第20讲巧解余数和同余问题

第20讲巧解余数和同余问题

I 余数

巧点睛——方法和技巧

（1）被除数=商×除数×余数。

（2）借助约数和倍数的知识。

上面两个性质是解题的关键。

巧指导——例题精讲

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一、借助“整除”来帮忙

【例1】一个两位数除310的余数是37，求这样的两位数。

分析与解根据带余除法和整除意义知，这个两位数一定是310－37=273的约数。由273=3×7×13知，273的两位数的约数有13，3×7，3×13，7×13，即13，21，39，91。其中只有39，91除310的余数是37，故所求的两位数是39或91。

答：这样的两位数是39或91。

做一做1 237除以一个两位数所得的余数是6，问：这丙的两位数是多少？

【例2】一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8。那么，被除数、除数、商及余数却是已知的。可从“位数”角度思考。

分析与解题目中，只有余数8是一个具体的数，被除数、除数

及商都是未知数，但它们的位数却是已知的。可从“位数”角度思考。

因为除数要大于余数，余数是8，而大于8的一位数只有9，所

以除数一定是9。

第二步判断商是多少？最小的两位数是10，由于

9×10＋8=98，9×11＋9=107，

又由于被除数是两位数，所以被除数是98，商是10。

因此，被除数、除数、商及余数之和是

98＋9＋10＋8=125

做一做2 两数相除，商是498，余数是3。那么，被除数、除数、商及余数之和最小是多少？

【例3】两个数相除，商是22，余数是8，被除数、除数、商、余数之各是866。求这两个数。

分析与解本题应根据带余除法来解。

因被除数=除数×商＋余数。

故被除数＋除数＋商＋余数=除数×商＋余数＋除数＋商＋余数 =除数×（商＋1）＋商＋余数×2 现在，商是22，余数是8，被除数＋除数＋商＋余数=866，

所以，866=除数×（22＋1）＋22＋8×2

于是有

除数=（866－22－8×2）÷（22＋1）=36

被除数=除数×商＋余数=36×22＋8=800。

答：被除数为800，除数为36。

做一做3 两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数之和等于415。问：被除数是多少？

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二、借助“周期”巧解题

【例4】伸出你的左手，从大拇指开始按右图所示的那样数数字：

1，2，3，…问：数到2 003时，你数在哪个手指上？

分析与解大拇指是1，食指是2，中指是3，无

名指是4，小指是5；然后往回数，无名指是6，中指

是7，食指是8，拇指是9；再往回数。按照这个规律一

直数到2 003的方法是不取的。

要从中以现规律，比如大拇指开始是1，此后每数过8个数就又回到大拇指。因此，数在大拇指时的数一定是被8除余1的数，这就为我们找到了一条重要线索。

因为2 001=8×250＋1，所以，按分析中找到的规律，可知数到2 001时落在大拇指上，接下去数，2 002在食指，2 003在中指。

答：数到2 003时，2 003这个数在中指处。

做一做4 将全体非零自然数按下列方式排列，问：数1 000排

在哪个字母的下面？

A B C D E F G

1 2 3 4 5 6 7

8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21

22 23 24 25 26 27 28

29 30 31 32 33 34 35

36 37 38 39 …

1化为循环小数，问：小数点后1 999个数字是几？

【例5】把

7

这1 999个数字的总和是几？

分析与解解决这个问题最容想到的方法就是列一个大除法算式，在小数点后试除1 999次，但这种方法很繁琐，不可取。

实际上，用1除以7在小数点后多除几位，得

1=0.142 857 142 857 142 857…

7

观察便知其中数字出现的规律：从小数点后第一位起，依次是1，4，2，8，5，7，然后不断地重复出现，即所谓的循环节，周期是6。

由于1 999÷6=333…1，说明循环333次后，下一个数字是第1 999年数字，而每个循环的下一个数（同时也就是每个循环的第一个数字）在本题中就是1，所以，所求的数字是1。

不难看出，这1 999个数字是1，这1 999个数字的总和是8 992。

3化成小数后，小数点的右边第1 991位上的做一做5 问：

55

数字是多少？这1 991个数字的和是多少？

【例6】某数除发11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小值能是多少？

分析与解因为某数加3是11的倍数，也是13的倍数，所以[11，13]－3=140是满足除以11余8，除以13余10的最小自然数。

140再加上[11，13]=143的倍数，这些自然数是140，283，426，569，712，855，998，1 141，…其中，998是除以17余12的最小自然数。

答：这个数的最小值是998。

做一做6 一个自然数除以3余2，除以5余4，除以7余5。求这个自然数能取得的最小值。

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三、综合远用，发散思考

【例7】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，三个余数的和为25，那么这三个余数中最小的数是多少？

分析与解由于涉及三个除式的余数之和，所以应从三个带余除式着手解决本题。

设这个自然数（除数）为m，用m去除63，90，130，商分别为q1，q2，q3，余数分别为r1，r2，r3，就有