惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理

惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理

摘 要

动能定理做为高中物理一条重要的规律，并没有提及在不同的参考系中使用的问题。本文对惯性参考系和非惯性参考系中动能定理的表达式进行了探讨。 关键词：动能定理 惯性参考系 非惯性参考系 表达式

质点动能定理的经典表述为：质点的动能的增量等于作用于质点的合力所做的功。即：

微分形式： ⎪⎭

⎫

⎝⎛=221mv d dW 积分形式：

⎰⎰⎪⎭

⎫

⎝⎛=v v mv d W d 02021 或： W =k E ∆

在高中物理中并没有提及运用动能定理的参考系的选取，而一般情况下也都是选取地面

为参考系，那么如果选取其他的参考系动能定理是否依然成立，下面对这个问题进行了探讨。 1． 惯性参考系中的动能定理

所谓惯性参考系，就是适用于牛顿运动定律的参考系。地球或静止在地面上的物体可以认为是惯性参考系，相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系。经典力学认为，牛顿第二定律的数学形式与惯性参考系选取无关，那么作为牛顿第二定律重要推导—动能定律是否也与惯性参考系选取无关呢?

在例1中求证，如图1两个参考系，地面为固定参考系O '，光滑木板以速度v 做匀

速直线运动，木板为一惯性参考系O 。一质量为m 的物体，在木板参考系O 中，0t 时刻初速度为1v ，在恒力F 的作用下，在运动方向上发生一段位移s ，1t 时刻速度增加到

2v 。

1．1惯性参考系中功的计算

功的定义为：r d F dW

⋅=

a) 在木板参考系即惯性参考系O 中：

s F W ⋅=

① b) 在地面参考系即惯性参考系O '中：

由伽利略变换可知，位移vt s s +='，两参考系中时间相同2

12v v s

t +=

()⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛++⋅=+⋅='⋅='212v v sv s F vt s F s F W ②

2v

1v 图

1

比较①和②可以看到W W '≠，即功的大小与惯性参考系的选取有关。

1．2惯性参考系中动能的计算

动能的定义：22

1mv E K =

由伽利略变换：木块的初速度v v v +='11

，末速度v v v +='22 在0t 时刻：

a ） 在木板参考系即惯性参考系O 中

2

112

1mv E k =

③ b) 在地面参考系即惯性参考系中O '：

()212112

121v v m v m E k

+='=' ④ 在1t 时刻：

a ） 在木板参考系即惯性参考系O '中

2

222

1mv E k =

⑤ b) 在地面参考系即惯性参考系O 中：

()222222

121v v m v m E k

+='=' ⑥ 比较③和④、⑤和⑥，可知k k E E '≠，即动能的大小与惯性参考系的选取也有关。

1．3惯性参考系中的动能定理

由以上分析可知，功和动能都与惯性参考系的选取有关，那么在不同惯性参考系中动能定理的表述是否相同呢？

a ） 在木板参考系即惯性参考系O 中，由①③⑤式

再由牛顿第二定律：ma F =

和匀变速直线运动公式：as v v 22

12

2=- 联立：122

1222

121k k E E mv mv s ma s F W -=-=

⋅=⋅= 即： W =k E ∆

c) 在地面参考系即惯性参考系O 中：由②④⑥式

同样由牛顿第二定律：ma F =

和匀变速直线运动公式：s a v v '='-'22

122

s F W '⋅='

s s v v m

s ma '⋅'

'-'='⋅=22122

()()122

1222

k k

E E v v v v m

'-'=+-+= 即： W '=k

E '∆ 也就是说虽然功和动能都与惯性参考系的选取有关，但动能定理的表达式与惯性参考系

的选取无关。

2．非惯性参考系中的动能定理

非惯性系是指相对于孤立系统（即惯性系）一切不静止或不匀速的参考系，系从刚才的推导中可以看到，在惯性参考系中动能定理可以由牛顿第二定律推导出来。而在非惯性参考系中牛顿定律不成立，因此动能定理也应该不成立。

在例2中求证，如图2在木板参考系O 中，初速度为1v ，末速度2v ，加速度a ；在地面参考系O '中，木板加速度a '，初速度为v 。

在木板参考系O 中，由运动学公式：

as v v 22

12

2=- ⑦ 又由牛顿第二定律：

()a a m F '+= ⑧ 联立⑦和⑧得：

2

1222

121mv mv mas Fs -=-

即在木板参考系O 中≠W k E ∇，而上式多出来的mas -就是非惯性参考系中的惯性力所做的功。因此在非惯性参考系中，加上惯性力所做的功，动能定理仍然成立。

例3如图3，质量为M 的大木块上放一个质量为m 的小木块，两木块之间摩擦系数为

μ，地面光滑，小木块初速度为0v ，大木块足够长，

最终两木块共速。

取地面为参考系：

由动量守恒定律两物体最终共同速度

m

M mv v +=

由质点系动能定理，系统内力和外力做的总功等于系统动能的变化 2

0202

2v m v mv fs -=

- 2

2

02

2v m m M mv m M -⎪⎭⎫ ⎝⎛++= ()

2

02v m M mM +-

= ⑨

v

2v

1v

图2

a ' a

a

0v 图3