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山东数学中考分类汇编--有关三角形的综合证明题

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山东省淄博市中考数学复习专题之三角形综合题

山东省淄博市中考数学复习专题之三角形综合题

山东省淄博市中考数学复习专题之三角形综合题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共40题；共108分)1. （3分） (2019九上·海淀期中) 已知∠MON=α，P为射线OM上的点，OP=1．（1）如图1，α=60°，A，B均为射线ON上的点，OA=1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．①依题意将图1补全；②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；（2）若α=45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．2. （3分）(2017·全椒模拟) 如图，直线AB经过x轴上的点M，与反比例函数y= （x＞0）的图象相交于点A（1，8）和B（m，n），其中m＞1，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P．（1）求k的值；（2）若AB=2BM，求△ABD的面积；（3）若四边形ABCD为菱形，求直线AB的函数解析式．3. （3分）(2018·南湖模拟) 如图，在方格纸中，点A，B，C都是格点．（1）求tan∠BAC．（2）仅用直尺在图中画一个与∠BAC相等的角，使点B或点C是这个角的顶点，且BC为这个角的一边．(画出一个角即可)4. （3分） (2019七下·吴江期末) 在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B.C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC.设∠BAC=α，∠BCE=β.（1）如图1,如果∠BAC=90∘，∠BCE=________度；（2）如图2，你认为α、β之间有怎样的数量关系?并说明理由。

（3）当点D在线段BC的延长线上移动时，α、β之间又有怎样的数量关系?请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论。

5.14三角形综合题(第5部分)2018年中考数学试题分类汇编(山东四川word解析版)

5.14三角形综合题(第5部分)2018年中考数学试题分类汇编(山东四川word解析版)

第五部分图形的性质5.14 三角形综合题【一】知识点清单三角形综合题【二】分类试题汇编及参考答案与解析一、选择题1．（2018年山东省东营市-第10题-3分）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（）A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④【知识考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．【思路分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；【解答过程】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE，AB=AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE2=BC2﹣EC2=2AB2﹣（CD2﹣DE2）=2AB2﹣CD2+2AD2=2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正确，故选：A．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．（2018年四川省绵阳市-第11题-3分）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若的面积为（）A B．3C1D．3【知识考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【思路分析】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB 的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；【解答过程】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．∵∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ECA=∠DCB，∵CE=CD，CA=CB，∴△ECA≌△DCB，∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=，∵∠EDC=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°，在Rt△ADB中，AB==2，∴AC=BC=2，∴S△ABC=×2×2=2，∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N，∴OM=ON，∵====，∴S△AOC=2×=3﹣，故选：D．【总结归纳】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系，属于中考选择题中的压轴题．3．（2018年四川省达州市-第8题-3分）如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC 的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A．32B．2 C．52D．3【知识考点】等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【思路分析】证明△BNA≌△BNE，得到BA=BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答过程】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，在△BNA和△BNE中，∴△BNA≌△BNE，∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，∴DE=BE+CD﹣BC=5，∴MN=DE=．故选：C．【总结归纳】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．二、填空题1．（2018年四川省绵阳市-第18题-3分）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=．【知识考点】三角形的重心；勾股定理．【思路分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．【解答过程】解：∵AD、BE为AC，BC边上的中线，∴BD=BC=2，AE=AC=，点O为△ABC的重心，∴AO=2OD，OB=2OE，∵BE⊥AD，∴BO2+OD2=BD2=4，OE2+AO2=AE2=，∴BO2+AO2=4，BO2+AO2=，∴BO2+AO2=，∴BO2+AO2=5，∴AB==．故答案为．【总结归纳】本题考查了重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了勾股定理．2．（2018年四川省泸州市-第16题-3分）如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．【知识考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【思路分析】如图作AH⊥BC于H，连接AD．由EG垂直平分线段AC，推出DA=DC，推出DF+DC=AD+DF，可得当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长；【解答过程】解：如图作AH⊥BC于H，连接AD．∵EG垂直平分线段AC，∴DA=DC，∴DF+DC=AD+DF，∴当A、D、F共线时，DF+DC的值最小，最小值就是线段AF的长，∵•BC•AH=120，∴AH=12，∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=10，∵BF=3FC，∴CF=FH=5，∴AF===13，∴DF+DC的最小值为13．故答案为13．【总结归纳】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．3．（2018年四川省德阳市-第16题-3分）如图，点D为△ABC的AB边上的中点，点E为AD的中点，△ADC为正三角形，给出下列结论，①CB=2CE，②tan∠B=34，③∠ECD=∠DCB，④若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，则d12+d22的最小值是3．其中正确的结论是（填写正确结论的番号）．【知识考点】角平分线的性质；等边三角形的性质；解直角三角形．【思路分析】由题意可得△BCE是含有30°的直角三角形，根据含有30°的直角三角形的性质可判断①②③，易证四边形PMCN是矩形，可得d12+d22=MN2=CP 2，根据垂线段最短，可得CP的值即可求d12+d22的最小值，即可判断④．【解答过程】解：∵D是AB中点∴AD=BD∵△ACD是等边三角形，E是AD中点∴AD=CD，∠ADC=60°=∠ACD，CE⊥AB，∠DCE=30°∴CD=BD∴∠B=∠DCB=30°，且∠DCE=30°，CE⊥AB∴∠ECD=∠DCB，BC=2CE，tan∠B=故①③正确，②错误∵∠DCB=30°，∠ACD=60°∴∠ACB=90°若AC=2，点P是AB上一动点，点P到AC、BC边的距离分别为d1，d2，∴四边形PMCN是矩形∴MN=CP∵d12+d22=MN2=CP2∴当CP为最小值，d12+d22的值最小∴根据垂线段最短，则当CP⊥AB时，d12+d22的值最小此时：∠CAB=60°，AC=2，CP⊥AB∴CP=∴d12+d22=MN2=CP2=3即d12+d22的最小值为3故④正确故答案为①③④【总结归纳】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质和判定，利用垂线段最短求d12+d22的最小值是本题的关键．三、解答题1．（2018年山东省日照市-第22题-13分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=12 AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=12AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】探究结论：（1）只要证明△ACE是等边三角形即可解决问题；（2）如图2中，结论：ED=EB．想办法证明EP垂直平分线段AB即可解决问题；（3）结论不变，证明方法类似；拓展应用：利用（2）中结论，可得CO=CB，设C（1，n），根据OC=CB=AB，构建方程即可解决问题；【解答过程】解：探究结论（1）如图1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=AB=AE=EB，∴△ACE是等边三角形，∴EC=AE=EB，故答案为EC=EB．（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE．∵△ACP，△ADE都是等边三角形，∴AC=AD=DE，AD=AE，∠CAP=∠DAE=60°，∴∠CAD=∠PAE，∴△CAD≌△PAE，∴∠ACD=∠APE=90°，∴EP⊥AB，∵PA=PB，∴EA=EB，∵DE=AE，∴ED=EB．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为ED=EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣，1），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假设C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+（+2）2，∴n=2+，∴C（1，2+）．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．2．（2018年山东省淄博市-第23题-9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．【解答过程】解：（1）连接BE，CD相较于H，∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°∴∠CAD=∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠BHD=90°，∴CD⊥BE，∵点M，G分别是BD，BC的中点，∴MG CD，同理：NG BE，∴MG=NG，MG⊥NG，故答案为：MG=NG，MG⊥NG；（2）连接CD，BE，相较于H，同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；（3）连接EB，DC，延长线相交于H，同（1）的方法得，MG=NG，同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，∴∠AEB=∠ACD，∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，∴∠DHE=90°，同（1）的方法得，MG⊥NG．【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．3．（2018年四川省自贡市-第25题-12分）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由；（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．【知识考点】几何变换综合题．【思路分析】（1）先判断出∠OCE=60°，再利用特殊角的三角函数得出OD=OC，同OE=OC，即可得出结论；（2）同（1）的方法得OF+OG=OC，再判断出△CFD≌△CGE，得出DF=EG，最后等量代换即可得出结论；（3）同（2）的方法即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵OM是∠AOB的角平分线，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=60°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，在Rt△OCD中，OD=OE•cos30°=OC，同理：OE=OC，∴OD+OD=OC；（2）（1）中结论仍然成立，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；（3）（1）中结论不成立，结论为：OE﹣OD=OC，理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=60°，∴∠FCG=120°，同（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．【总结归纳】此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键．4．（2018年四川省阿坝州/甘孜州-第27题-10分）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点．（1）求证：DE=EF；（2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由；（3）若AB=3，BD的长．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）只要证明EA=ED，EA=EF即可解决问题；（2）结论：BD=CF．如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．想办法证明DM=CF，DM=BD即可；（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．设BD=x，则DN=，DE=AE=，由∠B=45°，EN⊥BN．推出EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，根据DN2+NE2=DE2，构建方程即可解决问题；【解答过程】（1）证明：如图1中，∵∠BAC=90°，∴∠EAD+∠CAE=90°，∠EDA+∠F=90°，∵∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠F，∴EA=ED，EA=EF，∴DE=EF．（2）解：结论：BD=CF．理由：如图2中，在BE上取一点M，使得ME=CE，连接DM．∵DE=EF．∠DEM=∠CEF，EM=EC．∴△DEM≌△FEC，∴DM=CF，∠MDE=∠F，∴DM∥CF，∴∠BDM=∠BAC=90°，∵AB=AC，∴∠DBM=45°，∴BD=DM，∴BD=CF．（3）如图3中，过点E作EN⊥AD交AD于点N．∵EA=ED，EN⊥AD，∴AN=ND，设BD=x，则DN=，DE=AE=，∵∠B=45°，EN⊥BN．∴EN=BN=x+=，在Rt△DEN中，∵DN2+NE2=DE2，∴（）2+（）2=（）2解得x=1或﹣1（舍弃）∴BD=1．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．5．（2018年四川省乐山市-第25题-12分）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为；（2）如图2，若k=试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE 的度数．（3）如图3，若k=D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；【解答过程】解：（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD，∵AC=BD，CD=AE，∴AF=AC，∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE≌△ACD，∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD，∵AD∥BF，∴∠EFB=90°，∵EF=BF，∴∠FBE=45°，∴∠APE=45°，故答案为：45°．（2）（1）中结论不成立，理由如下：如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，∴BD=AF，BF=AD，∵AC=BD，CD=AE，∴，∵BD=AF，∴，∵∠FAC=∠C=90°，∴△FAE∽△ACD，∴=，∠FEA=∠ADC，∵∠ADC+∠CAD=90°，∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD，∵AD∥BF，∴∠EFB=90°，在Rt△EFB中，tan∠FBE=，∴∠FBE=30°，∴∠APE=30°，（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，∴BE=DH，EH=BD，∵AC=BD，CD=AE，∴，∵∠HEA=∠C=90°，∴△ACD∽△HEA，∴，∠ADC=∠HAE，∵∠CAD+∠ADC=90°，∴∠HAE+∠CAD=90°，∴∠HAD=90°，在Rt△DAH中，tan∠ADH==，∴∠ADH=30°，∴∠APE=30°．【总结归纳】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质．6．（2018年四川省攀枝花市-第23题-12分）如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=94S△QCN时，求t的值；（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【知识考点】三角形综合题．【思路分析】（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=S△QCN构建方程即可解决问题；（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；【解答过程】解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．∵S△ABC=•AC•BE=，∴BE=，在Rt△ABE中，AE==6，∴coaA===．（2）如图2中，作PH⊥AC于H．∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC﹣AH﹣CQ=9﹣9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9﹣9t）2，∵S△PQM=S△QCN，∴•PQ2=וCQ2，∴9t2+（9﹣9t）2=×（5t）2，整理得：5t2﹣18t+9=0，解得t=3（舍弃）或．∴当t=时，满足S△PQM=S△QCN．（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．易知：PM∥AC，∴∠MPQ=∠PQH=60°，∴PH=HQ，∴3t=（9﹣9t），∴t=．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．同法可得PH=QH，∴3t=（9t﹣9），∴t=，综上所述，当t=s或s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．【总结归纳】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．。

鲁教版七年级三角形的有关证明练习50题及参考答案(难度系数0.2)

鲁教版七年级三角形的有关证明练习50题及参考答案(难度系数0.2)

七年级三角形的有关证明（难度系数0.2）一、单选题（共10题；共20分）1.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线一点，当PA=CQ 时，连结PQ 交AC 于D ，则DE 的长为（ ）A. 12B. 13C. 23D. 25【答案】 A【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质 2.如图，点E 是BC 的中点，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ， AE 平分∠BAD ， 下列结论：①∠AED =90° ②∠ADE =∠CDE ③DE =BE ④AD ＝AB ＋CD ， 四个结论中成立的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【答案】 A【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质3.如图在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S ，若AQ=PQ ，PR=PS,AB=AC ，下面三个结论：①AS=AR ；②PQ ∥AB ；③△BRP ≌△CSP ，其中正确的是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】 D【考点】角的平分线，全等三角形的判定与性质4.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）A. （12）n•75° B. （12）n﹣1•65° C. （12）n﹣1•75° D. （12）n•85°【答案】C【考点】等腰三角形的性质5.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③【答案】A【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质6.若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为（）A. 28B. 35C. 28或35D. 21或28【答案】B【考点】等腰三角形的判定与性质7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=1．M、N分别是AB、AC上的任意一点，求MN+NB的最小值为（）A. 1.5B. 2C. √32 + 34D. √3【答案】A【考点】含30度角的直角三角形，轴对称的应用-最短距离问题8.在下列四组条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A. AB=DE ， BC= EF ， ∠A=∠DB. ∠A=∠D ， ∠C=∠F ， AC= DEC. ∠A=∠E ， ∠B=∠F ， ∠C=∠DD. AB=DE ， BC= EF ， △ABC 的周长等于△DEF 的周长【答案】 D【考点】三角形全等的判定9.如图，已知∠AOB 是直角，∠AOC 是锐角，ON 平分∠AOC ，OM 平分∠BOC ，则∠MON 是（ ）A. 45ºB. 45º+12∠AOCC. 60°－12∠AOCD. 不能计算【答案】 A【考点】角平分线的性质10.等腰三角形的底角为15，腰长a 为，则此等腰三角形的底长为（ ）A. √3−12aB. 1+√32aC. √6−√22aD. √6+√22 a 【答案】D【考点】等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值二、填空题（共8题；共17分）11.如图，在数轴上方作一个4×4的方格(每一方格的边长为1个单位)，依次连结四边中点A ，B ，C ，D 得到一个正方形，点A 落在数轴上，用圆规在点A 的左侧的数轴上取点E 使AE=AB ．若点A 在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点E 表示的数是________。

2019年山东省中考数学真题分类汇编 专题04 三角形 (解析版)

2019年山东省中考数学真题分类汇编 专题04 三角形 (解析版)

专题04 三角形一、选择题1．（2019山东枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85°【答案】C ．【解析】解：如图，∵∠ACD ＝90°、∠F ＝45°， ∴∠CGF ＝∠DGB ＝45°，则∠α＝∠D +∠DGB ＝30°+45°＝75°，故选：C ．2．（2019山东淄博）如图，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝4，D 为BC 边上的一点，且∠CAD ＝∠B ．若△ADC 的面积为a ，则△ABD 的面积为（ ）A ．2aB ．52a C ．3a D ．72a 【答案】C ．【解析】解：∵∠CAD ＝∠B ，∠ACD ＝∠BCA ，∴△ACD ∽△BCA ， ∴2()ACD BCAS AC SAB =，即14BCA a S =， 解得，△BCA 的面积为4a ，∴△ABD的面积为：4a﹣a＝3a，故选：C．3．（2019山东青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】A．【解析】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD，∠AFB＝∠EFB，∵BF＝BF，∴△ABF∽△EBF（ASA），∴AF＝EF，AB＝BE，∴AD＝DE，∵∠ABC＝35°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴△ABD≌△EAD（SSS），∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠ADE＝360°﹣95°﹣95°﹣35°＝145°，∴∠CDE＝180°﹣∠ADE＝35°，故选：A．4．（2019山东临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5 B．1 C．1.5 D．2【答案】B．【解析】解：∵CF∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，∴△ADE ≌△CFE （AAS ）， ∴AD ＝CF ＝3，∵AB ＝4，∴DB ＝AB ﹣AD ＝4﹣3＝1． 故选：B ．5．（2019山东枣庄）如图，将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A ′B ′C ′的位置．已知△ABC 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA ′＝1，则A ′D 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．32【答案】B ．【解析】解：∵S △ABC ＝16、S △A ′EF ＝9，且AD 为BC 边的中线， ∴S △A ′DE ＝12S △A ′EF ＝92，S △ABD ＝12S △ABC ＝8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '， ∴A ′E ∥AB ， ∴△DA ′E ∽△DAB ，则2()A DE ABDS A D AD S''=，即2992()1816A D A D '=='+，解得A ′D ＝3或A ′D ＝﹣37（舍）， 故选：B ．6．（2019山东泰安）如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km ．A．B．C．D．【答案】B．【解析】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝，如图，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝，AB＝30km，∴AE＝BE＝2在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，BE＝，∴CE＝3∴AC＝AE+CE＝∴A，C两港之间的距离为（km，故选：B．7．（2019山东聊城）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E，F时，下列结论中错误的是（）A．AE+AF＝AC B．∠BEO+∠OFC＝180°C．OE+OF BC D．S四边形AEOF＝12S△ABC【答案】C．【解析】解：连接AO，如图所示．∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，∴OA＝OC，∠AOC＝90°，∠BAO＝∠ACO＝45°．∵∠EOA+∠AOF＝∠EOF＝90°，∠AOF+∠FOC＝∠AOC＝90°，∴∠EOA＝∠FOC．∴△EOA≌△FOC（ASA），∴EA＝FC，∴AE+AF＝AF+FC＝AC，选项A正确；∵∠B+∠BEO+∠EOB＝∠FOC+∠C+∠OFC＝180°，∠B+∠C＝90°，∠EOB+∠FOC＝180°﹣∠EOF＝90°，∴∠BEO+∠OFC＝180°，选项B正确；∵△EOA≌△FOC，∴S△EOA＝S△FOC，∴S四边形AEOF＝S△EOA+S△AOF＝S△FOC+S△AOF＝S△AOC＝12S△ABC，选项D正确．故选：C．8．（2019山东淄博）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF．如图1，当CD ＝12AC 时，tan α1＝34； 如图2，当CD ＝13AC 时，tan α2＝512；如图3，当CD ＝14AC 时，tan α3＝724；……依此类推，当CD ＝11n +AC （n 为正整数）时，tan αn ＝ ．【答案】22122n n n++．【解答】解：观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，2(21)12n +-，2(21)12n ++中的中间一个．∴tan αn ＝221(21)12n n ++-＝22122n n n++．故答案为：22122n n n++．9．（2019山东滨州）如图，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，OA ＞OC ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M ，连接OM ．下列结论：①AC ＝BD ；②∠AMB ＝40°；③OM 平分∠BOC ；④MO 平分∠BMC ．其中正确的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B ．【解析】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝40°， ∴∠AOB +∠AOD ＝∠COD +∠AOD ， 即∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确；∴∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确；作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，④正确；正确的个数有3个；故选：B．二、填空题10．（2019山东枣庄）如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】9.5．【解析】解：过D作DE⊥AB，∵在D 处测得旗杆顶端A 的仰角为53°， ∴∠ADE ＝53°，∵BC ＝DE ＝6m ， ∴AE ＝DE •tan53°≈6×1.33≈7.98m ，∴AB ＝AE +BE ＝AE +CD ＝7.98+1.5＝9.48m ≈9.5m ， 故答案为：9.511．（2019山东德州）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO =70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO =50°，那么AC 的长度约为 米．（sin70°≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【答案】1.02．【解析】解：由题意可得： ∵∠ABO =70°，AB =6m ，∴sin70°=6AO AOAB ≈0.94， 解得：AO =5.64（m ），∵∠CDO =50°，DC =6m ，∴sin50°=6CO≈0.77， 解得：CO =4.62（m ），则AC =5.64-4.62=1.02（m ）， 答：AC 的长度约为1.02米． 故答案为：1.02．12．（2019山东临沂）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝120°，BC ＝4，D 为AB 的中点，DC ⊥BC ，则△ABC 的面积是 ．【答案】【解析】解：∵DC ⊥BC ，∴∠BCD ＝90°， ∵∠ACB ＝120°，∴∠ACD ＝30°， 延长CD 到H 使DH ＝CD ， ∵D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ， ∴△ADH ≌△BCD （SAS ），∴AH ＝BC ＝4，∠H ＝∠BCD ＝90°，∵∠ACH ＝30°，∴CH ＝，∴CD ＝，∴△ABC 的面积＝2S △BCD ＝2×12×4×＝，故答案为：13．（2019山东枣庄）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB ＝2，则CD ＝ ．．【解析】解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ， 在Rt △ABC 中，∠B ＝45°，∴BC AB＝，BF＝AF＝AB，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF∴CD＝BF+DF﹣BC﹣，．14．（2019山东聊城）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，DE为△ABC的中位线，延长BC至F，使CF＝12BC，连接FE并延长交AB于点M．若BC＝a，则△FMB的周长为．【答案】92 a．【解析】解：在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2a，AC．∵DE是中位线，∴CE＝2a．在Rt△FEC中，利用勾股定理求出FE＝a，∴∠FEC＝30°．∴∠A＝∠AEM＝30°，∴EM＝AM．△FMB周长＝BF+FE+EM+BM＝BF+FE+AM+MB＝BF+FE+AB＝92 a．故答案为92 a．三、解答题15．（2019山东淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E ＝∠C ．【答案】见解析【解析】证明：∵∠BAE ＝∠DAC ∴∠BAE +∠CAE ＝∠DAC +∠CAE ∴∠CAB ＝∠EAD ，且AB ＝AD ，AC ＝AE ∴△ABC ≌△ADE （SAS ）． ∴∠C ＝∠E ．16．（2019山东菏泽）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛B 位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C 处，测得小岛B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC 的长．【答案】（﹣）海里． 【解析】解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意，得：∠BAD ＝60°，∠BCD ＝45°，AC ＝80， 在Rt △ADB 中，∠BAD ＝60°，∴tan60°＝BDAD，∴AD在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴AC＝AD+CDBD＝80，∴BD＝120﹣∴BC BC＝﹣，答：BC的距离是（）海里．17．（2019山东聊城）某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度（如图①所示，CD部分），在起点A 处测得大楼部分楼体CD的顶端C点的仰角为45°，底端D点的仰角为30°，在同一剖面沿水平地面向前走20米到达B处，测得顶端C的仰角为63.4°（如图②所示），求大楼部分楼体CD的高度约为多少米？（精确到1米）（参考数据：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00 1.41≈1.73）【答案】17米．【解析】解：设楼高CE为x米，∵在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，∴AE＝CE＝x，∵AB＝20，∴BE＝x﹣20，在Rt△CEB中，CE＝BE•tan63.4°≈2（x﹣20），∴2（x﹣20）＝x，解得：x＝40（米），在Rt△DAE中，DE＝AE tan30°＝40≈17（米），∴CD＝CE﹣DE＝40﹣3答：大楼部分楼体CD的高度约为17米．18．（2019山东临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．【答案】km．【解析】解：作BE⊥AD于点E，∵∠CAB＝30°，AB＝4km，∴∠ABE＝60°，BE＝2km，∵∠ABD＝105°，∴∠EBD＝45°，∴∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝2km，∴BD＝km，即BD的长是km．19．（2019山东潍坊）自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD 的长．（结果保留根号）【答案】【解析】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1∴tan∠ABE3=，∴∠ABE＝30°，∴AE＝12AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴14CEDE=，即8014ED=，解得，ED＝320，∴CD=答：斜坡CD的长是20．（2019山东青岛）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB，栈道AB与景区道路CD平行．在C处测得栈道一端A位于北偏西42°方向，在D处测得栈道另一端B位于北偏西32°方向．已知CD＝120m，BD＝80m，求木栈道AB的长度（结果保留整数）．（参考数据：sin32°≈1732，cos32°≈1720，tan32°≈58，sin42°≈2740，co s42°≈34，tan42°≈9 10）【答案】134米．【解析】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，则CE∥DF，∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形，∴EF＝CD＝120，DF＝CE，在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80，∴DF＝cos32°•BD＝80×1720≈68，BF＝sin32°•BD＝80×1732≈852，∴BE＝EF﹣BF＝1552，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝42°，CE＝DF＝68，∴AE＝CE•tan42°＝68×910＝3065，∴AB＝AE+BE＝1552+3065≈134m，答：木栈道AB的长度约为134m．21．（2019山东威海）如图是把一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面装进汽车货厢的示意图．已知汽车货厢高度BG＝2米，货厢底面距地面的高度BH＝0.6米，坡面与地面的夹角∠BAH＝α，木箱的长（FC）为2米，高（EF）和宽都是1.6米．通过计算判断：当sinα＝35，木箱底部顶点C与坡面底部点A重合时，木箱上部顶点E会不会触碰到汽车货厢顶部．【答案】不会触碰到汽车货厢顶部，理由见解析．【解析】解：∵BH＝0.6米，sinα＝35，∴AB＝0.613sin5BHα==米，∴AH＝0.8米，∵AF＝FC＝2米，∴BF＝1米，作FJ⊥BG于点J，作EK⊥FJ于点K，∵EF＝FB＝AB＝1米，∠EKF＝∠FJB＝∠AHB＝90°，∠EFK＝∠FBJ＝∠ABH，∴△EFK≌△FBJ≌△ABH，∴EK＝FJ＝AH，BJ＝BH，∴BJ+EK＝0.6+0.8＝1.4＜2，∴木箱上部顶点E不会触碰到汽车货厢顶部．22．（2019山东菏泽）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）如图1，连接BE，CD，BE的廷长线交AC于点F，交CD于点P，求证：BP⊥CD；（2）如图2，把△ADE绕点A顺时针旋转，当点D落在AB上时，连接BE，CD，CD的延长线交BE于点P，若BC＝，AD＝3，求△PDE的面积．【答案】（1）见解析；（2）910． 【解析】解：（1）∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC ＝∠DAE ＝90°．∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，∠BAC ﹣∠EAF ＝∠EAD ﹣∠EAF ， 即∠BAE ＝∠DAC ， ∴△ABE ≌△ADC （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠ACD ，∵∠ABE +∠AFB ＝∠ABE +∠CFP ＝90°， ∴∠CPF ＝90°， ∴BP ⊥CD ；（2）在△ABE 与△ACD 中，90AE ADEAB CAB AB AC =⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠ACD ，BE ＝CD ， ∵∠PDB ＝∠ADC ， ∴∠BPD ＝∠CAB ＝90°， ∴∠EPD ＝90°， ∵BC ＝，AD ＝3， ∴DE ＝，AB ＝6， ∴BD ＝6﹣3＝3，CD=∵△BDP ∽△CDA ， ∴BD PD PBCD AD AC ==，36PD PB==， ∴PDPB∴PE ＝，∴△PDE 的面积＝1925510⨯⨯=． 23．（2019山东枣庄）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且∠BMN ＝90°，当∠AMN ＝30°，AB ＝2时，求线段AM 的长；（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且∠EDF ＝90°，求证：BE ＝AF ； （3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且∠BMN ＝90°，求证：AB +AN AM ．【答案】（1；（2）证明见解析；（3）见解析． 【解析】（1）解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD ＝BD ＝DC ，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∠BAD ＝∠CAD ＝45°，∵AB ＝2，∴AD ＝BD ＝DC ，∵∠AMN ＝30°，∴∠BMD ＝180°﹣90°﹣30°＝60°， ∴∠MBD ＝30°，∴BM ＝2DM ，由勾股定理得，BM 2﹣DM 2＝BD 2，即（2DM ）2﹣DM 2）2，解得，DM ＝3，∴AM ＝AD ﹣DM ﹣3； （2）证明：∵AD ⊥BC ，∠EDF ＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA）∴BE＝AF；（3）证明：过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，∴∠AME＝90°，则AE AM，∠E＝45°，∴ME＝MA，∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，∴∠BME＝∠AMN，∴△BME≌△AMN（ASA），∴BE＝AN，∴AB+AN＝AB+BE＝AE AM．。

2019-2020学年鲁教版(五四制)七年级数学下册三角形的有关证明测试题及答案

2019-2020学年鲁教版(五四制)七年级数学下册三角形的有关证明测试题及答案

三角形的有关证明单元测试题（二）山东沂源县徐家庄中心学校256116左效平时间:120分钟满分:120分姓名:一、选择题：（每题4分，满分48分）1.如图1，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF2.下列说法中，不正确的是()A．等腰三角形的两底角相等B．两边相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形的顶角最大为90°D．等腰三角形是一个轴对称图形3.下列长度为边，构成三角形是直角三角形的是（）A．2,3,4B．3,4,6C．2，3，5D．4,4,84.如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线，DE交AB于D，连接CD，则CD的长为()A.3B.4C.4.8D.55.如图3，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中，错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=ODA．4B．2C．23A.836.如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,CD⊥AB，垂足为D,AC=8，则BD的长为（）43D．337.如图5，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD8.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．609.如图7，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH，则线段GH的长为（）14B.22C.D.10-525510.如图△8，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°11.如图9，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．3B．5C．6D．712.如图△10，Rt ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°二、填空题：（每题4分，满分20分）13.如图△11，ABC是等边三角形，E,F分别是BC,CA上的点，且BE=CF.连接AE,BF,交于点H,.则∠AHF 的度数为.AD14.在三角形ABC中，AB=AC，且∠B=40°，则∠A的度数为.15.七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图11所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图12所示），则该凸六边形的周长是cm．16.如图13，在Rt△ABC中，∠C=90°，是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是．17.如图14，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是度．三、解答题（共7小题，满分52分）18.（满分5分）如图15所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，AE=AF．求证：（1）PE=PF；（2）点P在∠BAC的角平分线上．19.（满分5分）已知：如图△16，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．20.（满分8分）如图17，已知三角形ABC中，AB=AC，点D是腰AC的中点，延长BC到点E，使得CE=CD，延长BA到点F 使得AF=AD，若三角形ABC的一个角为40°，求∠EDF的度数.21.（满分8分）如图17，已知三角形ABC中，AB=AC，，D,E,F分别是边BC,AB,AC的中点.（1）连接EF，求证：EF∥BC；（2）连接AD，线段AD和EF有怎样的关系？证明你的猜想.22.（满分8分）如图19，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）三角形BCE的面积．23.（满分9分）已知：如图△20，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．24.（满分9分）已知△ABN和△ACM位置如图21所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．参考答案：三角形的证明单元测试题（二）一、选择题：1.D．2.C．3.C．4. D.5.B6.D．7.D．8.B．9. B.10.D．11.B．12.D．二、填空题：（每题5分，满分25分）13.60°14.100°15.322+1616.3．17.60°三、解答题（共7小题，满分52分）18.证明：（1）如图所示，连结AP，因为PE⊥AB，PF⊥AC，所以∠AEP=∠AFP=90°,又因为AE=AF，AP=AP，所以Rt△AEP≌Rt△AFP，所以PE=PF.（2）因为Rt△AEP≌Rt△AFP，所以∠EAP=∠FAP，所以AP是∠BAC的角平分线，故点P在∠BAC的角平分线上.19.解：（1）证明：因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB．因为BD、CE是两条高，所以∠BDC=∠CEB=90°又因为BC=CB，所以△BDC≌△CEB（AAS），所以∠DBC=∠ECB，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形(2)点O是在∠BAC的角平分线上．如图，连结AO.因为BD、CE是两条高，所以∠BDC=∠CEB=90°，因为OB=OC，∠BOD=∠COE,所以△BOD≌△COE（AAS），所以OD=OE．因为AO=AO，所以△ADO≌△AEO（HL），所以∠DAO=∠EAO，所以点O是在∠BAC的角平分线上．所以2∠ABC=180°-∠BAC,所以∠ABC=90°-120.解：因为AF=AD，所以∠F=∠ADF，因为∠BAC是三角形ADF的一个外角，所以∠BAC=∠F+∠ADF，所以∠BAC=2∠ADF，所以∠ADF=12∠BAC；因为CD=CE，所以∠E=∠CDE，因为∠BCA是三角形CDE的一个外角，所以∠BCA=∠E+∠CDE，所以∠BCA=2∠CDE，所以∠CDE=111∠BCA；所以∠EDF=180°-∠ADF-∠CDE=180°-∠BAC-∠BCA，22211当∠BAC=40°时，因为AB=AC，所以∠BCA=70°，所以∠EDF=180°-∠BAC-∠BCA=125°；2211当∠BCA=40°时，因为AB=AC，所以∠BAC=100°，所以∠EDF=180°-∠BAC-∠BCA=110°；22所以∠EDF的度数为110°或125°.21.解：（1）因为AB=AC，，E,F分别是边AB,AC的中点，所以AE=AF，因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，1∠BAC，同理可证，∠AEF=90°-∠BAC，22所以∠ABC=∠AEF，所以EF∥BC；（2）线段AD和EF的关系是：AD⊥EF，且AD平分EF.理由：因为AB=AC,BD=DC，所以AD⊥BC，因为EF∥BC，所以AD⊥EF，因为AE=AF，所以GE=GF，所以AD⊥EF，且AD平分EF.22.解：（1）因为AD=2CD，AC=3，所以AD=2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，所以∠A=∠B=45°，AB=AC2+BC2=32+32=32，因为DE⊥AB，所以∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，所以AE=DE，所以AD2=DE2+AE2,所以22=2A E2,所以AE=2,所以BE=AB﹣AE=32-2=22，即线段BE的长为22；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：因为∠B=45°，∠EHB=90°，所以∠B EH=45°，所以∠B=∠B EH，所以EH=HB，所以BE2=EH2+BH2,所以(22)2=2E H2,所以EH=2,所以三角形BCE的面积为：11⨯BC⨯EH=⨯3⨯2=3.22在△ABD和△CAE中，因为⎨∠CEA=∠ADB,所以△ABD≌△CAE（AAS）；⎪AC=AB在△A DE和△ECA中，因为⎨∠CEA=∠DAE,所以A≌△D E ECA，所以DE=AC，因为AB=AC，所以DE=AB；⎪CE=AD23.证明：（1）因为AB=AC，所以∠B=∠ACD，因为AE∥BC，所以∠EAC=∠ACD，所以∠B=∠EAC，因为AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC，因为CE⊥AE，所以∠ADC=∠CEA=90°⎧∠EAC=∠B⎪⎩（2）AB=DE且AB∥DE.理由如下：连接DE，因为AD⊥BC，AE∥BC，所以AD⊥AE，因为CE⊥AE，所以∠DAE=∠CEA=90°，由（△1）知：ABD≌△CAE，所以AD=CE，⎧AE=AE⎪⎩因为A△D E≌ECA，所以∠ADE=∠AC E，所以∠EDC=∠AC B，所以∠EDC=∠B，所以AB∥DE，所以二者的关系是AB=DE且AB∥DE.24.-11-（1）证明：在△ABD 和△ACE 中， ⎨∠1 = ∠2 所以△ ABD≌△ACE（SAS ）所以 BD=CE ； ⎪ A D = AE 在△ACM 和△ABN 中， ⎨ AB = AC 所以△ ACM≌△ABN（ASA ），⎪∠CAM = ∠BAN⎧ A B = AC ⎪ ⎩（2）证明：因为∠1=∠2，所以∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，所以∠BAN=∠CAM，由（△1）得： ABD≌△ACE，所以∠B=∠C，⎧∠B = ∠C ⎪ ⎩ 所以∠M=∠N．- 12 -。

2022年中考数学真题分类汇编：三角形类几何证明题(含答案)

2022年中考数学真题分类汇编：三角形类几何证明题(含答案)

2022年中考数学真题汇编三角形类几何证明题1.(2022·江苏省南通市)如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．(1)求证：∠A=∠C；(2)求证：AB//CD．2.(2022·西藏)如图，已知AD平分∠BAC，AB=AC.求证：△ABD≌△ACD．3.(2022·湖南省益阳市)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，CD//AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≌△ABC．4.(2022·辽宁省大连市)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，点D在AC上，CD=3，连接DB，AD=DB，点P是边AC上一动点(点P不与点A，D，C重合)，过点P作AC的垂线，与AB相交于点Q，连接DQ，设AP=x，△PDQ与△ABD重叠部分的面积为S．(1)求AC的长；(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．5.(2022·黑龙江省牡丹江市)如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB=DF，∠A=∠D，∠B=∠F.如图①，易证：BC+BE=BF.请解答下列问题：(1)如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；(2)请选择(1)中任意一种结论进行证明；(3)若AB=6，CE=2，∠F=60°，S△ABC=12√3，则BC=______，BF=______．6.(2022·广西壮族自治区柳州市)如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF.有下列三个条件：①AC=DF，②∠ABC=∠DEF，③∠ACB=∠DFE．(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为(填写序号)______(只需选一个条件，多选不得分)，你判定△ABC ≌△DEF的依据是______(填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”)；(2)利用(1)的结论△ABC≌△DEF.求证：AB//DE．7.(2022·上海市)如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE2=AQ⋅AB．求证：(1)∠CAE=∠BAF；(2)CF⋅FQ=AF⋅BQ．8.(2022·广西壮族自治区河池市)如图，点A，F，C，D在同一直线上，AB=DE，AF=CD，BC=EF．(1)求证：∠ACB=∠DFE；(2)连接BF，CE，直接判断四边形BFEC的形状．9.(2022·吉林省长春市)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)网格中△ABC的形状是______；(2)在图①中确定一点D，连结DB、DC，使△DBC与△ABC全等；(3)在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；(4)在图③中△ABC的边AB上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PBQ∽△ABC，且相似比为1：2．10.(2022·北京市)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°．已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°．方法一证明：如图，过点A作DE//BC．方法二证明：如图，过点C作CD//AB．11.(2022·山东省青岛市)已知：Rt△ABC，∠B=90°．求作：点P，使点P在△ABC内部．且PB=PC，∠PBC=45°．12.(2022·贵州省铜仁市)如图，点C在BD上，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.求证：△ABC≌△CDE．13.(2022·北京市)在△ABC中，∠ACB=90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE=DC．(1)如图1，延长BC到点F，使得CF=BC，连接AF，EF.若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；(2)连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2.若AB2=AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．14.(2022·吉林省)如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD.求证：BD=CD．15.(2022·广东省云浮市)如图，已知∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：△OPD≌△OPE．16.(2022·黑龙江省鹤岗市)△ABC和△ADE都是等边三角形．(1)将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需证明)；(2)将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．17.(2022·湖南省长沙市)如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．18.(2022·内蒙古自治区赤峰市)如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，BC=5．(1)作BC的垂直平分线，分别交AB、BC于点D、H；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，连接CD，求△BCD的周长．19.(2022·福建省)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，BF=EC，AB=DE，∠B=∠E.求证：∠A=∠D．20.(2022·广西壮族自治区玉林市)问题情境：在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式：①AB=AC；②DB=DC；③∠BAD=∠CAD.若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立？解决方案：探究△ABD与△ACD全等．问题解决：(1)当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗？______(填“全等”或“不全等”)，理由是______；(2)当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画树状图法或列表法求△ABD≌△ACD的概率．21.(2022·四川省宜宾市)已知：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB//DE，∠B=∠E，BC=EF.求证：AD=CF．22.(2022·陕西省)如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=AB，DE//AB，∠DCE=∠A.求证：DE=BC．23.(2022·湖南省衡阳市)如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，且BD=CE.求证：AD=AE．24.(2022·四川省乐山市)如图，B是线段AC的中点，AD//BE，BD//CE.求证：△ABD≌△BCE．25.(2022·浙江省杭州市)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE.已知∠A=50°，∠ACE=30°．(1)求证：CE=CM．(2)若AB=4，求线段FC的长．参考答案1.证明：(1)在△AOB和△COD中，{OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD,∴△AOB≌△COD(SAS)，∴∠A=∠C；(2)由(1)得∠A=∠C，∴AB//CD．2.证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，{AB=AC∠BAD=∠CAD AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)．3.证明：∵DE⊥AC，∠B=90°，∴∠DEC=∠B=90°，∵CD//AB，∴∠A=∠DCE，在△CED和△ABC中，{∠DCE=∠A CE=AB∠DEC=∠B，∴△CED≌△ABC(ASA)．4.解：(1)在Rt△BCD中，BC=4，CD=3，∴BD=√BC2+CD2=5，又∵AD=BD，∴AC=AD+CD=5+3=8；(2)当点P在点D的左侧时，即0<x<5，如图1，此时阴影部分的面积就是△PQD的面积，∵PQ⊥AC，BC⊥AC，∴PQ//BC，∴△ABC∽△AQP，∴APPQ =ACBC=84=2，设AP=x，则PQ=12x，PD=AD−AP=5−x，∴S阴影部分=S△PQD=12(5−x)×12x=−14x2+54x；当点P在点D的右侧时，即5<x<8，如图2，由(1)得，AP=x，PQ=12x，则PD=x−5，∵PQ//BC，∴△DPE∽△DCB，∴DPEP =DCBC=34，∴PE=43(x−5)，∴S阴影部分=S△PQD−S△DPE=12(x−5)×12x−12(x−5)×43(x−5)=−512x2+2512x−503；答：S关于x的函数解析式为：当0<x<5时，S=−14x2+54x；当5<x<8时，S=−512x2+2512x−503．5.814或186.①SSS7.证明：(1)∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵CF=BE，∴CF−EF=BE−EF，即CE=BF，在△ACE和△ABF中，{AC=AB∠C=∠BCE=BF，∴△ACE≌△ABF(SAS)，∴∠CAE=∠BAF；(2)∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，∵AE2=AQ⋅AB，AC=AB，∴AEAQ =ACAF，∴△ACE∽AFQ，∴∠AEC=∠AQF，∴∠AEF=∠BQF，∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴∠BQF=∠AFE，∵∠B=∠C，∴△CAF∽△BFQ，∴CFBQ =AFFQ，即CF⋅FQ=AF⋅BQ．8.(1)证明：∵AF=CD，∴AF+CF=CD+CF，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，{AB=DE BC=EF AC=DF，∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ACB=∠DFE；(2)解：如图，四边形BFEC是平行四边形，理由如下：由(1)可知，∠ACB=∠DFE，∴BC//EF，又∵BC=EF，∴四边形BFEC是平行四边形．9.直角三角形10.证明：方法一：∵DE//BC，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，∵∠BAD+∠BAC+∠CAE=180°，∴∠B+∠BAC+∠C=180°；方法二：延长BC，如图，∵CD//AB，∴∠A=∠ACD，∠B=∠DCE，∵∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°，∴∠A+∠ACD+∠B=180°．11.解：①先作出线段BC的垂直平分线EF；②再作出∠ABC的角平分线BM，EF与BM的交点为P；则P即为所求作的点．12.证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠B=∠D=∠ACE=90°，∴∠DCE+∠DEC=90°，∠BCA+∠DCE=90°，∴∠BCA=∠DEC，在△ABC和△CDE中，{∠BCA=∠DEC ∠B=∠DAB=CD，∴△ABC≌△CDE(AAS)．13.(1)证明：在△BCD和△FCE中，{BC=CF∠BCD=∠FCE CD=CE，∴△BCD≌△FCE(SAS)，∴∠DBC=∠EFC，∴BD//EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；(2)解：由题意补全图形如下：CD=CH．证明：延长BC到F，使CF=BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC=CF，∴AB=AF，由(1)可知BD//EF，BD=EF，∵AB2=AE2+BD2，∴AF2=AE2+EF2，∴∠AEF=90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE=90°，又∵CD=CE，∴CH=CD=CE．14.证明：在△ABD与△ACD中，{AB=AC∠BAD=∠CAD AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴BD=CD．15.证明：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，{OP=OPPD=PE，∴Rt△OPD≌Rt△OPE(HL)．16.解：(2)PB=PA+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF=PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE，即∠DAB=∠EAC，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，BF=CP，∴△BAF≌△CAP(SAS)，∴AF=AP，∠BAF=∠CAP，∴∠BAC=∠PAF=90°，∴△AFP是等边三角形，∴PF=PA，∴PB=BF+PF=PC+PA；(3)PC=PA+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM=PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，PB=CM，∴△AMC≌△APB(SAS)，∴AM=AP，∠BAP=∠CAM，∴∠BAC=∠PAM=60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM=PA，∴PC=PM+CM=PA+PB．17.(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B=90°=∠D，在△ABC和△ADC中，{∠B=∠D∠BAC=∠DAC AC=AC，∴△ABC≌△ADC(AAS)；(2)解：由(1)知：△ABC≌△ADC，∴BC=CD=3，S△ABC=S△ADC，∴S△ABC=12AB⋅BC=12×4×3=6，∴S△ADC=6，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=12，答：四边形ABCD的面积是12．18.解：(1)如图，DH为所作；(2)∵DH垂直平分AB，∴DC=DB，∴∠B=∠DCB，∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=90°，∴∠A=∠DCA，∴DC=DA，∴△BCD的周长=DC+DB+BC=DA+DB+BC=AB+BC=8+5=13．19.证明：∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，{AB=DE∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF(SAS)，∴∠A=∠D．20.全等三边对应相等的两个三角形全等21.证明：∵AB//DE，∴∠A=∠EDF．在△ABC和△DEF中，{∠A=∠EDF ∠B=∠EBC=EF，∴△ABC≌△DEF(AAS)．∴AC=DF，∴AC−DC=DF−DC，即：AD=CF．22.证明：∵DE//AB，∴∠EDC=∠B，在△CDE和△ABC中，{∠EDC=∠B CD=AB∠DCE=∠A，∴△CDE≌△ABC(ASA)，∴DE=BC．23.证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△ACE中，{AB=AC ∠B=∠C BD=CE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴AD=AE．24.证明：∵点B为线段AC的中点，∴AB=BC，∵AD//BE，∴∠A=∠EBC，∵BD//CE，∴∠C=∠DBA，在△ABD与△BCE中，{∠A=∠EBC AB=BC∠DBA=∠C，∴△ABD≌△BCE.(ASA)．25.(1)证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=50°，∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM；(2)解：∵AB=4，∴CE=CM=1AB=2，2∵EF⊥AC，∠ACE=30°，∴FC=CE⋅cos30°=√3．。

山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类

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山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒 个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材 张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B 木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．二．二次函数综合题（共5小题）2．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．4．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．（1）求点C，D的坐标；（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P 为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．6．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．三．三角形综合题（共1小题）7．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）写出AB与BD的数量关系．（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．四．四边形综合题（共2小题）8．（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为 ．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF 的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．9．（2023•东营）（1）用数学的眼光观察如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．（2）用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．（3）用数学的语言表达如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC 的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．五．圆的综合题（共3小题）10．（2023•枣庄）如图，AB为⊙O的直径，点C是的中点，过点C做射线BD的垂线，垂足为E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．11．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．12．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．六．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；（2）求证：△EFG∽△BFD；（3）求证：＝．七．相似形综合题（共2小题）14．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC的最小值．15．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．山东省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（较难题）知识点分类参考答案与试题解析一．一次函数的应用（共1小题）1．（2023•日照）要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为20cm的正方体无盖木盒，B种规格是长、宽、高各为20cm，20cm，10cm的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为40cm×40cm的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒　（200﹣x）　个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙种方式切割的木板材　（200﹣y）　张；（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B 木盒的个数和使用甲，乙两种方式切割的木板材张数；（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为（20﹣a）元，两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）（200﹣x），（200﹣y）；（2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板50张；（3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．【解答】解：（1）∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，故制作B种木盒（200﹣x）个；∵有200张规格为40cm×40cm的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，故使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张；故答案为：（200﹣x），（200﹣y）；（2）使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出4y个长、宽均为20cm的木板，使用乙种方式切割的木板材（200﹣y）张，则可切割出8（200﹣y）个长为10cm、宽为20cm 的木板；设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为20cm的木板5x个，制作B种木盒（200﹣x）个，则需要长、宽均为20cm的木板（200﹣x）个，需要长为10cm、宽为20cm的木板4（200﹣x）个；故，解得：，故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张；（3）∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，故总成本为150×5+8×50＝1150（元）；∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，∴，解得：7≤a≤18，设利润为w元，则w＝100a+100（20﹣a）﹣1150，整理得：w＝850+50a，∵50＞0，∴w随a的增大而增大，故当a＝18时，有最大值，最大值为850+50×18＝1750（元），则此时B种木盒的销售单价定为20﹣×18＝11（元），即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利润为1750元．二．二次函数综合题（共5小题）2．（2023•淄博）如图，一条抛物线y＝ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中O为坐标原点，点A（3，﹣3），点B在第一象限内，对称轴是直线x＝，且△OAB的面积为18．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）求点B的坐标；（3）设C为线段AB的中点，P为直线OB上的一个动点，连接AP，CP，将△ACP沿CP 翻折，点A的对应点为A1．问是否存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣3x；（2）（6，6）；（3）存在，P点坐标为（，）或（﹣，﹣）或（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝，∴﹣＝，∴b＝﹣a①，将点A（3，﹣3）代入y＝ax2+bx，∴9a+3b＝﹣3②，联立①②可得，a＝，b＝﹣3，∴函数的解析式为y＝x2﹣3x；（2）设B（m，m2﹣3m），如图1，过A点作EF⊥y轴交于E点，过B点作BF⊥EF交于F点，∴△OAB的面积＝•m（m2﹣3m+3+3）﹣3×3﹣（m﹣3）（m2﹣3m+3）＝18，解得m＝6或m＝﹣3（舍），∴B（6，6）；（3）存在点P，使得以A1，P，C，B为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：∵A（3，﹣3），B（6，6），∴C（，），设直线OB的解析式为y＝kx，∴6k＝6，解得k＝1，∴直线OB的解析式为y＝x，设P（t，t），如图2，当BP为平行四边形的对角线时，BC∥A1P，BC＝A1P，∵AC＝BC，∴AC＝A1P，由对称性可知AC＝A1C，AP＝A1P，∴AP＝AC，∴＝，解得t＝，∴P点坐标为（，）或（﹣，﹣）；如图3，当BC为平行四边形的对角线时，BP∥A1C，BP＝A1C，由对称性可知，AC＝A1C，∴BP＝AC，∴＝，解得t＝+6或t＝﹣+6，∴P（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）；综上所述：P点坐标为（，）或（﹣，﹣）或（+6，+6）或（﹣+6，﹣+6）．3．（2023•东营）如图，抛物线过点O（0，0），E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上．设B（t，0），当t＝2时，BC＝4．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离．【答案】（1）y＝x2﹣x；（2）当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）抛物线向右平移的距离是4个单位．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝ax（x﹣10），∵当t＝2时，BC＝4，∴点C的坐标为（2，﹣4），∴将点C坐标代入解析式得2a（2﹣10）＝﹣4，解得：a＝，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x；（2）由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10﹣2t，当x＝t时，点C的纵坐标为t2﹣t，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）]＝﹣t2+t+20＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为；（3）如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，∵t＝2，∴B（2，0），∴A（8，0），∵BC＝4．∴C（2，﹣4），∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴PQ＝CH，∵四边形ABCD是矩形，∴点P是AC的中点，∴P（5，﹣2），∴PQ＝OA，∵OA＝8，CH＝PQ＝OA＝4，∴抛物线向右平移的距离是4个单位4．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）MH+DH的最小值为；（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），设直线AM的解析式为y＝kx+d，则，解得：，∴直线AM的解析式为y＝2x+2，当x＝0时，y＝2，∴D（0，2），作点D关于x轴的对称点D′（0，﹣2），连接D′M，D′H，如图，则DH＝D′H，∴MH+DH＝MH+D′H≥D′M，即MH+DH的最小值为D′M，∵D′M＝＝，∴MH+DH的最小值为；（3）对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形．由（2）得：D（0，2），M（1，4），∵点P是抛物线上一动点，∴设P（m，﹣m2+2m+3），∵抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为直线x＝1，∴设Q（1，n），当DM、PQ为对角线时，DM、PQ的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，3）；当DP、MQ为对角线时，DP、MQ的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，1）；当DQ、PM为对角线时，DQ、PM的中点重合，∴，解得：，∴Q（1，5）；综上所述，对称轴上存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（1，3）或（1，1）或（1，5）．5．（2023•日照）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．（1）求点C，D的坐标；（2）当时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P 为直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M（4，0），求点P的坐标；（3）坐标平面内有两点E（，a+1），F（5，a+1），以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a＝1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为时，求a的值．【答案】（1）C（0，2），D（5，2）；（2）；（3）①（1，6），（4，6），（5，2）；②a＝0.5．【解答】解：（1）在y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0）中，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∵抛物线解析式为y＝﹣ax2+5ax+2（a＞0），∴抛物线对称轴为直线，∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，∴C、D关于抛物线对称轴对称，∴D（5，2）；（2）当时，抛物线解析式为，当y＝0时，，解得x＝﹣1或x＝6，∴A（﹣1，0），如图，设DP上与点M关于直线AD对称的点为N（m，n），由轴对称的性质可得：AN＝AM，DN＝DM，，∴3m+n＝12，∴n＝12﹣3m∴m2+2m+1+144﹣72m+9m2＝25，∴m2﹣7m+12＝0，解得m＝3或m＝4（舍去），∴n＝12﹣3m＝3，∴N（3，3），设直线DP的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线DP的解析式为，联立，解得或，∴P（，）；（3）①当a＝1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+2，E（1，2），F（5，2），∴EH＝EF＝FG＝4，∴H（1，6），G（5，6），当x＝1时，y＝﹣12+5×1+2＝6，∴抛物线y＝﹣x2+5x+2 恰好经过H（1，6）；∵抛物线对称轴为直线，由对称性可知抛物线经过（4，6），∴点（4，6）为抛物线与正方形的一个交点，又∵点F与点D重合，∴抛物线也经过点F（5，2）；综上所述，正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标为（1，6），（4，6），（5，2）；②如图，当抛物线与GH、GF分别交于T、D时，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴点T的纵坐标为2+2.5＝4.5，∴，∴a2+1.5a﹣1＝0，解得a＝﹣2（舍去）或a＝0.5；如图，当抛物线与GH、EF分别交于T、S，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴，解得a＝0.4（舍去，因为此时点F在点D下方）如图，当抛物线与EH、EF分别交于T、S，∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为，∴﹣a（）2+5a•+2＝a+1+2.5，解得或（舍去）；当时，y＝﹣ax2+5ax+2＝6.25a+2，当时，6.25a+2＞6+a﹣，∴不符合题意；综上所述，a＝0.5．6．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y 轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．【答案】（1）y＝；（2）Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；（3）当m＝时，△PDE的面积最大值为：．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣6），∴﹣9＝a•3×（﹣6），∴a＝，∴y＝（x+3）（x﹣6）＝；（2）如图1，抛物线的对称轴为：直线x＝＝，由对称性可得Q1（3，﹣9），当y＝9时，＝9，∴x＝，∴Q2（，9），Q3（，9），综上所述：Q（3，﹣9）或（，9）或（，9）；（3）设△PED的面积为S，由题意得：AP＝m+3，BP＝6﹣m，OB＝6，OC＝9，AB＝9．∴BC＝＝3，∵sin∠PBD＝，∴，∴PD＝，∵PE∥BC，∴△APE∽△ABC，∠EPD＝∠PDB＝90°，∴，∴，∴PE＝，∴S＝PE•PD＝（m+3）（6﹣m）＝﹣，∴当m＝时，S最大＝，∴当m＝时，△PDE的面积最大值为：．三．三角形综合题（共1小题）7．（2023•临沂）如图，∠A＝90°，AB＝AC，BD⊥AB，BC＝AB+BD．（1）写出AB与BD的数量关系．（2）延长BC到E，使CE＝BC，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF．求证：EF⊥AB．（3）在（2）的条件下，作∠ACE的平分线，交AF于点H，求证：AH＝FH．【答案】（1）结论：AB＝（+1）BD．理由见解析部分；（2）（3）证明见解析部分．【解答】（1）解：结论：AB＝（+1）BD．理由：在BC上取一点T，使得BT＝BD，连接DT，AT．设AB＝AC＝a，则BC＝a．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠DBT＝45°，∵BD＝BT，∴∠BDT＝∠BTD＝67.5°，∵BC＝AB+BD＝AC+BD＝BT+AC，∴CT＝CA＝a，∴BD＝BT＝BC﹣CT＝a﹣a，∴＝＝+1，∴AB＝（+1）BD；（2）证明：如图2中，在△BCD和△ECF中，，∴△BCD≌△ECF（SAS），∴∠CBD＝∠E＝45°，BD＝EF，∴BD∥EF，∵BD⊥AB，∴EF⊥AB；（3）证明：延长CH交EF的延长线于点J．∵∠ACE＝180°﹣∠ACB＝135°，CH平分∠ACE，∴∠ACH＝∠ECH＝67.5°，∵∠ACB＝∠E＝45°，∴AC∥EJ，∴∠J＝∠ACH＝∠ECJ＝67.5°，∴CE＝EJ＝CB，∵BC＝BD+AB，EJ＝EF+FJ，∴FJ＝AB＝AC，∵∠AHC＝∠FHJ，∠ACH＝∠J，∴△ACH≌△FJH（AAS），∴AH＝FH．四．四边形综合题（共2小题）8．（2023•淄博）在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动．（1）操作判断小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成“L”形图案，如图①．试判断：△ACF的形状为　等腰直角三角形　．（2）深入探究小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB＝2，AD＝4．探究一：当点F恰好落在AD的延长线上时，设CG与DF相交于点M，如图②．求△CMF 的面积．探究二：连接AE，取AE的中点H，连接DH，如图③．求线段DH长度的最大值和最小值．【答案】（1）等腰直角三角形；（2）探究一：；探究二：DH的最大值为+1，最小值为﹣1．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝，在Rt△CFG中，CF＝，∵AB＝GF，BC＝CG，∴AC＝CF，∴△ACF是等腰三角形，∵AB＝GF，∠FGC＝∠ABC＝90°．BC＝CG，∴△ABC≌△FGC（SAS），∴∠ACG＝∠GFC，∵∠GCF+∠GFC＝90°，∴∠ACG+∠GCF＝90°，∴∠ACF＝90°，∴△ACF是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；（2）探究一：∵CD＝GF，∠FMG＝∠DMC，∠G＝∠CDF＝90°，∴△CDM≌△FGM（AAS），∴CM＝MF，∵AC＝CF，CD⊥AF，∴AD＝DF，∵AB＝CD＝2，AD＝DF＝4，∴DM＝4﹣CM，在Rt△CDM中，CM2＝CD2+DM2，∴CM2＝22+（4﹣CM）2，解得CM＝，∴MF＝，∴△CMF的面积＝2×＝；探究二：连接DE，取DE的中点P，连接HP，取AD、BC的中点为M、N，连接MN，MH，NH，∵H是AE的中点，∴MH∥DE，且MH＝DE，∵CD＝CE，∴CP⊥DE，DP＝PE，∵MH∥DP，且MH＝DP，∴四边形MHPD是平行四边形，∴MD＝HP，MD∥HP，∵AD∥BC，MD＝CN，∴HP∥CN，HP＝CN，∴四边形HNCP是平行四边形，∴NH∥CP，∴∠MHN＝90°，∴H点在以MN为直径的圆上，设MN的中点为T，∴DT＝＝，∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．方法二：设AC的中点为T，连接HT，∵HT是△ACE的中位线，∴HT＝CE＝1，∴H在以T为圆心，1为半径的圆上，∵DT＝＝，∴DH的最大值为+1，最小值为﹣1．9．（2023•东营）（1）用数学的眼光观察如图①，在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是AB的中点，N是DC的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．（2）用数学的思维思考如图②，延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E，延长线段BC交MN的延长线于点F．求证：∠AEM＝∠F．（3）用数学的语言表达如图③，在△ABC中，AC＜AB，点D在AC上，AD＝BC，M是AB的中点，N是DC 的中点，连接MN并延长，与BC的延长线交于点G，连接GD．若∠ANM＝60°，试判断△CGD的形状，并进行证明．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）直角三角形，理由见解析．【解答】（1）证明：∵P是BD的中点，N是DC的中点，∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN＝BC，PM＝AD，∵AD＝BC，∴PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM；（2）证明：由（1）知，PN是△BDC的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN∥BC，PM∥AD，∴∠PNM＝∠F，∠PMN＝∠AEM，∵∠PNM＝∠PMN，∴∠AEM＝∠F；（3）解：△CGD是直角三角形，理由如下：如图③，取BD的中点P，连接PM、PN，∵N是CD的中点，M是AB的中点，∴PN是△BCD的中位线，PM是△ABD的中位线，∴PN ∥BC ，PN ＝BC ，PM ∥AD ，PM ＝AD ，∵AD ＝BC∴PM ＝PN ，∴∠PNM ＝∠PMN ，∵PM ∥AD ，∴∠PMN ＝∠ANM ＝60°，∴∠PNM ＝∠PMN ＝60°，∵PN ∥BC ，∴∠CGN ＝∠PNM ＝60°，又∵∠CNG ＝∠ANM ＝60°，∴△CGN 是等边三角形．∴CN ＝GN ，又∵CN ＝DN ，∴DN ＝GN ，∴∠NDG ＝∠NGD ＝CNG ＝30°，∴∠CGD ＝∠CGN +∠NGD ＝90°，∴△CGD 是直角三角形．五．圆的综合题（共3小题）10．（2023•枣庄）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若BE ＝3，AB ＝4，求BC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．【答案】（1）证明见解答．（2）BC的长为2．（3）阴影部分的面积为．【解答】（1）证明：如图，连接OC，∵点C是的中点，∴，∴∠ABC＝∠EBC，∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠EBC＝∠OCB，∴OC∥BE，∵BE⊥CE，∴半径OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线．（2）解：如图，连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB＝90°，∵∠ABC＝∠EBC，∴△ACB∽△CEB，∴，∴，∴．答：BC的长为2．（3）解：如图，连接OD、CD，∵AB＝4，∴OC＝OB＝2，在Rt△BCE中，，∴，∴∠CBE＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠AOC＝60°，∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠CDO＝60°，∴∠CDO＝∠AOC，∴CD∥AB，∴S△COD＝S△CBD，∴．答：阴影部分的面积为．11．（2023•日照）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（60°＜α＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．（1）求证：A，E，B，D四点共圆；（2）如图2，当AD＝CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；（3）已知α＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，（3）．【解答】（1）证明：由旋转的性质可得AE＝AD，∠DAE＝α，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD，即∠BAE＝∠CAD，又∵AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠AEB＝∠ADC，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠AEB+∠ADB＝180°，∴A、B、D、E四点共圆；（2）证明：如图所示，连接OA，OD，∵AB＝AC，AD＝CD，∴∠ABC＝∠ACB＝∠DAC，∵⊙O是四边形AEBD的外接圆，∴∠AOD＝2∠ABC，∴∠AOD＝2∠ABC＝2∠DAC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠ODA+∠AOD＝180°，∴2∠DAC+2∠OAD＝180°，∴∠DAC+∠OAD＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，又∵OA是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；（3）解：如图所示，作线段AB的垂直平分线，分别交AB、BC于G、F，连接AM，PM，如图：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵点M是边BC的中点，∴，AM⊥BC，∴，，在Rt△BGF中，，∴FM＝BM﹣BF＝3﹣2＝1，∵⊙P是四边形AEBD的外接圆，∴点P一定在AB的垂直平分线上，∴点P在直线GF上，∴当MP⊥GF时，PM有最小值，∴∠PFM＝∠BFG＝90°﹣∠ABC＝60°，在Rt△MPF中，PM＝MF•sin∠PFM＝1×sin60°＝，∴圆心P与点M距离的最小值为．12．（2023•济宁）如图，已知AB是⊙O的直径，CD＝CB，BE切⊙O于点B，过点C作CF ⊥OE交BE于点F，EF＝2BF．（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】（1）证明过程见解答；（2）MN＝BM+DN，理由见解答．【解答】（1）证明：∵CF⊥OE，OC是半径，∴CF是圆O的切线，∵BE是圆O的切线，∴BF＝CF，∵EF＝2BF，∴EF＝2CF，sin E＝＝，∴∠E＝30°，∠EOB＝60°，∵CD＝CB，∴＝，∴OC⊥BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°＝∠EBO，∵∠E+∠EBD＝90°，∠ABD+∠EBD＝90°，∴∠E＝∠ABD＝30°，∴AD＝BO＝AB，∴△ABD≌△OEB（AAS）；（2）解：MN＝BM+DN，理由如下：延长ND至H使得DH＝BM，连接CH，BD，如图2所示，∵∠CBM+∠NDC＝180°，∠HDC+∠NDC＝180°，∴∠HDC＝∠MBC，∵CD＝CB，DH＝BM，∴△HDC≌△MBC（SAS），∴∠BCM＝∠DCH，CM＝CH，由（1）可得∠ABD＝30°，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DCB＝180°﹣∠A＝120°，∵∠MCN＝60°，∴∠BCM+∠NCD＝120°﹣∠NCM＝120°﹣60°＝60°，∴∠DCH+∠NCD＝∠NCH＝60°，∴∠NCH＝∠NCM，∵NC＝NC，∴△CNH≌△CNM（SAS），∴NH＝MN，∴MN＝DN+DH＝DN+BM，∴MN＝BM+DN．六．相似三角形的判定与性质（共1小题）13．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DCE＝90°，点E在线段AC上，BC，DE相交于点F，连接BE，BD，作EH⊥BD，垂足为点H，交BC与点G．（1）若点H是BD的中点，求∠BED的度数；（2）求证：△EFG∽△BFD；（3）求证：＝．【答案】（1）60°；（2）证明过程详见解答；（3）证明过程详见解答．【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE是两个等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，∠CED＝∠CDE＝45°，∴∠CFE＝180°﹣∠ACB﹣∠CED＝90°，∴EF＝DF＝DE，∵BH＝DH，EH⊥BD，∴BE＝DE，∴EF＝BE，∴cos∠BED＝，∴∠BED＝60°；（2）证明：由（1）得：∠CFE＝90°，∴CF⊥DE，∴∠BFD＝∠EFG＝∠BHE＝90°，∵∠BGH＝∠EGF，∴∠DBF＝∠FEG，∴△EFG∽△BFD；（3）证明：如图，作BQ∥AC，交EH的延长线于点Q，∴△BGQ∽△CGE，∴，∠Q＝∠CEH，∠QBE＝∠AEB，∴，设∠DBF＝DEH＝α，由（1）知：BC是DE的垂直平分线，∴BE＝BD，∴∠EBF＝∠DBF＝α，∴∠AEB＝∠ACB+∠EBF＝45°+α，∠CEH＝∠CED+∠FEG＝45°+α，∴∠AEB＝∠CEH，∴∠Q＝∠QBE，∴BE＝EQ，∴＝．七．相似形综合题（共2小题）14．（2023•济南）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，点E在边BC上，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，以线段AE，AG为邻边作矩形AEFG．（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和的值；（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，满足PE＝EF，连接PA，PC，求PA+PC 的最小值．【答案】（1）∠BDC＝60°，；（2）；（3）4．【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，∴，∴∠BDC＝60°，∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，即∠DAG＝∠BAE，∴△ADG∽△ABE，∴；（2）如图2，过点F作FM⊥CG于点M，∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，∴△ABE≌△GMF（AAS），∴BE＝MF，AB＝GM＝2，∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，∴，∴，设DM＝x，则，∴DG＝GM+MD＝2+x，由（1）可知：，∴，解得x＝1，∴；（3）如图3，连接AC，将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，连接PP'，矩形ABCD中，AD＝BC＝，AB＝2，∴tan∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝4，∵EA＝EC，∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，∴△AGC是等边三角形，AG＝AC＝4，∴PE＝EF＝AG＝4，∵将△AEP绕点E顺时针旋转120°，EA与EC重合，得到△CEP'，∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，EP＝EP'＝4，∴，∴当点P，C，P′三点共线时，PA+PC的值最小，此时为．15．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．【类比迁移】（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF+∠DFC＝90°，∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝CF，∵CH＝DE，∴CF＝CH，∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°，又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH（SAS），∴∠DFC＝∠H，∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H；（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG（SAS），∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11，∵CF+CG＝FG，∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，即CF的长为3．。

(938)三角形综合证明解答题30题(有答案)ok

(938)三角形综合证明解答题30题(有答案)ok

三角形综合解答证明题专项练习30题1．已知，如图，∠1=∠2，AD⊥BD于D，∠ACB=90°，AC=BC，证明：AD=BE．2．如图，点P为△ABC的边BC的中点，分别以AB，AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE，且∠BAD=∠CAE，求证：PD=PE．3．已知，如图△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．求证：（1）BF=AC；（2）CE=BF．4．如图，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于E，G为BC上一点，且∠BCG=∠DCA，过G点作GH⊥CG交CB于H．（1）求证：CD=CG；（2）若AD=CG，求证：AB=AC+BH．5．如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N．试猜想BD与CE有何关系？并证明你的猜想．6．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．7．如图1，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，（1）△BCE≌△CAD的依据是_________ （填字母）；（2）猜想：AD、DE、BE的数量关系为_________ （不需证明）；（3）当BE绕点B、AD绕点A旋转到图2位置时，线段AD、DE、BE之间又有怎样的数量关系，并证明你的结论．8．如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，线段BE与CD相交于点O，连接OA．（1）求证：BE=DC；（2）求∠BOD的度数；（3）求证：OA平分∠DOE．9．已知：如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，D为AC的中点，过点作CF⊥BD交BD的延长线于点F，过点作AE⊥AF于点．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）过点作AH⊥BF于点H，求证：CF=EH．10．探究题：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，试问：（1）DF与BC有何位置关系？请说明理由．（2）FG与FE有何数量关系？请证明你的结论．11．如图．在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且．过点E作EF∥CA，交CD于点F，连接OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．12．如图（1），△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．（1）请说明：△ADC≌△CEB．（2）请你探索线段DE，AD，EB间的等量关系，并说明理由；（3）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，其它条件不变，线段DE，AD，EB又有怎样的等量关系？（不必说理由）．13．已知，如图：四边形ABCD中，E在BC边上，AB=EC，∠B=∠C=∠AED．（1）求证：△AED是等腰三角形；（2）当∠B=∠C=∠AED=90°时，求证：AB2+BE2=AE2．14．如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F．求证：BE+CF＞EF．15．已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点，连接CM，求证：（1）△CEM≌△BDM；（2）△MDE是等腰直角三角形．16．如图△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形．（1）求证：AB∥CQ．（2）是否存在点P使得AQ⊥CQ？若存在，指出P的位置；若不存在，说明理由．17．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD（1）试说明CE=CF．（2）△BCE与△DCF全等吗？试说明理由．（3）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求CE的长．18．如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D．（1）△ACD≌△CBE．（2）若AD=2.5cm，DE=1.1cm．求BE的长．19．如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB=CD，可以得到BD平分EF，为什么？说明理由．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，点D是AC的中点，AE⊥BD于点F，交BC于点E，连接DE．求证：（1）∠BAF=∠ADB；（2）∠ADB=∠EDC．21．已知如图，△ABC是等边三角形，边长为6，DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，求AD的长．22．如图：△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD=∠ACE=90°，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：MC=MB．23．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC=BE，AD=BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．24．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．25．如图，在△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥GF，交AB于点E，连接EG．（1）求证：BG=CF；（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论．26．（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．①求证：△ABP≌△ACQ；②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF′G′的位置，点M是边EF′与边FG 的交点，点N在边EG′上且EN=EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．27．已知：△ABC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，其中∠BDC=120°，过点D作∠EDF=60°，分别交AB于E，交AC于F，连接EF．（1）若BE=CF，求证：①△DEF是等边三角形；②BE+CF=EF．（2）若BE≠CF，即E、F分别是线段AB，AC上任意一点，BE+CF=EF还会成立吗？请说明理由．28．如图甲，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）说明△ADC≌△CEB．（2）说明AD+BE=DE．（3）已知条件不变，将直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，若DE=3、AD=5.5，则BE= _________ ．29．如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．30．如图1，△ABC和△CDE为等边三角形．（1）求证：BD=AE；（2）若等边△CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时，（1）中结论还成立吗？请给予证明；（3）旋转到如图2位置时，若F为BD中点，G为AE中点，连接FG，求证：①△CFG为等边三角形；②FG∥BC．三角形综合解答证明题30题参考答案：1．证明：在Rt△ABD 和Rt△NB D中，，∴△ABD≌△NBD（ASA），∴AD=ND=AN，∵∠ACB=90°∴∠3+∠AED=∠AED+∠2，∴∠3=∠2，在△ACN和△BCE中，，∴△ACN≌△BCE（ASA），∴BE=AN，∴AD=BE2．证明：如图，分别取AB 、AC的中点M、N，连接DM、PM、PN、NE．∵点P为△ABC 的边BC的中点，∴PM为△ABC的中位线，∴PM=AC．又∵NE为直角△AEC斜边上的中线，∴NE=AN=AC，∴MP=NE．同理DM=PN．∵DM=AM，∴∠1=∠3，∴∠5=2∠1（三角形外角定理）．同理，∠6=2∠2．又∠1=∠2，∴∠5=∠6．又PM∥AC，PN∥AB，∴∠7=∠9，∠8=∠9，∴∠7=∠8，∴∠5+∠7=∠6+∠8，即∠DMP=∠PNE，∴在△MDP与△NPE中，，∴△MDP≌△NPE（SAS），∴PD=PE．3. （1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°，∴∠A+∠ABE=90°，∠ABE+∠DFB=90°，∴∠A=∠DFB，∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴∠DCB=90°﹣45°=45°=∠DBC，∴BD=DC，在△BDF和△CDA中∵，∴△BDF≌△CDA（AAS），∴BF=AC；（2）证明：∵BE⊥AC，∴∠AEB=∠CEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，在△AEB和△CEB中∵，∴△AEB≌△CEB（ASA），∴AE=CE，即CE=AC，∵由（1）知AC=BF，∴CE=BF4．（1）解：∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∵∠ACB=90°，∠AED=∠BEC，∴∠CAD=∠DB H，∵∠BCG=∠DCA，∵在△ACD和△BGC中∴△ACD≌△BGC（ASA），∴CD=CG；（2）证明：延长EC到F使CF=CE，如图，∵△AGC≌△BCD∴AG=BD，∵CG=BD，∴AG=CG，∴∠GAC=∠GCA，∵△CDG为等腰直角三角形，∴∠CGD=45°，∴∠GAC=22.5°，∵AC⊥BC，CF=CE，∴△AEF为等腰三角形，∴∠FAC=∠EAC=22.5°，∵△ABC为等腰直角三角形，∵∠CAB=45°，∠ABC=45°，∴∠FAB=22.5°+45°=67.5°，∴∠F=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠F=∠FAB，∴AB=BF，而BF=BC+CF=AC+CE，∴AB=AC+CE．5．解：BD和CE的关系是BD=CE，BD⊥CE，证明：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠CBM+∠ACB=90°，∴∠ACE+∠CBM+∠ACB=90°，∴∠BMC=90°，∴BD⊥CE，即BD=CE，BD⊥CE．6．证明：过D作DN⊥AC，垂足为N，连接DB、DC，则DN=DF（角平分线性质），DB=DC（线段垂直平分线性质），又∵DF⊥AB，DN⊥AC，∴∠DFB=∠DNC=90°，在Rt△DBF和Rt△DCN中∵，∴Rt△DBF≌Rt△DCN（HL）∴BF=CN，在Rt△DFA和Rt△DNA中∵，∴Rt△DFA≌Rt△DNA（HL）∴AN=AF，∴BF=AC+AN=AC+AF，即BF=AF+AC7．（1）解：AAS．（2）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵AD⊥DE，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE，又AC=BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD=CE，BE=CD，DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）解：DE=CD﹣CE=BE﹣AD．证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵AD⊥DE，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE，又AC=BC，∴△ACD≌△CB E（AAS），∴AD=CE，BE=CD，DE=CD﹣CE=BE﹣AD8．（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，即∠BAE=∠DAC．在△ABE和△ADC中∵∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE=DC．（2）解：由（1）知：△ABE≌△ADC，∴∠ADC=∠ABE∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°∴在△BOD中，∠BOD=180°﹣∠BDO﹣∠DBA﹣∠ABE =180°﹣∠DBA﹣（∠ADC+∠BDO）=180°﹣60°﹣60°=60°．（3）证明：过点A分别作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足为点M，N．∵由（1）知：△ABE≌△ADC，∴S△ABE=S△ADC∴∴AM=AN∴点A在∠DOE的平分线上，即OA平分∠DOE．9．证明：（1）∵AE⊥AF，∠CAB=90°，∴∠EAF=∠CAB=90°∴∠EAF﹣∠EAC=∠CAB﹣∠EAC即∠BAE=∠CAF，∵CF⊥BD，∴∠BFC=90°=∠C AB ，∴∠BDA+∠ABD=90°，∠DCF+∠FDC=90°，∵∠ADB=∠FDC，∴∠ABD=∠DCF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），（2）∵由（1）知△ABE≌△ACF，∴AE=AF，∵∠EAF=90°，∴∠AEF=∠AFE=45°，∵AH⊥BF，∴∠AHF=∠AHE=90°=∠CFH，∴∠EAH=180°﹣∠AHE﹣∠AEF=45°=∠AEF，∴AH=EH，∵D为AC中点，∴AD=CD，在△ADH和△CDF中，，∴△ADH≌△CD F（AAS），∴AH=CF，∴EH=CF10．解：（1）DF∥BC，理由是：∵AF平分∠BAC，∴∠CAF=∠DAF，在△CAF和△DAF中，∴△CAF≌△DAF（SAS），∴∠ADF=∠ACF，∵CE⊥AB，∠ACB=90°，∴∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∠B+∠BCF=90°，∴∠B=∠ACF=∠ADF，∴DF∥BC．（2）FG=EF，证明：∵DF∥BC，∠ACB=90°，CE⊥AB，∴∠AGF=∠ACB=90°，∴FG⊥AC，∵CE⊥AB，AF平分∠CAB，∴FG=EF．11．（1）证明：延长EF交AD于G（如图），在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四边形ACEG是平行四边形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，∴OF∥BC．（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD 是矩形．证明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OC，BD=2BO．∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形．12．解：（1）理由：因为∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°，∠ACB=90°，所以∠ACD+∠BCE=90°．又AD⊥MN，BE⊥MN，则∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC+∠ACD=90°．故∠DAC=∠ECB而AC=CB．所以△ADC≌△CEB（AAS）．（2）等量关系：DE=AD+EB．理由：由（1）知△ADC≌△CEB．则AD=CE，DC=EB ．因为DE=CE+DC，所以DE=AD+EB．（3）等量关系：DE=AD﹣EB13．（1）证明：∵∠B=∠C=∠AED，设∠B=∠C=∠AED=α∴∠1+∠2=180°﹣α，∠2+∠3=180°﹣α，∴∠1=∠3，在△ABE和△ECD中，∴△ABE≌△ECD（AAS）∴AE=DE，即△AED是等腰三角形．（2）解：∵∠B=90°，∴在Rt△ABE 中，由勾股定理得：AB2+BE2=AE214．证明：延长ED到H，使DE=DH，连接CH，FH，∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC，∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线，∴∠1=∠4=∠ADB，∠3=∠5=∠ADC，∴∠1+∠3=∠4+∠5=∠ADB+∠ADC=×180°=90°，∵∠1=∠2，∴∠3+∠2=90°，即∠EDF=∠FDH，在△EFD和△HFD中，，∴△EFD≌△HFD（SAS），∴EF=FH，在△BD E和△CDH中，，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH，在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH，∵CH=BE，FH=EF，∴BE+CF＞EF15．证明：（1）∵∠ACB=90°，BC=AC，∴∠A=∠B=45°，∵M是AB的中点，∴CM⊥AB，∠ACM=∠BCM=45°，CM=BM=AM，∴∠DBM=∠ECM，∵在△CEM和△BDM中，，∴△CEM≌△BDM（SAS）；（2）∵△CEM≌△BDM，∴EM=DM，∠EMC=∠DMB，页脚∵∠DMC+∠DMB=90°，∴∠DMC+∠EMC=90°，即∠DME=90°，∴△MDE是等腰直角三角形16．（1）证明：∵△ABC和△APQ都是等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAQ﹣∠PAC，∴∠BAP=∠CAQ，在△ABP和△ACQ中，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，∴AB∥CQ；（2）存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合，理由是：∵由（1）知，△ABP≌△ACQ，∴∠ACB=∠AQP=∠ACQ=∠B=∠BAC=60°，BP=CQ，∵P为BC中点，∴PC=BP=CQ，∴∠CQP=∠QPC=（180°﹣∠PCQ）=×（180°﹣60°﹣60°）=30°，∵△APQ是等边三角形，∴∠AQP=60°，∴∠AQC=60°+30°=90°，∴AQ⊥QC，即存在点P使得AQ⊥CQ，当P为BC中点时符合．17．解（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF．（2）△BCE≌△DCF．理由是：∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴△BCE与△DCF 都是直角三角形，在Rt△BEC和Rt△DFC中∵，∴Rt△BEC≌Rt△DFC（HL）；（3）∵Rt△BEC≌Rt△DFC，∴BE=DF，∵CF⊥AF，CE⊥AB，∴∠F=∠CEA=90°，∵AC平分∠BAF，∠FAC=∠EAC，在△FAC和△EAC中∵，∴△FAC≌△EAC（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则AE=21﹣x，DF=x，AF=9+x，∴21﹣x=9+x，∴x=6，即BE=6，在Rt△BCE中，∵BC=10，BE=6，∴由勾股定理得：CE=818．解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE 于D，∴∠ACD=∠ACB﹣∠BCE=90°﹣∠BCE，∠CBE=90°﹣∠BCE，（三角形角和定理）∴∠ACD=∠CBE，在△ACD与△CBE中，∴△ACD≌△CBE（AAS）．（2）由（1）知，△ACD≌△CBE，∴CE=AD=2.5BE=CD=CE﹣DE=AD﹣DE=2.5﹣1.1=1.4．答：BE的长是1.4cm．19．解：BD平分EF，理由是：证法一、连接BE、DF．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠A FB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，在Rt△ABF和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵DE∥BF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BD平分EF；证法二、∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AFB=∠CED=90°，DE∥BF，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，页脚即AF=CE，在Rt△ABF 和Rt△CDE中，∴Rt△ABF≌Rt△CDE，∴DE=BF，∵在△BFG和△DEG中，∴△BFG≌△DEG（AAS），∴EG=FG，即BD平分EF．20．（1）证明：∵∠BAC=90°，∴∠BAF+∠DAF=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADB=90°，∴∠BAF=∠ADB．（2）证明：过C作CM⊥AC，交AE的延长线于M，则∠ACM=90°=∠BAC，∴CM∥AB，∴∠MCE=∠ABC=∠ACB，∵∠BAF=∠ADB，∠ADB+∠FAD=90°，∠ABD+∠BAF=90°，∴∠ABD=∠CAM，在△ABD和△CAM中∵，∴△ABD≌△CAM（ASA），∴∠ADB=∠M，AD=CM，∵D为AC中点，∴AD=DC=CM，在△CDE和△CME中，∵，∴△CDE≌△CME（SAS），∴∠M=∠EDC，∵∠M=∠ADB，∴∠ADB=∠EDC．21．解：由△ABC是等边三角形得，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°又∵DE⊥BC于E，EF⊥AC于F，FD⊥AB于D，∴△DEF为等边三角形，∴△ADF≌△DEB≌△EFC，∴AD=BE=CF，∵FD⊥AB，∠AFD=30°，∴AD==，解得：AD=2．答：AD的长为2．22．证明：延长CM、DB交于G，∵△ABD和△ACE都是Rt△，∴CE∥BD，即CE∥DG，∴∠CEM=∠GDM，∠MCE=∠MGD又∵M是DE中点，即DM=EM，∴△ECM≌△DMG，∴CM=MG，∵G在DB的延长线上，∴△CBG是Rt△CBG，∴在Rt△CBG中，23．证明：（1）∵AD∥BE，∴∠A=∠B，在△ACD和△BEC中∴△ACD≌△BEC（SAS），（2）∵△ACD≌△BEC，∴CD=CE，又∵CF平分∠DCE，页脚∴CF⊥DE24．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知），∴∠BEC=∠BDC=90°，∴∠ABD+∠BAC=90°，∠ACE+∠BAC=90°（垂直定义），∴∠ABD=∠ACE（等角的余角相等），在△ABP和△QCA中，∴△ABP≌△QCA（SAS），∴AP=AQ（全等三角形对应边相等）．（2）由（1）可得∠CAQ=∠P（全等三角形对应角相等），∵BD⊥AC（已知），即∠P+∠CAP=90°（直角三角形两锐角互余），∴∠CAQ+∠CAP=90°（等量代换），即∠QAP=90°，∴AP⊥AQ（垂直定义）25．证明：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD=CD又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG=CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．26．解：（1）①证明：∵△ABC和△APQ是正三角形，∴AB=A C，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ．∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAQ﹣∠PAC．∴∠BAP=∠CAQ．所以△ABP≌△ACQ．（3分）②3（5分）（2）解法一：过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．在△EFG中，易得EH=12．（6分）类似（1）可证明△EFM≌△EGN，（7分）∴∠EFM=∠EGN．∵∠EFG=∠EGF，∴∠EGF=∠EGN，∴GE是∠FGN的角平分线，（9分）∴点E到直线FG和GN的距离相等，∴点E到直线GN的距离是12．（10分）解法二：过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．过点E作直线 GN的垂线，点K为垂足．在△EFG中，易得EH=12．（6分）类似（1）可证明△EFM≌△EGN，（7分）∴∠EFM=∠EGN．可证明△EFH≌△EGK，（9分）∴EH=EK．所以点E到直线GN的距离是12．（10分）解法三：把△EFG绕点E旋转，对应着点M在边FG上从点F开始运动．由题意，在运动过程中，点E到直线GN的距离不变．不失一般性，设∠EMF=90°．类似（1）可证明△EFM≌△EGN，∴∠ENG=∠EMF=90°．求得EM=12．∴点E到直线GN的距离是12．（酌情赋分）27．（1）证明：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°，在△EBD和△FCD中，∴△EBD≌△FCD（SAS），∴ED=DF，∵∠EDF=60°，∴△EDF是等边三角形，∵△EBD≌△FCD，页脚∴∠EDB=∠FDC，∵在△NBD和△FCD中，∴△NBD≌△FCD（SAS），∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠EDB=∠FDC，∴∠EDB=∠BDN=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN和△EDF中，∴△EDN≌△EDF（SAS），∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即△EDF 是等边三角形，BE+CF=EF．（2）解：BE+CF=EF还成立，理由是：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠AC B=60°，∵△DBC是等腰三角形，∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ACD=∠ABD=30°+60°=90°=∠NBD，∵在△NBD和△FCD中，∴△NBD≌△FCD（SAS），∴DN=DF，∠NDB=∠FDC，∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠EDB+∠FDC=60°，∴∠EDB+∠BDN=60°，即∠EDF=∠EDN，在△EDN 和△EDF中，∴△EDN≌△EDF（SAS），∴EF=EN=BE+BN=BE+CF，即BE+CF=EF．28．（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，∵∠ADC=∠BEC，AC=BC，∴△ADC≌△CEB．（2）证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE．（3）证明：∵BE⊥BC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠AC E=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中∵，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DE=3、AD=5.5，∴BE=CD=CE﹣DE=2.5．故答案为：2.529.（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△AFC中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EB+CF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△AFC中，页脚∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△BEA≌△AFC．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF﹣CF=10﹣3=730．（1）证明：∵等边三角形ABC和等边三角形CDE，∴AC=BC；CD=CE，∠ACE=∠DCE﹣∠ACD=60°﹣∠ACD=∠ACB﹣∠ACD=∠BCD，在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD，∴BD=AE，（2）（1）中的结论仍然成立，证明如下：∵BC=AC；CD=CE，∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+60°=∠ACD+∠ACB=∠BCD，在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD，∴BD=AE，（3）①∵△ACE≌△BCD，∴∠CBM=∠CAN；AE=BD，∵M是BD中点，N是AE中点，∴BM=AN，又BC=AC，∴△ACN≌△BCM，∴CM=CN；∠BCM=∠ACN，∴∠MCN=∠ACM+∠ACN=∠ACM+∠BCM=∠ACB=60°，∴=60°，∴△CMN是等边三角形，②∵△ACE≌BCD，∴∠CDF=∠CEG，∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠DCF=60°=∠ECG，又CD=CE，∴△DCF≌△ECG，∴CF=CG，∴∠CGF=∠CFG==60°=∠DCE，∴FG∥BC．页脚。

中考专题复习三角形的综合题(含答案)

中考专题复习三角形的综合题(含答案)

中考专题复习三角形的综合题(含答案)三角形是中考数学中的重要知识点之一。

综合题是考察学生对三角形知识的综合应用能力的题型。

下面是一些中考专题复三角形综合题的示例及其答案。

示例一已知△ABC 中，∠BCA = 90°，AD ⊥ BC 于 D，CD = 6 cm，BD = 8 cm，求△ACB 的面积。

答案：首先，我们可以根据勾股定理求得 AC 的长度：AC² = AD² + CD² = 8² + 6² = 100所以，AC = 10 cm。

由于△ACB 是直角三角形，所以该三角形的面积为：面积 = 1/2 × AC × BC = 1/2 × 10 × 8 = 40 平方厘米。

示例二已知△ABC 中，∠A = 60°，AB = 5 cm，AC = 8 cm，求△ABC 的高和面积。

答案：首先，我们可以利用正弦定理求得 BC 的长度：BC / sin A = AC / sin BBC / sin 60° = 8 / sin BBC = (8 × sin 60°) / sin B ≈ 9.24 cm所以，BC ≈ 9.24 cm。

由于△ABC 是一个等边三角形，其三条边长相等，所以该三角形的高等于边长乘以√3 除以 2：高= (5 × √3) / 2 ≈ 4.33 cm所以，△ABC 的高约为 4.33 cm。

该三角形的面积可以使用公式 S = (1/2) ×底 ×高计算：面积= (1/2) × 5 × 4.33 ≈ 10.83 平方厘米。

示例三已知△ABC 和△MNQ 的面积分别为 20 平方厘米和 25 平方厘米，且 AB:MN = △ABC 和△MNQ 的周长之比。

答案：由于 AB:MN = AB = kMN，BC = kQN。

鲁教版初中数学七年级上册《三角形》-证明22题(含答案)

鲁教版初中数学七年级上册《三角形》-证明22题(含答案)

初中数学七年级上册《三角形》一、解答题（共11题；共55分）1.如图，点D在AB上，DF交AC于点E，CF∥AB，AE=EC.求证：2.如图，在△ABC中，，，,垂足为，，垂足为. 求证：.3.如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F. 求证：DF=EF.4.如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，求证：.5.如图，∠AOB=90°，将三角尺的直角顶点P落在∠AOB的平分线OC的任意一点上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F,证明：PE=PF.6.如图，点，在的边上，，，求证：.7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF.求证：AD垂直平分EF.8.一副三角尺如图所示摆放，以AC为一边，在△ABC外作∠CAF＝∠DCE，边AF交DC的延长线于点F，求∠F的度数.9.如图，，，，垂足分别为, ，.求证：.10.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高线，AE是△ABC的角平分线，已知∠B=2∠C，∠BAC=120°，求∠C、∠DAE的度数。

11.已知:如图，△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.求证：∠M=∠N.二、综合题（共11题；共120分）12.已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AC=DF，BF=EC.求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）FG=CG.13.如图1所示，点E、F在线段AC上，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F；DE，BF分别在线段AC的两侧，且AE=CF，AB=CD，BD与AC相交于点G.（1）求证：EG=GF；（2）若点E在F的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.（3）若点E、F分别在线段CA的延长线与反向延长线上，其余条件不变，(1)中结论是否成立？(要求：在备用图中画出图形，直接判断，不必说明理由)14.如图，AB=3，BC=8，AB⊥BC，l⊥BC于点C，点E从B向C运动，过点E作ED⊥AE，交l于D.（1）求证：∠A=∠DEC；（2）当BE长度为多少时，△ABE≌△ECD？请说明理由.15.如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点P为BC边上的一个动点，连接AP，以AP 为直角边，A为直角顶点，在AP右侧作等腰直角三角形PAD，连接CD。

山东省各市中考数学分类解析：三角形

山东省各市中考数学分类解析：三角形

山东各市中考数学试题分类解析汇编一、选择题1. （2012山东滨州3分）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值【】A．不变B ．缩小为原来的13C．扩大为原来的3倍D．不能确定【答案】A。

【考点】锐角三角函数的定义。

【分析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变。

故选A。

2. （2012山东德州3分）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B 间距离的有【】A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C。

【考点】解直角三角形的应用，相似三角形的应用。

【分析】此题比较综合，要多方面考虑：①∵知道∠ACB和BC的长，∴可利用∠ACB的正切直接求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切设方程组ABtan ACB=CBABtan ADB=CD+CB⎧∠⎪⎪⎨⎪∠⎪⎩求出AB；③∵△ABD∽△EFD，∴可利用相似三角形对应边成比例EF FDAB BD=，求出AB；④无法求出A，B间距离。

因此共有3组可以求出A，B间距离。

故选C。

3. （2012山东济南3分）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为【】A．13B．12C．22D．3【答案】A。

【考点】网格问题，锐角三角函数的定义。

【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解：由图形知：tan∠ACB=2163。

故选A。

4. （2012山东济宁3分）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是【】A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等【答案】A。

专题02 三角形证明综合(解析版)

专题02 三角形证明综合(解析版)

专题02 三角形证明综合1．如图1，在ABC D 中，90BAC Ð=°，AB AC =，BD CD ^于点D ，连接AD ，在CD 上截取CE ，使CE BD =，连接AE ．（1）直接判断AE 与AD 的位置关系（2）如图2，延长AD ，CB 交于点F ，过点E 作//EG AF 交BC 于点G ，试判断FG 与AB 之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若2,AE EC ==，求EG 的长．【解答】解：（1）AE AD ^；理由如下：90BDF BAC Ð=Ð=°Q ，DFB AFC Ð=Ð，DBA ACE \Ð=Ð，在ACE D 和ABD D 中，CE BD ACE ABD AC AB =ìïÐ=Ðíï=î，()ACE ABD SAS \D @D ，EAC BAD \Ð=Ð，90BAE EAC Ð+Ð=°Q ，90BAE BAD \Ð+Ð=°，即90DAE Ð=°，AE AD \^；（2）FG =，理由如下：过点B 作BM BD ^交DF 于点M ，ACE ABD D @D Q，AE ADQ，^\Ð=°，45ADEQ，^BD CDBDM\Ð=°，45\D为等腰直角三角形，BDM\=，BD BM\=，CE BMEG AFQ，//\Ð=Ð，EGC MFBGCE ACEÐ+Ð=°，Q，4545FBM ABDÐ+Ð=°\Ð=Ð，FBM GCE\D@D，CEG BMF AAS()\=，CG BF\+=+，CG BG BF BG\=，FG BCQ，BC=\=；FGD为等腰直角三角形，Q，ADE（3）2AD AE==\==，DEQ，CE=\=DCQ，BD CE==\==，2DMD@DQ，CEG BMF\=，EG FM设EG FM x==，//EG DF Q ，CEG CDF \D D ∽，\EG CE DF CD =，即2x x =+解得，1x =，1EG \=．2．如图ABC D 与ACD D 为正三角形，点O 为射线CA 上的动点，作射线OM 与直线BC 相交于点E ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转60°，得到射线ON ，射线ON 与直线CD 相交于点F ．（1）如图①，点O 与点A 重合时，点E ，F 分别在线段BC ，CD 上，求证：AEC AFD D @D ；（2）如图②，当点O 在CA 的延长线上时，E ，F 分别在线段BC 的延长线和线段CD 的延长线上，请写出CE ，CF ，CO 三条线段之间的数量关系，并说明理由；（3）点O 在线段AC 上，若6AB =，BO =，当1CF =时，请直接写出BE 的长．【解答】解：（1）如图①中，ABC D Q 与ACD D 为正三角形，AB AC BC AD CD \====，60BAC BCA ADC DAC Ð=Ð=Ð=Ð=°，Q 将射线OM 绕点O 逆时针旋转60°，AE AF \=，60EAF Ð=°，60BAC CAD EAF \Ð=Ð=Ð=°，EAC DAF \Ð=Ð，且AC AD =，AE AF =，()AEC AFD SAS \D @D ，（2）CE CO CF +=，理由如下：如图②，过点O 作//OH BC ，交CF 于H ，60HOC BCA \Ð=Ð=°，60OHC HCE Ð=Ð=°COH \D 是等边三角形，OC CH OH \==，60EOF COH CHO BCA Ð=Ð=Ð=Ð=°Q ，COE FOH \Ð=Ð，120OCE OHF Ð=Ð=°，且OH OC =，()OHF OCE SAS \D @DCE FH\=，Q，=+CF CH FH\=+CF CO CE（3）作BH AC==，^于H．6AH CHQ，3AB=\=BH-中，当点O在线段AH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．如图③1Q，OB=OH\===，1\=+=，314OC过点O作//ON AB，交BC于N，\D是等边三角形，ONCNOC EOF ONC OCF\===，60Ð=Ð=°=Ð=ÐON OC CN4Ð=Ð=，ONC OCF\Ð=Ð，且ON OCNOE COF\D@D()ONE OCF SAS\=CF NECO CE CF\=+，CF=，Q，1OC=4\=，3CE\=-=．BE633-中，当点O在线段AH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．如图③2同法可证：CE CF OC-=，\=+=，415CE\=．BE1如图③3-中，当点O在线段CH上，点F在线段CD上，点E在线段BC上时．同法可证：OC CE CF=+，CF=，Q，1312=-=-=OC CH OH\=，1CE\=-=．BE615-中，当点O在线段CH上，点F在线段DC的延长线上，点E在线段BC上时．如图③4同法可知：CE CF OC-=，3BE \=，综上所述，满足条件的BE 的值为3或5或1．3．已知，等腰直角ABC D 中，AC BC =，90ACB Ð=°，D 为AB 边上的一点，连接CD ，以CD 为斜边向右侧作直角CDE D ，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ．（1）如图1，当30CDE Ð=°，1AD =，3BD =时，求线段DE 的长；（2）如图2，当CE DE =时，求证：点E 为线段AF 的中点；（3）如图3，当点D 与点A 重合，4AB =时，过E 作EG BA ^交直线BA 于点G ，EH BC ^交直线BC 于点H ，连接GH ，求GH 长度的最大值．【解答】解：（1）如图1，过点C 作CG AB ^于点G ，1AD =Q ，3BD =，4AB \=，AC BC =Q ，90ACB Ð=°，CG AB ^，122CG AG AB \===，1DG \=，CD \===，30CDE Ð=°Q ，90CED Ð=°，cos cos30DE CD CDE \=×Ð=°==；（2）过点C 作CG AB ^于点G ，过点D 作DM CD ^交CE 的延长线于点M ，连接AM ，在CG 上截取GN DG =，连接DN ，CG AB ^Q ，GN DG =，DGN \D 是等腰直角三角形，45DNG \Ð=°，DM CDQ，^\Ð=Ð=Ð=°，90CDM AGC ACBDCG CDG CDG ADM\Ð+Ð=Ð+Ð=°，90\Ð=Ð，DCG ACMÐ=°，CG AB^，ACB=Q，90AC BC\=，AG CGAG DG CG GN=，\-=-，即DA CN=，Q，CE DECED CDM DEMÐ=Ð=Ð=°90\Ð=Ð=Ð=Ð=°，45DCE CDE EDM DME\==，CE DE EMCD DM\==，\D@D，CDN DMA SAS()CND DAM\Ð=Ð=°，135\Ð=Ð-Ð=°-°=°，1354590CAM DAM BAC\Ð=Ð，CAM ACB\，AM BC//\Ð=Ð，AME FCEQ，Ð=ÐAEM FEC\D@D，AEM FEC ASA()\=，AE EF\点E为线段AF的中点；¢=，延长EG至点E¢¢，使GE EG（3）如图3，延长EH至点E¢，使HE EH¢¢=，连接E E¢¢¢，取AC中点Q，连接EQ，BQ，Q，904AB=Ð=°，AC BC=，ACB\==AC BCQ点Q是AC中点，CQ \=，BQ \===，90AEC Ð=°Q ，点Q 是AC 中点，12EQ AC \==BE \HE EH ¢=Q ，GE EG ¢¢=，12HG E E \=¢¢¢，EH BC ^Q ，EG AB ^，E \、E ¢关于BC 对称，E 、E ¢¢关于AB 对称，E BH EBH \Т=Ð，E BG EBG Т¢=Ð，BE BE BE ¢=¢¢=，290E BE ABC \Т¢¢=Ð=°，E E \¢¢¢=，HG \=，Q 要使GH 最大，BE +GH \1=+．4．已知，ABC D 是等边三角形，等腰三角形BDE 的顶点D 在AC 上，且BD DE =，120BDE Ð=°．（1）如图1，当B ，C ，E 三点共线时，连接ED 并延长交AB 于点F ．①求证：12CE AB =；②求证：BF BD EF CE ×=×；（2）如图2，当B ，C ，E 三点不共线时，取AE 的中点为M ，连接DM ，求CD DM．【解答】（1）①证明：BD DE =Q ，120BDE Ð=°，1(180120)302DBE DEB \Ð=Ð=°-°=°，ABC D Q 为等边三角形，60ACB ABC \Ð=Ð=°，AB AC =，603030CDE ACB DEB \Ð=Ð-Ð=°-°=°，CDE CED \Ð=Ð，CD CE \=，又30CBD ABD Ð=Ð=°Q ，1122CD AD AC AB \===，12CE AB \=；②证明：60ABC Ð=°Q ，30DEC Ð=°，90BFE \Ð=°，\tan 30BF EF =°=，同理DC BD =，又DC CE =Q ，\BF CE EF BD=，BF BD EF CE \×=×；（2）解：将ABD D 绕点B 顺时针旋转60°得到BCN D ，连接DN ，AD CN \=，60DBN Ð=°，BD BN =，60BAD BCN Ð=Ð=°，BDN \D 为等边三角形，DN BD \=，60BDN BND Ð=Ð=°，BD DE =Q ，DE DN \=，又60ACB Ð=°Q ，6060120ACN ACB BCN \Ð=Ð+Ð=°+°=°，60DNC CDN \Ð=°-Ð，延长DM ，使DM MH =，连接EH ，则2DH DM =，MA ME =Q ，AMD EMH Ð=Ð，()AMD EMH SAS \D @D ，DAM HEM \Ð=Ð，AD HE =，//AD EH \，CN HE =，DEH CDE \Ð=Ð，120BDE Ð=°Q ，60NDE \Ð=°，60CDE CDN DEH \Ð=°-Ð=Ð，DNC DEH \Ð=Ð，()DNC DEH SAS \D @D ，CD DH \=，2CD DM \=，\2CD DM=．5．已知，如图，在ABC D 中，AC 的垂直平分线与ABC Ð的角平分线交于点D ，（1）如图1，判断BAD Ð和BCD Ð之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若60DAC Ð=°时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，DA 和CB 的延长线交于点E ，点F 是CD 上一点且DF AE =，连接AF 交BD 于点G ，若9CE =，求DG 的长．【解答】解：（1）180BAD BCD Ð+Ð=°，理由如下：如图1，过点D 作DG BC ^于点G ，DH BA ^于点H ，Ð角平分线的交于点D，Q的垂直平分线与ABCACÐ=Ð，\=，ABD DBCAD DC\=，DH DG\D@D，Rt ADH Rt CDG(HL)\Ð=Ð，HAD DCGQ，180Ð+Ð=°BAD HAD\Ð+Ð=°，BAD DCG180即180Ð+Ð=°；BAD BCD（2）BD AB BC=+，理由如下：=，连接AF，如图2，在BD上截取BF AB由（1）知180Ð+Ð=°，BAD BCD\Ð+Ð=°，ABC DAC180Ð=°Q，DAC60\Ð=°，120ABC\Ð=Ð=°，ABD DBC60\D为等边三角形，ABF\==，60AB AF BFÐ=°，BAFAD DC=Q，ADC\D为等边三角形，AD AC\=，60DACÐ=°，DAF BAC\Ð=Ð，()ABC AFD SAS\D@D，DF BC\=，BD BF DF AB BC\=+=+．（3）由（2）知60DAC DBCÐ=Ð=°，如图3，延长FD至点M，使DM DF=，ACB ADB\Ð=Ð，DM DF=Q，DF AE=，DM AE\=，60DAC ADCÐ=Ð=°Q，120ADM EAC\Ð=Ð=°，AC AD=Q，()EAC MDA SAS\D@D，AM CE\=，MAD ECAÐ=Ð，MAD ADB\Ð=Ð，//DG AM\，DF DM=Q，AG GF\=，\119222 DG AM CE===．6．等腰直角ACBD中，90CÐ=°，点D为CB延长线上一点，连接AD，以AD为斜边构造直角AED D （点E 与点C 在直线AD 的异侧）．（1）如图1，若30EAD Ð=°，AE =2BD =，求AC 的长；（2）如图2，若AE DE =，连接BE ，猜想线段BE 与线段AD 之间的数量关系并证明；（3）如图3，若4AC =，1tan 3BAD Ð=，连接CE ，取CE 的中点P ，连接DP ，当线段DP 最短时，直接写出此时PDE D 的面积．【解答】解：（1）30EAD Ð=°Q ，AE =90E Ð=°，DE \=，2AD DE ==，222AD AC CD =+Q ，2210(2)AC AC \=++，1AC \=或3AC =-（舍去），1AC \=；（2）BE AD =，理由如下：如图2，取AD 的中点H ，连接CH ，AE DE =Q ，BC AC =，90ACB AED Ð=Ð=°，45ADE DAE CAB CBA \Ð=Ð=Ð=Ð=°，AB =，AD =，CAD BAE \Ð=Ð，H Q 是AD 的中点，AH \=，12CH AD =AE \=，Q AE AB AH AC==，EAB HAC \D D ∽，\BE CH=，12BE AD AD \==；（3）如图3，过点B 作BG AD ^于G ，4AC AB ==Q ，90ACB Ð=°，45BAC ABC \Ð=Ð=°，4cos cos 45AC AB BAC \===а，1tan 3BAD Ð=Q ，\1tan 3BG BAD AG =Ð=，设BG m =，3AG m =，且0m >，222BG AG AB +=Q，222(3)m m \+=，解得：m =，BG \=AG =90DGB DCA Ð=Ð=°Q ，BDG ADC Ð=Ð，BDG ADC \D D ∽，\BG DG BD AC CD AD ==4DG BD ==+，4BD \+=，125BD +，4BD \=，DG =AD \=，8CD =，延长CD 至F ，使8DF CD ==，连接EF ，以AD 为直径作O e ，连接OB ，OF ，OF 与O e 交于点E ¢，Q 点P 是线段CE 的中点，点D 是CF 的中点，12DP EF \=，当线段DP 最短时，EF 最短，Q 点E 在O e 上，EF \最短时，点E 为OF 与O e 的交点，即E 与E ¢重合，4CB DB ==Q ，AO DO =，//OB AC \，122OB AC ==，4812BF BD DF =+=+=，90FBO ACB \Ð=Ð=°，OF \===E F OF OE \¢=-¢=-，DP \的最小值为12´-=，过点E ¢作E H CF ¢^于点H ，则//E H OB ¢，\E H FE OB FO ¢¢=，即2E H ¢=E H \¢=111222PDE CDE S S CD D ¢D ¢\==´×=；\当线段DP 最短时，PDE S D =7．（1）问题发现如图1，在Rt ABCÐ=Ð=°，45CAB CDEÐ=Ð=°，点D是ACB DCED和Rt CDED中，90线段AB上一动点，连接BE．则线段AD，BE之间的位置关系是　AD BE^　，数量关系是 ；（2）类比探究如图2，在Rt ABCCAB CDEÐ=Ð=°，点D是Ð=Ð=°，60ACB DCED中，90D和Rt CDE线段AB上一动点，连接BE．请判断线段AD，BE之间的位置关系和数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若2AC=，则当CBMD是直角三角形时，请直接写出线段BE的长．【解答】解：（1）90ACB DCE Ð=Ð=°Q ，45CAB CDE Ð=Ð=°，45ABC CAB CDE CED \Ð=Ð=°=Ð=Ð，AC BC \=，CD CE =，90ACB DCE Ð=Ð=°Q ，ACD BCE \Ð=Ð，在ACD D 和BCE D 中，AC BC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD BCE SAS \D @D ，BE AD \=，45CAB CBE Ð=Ð=°，90DBE ABC CBE \Ð=Ð+Ð=°，AD BE \^，故答案为：AD BE ^，AD BE =；（2）BE =，AD BE ^；理由如下：90ACB DCE Ð=Ð=°Q ，60CAB CDE Ð=Ð=°，ACD BCE \Ð=Ð，30CED ABC Ð=Ð=°，tan tan 30AC ABC BC \Ð=°==，90ACB DCE Ð=Ð=°Q ，60CAB CDE Ð=Ð=°，Rt ACB Rt DCE \D D ∽，\AC CD BC CE =，\AC BC CD CE=，且ACD BCE Ð=Ð，ACD BCE \D D ∽，\BE BC AD AC==，60CBE CAD Ð=Ð=°，BE \，90DBE ABC CBE Ð=Ð+Ð=°，AD BE \^；（3）若点D 在线段AB 上，如图，由（2）知：BE BC AD AC==，90ABE Ð=°，BE \，2AC =Q ，90ACB Ð=°，90CAB Ð=°，4AB \=，BC =，90ECD ABE Ð=Ð=°Q ，且点M 是DE 中点，12CM BM DE \==，CBM D Q 是直角三角形，2222CM BM BC \+==，BM CM \==，DE \=，222DB BE DE +=Q ，22(4))24AD \-+=，1AD \=+，3BE \==+若点D 在线段BA 延长线上，如图同理可得：DE =，BE =，222BD BE DE +=Q ，22(4))24AD \++=，1AD \=-，3BE \==-综上所述：BE 的长为3或3-．8．问题背景：（1）如图1，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ，求证：22AD AC BD BC =；尝试应用：（2）如图2，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，点E 为BC 中点，CD AE ^于D ，BD 交AC 于F ，若30ABC Ð=°．求AF CF的值；拓展创新：（3）如图3，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，点E 为BC 中点，CD AE ^于D ，BD 交AC 于F ，若BC n AC =，直接写出tan ADF Ð的值　1n　．【解答】解：（1）CD AB ^Q ，90ADC ACB \Ð=°=Ð，A A Ð=ÐQ ，ACD ABC \D D ∽，\AC AD AB AC=，2AC AD AB \=×，同理：2BC BD AB =×，\22AC AD AB AD BC BD AB BD×==×，即22AD AC BD BC =；（2）设2AC m =，在Rt ABC D 中，30ABC Ð=°，BC \=，Q 点E 为BC 中点，12CE BC \==，\22223344CE m AC m ==，CD AE ^Q ，同（1）的方法得，2234DE CE AD AC ==，过点E 作//EM AC 交BF 于M ，DEM DAF \D D ∽，\34DM DE AF AD ==，设3EM x =，则4AF x =，//EM AC Q ，BEM BCF \D D ∽，\12EM BE CF BC ==，26CF EM x \==，\4263AF x CF x ==；（3）同（1）的方法得，2CE ED EA =×，Q 点E 为BC 中点，CE BE \=，2BE ED EA \=×，\BE AE DE BE=，BED AEB Ð=ÐQ ，BED AEB \D D ∽，BDE ABE \Ð=Ð，1tan tan AC BDE ABC BC n\Ð=Ð==，故答案为：1n．9．如图，ABC D 中，90ACB Ð=°，CB CA =，CE AB ^于E ，点F 是CE 上一点，连接AF 并延长交BC 于点D ，CG AD ^于点G ，连接EG ．（1）求证：2CD DG DA =×；（2）如图1，若2CF EF =，求证：点D 是BC 中点；（3）如图2，若2GC =，GE =GD ．【解答】解：（1）CG AD ^Q ，90ACB Ð=°，90CGD ACB \Ð=Ð=°，CDA CDG Ð=ÐQ ，ACD CGD \D D ∽，::CD DG DA CD \=，2CD DG DA \=×；（2）如图1，过E 作//EH AD 交BC 于点H ，//HE AD Q ，::BH HD BE EA \=，::CD HD CF EF =，CB CA =Q ，90ACB Ð=°，CE AB ^，E \为AB 的中点，:1BE EA \=，2CF EF =Q ，::1BH HD BE EA \==，::2CD HD CF EF ==，BH HD \=，2CD HD =，2BD BH HD HD \=+=，BD CD \=，D \为BD 的中点．（3）CB CA =Q ，90ACB Ð=°，45BAC \Ð=°，CE AB ^Q ，CG AD ^，90AGC AEC \Ð=Ð=°，45ACE Ð=°，A \、C 、G 、E 四点共圆，45AGE ACE \Ð=Ð=°，如图2，过点E 作EH AD ^于点H ，EGH \D 是等腰直角三角形，sin 452EH GH GE ==×°==，2CG =Q ，CG EH \=，90CGF EHF Ð=Ð=°Q ，CFG EFH Ð=Ð，()CFG EFH AAS \D @D ，1FG FH \==，CF EF =，在Rt CFG D 中，CF ===，2CE CF \==，sin CE AC CAE \===Ð6AG \===，90CGD AGC Ð=Ð=°Q ，90CAG ACG \Ð+Ð=°，90ACG DCG Ð+Ð=°Q ，CAG DCG \Ð=Ð，CAG DCG \D D ∽，\DG CG CG AG=，222263CG DG AG \===．10．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF 、BE 是ABC D 的中线，AF BE ^，垂足为P ．像ABC D 这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC a =，AC b =，AB c =．（1）如图1，当45ABE Ð=°，c =时，a =　b = ．（2）如图2，当30ABE Ð=°，4c =时，求a 和b 的值；（3）请你观察（1）和（2）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．【解答】解：（1）如图1，连接EF ，则EF 是ABC D 的中位线，12EF AB \==，45ABE Ð=°Q ，AE EF^ABP \D 是等腰直角三角形，//EF AB Q ，EFP \D 也是等腰直角三角形，2AP BP \==，1EP FP ==，AE BF \==，2a BC BF \===，2b AC AE ===故答案为：，；（2）如图2，连接EF ，则EF 是ABC D 的中位线．30ABE Ð=°Q ，AE BF ^，4AB =，2AP \=，BP ==，30FEP Ð=°，//EF AB Q ，122EF AB ==，112PF EF \==，PE ==AE \===BF ===，2BC a BF \===，2b AC AE ===（3）2225a b c +=，证明：如图3，连接EF ，设AP m =，BP n =，则2222c AB m n ==+，//EF AB Q ，12EF AB =，1122PE BP n \==，1122PF AP m ==，2222214AE AP PE m n \=+=+，2222214BF PF BP m n =+=+，22222a BC BF n m44===+\===+，2222244b AC AE m n22222\+=+=．5()5a b m n c11．在ABCÐ交边BC于点D，分别过D作//DE AC交BACD中，60Ð=°，AD平分BAC边AB于点E，//DF AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD=，点H，G分别在线段AE，AF上，且3==，连接EGEH AG交AD于点M，连接FH交EG于点N．()i求EN EG×的值；()ii将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM¢，求证：H，F，M¢三点在同一条直线上【解答】（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：Q，//DF AB，DE AC//\四边形AEDF是平行四边形，Q平分BACADÐ，\Ð=Ð，EAD FADQ，//DE AC\Ð=Ð，EDA FAD\Ð=Ð，EAD EDA\=，AE DE\四边形AEDF是菱形；（2）()i解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：Q，四边形AEDF是菱形，Ð=°60BAC30EAD \Ð=°，AD 、EF 相互垂直平分，AEF D 是等边三角形，60EAF AEF AFE \Ð=Ð=Ð=°，AD =Q，AQ \=，在RtDAQ EAQ AE=，即cos30°=4AE \===，4AE AF EF \===，在AEG D 和EFH D 中，60AE EF EAG FEH AG EH =ìïÐ=Ð=°íï=î，()AEG EFH SAS \D @D ，AEG EFH \Ð=Ð，60ENH EFH GEF AEG GEF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°，ENH EAG \Ð=Ð，AEG NEH Ð=ÐQ ，AEG NEH \D D ∽，\EH EN EG AE=，3412EN EG EH AE \×=×=´=；()ii 证明：如图3，连接FM ¢，//DE AC Q ，180120AED BAC \Ð=°-Ð=°，由（1）得：EDF D 是等边三角形，DE DF \=，60EDF FED EFD Ð=Ð=Ð=°，由旋转的性质得：60MDM ¢Ð=°，DM DM ¢=，EDM FDM ¢\Ð=Ð，在EDM D 和FDM ¢D 中，DM DM EDM FDM DE DF ¢=ìï¢Ð=Ðíï=î，()EDM FDM SAS ¢\D @D ，MED DFM ¢\Ð=Ð，由()i 知，AEG EFH Ð=Ð，120DFM EFH MED AEG AED ¢\Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，12060180HFM DFM HFE EFD ¢¢\Ð=Ð+Ð+Ð=°+°=°，H \，F ，M ¢三点在同一条直线上．12．综合与实践：操作发现：如图，已知ABC D 和ADE D 均为等腰三角形，AB AC =，AD AE =，将这两个三角形放置在一起，使点B ，D ，E 在同一直线上，连接CE ．（1）如图1，若55ABC ACB ADE AED Ð=Ð=Ð=Ð=°，求证：BAD CAE D @D ；（2）在（1）的条件下，求BEC Ð的度数；拓广探索：（3）如图2，若120CAB EAD Ð=Ð=°，4BD =，CF 为BCE D 中BE 边上的高，请直接写出EF的长度．【解答】（1）证明：如图1中，Q，ABC ACB ADE AEDÐ=Ð=Ð=Ð\Ð=Ð，EAD CAB\Ð=Ð，EAC DABQ，AC AB=AE AD=，\D@D．()BAD CAE SAS（2）解：如图1中，设AC交BE于O．Ð=Ð=°Q，ABC ACB55\Ð=°-°=°，BAC18011070Q，BAD CAED@D\Ð=Ð，ABO ECOQ，EOC AOBÐ=ÐCEO BAO\Ð=Ð=°，70即70Ð=°．BEC（3）解：设AC交BF于点O，如图2中，120CAB EAD Ð=Ð=°Q ，BAD CAE \Ð=Ð，AB AC =Q ，AD AE =，()BAD CAE SAS \D @D ，ABD ACE \Ð=Ð，4BD EC ==，AOB COE Ð=ÐQ ，120BEC BAC \Ð=Ð=°，60FEC \Ð=°，CF EF ^Q ，90F \Ð=°，30FCE \Ð=°，122EF EC \==．13．如图，在等腰直角ABC D 中，90ACB Ð=°．点P 在线段BC 上，延长BC 至点Q ，使得CQ CP =，连接AP ，AQ ．过点B 作BD AQ ^于点D ，交AP 于点E ，交AC 于点F ．K 是线段AD 上的一个动点（与点A ，D 不重合），过点K 作GN AP ^于点H ，交AB 于点G ，交AC 于点M ，交FD 的延长线于点N ．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM NF =；（3）若AM CP =，用等式表示线段AE ，GN 与BN 之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示；（2）CQ CP =Q ，90ACB Ð=°，AP AQ \=，APQ Q \Ð=Ð，BD AQ ^Q ，90QBD Q QBD BFC \Ð+Ð=Ð+Ð=°，Q BFC \Ð=Ð，MFN BFC Ð=ÐQ ，MFN Q \Ð=Ð，同理，NMF APQ Ð=Ð，MFN FMN \Ð=Ð，NM NF \=；（3）连接CE ，AC PQ ^Q ，PC CQ =，AP AQ \=，PAC QAC \Ð=Ð，BD AQ ^Q ，90DBQ Q \Ð+Ð=°，90Q CAQ Ð+Ð=°Q ，CAQ QBD\Ð=Ð，\Ð=Ð，PAC FBCÐ=Ð，Q，ACP BCF=AC BC\D@D，APC BFC AAS()\=，CP CFQ，=AM CP\=，AM CFÐ=Ð=°Q，CAB CBA45\Ð=Ð，EAB EBA\=，AE BEQ，=AC BC\直线CE垂直平分AB，45\Ð=Ð=°，ECB ECA\Ð=Ð=°，45GAM ECFQ，Ð=ÐAMG CFEAGM CEF ASA\D@D，()\=，GM EFQ，BN BE EF FN AE GM MN=++=++\=+．BN AE GNAB=，点D是直线BC上一点，在射线DA上取一点E，14．如图1，在等边ABCD中，2D，连接EC．=，以AE为边作等边AEF使AD AE（1）若点D是BC的中点，则EA EC= ；（2）如图2，连接BF，当点D由BC中点向点C运动时，请判断BF和EC的数量关系，并说明理由；（3）如图3，点D在BC延长线上，连接BF，BE，当//BE AC时，求BF的长．【解答】解：（1）ABCDQ是等边三角形，点D是BC的中点，2AC BC AB\===，AD BC^，112CD BD BC===，AD\===，AD AE=Q，EA\=DE AD AE\=+=，EC\===，；（2）BF EC=，理由如下：ABCDQ和AEFD是等边三角形，AB AC\=，60BAC EAFÐ=Ð=°，AF AE=，BAC CAF EAF CAF\Ð+Ð=Ð+Ð，即BAF CAEÐ=Ð，()BAF CAE SAS\D@D，BF EC\=；（3）过E作EM BC^于M，过A作AN BC^于N，如图3所示：则//EM AN，90EMBÐ=°，同（1）得：AN=Q，=AD AED的中位线，\是DEMAN\==2EM ANBE ACQ，//\Ð=Ð=°，EBM ACB60BEM\Ð=°，30==，BE BMBM\==，242CM BM BC\=+=+=，224EC\==，D@D，BAF CAE SAS同（2）得：()\==．BF EC15．在ABCÐ+Ð=°．CAE BAED中，AE CD^且AE CD=，290（1）如图1，若ACED为等边三角形，CD=，求AB的长；（2）如图2，作EG AB^，求证：AD=；（3）如图3，作EG AB^，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．【解答】解：（1）ACE D Q 为等边三角形，60CAE ACB CEA \Ð=Ð=Ð=°，290CAE BAE Ð+Ð=°Q ，15BAE \Ð=°，601545CBA CEA BAE \Ð=Ð-Ð=°-°=°，过点A 作AN BC ^于点N ，ABN \D 为等腰直角三角形，在等边ACE D 中，sin 603AN AE =°===g ，AB \==．（2）证明：过点C 作CM AB ^于点M ，设EAB a Ð=，290CAE BAE Ð+Ð=°Q ，902CAE a \Ð=°-，AE CD ^Q ，2ACD a \Ð=，90290CAB a a a \Ð=°-+=°-，ACM a \Ð=，CM \平分ACD Ð，12AM DM AD \==，AC CD AE ==，在ACM D 和EAG D 中，EGA AMC EAG ACM AE AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ACM EAG AAS \D @D ，EG AM \=，22AD AM EG \==，AC AE =Q ，902CAE a Ð=°-，45CEA a \Ð=°+，又CEA B EAG Ð=Ð+ÐQ ，45B \Ð=°，EG AB ^Q ，EBG \D为等腰直角三角形，BE AD \===．AD \=．（3）BF 与EC之间的数量关系为CE BF =．过点F 作FH AB ^于点H ，过点C 作CM AB ^于点M ，设BD a =，由（2）可知DE a =，2AD a =，AM DM a ==，//DE CM Q ，BD DM =，BE CE \==，DE a =Q ，2AD a =，90ADE Ð=°，AE \==，CD AE ^Q ，DE AB ^，90EFD ADE \Ð=Ð=°EDF DAE \Ð=Ð，DEF AED \D D ∽，\DE AE EF DE =，\a EF =EF \=，AF \==，\14EF AF =，\45AF AE =．//FH DE Q ，AFH AED \D D ∽，\45FH AH AF DE AD AE ===，48,55FH a AH a \==，82255DH a a a \=-=，2755BH a a a \=+=，BF \=．\CE BF 即BF 与EC ．16．在ABC D 中，AB BC =，点D 为AC 的中点，E 为BC 边上的一点，连接AE 交BD 于点F ．（1）如图1，90ABC Ð=°，过点B 作BH AE ^于点H ，交AC 于点G ，当5AC =，25DG CD =时，求线段BE 的长．（2）如图2，AB AE =，M 为线段BE 上的一点，连接MD 交AE 于K ，BM EK =，N 为MD 延长线上的一点，连接AN ，DAN BAE Ð=Ð．证明：AN EN ^．（3）如图3，60ABC Ð=°，6AB =，当E 在BC 边上移动时，在AC 上找点G 使得CG BE =，连接BG 交AE 于点H ．连接DH ，当DH 的长度最小时，直接写出此时BDH D 的面积．【解答】解：（1）过G 作GQBC ^交BC 于Q ，Q 点D 为AC 的中点，52AD CD \==，25DG CD =Q ，25152DG \=´=，53122GC =-=，AB BC =Q ，90ABC Ð=°，45BAC C \Ð=Ð=°，sin 45AB BC AC \==´°=GQ BC ^Q ，45C Ð=°，3sin 452GQ QC GC \==´°==，BQ BC QC \=-==又BH AE ^Q ，90ABC Ð=°，GQ BC ^，90ABE BQG \Ð=Ð=°，90BAE AEB \Ð+Ð=°，90HBE AEB Ð+Ð=°，AEB HBE \Ð=Ð，ABE BQG \DD ∽，\AB BE BQ QG=，即AB QG BE BQ ×===；（2）过点A 作//AO BC 交MD 延长线于O ，在AOD D 和CMD D 中，,,OAD C AD CDADO CDM Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()AOD CMD ASA \D @D ，AO CM \=，AB AE BC ==Q ，BM KE =，BC BM AE KE \-=-，即AK MC =，AK AO \=，AKO O \Ð=Ð，DAN BAE Ð=ÐQ ，BAC BAE EAC DAN EAC KAN DAO \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=Ð，KAN DAN EAC DAN NAO DAO \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，EAC NAO \Ð=Ð，在AKD D 和AON D 中，,,,AKD AON AK AO KAD OAN Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî()AKD AON ASA \D @D ，AD AN \=，在ADB D 和ANE D 中，,,,AB AE BAD EAN AD AN =ìïÐ=Ðíï=î()ADB ANE ASA \D @D ，ADB ANE \Ð=Ð，AB BC =Q ，AD CD =，BD AC \^，90ADB \Ð=°，90ANE ADB \Ð=Ð=°，即AN EN ^；（3）过A 、B 、H 三点作圆，连接OA 、OB 、OD ，OC 与BD 交点为L ，过C 作OM AB ^于M ，当点H 在OD 上时，HD 最短，ABC D Q 是等边三角形，AB 为弦，CM AB \^，3AM BM ==，点O 在射线CM 上，CM Q 与BD 交点为L ，点D 与点M 分别为AC 、AB 的中点，11603022MBL ABC \Ð=Ð=´°=°，tan 303ML MB \=×°==设O e 半径为r ，在Rt AOM D中，根据勾股定理，222(3r r \=-+，解得r =OM OL ML \=-==，sin 60CM BC =´°=QOC OM MC \=+==又222648+==Q ，90OAC OBC \Ð=Ð=°，在Rt OAD D 中，由勾股定理得OD ===，过H 作HW OA ^于W ，交BD 于V ，OA AD ^Q ，BD AD ^，HW OA ^，\四边形WADV 是矩形，3WV AD \==，sin AD HW OH AOH OD \=´Ð===3HV WV WH \=-=11(322BHD S BD HV D \=×=´=17．已知，如图1，Rt ABCD中，AB AC=，90BACÐ=°，D为ABCD外一点，且90ADCÐ=°，E为BC中点，//AF BC，连接EF交AD于点G，且EF ED^交AC于点H，1AF=．（1）若13AHCH=，求EF的长；（2）在（1）的条件下，求CD的值；（3）如图2，连接BD，BG，若BD AC=，求证：BG AD^．【解答】解：（1）如图1，连接AE，//AF BCQ，AHF CHE\D D∽，EC CH1AF \=，13AH CH =，\113EC =，3CE \=，在Rt ABC D 中，AB AC =，点E 是BC 的中点，12AE BC CE \==，AE BC ^，3CE \=，//AF BC Q ，AE AF \^，90EAF \Ð=°，根据勾股定理得，EF ==（2）由（1）知，EF =，3CE =，26BC CE \==，AC \=，45EAC CAD Ð=°-ÐQ ，904545ECD CAD CAD Ð=°-°-Ð=°-Ð，EAG ECD \Ð=Ð，AEG CED Ð=ÐQ ，AE CE =，()AEG CED ASA \D @D ，EG ED \=，45EDG ACE \Ð=°=Ð，APC EPD Ð=ÐQ ，PED CAP \Ð=Ð，FEA CAD \Ð=Ð，AEF DAC \D D ∽，\AF CD EF AC=，CD \=（3）如图2，在Rt ABC D 中，AB AC =，\AB BC =，BE AC =，连接AE ，Q BE BE BD BA ==BD AB BC BC ==，\BE BD BD BC=，EBD DBC Ð=ÐQ ，BED \D D ∽\DE BE CD BD ==，CD GD \==，CD AG =Q ，AG GD \=，BD AB =Q ，BG AD \^．18．Rt ABCD中，AB AC=，90BACÐ=°，D、E分别为AB、AC中点，连接DE与ABCD的角平分线BF交于点G，连接AG．（1）如图1，求证：AG BF^；（2）取BC中点H，连接GH、AH，AH与BF交于点P，如图2，①求证：GB GA-=；②求PHEF的值．【解答】（1）证明：AB AC=Q，90BACÐ=°，45ABC\Ð=°，BFQ平分ABCÐ，22.5ABG\Ð=°，DQ，E分别为AB，AC的中点，DE\为ABCD的中位线，//DE BC\，45ADG\Ð=°，22.5BGD\Ð=°，GD BD AD\==，90AGB\Ð=°，AG BF\^；（2）①证明：作HM GH^交BG于点M，H Q 为BC 的中点，90BAC Ð=°，AB AC =，90AHB \Ð=°，AH BH =，由（1）得90AGB Ð=°，HBM BPH GAH APG \Ð+Ð=Ð+Ð，BPH APG Ð=ÐQ ，22.5HBM GAH \Ð=Ð=°，90AHG AHM GHM Ð+Ð=Ð=°Q ，90BHM AHB Ð+Ð=°，AHG BHM \Ð=Ð，()AHG BHM ASA \D @D ，AG BM \=，GH MH =，GHM \D 是等腰直角三角形，GM \=，GB GA GB BM GM \-=-==，②解：如图，过点F 作FN BC ^于N ，H Q 为BC 的中点，90BAC Ð=°，AB AC =，AH BH \=，AH BC ^，ABH \D 为等腰直角三角形，AB \=，2BC BH =，DE Q 为ABC D 的中位线，12DE BC BH \==，ADE D 为等腰直角三角形，AE \==，BF Q 为ABC Ð的角平分线，FN BC ^，90BAC Ð=°，FN AF \=，ABF HBP Ð=Ð，AH BC ^Q ，90BAF BHP \Ð=Ð=°，ABF HBP \D D ∽，\PH BH AF AB ==即PH =，2111222ABCS AFAB BC FN AB D =×+×=Q ，\222AF BH AF BH ×+×=，(2AF BH \=，EF \，PH EF ．19．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容．如图，在ABC D 中，D 是边AB 的四等分点，//DE AC ，//DF BC ，8AC =，12BC =．求四边形DECF 的周长．【问题解决】请结合图1给出解题过程．【问题探究】（1）如图2，在ABC D 中，D 是边BC 上的一点，过点D 作//DF AB ，交AC 于点F ，过点D 作//DE AC ，交AB 于点E ，延长CA 至H ，使AH AF =，连接DH 交AB 于G ．若32CF AF =，AHG D 的面积为2，则EDB D 的面积为 83　．（2）如图3，在ABCD中，D是边BC上的一点，且43BDDC=，连接AD，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，若F为AD的中点，AEFD的面积为m，则FDBD的面积为 ．（用含m的代数式表示）【解答】解：【问题解决】DQ是AB的四等分点，\14ADAB=，34BDAB=，//DF BCQ．//DE AC，\AD DFAB BC=，BD DEAB AC=，\1412DF=，348DE=，3DF\=，6DE=，//DF BCQ，//DE AC，\四边形DECF是平行四边形，3DF EC\==，6DE FC==，\四边形DECF的周长为18；（1）连接AD，。

专题09三角形(第01期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(山东专版)(解析版)

专题09三角形(第01期)-2021年中考数学试题分项版解析汇编(山东专版)(解析版)

一、选择题1.（山东滨州第7题，3分）在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则∠C等于( )【答案】C考点：三角形的内角和2．(山东德州第11题，3分)如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE+DF=AF+DE．其中正确的是（）A．②③ B．②④C．①③④ D．②③④【答案】D．考点：1．角平分线的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．正方形的判定．3．（山东东营第9题，3分）如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点F 在BC 边上，连接DE ，DF ，EF ．则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△FCE 与△EDF 全等（ ）．A ．∠A =∠DFEB ．BF =CFC ．DF ∥ACD ．∠C =∠EDF【答案】 A 考点：三角形全等的判定.4.（山东青岛第4题，3分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为E ，DE=1，则BC=（ ）．A ．3B ． 2C ．3D ．23【答案】C考点：角平分线的性质和中垂线的性质.（第9题图）E DB A二、填空题1．（山东临沂第18题，3分）如图，在△ABC 中，BD ，CE 分别是边AC ，AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，则OB OD=_________.（第18题图）【答案】2考点：三角形的中位线，相似三角形的性质与判定2．（山东东营第14题，3分）4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A 处的俯角为30︒，B 处的俯角为45︒．如果此时直升机镜头C 处的高度CD 为200米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是 米．【答案】200(3+1)OBC D EA考点：解直角三角形的应用.三、解答题1. （山东滨州第23题，10分）（本小题满分10分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE 都是等边三角形.其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F.求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AG AF GC FE.【答案】GAFDC E()第23题图考点：三角形全等，三角形相似的判定与性质2.（山东临沂第25题，11分）（本小题满分11分）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.（1）请判断：AF与BE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；【答案】（1）AF=BE，AF⊥BE（2）结论成立（3）结论都能成立考点：正方形，等边三角形，三角形全等3．（山东东营第24题，10分）(本题满分10分)如图，两个全等的△ABC 和△DEF 重叠在一起，固定△ABC ，将△DEF 进行如下变换：（1）如图1，△DEF 沿直线CB 向右平移（即点F 在线段CB 上移动），连接AF 、AD 、BD ，请直接写出ABC S ∆与AFBD S 四边形的关系；（3）在（2）的条件下，将△DEF 沿DF 折叠，点E 落在FA 的延长线上的点G 处，连接CG ，请你在图3的位置画出图形，并求出sin CGF ∠的值．【答案】(1) (1) S △ABC =S 四边形AFBD ；(2)△ABC 为等腰直角三角形，即：AB=AC ，∠BAC=90°,证明见解析；(3)图形见解析；sin ∠CGF=55. C B F （第24题图1） （第24题图2） （第24题图3） C B F考点：三角形综合题.4．（山东菏泽第16题）（1）如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N两点之间的直线距离．（2）列方程（组）或不等式（组）解应用题：2015年的5月20日是第15个中国学生营养日，我市某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况．他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息（如表）．若这份快餐中所含的蛋白质与碳水化合物的质量之和不高于这份快餐总质量的70%，求这份快餐最多含有多少克的蛋白质？【答案】（1）1.5千米；（2）56．考点：1．相似三角形的应用；2．一元一次不等式的应用．5．（山东菏泽第20题）如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．【答案】（1）△CDF是等腰三角形；（2）∠APD=45°．考点：全等三角形的判定与性质．6.（山东莱芜第20题，9分）（本题满分9分）2009年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气球到达离地面高度为36米的A处时，仪器显示正前方一高楼顶部B的仰角是37°，底部C的俯角是60°.为了安全飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到0.1米）【答案】15.6米考点：仰角俯角的定义，解直角三角形7．（山东临沂第22题，7分）小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，小强家与这栋楼的水平距离为42m，这栋楼有多高？【答案】563m考点：解直角三角形8．（山东德州第16题,4分）如图，某建筑物BC 上有一旗杆AB ，从与BC 相距38m 的D 处观测旗杆顶部A 的仰角为50°，观测旗杆底部B 的仰角为45°，则旗杆的高度均为 m ．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19）C A Dαβ （第22题图）【答案】7.2．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．9.（山东青岛第19题，6分）（本小题满分6分）【答案】233m【解析】考点：三角函数的应用.。

山东省潍坊市中考数学复习专题之相似三角形综合题

山东省潍坊市中考数学复习专题之相似三角形综合题

山东省潍坊市中考数学复习专题之相似三角形综合题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、浙教版2019中考数学复习专题之相似三角形综合题解答题 (共40题；共114分)1. （3分） (2019七下·胶州期末) 图①，图②都是由一个正方形和一个等腰直角三角形组成的图形.（1）用实线把图①分割成六个全等图形；（2）用实线把图②分割成四个全等图形.2. （3分） (2017九上·下城期中) 如图，在中，，．（1）把绕点按顺时针方向旋转，得，交于点．①若，旋转角为，求的长．②若点经过的路径与，所围图形的面积与面积的比值是，求的度数．（2）点在边上，，把绕着点逆时针旋转度后，如果点恰好落在初始的边上，求的值．3. （3分）(2020·绥化) 如图，内接于，是直径，，与相交于点E ，过点E作，垂足为F ，过点O作，垂足为H ，连接、．（1）求证：直线与相切；（2）若，求的值．4. （3分）(2018·滨湖模拟) 如图（1），在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是射线CD上的一个动点，把△BCE 沿BE折叠，点C的对应点为F，（1）若点F刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求线段CE的长；（2）若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求线段CE的长；（3）当射线AF交线段CD于点G时，请直接写出CG的最大值5. （2分）(2011·南宁) 如图，已知CD是⊙O的直径，AC⊥CD，垂足为C，弦DE∥OA，直线AE、CD相交于点B．（1）求证：直线AB是⊙O的切线．（2）当AC=1，BE=2，求tan∠OAC的值．6. （2分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O 上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，使得AB=AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若PC=2 ，OA=5，求⊙O的半径和线段PB的长．7. （3分） (2015八下·扬州期中) 如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN 的中点．（1）求证：△MBA≌△NDC；（2）求证：四边形MPNQ是菱形．8. （3分）(2017·广东模拟) 如图，AB、CD为⊙O的直径，弦A E∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）求证：ED平分∠BEP；（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．9. （3分）(2018·阜宁模拟) 如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中C （0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；（3）证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值．10. （3分）(2016·深圳模拟) 如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC上任取一点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB于点F．（1）若点F与B重合，求CE的长；（2）若点F在线段AB上，且AF=CE，求CE的长．11. （3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3） P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）.12. （2分）(2014·贺州) 如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G．且AB∥CD．BO=6cm，CO=8cm．（1）求证：BO⊥CO；（2）求BE和CG的长．13. （3分） (2018九上·长春开学考) 如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ADE=∠B。

山东省17市中考数学试题分类解析汇编 专题9 三角形

山东省17市中考数学试题分类解析汇编 专题9 三角形

山东省17市中考数学试题分类解析汇编 专题9 三角形一、选择题1. （日照4分）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ＝b a．则下列关系式中不成立的是A 、tanA·cotA＝1B 、sinA ＝tanA·cosAC 、cosA ＝cotA·sinAD 、tan 2A ＋cot 2A ＝1【答案】D 。

【考点】三角函数的定义，代数式变换。

【分析】根据三角函数的定义和已知cotA ＝b a ，逐一计算进行判断；A 、tanA·cotA＝a bb a⋅＝1，关系式成立；B 、∵左边＝sinA ＝a c ，右边＝tanA·cosA＝a b b c ⋅＝ac，∴左边＝右边，关系式成立；C 、∵左边＝cosA ＝b c ，右边＝cotA·sinA＝b a a c⋅＝b c ，∴左边＝右边，关系式成立； D 、tan 2A ＋cot 2A ＝22a b b a ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≠1，关系式不成立。

故选D 。

2.（滨州3分）在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝72°，AB ＝10，则边AC 的长约为（精确到0.1）A 、9.1B 、9.5C 、3.1D 、3.5【答案】C 。

【考点】解直角三角形。

【分析】在Rt△ABC 中，根据三角函数的定义有cosA ＝ACAB，∴ AC＝AB•cosA＝10·cos72°≈3.1。

故选C 。

3.（烟台4分）如果△ABC 中，sinA=cosB=2，则下列最确切的结论是 A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形 【答案】C【考点】特殊角的三角函数值，三角形分类。

【分析】∵sinA=cosB=2，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC 是等腰直角三角形。

2019年、2020年山东省中考试题分类数学(9)——三角形

2019年、2020年山东省中考试题分类数学(9)——三角形

2019年、2020年山东省数学中考试题分类（9）——三角形一．欧拉公式（共1小题）1．（2020•枣庄）欧拉（Euler，1707年～1783年）为世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数V（Vertex）、棱数E（Edge）、面数F（Flatsurface）之间存在一定的数量关系，给出了著名的欧拉公式．（1）观察下列多面体，并把下表补充完整：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V468棱数E612面数F458（2）分析表中的数据，你能发现V、E、F之间有什么关系吗？请写出关系式：．二．方向角（共1小题）2．（2019•淄博）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，则∠ABC等于（）A．130°B．120°C．110°D．100°三．对顶角、邻补角（共1小题）3．（2020•东营）如图，直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠BOD，若∠AOC＝42°，则∠AOM等于（）A．159°B．161°C．169°D．138°四．平行线的判定（共1小题）4．（2019•东营）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA ∥EF，则∠AOF等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°五．平行线的性质（共7小题）5．（2020•滨州）如图，AB∥CD，点P为CD上一点，PF是∠EPC的平分线，若∠1＝55°，则∠EPD的大小为（）A．60°B．70°C．80°D．100°6．（2020•泰安）将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1＝50°，则∠2等于（）A．80°B．100°C．110°D．120°7．（2020•枣庄）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，则∠DBC的度数为（）A．10°B．15°C．18°D．30°8．（2019•济南）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝70°，则∠CBE的度数为（）A．20°B．35°C．55°D．70°9．（2019•莱芜区）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝65°，则∠2的度数是（）A．122.5°B．123°C．123.5°D．124°10．（2019•日照）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°11．（2020•聊城）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120°B．130°C．145°D．150°六．三角形的重心（共2小题）12．（2020•淄博）如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是（）A．a2+b2＝5c2B．a2+b2＝4c2C．a2+b2＝3c2D．a2+b2＝2c2 13．（2020•烟台）如图，点G为△ABC的重心，连接CG，AG并延长分别交AB，BC于点E，F，连接EF，若AB＝4.4，AC＝3.4，BC＝3.6，则EF的长度为（）A．1.7B．1.8C．2.2D．2.4七．三角形内角和定理（共2小题）14．（2020•淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA 等于（）A．30°B．35°C．40°D．45°15．（2019•青岛）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝35°，∠C＝50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°八．三角形的外角性质（共1小题）16．（2019•枣庄）将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）A．45°B．60°C．75°D．85°九．全等三角形的性质（共1小题）17．（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（）A．AC＝DE B．∠BAD＝∠CAE C．AB＝AE D．∠ABC＝∠AED 一十．全等三角形的判定与性质（共4小题）18．（2019•临沂）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，若AB＝4，CF＝3，则BD的长是（）A．0.5B．1C．1.5D．2 19．（2019•滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB ＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1 20．（2019•临沂）如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝4，D为AB的中点，DC⊥BC，则△ABC的面积是．21．（2019•莱芜区）如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．（1）求证：BE＝BF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．一十一．线段垂直平分线的性质（共1小题）22．（2020•枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8B．11C．16D．17一十二．等腰三角形的性质（共1小题）23．（2020•临沂）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，CD∥AB，则∠BCD＝（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°一十三．含30度角的直角三角形（共1小题）24．（2019•聊城）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，DE 为△ABC 的中位线，延长BC 至F ，使CF =12BC ，连接FE 并延长交AB 于点M ．若BC ＝a ，则△FMB 的周长为 ．一十四．勾股定理（共2小题）25．（2020•烟台）如图，△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（ ）A ．（√2）nB ．（√2）n ﹣1C ．（√22）nD ．（√22）n ﹣126．（2019•东营）已知等腰三角形的底角是30°，腰长为2√3，则它的周长是 ． 一十五．勾股定理的逆定理（共1小题）27．（2019•滨州）满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为（ ） A ．AB =√41，BC ＝4，AC ＝5B ．AB ：BC ：AC ＝3：4：5C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．|cos A −12|+（tan B −√33）2＝0一十六．等腰直角三角形（共3小题）28．（2020•威海）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知AB ＝40cm ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25cm 2B ．1003cm 2 C ．50cm 2 D ．75cm 229．（2019•威海）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，连接AC ，BD ．若∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝BD ，则∠ADC ＝ °．30．（2019•威海）把一块含有45°角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若∠1＝23°，则∠2＝ °．一十七．三角形综合题（共1小题）31．（2019•枣庄）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN=√2AM．2019年、2020年山东省数学中考试题分类（9）——三角形参考答案与试题解析一．欧拉公式（共1小题）1．【解答】解：（1）填表如下：名称三棱锥三棱柱正方体正八面体图形顶点数V4686棱数E691212面数F4568（2）∵4+4﹣6＝2，6+5﹣9＝2，8+6﹣12＝2，6+8﹣12＝2，…，∴V+F﹣E＝2．即V、E、F之间的关系式为：V+F﹣E＝2．故答案为：6，9，12，6，V+F﹣E＝2．二．方向角（共1小题）2．【解答】解：如图：∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，∴∠DAB＝40°，∠EBC＝70°，∵南北方向线是平行的，即AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝40°，∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+70°＝110°，故选：C．三．对顶角、邻补角（共1小题）3．【解答】解：∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∴∠AOC＝∠BOD＝42°，∴∠AOD＝180°﹣42°＝138°，∵射线OM平分∠BOD，∴∠BOM＝∠DOM＝21°，∴∠AOM＝138°+21°＝159°．故选：A．四．平行线的判定（共1小题）4．【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，∴∠FCA＝∠A＝30°．∵∠F＝∠E＝45°，∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．故选：A．五．平行线的性质（共7小题）5．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠CPF＝55°，∵PF是∠EPC的平分线，∴∠CPE＝2∠CPF＝110°，∴∠EPD＝180°﹣110°＝70°，故选：B．6．【解答】解：如图所示，∵AB∥CD∴∠ABE＝∠1＝50°，又∵∠2是△ABE的外角，∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°，故选：C．7．【解答】解：由题意可得：∠EDF＝45°，∠ABC＝30°，∵AB∥CF，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，∴∠DBC＝45°﹣30°＝15°．故选：B．8．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠1＝∠ABC＝70°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC＝35°，故选：B．9．【解答】解：∵∠1＝65°，∴∠BEF＝180°﹣65°＝115°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=12∠BEF＝57.5°，∵AB∥CD，∴∠2+∠BEG＝180°，∴∠2＝180°﹣57.5°＝122.5°，故选：A．10．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1＝35°，∴∠3＝35°．∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝55°．故选：C．11．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝65°，∴∠B＝∠C＝65°，∵DF∥AB，∴∠CDE＝∠B＝65°，∴∠FEC＝∠CDE+∠C＝65°+65°＝130°；故选：B．六．三角形的重心（共2小题）12．【解答】解：设EF＝x，DF＝y，∵AD，BE分别是BC，AC边上的中线，∴点F为△ABC的重心，AE=12AC=12b，BD=12a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，x2+4y2=14b2，②在Rt△BFD中，4x2+y2=14a2，③②+③得5x2+5y2=14（a2+b2），∴4x2+4y2=15（a2+b2），④①﹣④得c2−15（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故选：A．13．【解答】解：∵点G为△ABC的重心，∴AE＝BE，BF＝CF，∴EF=12AC=1.7，故选：A．七．三角形内角和定理（共2小题）14．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故选：C．15．【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，∴∠ABD＝∠EBD=12∠ABC=35°2，∠AFB＝∠EFB＝90°，∴∠BAF＝∠BEF＝90°﹣17.5°，∴AB＝BE，∴AF＝EF，∴AD＝ED，∴∠DAF＝∠DEF，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝95°，∴∠BED＝∠BAD＝95°，∴∠CDE＝95°﹣50°＝45°，故选：C．八．三角形的外角性质（共1小题）16．【解答】解：如图，∵∠ACD ＝90°、∠F ＝45°，∴∠CGF ＝∠DGB ＝45°，则∠α＝∠D +∠DGB ＝30°+45°＝75°，故选：C ．九．全等三角形的性质（共1小题）17．【解答】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴AC ＝AE ，AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ．故A ，C ，D 选项错误，B 选项正确， 故选：B ．一十．全等三角形的判定与性质（共4小题）18．【解答】解：∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠F ，在△ADE 和△CFE 中{∠A =∠FCE∠ADE =∠F DE =FE，∴△ADE ≌△CFE （AAS ），∴AD ＝CF ＝3，∵AB ＝4，∴DB ＝AB ﹣AD ＝4﹣3＝1．故选：B ．19．【解答】解：∵∠AOB ＝∠COD ＝40°，∴∠AOB +∠AOD ＝∠COD +∠AOD ，即∠AOC ＝∠BOD ，在△AOC 和△BOD 中，{OA =OB ∠AOC =∠BOD OC =OD，∴△AOC ≌△BOD （SAS ），∴∠OCA ＝∠ODB ，AC ＝BD ，①正确；∴∠OAC ＝∠OBD ， 由三角形的外角性质得：∠AMB +∠OAC ＝∠AOB +∠OBD ， ∴∠AMB ＝∠AOB ＝40°，②正确；作OG ⊥MC 于G ，OH ⊥MB 于H ，如图2所示：则∠OGC ＝∠OHD ＝90°，在△OCG 和△ODH 中，{∠OCA =∠ODB∠OGC =∠OHD OC =OD，∴△OCG ≌△ODH （AAS ），∴OG ＝OH ，∴MO 平分∠BMC ，④正确；∵∠AOB ＝∠COD ，∴当∠DOM ＝∠AOM 时，OM 才平分∠BOC ，假设∠DOM ＝∠AOM∵△AOC ≌△BOD ，∴∠COM ＝∠BOM ，∵MO 平分∠BMC ，∴∠CMO ＝∠BMO ， 在△COM 和△BOM 中，{∠COM =∠BOMOM =OM ∠CMO =∠BMO，∴△COM ≌△BOM （ASA ），∴OB ＝OC ，∵OA ＝OB∴OA ＝OC与OA ＞OC 矛盾，∴③错误；正确的个数有3个；故选：B．20．【解答】解：∵DC⊥BC，∴∠BCD＝90°，∵∠ACB＝120°，∴∠ACD＝30°，延长CD到H使DH＝CD，∵D为AB的中点，∴AD＝BD，在△ADH与△BCD中，{CD=DH∠ADH=∠BDC AD=BD，∴△ADH≌△BCD（SAS），∴AH＝BC＝4，∠H＝∠BCD＝90°，∵∠ACH＝30°，∴CH=√3AH＝4√3，∴△ABC的面积＝S△ACH=12×4×4√3=8√3，故答案为：8√3．21．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°∵CD⊥AB，AC＝BC∴BD＝AD，∠BCD＝30°，∵AF⊥AC∴∠F AC＝90°∴∠F AB＝∠F AC﹣∠BAC＝30°∴∠F AB＝∠ECB，且AB＝BC，AF＝CE∴△ABF≌△CBE（SAS）∴BF＝BE（2）AF＝2GD，AF∥DG理由如下：连接EF，∵△ABF≌△CBE∴∠ABF＝∠CBE，∵∠ABE+∠EBC＝60°∴∠ABE+∠ABF＝60°，且BE＝BF∴△BEF是等边三角形，且GE⊥BF∴BG＝FG，且BD＝AD∴AF＝2GD，AF∥DG一十一．线段垂直平分线的性质（共1小题）22．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△ACE的周长＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC＝5+6＝11．故选：B．一十二．等腰三角形的性质（共1小题）23．【解答】解：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°， ∴∠ACB ＝70°，∵CD ∥AB ，∴∠ACD ＝180°﹣∠A ＝140°，∴∠BCD ＝∠ACD ﹣∠ACB ＝70°．故选：D ．一十三．含30度角的直角三角形（共1小题）24．【解答】解：在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，∴∠A ＝30°，∴AB ＝2a ，AC =√3a ．∵DE 是中位线，∴CE =√32a ．在Rt △FEC 中，利用勾股定理求出FE ＝a ，∴∠FEC ＝30°．∴∠A ＝∠AEM ＝30°，∴EM ＝AM ．△FMB 周长＝BF +FE +EM +BM ＝BF +FE +AM +MB ＝BF +FE +AB =92a ． 故答案为92a ． 一十四．勾股定理（共2小题）25．【解答】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1， ∴OA 2=√2；∵△OA 2A 3为等腰直角三角形，∴OA 3＝2=(√2)2；∵△OA 3A 4为等腰直角三角形，∴OA 4＝2√2=(√2)3．∵△OA 4A 5为等腰直角三角形，∴OA 5＝4=(√2)4，……∴OA n的长度为（√2）n﹣1．故选：B．26．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝DC，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD=12AB=√3，由勾股定理得，BD=√AB2−AD2=3，∴BC＝2BD＝6，∴△ABC的周长为：6+2√3+2√3=6+4√3，故答案为：6+4√3．一十五．勾股定理的逆定理（共1小题）27．【解答】解：A、∵52+42=25+16=41=(√41)2，∴△ABC是直角三角形，错误；B、∵（3x）2+（4x）2＝9x2+16x2＝25x2＝（5x）2，∴△ABC是直角三角形，错误；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C=53+4+5×180°=75°≠90°，∴△ABC不是直角三角形，正确；D、∵|cos A−12|+（tan B−√33）2＝0，∴cosA=12，tanB=√33，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，错误；故选：C．一十六．等腰直角三角形（共3小题）28．【解答】解：如图：设OF＝EF＝FG＝x（cm），∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2√2x，由题意EH＝20cm，∴20＝2√2x，∴x＝5√2，∴阴影部分的面积＝（5√2）2＝50（cm2）故选：C．29．【解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，如图所示：则DE＝CF，∵CF⊥AB，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AF＝BF，∴CF=12AB＝AF＝BF，∵AB＝BD，∴DE＝CF=12AB=12BD，∠BAD＝∠BDA，∴∠ABD＝30°，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAD＝180°，∴∠ADC＝105°；故答案为：105°．30．【解答】解：∵△ABC 是含有45°角的直角三角板， ∴∠A ＝∠C ＝45°，∵∠1＝23°，∴∠AGB ＝∠C +∠1＝68°，∵EF ∥BD ，∴∠2＝∠AGB ＝68°；故答案为：68．一十七．三角形综合题（共1小题）31．【解答】（1）解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD ＝BD ＝DC ，∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∠BAD ＝∠CAD ＝45°， ∵AB ＝2，∴AD ＝BD ＝DC =√2，∵∠AMN ＝30°，∴∠BMD ＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠MBD ＝30°，∴BM ＝2DM ，由勾股定理得，BM 2﹣DM 2＝BD 2，即（2DM ）2﹣DM 2＝（√2）2， 解得，DM =√63，∴AM ＝AD ﹣DM =√2−√63；（2）证明：∵AD ⊥BC ，∠EDF ＝90°，∴∠BDE ＝∠ADF ，在△BDE 和△ADF 中，{∠B =∠DAFDB =DA ∠BDE =∠ADF，∴△BDE ≌△ADF （ASA ）∴BE ＝AF ；（3）证明：过点M 作ME ∥BC 交AB 的延长线于E ， ∴∠AME ＝90°，则AE =√2AM ，∠E ＝45°，∴ME ＝MA ，∵∠AME ＝90°，∠BMN ＝90°，∴∠BME ＝∠AMN ，在△BME 和△NMA 中，{∠E =∠MANME =MA ∠BME =∠AMN，∴△BME ≌△NMA （ASA ），∴BE ＝AN ，∴AB +AN ＝AB +BE ＝AE =√2AM ．。

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有关三角形的综合证明题1．（（2018年滨州）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．2．（2017年东营）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC 边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．3.（2021年东营）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．4．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．5.（2018•菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．6．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．（1）直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．7.（2017年莱芜）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由8.（2018年莱芜）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1．（1）求证：BD′＝CE'；（2）如图2，当α＝60°时，设AB与D′E′交于点F，求的值．9、（2019年莱芜）如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．（1）求证：BE＝BF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．10.（2017年聊城）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，求证：AC∥DF．11.（2017临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD 的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．12．（2020•泰安）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．13．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD ⊥DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．14．（2021•威海）（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：BG＝EG．（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．15．（2022•威海）回顾：用数学的思维思考（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．（从①②两题中选择一题加以证明）猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．探究：用数学的语言表达（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．16.（2022烟台）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且AB BC＝AD DE ＝34．连接BD，CE．①求BDCE的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．17. （2020烟台）（12分）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．18.（2019烟台）【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E 在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为；【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．19．（2017烟台）【操作发现】（1）如图1，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：①求∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．20．（2019枣庄）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN ＝AM．21．（2020枣庄）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；（3）若CD＝2，CF＝，求DN的长．22．（2022枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？23.（2018淄博）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．24、（2019淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．25．（2018淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．。

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