平面解析几何中的中心对称和轴对称

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中心对称和轴对称的几何性质

中心对称和轴对称的几何性质在几何学中，中心对称和轴对称是两种重要的对称性质。

它们在数学、物理、化学等领域中都有着广泛的应用。

本文将详细介绍中心对称和轴对称的几何性质，以及它们之间的区别和联系。

1. 中心对称中心对称是指图形相对于一个中心点进行对称，即图形中的每个点与中心点之间的连线都会与另一个点对称。

中心对称特性使得图形能够在某个中心点进行旋转180度后不变。

1.1 中心对称的判定条件一个图形是否具有中心对称可以通过以下两个判定条件来验证：1）图形中存在至少一个点，它与中心点之间的连线与该点与另一个点之间的连线对称。

2）图形中的每个点都与中心点之间的连线都能够与另一个点对称。

1.2 中心对称的性质中心对称具有以下几何性质：1）中心对称的图形具有镜像对称性，即图形可以关于中心点进行对称，将其中一个点对称到另一个位置。

2）中心对称的图形无论进行旋转多少度，都不会改变其形状和大小，只会改变位置。

2. 轴对称轴对称是指图形相对于一个轴线进行对称，即图形中的每个点与轴线之间的连线都会与另一个点对称。

轴对称特性使得图形能够在轴线上进行翻转后不变。

2.1 轴对称的判定条件判断一个图形是否具有轴对称可以通过以下两个条件来验证：1）图形中存在一个轴线，使得图形中的每个点与轴线之间的连线与该点与另一个点之间的连线对称。

2）图形中的每个点都与轴线之间的连线都能够与另一个点对称。

2.2 轴对称的性质轴对称具有以下几何性质：1）轴对称的图形具有镜像对称性，即图形可以关于轴线进行对称，将其中一部分镜像到另一部分。

2）轴对称的图形无论进行旋转多少度，只要不改变轴线的位置和方向，都不会改变图形的形状和大小，只会改变位置。

3. 中心对称和轴对称的区别和联系尽管中心对称和轴对称都是几何形状的对称性质，它们之间存在一些区别和联系。

区别：1）中心对称是相对于一个点进行对称，而轴对称是相对于一个轴线进行对称。

2）中心对称的图形无论进行旋转多少度，都不会改变其形状和大小，但轴对称的图形必须在轴线上进行翻转才能保持不变。

轴对称与中心对称的基本概念

轴对称与中心对称的基本概念轴对称与中心对称是数学中常见的概念，用来描述物体的对称性。

在几何学中，轴对称和中心对称是两种最基本的对称方式。

本文将介绍轴对称和中心对称的概念、特点以及其在几何学和其他领域中的应用。

一、轴对称轴对称是指物体相对于某根轴按照一定的规律做对称变换时，可以将物体完全重合的情况。

这根轴称为轴对称的轴线，物体上的任意一点相对于轴线的对称点都在轴线的同一侧。

轴对称的特点：1. 轴对称的图形可以分为左右对称、上下对称或者同时存在左右和上下对称。

2. 轴对称的图形可以通过沿着轴线将一个部分复制到另一部分来得到。

3. 轴对称的图形可以在平面上无限延伸，不会受到轴线本身长度的限制。

4. 轴对称的图形可以通过旋转180度来映射到自身。

轴对称在几何学中的应用：1. 用来描述平面上的多边形、图形和图案的对称性。

2. 在建筑设计中考虑到建筑物的对称性，以求得美感和结构的稳定性。

3. 在工程制图和雕塑设计中，通过轴对称来保持形状的对称和均衡。

二、中心对称中心对称是指物体相对于某个中心点按照一定的规律做对称变换时，可以将物体完全重合的情况。

这个中心点称为中心对称的中心，物体上的任意一点都有与中心对称的一点。

中心对称的特点：1. 中心对称的图形在任意一点相对于中心的对称点都在以中心为圆心的同一条直线上。

2. 中心对称的图形可以通过旋转180度加上绕圆心的对称变换来映射到自身。

3. 中心对称的图形对于镜像是群运算的封闭性，即两个中心对称的图形的镜像仍然是中心对称的。

中心对称在几何学中的应用：1. 用来描述平面上的圆、椭圆和其他有规则形状的图形的对称性。

2. 在生物学中，许多生物体的形状可以通过中心对称来描述，比如瓢虫的斑点和花瓣的排列。

3. 在天文学中，天体的分布和轨道常常呈现中心对称的特征。

总结：轴对称和中心对称是数学和几何学中常见的对称概念。

通过对轴对称和中心对称的特点和应用的介绍，我们可以更好地理解和应用这两种对称性。

解析几何中的对称性和轴对称性

解析几何中的对称性和轴对称性解析几何是数学的一个分支，涉及到平面几何和空间几何的研究。

对称性和轴对称性是解析几何中极其重要的一部分内容。

它们是我们研究几何形状的重要工具，可以帮助我们呈现出几何形状的美感和魅力。

从理论和实践两个方面来探讨对称性和轴对称性对于解析几何的意义和应用。

一、对称性在解析几何中，对称性是指一个几何形状能够保持不变，即在区域内任意取一点，以这个点为中心，任意方向转移后仍是同一形状。

简单来说，就是如果一个几何形状在满足特定条件的情况下能够发生变化，而这种变化后的形状与原始形状完全相同，那么这种几何形状就具有对称性。

对称性有许多种类型，如旋转对称性、平移对称性、点对称性等。

其中，旋转对称性是指在特定中心进行旋转后能够得到与原始形状相同的新形状；平移对称性是指在特定方向上平移后能够得到与原始形状完全相同的新形状；点对称性是指以特定点为中心将一条几何线转移到对称轴的相同位置上，从而得到一个与原始形状完全一致的新形状。

通过对称性，我们可以在几何形状间进行比较和分析，帮助我们更好地理解和掌握几何形状的规律和特征。

同时，在科学研究和实际工程中，对称性也具有重要的作用，可以帮助我们设计和制造更为合理、美观、稳定的物体。

二、轴对称性轴对称性是解析几何中另一个重要的概念，它与对称性有很多相似之处。

轴对称性是指一个几何形状能够保持不变，即在区域内任意取一点，以这个点为中心，任意方向转移后仍是同一形状。

而轴对称性和对称性的不同之处在于轴对称性是指一个几何形状能够沿特定轴进行翻转后得到与原始形状相同的新形状。

轴对称性有很多种类型，根据轴的不同可以分为水平轴对称、垂直轴对称、对角轴对称等。

其中，水平轴对称是指几何形状以水平轴为对称轴进行翻转后得到新形状；垂直轴对称是指几何形状以垂直轴为对称轴进行翻转后得到新形状；对角轴对称是指几何形状以对角线为对称轴进行翻转后得到新形状。

通过轴对称性，我们可以更好地理解和掌握几何形状的特征和规律，有助于我们分析和设计更为合理、美观、稳定的物体；同时，在实际工程中，轴对称性也有着重要的应用，如在汽车、飞机、船舶等的设计和制造中，轴对称性可以提高其稳定性和美观性。

高考数学专题05 解析几何中的对称解法(解析版)

专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则三．【题型】（一）点关于直线的对称（二）光线的对称问题（三）圆关于直线的对称（四）利用对称求最值（五）圆锥曲线的对称（六）椭圆的中点弦问题（七）双曲线的中点弦（八）抛物线的对称问题（九）椭圆中的对称方法（十）对称的综合应用四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--，圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ，则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=，所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得．当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++，因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小．由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0，解得x=-7（舍）或x=-2，由x=-2得6（负值已舍）故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上，即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12．故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=，即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=．故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程；（2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-，所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１，即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=，故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =；（2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+，所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭，则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++，因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-，因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ，则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=，由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =，根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-，从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。

中考数学《轴对称》考点：中心对称与中心对称图形

中考数学《轴对称》考点：中心对称与中心对称图形
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中考数学《轴对称》考点：中心对称与中心对称图形
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

3.中心对称的性质：
(1)关于中心对称的两个图形是全等形;
(2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;
(3)成中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

平面几何中的轴对称图形

平面几何中的轴对称图形在平面几何学中，轴对称图形是指具有轴对称性质的图形。

轴对称图形是指通过某条轴线进行翻转或旋转180度后，能够得到与原图形完全重合的图形。

轴对称图形具有一些特殊的性质和应用，下面将详细介绍轴对称图形及其相关概念。

一、轴对称图形的定义及性质轴对称图形是指通过某条轴线进行翻转或旋转180度后，能够得到与原图形完全重合的图形。

轴对称图形具有以下几个性质：1. 对称轴：轴对称图形中存在一条轴线，称为对称轴。

对称轴将图形分为两个完全相同的部分，每个部分关于对称轴是对称的。

2. 点对称：轴对称图形中的每个点关于对称轴都有对应的点，且这些点与对称轴的距离相等。

3. 对称中心：轴对称图形中的对称轴交于一点，称为对称中心。

对称中心是轴对称图形的一个重要特点，它是图形的中心点。

二、常见的轴对称图形在平面几何中，有许多常见的轴对称图形，下面介绍几种常见的轴对称图形及其特点：1. 矩形：矩形是一种具有四个直角的四边形，它具有两对平行边。

矩形的两条对角线相等且互相垂直，因此矩形是一个轴对称图形。

2. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，它具有四个相等的边和四个直角。

正方形的对角线相等且互相垂直，因此正方形也是一个轴对称图形。

3. 圆：圆是由一条曲线组成的，其中每个点到圆心的距离都相等。

圆具有无数个对称轴，因为任意经过圆心的直径都可以作为对称轴。

4. 椭圆：椭圆是由两个焦点和一条连接两个焦点的线段上的点构成的。

椭圆具有两条互相垂直的对称轴，因此是一个轴对称图形。

5. 正多边形：正多边形是指所有边长相等且所有内角相等的多边形。

正多边形具有以中心为对称中心的多条对称轴。

三、轴对称图形的应用轴对称图形在现实生活中有许多应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 建筑设计：许多建筑物的立面设计采用轴对称图形，以达到美观和平衡的效果。

例如，宫殿、教堂等建筑常常采用对称的设计。

2. 花纹设计：许多花纹和图案都是轴对称的，如壁纸、地板砖等。

轴对称与中心对称

轴对称与中心对称轴对称和中心对称是几何学中常用的概念，用来描述图形的对称性质。

它们在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍轴对称和中心对称的定义、性质以及一些实际应用。

轴对称的概念是指图形相对于某一条线对称，即图形绕某条线旋转180度后，仍能与原来的图形完全重合。

这条线被称为对称轴。

举个例子，我们可以想象一张纸上画了一个直角三角形，如果我们将纸沿着三角形的斜边对折，那么对折后的纸与原来的纸完全重合，这说明三角形是关于对称轴对称的。

中心对称是指图形相对于某一点对称，即图形绕某一点旋转180度后，仍能与原来的图形完全重合。

这个点被称为对称中心。

一个简单的例子是正方形，当我们将正方形绕着其中心旋转180度后，它仍然与原来的正方形完全一样。

轴对称和中心对称在几何学中有一些重要的性质。

首先，它们都是自反的，即一个图形关于对称轴或对称中心对称的话，它自身也是对称的。

其次，轴对称和中心对称都是可传递的，即如果图形A关于对称轴或对称中心对称，图形B关于同样的轴或中心对称，那么图形A 和图形B之间也是对称的。

轴对称和中心对称的应用非常广泛。

在艺术和设计领域，许多作品都利用了对称的美感。

建筑设计中，对称结构可以使建筑更加稳定和美观。

在化学领域，分子的对称性对于分子的性质和反应有着重要的影响。

在物理学中，对称性是研究物理定律和现象的基础。

总结起来，轴对称和中心对称是几何学中常用的概念，用来描述图形的对称性质。

它们有着自反性和传递性的特点，广泛应用于各个领域。

通过研究轴对称和中心对称，我们可以更深入地理解和应用几何学的知识。

平面解析几何中有关对称问题的处理

一
同，圭ｚ＋）Ｌ理ｏ２善≤ ｌｇ
由，２一（）＝ｆ２）（＋知抛物线的对称轴为＝２又Ｙ＝ｆｘ的图象开口向下知，，（）当 ≤２时函数ｆｘ为增函数，（）原不等式化为
・ｇ。
、
用抽象函数作背景解不等式
（１・（一詈即＋＜圭２＋，２。２）＋）ｇ
利用方程组（）Ｂ建立方程组，得
代入方程Ｙ＝２ｚ得动点Ｂ的轨迹方程为ｐ，
（一２）Ｙｂ＝２２ — ．ｐ（ａ）
本文主要讨论了点、直线、曲线关于定点、定直线的对称问题．解决这些问题的关键所在
对称的点，所以Ｍｏ定在曲线Ｃ：上．Ｙ＝
、
表曲线上的点为Ｐ（１１，ｌ，）定点为Ｐ（，）ｚｖｏｏｖ，ｘｏ相对称的曲线上对应的点为Ｐ（，，ｘ）则都可归
结为点与点关于定点对称问题，则可运用方程组
将、１１的表达式代入已知的曲线方程，化简后便ｌＯ珈Ｘ－
（Ａ）
ｆ．一．＋：，掣２２１０
二、关于定直线对称问题（即轴对称问题）
１点关于定直线对称．
若Ｐ与Ｐ关于直线Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝ｏ￣ｘ称，则应满足如下两个条件：ＰＰ的连线垂直于直线Ａｘ＋Ｂｙ＋＝０Ｐ、Ｐ的中点应落在直线；
例２设ｆｘ对于任意实数、Ｙ∈Ｒ，（），有
黧… ………
、／
，．
：
＝Ｙ＋４＋６ｙ．
２Ｘ一２＋：
：Ｏ
１．
／／０／１

轴对称和中心对称的区别

轴对称和中心对称的区别轴对称和中心对称是常见的几何概念，用于描述图形在平面中的对称性质。

虽然这两种对称都涉及到相对的镜像，但它们在定义和应用上有一些区别。

本文将详细阐述轴对称和中心对称的区别。

首先，轴对称是指图形相对于某条轴线的镜像对称性质。

给定一个平面上的图形，如果它可以通过沿着某条直线折叠或翻转后重合，那么我们说这个图形是轴对称的。

在轴对称中，轴线通常是指一个直线，可以是任意方向、任意位置的直线。

对称的两边称为轴对称图形的一对对称图形。

例如，正方形、圆形、等边三角形都是轴对称图形，因为它们可以通过某条轴线的镜像对称。

相比之下，中心对称是指图形相对于一个中心点的镜像对称性质。

给定一个平面上的图形，如果它可以通过绕着某个固定中心旋转180度后重合，那么我们说这个图形是中心对称的。

在中心对称中，中心点是固定的，是图形的一个属性。

对称的两边称为中心对称图形的一对对称图形。

例如，正方形、圆形、五角星都是中心对称图形，因为它们可以通过中心点的旋转镜像对称。

轴对称和中心对称的区别在于对称方式不同。

轴对称是图形相对于一条直线的对称，而中心对称是图形相对于一个点的对称。

轴对称可以有无限个轴线，而中心对称只有一个中心点。

此外，在轴对称中，对称的部分可能是平面上的一条直线、一个点或整个图形，而在中心对称中，对称的部分通常是整个图形。

也就是说，在轴对称中，对称图形可以是原图形的真子集，而在中心对称中，对称图形通常与原图形相同。

轴对称和中心对称在几何学中具有重要的应用价值。

轴对称常用于构建可折叠的模型、设计对称图案，以及判断图形性质。

中心对称常用于绘制几何图形、解决几何问题，以及研究图形的几何特征。

综上所述，轴对称和中心对称是描述图形对称属性的几何概念。

轴对称是图形相对于一条直线的对称，中心对称是图形相对于一个点的对称。

它们在对称方式、对称部分和应用领域上有所区别。

了解轴对称和中心对称的区别可以帮助我们更好地理解几何图形的对称性质，并应用于解决几何问题。

平面几何中的轴对称与中心对称

平面几何中的轴对称与中心对称平面几何是研究平面上的图形、点、线、面等几何概念和性质的数学分支。

在平面几何中，轴对称和中心对称是两个重要的概念。

本文将就轴对称和中心对称的定义、性质以及在实际应用中的意义进行探讨。

一、轴对称轴对称是指图形关于某条直线对称。

这条直线称为轴线或对称轴。

对于一个轴对称图形中的任意一点P，如果存在另一点Q在对称轴上，使得P关于对称轴对称，那么图形关于对称轴是轴对称的。

轴对称图形有许多有趣的性质。

首先，轴对称图形可以通过对称轴进行折叠，两边完全重合。

这意味着轴对称图形在对称轴两侧具有完全相同的形状和大小。

另外，轴对称图形的对称轴上的任意一点都是图形的中点，这与对称轴的定义是相关的。

轴对称在日常生活中有广泛的应用。

比如我们常见的五角星图案、心形图案等都是轴对称的。

在设计和美术领域中，轴对称的运用可以带来更好的平衡感和美观度。

在机械制图和建筑设计中，轴对称的概念也有重要的作用。

二、中心对称中心对称是指图形关于某个点对称。

这个点称为中心对称的中心。

对于一个中心对称图形中的任意一点P，如果存在另一点Q关于中心对称的中心对称，那么图形关于中心对称的中心是中心对称的。

中心对称图形的一个重要性质是，图形中的任意一点与中心对称的中心之间的距离相等。

这意味着中心对称图形的任意两点可以通过中心对称的变换互相转化。

而在轴对称图形中，两个点在对称轴上的距离并不一定相等。

中心对称也是我们生活中常见的一种对称方式。

比如自然界中的雪花、植物的叶子等都具有中心对称的特点。

在艺术作品和装饰品中，中心对称的图案也常常被运用。

轴对称和中心对称在几何学中是两个重要的概念，它们不仅有着理论上的意义，也有着实际的应用。

通过对轴对称和中心对称的研究，我们可以更好地理解图形的性质和特点，扩展我们的几何思维方式。

总结：在平面几何中，轴对称和中心对称是两个基本的对称方式。

轴对称是指图形关于某条直线对称，而中心对称是指图形关于某个点对称。

初中数学知识归纳中心对称与轴对称

初中数学知识归纳中心对称与轴对称初中数学知识归纳：中心对称与轴对称中心对称（Symmetry with a Center）是几何学中的重要概念之一，也是初中数学中需要重点掌握的知识之一。

它描述了一个图形在某个点上：关于这个点对称时，图形的两侧完全一致。

而轴对称（Symmetry with an Axis）是另一个重要的概念，描述了一个图形以某条线为对称轴时，图形的两侧完全一致。

下面将对中心对称与轴对称进行详细的归纳。

一、中心对称中心对称是指图形关于一个点对称时，图形的两侧完全相同。

具体来说，对于一个点O，如果图形上的每个点P，都能找到另一个点P'，使得OP与OP'重合，并且P'在点O的对称位置上，那么图形就是关于点O中心对称的。

中心对称的特点有：1. 对称中心是唯一的。

2. 关于中心对称的图形的每个点到中心的距离相等。

3. 对称中心是图形的一个内部点。

常见的中心对称图形有：1. 圆形：圆是一种最简单的中心对称图形。

它的所有点到圆心的距离相等，因此每个点都能找到另一个点，使得它们关于圆心对称。

2. 正方形：正方形是一个有四条等长边和四个直角的图形。

它的中心即为正方形的对称中心。

3. 六边形：同样是一个有六条边的图形，如果可以找到合适的点作为对称中心，使得六边形的两侧完全一致，那么它就是中心对称的。

中心对称在现实生活中有广泛应用。

例如，许多雪花的形状都是中心对称的，许多建筑物的外观也采用了中心对称的设计。

二、轴对称轴对称是指图形关于一条直线对称时，图形的两侧完全相同。

具体来说，对于一条直线l，如果图形上的每个点P，都能找到另一个点P'，使得P'在l上，并且P和P'关于l对称，那么图形就是关于直线l轴对称的。

轴对称的特点有：1. 对称轴是唯一的。

2. 关于轴对称的图形的每个点到直线的距离相等。

3. 对称轴是图形的一个内部线。

常见的轴对称图形有：1. 正圆：正圆是一个最简单的轴对称图形。

浅谈解析几何中的对称问题

浅谈解析几何中的对称问题解析几何中的对称问题在现行中学教材中没有按章节进行系统编排，只是分散地穿插在直线、曲线部分的题型之中。

对称问题主要涉及四种类型：点关于点成中心对称：线（直线或曲线）关于点成中心对称：点关于线成轴对称：线（直线或曲线）关于线成轴对称。

无论是解析几何的新授课还是复习课，几乎所有的老师都会对对称问题进行教学或复习，近几年对称问题也是高考的热点之一。

这就要求教师对对称问题进行适当的归纳、总结，使学生对这部分知识有一个较完整、系统的认识，从而解决起对称问题才能得心应手。

本人就此谈一下中学解析几何中常见的对称问题类型及解决方法。

一、中心对称：即关于点的对称问题泄义：把一个图形绕某个点旋转180。

后能与另一个图形重合，称这两个图形关于这个点对称。

这个点叫做对称中心。

性质：关于某个点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。

1.点关于点对称例1. 求P （3, 2）关于M （2, 1）的对称点P'的坐标。

分析：由中心对称的性质得M点是PP，的中点，可求P‘（1, 0）。

小结：P （x°,yo）戻WbM称点：》p,（2a—x°,2b-y。

）（依据中点坐标公式）。

特例P （xo,y o）一「辿辿-■> p，（一X。

，一％）。

2.直线关于点对称例2. 求直线L：x+y-l=0关于M （3. 0）的对称直线1=的方程。

分析：思路一：在直线L上任取一点P （x, y）,则它关于何的对称点Q （6-x, 一y）,因为Q 点在h上，把Q点坐标代入直线1冲，便得到12的方程：x+y—5二0。

思路二：在h上取一点P （1, 0）,求岀P关于M点的对称点Q的坐标（5, 0）。

再由kn=k i=,可求岀直线h的方程x+y—5二0。

思路三：由k”二血,可设h Ax+By+C二0关于点M（x o,yo）的对称直线为Ax+By+C' =0|Axo + Byo + C I lAxo + Byo + C*且一二一，求出C及对称直线1）的方程x+y-5二0。

轴对称与中心对称初步

轴对称与中心对称初步轴对称和中心对称是几何学中常见的两种对称性，它们在平面和立体图形的研究中起着重要的作用。

本文将初步介绍轴对称和中心对称的概念、特点以及应用。

一、轴对称轴对称是指存在一条直线，将图形分成两部分，其中一部分关于该轴对称。

具有轴对称的图形左右对称，也称为镜像对称。

1. 概念与特点轴对称即轴对称图形，是指图形中存在一条轴线（称为轴对称线），使得这条轴线两侧的图形完全相同或镜像对称。

轴对称的图形可以是平面图形，也可以是立体图形。

轴对称图形的特点有：- 与轴对称线平行的直线上对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；- 如果一点在轴对称线上，则它与轴对称线的距离为0；- 轴对称图形任意线段的中点都位于轴对称线上；- 轴对称图形的任意两个点关于轴对称线互为镜像，即从一个点经过轴对称线映射到另一个点。

2. 轴对称的应用- 建筑设计：许多建筑物利用轴对称设计，使得左右对称，给人以美感和协调感；- 摄影艺术：轴对称构图常常被摄影师用于创作，使得画面更加平衡和稳定；- 数学问题：轴对称用于解决一些几何问题，如寻找对称中心等。

二、中心对称中心对称是指存在一个点，将图形中任意一点与该中心对称，使得图形两侧完全相同或镜像对称。

具有中心对称的图形具有圆周对称性。

1. 概念与特点中心对称即中心对称图形，是指图形中存在一个点（称为中心对称点），使得图形中任意一点关于中心对称点对称。

中心对称的图形可以是平面图形，也可以是立体图形。

中心对称图形的特点有：- 中心对称图形上任意两点关于中心对称点互为镜像，即从一个点经过中心对称映射到另一个点；- 中心对称图形上任意线段的中点都位于中心对称点上；- 中心对称图形上的任意点关于中心对称点的距离相等。

2. 中心对称的应用- 艺术设计：许多艺术品如画作、图案等利用中心对称设计，给观者以和谐、平衡的美感；- 生物结构：许多生物的结构具有中心对称性，如蝴蝶的翅膀、花朵的组织等；- 数学模型：中心对称性常常用于数学模型的描述和分析，如圆和球等。

中心对称和轴对称的区别

中心对称和轴对称的区别高中数学在高中理科的学习中是非常重要的，常言道“数理化不分家”，学好数学对学习其他理科学科有非常大的帮助。

数学公式是学习数学需要掌握的基础知识，下面大家整理了中心对称和轴对称的区别，供大家参考。

1、中心对称图形判断技巧在平面内，把一个图形绕某一定点180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点。

常见的中心对称图形有：线段，矩形，菱形，正方形，，圆,边数为偶数的正多边形等。

例如：正偶数边形是中心对称图形，正奇数边形不是中心对称图形;正六角形是中心对称图形，等腰梯形不是中心对称图形;等边三角形正三角形不是中心对称图形，的图像双曲线是以原点为对称中心的中心对称图形。

2、中心对称和轴对称的区别一、性质不同中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，关键也是抓两点：一是绕某一点旋转，二是与原图形重合;轴对称图形一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，关键抓两点：一是沿某直线折叠，二是两部分互相重合。

二、定理不同对称中心平分中心对称图形内通过该点的任意线段且使中心对称图形的面积被平分。

成中心对称的两个图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心平分。

中心对称是两个图形间的位置关系，而中心对称图形是一种具有独特特征的图形。

如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是对称轴且对称轴垂直平分对称点所连线段。

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。

两个图形关于某条直线对称，如果对称轴和某两条对称线段的延长线相交，那么交点在对称轴。

以上中心对称和轴对称的区别的内容到这里就结束了，希望帮助同学们复习。

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第2讲中心对称、轴对称和周期性(解析版)

第2讲中心对称、轴对称和周期性(解析版)第2讲中心对称、轴对称和周期性(解析版)在几何形体的研究中，中心对称、轴对称和周期性是非常重要的概念。

它们帮助我们理解形体的性质，并在实际应用中发挥重要作用。

本文将详细介绍中心对称、轴对称和周期性的概念、特点和应用。

一、中心对称中心对称是指一个几何形体可以围绕一个中心点进行旋转，旋转180度后，形体与原来的形体完全重合。

在平面几何中，常用字母“O”来表示中心点，形体上的点A关于中心点O对称，则用A'表示。

中心对称具有以下特点：1.1 对称性中心对称的最大特点是形体具有对称性。

对称轴即为连接原图形与对称图形上的点的直线，对称轴上的任意点到对称点的距离相等，对称轴将形体分为两个相似的部分。

1.2 数学表达以坐标系为基础，若一个点的坐标为(x, y)，绕坐标原点旋转180度后的坐标为(-x, -y)，即x轴和y轴都取相反数。

1.3 应用举例中心对称在日常生活中随处可见，比如电脑屏幕、墙上的钟表、手表表盘等都具有中心对称性。

二、轴对称轴对称是指一个几何形体可以沿着一条直线进行翻转，翻转后，形体与原来的形体完全重合。

轴对称的直线称为对称轴。

轴对称具有以下特点：2.1 对称性轴对称的最大特点是形体具有对称性。

对称轴将形体分为两个相似的部分，对称轴上的任意点到对称点的距离相等。

2.2 数学表达以坐标系为基础，若一个点的坐标为(x, y)，绕以y轴为对称轴翻转后的坐标为(-x, y)，绕以x轴为对称轴翻转后的坐标为(x, -y)。

2.3 应用举例轴对称也广泛应用于生活中的各个领域。

比如人体左右对称、自行车、汽车和建筑物等都具有轴对称性。

三、周期性周期性是指一个形体在某个方向上具有规律地重复。

周期性具有以下特点：3.1 重复性周期性的形体在某个方向上有规律地进行重复。

该方向称为周期方向，一个完整的周期包含了所有的重复单元。

3.2 应用举例周期性在自然界和科学研究中有广泛应用。

几何中的轴对称与中心对称

几何中的轴对称与中心对称几何学是一门研究形状、大小以及其他属性的学科。

在几何学中，轴对称和中心对称是两个重要的概念。

它们被广泛运用在求解几何问题以及设计图形中。

本文将介绍轴对称和中心对称的概念、性质以及应用。

一、轴对称轴对称是指某个物体或图形具有对称轴，对其做关于该轴的镜像变换后仍然与原物体完全相同。

轴对称可以存在于一维、二维和三维空间中。

下面以二维平面中的图形为例来介绍轴对称的相关概念。

1. 轴对称图形的定义在二维平面中，轴对称图形是指可以找到一条直线，该直线平分图形，对该图形进行对称操作后可以完全重合。

2. 轴对称图形的性质轴对称图形有以下几个性质：（1）轴对称图形的每个点关于对称轴都有对称点，即对称轴上的任意点到对称轴的距离与该点的对称点到对称轴的距离相等。

（2）轴对称图形的对称轴是唯一的。

（3）轴对称图形的对称轴上的任意点不动。

3. 轴对称图形的应用轴对称图形在几何学、工程设计和艺术中具有广泛应用。

一些常见的轴对称图形包括圆、正方形、矩形等等。

轴对称的特性使得这些图形在设计和制作中更加方便和美观。

二、中心对称中心对称是指某个物体或图形具有对称中心，对其做关于该中心的旋转180度后仍然与原物体完全相同。

中心对称存在于二维和三维空间中。

下面以二维平面中的图形为例来介绍中心对称的相关概念。

1. 中心对称图形的定义在二维平面中，中心对称图形是指可以找到一个中心点，该中心点与图形上的任意一点的连线经过中心点，并且与连接这两个点的直线垂直。

2. 中心对称图形的性质中心对称图形有以下几个性质：（1）中心对称图形的每个点关于对称中心都有对称点，即中心点与任意一点的连线延长线与对称点相重合。

（2）中心对称图形的对称中心是唯一的。

（3）中心对称图形的对称中心上的任意点不动。

3. 中心对称图形的应用中心对称图形在几何学中常用于设计具有对称美的图形，如蝴蝶形状、心形状等。

中心对称还应用于电子产品的外观设计中，使产品更加吸引人的同时也符合人的审美观。

轴对称与中心对称

轴对称与中心对称轴对称和中心对称是几何学中常见的两种对称性形态。

它们在不同的对象和场景中都有广泛的应用，无论是在数学中的几何学还是在现实生活中的设计中，都扮演着重要的角色。

本文将介绍轴对称和中心对称的概念、特点以及应用，并通过实例展示其在实际生活中的具体应用。

一、轴对称轴对称就是以某条直线为轴，对称图形的一种对称形态。

在轴对称中，图形的一部分与其余部分关于轴线对称，即对称图形的每一点在轴线上的投影到对称图形的另一侧都保持相等距离。

轴对称的特点是对称形态关于中心轴线对称，具有镜像对称性。

这种对称形态常见于图形的设计中，尤其是时钟面、树叶、汽车对称等。

轴对称能够给人以和谐、稳定、平衡的感觉，因此在设计中被广泛应用。

例如，时钟面上的数字通常被设计成轴对称的形态，这样一来无论是数字“6”还是数字“9”，只需要沿着钟面的某条轴线翻折即可得到对称的结果。

这种设计不仅美观，还使得人们在观看时能够迅速辨认出时间。

二、中心对称中心对称即以某一点为中心，对称图形的一种对称形态。

在中心对称中，对称图形的每一点都对称于以中心点为对称中心的另一点，即对称位置上的点到中心点的距离保持相等。

中心对称的特点是对称形态关于中心点对称，具有旋转对称性。

这种对称形态常见于自然界中的一些对象，如花朵、雪花、生物身体结构等。

中心对称能够给人以和谐、优美、自然的感觉，因此在艺术和设计中被广泛运用。

例如，花朵的形态通常呈现出中心对称的特点。

以玫瑰花为例，花瓣的排列呈现出以花心为中心的旋转对称，使得整个花朵看起来美丽而有序。

这种对称性不仅使花朵具有视觉上的吸引力，还让人们在欣赏花朵时感受到一种和谐与平衡。

三、轴对称与中心对称的应用轴对称和中心对称的应用非常广泛，涉及到多个领域和行业。

以下将分别介绍它们在数学、艺术和设计、自然界以及日常生活中的应用。

1. 数学领域轴对称和中心对称是数学几何学中的重要概念，常被用于分析和描述图形的形态特征。

通过研究轴对称和中心对称的性质，可以进一步深入理解几何学的基本原理，并应用于解决实际问题。

八年级数学必背几何定理定义公式之中心对称

中心对称是指图形中存在一个中心点，使得对于图形上的任意一点P，都有与中心点关于一个直线对称的点P'，且P'和P与中心点之间的距离相等。

中心对称通常简称为对称。

对于一个图形的中心对称点称为中心。

在平面几何中，中心对称是一种常见的对称关系，它具有以下几个特点：1.对称轴：对称轴是指通过中心点的直线。

对于一个图形的中心对称，对称轴是与中心点有关的一个直线。

2.对称图形：在中心对称中，如果一个图形存在对称轴，那么该图形的每一点都与对称轴上与该点与中心点之间的垂直交点相对称。

这样的图形称为对称图形。

3.对称性：对称轴将对称图形分为两个相互对称的部分，在每个相互对称的部分中，如果在一个点的位置有一个子图形，那么在对称轴另一个部分的相应位置就存在一个与之相对应的子图形。

这种与之相对应的关系称为对称性。

接下来，我们将对一些常见的中心对称定理、定义和公式进行介绍。

1.中心对称的定义：如果图形中存在一个中心点O，对于图形上的任意一点P，都有与中心点关于直线l对称的点P'，且P'和P与中心点之间的距离相等，那么图形就具有中心对称。

2.对称轴的性质：-对称轴通过中心点O。

-对称轴上的一点P与它对称的点P'是轴上的垂直交点。

-对称轴平分了与中心点O不重合的两个点A和B之间的距离。

3.中心对称的图形：-点O：中心对称图形只有一个点，即中心点O本身。

4.中心对称的性质：-对于一个中心对称图形，如果以它的中心点为圆心，将对称图形上的任意一点P移动到与中心点的连接线上的对称位置P'，并连结OP'，那么OP'即为一个直径，OP'的长度等于对应线段OP的长度的两倍。

-对于一个中心对称图形，如果有两个点P和Q关于中心对称点O对称，那么OP=OQ。

5.判断图形是否中心对称的方法：-找到图形的中心点，看是否能够找到对应点。

-如果一个图形与它的镜像图形完全重合，那么此图形是中心对称的。

平面解析几何中的中心对称和轴对称

中心对称和轴对称的几何性质

轴对称与中心对称的基本概念

解析几何中的对称性和轴对称性

高考数学 专题05 解析几何中的对称解法(解析版)

中考数学《轴对称》考点：中心对称与中心对称图形

平面几何中的轴对称图形

轴对称与中心对称

平面解析几何中有关对称问题的处理

轴对称和中心对称的区别

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初中数学知识归纳中心对称与轴对称

浅谈解析几何中的对称问题

轴对称与中心对称初步

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第2讲 中心对称、轴对称和周期性(解析版)

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