二次函数图像及图像变换
二次函数图像及图像变换专题
1、抛物线y=3x 2
+6的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等
于 。 2、抛物线3-1x 2-y 2
）（
+=的开口________，对称轴是_________，顶点坐标是_______，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x =____时，函数有最_____值为________。
3、二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x 2向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是 .
4、将二次函数y=2x 2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其对称轴是 ，
顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大；
5、抛物线9x 7y 2－= 与抛物线2x 7y =的__________相同，__________不同；抛物线9x 7y 2－=可由抛物线2x 7y =向_______平移______个单位得到。
6、抛物线42x 31y 2++=）（可以通过将抛物线2x 31y =
向 平移 个单位、再向 平移 个单位得到。
7、把抛物线y ＝122
12-+x x 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位的抛物线的解析式为52
12--=x x y 。 8、（1）将函数42x 3
1y 2
++=）（的图象沿y 轴翻折后得到的函数解析式是 ； （2）将函数42x 3
1y 2++=）（的图象沿x 轴翻折后得到的函数解析式是 。 9、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______。
10、若二次函数y ＝ax 2
＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝______。
11、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）
12、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）
13、函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）
14、在同一坐标系中，直线 y=ax+b(a ≠0) 与抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象可能是 （ ）
A B C D
15、函数y=(x-1)2+k 与y=x
k -(k ≠0)在同一坐标系中的大致图象是 （ ）
A B C D
16、二次函数c bx ax y 2++=的图象如图所示，则一次函数ac 4-b bx y 2+=与反比例函数x
c b a y ++=
在同一坐标系内的图象大致为（ ）
17、二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像如图，则点M （b ，a c ）在第_______象限。
18、如图，给出八个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0； ④a+b+c=0；⑤abc ＜0；⑥2a+b ＞0；⑦a+c=1；⑧a ＞1．其
中正确的结论的序号是 。
19、已知抛物线y=ax 2+bx+c(a<0)经过点(-1，0)且满足4a+2b+c>0以下结论：①a+b>0，②a+c>0，③-a+b+c>0，④
b 2-2ac>5a 2其中正确的个数有 个
20、已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有 ( )
A.042>-ac b
B.042=-ac b
C.042<-ac b
D.042
≥-ac b
21、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24，c b a N +-=，b a P 24+=， 则（ ）
A ．0,0,0>>>P N M B. 0,0,0><>P N M
C. 0,0,0>>
D. 0,0,0＜＜P N M <
22、已知二次函数c bx ax y ++=2
的图象与x 轴交于点（-2,0）、（1x ，0），且1＜1x ＜2，与y 轴的正半轴的
交点在（2,0）的下方．下列结论：①4a-2b+c=0；②a
23、已知函数()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则下列判断不正确的是（ ） A 、abc ＞0 B 、b 2
– 4ac ＞0 C 、2a +b ＞0 D 、4a – 2b + c ＜0
24、下列式子正确的有________________（填序号）
① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>+-c b a ；④ 023<+c b ；⑤ )(b am m b a +>-，（1m ≠-的实数）
25、如图，二次函数
c bx ax y ++=2的图象开口向上，图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴． 给出四个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0；④0=++c b a ；⑤0
⑦1=+c a ；⑧1>a 其中正确的结论的序号是
26、已知二次函数
)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论： ① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数） 其中正确的结论有 （ ）A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
27、二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，判定下列各式的大小：
a___0；b___0；c____0；abc___0；2a+b___0；a+b+c___0；
a-b+c___0；b 2-4ac___0 ；4a+2b+c____0。
28、点（1，4）在抛物线y=a(x+3)2上，则点 也必在抛物线y=a(x+3) 2上。
29、若对任何实数x ，二次函数y=(m 一1)x 2的值总是非正数，则m 的取值范围是
30、已知二次函数2(1)y m x =+的图有最低点，则m 的取值范围 31、已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2
＋k －2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
二次函数图像及图像变换
二次函数图像及图像变换专题 1、抛物线y=3x 2 +6的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等 于 。 2、抛物线3-1x 2-y 2 ）（ +=的开口________，对称轴是_________，顶点坐标是_______，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ，当x =____时，函数有最_____值为________。 3、二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x 2向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y 有最 值，是 . 4、将二次函数y=2x 2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像，其对称轴是 ， 顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大； 5、抛物线9x 7y 2－= 与抛物线2x 7y =的__________相同，__________不同；抛物线9x 7y 2－=可由抛物线2x 7y =向_______平移______个单位得到。 6、抛物线42x 31y 2++=）（可以通过将抛物线2x 31y = 向 平移 个单位、再向 平移 个单位得到。 7、把抛物线y ＝122 12-+x x 先向 平移 个单位，再向 平移 个单位的抛物线的解析式为52 12--=x x y 。 8、（1）将函数42x 3 1y 2 ++=）（的图象沿y 轴翻折后得到的函数解析式是 ； （2）将函数42x 3 1y 2++=）（的图象沿x 轴翻折后得到的函数解析式是 。 9、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______。 10、若二次函数y ＝ax 2 ＋4x ＋a 的最大值是3，则a ＝______。 11、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ） 12、二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）
二次函数图象的变换
二次函数图象的变换 这里研究二次函数图象的平移变换、对称变换和翻折变换. 二次函数图象的平移变换 二次函数的图象作平移变换时,其开口方向和开口大小不会发生改变,故平移前后a 的值不变;改变的是顶点坐标和对称轴. 一般地,二次函数k ax y +=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向上平移k 个单位长度得到的;二次函数k ax y -=2（0>k ）的图象是由二次函数2ax y =的图象沿y 轴正方向向下平移k 个单位长度得到的. 抛物线k ax y +=2的对称轴是y 轴,顶点坐标是()k ,0.如例图（1）所示. 一般地,二次函数()2 h x a y -=的图象是由二次函数2ax y =的图象沿x 轴向 左（0 图所示. 二次函数图象的对称变换 如果两个二次函数的图象关于x 轴对称,那么它们的开口方向相反,开口大小相同,对称轴相同,顶点坐标关于x 轴对称,与y 轴的交点关于x 轴对称.故两个二次函数的解析式a 的值互为相反数. ①若二次函数的解析式为顶点式()k h x a y +-=2 ,则与其图象关于x 轴对称的 二次函数的解析式为()k h x a y ---=2 ; ②若二次函数的解析式为一般式c bx ax y ++=2,则与其图象关于x 轴对称的二次函数的解析式为c bx ax y ---=2. 高中知识点 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于x 轴对称. 如例图（3）所示. x y y = x 2 ()2 1 y = x 2 ()2 + 1 图 （3） O –1–2 1 2 3 4 –1 –2–3–4 1 234 如果两个二次函数的图象关于y 轴对称,那么它们的开口方向相同,开口大 二次函数图像的变换 第一环节 【知识储备】 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 ()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出 二次函数2y ax =的图像，将抛物线2y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图 所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则， 二次函数的图像和参数的变化二次函数是代数学中的一个重要概念，也是数学中常见的函数 类型之一。在二次函数的研究中，了解它的图像和参数的变化十 分关键。本文将从图像和参数两个方面，详细探讨二次函数的变 化规律。 一、二次函数的图像变化 由于二次函数具有一条抛物线的特点，所以它的图像形状较为 固定，但其位置和方向却可以通过参数的改变而产生相应的变化。我们首先来研究二次函数在参数a不同时的图像变化。 1. 当a>0时，二次函数的抛物线开口向上。随着a的增大，抛 物线的开口越来越宽，同时顶点也向上移动。当a=1时，抛物线 的开口最为标准，即为x^2函数的图像。当a>1时，抛物线的开 口更加宽广；当0 为-x^2函数的图像。当a<-1时，抛物线的开口更加宽广；当- 1 千 变 万 化 ——二次函数图象的变换 【知识要点】 1．二次函数的表达式： ①一般式：2 y ax bx c =++ (a ≠0) ②顶点式：()0)(2≠+-=a k h x a y ，顶点坐标：（h,k ）,对称轴：x=h ③一般式向顶点式的转化： 2224()24b ac b y ax bx c y a x a a -=++⇔=++. ∴顶点坐标24(,)24b ac b a a -- 2．二次函数图象的平移规律 ① 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是通过2(0)y ax a =≠平移得到的 2y ax =的图象 顶点（0，0） ② h>0，k>0,平移2y ax =的图象。 Ⅰ.沿 x 轴向左平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =+ Ⅱ.沿x 轴向右平移h 个单位，2y ax =→2()y a x h =- Ⅲ.沿y 轴向上平移k 个单位，2y ax =→2y ax k =+ Ⅳ.沿y 轴向下平移k 个单位，2y ax =→2 y ax k =- 3．已知抛物线c bx ax y ++=2，求其关于x 轴、y 轴、原点对称的抛物线的解析式． （1）抛物线c bx ax y ++=2关于x 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y ---=2 （2）抛物线c bx ax y ++=2关于y 轴对称的抛物线的解析式：c bx ax y +-=2 （3）抛物线c bx ax y ++=2关于原点对称的抛物线的解析式：c bx ax y -+-=2 4．求抛物线c bx ax y ++=2绕其顶点旋转0180对应的抛物线解析式时：首先把抛物线配成顶点式()k h x a y +-=2，再把a 变为其相反数-a 就得到对应解析式：()k h x a y +--=2. 【经典例题】 2y ax k =+的图象0，k ） ()2h x a y -=的图象顶点（h,0） ()k h x a y +-=2的图象顶点（h,k ） 二次函数的像平移与翻转 二次函数是数学中一个常见的函数类型，具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的特点。在二次函数中，像平移与翻转是两个重要的概念，它们可以让我们对二次函数的图像进行变换和调整。本文将介绍二次函数的像平移和翻转的概念以及相应的计算方法。 一、二次函数的基本形式 二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别是常数。 二、二次函数的像平移 1. 横向平移 当二次函数的自变量向右平移h个单位时，函数的表达式变为f(x - h)。具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，横向平移h个单位后的函数可以表示为f(x - h) = a(x - h)^2 + b(x - h) + c。 2. 纵向平移 当二次函数的因变量向上平移k个单位时，函数的表达式变为f(x) + k。具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，纵向平移k个单位后的函数可以表示为f(x) + k = a(x - h)^2 + b(x - h) + c + k。 三、二次函数的像翻转 1. 横向翻转 当二次函数的自变量取相反数时，函数的表达式变为f(-x)。具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，横向翻转后的函数可以表示为f(-x) = a(-x)^2 + b(-x) + c。 2. 纵向翻转 当二次函数的因变量取相反数时，函数的表达式变为-f(x)。具体而言，对于f(x) = ax^2 + bx + c，纵向翻转后的函数可以表示为-f(x) = - ax^2 - bx - c。 四、计算实例 举例来说，考虑二次函数f(x) = x^2 + 2x + 1。 如果要进行横向平移3个单位，那么平移后的函数为f(x - 3) = (x - 3)^2 + 2(x - 3) + 1。 如果要进行纵向平移4个单位，那么平移后的函数为f(x) + 4 = x^2 + 2x + 1 + 4。 如果要进行横向翻转，那么翻转后的函数为f(-x) = (-x)^2 + 2(-x) + 1。 如果要进行纵向翻转，那么翻转后的函数为-f(x) = -(x^2 + 2x + 1)。 通过以上计算方法，可以对二次函数的图像进行像平移与翻转。这 些变换可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的性质和特点。 总结： 二次函数的像平移与翻转是二次函数图像变换的重要概念。横向平 移和纵向平移可以通过修改函数表达式中的自变量和因变量来实现， 高中数学二次函数的图像变换规律与应用 二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学中的应用非常广泛。掌握二次函数的图像变换规律以及应用，对于解题和理解数学概念都非常有帮助。本文将详细介绍二次函数的图像变换规律，并通过具体题目的举例，说明其考点和解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。 一、二次函数的图像变换规律 1. 平移变换 平移变换是指将二次函数图像沿着坐标轴的方向进行移动。对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，平移变换可以通过改变a、b、c的值来实现。 例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像向右平移2个单位。根据平移变换的规律，我们只需将x的值减去2，即可实现平移。因此，新的二次函数为y = (x-2)^2。 2. 纵向拉伸和压缩 纵向拉伸和压缩是指将二次函数图像在纵向上进行拉长或压缩。对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，纵向拉伸和压缩可以通过改变a的值来实现。 例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像在纵向上拉伸2倍。根据纵向拉伸和压缩的规律，我们只需将a的值改为2，即可实现纵向拉伸。因此，新的二次函数为y = 2x^2。 3. 横向拉伸和压缩 横向拉伸和压缩是指将二次函数图像在横向上进行拉长或压缩。对于一般形式的二次函数y = ax^2 + bx + c，横向拉伸和压缩可以通过改变x的值来实现。 例如，考虑二次函数y = x^2，我们想将其图像在横向上压缩为原来的一半。 根据横向拉伸和压缩的规律，我们只需将x的值改为原来的两倍，即可实现横向压缩。因此，新的二次函数为y = (1/2)x^2。 二、二次函数图像变换的应用 1. 最值问题 二次函数的图像变换可以帮助我们解决最值问题。例如，考虑二次函数y = x^2 + 2x + 1，我们可以通过平移变换将其图像向左平移1个单位，得到新的二次 函数y = (x+1)^2 + 2x + 1。这样，我们可以发现新的二次函数的最小值为1，即原 函数的最小值为1-1=0。因此，原函数的最小值为0。 2. 相交问题 二次函数的图像变换可以帮助我们解决相交问题。例如，考虑二次函数y = x^2和直线y = 2x + 1，我们可以通过横向拉伸和压缩变换将二次函数的图像压缩 为原来的一半，得到新的二次函数y = (1/2)x^2。这样，我们可以发现新的二次函 数和直线在两个交点处相交。因此，原函数和直线在两个交点处相交。 3. 面积问题 二次函数的图像变换可以帮助我们解决面积问题。例如，考虑二次函数y = x^2和x轴之间的面积，我们可以通过纵向拉伸和压缩变换将二次函数的图像拉伸 为原来的两倍，得到新的二次函数y = 2x^2。这样，我们可以发现新的二次函数和 x轴之间的面积是原来的两倍。因此，原函数和x轴之间的面积是原来的一半。 通过以上的例子，我们可以看到二次函数的图像变换规律和应用是非常有用的。掌握这些规律和应用，可以帮助我们更好地理解和应用二次函数，解决各种数学问题。因此，我们在学习二次函数时，要注重理解和掌握其图像变换规律，并通过具体的题目进行练习和应用，以提升解题能力和数学思维。希望本文能对高中学生和他们的父母有所帮助。 二次函数的图像和性质总结 二次函数的图像和性质 二次函数的图像与性质可以通过解析式、a的取值、开口 方向、函数值的增减、顶点坐标、对称轴和图像与y轴的交点来确定。 当a>0时，二次函数的开口向上；顶点坐标在对称轴上方；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x的增大而增大。图像与y轴的交点坐标为(0.c)。 当a<0时，二次函数的开口向下；顶点坐标在对称轴下方；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x的增大而减小。图像与y轴的交点坐标为(0.c)。 抛物线的平移法则可以通过把抛物线y=ax^2平移k个单 位或h个单位得到y=ax^2+k或y=a(x+h)^2的图像。当k>0时，向上平移；当k0时，向左平移；当h<0时，向右平移。 二次函数的最值公式：当a>0时，函数有最小值，最小值为y=4ac-b^2/4a；当a<0时，函数有最大值，最大值为y=4ac-b^2/4a。与y轴的交点坐标为(0.c)。 抛物线的开口大小由a决定，a越大开口越小。 二次函数与一元二次方程的关系：二次函数y=ax^2+bx+c 的图像与一元二次方程ax^2+bx+c=0的解有关，即二次函数的顶点坐标和最值问题可以通过一元二次方程的解来求得。当a>0时，函数有最小值，最小值为y=4ac-b^2/4a，对应一元二次方程的两根。当a<0时，函数有最大值，最大值为y=4ac- b^2/4a，对应一元二次方程的两根。 当$\Delta>0$时，二次函数与x轴有两个交点；当 $\Delta=0$时，二次函数与x轴有一个交点；当$\Delta<0$时，二次函数与x轴没有交点。当$\Delta\geq0$时，二次函数与x 轴有交点。（此定理的逆定理也成立。） 7.二次函数的三种常用形式： 1) 一般式：$y=ax^2+bx+c$ 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 ()y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,)h k ，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,)h k .具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 知识点拨 二次函数图象的几何变换 二次函数及其图像 二次函数是数学中一种重要的函数类型，它的图像通常是一个开口 向上或向下的抛物线。本文将对二次函数及其图像进行详细介绍与讨论。 1. 二次函数的定义 二次函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。其中，x为自变量，f(x)为因变量。二次函数中最高次 项是x的平方，这也是为什么称之为"二次"函数的原因。 2. 二次函数的图像特点 二次函数的图像通常为一个抛物线。当a>0时，图像开口向上；当 a<0时，图像开口向下。图像的形状和开口方向与a的正负有关。 3. 顶点及轴对称性 对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其顶点可以通过计算得到： x_v = -b / (2a) y_v = f(x_v) 顶点的横坐标为x_v，纵坐标为y_v。顶点是二次函数曲线的最低 点（当a>0）或最高点（当a<0）。二次函数的图像以顶点为中心具有 轴对称性，即对于任意x，f(x) = f(2x - x_v)。 4. 判定开口方向 根据二次函数的系数a的正负可以判断图像的开口方向。当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。 5. x轴与y轴的交点 二次函数与x轴和y轴的交点可以通过方程 f(x) = 0 和 x = 0 的解得到。当x轴交点存在时，解方程 f(x) = 0 即可得到x轴交点的横坐标； 当y轴交点存在时，解方程 x = 0 即可得到y轴交点的纵坐标。 6. 对称轴 对称轴是指二次函数图像的对称轴线。它的方程可以通过公式 x = - b / (2a) 得到，x = -b / (2a) 即为对称轴的方程。 7. 纵坐标与平移 对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，系数c表示了二次函数图像的纵 坐标上移（当c>0）或者下移（当c<0）。通过调整c的值，可以使得 图像在纵向上发生平移。 8. 横坐标与平移 对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，通过调整二次项系数a的值可以 实现图像在横向上发生平移。当a<1时，图像变窄；当a>1时，图像 变宽。 9. 变量对图像的影响 二次函数的基本性质和图像 二次函数是高中数学中的一种重要函数，它的图像形状为抛物线。在学习二次函数之前，我们需要了解一些基本性质和图像特征。本文将介绍二次函数的基本性质和图像特点，帮助读者更好 地理解和掌握这一概念。 一、二次函数的标准形式 二次函数的标准形式为： f(x) = ax² + bx + c 其中，a、b、c为实数，且a≠0。 二、二次函数的图像特点 1. 开口方向 二次函数的开口方向由二次项的系数a的正负确定。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 2. 最值点 当二次函数的开口方向向上时，函数的最值点为抛物线的顶点，记作（h，k），其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。当二次函数的开口方向向下时，函数的最值点为抛物线的谷点。 3. 对称轴 二次函数的对称轴是通过抛物线的最值点和对称轴的直角中点 所得直线。对称轴与x轴垂直，并且通过抛物线的顶点。 4. 零点 二次函数的零点即函数的根，可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。二次函数的零点可以有0个、1个或2个零点，取 决于二次方程的判别式b²-4ac 的值。 三、二次函数的图像画法和变换 1. 平移变换 对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，当x平移h个单位和y平移k 个单位时，变换后的函数表达式为f(x-h)+k。 2. 垂直方向的伸缩变换 对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，当a变为ka(k≠0)时，函数的图像在y轴方向上发生伸缩。当a>1时，抛物线变瘦高；当0 二次函数图像与性质完整归纳 二次函数的图像与性质 二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表 示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。根据 a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。 在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的 形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对 称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。 除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。根据 a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。 在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k 的形式。根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和 对称轴可以得到不同的性质。当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h； 当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对 称轴为直线x=h。 二次函数图象的平移 二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。具体方法有两种：一种是将抛物线解析式转化成顶 二次函数与三次函数的图像变换 在数学中，函数是数与数之间的一种对应关系。它描述了输入值（自变量）和 输出值（因变量）之间的关系。二次函数和三次函数是常见的数学函数，它们都可以通过图像变换来进行研究和探索。本文将介绍二次函数和三次函数的图像变换。一、二次函数的图像变换 二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数形式，其中a、b、c为常数。二次函 数的图像可以通过平移、缩放和翻折等变换得到。 1.平移变换：y = ax^2 + bx + c + m 将二次函数的图像上下平移m个单位，可以通过在原函数上或下方添加m来 实现。正的平移值表示向上平移，负的平移值表示向下平移。平移变换后的图像与原图像具有相同的形状，只是位置发生改变。 2.缩放变换：y = a(x - p)^2 + q 将二次函数的图像沿x轴缩放p倍，y轴缩放q倍，可以通过在自变量和因变 量前添加对应的系数来实现。当p>1时，图像水平方向收缩；当p<1时，图像水 平方向拉伸。当q>1时，图像竖直方向收缩；当q<1时，图像竖直方向拉伸。缩 放变换后的图像与原图像具有相同的形状，只是大小发生改变。 3.翻折变换：y = -ax^2 - bx - c 将二次函数的图像关于x轴翻折，可以通过在原函数前添加负号来实现。翻折 变换后的图像与原图像形状一致，只是关于x轴对称。 二、三次函数的图像变换 三次函数是形如y = ax^3 + bx^2 + cx + d的函数形式，其中a、b、c、d为常数。三次函数的图像可以通过平移、缩放和翻折等变换得到。 1.平移变换：y = ax^3 + bx^2 + cx + d + m 将三次函数的图像上下平移m个单位，可以通过在原函数上或下方添加m来实现。平移变换后的图像与原图像具有相同的形状，只是位置发生改变。 2.缩放变换：y = a(x - p)^3 + q 将三次函数的图像沿x轴缩放p倍，y轴缩放q倍，可以通过在自变量和因变量前添加对应的系数来实现。缩放变换后的图像与原图像具有相同的形状，只是大小发生改变。 3.翻折变换：y = -ax^3 - bx^2 - cx - d 将三次函数的图像关于x轴翻折，可以通过在原函数前添加负号来实现。翻折变换后的图像与原图像形状一致，只是关于x轴对称。 总结： 二次函数和三次函数的图像变换可以通过平移、缩放和翻折等操作实现。平移变换可以改变函数的位置，缩放变换可以改变函数的大小，翻折变换可以改变函数的对称性。这些变换可以帮助我们更好地理解和分析二次函数和三次函数的性质和特点。在实际问题中，对函数图像的变换也有重要的应用，例如在物理学中描述抛物线轨迹的二次函数和描述曲线运动的三次函数等。因此，学习和熟练掌握二次函数和三次函数的图像变换对于数学学习和实际问题求解都具有重要意义。 中考数学：二次函数与图形变换 中考数学：二次函数与图形变换 天津五中张欣(区级优秀教师) 二次函数是初中数学中最精彩的内容之一，也是历年中考的热点和难点。其中，关于函数解析式的确定是非常重要的题型。而今年的中考正是面临新课程改革，教材的内容和学习要求变化较大，其中一个突出的变化就是强化了对图形变换的要求，那么二次函数和图形变化的结合，将是同学们在学习中不可忽视的内容。 图形变换包含平移、轴对称、旋转、位似四种变换，那么二次函数的图像在其图形变化(平移、轴对称、旋转)的过程中，如何完成解析式的确定呢？解决此类问题的方法很多，关键在于解决问题的着眼点。笔者认为最好的方法是用顶点式的方法。因此解题时，先将二次函数解析式化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据具体图形变换的特点，确定变化后新的顶点坐标及a值。 1、平移：二次函数图像经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向，因此a值不变。顶点位置将会随着整个图像的平移而变化，因此只要按照点的移动规律，求出新的顶点坐标即可确定其解析式。 例1.将二次函数y=x2-2x-3的图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到的新的图像解析式为_____ 分析：将y=x2-2x-3化为顶点式y=(x-1)2-4，a值为1，顶点坐标为(1，-4)，将其图像向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么顶点也会相应移动，其坐标为(2，-2),由于平移不改变二次函数的图像的形状和开口方向，因此a值不变，故平移后的解析式为y=(x-2)2-2。 2、轴对称：此图形变换包括x轴对称和关于y轴对称两种方式。 二次函数图像关于x轴对称的图像，其形状不变，但开口方向相反，因此a值为原来的相反数。顶点位置改变，只要根据关于x轴对称的点的坐标特征求出新的顶点坐标，即可确定其解析式。 二次函数图像关于y轴对称的图像，其形状和开口方向都不变， 二次函数的变换与图像特征二次函数是高中数学中的一个重要概念，其变换和图像特征也是学习二次函数的重要内容。在本文中，我们将探讨二次函数的变换与图像特征，并通过实例来加深理解。 一、二次函数的变换 二次函数的标准形式为： y = ax^2 + bx + c 其中，a，b，c为常数，且a ≠ 0。二次函数的变换主要是对a，b，c的改变，从而使函数的图像发生对应的变化。 1. 对a的变换 当a > 0时，二次函数的图像开口向上；当a < 0时，二次函数的图像开口向下。a的绝对值的大小决定了图像的开口程度，绝对值越大，开口越窄。 例子： 考虑函数y = 2x^2，我们分别取不同的a值进行变换，得到如下图像： （插入图像） 2. 对b的变换 b的正负决定了函数图像的对称性，即关于y轴的对称性。当b > 0时，函数图像右移；当b < 0时，函数图像左移。 例子： 考虑函数y = x^2和y = x^2 + 2，我们分别取不同的b值进行变换，得到如下图像： （插入图像） 3. 对c的变换 c的取值决定了二次函数图像的纵轴平移，即上下平移。 例子： 考虑函数y = x^2和y = x^2 + 2，我们分别取不同的c值进行变换，得到如下图像： （插入图像） 二、二次函数的图像特征 二次函数的图像除了受到上述变换的影响外，还有一些固定的特征。 1. 曲线的顶点 对于二次函数y = ax^2 + bx + c，曲线的顶点坐标为： x = -b/2a，y = c - b^2/4a 顶点坐标决定了图像的最低（或最高）点。 2. 曲线的对称轴 对于二次函数y = ax^2 + bx + c，曲线的对称轴为： x = -b/2a 对称轴将图形分为两个对称的部分。 3. 拉伸和压缩 当二次函数的a的绝对值变大时，图像变得更瘦长，即发生了纵向 的压缩；当a的绝对值变小时，图像变得更矮胖，即发生了纵向的拉伸。 例子： 考虑函数y = x^2和y = 2x^2，我们可以观察到图像在纵向上的压缩。 综上所述，二次函数的变换和图像特征是学习该函数的重要内容。 通过理解和掌握二次函数的变换规律以及图像特征，我们能够更好地 应用二次函数解决实际问题，并在数学学习中更上一层楼。 二次函数的图像和变换 二次函数是数学中一个重要的概念，在数学中有着广泛的应用。本文将以二次函数的图像和变换为主题，介绍二次函数的基本性质、图像的特征以及常见的变换方式。 一、二次函数的基本性质 二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正 负确定。当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口 朝下。 二次函数的图像在坐标系中的对称轴为直线x = -b/2a，对称轴 将图像分为两部分，称为左右分支。当x值大于对称轴的x坐标时，函数值随x增大而增大；当x值小于对称轴的x坐标时，函 数值随x增大而减小。 二、二次函数图像的特征 1. 零点：二次函数的零点指的是函数图像与x轴（即y = 0）的交点，可以通过求解ax^2 + bx + c = 0的方程来确定。二次函数的 零点可能有0个、1个或者2个。 2. 非常数项c：二次函数的非常数项c代表了函数图像与y轴 的交点，即在x = 0时的函数值。如果c > 0，则函数图像与y轴正向交点在y轴上方；如果c < 0，则函数图像与y轴负向交点在y 轴下方。 3. 极值点：二次函数的极值点是函数图像上离对称轴最近的点。当a > 0时，函数的极值点为最小值；当a < 0时，函数的极值点 为最大值。极值点的横坐标为对称轴的横坐标，可通过对称轴方 程得到。 三、二次函数的常见变换 二次函数可以通过平移、伸缩、翻转等变换方式进行图像的调整。 1. 平移：沿着坐标轴的平移可以调整二次函数图像的位置。平 移的方式有水平平移和垂直平移两种。水平平移可以通过在x轴 上添加或减去常数来实现，例如f(x) = (x - a)^2 + b表示将二次函 数图像沿x轴平移a个单位，并沿y轴平移b个单位。垂直平移可以通过在函数整体上加或减常数来实现，例如f(x) = x^2 + c表示 将二次函数图像沿y轴平移c个单位。 二次函数图像的变换与解析式 二次函数是高中数学中的重要内容之一，它具有广泛的应用领域，如物理学、经济学等。在学习二次函数时，我们不仅需要掌握其图像的变换规律，还需要了解其解析式的推导方法。 首先，我们来讨论二次函数图像的变换。对于一般的二次函数y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，我们可以通过改变a、b、c的值来实现图像的平移、翻转和缩放等变换。 首先，当a的值发生变化时，二次函数的图像会发生缩放。当a>1时，图像会变得更加瘦长；当0 然后，我们展开完全平方的式子，得到y = a(x^2 + 2px + p^2) + q。 接下来，我们将展开后的式子进行化简，得到y = ax^2 + 2apx + ap^2 + q。 最后，我们将化简后的式子与原始的二次函数进行比较，得到a、b、c与p、q 之间的关系。通过解方程组，我们可以求解出p和q的值，进而得到二次函数的解析式。 需要注意的是，当二次函数的解析式确定后，我们可以根据解析式来分析二次函数的性质，如顶点坐标、对称轴位置、开口方向等。这些性质对于理解和应用二次函数都具有重要意义。 综上所述，二次函数图像的变换和解析式的推导是学习二次函数的关键内容。通过掌握二次函数的变换规律和解析式的推导方法，我们可以更好地理解和应用二次函数，在解决实际问题中发挥重要作用。希望本文对读者在学习和应用二次函数方面有所帮助。 超经典二次函数图象的平移和对称变换总结(总3页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求二次函数 1.能根据实际情境了解二次 函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函 数的图像； 1.能通过对实际问题中的情 境分析确定二次函数的表达 式； 2.能从函数图像上认识函数 的性质； 3.会确定图像的顶点、对称 轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求 出二次方程的近似解； 1.能用二次函数 解决简单的实 际问题； 2.能解决二次函 数与其他知识 结合的有关问 题； （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函 数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”. 二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称 2 y ax bx c =++关于x轴对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y轴对称 2 y ax bx c =++关于y轴对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2 y ax bx c =-+-；二次函数图像的变换
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