惯性参考系中的力学量2 动能定理形式不依赖于参考系选取的证明首先证明动量定理形式不依赖于参考系的选取,然后按照类似的思想去证明动能定理形式不依赖于参考系的选取.假设运动惯性参考系S ᶄ相对运动基本惯性参考系S 沿某一固定方向以速度u 运动,质点受一恒力F 作用,作用时间为Δt .则在S 系中,动量定理的表达形式为:F Δt =m v 2-m v 1,(6)其中t 为作用时间,m 为质点质量,v 1为初速度,v 2为末速度.公式(6)可以变形为F Δt =m v 2-()u -m v 1-()u .由相对运动的公式(5)可得:F Δt =m v ᶄ2-m v ᶄ1.(7)从公式(6)和公式(7)可以看出,动量定理形式不依赖于参考系的选取.假设质点在基本惯性参考系中移动的位移矢151延边大学学报(自然科学版)第45卷量为Δr ,在运动惯性参考系中移动的位移矢量为Δr ᶄ,运动惯性参考系相对于基本惯性参考系的移动速度为u .在基本惯性参考系中,质点的初始速度和末速度分别为v 1和v 2;在运动惯性参考系中,质点的初始速度和末速度分别为v ᶄ1和v ᶄ2.在基本惯性参考系中,质点的动能定理可以表示为:F ㊃Δr =12m v 22-12m v 21.(8)在动量定理式(6)两侧右端同时点乘u 可得:F ㊃u Δt =m v 2㊃u -m v 1㊃u .(9)公式(8)减公式(9),得:F ㊃Δr -u Δ()t =12m v 22-2v 2㊃()u - 12m v 21-2v 2㊃()u .(10)公式(10)可变形为F ㊃Δr -u Δ()t =12m v 22-2v 2㊃u +u ()2- 12m v 21-2v 2㊃u +u ()2.(11)利用公式(a -b )2=a 2-a ㊃b -b ㊃a +b 2简化公式(11),同时考虑标量积特点(a ㊃b =b ㊃a )及相对运动公式(4)和(5)后,公式(11)可变形为F ㊃Δr ᶄ=12m v ᶄ22-12m v ᶄ21.(12)通过对比公式(8)和公式(12)可知,质点动能定理在不同参考系下的形式是一致的.上述证明过程是在恒力的作用下,对于变力的情况,也可以利用类似的方法证明.3 结论本文利用基本惯性参考系中的动能定理和矢量运算法则,求解出运动惯性参考系中的动能定理,即证明了动能定理形式不依赖于参考系的选取.该证明不仅有利于学生掌握动能定理和提高学生分析问题㊁解决问题的能力,而且有利于培养学生的探究精神和创新思维.参考文献:[1] 叶伟国,余国祥.大学物理[M ].北京:清华大学出版社,2012:37-43.[2] 卢德馨.大学物理学[M ].北京:高等教育出版社,2003:45-58.[3] 马文蔚,周雨青.物理学[M ].6版.北京:高等教育出版社,2014:57-69.[4] 戴坚舟,钱水兔,阴其浚,等.大学物理[M ].2版.上海:华东理工大学出版社,2007:48-77.[5] 张萍,D i n g Li n ,张静.传统大学物理教学的困境及成因分析[J ].物理与工程,2019,29(1):167-173.[6] 吴宏伟,权家琪.大学物理教学模式的改革与创新构想[J ].科教文汇,2019,446(中):71-72.[7] 臧小飞,周桃.浅析大学物理力学教学中的矢量思想[J ].科教文汇,2018,443(中):57-58.[8] 赵德刚,项林川.旧瓶装新酒:大学物理教学中开放式问题的探讨[J ].物理与工程,2019,29(1):8-10.251。
惯性力非惯性参考系中的力
惯性力非惯性参考系中的力惯性力是指物体在非惯性参考系中受到的表观力，它并不是真实存在的力，而是由于参考系的加速度而产生的一种惯性现象。
本文将探讨在非惯性参考系中，惯性力的概念以及如何计算和应用。
一、惯性力的概念在惯性参考系中，物体的运动状态由牛顿定律描述，即物体在受力作用下产生加速度。
然而，在非惯性参考系中，观察者处于相对运动状态，该参考系具有加速度。
在这种情况下，物体看起来似乎受到了额外的力，而实际上却只是观察者与参考系之间相互作用的结果。
惯性力可以分为离心力和科里奥利力两种类型。
离心力是指物体在非惯性参考系中由于参考系加速向心的结果而产生的力，它的大小与物体的质量以及参考系的加速度成正比。
科里奥利力是指物体在非惯性参考系中由于参考系加速引发的物体自身旋转而产生的横向力，它的方向垂直于物体的速度和参考系的加速度。
二、惯性力的计算要计算非惯性参考系中的惯性力，首先需要确定参考系的加速度以及物体的质量。
对于离心力，它的计算公式可以表示为F = m * a，其中F是离心力，m是物体的质量，a是参考系的加速度。
而科里奥利力的计算公式则较为复杂，它的大小为F = 2 * m * V * W，其中V是物体的速度，W是参考系的角速度。
三、惯性力的应用惯性力是解释一些日常生活现象的重要概念。
例如，在旋转木马上，当人们靠近中心处时，他们会感到向外的力，这是离心力的结果。
另外，当我们乘坐快速转弯的车辆时，我们会感到身体向外倾斜，这同样是离心力的作用。
科里奥利力在天气现象中也有应用，例如飓风的旋转和水槽中形成的涡旋等。
需要注意的是，惯性力只是一种表观力，它并不真正参与物体的相互作用中，因此在力学问题中并不需要将其考虑为真实的力。
在实际应用中，我们通常需要将惯性力考虑进去，以便更准确地描述非惯性参考系中的物体运动状态。
总之，惯性力是非惯性参考系中物体受到的表观力，它的存在是由参考系的加速度引发的。
离心力和科里奥利力是惯性力的两种类型，它们分别与物体的质量、速度以及参考系的加速度、角速度有关。
惯性力与非惯性参考系描述非惯性参考系下物体运动的力学原理
惯性力与非惯性参考系描述非惯性参考系下物体运动的力学原理惯性力是描述非惯性参考系下物体运动的力学原理。
在非惯性参考系中观察物体的运动时，会出现额外的力，即惯性力。
惯性力的出现是由于非惯性参考系的运动导致的，它并非真实存在的力。
惯性力的概念是为了使物体在非惯性参考系中的运动符合牛顿第二定律而引入的。
非惯性参考系是指相对于一个惯性参考系有加速度的参考系。
在非惯性参考系中观察物体的运动时，物体看似受到了额外的力，这些力就是惯性力。
惯性力的大小与物体的质量和非惯性参考系的加速度有关。
惯性力的方向则与非惯性参考系的加速度相反。
根据牛顿第二定律，物体在非惯性参考系中的运动需要考虑惯性力的作用。
以一个例子来说明惯性力的概念。
假设有一个物体在一辆加速的车厢中静止，如果我们在车厢外观察物体，它看起来就好像受到了一个向后的力。
这个力就是惯性力，它是为了使物体在非惯性参考系中的运动与惯性参考系中的运动一致而引入的。
在这个例子中，我们可以看到惯性力的方向与非惯性参考系的加速度相反。
在描述非惯性参考系下物体运动的力学原理时，需要考虑惯性力的作用。
在非惯性参考系中，物体的运动是由受力情况决定的。
根据牛顿第二定律，物体受到的合力等于质量乘以加速度。
而在非惯性参考系中，要使得物体的运动符合牛顿第二定律的描述，需要考虑惯性力的作用。
惯性力的引入使得我们可以在非惯性参考系中应用力学定律，从而简化对物体运动的描述。
通过考虑惯性力，我们可以用与在惯性参考系中相同的方式来分析非惯性参考系下的物体运动。
这使得力学定律的应用更加普适和统一。
总结起来，惯性力是为了描述非惯性参考系下物体运动的力学原理而引入的。
惯性力并非真实存在的力，而是由于非惯性参考系的运动导致的。
惯性力的引入使得我们可以应用力学定律来描述非惯性参考系下物体的运动，使得力学定律的应用更加普适和统一。
惯性参考系和非惯性参考系
r m
2 Fi mr en
(方向沿半径向外)
7
如果质点相对匀速转动参考系(非惯性系)运动, 则所受的惯性力较为复杂。除了受到惯性(离心)力的 作用外，还受到一种叫科里奥利力的惯性力。
Fc 2m 式中为转台的角速度，为质
点相对转台的速度。
可以证明，科里奥利力的计算公式为
五. 惯性参考系和非惯性参考系
1.惯性参考系 从运动的描述来说 ,参考系的选择是任意的，这 主要由研究问题的方便而定。但是，如果问题涉及 运动和力的关系，即要应用牛顿定律时,参考系是否 也能任意选择呢? 如图2-7所示，车厢A在地面上以加速度a向右运 动。 乙 车厢内的光滑桌面上 m k 有一与弹簧相连的质量m 甲 a 的小球, 弹簧的另一端系 A 在车厢壁上。现在来分析 这个 弹簧、小球 力学系 图2-7 统的运动情况。
求楔块的加速度 a0和物体对斜面的下滑加速度 a 。 '
N2
a0
m1
m2 m2g 图2-1
a'
m2 a 0
y
a0
x
N1
m1
N2 '
m1g
10
对m1: x方向
N' 2 sin m1a0
N2
a0
N1
m1
m2
a'
m2 a 0
y x
N2 '
m 1g
北半球的河床右岸为什么 受到较厉害的冲刷？赤道的信 风是怎样形成的？这些都是科 里奥利力作用的结果。
m
图2-10
可以在图书馆找周衍柏《理论力学》p141
8
北半球的河流由西向东流动，由于科里奥利力向南， 使河流的右岸受到冲刷。南半球反向，使河流的左岸受 到冲刷（试分析之）
惯性力非惯性参考系下的运动情况
惯性力非惯性参考系下的运动情况惯性力是指在非惯性参考系中观察到的力，其产生的原因是非惯性参考系的加速度导致物体产生假惯性力。
在本文中，我们将讨论惯性力在非惯性参考系下的运动情况，以便更好地理解物体在非惯性参考系中的运动规律。
一、惯性力的定义与原理在惯性参考系中观察到的物体运动是简单而直观的，而在非惯性参考系中观察到的物体运动则会产生额外的力。
这种额外的力即为惯性力，它的大小和方向与物体的加速度、质量和距离相关。
按照惯性力的定义，我们可以推导出其数学表达式：F惯性= -ma，其中F惯性为惯性力，m为物体的质量，a为非惯性观察系的加速度。
根据牛顿第二定律，物体受到的合力等于其质量乘以加速度，因此在非惯性参考系中，物体所受的合力为质量乘以非惯性观察系的加速度减去惯性力。
二、非惯性参考系下的匀速直线运动在非惯性参考系下，观察到的物体的运动状态可能与惯性参考系中存在一定的差异。
特别是在匀速直线运动中，惯性力的作用会使物体产生额外的加速度，从而导致物体的运动轨迹发生变化。
以一个简单的例子来描述非惯性参考系下的匀速直线运动。
假设一个小球在一个以加速度a观察的非惯性参考系中做匀速直线运动，而在惯性参考系中，小球的运动状态是静止的。
根据公式F惯性 = -ma，可知在非惯性参考系中，惯性力与质量成反比。
因此，在一个给定的非惯性参考系中，小球的惯性力大小与其质量越小，加速度越大；相反，质量越大，加速度越小。
这是因为较小的质量对惯性力的抵抗能力较弱。
三、非惯性参考系下的曲线运动除了匀速直线运动，非惯性参考系下的曲线运动也是需要考虑的情况。
在惯性参考系中，物体在曲线运动中会受到一个向心力的作用，该向心力是使物体维持其曲线轨迹的力。
然而，在非惯性参考系中，由于惯性力的存在，物体受到的合力并不等于向心力。
以一个小车在非惯性参考系中作匀速圆周运动为例。
在惯性参考系中，小车顺时针或逆时针匀速行驶，由于受到向心力的作用，小车能够维持在圆周轨迹上。
惯性系和非惯性系
惯性系和非惯性系引言在物理学中，惯性系和非惯性系是非常重要的概念。
它们对于我们研究物体运动以及描述物理现象有着重要的意义。
本文将介绍惯性系和非惯性系的定义，以及它们在物理学中的应用。
惯性系的定义惯性系是指一个参考系，在该参考系中，一个物体如果不受外力作用，将会保持静止或匀速直线运动。
也就是说，物体在惯性系中的运动状态是恒定的，不受任何力的干扰。
在惯性系中，牛顿第一定律成立。
非惯性系的定义非惯性系是指一个参考系，在该参考系中，有一外力作用在物体上。
由于外力的作用，物体在非惯性系中的运动状态将发生变化，不再是简单的匀速直线运动或静止状态。
惯性力的引入当物体在非惯性系中运动时，由于外力的作用，物体会出现看似无法解释的非惯性现象，在分析这些现象时，我们常常需要引入惯性力的概念。
惯性力是指一个与物体的加速度方向相反的力，它的大小等于物体的质量乘以加速度的大小。
应用举例1.离心力：想象一个绳子上带有小球的旋转木马，当木马转动时，小球会受到一个向外的离心力，这是因为在旋转坐标系中，小球受到了一个向中心的加速度，而离心力则是一个向外的力，使小球始终保持在木马上。
2.地球自转：地球自转产生了一个向外的离心力，这使得我们站在地面上的物体受到向下的压力，也就是我们常说的重力。
在非惯性系中，地球的自转速度会使物体受到一个看似向下的加速度，而这个加速度正好被重力所抵消，所以我们感觉不到地球的自转运动。
3.电梯加速：当乘坐电梯上升或下降时，我们会感受到一个向上或向下的力，这其实是地球引力与电梯的加速度之和，这个力使我们感觉到了重量的变化。
总结惯性系和非惯性系是物理学中非常重要的概念。
惯性系是一个物体在其中保持静止或匀速直线运动的参考系，而非惯性系则是一个物体在其中受到外力作用的参考系。
在非惯性系中，我们常常需要引入惯性力来解释一些看似无法解释的现象。
惯性力是与物体的加速度方向相反的力，它的大小等于物体的质量乘以加速度的大小。
惯性系和非惯性系
g
a
一个质量为 m 的小球自由下落， 同时一个桌子以加速度 a 从静止开始作匀加 速向上的运动， 经时间 t(以地面为参考系)有： 小球下降的高度 h = 2 gt 2 子向上通过的位移为 s = 2 at 2 s = 2 g + a t 2 ………………① 小球的速度 △ v = g + a t ………………②
两大参考系的对话
——浅谈惯性系和非惯性系中的力学规律
在中学阶段有关牛顿的力学规律在使用时一般是以地面为参考系的， 那么在 运动的惯性系和非惯性系中应如何使用这些力学规律呢？下面就这个问题作一 下探讨。 一. 运动的惯性系中的力学规律 由于在所有的惯性系中遵循相同的物理规律， 也就是说所有的惯性系是等价 的。所以，在运动的惯性系中各类运动学公式、动能定理、动量定理、机械能守 恒定律都是成立的， 都能直接使用，只不过各描述物体运动的物理量应使用相对 量。 二. 非惯性系中的力学规律 结论：在非惯性系中匀变速直线运动公式能直接使用，但是动能定理、动量 定理、 机械能守恒定律都不能直接使用，当引入惯性力后在非惯性系中在形式上 也能使用动量定理、动能定理和机械能守恒定律了。下面给出证明：如图所示
2 1 v2
Y
a
X
F惯 G
（3）在这种情况下半球面仍为一非惯性系，且惯性力的方向水平向左，类似于 第（2）问的解法：
1 4
mgR sin θ + mgR(1 − cos θ) = 2 mv2 ………………①
1 v2
1
mg cos θ − 4 mg sin θ = m R ……………………② sin 2θ + cos 2θ = 1……………………③ h = R cos θ……………………④ 联立以上几个方程求得: h = 0.81R Y 注：以上公式中的速度都为相对半球的速度。
《理论力学 动力学》 第五讲 非惯性系中质点的动能定理
4、非惯性系中质点的动能定理惯性参考系中的动能定理只适用于惯性系。
在非惯性参考系中，由于质点的运动微分方程中含有惯性力，因此需要重新推导动能定理。
质点的相对运动动力学基本方程为r d d m t=++Ie IC v F F F 式中e C r2m m m =-=-=-´Ie IC F a F a ωv ，r d d tv 是对时间t 的相对导数r v 上式两端点乘相对位移d ¢r r d d d d d d m t¢¢¢¢×=×+×+×Ie IC v r F r F r F r 注意到，并且科氏惯性力垂直于相对速度，所以IC F r v d 0¢×=IC F r d d r t¢=r v 上式变为：r r d d d m ¢¢×=×+×Ie v v F r F r δW ¢Ie—表示牵连惯性力F Ie 在质点的相对位移上的元功。
δF W ¢—表示力F 在质点的相对位移上的元功。
则有：2r 1d()δδ2F mv W W ¢¢=+Ie 质点在非惯性系中相对动能的增量等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对运动中所作的元功之和。
——质点相对运动动能定理（微分形式）4、非惯性系中质点的动能定理积分上式得22r r01122F mv mv W W ¢¢-=+Ie ——质点相对运动动能定理（积分形式）质点在非惯性系中相对动能的变化等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相对路程上所作功的和。
注意：因为在非惯性系中科式惯性力始终垂直于相对速度，因此在相对运动中科式惯性力始终不做功。
例4 已知：一平板与水平面成θ角，板上有一质量为m 的小球，如图所示，若不计摩擦等阻力。
求: (1)平板以多大加速度向右平移时，小球能保持相对静止?(2)若平板又以这个加速度的两倍向右平移时，小球应沿板向上运动。
浅谈非惯性参考系中的动能定理
、
非惯 性 参考 系中质 点 动 力学 的 基本
对平面转动参照系 （ 设ｓ 系 和 Ｓ系原 点 重 合 ， 且 为恒 矢 量 ） ， 则第（ ３ ） 式写成 ： ｍ ＝ ＋ｍ ∞ ； 一２ ｍ ×； （ １ ５ ）
得： ｄ ＝（ 声 ＋ｍ∞ ； 一２ ｍ ｘ； ）・ ｄ ； （ １ ６）
质 量 为 ｍ 的 质 点 在 两 个 参 考 中 的 加 速 度
分别 为： 绝对加速度 、 牵连 加速度 和相 对 加 速 度 ，由 点 的 复 合 运 动 可 知 、 。与
之 间关 系 为 ：
两物体 和 ｍ之间的滑动摩擦系数为 肛， Ｍ 与光滑水平面之 间无摩擦 ， 开
始 时 小 块 以 向右 运 动 。假 设 够 长 ， 使 两 物 体 最 终 能 够 以 相 同 的 速 度
动 能 定律 是 沿 用 的 。
【 关 键 词 】非 惯 性 参 考 系 参考 系 中讨论 力学 问题 ， 且 要运 用牛顿 定律解决力学问题 ， 参考 系是不能任 意选 择 的， 只能选 择惯 性参 考系。在
实 际 问 题 中往 往 要 求 在 非 惯 性 参 考 系 中讨 论 力 学 问题 ， 如果要在 非・ 院性 系
中， 动能 定律能否 沿用？讲述 了非惯性参考 系中的动能定理 ， 首先， 从非惯性 参考 系中质 点动力 学出发 导 出了非惯性 参考 系中的质 点动 力学的基本定律 ； 其次 ， 推 导 了非惯性参考 系的情 况下的平面转动和平 面移动 两种情况下的动能定律 ， 并且举例证 明了非惯性参 考 系中
定 律
设【 ｏ ， ． ， ， ］ 是 惯 性参 考系 ， 简 Ｓ系。
［ｏ ， ｉ ， ， ］ 是非 惯性参 考系 ， 简称 Ｓ 系 如 图
不同参考系中的功和动能定理
收稿日期:2004-12-06;修回日期:2005-04-06作者简介:冯喜忠(1953-),男,河南民权人,商丘职业技术学院高级教师,主要从事物理教学与研究.第21卷第5期2005年10月商丘师范学院学报J OU RNAL OF SHAN GQ IU TEACHERS COLL EGE Vol.21No.5October ,2005不同参考系中的功和动能定理冯 喜 忠(商丘职业技术学院学报编辑部,河南商丘476000) 摘 要:功和动能定理在求解相关的物理问题时有着重要作用.在不同的参考系中计算的功值是不相同的.其差值决定于运动物体在这一运动过程中的动量增量与两系相对速度的乘积.在不同的惯性系中质点的动能定理有着相同的形式.质点系内力所作的功在不同的惯性系中也是相等的.其功值的大小与参考系的选择无关.在非惯性系中应用动能定理应当考虑惯性力所作的功,结论才是正确的.关键词:不同参考系;功;动能定理中图分类号:O301 文献标识码:A 文章编号:1672-3600(2005)05-0167-03Work and the theorem of kinetic energy in different reference frame w orkFEN G Xi 2zhong(Editorial Department of Journal of Shangqiu Professional Techniques College ,Shangqiu 476000,China )Abstract :Work and the Theorem of K inetic Energy play an important role in solving the problem of related physics problems.The value of work varies in different framework of reference.The values are determined b y the product of the increasing amount of the momentum and the relative s peed in the two reference frameworks of the ob ject in the process of motion.The Theorem of K inetic Energy of the particles take the same form in different intertial s ystem ,and so is the works produced by the internal power.The value of work is irrelevant to the choice of reference framework.It is correct onl y in case that the work produced by the inertial power is taken into account when the Theorem of K inetic Energy is applied in the non 2inertial system.K ey w ords :different frameworks of reference ;work ;the theorem of kinetic ener gy1 参考系不同功值不同设有两个参考系O 系和O ′系,O ′系相对O 系有恒定的速度u .若O 系是惯性系,则O ′系也是惯性系.设有一质点m ,在力F 的作用下,在t 时间内自A 点移动到B 点.则力F 在O 系中对质点m 所作的功是W =∫sF ·d s ,O ′系中力F 所作的功是A ′=∫s ′F ·d s ′.由于在O 系和O ′系中,质点m 移动的位移不同,所以W ≠W ′.也就是说作用力F 在物体的运动过程中对物体所作的功值,在不同参考系中是不同的.2 参考系不同,功值差的决定因素设在t =0时,质点m ,O 系和O ′系均在O 点.在t 时质点m 运动到A 点,O ′系以速度u 相对O 系运动至O ′点.如图1考虑在一段时间d t 内,质点m 在O 系中所受的元功d W 与在O ′系中所受的元功d W ′,显然d W =F ·d S ,而d W ′=F ·d S ′由位移合成公式:S =S ′+u ·t 取微分得:d S =d S ′+u d t因此 d W =F ·d S =F ·(d S ′+u d t )=F ·d S ′+F ·u d t =d W ′+F ·u d t =d W ′+m d v ·u (由动量定理F d t =m d v )积分后可得 W =W ′+m ·Δv ·u 即 W -W ′=m ·Δv ·u 也就是说,在物体m 的运动过程中,作用力F 对物体m 所作的功,在不同惯性系中的差值应当等于物体m 在这一运动过程中的动量增量与两系相对速度的积[1].3 在不同惯性系中质点动能定理形式相同设在O 系中,质点m 在力F 的作用下,其动能由12m v 21增加至12m v 22.则动能定理成立:W =ΔE K =-12m v 22-12m v 21根据速度合成公式:v 2=v ′2+u ,v 1=v ′1+u .以及两参考系的功值差W =W ′+m Δv ·u ,可以将在O 系中成立的动能定理转换到相对O 系以速度u 运动的O ′系中,即有:W ′+m Δv ·u =12m [(v ′2+u )2-(v ′1+u )2]=12m [v ′22+2v ′2·u -v ′21-2v ′1·u ]=12m v ′22-12m v ′21+m (v 2-v ′1)·u =12m v ′22-12m v ′21+m Δv ′·u 由于Δv =Δu ′,因此有:W ′=12m v ′22-12m v ′21=ΔE ′K 这正是在O ′系中的动能定理.这和在O 系中的动能定理形式相同.这是符合力学相对性原理的要求的.即若要使物体增加50J 的能量,则不论在哪一个惯性参考系都应当给以50J 的功.并不存在一个特殊的省功的参考系.所以人在行驶的船上要向前跳出2m ,所需要付出的能量和在岸上跳是一样多的.4 质点系内力所作的功设有几个质点所组成的质点系,则对其中每个质点都可以写出在O 系中的动能定理:W i =∫S iF i ·d S i =12m i v 2i 2-12m i v 2i 1=ΔE Ki 其中F i 是第i 个质点所受外力与内力的合力.即F i =F i 外+∑jFij(i ≠j ),∑jF ij为质点系内其他质点对第i 质点的内力作用之和.对所有质点的动能定理求和,便有质点系的动能定理.∑iW i=∑iW i外+∑ii内=∑ΔE Ki对此式进行参考系的转换,则可以得出两个结论:411 系统内力所作的功值与参考系的选取无关系统内力所作的功可以写作∑iW i内=∑i∫∑jF ij·d S i应用位移合成公式:d S =d S ′+u d t.便有: ∑iW i 内=∑i∫∑jF ij(d S ′i +u d t )=∑i∫∑jF ij·d S ′i +(∑i∫∑jF ij d t )u而由牛顿第三定律∑i∑jFij=0.因此有:∑iW i内=∑i∫∑jF ij d S i =∑i∫∑jF ij·d S ′i =∑W ′i内这就是说,系统内力所作的功在不同惯性系中是相等的.系统内力所作的功值与参考系的选取无关.所以我们可以推论:由系统保守内力所决定的势能,也当然不因参考系的选取而有不同.即ΔE P =ΔE ′P412 外力对系统所作的功外力对系统所作的功可写作:∑iW i外=∑i∫F i外·d S i应用位移合成公式d S i =d S ′i +u d t ,和牛顿第二定律可以证得:861商丘师范学院学报 2005年 ∑iW i外=∑i∫F i外·d S ′i+∑im iΔv i·u =∑iW ′i外+∑im iΔv i·u这就是说:对质点系因转换参考系而有的功值差∑iW i外-∑iW ′i外仍决定于系统的动量增量和两参考系的相对速度u 的乘积.这和单纯一个质点的情况相似.因此,质点系的动能定理在O ′系中也可写作:∑iW ′i=∑iW ′i外+∑iW ′i内=∑iΔE ′Ki5 在非惯性系中要考虑惯性力所作的功如果O ′系相对于O 系以加速度a 作匀加速运动,则O ′系是非惯性系.在这样的参考系中牛顿第二定律F 3=md vd t是不能成立的.必须考虑F =-m a 即惯性力.将牛顿第二定律改写为(F +F 3)=(F -m a )=m d vd t.可以证明在O ′系中质点的动能定理,仍可写成∫S ′(F -m a )·d S ′=12m v ′22-12m v ′21参考文献:[1] 顾建中.力学教程[M ].北京:高等教育出版社,1986.[2] 程守洙,江之永.普通物理[M ].北京:高等教育出版社,1997.(上接第160页)再求二阶偏导数F ″xx =4,F ″xy =0,F ″yy =4,又F ′z =2z +8y -1,当x 1=0,y 1=-2,z 1=1时有 H F (P 1,z 1)=4150415.因为415>0,4150415=16225>0,所以H F (P 1,z 1)正定.故隐函数在点P 1(0,-2)取极小值,且z min =1.当x 2=0,y 2=167,z 2=-87时,有H F (P 2,z 2)=-41500-415,因为-415<0,-41500-415=16225>0,所以H F (P 1,z 1)负定.故隐函数在点P 2(0,167)取极大值,且z max =-87.参考文献:[1] 同济大学数学教研室.高等数学(第四版)(下册)[M ].北京:高等教育出版社,1996.61-70.[2] 罗汉,曹定华.多元微积分与代数[M ].北京:科学出版社,1999.153-162.[3] 陈汝栋.数学分析·高等代数·高等几何·解析几何 问题与思考[M ].上海:上海科学技术文献出版社,1992.131-132.961 第5期 冯喜忠:不同参考系中的功和动能定理。
系统应用动能定理条件
系统应用动能定理条件一、动能定理内容动能定理的表达式为：W = Δ E_{k}，其中W是合外力对物体做的功，ΔE_{k}=E_{k2}-E_{k1}，E_{k1}=(1)/(2)mv_{1}^2是物体的初动能，E_{k2}=(1)/(2)mv_{2}^2是物体的末动能。
二、应用动能定理的条件1. 明确研究对象- 一般是单个物体，也可以是多个物体组成的系统（系统内各物体间的内力做功之和为零的情况）。
在人教版教材中，通常先从单个物体的分析入手，例如在研究滑块在斜面上滑动的问题时，滑块就是研究对象。
2. 明确过程- 要确定研究对象所经历的物理过程。
这个过程的始、末状态的动能要能够确定。
例如一个小球从高处自由下落到地面的过程，初状态是小球在高处静止（初速度为0，初动能为0），末状态是小球刚接触地面时（具有一定的速度，可根据运动学公式求出末动能）。
3. 分析力做功- 准确分析在选定的过程中，有哪些力对研究对象做功。
这些力可以是重力、弹力、摩擦力等。
- 重力做功只与初末位置的高度差有关，W_G = mgΔ h。
例如物体下落高度h 时，重力做正功mgh；物体上升高度h时，重力做负功 - mgh。
- 弹力做功，如果是弹簧弹力，根据胡克定律F = kx，其做功可以通过积分或者功能关系来计算。
对于轻质弹簧，弹力做的功等于弹性势能的变化量的相反数。
- 摩擦力做功，如果是滑动摩擦力，W_f=-F_fx（x为物体相对滑动的路程，滑动摩擦力方向与物体相对运动方向相反，所以做负功；如果摩擦力是动力，如人走路时地面给人的静摩擦力，则做正功）。
- 计算总功时，要注意功是标量，总功等于各个力做功的代数和，即W =W_1+W_2+W_3+·s。
4. 适用的参考系- 动能定理中的速度一般是相对于地面的速度。
在人教版教材中，大部分情况都是以地面为参考系进行计算的。
如果选取非惯性系，需要考虑惯性力做功的问题，但这超出了高中阶段的常规要求。
3-2 惯性系与非惯性系
T
r ar r m1a
y
r ar
o
y
A
r m1g
r m2 a B
r m2 g
r ar
B A
r ar
r a
m1 g + m1a − T = m1ar −m2 g − m2 a + T = m2 ar m1 − m2 ar = 由此解得 ( g + a) m1 + m2 2m1m2 T= ( g + a) m1 + m2 a1 = ar − a A,B两物体对地面的 两物体对地面的
r r r r r F = ma = m ( a ′ + a0 ) = ma ′ + ma0
在非惯性系中， 在非惯性系中，牛顿第二定律表示为
r r r F + (−ma0 ) = ma′
上式表明， 上式表明，真实力和惯性力之和等于 惯性力是虚拟力，没有反作用力。 惯性力是虚拟力，没有反作用力。 在平动参考系中，惯性力为 在平动参考系中，
r ma′
。
r a: r a′ : r a0 :
r r Fi = −ma0
绝对加速度是质点相对惯性系的加速度； 绝对加速度是质点相对惯性系的加速度； 相对加速度是质点相对非惯性系的加速度； 相对加速度是质点相对非惯性系的加速度； 牵连加速度是非惯性系相对惯性系的加速度。 牵连加速度是非惯性系相对惯性系的加速度。
习题3-13 电梯相对地面以加速度a竖直向上运动， 电梯相对地面以加速度a竖直向上运动， 习题 电梯中有一滑轮固定在电梯顶部，滑轮两侧用轻绳悬 电梯中有一滑轮固定在电梯顶部， 的物体A B,且 挂着质量分别为 m 1 和 m 2 的物体A和B,且
m 1 > m 2 。如以电梯为参考系，求物体相对地面的 如以电梯为参考系，
力学竞赛资料惯性参考系与非惯性参考系
惯性参考系与非惯性参考系目的•正确理解惯性参考系的定义•正确识别惯性参考系与非惯性参考系•正确理解惯性力的概念•知道惯性力不是物体间的相互作用•会正确运用惯性力计算有关问题思考问题1：牛顿第一定律的内容是什么？(答：一切物体总保持静止或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。
)说明：这条定律正确地说明了力与运动的关系：物体的运动不需要力去维持：力是改变物体运动状态(产生加速度)的原因。
问题2：当你和同伴同时从平台跳下，如各自以自身为参考系，对方做什么运动？(答：对方是静止的。
)问题3：在平直轨道上运动的火车中有一张水平的桌子，桌上有一个小球，如果火车向前加速运动，以火车为参考系，小球做什么运动？(答：小球加速向后运动。
)疑问：问题 2 中，既然对方是静止的，按照牛顿第一定律，他不应受到力的作用，然而每个人都的确受到重力的作用。
这怎么解释呢？问题 3 中，小球加速向后运动，按照牛顿第一定律，小球应受到力的作用，然而小球并没有受到向后的力。
这又怎么解释呢？对这个问题暂时还不能解释，但我们至少能说明一点：并非对一切参考系，牛顿第一定律都成立。
惯性参考系与非惯性参考系我们以牛顿运动定律能否成立来将参考系划分为两类：惯性参考系和非惯性参考系。
•两种参考系•惯性参考系：牛顿运动定律成立的参考系，简称惯性系。
中间空出两行。
•非惯性参考系：牛顿运动定律不能成立的参考系。
要判断一个参考系是否为惯性参考系，最根本的方法是根据观察和实验；判断牛顿运动定律在参考系中是否成立。
分析问题 2 ：当你和同伴同时从平台跳下，以地面为参考系，做匀加速运动。
由于人受重力作用，所以人做匀加速运动，这是符合牛顿运动定律的。
我们生活在地球上，通常是相对地面参考系来研究物体运动的。
伽利略的理想实验以及我们前面做过的研究运动和力的关系的实验，都是以地面作参考系的。
在地面上作的许多观察和实验表明：牛顿运动定律对地面参考系是成立的。
浅谈非惯性参考系中的动能定理
浅谈非惯性参考系中的动能定理作者：海七林来源：《中国校外教育·综合（上旬）》2013年第10期摘要：从惯性参考系中的牛顿定律出发，在非惯性参考系中导出了质点动力学的基本定律及质点系的动能定律。
那么在非惯性参考系中，动能定律能否沿用？讲述了非惯性参考系中的动能定理，首先，从非惯性参考系中质点动力学出发导出了非惯性参考系中的质点动力学的基本定律；其次，推导了非惯性参考系的情况下的平面转动和平面移动两种情况下的动能定律，并且举例证明了非惯性参考系中动能定律是沿用的。
关键词：非惯性参考系动能定理质点在运动学中，往往要求在惯性参考系中讨论力学问题，且要运用牛顿定律解决力学问题，参考系是不能任意选择的，只能选择惯性参考系。
在实际问题中往往要求在非惯性参考系中讨论力学问题，如果要在非惯性系中用牛顿定律解决力学问题，必须附加一个假想的力——惯性力当动力学中选用非惯性参考系解决问题时，也只限于沿用牛顿定律，而由牛顿定律导出的动能定理。
一般不能沿用。
在非惯性参考系中，动能定理是否沿用本文将对此问题进行讨论。
一、非惯性参考系中质点动力学的基本定律因此推知，相对惯性参考系做匀速直线运动的参考系也是惯性参考系。
二、两种情况下的非惯性参考系中质点动能定理的推导1.平面转动非惯性系中动能定理的推导若引入惯性力的概念：原则上说将惯性力F为外力考虑后就可以把惯性系中的一些质点动力学问题的原理和方法推广到非惯性系中去。
因此一般非惯性系中动能定理在形式上与惯性系中的动能定理相一致。
2.平移非惯性系中动能定理的推导此速度为两个物体的最终达到的相同速度。
从开始到两物体达到相同速度的整个过程中，系统的动能增量为：三、结论本文主要讲述了从在惯性参考系中的牛顿定律出发，在非惯性参考系中导出了质点动力学的基本定律及质点系的动能定律。
首先，从非惯性参考系中质点动力学出发导出了非惯性参考系中的质点动力学的基本定律；然后，推导了非惯性参考系的情况下的平面转动和平面移动两种情况下的动能定律。
动能定理在不同参照系中的应用
动能定理在不同参照系中的应用动能定理是研究力学的一个基本定理，它指出，机体的动能是坐标变换而不变的，即可以在任意参照系中进行表示。
它深刻地影响了我们对物理系统的理解，并使我们能够从不同的参照系中对物理现象进行系统的描述。
本文将讨论动能定理在不同参照系中的应用。
第一部分，我们回顾了动能定理，它指出物体的动能在任意参照系中都可以表示为物体的质量和速度的平方之积，并可以用来求解物体的扰动动能和变动动能。
通过这个定理，我们可以用不同参照系来描述物体的动能，比如动量参照系，关联动能参照系，系统动能参照系和内力参照系，以及物体的惯性系统。
第二部分，讨论了动能定理在不同参照系中的具体应用。
以动量参照系为例，动能定理可以用来求解物体的动量，因为在动量参照系中，物体的动量可以表示为物体的质量和速度的乘积。
此外，在关联动能参照系中，动能定理可以用来求解物体的关联动能，而在系统动能参照系中，它可以用来求解系统动能以及系统中物体之间的相互作用。
最后，在惯性系统中，动能定理可以用来求解各物体的惯性动能。
第三部分，对动能定理在不同参照系中的应用进行了总结。
总体而言，这个定理在不同参照系中，都可以用来求解物体的动能，进而描述物体间力学作用，并从不同参照系中进行系统分析。
它的实质是将复杂的动能求解问题，简化为计算物体的质量和速度之间关系的问题，从而使物理研究得以更容易、以及更精确地进行。
本文综述了动能定理在不同参照系中的应用，由此可见，动能定理的引入，不仅使动能求解的问题更加简单，而且使物理系统的表示从不同的参照系中进行转换变得更加容易。
希望本文的讨论，可以为我们更深入地了解动能定理及其在不同参照系中的应用提供一些参考。
惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理
惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理摘 要动能定理做为高中物理一条重要的规律，并没有提及在不同的参考系中使用的问题。
本文对惯性参考系和非惯性参考系中动能定理的表达式进行了探讨。
关键词：动能定理 惯性参考系 非惯性参考系 表达式质点动能定理的经典表述为：质点的动能的增量等于作用于质点的合力所做的功。
即：微分形式： ⎪⎭⎫⎝⎛=221mv d dW 积分形式：⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=v v mv d W d 02021 或： W =k E ∆在高中物理中并没有提及运用动能定理的参考系的选取，而一般情况下也都是选取地面为参考系，那么如果选取其他的参考系动能定理是否依然成立，下面对这个问题进行了探讨。
1． 惯性参考系中的动能定理所谓惯性参考系，就是适用于牛顿运动定律的参考系。
地球或静止在地面上的物体可以认为是惯性参考系，相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系。
经典力学认为，牛顿第二定律的数学形式与惯性参考系选取无关，那么作为牛顿第二定律重要推导—动能定律是否也与惯性参考系选取无关呢?在例1中求证，如图1两个参考系，地面为固定参考系O '，光滑木板以速度v 做匀速直线运动，木板为一惯性参考系O 。
一质量为m 的物体，在木板参考系O 中，0t 时刻初速度为1v ，在恒力F 的作用下，在运动方向上发生一段位移s ，1t 时刻速度增加到2v 。
1．1惯性参考系中功的计算功的定义为：r d F dW⋅=a) 在木板参考系即惯性参考系O 中：s F W ⋅=① b) 在地面参考系即惯性参考系O '中：由伽利略变换可知，位移vt s s +='，两参考系中时间相同212v v st +=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅=+⋅='⋅='212v v sv s F vt s F s F W ②2v1v 图1比较①和②可以看到W W '≠，即功的大小与惯性参考系的选取有关。
1．2惯性参考系中动能的计算动能的定义：221mv E K =由伽利略变换：木块的初速度v v v +='11，末速度v v v +='22 在0t 时刻：a ） 在木板参考系即惯性参考系O 中21121mv E k =③ b) 在地面参考系即惯性参考系中O '：()212112121v v m v m E k+='=' ④ 在1t 时刻：a ） 在木板参考系即惯性参考系O '中22221mv E k =⑤ b) 在地面参考系即惯性参考系O 中：()222222121v v m v m E k+='=' ⑥ 比较③和④、⑤和⑥，可知k k E E '≠，即动能的大小与惯性参考系的选取也有关。
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惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理
摘 要
动能定理做为高中物理一条重要的规律，并没有提及在不同的参考系中使用的问题。
本文对惯性参考系和非惯性参考系中动能定理的表达式进行了探讨。
关键词：动能定理 惯性参考系 非惯性参考系 表达式
质点动能定理的经典表述为：质点的动能的增量等于作用于质点的合力所做的功。
即：
微分形式： ⎪⎭
⎫
⎝⎛=221mv d dW 积分形式：
⎰⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛=v v mv d W d 02021 或： W =k E ∆
在高中物理中并没有提及运用动能定理的参考系的选取，而一般情况下也都是选取地面
为参考系，那么如果选取其他的参考系动能定理是否依然成立，下面对这个问题进行了探讨。
1． 惯性参考系中的动能定理
所谓惯性参考系，就是适用于牛顿运动定律的参考系。
地球或静止在地面上的物体可以认为是惯性参考系，相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系。
经典力学认为，牛顿第二定律的数学形式与惯性参考系选取无关，那么作为牛顿第二定律重要推导—动能定律是否也与惯性参考系选取无关呢?
在例1中求证，如图1两个参考系，地面为固定参考系O '，光滑木板以速度v 做匀
速直线运动，木板为一惯性参考系O 。
一质量为m 的物体，在木板参考系O 中，0t 时刻初速度为1v ，在恒力F 的作用下，在运动方向上发生一段位移s ，1t 时刻速度增加到
2v 。
1．1惯性参考系中功的计算
功的定义为：r d F dW
⋅=
a) 在木板参考系即惯性参考系O 中：
s F W ⋅=
① b) 在地面参考系即惯性参考系O '中：
由伽利略变换可知，位移vt s s +='，两参考系中时间相同2
12v v s
t +=
()⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++⋅=+⋅='⋅='212v v sv s F vt s F s F W ②
2v
1v 图
1
比较①和②可以看到W W '≠，即功的大小与惯性参考系的选取有关。
1．2惯性参考系中动能的计算
动能的定义：22
1mv E K =
由伽利略变换：木块的初速度v v v +='11
，末速度v v v +='22 在0t 时刻：
a ） 在木板参考系即惯性参考系O 中
2
112
1mv E k =
③ b) 在地面参考系即惯性参考系中O '：
()212112
121v v m v m E k
+='=' ④ 在1t 时刻：
a ） 在木板参考系即惯性参考系O '中
2
222
1mv E k =
⑤ b) 在地面参考系即惯性参考系O 中：
()222222
121v v m v m E k
+='=' ⑥ 比较③和④、⑤和⑥，可知k k E E '≠，即动能的大小与惯性参考系的选取也有关。
1．3惯性参考系中的动能定理
由以上分析可知，功和动能都与惯性参考系的选取有关，那么在不同惯性参考系中动能定理的表述是否相同呢？
a ） 在木板参考系即惯性参考系O 中，由①③⑤式
再由牛顿第二定律：ma F =
和匀变速直线运动公式：as v v 22
12
2=- 联立：122
1222
121k k E E mv mv s ma s F W -=-=
⋅=⋅= 即： W =k E ∆
c) 在地面参考系即惯性参考系O 中：由②④⑥式
同样由牛顿第二定律：ma F =
和匀变速直线运动公式：s a v v '='-'22
122
s F W '⋅='
s s v v m
s ma '⋅'
'-'='⋅=22122
()()122
1222
k k
E E v v v v m
'-'=+-+= 即： W '=k
E '∆ 也就是说虽然功和动能都与惯性参考系的选取有关，但动能定理的表达式与惯性参考系
的选取无关。
2．非惯性参考系中的动能定理
非惯性系是指相对于孤立系统（即惯性系）一切不静止或不匀速的参考系，系从刚才的推导中可以看到，在惯性参考系中动能定理可以由牛顿第二定律推导出来。
而在非惯性参考系中牛顿定律不成立，因此动能定理也应该不成立。
在例2中求证，如图2在木板参考系O 中，初速度为1v ，末速度2v ，加速度a ；在地面参考系O '中，木板加速度a '，初速度为v 。
在木板参考系O 中，由运动学公式：
as v v 22
12
2=- ⑦ 又由牛顿第二定律：
()a a m F '+= ⑧ 联立⑦和⑧得：
2
1222
121mv mv mas Fs -=-
即在木板参考系O 中≠W k E ∇，而上式多出来的mas -就是非惯性参考系中的惯性力所做的功。
因此在非惯性参考系中，加上惯性力所做的功，动能定理仍然成立。
例3如图3，质量为M 的大木块上放一个质量为m 的小木块，两木块之间摩擦系数为
μ，地面光滑，小木块初速度为0v ，大木块足够长，
最终两木块共速。
取地面为参考系：
由动量守恒定律两物体最终共同速度
m
M mv v +=
由质点系动能定理，系统内力和外力做的总功等于系统动能的变化 2
0202
2v m v mv fs -=
- 2
2
02
2v m m M mv m M -⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ()
2
02v m M mM +-
= ⑨
v
2v
1v
图2
a ' a
a
0v 图3
取大木块为参考系：
引入惯性力⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-=M f m ma F M 惯 假设惯性力与真实力一样做功 s f M m f W W ⋅⎪⎭
⎫
⎝⎛+-=+惯真 ⑩ 联立⑨和⑩得: ()2
021v m M mM M m s f M m f W W +⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+惯真
k
E v m '∆=-
=2
02
即在非惯性参考系中，真实力做功与惯性力做功之和等于物体动能的该变量。
通过引入惯性力，使得动能定理在形式上也成立了，动能定理的表达式变为E W W '∆=+惯真。
3．结论
综上所述，在惯性参考系中，力对物体做的功和物体所具有的动能与惯性参考系的选取有关，不同的惯性参考系中功和物体的动能可能不同，说明功和动能具有相对性。
但在不同惯性参考系中，牛顿第二定律都成立，所以动能定理的数学表达式也是唯一的，与惯性参考系的选取无关。
而在非惯性参考系中，由于牛顿第二定律不在成立，所以动能定理在形式上也不成立；但通过引入惯性力，可以使得牛顿第二定律在形式上也成立，在与惯性系相比中加多了惯性力做功的部分后，动能定理在形式上也成立了。
参考文献：
1.漆安慎 杜婵英.力学[M] .北京:高等教育出版社，1997.
2.顾建中.力学教程[M].北京:高等教育出版社,1986.。