高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 11 word版含答案

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高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 16 Word版含答案

考点测试16 导数的应用(二)一、基础小题1．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间上的最大值是( )A．－2 B．0C．2 D．4答案 C解析令f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0，x＝2(舍去)．比较f(－1)，f(0)，f(1)的大小知f(x)max＝f(0)＝2.2．已知对任意实数x，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0答案 B解析由题意知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数．当x >0时，f (x )，g (x )都单调递增，则当x <0时，f (x )单调递增，g (x )单调递减，即f ′(x )>0，g ′(x )<0.3．若曲线f (x )＝x ，g (x )＝x α在点P (1,1)处的切线分别为l 1，l 2，且l 1⊥l 2，则实数α的值为( )A ．－2B ．2C ．12D ．－12答案 A 解析 f ′(x )＝12x，g ′(x )＝αxα－1，所以在点P 处的斜率分别为k 1＝12，k 2＝α，因为l 1⊥l 2，所以k 1k 2＝α2＝－1，所以α＝－2，选A.4．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，∴f (x 2－6)>1可化为－2<x 2－6<3，∴2<x <3或－3<x <－2.7．若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．e x2－e x1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x1>x 1e x2 D ．x 2e x1<x 1e x2答案 C解析构造函数f (x )＝e x －ln x ，则f ′(x )＝e x －1x，故f (x )＝e x－ln x 在(0,1)上有一个极值点，即f (x )＝e x－ln x 在(0,1)上不是单调函数，无法判断f (x 1)与f (x 2)的大小，故A 、B 错；构造函数g (x )＝exx ，则g ′(x )＝x e x －e x x 2＝e x x －x 2，故函数g (x )＝exx在(0,1)上单调递减，故g (x 1)>g (x 2)，x 2e x1>x 1e x2，故选C.8．已知f (x )＝ln x －x 4＋34x，g (x )＝－x 2－2ax ＋4，若对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，＋∞B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－18，＋∞ C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，54 D ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－54答案 A解析因为f ′(x )＝1x －34×1x 2－14＝－x 2＋4x －34x 2＝－x －x －4x2，易知，当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，故f (x )min ＝f (1)＝12.对于二次函数g (x )＝－x 2－2ax ＋4，易知该函数开口向下，所以其在区间上的最小值在端点处取得，即g (x )min ＝min{g (1)，g (2)}．要使对任意的x 1∈(0,2]，存在x 2∈，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，只需f (x 1)min ≥g (x 2)min ，即12≥g (1)且12≥g (2)，所以12≥－1－2a ＋4且12≥－4－4a ＋4，解得a ≥54.二、高考小题9．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k<1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k >1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1答案 C解析构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k >0，∴g (x )在R 上为增函数． ∵k >1，∴1k －1>0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)．而g (0)＝f (0)＋1＝0， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1>0，即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1>k k －1－1＝1k －1，所以选项C 错误，故选C.10．设函数f (x )＝e x(2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 答案 D解析由f (x 0)<0，即e x0 (2x 0－1)－a (x 0－1)<0，得e x0 (2x 0－1)<a (x 0－1)．当x 0＝1时，得e<0，显然不成立，所以x 0≠1. 若x 0>1，则a >ex 0x 0－x 0－1.令g (x )＝exx －x －1，则g ′(x )＝2x e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32x －2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，要满足题意，则x 0＝2，此时需满足g (2)<a ≤g (3)，得3e 2<a ≤52e 3，与a <1矛盾，所以x 0<1.因为x 0<1，所以a <ex 0x 0－x 0－1.易知，当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )>0，g (x )为增函数，当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )为减函数，要满足题意，则x 0＝0，此时需满足g (－1)≤a <g (0)，得32e≤a <1(满足a <1)．故选D. 11．如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝1125x 3－35xB ．y ＝2125x 3－45x C ．y ＝3125x 3－x D ．y ＝－3125x 3＋15x答案 A解析根据题意知，所求函数在(－5,5)上单调递减．对于A ，y ＝1125x 3－35x ，∴y ′＝3125x 2－35＝3125(x 2－25)，∴∀x ∈(－5,5)，y ′<0，∴y ＝1125x 3－35x 在(－5,5)内为减函数，同理可验证B 、C 、D 均不满足此条件，故选A.12．设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋2<m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 C 解析 f ′(x )＝3πmcos πxm，∵f (x )的极值点为x 0， ∴f ′(x 0)＝0，∴3πmcos πx 0m＝0，∴πm x 0＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴x 0＝mk ＋m2，k ∈Z .又∵x 20＋2<m 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫mk ＋m 22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤3sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π22<m 2，k ∈Z ，即m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＋3<m 2，k ∈Z .∵m ≠0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122<m 2－3m2，k ∈Z .又∵存在x 0满足x 20＋2<m 2，即存在k ∈Z 满足上式，∴m 2－3m 2>⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122min ，∴m 2－3m 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴m 2－3>m 24，∴m 2>4，∴m >2或m <－2，故选C.13．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是____________．(写出所有正确条件的编号)①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2. 答案 ①③④⑤解析设f (x )＝x 3＋ax ＋b .当a ＝－3，b ＝－3时，f (x )＝x 3－3x －3，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )>0，得x >1或x <－1；令f ′(x )<0，得－1<x <1，故f (x )在(－∞，－1)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，又f (－1)＝－1，f (1)＝－5，f (3)＝15，故方程f (x )＝0只有一个实根，故①正确．当a ＝－3，b ＝2时，f (x )＝x 3－3x ＋2，易知f (x )在(－∞，－1)上为增函数，在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，又f (－1)＝4，f (1)＝0，x →－∞时，f (x )→－∞，从而方程f (x )＝0有两个根，故②错．当a ＝－3，b >2时，f (x )＝x 3－3x ＋b ，易知f (x )的极大值为f (－1)＝2＋b >0，极小值为f (1)＝b －2>0，x →－∞时，f (x )→－∞，故方程f (x )＝0有且仅有一个实根，故③正确．当a ＝0，b ＝2时，f (x )＝x 3＋2，显然方程f (x )＝0有且仅有一个实根，故④正确．当a ＝1，b ＝2时，f (x )＝x 3＋x ＋2，f ′(x )＝3x 2＋1>0，则f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，易知f (x )的值域为R ，故f (x )＝0有且仅有一个实根，故⑤正确．综上，正确条件的编号有①③④⑤. 三、模拟小题14．已知函数g (x )满足g (x )＝g ′(1)ex －1－g (0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m －1≥g (x 0)成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3]C ．已知函数f (x )＝m －1－x 2(e≤x ≤2e)(e 为自然对数的底数)与g (x )＝2－5ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数m 的取值范围是( )A ． D ．答案 D解析由题意可知，方程m －1－x 2＝5ln x －2在上有解，即m ＝x 2＋5ln x －1在上有解．令h (x )＝x 2＋5ln x －1，h ′(x )＝2x ＋5x，易知h (x )在上单调递增，所以h (x )在上的最小值为e 2＋5－1＝e 2＋4，最大值为(2e)2＋5ln 2e －1＝4e 2＋5ln 2＋4.所以实数m 的取值范围是．故选D.16．已知函数f (x )＝x 3－tx 2＋3x ，若对于任意的a ∈，b ∈(2,3]，函数f (x )在区间上单调递减，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，5]C ．上单调递减，则有f ′(x )≤0在上恒成立，即不等式3x 2－2tx ＋3≤0在上恒成立，即有t ≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在上恒成立，而函数y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在上单调递增，由于a ∈，b ∈(2,3]，当b＝3时，函数y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 取得最大值，即y max ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋13＝5，所以t ≥5，故选D.17．已知f (x )＝12x 2＋b x ＋c (b ，c 是常数)和g (x )＝14x ＋1x 是定义在M ＝{x |1≤x ≤4}上的函数，对于任意的x ∈M ，存在x 0∈M 使得f (x )≥f (x 0)，g (x )≥g (x 0)，且f (x 0)＝g (x 0)，则f (x )在M 上的最大值为( )A ．72 B ．5 C ．6 D ．8答案 B解析因为g (x )＝14x ＋1x≥214＝1(当且仅当x ＝2时等号成立)，所以f (2)＝2＋b 2＋c ＝g (2)＝1，c ＝－1－b2，所以f (x )＝12x 2＋b x －1－b 2，f ′(x )＝x －b x 2＝x 3－bx 2.因为f (x )在x＝2处有最小值，所以f ′(2)＝0，即b ＝8，所以c ＝－5，f (x )＝12x 2＋8x －5，f ′(x )＝x 3－8x 2，所以f (x )在上单调递减，在上单调递增，而f (1)＝12＋8－5＝72，f (4)＝8＋2－5＝5，所以函数f (x )的最大值为5，故选B.18．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2－ax (a ∈R ，且a ≠0)．如果存在实数a ∈(－∞，－1]，使得函数g (x )＝f (x )＋f ′(x )，x ∈(b >－1)在x ＝－1处取得最小值，则实数b 的最大值为________．答案17－12解析依题意，f ′(x )＝3ax 2＋2x －a ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(2－a )x －a ，则g (x )≥g (－1)在区间上恒成立，即(x ＋1)≥0 ①，当x ＝－1时，不等式①成立，当－1<x ≤b 时，不等式①可化为ax 2＋(2a ＋1)x ＋1－3a ≥0 ②，令h (x )＝ax 2＋(2a ＋1)x ＋1－3a ，由a ∈(－∞，－1]知其图象是开口向下的抛物线，故h (x )在闭区间上的最小值必在端点处取得，又h (－1)＝－4a >0，则不等式②成立的充要条件是h (b )≥0，整理得b 2＋2b －3b ＋1≤－1a ，则该不等式在a ∈(－∞，－1]上有解，即b 2＋2b －3b ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a max ＝1，得－10，记|f (x )|的最大值为A . (1)求f ′(x )； (2)求A ；(3)证明|f ′(x )|≤2A .解 (1)f ′(x )＝－2αsin2x －(α－1)sin x . (2)当α≥1时，|f (x )|＝|αcos2x ＋(α－1)(cos x ＋1)|≤α＋2(α－1)＝3α－2＝f (0)．因此A ＝3α－2.当0<α<1时，将f (x )变形为f (x )＝2αcos 2x ＋(α－1)·cos x －1. 设t ＝cos x ，则t ∈，令g (t )＝2αt 2＋(α－1)t －1，则A 是|g (t )|在上的最大值，g (－1)＝α，g (1)＝3α－2，且当t ＝1－α4α时，g (t )取得最小值，最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α＝－α－28α－1＝－α2＋6α＋18α.令－1<1－α4α<1，解得α<－13(舍去)，或α>15.①当0<α≤15时，g (t )在(－1,1)内无极值点，|g (－1)|＝α，|g (1)|＝2－3α，|g (－1)|<|g (1)|，所以A ＝2－3α.②当15<α<1时，由g (－1)－g (1)＝2(1－α)>0，知g (－1)>g (1)>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α. 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α－|g (－1)|＝－α＋7α8α>0，所以A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－α4α＝α2＋6α＋18α.综上，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3α，0<α≤15，α2＋6α＋18α，15<α<1，3α－2，α≥1.(3)证明：由(1)得|f ′(x )|＝|－2αsin2x －(α－1)sin x |≤2α＋|α－1|. 当0<α≤15时，|f ′(x )|≤1＋α≤2－4α<2(2－3α)＝2A .当15<α<1时，A ＝α8＋18α＋34>1，所以|f ′(x )|≤1＋α<2A .当α≥1时，|f ′(x )|≤3α－1≤6α－4＝2A . 所以|f ′(x )|≤2A .2．已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x2，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，证明f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈成立．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝ax 2－x －x3.当a ≤0时，x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．当a >0时，f ′(x )＝a x －x 3⎝⎛⎭⎪⎫x －2a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2a .①0<a <2时，2a>1，当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，2a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．②a ＝2时，2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增．③a >2时，0<2a<1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0<a <2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫2a，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增；当a >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫2a，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．(2)由(1)知，a ＝1时，f (x )－f ′(x )＝x －ln x ＋2x －1x2－⎝⎛⎭⎪⎫1－1x －2x2＋2x 3 ＝x －ln x ＋3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈．设g (x )＝x －ln x ，h (x )＝3x ＋1x 2－2x3－1，x ∈．则f (x )－f ′(x )＝g (x )＋h (x )．由g ′(x )＝x －1x≥0，可得g (x )≥g (1)＝1. 当且仅当x ＝1时取得等号．又h ′(x )＝－3x 2－2x ＋6x4. 设φ(x )＝－3x 2－2x ＋6，则φ(x )在x ∈内单调递减．因为φ(1)＝1，φ(2)＝－10，所以∃x 0∈(1,2)，使得x ∈(1，x 0)时， φ(x )>0，x ∈(x 0,2)时，φ(x )<0.所以h (x )在(1，x 0)内单调递增，在(x 0,2)内单调递减．由h (1)＝1，h (2)＝12，可得h (x )≥h (2)＝12，当且仅当x ＝2时取得等号．所以f (x )－f ′(x )>g (1)＋h (2)＝32，即f (x )>f ′(x )＋32对于任意的x ∈成立．3．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋14，g (x )＝－ln x .(1)当a 为何值时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线；(2)用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值，设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x >0)，讨论h (x )零点的个数．解 (1)设曲线y ＝f (x )与x 轴相切于点(x 0,0)，则f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0.解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f (x )的切线．(2)当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＝－ln x <0，从而h (x )＝min{f (x )，g (x )}≤g (x )<0，故h (x )在(1，＋∞)上无零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f (1)＝a ＋54≥0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝g (1)＝0，故x＝1是h (x )的零点；若a <－54，则f (1)<0，h (1)＝min{f (1)，g (1)}＝f (1)<0，故x ＝1不是h (x )的零点．当x ∈(0,1)时，g (x )＝－ln x >0，所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数． ①若a ≤－3或a ≥0，则f ′(x )＝3x 2＋a 在(0,1)上无零点，故f (x )在(0,1)上单调．而f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当a ≤－3时，f (x )在(0,1)上有一个零点；当a ≥0时，f (x )在(0,1)上没有零点．②若－3<a <0，则f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫－a3，1上单调递增，故在(0,1)中，当x ＝－a3时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3＝2a3－a 3＋14. a ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3>0，即－34<a <0，f (x )在(0,1)上无零点；b ．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝0，即a ＝－34，则f (x )在(0,1)上有唯一零点；c ．若f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 3<0，即－3<a <－34，由于f (0)＝14，f (1)＝a ＋54，所以当－54<a <－34时，f (x )在(0,1)上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f (x )在(0,1)上有一个零点．综上，当a >－34或a <－54时，h (x )有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h (x )有两个零点；当－54<a <－34时，h (x )有三个零点．二、模拟大题 4．已知函数f (x )＝x ln xx －1－a (a <0)． (1)当x ∈(0,1)时，求f (x )的单调性；(2)若h (x )＝(x 2－x )·f (x )，且方程h (x )＝m 有两个不相等的实数根x 1，x 2.求证：x 1＋x 2>1.解 (1)f ′(x )＝x －1－ln xx －2，设g (x )＝x －1－ln x ，则g ′(x )＝1－1x，∴当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (1)＝0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0,1)上单调递增．(2)证明：∵h (x )＝x 2ln x －ax 2＋ax (a <0)，∴h ′(x )＝2x ln x ＋x －2ax ＋a ，设g (x )＝2x ln x ＋x －2ax ＋a ， ∴g ′(x )＝2ln x －2a ＋3，∵y ＝g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，当x →0时，g ′(0)<0，g ′(1)＝3－2a >0，∴必存在t ∈(0,1)，使得g ′(t )＝0，即2ln t －2a ＋3＝0， ∴y ＝h ′(x )在(0，t )上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增．又当x →0时，h ′(0)<0，h ′(1)＝1－a >0. 设h ′(x 0)＝0，则x 0∈(0,1)，∴y ＝h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，又h (1)＝0，不妨设x 1<x 2则0<x 1<x 0，x 0<x 2<1，由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧fx 1f x 0，f x 2f x 0⇒⎩⎪⎨⎪⎧hx 1f x 0x 21－x 1，h x 2f x 0x 22－x 2，∴f (x 0)(x 22－x 2)>h (x 2)＝h (x 1)>f (x 0)(x 21－x 1)， ∴(x 22－x 2)－(x 21－x 1)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1－1)>0， ∴x 1＋x 2>1.5．已知函数f (x )＝e x－ax 2，曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝bx ＋1. (1)求a ，b 的值；(2)求函数f(x)在上的最大值；(3)证明：当x>0时，e x＋(1－e)x－x ln x－1≥0.解(1)f′(x)＝e x－2ax，由题意，得f′(1)＝e－2a＝b，f(1)＝e－a＝b＋1，解得a＝1，b＝e－2.(2)解法一：由(1)知，f(x)＝e x－x2，∴f′(x)＝e x－2x≥x＋1－2x≥1－x≥0，x∈，故f(x)在上单调递增，f(x)max＝f(1)＝e－1.解法二：由(1)知，f(x)＝e x－x2，∴f′(x)＝e x－2x，令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝e x－2.由g′(x)>0，得x>ln 2；由g′(x)<0，得0<x<ln 2.∴g(x)＝f′(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥f′(ln 2)＝2－2ln 2 >0，∴f(x)在上单调递增，∴f(x)max＝f(1)＝e－1.(3)证明：∵f(0)＝1，又由(2)知，f(x)的图象过点(1，e－1)，且y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝(e－2)x＋1，故可猜测：当x>0，x≠1时，f(x)的图象恒在切线y＝(e－2)x＋1的上方．下面证明：当x>0时，f(x)≥(e－2)x＋1.设m(x)＝f(x)－(e－2)x－1，x>0，则m′(x)＝e x－2x－(e－2)，设h(x)＝e x－2x－(e －2)，则h′(x)＝e x－2.由(2)知，m′(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．又m′(0)＝3－e>0，m′(1)＝0,0<ln 2<1，∴m′(ln 2)<0.∴存在x0∈(0,1)，使得m′(x0)＝0，∴当x∈(0，x0)∪(1，＋∞)时，m′(x)>0；当x∈(x0 ,1)时，m′(x)<0.故m(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．又m(0)＝m(1)＝0，∴m(x)＝e x－x2－(e－2)x－1≥0(当且仅当x＝1时取等号)．∴e x＋－x－1x≥x，x>0.由(2)知，e x≥x＋1，∴x≥ln (x＋1)，∴x－1≥ln x，当且仅当x＝1时取等号．∴e x＋－x－1x≥x≥ln x＋1，即e x＋－x－1x≥ln x＋1.∴e x＋(2－e)x－1≥x ln x＋x，即e x＋(1－e)x－x ln x－1≥0成立，当且仅当x＝1时等号成立．6．已知函数f (x )＝e x－x ＋22，g (x )＝2ln (x ＋1)＋e －x.(1)x ∈(－1，＋∞)时，证明：f (x )>0； (2)a >0，若g (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围．解 (1)证明：令p (x )＝f ′(x )＝e x －x －1，则p ′(x )＝e x－1，在(－1,0)上，p ′(x )<0，p (x )单调递减；在(0，＋∞)上，p ′(x )>0，p (x )单调递增．所以p (x )的最小值为p (0)＝0，即f ′(x )≥0，所以f (x )在(－1，＋∞)上单调递增，即f (x )>f (－1)>0. (2)令h (x )＝g (x )－(ax ＋1)，则h ′(x )＝2x ＋1－e －x－a ，令q (x )＝2x ＋1－e －x－a ，则q ′(x )＝1ex －2x ＋2.由(1)得q ′(x )<0，则q (x )在(－1，＋∞)上单调递减． ①当a ＝1时，q (0)＝h ′(0)＝0且h (0)＝0.在(－1,0)上，h ′(x )>0，h (x )单调递增；在(0，＋∞)上，h ′(x )<0，h (x )单调递减．所以h (x )的最大值为h (0)，即h (x )≤0恒成立． ②当a >1时，h ′(0)<0，在(－1,0)上，h ′(x )＝2x ＋1－e －x－a <2x ＋1－1－a ，令2x ＋1－1－a ＝0，解得x ＝1－aa ＋1∈(－1,0)．在⎝⎛⎭⎪⎫1－a a ＋1，0上，h ′(x )<0，h (x )单调递减，又h (0)＝0，所以此时h (x )>0，与h (x )≤0恒成立矛盾． ③当0<a <1时，h ′(0)>0，在(0，＋∞)上，h ′(x )＝2x ＋1－e －x－a >2x ＋1－1－a ，令2x ＋1－1－a ＝0，解得x ＝1－aa ＋1∈(0，＋∞)．即在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－a a ＋1上，h ′(x )>0，h (x )单调递增，又h (0)＝0，所以此时h (x )>0，与h (x )≤0恒成立矛盾．综上，a 的取值为1.。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 7 word版含答案

考点测试7 函数的奇偶性与周期性一、基础小题1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 f (x )＝1x－x 是奇函数，所以图象关于原点对称．2．下列函数中，在其定义域内是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 f (x )＝x 2和f (x )＝2|x |是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，故选C.3．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )A ．－14B ．14C ．12D ．－12答案 B解析解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.4．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在上是减函数，那么f (x )在上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 A解析由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋1＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在上是减函数，则f (x )在上是增函数，所以f (x )在上是增函数，故选A.5．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．2log 213答案 A解析由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2. 6．已知f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x 1－x <1，解得－1<x <0，故选A.7．已知偶函数f (x )在区间∪∪∪∪∪下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．14．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 C解析由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.15．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 D解析当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D.16．若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (a ＋x 2－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (a ＋x 2－x )＝0，∴ln ＝0，得ln a ＝0， ∴a ＝1.17．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.答案－2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (x )＝－f (－x )．又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.18．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1答案 C解析函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．20．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.21．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数， ∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0， ∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.22．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 答案 A解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.23．已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f xf x，若g (2)＝3，则g (－2)＝________.答案－1解析 ∵g (2)＝2＋f 2f 2＝3，∴f (2)＝1.又f (－x )＝－f (x )，∴f (－2)＝－1，∴g (－2)＝2＋f －2f －2＝2－1－1＝－1.24．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2017)＝________.答案 2解析由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝f (－1)＝2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ＝－f (x －1)＝f ，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.2．已知函数f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈时，函数f (x )的解析式．解 (1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，故x ∈时，f (x )＝－－x .x ∈时，x ＋4∈，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈时，f (x )＝－－x －4.4．已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数；(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1. ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 15 word版含答案

考点测试15 导数的应用(一)一、基础小题1．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案 A解析 f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上递增． 2．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D解析 f (x )＝2x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >2时，f ′(x )>0，这时f (x )为增函数；0<x <2时，f ′(x )<0，这时f (x )为减函数，据此知x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.3．函数f (x )＝e x－x (e 为自然对数的底数)在区间上的最大值是( ) A ．1＋1eB ．1C ．e ＋1D ．e －1答案 D解析因为f (x )＝e x－x ，所以f ′(x )＝e x－1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.且当x >0时，f ′(x )＝e x－1>0，x <0时，f ′(x )＝e x－1<0，即函数在x ＝0处取得极小值，f (0)＝1.又f (－1)＝1e＋1，f (1)＝e －1，综合比较得函数f (x )＝e x－x 在区间上的最大值是e －1.故选D.4.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)答案 C解析依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，选C.5．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如右图所示，则f(x)的图象可能是( )答案 D解析当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．6．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞) B ．C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3) 答案 B解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，－3≤a ≤ 3.7．若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52C ．⎝⎛⎭⎪⎫2，103D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103答案 C解析 ∵f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1，∴f ′(x )＝x 2－ax ＋1.若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则f ′(x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有零点，由f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0，可知a ＝x ＋1x.∵函数y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1,3)上单调递增，∴y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，即2≤a <103.当a ＝2时，由f ′(x )＝0解得x ＝1，而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1,3)上单调性相同，故不存在极值点，则a ≠2. 综上可知，2<a <103，故选C.8．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}答案 A解析构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x－e x>e x－e x＝0，所以g (x )＝e x·f (x )－e x为R 上的增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.二、高考小题9．若函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 答案 C解析函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g 1＝－43＋a ＋53≥0，g－1＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C.10．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 A 解析令g (x )＝f x x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′x －f xx 2，由题意知，当x >0时，g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数． ∵f (x )是奇函数，f (－1)＝0， ∴f (1)＝－f (－1)＝0， ∴g (1)＝f 11＝0，∴当x ∈(0,1)时，g (x )>0，从而f (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，从而f (x )<0.又∵g (－x )＝f －x －x ＝－f x －x ＝f xx＝g (x )， ∴g (x )是偶函数，∴当x ∈(－∞，－1)时，g (x )<0，从而f (x )>0；当x ∈(－1,0)时，g (x )>0，从而f (x )<0. 综上，所求x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．11．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)答案 C解析 (1)当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意．(2)当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a.当a >0时，2a>0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)与⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f (0)<0，即1<0，不成立．当a <0时，2a<0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1>0，解得a >2或a <－2，又因为a <0，故a 的取值范围为(－∞，－2)．12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)2 (2)(－∞，－1)解析 (1)若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x >0.当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，∴f (x )≤f (－1)＝2.∴f (x )的最大值为2.(2)在同一平面直角坐标系中画出y ＝－2x 和y ＝x 3－3x 的图象，如图所示，当a <－1时，f (x )无最大值；当－1≤a ≤2时，f (x )max ＝2；当a >2时，f (x )max ＝a 3－3a .综上，当a ∈(－∞，－1)时，f (x )无最大值．13．已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f x 1－f x 2x 1－x 2，n ＝g x 1－g x 2x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析 ①f (x )＝2x是增函数，∴对任意不相等的实数x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，即m >0，∴①成立．②由g (x )＝x 2＋ax 图象可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g (x )是减函数，∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g x 1－g x 2x 1－x 2<0，即n <0，∴②不成立．③若m ＝n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝g x 1－g x 2x 1－x 2，即f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x－x 2－ax ，h ′(x )＝2xln 2－2x －a ，令h ′(x )＝2xln 2－2x －a ＝0，得2xln 2＝2x ＋a . 由y ＝2xln 2与y ＝2x ＋a 的图象知，存在a 使对任意x ∈R 恒有2xln 2>2x ＋a ，此时h (x )在R 上是增函数．若h (x 1)＝h (x 2)，则x 1＝x 2， ∴③不成立． ④若m ＝－n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝－g x 1－g x 2x 1－x 2，f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令φ(x )＝f (x )＋g (x )，则φ(x )＝2x＋x 2＋ax ，φ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a .令φ′(x )＝0，得2xln 2＋2x ＋a ＝0，即2xln 2＝－2x －a .由y 1＝2xln 2与y 2＝－2x －a 的图象可知，对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时，y 1>y 2，x <x 0时，y 1<y 2，故对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时，φ′(x )>0，x <x 0时φ′(x )<0，故对任意的a ，φ(x )在R 上不是单调函数．故对任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使m ＝－n ， ∴④成立．综上，①④正确．三、模拟小题14．已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．C ．(－∞，e)D ．直线y ＝a 分别与直线y ＝3x ＋3，曲线y ＝2x ＋ln x 交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．43 B ．1C ．2105D ．4答案 A解析设与直线y ＝3x ＋3平行且与曲线y ＝2x ＋ln x 相切的直线为y ＝3x ＋b ，则y ′＝2＋1x＝3，解得x ＝1，所以切点为(1,2)．所以当a ＝2时，直线y ＝a 与直线y ＝3x ＋3的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，此时|AB |min ＝43.16．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( ) A ．23 B ．43 C ．83 D ．163答案 C解析由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝4－43＝83，故选C.17．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22答案 D解析因为f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x －1e －x ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)(*)．又f ′(x )＝e x－1e x ＋x ⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＝e 2x x ＋1＋x －1ex，当x ≥0时，e 2x(x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0，所以f ′(x )≥0，所以f (x )在已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x ，若至少存在一个x 0∈，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2eB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2eC ．(－∞，0]D ．(－∞，0)答案 B解析由题意，不等式f (x )<g (x )在上有解，∴mx <2ln x ，即m 2<ln xx在上有解，令h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，1≤x ≤e，∴h ′(x )≥0，∴h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2<h (e)＝1e ，∴m <2e ，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e ，故选B.一、高考大题1．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解 (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a )． ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，f (x )只有一个零点．②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则 f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，故f (x )存在两个零点． ③设a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln (－2a )．若a ≥－e2，则ln (－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln (－2a )>1，故当x ∈(1，ln (－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln (－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln (－2a ))单调递减，在(ln (－2a )，＋∞)单调递增．又当x ≤1时f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e 2－x2－(x 2－2)e x2.设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0.从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2. 2．(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0； (2)证明：当a ∈，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，xa 最小值为g (x a )＝e xa －a x a ＋1x 2a ＝e x a ＋f x ax a ＋1x 2a＝e xax a ＋2.于是h (a )＝ex ax a ＋2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx ＋2′＝x ＋1e x x ＋22>0，得y ＝exx ＋2单调递增．所以，由x a ∈(0,2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝exa x a ＋2≤e 22＋2＝e24.因为y ＝e xx ＋2单调递增，对任意λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0,2]，a ＝－f (x a )∈设函数f (x )＝ln (x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由；(2)若∀x >0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围．解 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1，令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． a ．当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点；b ．当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14.由g (－1)＝1>0，可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．因此，函数有两个极值点． ③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0，可得x 1<－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点；当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a >89时，函数f (x )有两个极值点．(2)由(1)知，①当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意； ②当89<a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意； ③当a >1时，由g (0)<0，可得x 2>0. 所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减．因为f (0)＝0，所以x ∈(0，x 2)时，f (x )<0，不合题意； ④当a <0时，设h (x )＝x －ln (x ＋1)．因为x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1>0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．因此当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0，即ln (x ＋1)<x .可得f (x )<x ＋a (x 2－x )＝ax 2＋(1－a )x ，当x >1－1a时，ax 2＋(1－a )x <0，此时f (x )<0，不合题意．综上所述，a 的取值范围是．二、模拟大题4．已知函数f (x )＝1x＋a ln x (a ≠0，a ∈R )．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，又y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )<0，得0<x <1；由f ′(x )>0，得x >1. 所以x ＝1时，f (x )有极小值为1.y ＝f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2，且a ≠0.令f ′(x )＝0，得x ＝1a.若在区间(0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，即y ＝f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.当a <0时，f ′(x )<0对x ∈(0，e]恒成立，即y ＝f (x )在区间(0，e]上单调递减，故y ＝f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ，由1e ＋a <0，得a <－1e ，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e .当a >0时，①若e≤1a ，即0<a ≤1e ，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]恒成立，所以y ＝f (x )在区间(0，e]上单调递减，则y ＝f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a >0，显然，y ＝f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立．②若0<1a <e ，即a >1e，则有所以f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝a ＋a ln 1a，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝a ＋a ln 1a＝a (1－ln a )<0，得1－ln a <0，解得a >e ，即a ∈(e ，＋∞)．综上可知，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)． 5．已知f (x )＝e x(x 3＋mx 2－2x ＋2)． (1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在上单调递增？如果存在，求m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)的定义域为(－∞，＋∞)． ∵f ′(x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2) ＝x e x(x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x，∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值；当x ＝0时，f (x )取得极大值， ∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2，f (x )极大值＝f (0)＝2.(2)f ′(x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x． ∵f (x )在上单调递增，∴当x ∈时，f ′(x )≥0. 又当x ∈时，x e x<0，∴当x ∈时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－22－2m ＋3＋2m －2≤0，－12－m ＋3＋2m －2≤0，解得m ≤4.∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在上单调递增． 6．已知函数f (x )＝x ·ln x ，g (x )＝ax 3－12x －23e .(1)求f (x )的单调递增区间和最小值；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点处存在公共切线，求实数a 的值．解 (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，∴f (x )在x ＝1e 处取得极小值，即最小值．∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . (2)∵f ′(x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝3ax 2－12，设公切点的横坐标为x 0，则与f (x )的图象相切的直线方程为：y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与g (x )的图象相切的直线方程为：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫3ax 20－12x －2ax 30－23e ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝3ax 20－12，－x 0＝－2ax 3－23e，解之得x 0ln x 0＝－1e ，由(1)知x 0＝1e ，∴a ＝e26.。

2018年高考考点完全题数学理考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 9 含答案精品

考点测试9 指数与指数函数一、基础小题1．化简12－(－1)0的结果为( )A．－9 B．7 C．－10 D．9 答案 B解析原式＝(26)12－1＝7.2．若函数f(x)＝(2a－5)·a x是指数函数，则f(x)在定义域内( )A．为增函数B．为减函数C．先增后减D．先减后增答案 A解析由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数，故选A.3．已知函数f(x)＝4＋a x－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )A．(1,5) B．(1,4)C．(0,4) D．(4,0)答案 A解析当x＝1时，f(x)＝5.4．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( ) A．1<|a|<2 B．|a|<1C．|a|> 2 D．|a|< 2答案 C解析∵x>0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，∴a2－1>1，即a2>2.∴|a|> 2.5．函数y＝2x－2－x是( )A．奇函数，在(0，＋∞)上单调递增B．奇函数，在(0，＋∞)上单调递减C．偶函数，在(－∞，0)上单调递增D．偶函数，在(－∞，0)上单调递减答案 A解析根据奇偶性的定义判断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论判断单调性．令f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函数是奇函数，排除C、D.又函数y＝2x，y＝－2－x都是R上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f(x)＝2x －2－x是R上的增函数，故选择A.6．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于( )A．5 B．7C．9 D．11答案 B解析由f(a)＝3，得2a＋2－a＝3，∴(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9，所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.故选B.7．下列说法中，正确的是( )①任取x∈R都有3x>2x；②当a>1时，任取x∈R都有a x>a－x；③y＝(3)－x是增函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．A．①②④B．④⑤C ．②③④D ．①⑤答案 B解析 ①中令x ＝－1，则3－1<2－1，故①错；②中当x <0时，a x <a －x，故②错；③中y ＝(3)－x＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，∵0<33<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x为减函数，故③错；④中x ＝0时，y 取最小值1，故④正确；⑤用函数图象变换，可知y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，故⑤正确．8.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，gx ，x <0.若f (x )＝a x(a >0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x答案 D解析由图象可知，当x >0时，函数f (x )单调递减，则0<a <1，∵f (1)＝12，∴a ＝12，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，当x <0时，－x >0，则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－g (x )，即g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x ，故g (x )＝－2x，x <0，故选D.9．已知f (x )＝a x 和g (x )＝b x是指数函数，则“f (2)>g (2)”是“a >b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析由题可得，a ，b >0且a ，b ≠1，充分性：f (2)＝a 2，g (2)＝b 2，由f (2)>g (2)知，a 2>b 2，再结合y ＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，可知a >b ，故充分性成立；必要性：由题可知a >b >0，构造h (x )＝f x g x ＝a x b x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x ，显然a b >1，所以h (x )单调递增，故h (2)＝a 2b2>h (0)＝1，所以a 2>b 2，故必要性成立．故选C.10．若函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间上的最大值是14，则实数a 的值是( )A ．3B ．13C ．3或13D ．5或15答案 C解析设a x ＝t ，则原函数的最大值问题转化为求关于t 的函数y ＝t 2＋2t －1的最大值问题．因为函数图象的对称轴为t ＝－1，且开口向上，所以函数y ＝t 2＋2t －1在t ∈(0，＋∞)上是增函数．当a >1时，a －1≤t ≤a ，所以t ＝a 时，y 取得最大值14，即a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(舍去－5)；当0<a <1时，a ≤t ≤a －1，所以t ＝a －1时，y 取得最大值14，即a－2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－15.综上，实数a 的值为3或13，选C.11．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x 的值域为________．答案 (0,2]解析 ∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，即值域为(0,2]．12．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是________．答案 (－1,1)解析 y ＝|2x－1|的大致图象如图．由图可知，如果函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，需满足k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1. 二、高考小题13．设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈}，则A ∩B ＝( ) A ．B ．(1,3)C ．}＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 11k ＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y＝e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．15．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a log 23>0，而函数f (x )＝2|x |－1在(0，＋∞)上为增函数，∴f (log 25)>f (log 23)>f (0)，即b >a >c ，故选C.16．不等式2x 2－x <4的解集为________．答案 {x |－1<x <2} 解析不等式2x 2－x <4可转化为2x 2－x<22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．17．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在若函数f (x )＝4x－a ·2x ＋1在上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 解析本题考查函数的性质，函数的零点．设t ＝2x ，则f (t )＝t 2－at ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12a ＋1＝5－2a 4，f (2)＝22－2a ＋1＝5－2a ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12与f (2)符号相同，所以要使函数f (t )＝t 2－at ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个零点，则有⎩⎪⎨⎪⎧12≤a2≤2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤0f，解得2≤a ≤52，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52.19．化简a 3b 23ab 2a 14b 1243ba(a >0，b >0)的结果是( )A ．b aB ．abC ．a 2b D ．a b答案 D解析原式＝a 3b 2a 13 b 23ab 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 13＝a 103 b 83 12 a 23 b 73 ＝a 53 ·b 43 a 23 b 73＝ab －1＝a b .20．已知函数f (x )＝a x，其中a >0，且a ≠1，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.21．已知实数a ，b 满足12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14，则( )A ．b <2b －aB ．b >2b －aC ．a b －a答案 B解析 ⎝⎛⎭⎪⎫22b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b2 ，14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是R 上的减函数，∴12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14⇔1<a 2b －a ，a >b －a ，排除A 、C ；取a ＝1110，b ＝3910，得b －a ＝3910－1110＝145，有a 0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3答案 A解析设E (t ，a t )，易知点B 的坐标为(2t,2a t)．∵B 点在函数y ＝a x的图象上，∴2a t＝a 2t，∴a t ＝2(a t＝0舍去)， ∴平行四边形OABC 的面积＝OC ·AC ＝a t·2t ＝4t .又平行四边形OABC 的面积为8，∴t ＝2，∴a ＝ 2.故选A.23．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．答案 g (x )＝3x －2解析设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 上，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ＝3x －2. 24．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1,2)解析原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋x，⎝ ⎛⎭⎪⎫12xx ，求f (1＋log 23)的值．解因为2<1＋log 23<1＋log 24＝3，所以f (1＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×2log 213 ＝18×13＝124.2．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ·a ＝6，b ·a 3＝24.①②②÷①得a 2＝4.又a >0，且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x.(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立转化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56.故所求实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，56. 3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a x 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间为(－2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此12a －164a＝－1，解得a ＝1.(3)由指数函数的性质知，要使函数f (x )的值域是(0，＋∞)，则需函数h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因为二次函数的值域不可能为R ，所以a ＝0.4．已知函数f (x )＝10x －10－x10＋10.(1)判断函数的奇偶性；(2)证明：f (x )在定义域内是增函数； (3)求f (x )的值域．解 (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝10－x－10x10x ＋10－x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)证法一：f (x )＝10x－10－x10x ＋10－x ＝102x－1102x＋1＝1－2102x ＋1，令x 2>x 1，则 f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 1＋1＝2×102x2－102x 12x 2＋2x1＋.∵x 2>x 1，∴102x2－102x1>0，又102x2＋1>0,102x1＋1>0，f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，∴函数f (x )在定义域内是增函数．证法二：f (x )＝10x－10－x10x ＋10－x ＝1－2102x＋1.∵y 1＝10x为增函数，∴y 2＝102x＋1为增函数，y 3＝210＋1为减函数，y 4＝－2102x＋1为增函数，f (x )＝1－2102x ＋1为增函数．∴f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x 在定义域内是增函数．(3)令y ＝f (x )，由y ＝10x －10－x10x ＋10－x ，解得102x＝1＋y 1－y ， ∵102x>0，∴－1<y <1，即函数f (x )的值域是(－1,1)．。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 8 Word版含答案

考点测试8 二次函数与幂函数一、基础小题1．已知函数f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1aD ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b<f (b )答案 C解析因为函数f (x )＝x 12 在(0，＋∞)上是增函数，又0<a b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )答案 D解析由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A 、C.又f (0)＝c <0，所以排除B ，故选D.4．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 A解析由题意知m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，f (x )＝x －3符合题意，当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，f (x )＝x 0不合题意．综上知m ＝2.5．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<c D ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3) 答案 D解析 c ＝f (0)，对称轴为x ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又∵f (x )在(－∞，1)上单调递减，∴f (－3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>f (0)，即f (－3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>c .6．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2答案 B解析本题可以利用分类讨论或者代入检验两种方法．解法一：(分类讨论)当对称轴x ＝a2≤1，即a ≤2时，f (x )max ＝f (2)＝4－3a ＝1，解得a＝1符合题意；当a >2时，f (x )max ＝f (0)＝－a ＝1，解得a ＝－1(舍去)．综上所述，实数a ＝1，故选B.解法二：(代入法)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x ＋1在上的最大值为f (2)＝7≠1，排除A ；当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －1在上的最大值为f (2)＝1，B 正确；当a ＝－2时，f (x )＝x 2＋2x ＋2在上的最大值为f (2)＝10≠1，排除C ；当a ＝2时，f (x )＝x 2－2x －2在上的最大值为f (0)＝f (2)＝－2≠1，排除D ，故选B.7．已知函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间 C ． D ．答案 D解析当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，满足题意；当a >0时，函数f (x )在对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a <0时，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝－a －32a，∵函数f (x )在区间．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则“－2≤a ≤0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析当a ＝－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ≥1，－x 2＋x ＋1，x <1，作出图象可知，函数f (x )在R 上不是单调递增函数，所以充分性不满足；反之，若函数f (x )在R 上是单调递增函数，则当a＝0时满足，当a ≠0时，－a 2≤1，a <0且－12a ≥1，解得－12≤a <0.即－12≤a ≤0，所以能够推出－2≤a ≤0，故“－2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的必要不充分条件．9．已知函数f (x )＝tx ，g (x )＝(2－t )x 2－4x ＋1.若对于任意实数x ，f (x )与g (x )中至少有一个为正数，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0,2]B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)D ．(0，＋∞)答案 A解析对于函数g (x )＝(2－t )x 2－4x ＋1，Δ＝16－4(2－t )×1＝8＋4t .当t ＝0时，f (x )＝0，Δ>0，g (x )有正有负，不符合题意，故排除B ；当t ＝2时，f (x )＝2x ，g (x )＝－4x ＋1，符合题意，故排除C ；当t >2时，f (x )＝tx ，g (x )＝(2－t )x 2－4x ＋1，当x 趋近于－∞时，f (x )与g (x )都为负值，不符合题意，故排除D ，故选A.10．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．答案 0 (1,2)解析因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0，得1<x <2.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.答案 0解析因为函数f (x )是奇函数，所以当x <0时，－x >0，所以f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝ax 2－bx ，而f (－x )＝－f (x )，即－x 2－x ＝ax 2－bx ，所以a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析函数y ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴是x ＝2，该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3.同理可得函数y ＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，由f (x ＋a )>f (2a －x )，得x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，解得a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．二、高考小题13．已知a ＝2 43 ，b ＝425 ，c ＝25 13，则( ) A ．b <a <c B ．a 0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )答案 D解析因为a >0，所以f (x )＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A 错．在B 中，由f (x )的图象知a >1，由g (x )的图象知0<a <1，矛盾，故B 错．在C 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知a >1，矛盾，故C 错．在D 中，由f (x )的图象知0<a <1，由g (x )的图象知0<a <1，相符，故选D.15．已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析记g (x )＝f (f (x ))＝(x 2＋bx )2＋b (x 2＋bx )＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋bx ＋b 22－b 24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24＋b 22－b 24.当b <0时，－b 24＋b2<0，即当⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b 24＋b2＝0时，g (x )有最小值，且g (x )min ＝－b 24，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b24，所以f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等，都为－b 24，故充分性成立．另一方面，当b ＝0时，f (f (x ))的最小值为0，也与f (x )的最小值相等．故必要性不成立．选A.16．如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A ．16B ．18C ．25D ．812答案 B解析当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，则n －8<0⇒n <8，于是mn <16，则mn 无最大值．当m ∈对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f (x )的零点B ．1是f (x )的极值点C ．3是f (x )的极值D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上答案 A解析由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A 、B 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a .由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错．而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错，与题意不符，故A 、B 中有一个错误，C 、D 都正确．若A 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8， ②4ac －b 24a ＝3， ③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649＝0，又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649＝0无整数解，故A 错．若B 、C 、D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x 2－10x ＋8，此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A.18．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________．答案 9解析依题意有a ，b 是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，则a ＋b ＝p ，ab ＝q ，由p >0，q >0可知a >0，b >0.由题意可知ab ＝(－2)2＝4＝q ，a －2＝2b 或b －2＝2a ，将a －2＝2b 代入ab ＝4可解得a ＝4，b ＝1，此时a ＋b ＝5，将b －2＝2a 代入ab ＝4可解得a ＝1，b ＝4，此时a ＋b ＝5，则p ＝5，故p ＋q ＝9.三、模拟小题19. 幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<mC ．－1<m <0<nD ．－1<n <0<m <1答案 D解析在第一象限作出幂函数y ＝x ，y ＝x 0的图象，在(0,1)内作直线x ＝x 0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知－1<n <0<m <1，故选D.20．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )<0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)<0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定答案 A解析函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的对称轴为x ＝－12，又因为f (0)>0，f (p )<0，故－10，所以f (p ＋1)>0.21．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)；③f x 1x 1>f x 2x 2；④f x 1x 1<f x 2x 2. 其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．②③答案 D解析设函数f (x )＝x α，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24在函数图象上得⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝24，解得α＝12，故f (x )＝x 12 .故g (x )＝xf (x )＝x 32 为(0，＋∞)上的增函数，故①错误，②正确；而h (x )＝f xx＝x －12为(0，＋∞)上的减函数，故③正确，④错误．22．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3答案 D解析二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.23．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2b >0，f ＝1＋a ＋2b <0，f＝4＋2a ＋2b >0.作出满足上述不等式组对应的点(a ，b )所在的平面区域，得到△ABC 及其内部，如图所示的阴影部分(不含边界)，其中A (－3,1)，B (－2,0)，C (－1,0)．设点E (a ，b )为区域内的任意一点，则k ＝b －2a －1表示点E (a ，b )与点D (1，2)连线的斜率． ∵k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1，结合图形知道：k AD <k <k CD ，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.一、高考大题1．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，记M (a ，b )是|f (x )|在区间上的最大值． (1)证明：当|a |≥2时，M (a ，b )≥2；(2)当a ，b 满足M (a ，b )≤2时，求|a |＋|b |的最大值．解 (1)证明：由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋b －a 24，得对称轴为直线x ＝－a 2.由|a |≥2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2≥1，故f (x )在上单调，所以M (a ，b )＝max{|f (1)|，|f (－1)|}．当a ≥2时，由f (1)－f (－1)＝2a ≥4，得max{f (1)，－f (－1)}≥2，即M (a ，b )≥2. 当a ≤－2时，由f (－1)－f (1)＝－2a ≥4，得max{f (－1)，－f (1)}≥2，即M (a ，b )≥2. 综上，当|a |≥2时，M (a ，b )≥2.(2)由M (a ，b )≤2，得|1＋a ＋b |＝|f (1)|≤2，|1－a ＋b |＝|f (－1)|≤2，故|a ＋b |≤3，|a －b |≤3，由|a |＋|b |＝⎩⎪⎨⎪⎧ |a ＋b |，ab ≥0，|a －b |，ab <0，得|a |＋|b |≤3.当a ＝2，b ＝－1时，|a |＋|b |＝3，且|x 2＋2x －1|在上的最大值为2，即M (2，－1)＝2.所以|a |＋|b |的最大值为3.二、模拟大题2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0，所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2. (2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －24.由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域是，求实数a 的值；(2)若f (x )在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，所以f (x )在上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝a ，f a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)因为f (x )在(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2，又x ＝a ∈，且(a ＋1)－a ≤(a ＋1)－2＝a －1，所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，因为对任意的x 1，x 2∈，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，所以f (x )max －f (x )min ≤4，即(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围是．4．已知函数y ＝f (x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数y ＝f (x )的一个不动点，设二次函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －2(a ≠0)．(1)当a ＝2，b ＝1时，求函数f (x )的不动点；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )恒有两个不同的不动点，求实数a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，若函数y ＝f (x )的图象上A ，B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且直线y ＝kx ＋1a 2＋1是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝2x 2＋2x －1，由2x 2＋2x －1＝x ，得x 1＝－1，x 2＝12. 所以函数f (x )的不动点为x 1＝－1，x 2＝12. (2)因为对于任意实数b ，函数f (x )恒有两个不同的不动点，所以对于任意实数b ，方程f (x )＝x 恒有两个不相等的实数根，即方程ax 2＋bx ＋b －2＝0恒有两个不相等的实数根，所以Δx ＝b 2－4a (b －2)>0，即对于任意实数b ，b 2－4ab ＋8a >0，所以Δb ＝(－4a )2－4×8a <0，解得0<a <2.(3)设A (x 1，x 1)，B (x 2，x 2)，由题意知函数f (x )的两个不同的不动点为x 1，x 2，则x 1，x 2是ax 2＋bx ＋b －2＝0的两个不等实根，所以x 1＋x 2＝－b a，直线AB 的斜率为1，线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，－b 2a . 因为直线y ＝kx ＋1a 2＋1是线段AB 的垂直平分线，所以k ＝－1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，－b 2a 在直线y ＝kx ＋1a 2＋1上，则－b 2a ＝b 2a ＋1a 2＋1，a ∈(0,2)，所以b ＝－a a 2＋1＝－1a ＋1a ≥－12a ·1a＝－12，当且仅当a ＝1时等号成立．又由b ＝－aa 2＋1知b <0，所以实数b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.。

高考数学考点通关练第二章函数、导数及其应用单元

即x>1，∴定义域为
(1，＋∞)．
2．[2017·山东实验中学模拟]幂函数f(x)＝k·xα的图象过
点12， 22，则k＋α＝(
)
A．12
B．1
C．32 解析
D．2
由幂函数的定义知
k＝1.又f
1 2
＝
2 2
，所以
1 2
α＝
22，解得α＝12，从而k＋α＝32.

∈[0,1)＝log1

2
1，log1 2
12，∴12<3－x≤1，解得2≤x<52.
1
7．[2016·陕西二检]曲线y＝e 3x 在点(6，e2)处的切线与
坐标轴所围成的三角形的面积为(
)
A．32e2
B．3e2
C．6e2
D．9e2
解析
因为y＝e 13x
，所以
y′＝
1单元质量测试(二)
时间：120分钟
满分：150分
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．[2017·河南郑州模拟]函数f(x)＝ln
x x－1
＋x
1 2
的定义
域为(
)
A．(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(0,1)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
解析
自变量x满足 x－x 1>0， x≥0，
15＝16÷20＋15＝
1，故f(log220)＝－1，故选C.
9．已知函数f(x)＝x2＋2x＋1－2x，则y＝f(x)的图象大致
为(
)
解析 f′(x)＝2x＋2－2xln 2，画出函数y＝2x＋2，y ＝2xln 2的图象(如图)，可知两个函数图象有两个不同的交点，即方程f′(x)＝0有两个不同的变号零点x1，x2(设 x1<x2)，且在(－∞，x1)上f′(x)<0，在(x1，x2)上f′(x)>0，在(x2，＋∞)上f′(x)<0，即函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减，且极值点x1<0，x2>0，故选A.

高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 12 word版含答案

考点测试12 函数与方程一、基础小题1．若函数f(x)＝ax＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是( ) A．(1，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)答案 C解析由题意知，f(－1)f(1)<0，即(1－a)(1＋a)<0，解得a<－1或a>1.2．下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )答案 C解析能用二分法求零点的函数必须在给定区间上连续不断，并且有f(a)·f(b)<0.A、B 中不存在f (x )<0，D 中函数不连续．故选C.3．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (1)>0，f (2)<0，则f (x )在(1,2)上零点的个数为( )A ．至多有一个B ．有一个或两个C ．有且仅有一个D ．一个也没有答案 C解析 ∵f (1)>0，f (2)<0，∴f (x )在(1,2)上必有零点，又∵函数为二次函数，∴有且只有一个零点．4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－x 13 ，那么在下列区间中含有函数f (x )零点的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,2) 答案 B 解析5．函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C 解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋2x －3＝0，得x ＝－3.又⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－2＋ln x ＝0，得x ＝e 2.∴f (x )的零点个数为2.故选C.6．已知a 是函数f (x )＝2x－log 12 x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定答案 B解析分别作出y＝2x与y＝log12x的图象如图，当0<x0<a时，y＝2x的图象在y＝log12x图象的下方，所以f(x0)<0.7．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案 A解析易知f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)．又a<b<c，则f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别在(a，b)和(b，c)内．8．已知函数f(x)与g(x)的图象均在R上不间断，由下表知方程f(x)＝g(x)的实数解所在的区间是( )答案 B解析设h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)＝－0.147，h(0)＝－0.44，h(1)＝0.542，所以h(0)·h(1)<0，h(x)的零点在(0,1)内，即f(x)＝g(x)的实数解所在的区间为(0,1)．9．函数f(x)＝e x＋ln x，g(x)＝e－x＋ln x，h(x)＝e－x－ln x的零点分别是a，b，c，则( )A．a<b<c B．c<b<a C．c<a0，e x>1，故－ln x>1，即ln x<－1，所以0<a <1e ；由g (x )＝e －x ＋ln x ＝0，得e －x ＝－ln x ，但x >0,0<e －x<1，故0<－ln x <1，即－1<ln x <0，所以1e0,0<e －x <1，故0<lnx <1，所以1<c <e.综上可知a bC ．x 0<cD ．x 0>c 答案 D解析由已知f (x )＝2－x－ln (x 3＋1)在(0，＋∞)上为减函数，且f (x 0)＝0，f (a )f (b )f (c )<0可分为以下两种情形：①f (a )，f (b )，f (c )均小于0，如图所示，此时x 0<a 0，f (b )>0，f (c )<0，如图所示，此时a c ，故选D.11．已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4) 答案 C解析 ∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120<0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121>0，∴x 0∈(2,3)，故选C.12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x －1|，x ≤0，2x －1＋a ，x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析由于当x ≤0，f (x )＝|x 2＋2x －1|时图象与x 轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x －1＋a ＝0有1个正根即可，变形为2x＝－2a ，结合图形只需－2a >1⇒a <－12即可．二、高考小题13．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}答案 D解析当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝1. 当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x .令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0，得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7>0(舍)， ∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，解之得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.15．若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________．答案 (0,2)解析函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点等价于函数y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y ＝|2x－2|及y ＝b 的图象，如图．由图可知b ∈(0,2)．16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．答案 2解析当x ≤0时，由x 2－2＝0，得x ＝－2；当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x 在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上可知f (x )的零点个数为2.17．函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．答案 2解析 f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin2x －x 2，函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1＝sin2x 与y 2＝x 2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y 1＝sin2x 与y 2＝x 2的图象如图所示．由图可知两函数图象有2个交点，则f (x )的零点个数为2.18．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2)解析函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点等价于函数y ＝f (x )和y ＝a |x |的图象恰有4个公共点．在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )和y ＝a |x |的图象可知，若满足条件，则a >0.当a ≥2时，在y 轴右侧，两函数图象只有一个公共点，此时在y 轴左侧，射线y ＝－ax (x ≤0)与抛物线y ＝－x 2－5x －4(－4<x <－1)需相切．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－5x －4，y ＝－ax 消去y ，得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.由Δ＝(5－a )2－16＝0，解得a ＝1或a ＝9.a ＝1与a ≥2矛盾，a ＝9时，切点的横坐标为2，不符合．故0<a <2，此时，在y 轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－a <－1，即a >1.故1<a <2.三、模拟小题19．若f(x)是奇函数，且x0是y＝f(x)＋e x的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点( )A．y＝f(－x)e x－1 B．y＝f(x)e－x＋1C．y＝e x f(x)－1 D．y＝e x f(x)＋1答案 C解析20．若函数y＝f(x)在区间上的图象是连续的，则下列说法正确的是( )A．若f(a)f(b)>0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)>0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)<0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)<0，则有且只有一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0答案 B解析由函数零点存在性定理可知，选B.21．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝2016x＋log2016x，则函数f(x)的零点个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析作出函数y＝2016x和y＝－log2016x的图象如图所示，可知函数f(x)＝2016x＋log2016x在x∈(0，＋∞)上存在一个零点，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在x∈(－∞，0)上只有一个零点，又f(0)＝0，∴函数f(x)的零点个数是3，故选C.22．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，若关于x 的方程2－af (x )＝0恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．2－af (x )＝0的解为f (x )＝0或f (x )＝a ，而函数f (x )的图象如图所示，由图象可知，方程f (x )＝0只有一解x ＝1，而原方程有三解，所以方程f (x )＝a 有两个不为1的相异的解，即0<a ≤1.23．函数f (x )的定义域为，图象如图1所示；函数g (x )的定义域为，图象如图2所示，方程f (g (x ))＝0有m 个实数根，方程g (f (x ))＝0有n 个实数根，则m ＋n ＝( )A ．14B ．12C ．10D ．8 答案 A解析由题图1可知，若f (g (x ))＝0，则g (x )＝－1或g (x )＝0或g (x )＝1，由题图2可知，g (x )＝－1时，x ＝－1或x ＝1；g (x )＝0对应的x 值有3个；g (x )＝1时，x ＝2或x ＝－2，故m ＝7.若g (f (x ))＝0，则f (x )＝－1.5或f (x )＝1.5或f (x )＝0，由题图1知，f (x )＝1.5与f (x )＝－1.5对应的x 值各有2个，f (x )＝0时，x ＝－1或x ＝1或x ＝0，故n ＝7，故m ＋n ＝14.故选A.24．已知函数y ＝f (x )的图象是连续的曲线，且对应值如表：答案 3解析依题意知f (2)>0，f (3)<0，f (4)>0，f (5)<0，根据零点存在性定理可知，f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均至少含有一个零点，故函数y ＝f (x )在区间上的零点至少有3个．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．若关于x 的方程(lg ax )·(lg ax 2)＝4的所有解都大于1，求实数a 的取值范围．解原方程可化为(lg a ＋lg x )·(lg a ＋2lg x )＝4，即2(lg x )2＋3(lg a )·(lg x )＋(lg a )2－4＝0，令lg x ＝t >0，则有2t 2＋3(lg a )·t ＋(lg a )2－4＝0的解都是正数，设f (t )＝2t 2＋3(lg a )·t ＋(lg a )2－4，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a2－a2－4]≥0，－3lg a4>0，f ＝a2－4>0，解得lg a <－2，∴0<a <1100，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100.2．已知函数f (x )＝－x 2－2x ， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g 的值；(2)若方程g －a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解 (1)利用解析式直接求解得g ＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. 3．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m 的范围．解 (1)由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图1所示，得⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝2m ＋1<0，f －＝2>0，f ＝4m ＋2<0，f ＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12. (2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图2所示，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝2m ＋1>0，f ＝4m ＋2>0，Δ＝4m 2－m ＋，0<－m <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－12，m >－12，m ≥1＋2或m ≤1－2，－1<m <0，即－12<m ≤1－ 2. 4．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x >0)． (1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围； (2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解 (1)解法一：∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点．解法二：由g ′(x )＝1－e 2x 2＝x ＋x －x 2，可作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象(如图1)．可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x >0)的大致图象(如图2)． ∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．。

高考数学考点通关练第二章函数、导数及其应用考点测试16导数的应用(二)高三全册数学

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解析
13．(2015·安徽高考)设 x3＋ax＋b＝0，其中 a，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是__________．(写出所有正确条件的编号)
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2； ⑤a＝1，b＝2.
答案 ①③④⑤
解得 1≤k<32.故选 B.
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解析
6．已知定义在(0，＋∞)上的函数 f(x)，满足 f′(x)<2f(x)(其中 f′(x)是
f(x)的导函数，e 是自然对数的底数)，则( )
A．e2f(1)>f(2)
B．e2f(1)<f(2)
C．9f(ln 2)<4f(ln 3)
D．9f(ln 2)＝4f(ln 3)
单调递增，故 f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，即 f(2)－f(1)>ln 2.
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解析答案
15．(2019·安阳模拟)已知函数 f(x)＝x33＋x22与 g(x)＝6x＋a 的图象有 3 个
不同的交点，则 a 的取值范围是( )
答案－1，21
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答案
解析易知函数 f(x)的定义域关于原点对称．∵f(x)＝x3－2x＋ex－e1x， ∴f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－e1－x＝－x3＋2x＋e1x－ex＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，又 f′(x)＝3x2－2＋ex＋e1x≥3x2－2＋2＝3x2≥0(当且仅当 x＝0 时，取 “＝”)，从而 f(x)在 R 上单调递增，∴f(a－1)＋f(2a2)≤0⇔f(a－1)≤f(－2a2) ⇔－2a2≥a－1，解得－1≤a≤12.

2018年高考考点完全题数学理考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 15 含答案精品

考点测试15 导数的应用(一)一、基础小题1．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案 A解析 f ′(x )＝1－cos x >0，∴f (x )在(0,2π)上递增． 2．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点答案 D解析 f (x )＝2x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >2时，f ′(x )>0，这时f (x )为增函数；0<x <2时，f ′(x )<0，这时f (x )为减函数，据此知x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.3．函数f (x )＝e x－x (e 为自然对数的底数)在区间上的最大值是( ) A ．1＋1eB ．1C ．e ＋1D ．e －1答案 D解析因为f (x )＝e x－x ，所以f ′(x )＝e x－1.令f ′(x )＝0，得x ＝0.且当x >0时，f ′(x )＝e x－1>0，x <0时，f ′(x )＝e x－1<0，即函数在x ＝0处取得极小值，f (0)＝1.又f (－1)＝1e＋1，f (1)＝e －1，综合比较得函数f (x )＝e x－x 在区间上的最大值是e －1.故选D. 4.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d ) 答案 C解析依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )>0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )<0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a f (b )>f (a )，选C.5．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示，则f (x )的图象可能是( )答案 D解析当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．6．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3)∪[3，＋∞) B ．C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3，3) 答案 B解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0恒成立，∴Δ＝4a 2－12≤0，－3≤a ≤ 3.7．若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，52B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52C ．⎝⎛⎭⎪⎫2，103D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103答案 C解析 ∵f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1，∴f ′(x )＝x 2－ax ＋1.若函数f (x )＝x 33－a2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有极值点，则f ′(x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3内有零点，由f ′(x )＝x 2－ax ＋1＝0，可知a ＝x ＋1x.∵函数y ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，在(1,3)上单调递增，∴y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103，即2≤a <103.当a ＝2时，由f ′(x )＝0解得x ＝1，而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，(1,3)上单调性相同，故不存在极值点，则a ≠2. 综上可知，2<a <103，故选C.8．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x＋1的解集为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<x <1}答案 A解析构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x－e x>e x－e x＝0，所以g (x )＝e x·f (x )－e x为R 上的增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0.二、高考小题9．若函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 答案 C解析函数f (x )＝x －13sin2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at ＋53≥0在恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧g ＝－43＋a ＋53≥0，g－＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C.10．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)答案 A 解析令g (x )＝f x x (x ≠0)，则g ′(x )＝xfx －f xx 2，由题意知，当x >0时，g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上是减函数． ∵f (x )是奇函数，f (－1)＝0， ∴f (1)＝－f (－1)＝0， ∴g (1)＝f1＝0，∴当x ∈(0,1)时，g (x )>0，从而f (x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，从而f (x )<0. 又∵g (－x )＝f －x －x ＝－f x －x ＝f xx＝g (x )， ∴g (x )是偶函数，∴当x ∈(－∞，－1)时，g (x )<0，从而f (x )>0；当x ∈(－1,0)时，g (x )>0，从而f (x )<0. 综上，所求x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．11．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)答案 C解析 (1)当a ＝0时，显然f (x )有两个零点，不符合题意．(2)当a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a.当a >0时，2a>0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在(－∞，0)与⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a 上为减函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f (0)<0，即1<0，不成立．当a <0时，2a<0，所以函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上为减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0上为增函数，因为f (x )存在唯一零点x 0，且x 0>0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a >0，即a ·8a 3－3·4a 2＋1>0，解得a >2或a <－2，又因为a <0，故a 的取值范围为(－∞，－2)．12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .(1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)2 (2)(－∞，－1)解析 (1)若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x >0.当x >0时，f (x )＝－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x <－1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，当－1<x <0时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，∴f (x )≤f (－1)＝2.∴f (x )的最大值为2.(2)在同一平面直角坐标系中画出y ＝－2x 和y ＝x 3－3x 的图象，如图所示，当a <－1时，f (x )无最大值；当－1≤a ≤2时，f (x )max ＝2；当a >2时，f (x )max ＝a 3－3a .综上，当a ∈(－∞，－1)时，f (x )无最大值．13．已知函数f (x )＝2x，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f x 1－f x 2x 1－x 2，n ＝g x 1－g x 2x 1－x 2.现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m >0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n >0； ③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ； ④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n . 其中的真命题有________(写出所有真命题的序号)．答案 ①④解析 ①f (x )＝2x是增函数，∴对任意不相等的实数x 1，x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，即m >0，∴①成立．②由g (x )＝x 2＋ax 图象可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g (x )是减函数，∴当不相等的实数x 1、x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－a 2时，g x 1－g x 2x 1－x 2<0，即n <0，∴②不成立．③若m ＝n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝g x 1－g x 2x 1－x 2，即f (x 1)－f (x 2)＝g (x 1)－g (x 2)，f (x 1)－g (x 1)＝f (x 2)－g (x 2)，令h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x－x 2－ax ，h ′(x )＝2xln 2－2x －a ，令h ′(x )＝2xln 2－2x －a ＝0，得2xln 2＝2x ＋a . 由y ＝2xln 2与y ＝2x ＋a 的图象知，存在a 使对任意x ∈R 恒有2xln 2>2x ＋a ，此时h (x )在R 上是增函数．若h (x 1)＝h (x 2)，则x 1＝x 2， ∴③不成立． ④若m ＝－n ，则有f x 1－f x 2x 1－x 2＝－g x 1－g x 2x 1－x 2，f (x 1)＋g (x 1)＝f (x 2)＋g (x 2)，令φ(x )＝f (x )＋g (x )，则φ(x )＝2x＋x 2＋ax ， φ′(x )＝2x ln 2＋2x ＋a .令φ′(x )＝0，得2xln 2＋2x ＋a ＝0，即2xln 2＝－2x －a .由y 1＝2xln 2与y 2＝－2x －a 的图象可知，对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时，y 1>y 2，x <x 0时，y 1<y 2，故对任意的a ，存在x 0，使x >x 0时，φ′(x )>0，x <x 0时φ′(x )<0，故对任意的a ，φ(x )在R 上不是单调函数．故对任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使m ＝－n ， ∴④成立．综上，①④正确．三、模拟小题14．已知函数f (x )＝e xx2－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋ln x ，若x ＝2是函数f (x )的唯一一个极值点，则实数k 的取值范围为( )A ．(－∞，e]B ．C ．(－∞，e)D ．直线y ＝a 分别与直线y ＝3x ＋3，曲线y ＝2x ＋ln x 交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．43 B ．1 C ．2105D ．4答案 A解析设与直线y ＝3x ＋3平行且与曲线y ＝2x ＋ln x 相切的直线为y ＝3x ＋b ，则y ′＝2＋1x＝3，解得x ＝1，所以切点为(1,2)．所以当a ＝2时，直线y ＝a 与直线y ＝3x ＋3的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2，此时|AB |min ＝43.16．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( ) A ．23 B ．43 C ．83 D ．163答案 C解析由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1·x 2＝4－43＝83，故选C.17．已知函数f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ，若f (x 1)<f (x 2)，则( )A ．x 1>x 2B ．x 1＋x 2＝0C ．x 1<x 2D ．x 21<x 22答案 D解析因为f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e －x －1e －x ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫e x －1e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．由f (x 1)<f (x 2)，得f (|x 1|)<f (|x 2|)(*)．又f ′(x )＝e x－1e x ＋x ⎝⎛⎭⎪⎫e x ＋1e x ＝e 2x x ＋＋x －1ex，当x ≥0时，e 2x(x ＋1)＋x －1≥e 0(0＋1)＋0－1＝0，所以f ′(x )≥0，所以f (x )在已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－m x ，若至少存在一个x 0∈，使得f (x 0)<g (x 0)成立，则实数m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2eB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2eC ．(－∞，0]D ．(－∞，0)答案 B解析由题意，不等式f (x )<g (x )在上有解，∴mx <2ln x ，即m 2<ln xx在上有解，令h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln x x 2，1≤x ≤e，∴h ′(x )≥0，∴h (x )max ＝h (e)＝1e ，∴m 2<h (e)＝1e ，∴m <2e ，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，2e ，故选B.一、高考大题1．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2有两个零点． (1)求a 的取值范围；(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解 (1)f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)(e x＋2a )． ①设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x，f (x )只有一个零点．②设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增．又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－32b >0，故f (x )存在两个零点． ③设a <0，由f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝ln (－2a )．若a ≥－e2，则ln (－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．若a <－e2，则ln (－2a )>1，故当x ∈(1，ln (－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln (－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln (－2a ))单调递减，在(ln (－2a )，＋∞)单调递增．又当x ≤1时f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x2＋a (x 2－1)2，而f (x 2)＝(x 2－2)e x2＋a (x 2－1)2＝0，所以f (2－x 2)＝－x 2e 2－x2－(x 2－2)e x2.设g (x )＝－x e2－x－(x －2)e x，则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x－e x)．所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0，故当x >1时，g (x )<0.从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2. 2．(1)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x＋x ＋2>0； (2)证明：当a ∈，使得f (x a )＋a ＝0，即g ′(x a )＝0.当0<x <x a 时，f (x )＋a <0，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >x a 时，f (x )＋a >0，g ′(x )>0，g (x )单调递增．因此g (x )在x ＝x a 处取得最小值，xa 最小值为g (x a )＝e xa －a x a ＋x 2a＝e xa ＋f x ax a ＋x 2a＝e xax a ＋2.于是h (a )＝ex ax a ＋2，由⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx ＋2′＝x ＋x x ＋2>0，得y ＝exx ＋2单调递增．所以，由x a ∈(0,2]，得12＝e 00＋2<h (a )＝e xax a ＋2≤e 22＋2＝e24.因为y ＝e xx ＋2单调递增，对任意λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，e 24，存在唯一的x a ∈(0,2]，a ＝－f (x a )∈设函数f (x )＝ln (x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .(1)讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由； (2)若∀x >0，f (x )≥0成立，求a 的取值范围．解 (1)由题意知，函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1＋a (2x －1)＝2ax 2＋ax －a ＋1x ＋1，令g (x )＝2ax 2＋ax －a ＋1，x ∈(－1，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝1，此时f ′(x )>0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点． ②当a >0时，Δ＝a 2－8a (1－a )＝a (9a －8)． a ．当0<a ≤89时，Δ≤0，g (x )≥0，f ′(x )≥0，函数f (x )在(－1，＋∞)单调递增，无极值点；b ．当a >89时，Δ>0，设方程2ax 2＋ax －a ＋1＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，因为x 1＋x 2＝－12，所以x 1<－14，x 2>－14.由g (－1)＝1>0，可得－1<x 1<－14.所以当x ∈(－1，x 1)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增．因此，函数有两个极值点． ③当a <0时，Δ>0，由g (－1)＝1>0，可得x 1<－1.当x ∈(－1，x 2)时，g (x )>0，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以函数有一个极值点．综上所述，当a <0时，函数f (x )有一个极值点；当0≤a ≤89时，函数f (x )无极值点；当a >89时，函数f (x )有两个极值点．(2)由(1)知，①当0≤a ≤89时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意； ②当89<a ≤1时，由g (0)≥0，得x 2≤0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (0)＝0，所以x ∈(0，＋∞)时，f (x )>0，符合题意； ③当a >1时，由g (0)<0，可得x 2>0. 所以x ∈(0，x 2)时，函数f (x )单调递减．因为f (0)＝0，所以x ∈(0，x 2)时，f (x )<0，不合题意； ④当a <0时，设h (x )＝x －ln (x ＋1)．因为x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1>0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．因此当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0，即ln (x ＋1)<x .可得f (x )<x ＋a (x 2－x )＝ax 2＋(1－a )x ，当x >1－1a时，ax 2＋(1－a )x <0，此时f (x )<0，不合题意．综上所述，a 的取值范围是．二、模拟大题4．已知函数f (x )＝1x＋a ln x (a ≠0，a ∈R )．(1)若a ＝1，求函数f (x )的极值和单调区间；(2)若在区间(0，e]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，又y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，由f ′(x )<0，得0<x <1；由f ′(x )>0，得x >1. 所以x ＝1时，f (x )有极小值为1.y ＝f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)f ′(x )＝－1x 2＋a x ＝ax －1x2，且a ≠0.令f ′(x )＝0，得x ＝1a.若在区间(0，e]上存在一点x 0，使得f (x 0)<0成立，即y ＝f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0.当a <0时，f ′(x )<0对x ∈(0，e]恒成立，即y ＝f (x )在区间(0，e]上单调递减，故y ＝f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a ，由1e ＋a <0，得a <－1e ，即a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e .当a >0时，①若e≤1a ，即0<a ≤1e ，则f ′(x )≤0对x ∈(0，e]恒成立，所以y ＝f (x )在区间(0，e]上单调递减，则y ＝f (x )在区间(0，e]上的最小值为f (e)＝1e ＋a ln e ＝1e ＋a >0，显然，y ＝f (x )在区间(0，e]上的最小值小于0不成立．②若0<1a <e ，即a >1e，则有所以f (x )在区间(0，e]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ＋a ln 1a，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a＝a ＋a ln 1a＝a (1－ln a )<0，得1－ln a <0，解得a >e ，即a ∈(e ，＋∞)．综上可知，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ∪(e ，＋∞)． 5．已知f (x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)． (1)假设m ＝－2，求f (x )的极大值与极小值；(2)是否存在实数m ，使f (x )在上单调递增？如果存在，求m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解 (1)当m ＝－2时，f (x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)的定义域为(－∞，＋∞)． ∵f ′(x )＝e x (x 3－2x 2－2x ＋2)＋e x (3x 2－4x －2) ＝x e x(x 2＋x －6)＝(x ＋3)x (x －2)e x，∴当x ∈(－∞，－3)或x ∈(0,2)时，f ′(x )<0；当x ∈(－3,0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0；f ′(－3)＝f ′(0)＝f ′(2)＝0，∴f (x )在(－∞，－3)上单调递减，在(－3,0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴当x ＝－3或x ＝2时，f (x )取得极小值；当x ＝0时，f (x )取得极大值， ∴f (x )极小值＝f (－3)＝－37e －3，f (x )极小值＝f (2)＝－2e 2，f (x )极大值＝f (0)＝2.(2)f ′(x )＝e x (x 3＋mx 2－2x ＋2)＋e x (3x 2＋2mx －2)＝x e x． ∵f (x )在上单调递增，∴当x ∈时，f ′(x )≥0. 又当x ∈时，x e x<0，∴当x ∈时，x 2＋(m ＋3)x ＋2m －2≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－m ＋＋2m －2≤0，－2－m ＋＋2m －2≤0，解得m ≤4.∴当m ∈(－∞，4]时，f (x )在上单调递增．6．已知函数f (x )＝x ·ln x ，g (x )＝ax 3－12x －23e .(1)求f (x )的单调递增区间和最小值；(2)若函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象在交点处存在公共切线，求实数a 的值．解 (1)∵f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x )>0，得x >1e，∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞. 又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，则f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，∴f (x )在x ＝1e 处取得极小值，即最小值．∴f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . (2)∵f ′(x )＝ln x ＋1，g ′(x )＝3ax 2－12，设公切点的横坐标为x 0，则与f (x )的图象相切的直线方程为：y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与g (x )的图象相切的直线方程为：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3ax 20－12x －2ax 30－23e ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝3ax 2－12，－x 0＝－2ax 30－23e，解之得x 0ln x 0＝－1e ，由(1)知x 0＝1e ，∴a ＝e26.。

2018年高考考点完全题数学理考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 5 含答案精品

考点测试5 函数的定义域和值域一、基础小题 1．函数f (x )＝1lg x＋2－x 的定义域为( ) A ．(0,2] B ．(0,2) C ．(0,1)∪(1,2] D ．(－∞，2]答案 C解析 f (x )＝1lg x ＋2－x 是复合函数，所以定义域要满足lg x ≠0且2－x ≥0且x >0，所以0＜x ≤2且x ≠1.2．若函数y ＝x 2－4x 的定义域是{x |1≤x <5，x ∈N }，则其值域为( ) A ． C ．∪ D ．(0,1]答案 B解析由题意知kx 2－6x ＋k ＋8≥0对于x ∈R 恒成立，当k ≤0时显然不符合，所以⎩⎪⎨⎪⎧k >0，Δ＝36－4k k ＋，解得k ≥1，故选B.5．若函数y ＝f (x )的值域是，则函数F (x )＝1－f (x ＋3)的值域是( ) A ．B ．C ．D ．答案 C解析 ∵1≤f (x )≤3，∴－3≤－f (x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f (x ＋3)≤0，即F (x )的值域为．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 答案 C解析由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为( )A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 答案 B解析当a >1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12，与a >1矛盾；当0<a <1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12.8．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，103 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103 答案 B解析因为F (x )＝f (x )＋1f x≥2，当且仅当f (x )＝1f x，即f (x )＝1时取等号，所以F (x )min ＝2；又函数F (x )为连续函数，当f (x )＝12时，F (x )＝52；当f (x )＝3时，F (x )＝103，故F (x )max ＝103，所以F (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.故选B. 9．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( )A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x答案 C解析因为5－x＋1>1，所以A 项中函数的值域为(0,1)；B 、D 项中函数的值域均为，则函数g (x )＝f (x ＋1)－f (x －1)的定义域为________．答案 {1}解析由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋1≤2，0≤x －1≤2，解得x ＝1，所以g (x )的定义域为{1}．11．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．答案解析设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知，f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时，f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.12．已知函数f (x )与g (x )分别由下表给出：则函数y ＝g (f (x ))的值域为________．答案 {2,3,5}解析由表格可知，函数f (x )的定义域是{1,2,3,4}．则当x ＝1时，y ＝g (f (1))＝g (2)＝3；当x ＝2时，y ＝g (f (2))＝g (1)＝2；当x ＝3时，y ＝g (f (3))＝g (4)＝5；当x ＝4时，y ＝g (f (4))＝g (2)＝3.所以函数y ＝g (f (x ))的值域为{2,3,5}．二、高考小题 13．函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2，x ≤0，x ＋1x＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，又f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解之，得－1≤a ≤2，∴a 的取值范围是0≤a ≤2.选D.15．函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．答案解析若函数有意义，则3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1. 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．答案 0 22－3解析由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.17．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是，则a ＋b ＝________. 答案－32解析 ①当a >1时，f (x )在上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．②当0<a <1时，f (x )在上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－32. 18．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是解析当x ≤2时，f (x )＝－x ＋6，f (x )在(－∞，2]上为减函数，∴f (x )∈函数f (x )＝－x 2＋3x ＋4＋lg (x －1)的定义域是( )A ．B ．(－1,4]C ．D ．(1,4]答案 D解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ＋4≥0，x －1>0，解得1<x ≤4.20．若函数f (x )＝1log 3x ＋c 的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，则实数c 的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．－12答案 B解析依题意，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋c >0，2x ＋c ≠1的解集应为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞)，所以c ＝－1，故选B.21．设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 的定义域为( ) A ．(－4,0)∪(0,4) B ．(－4，－1)∪(1,4) C ．(－2，－1)∪(1,2) D ．(－4，－2)∪(2,4)答案 B解析 ∵2＋x 2－x >0，∴－2<x <2，∴－2<x 2<2且－2<2x <2，取x ＝1，则2x ＝2不合题意(舍去)，故排除A ，取x ＝2，满足题意，排除C 、D ，故选B.22．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是(a ，b ∈Z )，值域是，那么满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．2个B ．3个C ．5个D ．无数个答案 C解析 ∵函数f (x )＝4|x |＋2－1的值域是，∴1≤4|x |＋2≤2，∴0≤|x |≤2，∴－2≤x ≤2，∴⊆．又由于仅当x ＝0时，f (x )＝1，当x ＝±2时，f (x )＝0，故在定义域中一定有0，且2，－2中必有其一，故满足条件的整数数对(a ，b )有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－1,2)，(0,2)共5个．23．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋，x >0，xx －，x ≤0，则f (a )的值不可能为( ) A ．2017 B ．12016 C ．0 D ．－2答案 D解析如图作出y ＝f (x )的图象，则f (x )的值域为函数y ＝3|x |－1的定义域为，则函数的值域为________．答案解析当x ＝0时，y min ＝3|x |－1＝30－1＝0，当x ＝2时，y max ＝3|x |－1＝32－1＝8，故值域为．一、高考大题1．已知a ≥3，函数F (x )＝min{2|x －1|，x 2－2ax ＋4a －2}，其中min{p ，q }＝⎩⎪⎨⎪⎧p ，p ≤q ，q ，p >q .(1)求使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围； (2)①求F (x )的最小值m (a )； ②求F (x )在区间上的最大值M (a )．解 (1)由于a ≥3，故当x ≤1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝x 2＋2(a －1)(2－x )>0，当x >1时，(x 2－2ax ＋4a －2)－2|x －1|＝(x －2)(x －2a )．所以，使得等式F (x )＝x 2－2ax ＋4a －2成立的x 的取值范围为．(2)设函数f (x )＝2|x －1|，g (x )＝x 2－2ax ＋4a －2. ①f (x )min ＝f (1)＝0，g (x )min ＝g (a )＝－a 2＋4a －2，所以，由F (x )的定义知m (a )＝min{f (1)，g (a )}，即m (a )＝⎩⎨⎧0，3≤a ≤2＋2，－a 2＋4a －2，a >2＋ 2.②当0≤x ≤2时，F (x )≤f (x )≤max{f (0)，f (2)}＝2＝F (2)，当2≤x ≤6时，F (x )≤g (x )≤max{g (2)，g (6)}＝max{2,34－8a }＝max{F (2)，F (6)}．所以，M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧34－8a ，3≤a <4，2，a ≥4.二、模拟大题2．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈，试求函数y ＝2＋f (x 2)的值域．解 ∵f (x )＝2＋log 3x 的定义域为，要使2＋f (x 2)有意义，必有1≤x ≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴y ＝2＋f (x 2)的定义域为．又y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(log 3x ＋3)2－3.∵x ∈，∴log 3x ∈，∴y max ＝(1＋3)2－3＝13，y min ＝(0＋3)2－3＝6. ∴函数y ＝2＋f (x 2)的值域为．3．已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R . (1)若函数的值域为已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．解 (1)∵g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]， ∴f (x )＝g (x )·h (x )＝(x ＋1)·1x ＋3＝x ＋1x ＋3，即f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈(a >0)． (2)当a ＝14时，函数f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32.∴f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2，当t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，y ＝t ＋4t 单调递减，则F (t )单调递增，∴F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613，即函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 14 Word版含答案

考点测试14 变化率与导数、导数的计算一、基础小题1．下列求导运算正确的是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x2；(3x )′＝3x ·ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′·cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以A 、C 、D 错．故选B.2．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．π2B ．0C ．－1D ．1答案 B解析 f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π2cos π2＝0，故选B.3．一质点做直线运动，由始点经过t s 后的距离为s ＝13t 3－6t 2＋32t ，则速度为0的时刻是( )A ．4 s 末B ．8 s 末C ．0 s 末与8 s 末D ．4 s 末与8 s 末答案 D解析 s ′＝t 2－12t ＋32，由导数的物理意义可知，速度为零的时刻就是s ′＝0的时刻，解方程t 2－12t ＋32＝0，得t ＝4或t ＝8.故选D.4．过曲线y ＝x 3＋x －2上的点P 0的切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标为( ) A ．(0，－1)或(1,0) B ．(1,0)或(－1，－4) C ．(－1，－4)或(0，－2) D ．(1,0)或(2,8)答案 B解析设P 0(x 0，y 0)，由y ′＝3x 2＋1，得y ′|x ＝x 0＝3x 20＋1，由题意得3x 20＋1＝4，∴x 20＝1，即x 0＝±1.当x 0＝1时，y 0＝0，当x 0＝－1时，y 0＝－4. 故P 0的坐标为(1,0)或(－1，－4)，故选B.5．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数答案 C解析由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．6.函数y ＝f (x )的图象如图所示，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)，f ′(2)，f (2)－f (1)的大小关系是( )A ．f ′(1)<f ′(2)<f (2)－f (1)B ．f ′(2)<f (2)－f (1)<f ′(1)C ．f ′(2)<f ′(1)<f (2)－f (1)D ．f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2) 答案 D解析由题意得(1，f (1))，(2，f (2))两点连线的斜率为f－f2－1＝f (2)－f (1)，而f ′(1)，f ′(2)分别表示函数f (x )在点(1，f (1))，(2，f (2))处的切线的斜率，由图象可知f ′(1)<f－f 2－1<f ′(2)，即f ′(1)<f (2)－f (1)<f ′(2)．7．已知直线l 过点P (2,4)，且为曲线y ＝13x 3＋43的切线，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋2＝0B ．4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0C ．4x －y －4＝0D ．x ＝2或x －y ＋2＝0 答案 B解析 ∵y ＝13x 3＋43，∴y ′＝x 2.设直线l 与曲线相切于点M (x 0，y 0)，则直线l 的斜率为k ＝x 20，∴过点M (x 0，y 0)的切线方程为y －y 0＝x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，又点P (2,4)在直线l 上，∴4－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(2－x 0)，整理得x 30－3x 20＋4＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，∴所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0.8．已知点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离是________．答案22(1＋ln 2) 解析依题意，当曲线在点P 处的切线与直线4x ＋4y ＋1＝0平行时，点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离最短，设此时点P 的坐标为(x 0，y 0)，由曲线x 2－y －2ln x ＝0，得y ＝x2－2ln x ＝x 2－ln x ，则y ′＝2x －1x，故y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝－1，得x 0＝－1(舍去)或x 0＝12，得y 0＝14＋ln 2，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＋ln 2，故点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最短距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪4×12＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋ln 2＋116＋16＝22(1＋ln 2)．二、高考小题9．设曲线y ＝ax －ln (x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D 解析 ∵y ′＝a －1x ＋1，∴由导数的几何意义可知，y ′|x ＝0＝a －1＝2，∴a ＝3，故选D.10．若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3答案 A解析设函数y ＝f (x )图象上的两点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则由题意知只需函数y ＝f (x )满足f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1即可．y ＝f (x )＝sin x 的导函数为f ′(x )＝cos x ，则f ′(0)·f ′(π)＝－1，故函数y ＝sin x 具有T 性质；y ＝f (x )＝ln x 的导函数为f ′(x )＝1x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2>0，故函数y ＝ln x 不具有T 性质；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2>0，故函数y ＝e x不具有T 性质；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故函数y ＝x 3不具有T 性质．故选A.11．已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln (－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．答案 y ＝－2x －1解析令x >0，则－x <0，f (－x )＝ln x －3x ，又f (－x )＝f (x )，∴f (x )＝ln x －3x (x >0)，则f ′(x )＝1x－3(x >0)，∴f ′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1. 12．设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．答案 (1,1)解析 ∵函数y ＝e x 的导函数为y ′＝e x， ∴曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1. 设P (x 0，y 0)(x 0>0)，∵函数y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x2，∴曲线y ＝1x(x >0)在点P 处的切线的斜率k 2＝－1x 20，则有k 1k 2＝－1，即1·⎝⎛⎭⎪⎫－1x20＝－1，解得x 20＝1，又x 0>0，∴x 0＝1.又∵点P 在曲线y ＝1x(x >0)上，∴y 0＝1，故点P 的坐标为(1,1)．13．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.答案 1－ln 2解析直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln (x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2，得y ′＝1x ，由y ＝ln (x ＋1)，得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－1，－ln k ，∵A 、B 在直线y ＝kx ＋b 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.三、模拟小题14．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π 答案 B解析由题意可设f ′(x )＝a (x －1)2＋3(a >0)，即函数切线的斜率为k ＝f ′(x )＝a (x －1)2＋3≥3，即tan α≥3，∴π3≤α<π2，故选B. 15.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4答案 B解析由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.16．已知函数f (x )在R 上满足f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，则曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3答案 C解析解法一：令x ＝1得f (1)＝1，令2－x ＝t ，可得x ＝2－t ，代入f (2－x )＝2x2－7x ＋6得f (t )＝2(2－t )2－7(2－t )＋6，化简整理得f (t )＝2t 2－t ，即f (x )＝2x 2－x ，∴f ′(x )＝4x －1，∴f (1)＝1，f ′(1)＝3，∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.解法二：令x ＝1得f (1)＝1，由f (2－x )＝2x 2－7x ＋6，两边求导可得f ′(2－x )·(2－x )′＝4x －7，令x ＝1可得－f ′(1)＝－3，即f ′(1)＝3.∴所求切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.17.如图，P (x 0，y 0)是函数f (x )的图象上一点，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线交x 轴于点A ，PB ⊥x 轴，垂足为B ，若△PAB 的面积为12，f ′(x 0)为函数f (x )在x ＝x 0处的导数值，则f ′(x 0)与f (x 0)满足的关系式是( )A ．f ′(x 0)＝f (x 0)B ．f ′(x 0)＝2C ．f ′(x 0)＝－f (x 0)D ．2＝f (x 0)答案 B解析由题意知，切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)，令y ＝0，得x A ＝x 0－y 0fx 0，|AB |＝x 0－x A ＝y 0fx 0，则△PAB 的面积S ＝12×|AB |×y 0＝12×y 20fx 0＝12，得f ′(x 0)＝y 20＝2，故选B.18．已知a ＝3c ，bd ＝－3，则(a －b )2＋(d －c )2的最小值为( ) A ．3105B ．165C ．125D ．185答案 D解析由于a ＝3c ，bd ＝－3，令f (x )＝3x ，g (x )＝－3x，则(a －b )2＋(d －c )2的最小值表示直线f (x )＝3x 上的点与曲线g (x )＝－3x上的点的距离的平方的最小值．设直线y ＝3x＋m 与曲线g (x )＝－3x 相切于点P (x 0，y 0)，不妨设x 0>0，由g ′(x )＝3x 2，得3x 20＝3，得x 0＝1，得切点P (1，－3)，所以－3＝3＋m ，解得m ＝－6，所以切点到直线f (x )＝3x 的距离为|3－－10＝3105，所以(a －b )2＋(d －c )2的最小值为185.一、高考大题 1．设函数f (x )＝x e a －x＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x＋4.(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．解 (1)因为f (x )＝x e a －x ＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )ea －x＋b .依题设，知⎩⎪⎨⎪⎧f＝2e ＋2，f ＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2＋2b ＝2e ＋2，－e a －2＋b ＝e －1.解得a ＝2，b ＝e. (2)由(1)知f (x )＝x e 2－x＋e x .由f ′(x )＝e2－x(1－x ＋e x －1)及e2－x>0知，f ′(x )与1－x ＋e x －1同号．令g (x )＝1－x ＋ex －1，则g ′(x )＝－1＋ex －1.所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增．故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值，从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)．故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 2．设函数f (x )＝3x 2＋axex(a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x )在设函数f (x )＝a e xln x ＋b e x －1x，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e xln x ＋a xe x－b x2e x －1＋b xex －1.由题意可得f (1)＝2，f ′(1)＝e. 故a ＝1，b ＝2.(2)证明：f (x )＝e xln x ＋2xe x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x－2e .设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x .所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，g ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e －x －2e，则h ′(x )＝e －x(1－x )．所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e.综上，当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1. 二、模拟大题4．已知函数f (x )＝e x (ax 2－2x ＋2)，其中a >0.(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝2处的切线与直线x ＋e 2y －1＝0垂直，求实数a 的值； (2)讨论f (x )的单调性．解 f ′(x )＝e x(a >0)．(1)由题意得f ′(2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2＝－1，解得a ＝58. (2)令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2－2aa.①当0<a <1时，f (x )的增区间为(－∞，0)和⎝⎛⎭⎪⎫2－2a a ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2－2a a ；②当a ＝1时，f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；③当a >1时，f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2－2a a 和(0，＋∞)，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2a a ，0.5．已知函数f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5.(1)求函数f (x )的图象在点(3，f (3))处的切线方程．(2)若曲线y ＝f (x )与y ＝2x ＋m 有三个不同的交点，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝13x 3－32x 2＋2x ＋5，∴f ′(x )＝x 2－3x ＋2.易求得f ′(3)＝2，f (3)＝132.∴f (x )的图象在(3，f (3))处的切线方程是y －132＝2(x －3)，即4x －2y ＋1＝0.(2)令f (x )＝2x ＋m ，即13x 3－32x 2＋2x ＋5＝2x ＋m ，得13x 3－32x 2＋5＝m ，设g (x )＝13x 3－32x 2＋5.∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝2x ＋m 有三个不同的交点， ∴曲线y ＝g (x )与直线y ＝m 有三个不同的交点，易得g ′(x )＝x 2－3x ，令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝3，当x <0或x >3时，g ′(x )>0，当0<x <3时，g ′(x )<0，∴g (x )在(－∞，0)，(3，＋∞)上单调递增，在(0,3)上单调递减，又g (0)＝5，g (3)＝12，即g (x )极大值＝5，g (x )极小值＝12，∴可画出如图所示的函数g (x )的大致图象， ∴实数m 的取值范围为12<m <5.6．已知函数f (x )＝ln x 的反函数为g (x )．(1)若直线l ：y ＝k 1x 是函数y ＝f (－x )的图象的切线，直线m ：y ＝k 2x 是函数y ＝g (x )图象的切线，求证：l ⊥m ；(2)设a ，b ∈R ，且a ≠b ，P ＝g ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，Q ＝g a －g b a －b ，R ＝g a ＋g b 2，试比较P ，Q ，R 的大小，并说明理由．解 (1)证明：由已知条件可得g (x )＝e x，f (－x )＝ln (－x )(x <0)，故g ′(x )＝e x，f ′(－x )＝′＝1x.设直线m 与曲线g (x )切于点(x 1，e x1)，则切线斜率为k 2＝e x1＝e x1x 1，故x 1＝1，k 2＝e.设直线l 与曲线f (x )切于点(x 2，ln (－x 2))，则切线斜率为k 1＝1x 2＝－x 2x 2，故x 2＝－e ，k 1＝－1e.所以k 1·k 2＝－1，即l ⊥m .(2)不妨设a >b ，∵P －R ＝ea ＋b2－e a＋e b2＝－a2－e b2 22<0，∴P <R .P －Q ＝ea ＋b2－e a－e ba －b＝a －b a ＋b2－e a＋eba －b＝e a ＋b2a －b －e a －b2＋eb －a2a －b.令φ(x )＝2x －e x＋e －x(x >0)，则φ′(x )＝2－e x－e －x<0， ∴φ(x )在(0，＋∞)上单调递减，故φ(x )<φ(0)＝0，取x ＝a －b2，则a －b －ea －b2＋eb －a2<0，∴P <Q .e a＋e b2>e a－e ba －b ⇔a －b 2>e a－e be a ＋e b ＝e a －b－1e a －b ＋1＝1－2e a －b ＋1. 令r (x )＝x 2－1＋2e x ＋1，则r ′(x )＝12－2e xx ＋2＝x－2x ＋2≥0，∴r (x )在(0，＋∞)上单调递增，故r (x )>r (0)＝0. 取x ＝a －b ，则a －b2－1＋2e a －b ＋1>0，∴R >Q . 综上所述，P <Q <R .。

高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 7 Word版含答案

考点测试7 函数的奇偶性与周期性一、基础小题1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 f (x )＝1x－x 是奇函数，所以图象关于原点对称．2．下列函数中，在其定义域内是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 f (x )＝x 2和f (x )＝2|x |是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，故选C.3．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )A ．－14 B.14 C.12 D ．－12答案 B解析解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.4．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在上是减函数，那么f (x )在上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 A解析由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在上是减函数，则f (x )在上是增函数，所以f (x )在上是增函数，故选A.5．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213答案 A解析由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2. 6．已知f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案 A解析 ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x 1－x <1，解得－1<x <0，故选A.7．已知偶函数f (x )在区间∪∪∪∪∪下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝x ＋sin2xB ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x 2＋sin x答案 D解析 A 项为奇函数；B 、C 项为偶函数；D 项是非奇非偶函数，选D.14．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 C解析由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.15．已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2 答案 D解析当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D.16．偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 答案 3解析解法一：∵函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (2＋x )＝f (2－x )对任意x 恒成立，令x ＝1，得f (1)＝f (3)＝3，∴f (－1)＝f (1)＝3.解法二：∵y ＝f (x )的对称轴为x ＝0和x ＝2，∴周期为2(2－0)＝4，∴f (－1)＝f (3)＝3.17．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.答案－2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )．又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.18．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1 答案 C解析函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．20．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.21．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数， ∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0， ∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.22．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 答案 A解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.23．已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f xf x，若g (2)＝3，则g (－2)＝________.答案－1 解析 ∵g (2)＝2＋f f＝3，∴f (2)＝1.又f (－x )＝－f (x )，∴f (－2)＝－1，∴g (－2)＝2＋f －2f －＝2－1－1＝－1.24．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2017)＝________.答案 2解析由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝f (－1)＝2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f ＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f ＝－f (x －1)＝f ，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈时，函数f (x )的解析式．解 (1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈时，f (x )＝－－x .x ∈时，x ＋4∈，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈时，f (x )＝－－x －4.4．已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数；(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x1.∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。

高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 13 Word版含答案

考点测试13 函数模型及其应用一、基础小题1. 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案 D解析由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．2. 如图是张大爷晨练时离家的距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )答案 D解析根据图象可得，张大爷先是离家越来越远，后离家距离保持不变，最后慢慢回家，符合的只有D.3．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A．7 B．8 C．9 D．10答案 C解析由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y＝＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．选C.4．2003年至2015年某市电影放映场次(单位：万次)的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是 ( )A ．f (x )＝ax 2＋bx ＋c B ．f (x )＝a e x＋b C ．f (x )＝e ax ＋bD ．f (x )＝a ln x ＋b答案 D解析由题可得，这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x 的增大，f (x )逐渐增大，图象逐渐上升．对于A ，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，取a >0，－b2a <0，可得满足条件的函数；对于B ，取a >0，b >0，可得满足条件的函数；对于C ，取a >0，b >0，可得满足条件的函数；对于D ，a >0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征，当a <0时，为单调递减函数，不符合图象的特征，当a ＝0时，显然不满足．故选D.5.f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x ) 答案 B解析画出三个函数的图象，如下图所示，当x ∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数的图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g (x )>f (x )>h (x )．6. 已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元答案 C解析甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)，共获利40＋80＝120(万元)，故选C.7．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：( )A ．y ＝2x －2B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 3xD ．y ＝2x－2 答案 B解析把表格中的数据代入选择项的解析式中，易得最接近的一个函数是y ＝12(x 2－1)．8．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年的年产量的增长速度保持不变，将该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系用图象表示，则正确的是( )答案 A解析因为前3年年产量的增长速度越来越快，可知图象的斜率随x的变大而变大，在图象上呈现下凹的情形；又因为后3年年产量的增长速度保持不变，可知图象的斜率不变，呈直线型变化．故选A.9．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16000，L乙＝300x－2000(其中x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )A．11000元 B．22000元 C．33000元 D．40000元答案 C解析设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16000＋300(110－x)－2000＝－5x2＋600x＋15000＝－5(x－60)2＋33000，∴当x＝60时，有最大利润33000元，故选C.10．已知某池塘中浮萍蔓延的面积y(单位：m2)与时间t(单位：月)的关系式为y＝a t，其图象如图所示，现有以下叙述：①这个指数函数的底数是2；②第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每个月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所经过的时间分别为t 1、t 2、t 3，则t 1＋t 2＝t 3. 其中正确的是( )A ．①②B ．①②③④C ．②③④⑤D ．①②⑤ 答案 D解析因为点(1,2)在图象上，所以这个指数函数的底数是2，即①正确；因为函数y ＝2t在R 上单调递增，且当t ＝5时，y ＝32，所以②正确；当y ＝4时，t ＝2，经过1.5个月后y ＝23.5<12，所以③错误；由图可知，2月面积增加2 m 2，而3月面积增加4 m 2，所以④错误；因为2＝2t 1，3＝2t 2,6＝2t 3，所以t 1＝1，t 2＝log 23，t 3＝log 26，又1＋log 23＝log 22＋log 23＝log 26，所以⑤正确，故选D.11．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时．已知甲在某日10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．给出以下四个结论：①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时；②当x ∈时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少； ③到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内； ④到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间．其中，所有正确结论的序号是________．答案 ①④解析 ∵某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x >0，且该食品在4 ℃时的保鲜时间是16小时，∴24k ＋6＝16，即4k ＋6＝4，解得k ＝－12，∴①当x ＝6时，t ＝8，故①正确；②当x ∈时，保鲜时间恒为64小时，当x ∈(0,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 的增大而逐渐减少，故②错误；③此日10时，温度为8 ℃，此时保鲜时间为4小时，而随着时间的推移，到11时，温度为11 ℃，此时的保鲜时间t ＝＝2≈1.414(小时)，到13时，甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③错误；④由③可知，到了此日14时，甲所购买的食品已过了保鲜时间，故④正确．故正确结论的序号为①④.二、高考小题12．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年 D ．2021年答案 B解析设第n (n ∈N *)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)n －1>200，则lg >lg 200，∴lg 130＋(n －1)lg 1.12>lg 2＋2，∴2＋lg 1.3＋(n －1)lg 1.12>lg 2＋2，∴0.11＋(n －1)×0.05>0.30，解得n >245，又∵n ∈N *，∴n ≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．故选B.13．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析对于A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L ，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A 错误．对于B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于C 选项，甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L ，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8 L 汽油，所以C 错误，对于D 选项，当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D 正确．14. 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10 答案 C解析因为函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k 的最小值为2，所以－3＋k ＝2，得k ＝5，故这段时间水深的最大值为3＋5＝8(m)，选C.15．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.p ＋q ＋－12C.pqD.p ＋q ＋－1答案 D解析设两年前的年底该市的生产总值为a ，则第二年年底的生产总值为a (1＋p )(1＋q )．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则a (1＋x )2＝a (1＋p )(1＋q )，由于连续两年持续增加，所以x >0，因此x ＝＋p ＋q －1，故选D.16．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．答案 160解析设底面长为x m ，宽为4xm ，造价为y 元，y ＝4×20＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×10＝80＋20x ＋80x≥80＋220x ·80x ＝160，当且仅当20x ＝80x，即x ＝2时，等号成立，所以最低总造价为160元．17．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76000vv 2＋18v ＋20l.(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．答案 (1)1900 (2)100 解析 (1)当l ＝6.05时，F ＝76000vv 2＋18v ＋20×6.05，∴F ＝76000vv 2＋18v ＋121＝76000v ＋121v＋18≤760002v ·121v＋18＝1900，当且仅当v ＝121v，即v ＝11时取“＝”．∴最大车流量F 为1900辆/小时． (2)当l ＝5时，F ＝76000vv 2＋18v ＋20×5＝76000v ＋100v＋18，∴F ≤760002v ·100v＋18＝2000，当且仅当v ＝100v，即v ＝10时取“＝”．∴最大车流量比(1)中的最大车流量增加2000－1900＝100辆/小时．三、模拟小题18．某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q (x )(台)进行统计，得数据如下：拟函数是( )A ．Q (x )＝ax ＋b (a ≠0)B ．Q (x )＝a |x －4|＋b (a ≠0)C ．Q (x )＝a (x －3)2＋b (a ≠0) D ．Q (x )＝a ·b x(a ≠0，b >0且b ≠1) 答案 C解析观察数据可知，当x 增大时，Q (x )的值先增大后减小，且大约是关于Q (3)对称，故月销售量Q (x )(台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x ＝3对称的，显然只有选项C 满足题意，故选C.19．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份( )A ．甲食堂的营业额较高B ．乙食堂的营业额较高C ．甲、乙两食堂的营业额相同D ．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高答案 A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m ，甲食堂的营业额每月增加a (a >0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x ，由题意可得，m ＋8a ＝m ×(1＋x )8，则5月份甲食堂的营业额y 1＝m ＋4a ，乙食堂的营业额y 2＝m ×(1＋x )4＝mm ＋8a ，因为y 21－y 22＝(m ＋4a )2－m (m ＋8a )＝16a 2>0，所以y 1>y 2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．20．某种电子元件的成本前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的成本与原来的成本比较，变化情况是( )A ．减少7.84%B ．增加7.84%C ．减少9.5%D ．不增不减答案 A解析设该元件原来的成本为a ，则有a (1＋20%)2×(1－20%)2＝0.9216a ，a －0.9216aa×100%＝7.84%.故选A.21．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系为P ＝P 0e－kt(k ，P 0均为正的常数)．若在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%.那么，至少还需过滤________才可以排放．( )A.12 hB.59 h C ．5 h D ．10 h 答案 C解析设原污染物数量为a ，则P 0＝a .由题意有10%a ＝a e －5k，所以5k ＝ln 10.设t h后污染物的含量不得超过1%，则有1%a ≥a e －tk，所以tk ≥2ln 10，t ≥10.因此至少还需过滤10－5＝5(h)才可以排放．22．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________元/100 kg. 答案 120 80解析因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四个函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数Q ＝at 2＋bt ＋c 描述．根据题意得Q ＝a (t －120)2＋m ，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＋m ＝116，a－2＋m ＝84，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80，所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.一、高考大题1. 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1000x2(5≤x ≤20),则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1000t 2，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y ′＝－2000x3，则l 的方程为y －1000t 2＝－2000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3000t 22 ＝32t 2＋4×106t4，t ∈．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时， g ′(t )<0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )>0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．二、模拟大题2. 如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求出该函数的定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值．解 (1)作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米．因为△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EF FD ，即x －48－y ＝42. 所以y ＝－12x ＋10.易知定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，因为当x ∈时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，所以矩形BNPM 的面积的最大值为48平方米．3．某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p ＝4，(2－q )2＝1，又q>1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．(3)因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)<0，得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．4．为了维持市场持续发展，壮大集团力量，某集团在充分调查市场后决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表(单位：万美元)：其中年固定成本与年生产的件数无关，a为常数，且6≤a≤8.另外，当年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税，假设所生产的产品均可售出．(1)写出该集团分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1、y2与生产相应产品的件数x(x ∈N*)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；(3)如何决定投资可使年利润最大．解(1)y1＝(10－a)x－20(1≤x≤200，x∈N*)，y2＝－0.05x2＋10x－40(1≤x≤120，x∈N*)．(2)∵10－a>0，故y1为增函数，∴当x＝200时，y1取得最大值1980－200a，即投资生产甲产品的最大年利润为(1980－200a)万美元．y2＝－0.05(x－100)2＋460(1≤x≤120，x∈N*)，∴当x＝100时，y2取得最大值460，即投资生产乙产品的最大年利润为460万美元．(3)为研究生产哪种产品年利润最大，我们采用作差法比较：由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1980－200a)万美元，生产乙产品的最大年利润为460万美元，(1980－200a)－460＝1520－200a，且6≤a≤8，当1520－200a>0，即6≤a<7.6时，投资生产甲产品200件可获得最大年利润；当1520－200a＝0，即a＝7.6时，生产甲产品与生产乙产品均可获得最大年利润；当1520－200a<0，即7.6<a≤8时，投资生产乙产品100件可获得最大年利润．。

高考考点完全题数学(文)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 8 word版含答案

考点测试8 二次函数与幂函数一、基础小题1．已知函数f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1bB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b <f (b )答案 C解析因为函数f (x )＝x 12 在(0，＋∞)上是增函数，又0<a b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )答案 D解析由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A 、C.又f (0)＝c <0，所以排除B ，故选D.4．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上是减函数，则实数m的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 A解析由题意知m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，f (x )＝x －3符合题意，当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，f (x )＝x 0不合题意．综上知m ＝2.5．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( )A ．f (－3)<c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<c <f (－3)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<c D ．c <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3) 答案 D解析 c ＝f (0)，对称轴为x ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又∵f (x )在(－∞，1)上单调递减，∴f (－3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>f (0)，即f (－3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>c .6．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 答案 B解析本题可以利用分类讨论或者代入检验两种方法．解法一：(分类讨论)当对称轴x ＝a2≤1，即a ≤2时，f (x )max ＝f (2)＝4－3a ＝1，解得a＝1符合题意；当a >2时，f (x )max ＝f (0)＝－a ＝1，解得a ＝－1(舍去)．综上所述，实数a ＝1，故选B.解法二：(代入法)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋x ＋1在上的最大值为f (2)＝7≠1，排除A ；当a ＝1时，f (x )＝x 2－x －1在上的最大值为f (2)＝1，B 正确；当a ＝－2时，f (x )＝x 2＋2x ＋2在上的最大值为f (2)＝10≠1，排除C ；当a ＝2时，f (x )＝x 2－2x －2在上的最大值为f (0)＝f (2)＝－2≠1，排除D ，故选B.7．已知函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间 C ． D ．答案 D解析当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1，满足题意；当a >0时，函数f (x )在对称轴右侧单调递增，不满足题意；当a <0时，函数f (x )的图象的对称轴为x ＝－a －32a，∵函数f (x )在区间．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x <1，则“－2≤a ≤0”是“f (x )在R 上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析当a ＝－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ≥1，－x 2＋x ＋1，x <1，作出图象可知，函数f (x )在R 上不是单调递增函数，所以充分性不满足；反之，若函数f (x )在R 上是单调递增函数，则当a＝0时满足，当a ≠0时，－a 2≤1，a <0且－12a ≥1，解得－12≤a <0.即－12≤a ≤0，所以能够推出－2≤a ≤0，故“－2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的必要不充分条件．9．已知函数f (x )＝tx ，g (x )＝(2－t )x 2－4x ＋1.若对于任意实数x ，f (x )与g (x )中至少有一个为正数，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(0,2]B ．(－2,2]C ．(－∞，－2)D ．(0，＋∞)答案 A解析对于函数g (x )＝(2－t )x 2－4x ＋1，Δ＝16－4(2－t )×1＝8＋4t .当t ＝0时，f (x )＝0，Δ>0，g (x )有正有负，不符合题意，故排除B ；当t ＝2时，f (x )＝2x ，g (x )＝－4x ＋1，符合题意，故排除C ；当t >2时，f (x )＝tx ，g (x )＝(2－t )x 2－4x ＋1，当x 趋近于－∞时，f (x )与g (x )都为负值，不符合题意，故排除D ，故选A.10．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．答案 0 (1,2)解析因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0，得1<x <2.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.答案 0解析因为函数f (x )是奇函数，所以当x <0时，－x >0，所以f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝ax 2－bx ，而f (－x )＝－f (x )，即－x 2－x ＝ax 2－bx ，所以a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在上恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析函数y ＝x 2－4x ＋3的图象的对称轴是x ＝2，该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3.同理可得函数y ＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，由f (x ＋a )>f (2a －x )，得x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，解得a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．二、高考小题答案 A解析14．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是( )答案 D解析因为a>0，所以f(x)＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A错．在B中，由f(x)的图象知a>1，由g(x)的图象知0<a<1，矛盾，故B错．在C中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知a>1，矛盾，故C错．在D中，由f(x)的图象知0<a<1，由g(x)的图象知0<a<1，相符，故选D.15．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟答案 B解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0.7，16a ＋4b ＋c ＝0.8，25a ＋5b ＋c ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，∴当t ＝154＝3.75时p 最大，即最佳加工时间为3.75分钟．故选B.16．设函数f (x )＝⎩⎨⎧ex －1，x <1，x 13 ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析 f (x )≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，e x －1≤2或⎩⎨⎧x ≥1，x 13 ≤2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x ≤ln 2＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤8⇒x <1或1≤x ≤8⇒x ≤8，故填(－∞，8]．17．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________．答案 9解析依题意有a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，则a＋b＝p，ab＝q，由p>0，q>0可知a>0，b>0.由题意可知ab＝(－2)2＝4＝q，a－2＝2b或b－2＝2a，将a－2＝2b代入ab＝4可解得a＝4，b＝1，此时a＋b＝5，将b－2＝2a代入ab＝4可解得a＝1，b＝4，此时a＋b＝5，则p＝5，故p＋q＝9.三、模拟小题18．若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( ) A．B．C．(－∞，－4] D．．19. 幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<mC．－1<m<0<nD．－1<n<0<m<1答案 D解析在第一象限作出幂函数y＝x，y＝x0的图象，在(0,1)内作直线x＝x0与各图象有交点，如图，由“点低指数大”，知－1<n <0<m <1，故选D.20．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)>0，f (p )<0，则必有( ) A ．f (p ＋1)>0 B ．f (p ＋1)<0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定答案 A解析函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的对称轴为x ＝－12，又因为f (0)>0，f (p )<0，故－10，所以f (p ＋1)>0.21．已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)；③f x 1x 1>f x 2x 2；④f x 1x 1<f x 2x 2. 其中正确结论的序号是( ) A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．②③ 答案 D解析设函数f (x )＝x α，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24在函数图象上得⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝24，解得α＝12，故f (x )＝x 12 .故g (x )＝xf (x )＝x 32 为(0，＋∞)上的增函数，故①错误，②正确；而h (x )＝f xx＝x － 12为(0，＋∞)上的减函数，故③正确，④错误．22．若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 答案 D解析二次函数图象的对称轴为x ＝32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，f (3)＝f (0)＝－4，由图得m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.23．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2a －1的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2b >0，f 1＝1＋a ＋2b <0，f 2＝4＋2a ＋2b >0.作出满足上述不等式组对应的点(a ，b )所在的平面区域，得到△ABC 及其内部，如图所示的阴影部分(不含边界)，其中A (－3,1)，B (－2,0)，C (－1,0)．设点E (a ，b )为区域内的任意一点，则k ＝b －2a －1表示点E (a ，b )与点D (1，2)连线的斜率． ∵k AD ＝2－11＋3＝14，k CD ＝2－01＋1＝1，结合图形知道：k AD <k <k CD ，∴k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫14，1.一、高考大题1．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在上存在零点，0≤b －2a ≤1.求b 的取值范围．解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1，故函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝－a2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2；当－2<a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎭⎪⎫－a 2＝1；当a >2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2<a ≤2，a 24－a ＋2，a >2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2tt ＋2(－1≤t ≤1)．当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2，由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t2t ＋2≤9－45，所以－23≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t2t ＋2，由于－2≤－2t 2t ＋2<0和－3≤t －2t2t ＋2<0，所以－3≤b ＜0.故b 的取值范围是．二、模拟大题 2．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，当x ∈时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解 (1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1，所以b ＝2a .因为方程f (x )＝0有且只有一个根，所以Δ＝b 2－4a ＝0，所以4a 2－4a ＝0，所以a ＝1，所以b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2. (2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －224.由g (x )的图象知：要满足题意，则k －22≥2或k －22≤－1，即k ≥6或k ≤0，∴所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若f (x )的定义域和值域是，求实数a 的值；(2)若f (x )在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝(x －a )2＋5－a 2(a >1)，所以f (x )在上是减函数，又f (x )的定义域和值域均为，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f 1＝a ，fa ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a ＋5＝a ，a 2－2a 2＋5＝1，解得a ＝2.(2)因为f (x )在(－∞，2]上是减函数，所以a ≥2，又x ＝a ∈，且(a ＋1)－a ≤(a ＋1)－2＝a －1，所以f (x )max ＝f (1)＝6－2a ，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，因为对任意的x 1，x 2∈，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，所以f (x )max －f (x )min ≤4，即(6－2a )－(5－a 2)≤4，解得－1≤a ≤3，又a ≥2，所以2≤a ≤3.综上，实数a 的取值范围是．4．已知函数y ＝f (x )，若存在x 0，使得f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数y ＝f (x )的一个不动点，设二次函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －2(a ≠0)．(1)当a ＝2，b ＝1时，求函数f (x )的不动点；(2)若对于任意实数b ，函数f (x )恒有两个不同的不动点，求实数a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，若函数y ＝f (x )的图象上A ，B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且直线y ＝kx ＋1a 2＋1是线段AB 的垂直平分线，求实数b 的取值范围．解 (1)当a ＝2，b ＝1时，f (x )＝2x 2＋2x －1，由2x 2＋2x －1＝x ，得x 1＝－1，x 2＝12. 所以函数f (x )的不动点为x 1＝－1，x 2＝12. (2)因为对于任意实数b ，函数f (x )恒有两个不同的不动点，所以对于任意实数b ，方程f (x )＝x 恒有两个不相等的实数根，即方程ax 2＋bx ＋b －2＝0恒有两个不相等的实数根，所以Δx ＝b 2－4a (b －2)>0，即对于任意实数b ，b 2－4ab ＋8a >0，所以Δb ＝(－4a )2－4×8a <0，解得0<a <2.(3)设A (x 1，x 1)，B (x 2，x 2)，由题意知函数f (x )的两个不同的不动点为x 1，x 2，则x 1，AB 的斜率为1，线段AB 则－2a ＝2a ＋a 2＋1，所以b ＝－a a 2＋1＝－1a ＋1a ≥－12a ·1a＝－12，当且仅当a ＝1时等号成立．又由b ＝－aa 2＋1知b <0，所以实数b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0.。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 10 word版含答案

考点测试10 对数与对数函数一、基础小题1．log 225·log 322·log 59＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 D解析原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.2．函数y ＝log 123x －2的定义域是( )A ．上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为________．答案 2解析由题意知，a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)．二、高考小题13．若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a cb >1,0<c <1，知a c>b c，A 错； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c，B 错；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ， ∴log b c <log a c ，D 错；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a logbc <b log a c ，故C 正确．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A 、B 、D 均是错误的，只有C 正确．14．设f (x )＝ln (f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( A ．q ＝r ab ，∴lna ＋b2>ln ab ，∴p ＝r <q .15．已知a ＝2－13 ，b ＝log 213，c ＝log 12 13，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a答案 C解析由指数函数及对数函数的单调性易知0<2－13 <1，log 213<log 21＝0，log 12 13>log 1212＝1, 故选C.16．已知f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，x ∈(－1,1)．现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中的所有正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①②答案 A解析 f (－x )＝ln (1－x )－ln (1＋x )＝－＝－f (x )，①正确．f ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1＋x 2－ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1＋x 2＝ln 1＋x 21＋x 2－ln 1－x 21＋x 2， ∵x ∈(－1,1)，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝2ln (1＋x )－2ln (1－x )＝2＝2f (x )，②正确．当x ∈若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________.答案433解析 ∵a ＝log 43＝log 23，∴2a＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23＝3＋13＝433.18．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52得，t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a ，∴aa＝(a )a，即aa＝a a2，亦即a＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2. 三、模拟小题19．若正数a ，b 满足2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )，则1a ＋1b的值为( )A ．36B ．72C ．108D ．172答案 C解析设2＋log 2a ＝3＋log 3b ＝log 6(a ＋b )＝k ，可得a ＝2k －2，b ＝3k －3，a ＋b ＝6k，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab＝6k2k －23k －3＝108.所以选C. 20．若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )答案 A解析若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，由此可知y ＝log a |x |的图象大致是A.21．已知y ＝log a (2－ax )(a >0，且a ≠1)在区间上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2)C ．(1,2)D ．上单调递减，u ＝2－ax 在上是减函数，所以y ＝log a u 是增函数，所以a >1.又2－a >0，所以1<a <2.22．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 2x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝________.答案 32解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫log 222－1＝32. 23．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log a x ，x >2，－x 2＋2x －2，x ≤2(a >0，且a ≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1解析 x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，f (x )在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f (x )在(－∞，2]上的最大值是－1，又f (x )的值域是(－∞，－1]，∴当x >2时，log a x ≤－1，故0<a <1，且log a 2≤－1，∴12≤a <1，故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 24．函数f (n )＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，定义使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数k (k ∈N *)叫做企盼数，则在区间内这样的企盼数共有________个．答案 9解析 ∵log n＋1(n ＋2)＝ln n ＋2ln n ＋1，∴f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )＝ln 3ln 2·ln 4ln 3·ln 5ln 4·…·lnk ＋2ln k ＋1＝ln k ＋2ln 2＝log 2(k ＋2)．∵1024＝210,2048＝211，且log 24＝2，∴使f (1)·f (2)·f (3)·…·f (k )为整数的数有10－1＝9个．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解 (1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数，∴f (－x )＝f (x )． ∴当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log ax ＋1，x ≥0，log a －x ＋1，x <0.(2)∵－1<f (1)<1，∴－1<log a 2<1， ∴log a 1a<log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 1a<2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a>2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．2．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12017的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x 1－x ＝log 21＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12017＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2x ＋1，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减． ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.＝log 4(4x＋1)＋2kx (k ∈R )是偶函数． m 有解，求m 的取值范围． x )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )， kx ＝log 4(4－x＋1)－2kx ， 4kx ，∴log 44x＝－4kx ，∴x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0，对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－14.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x＋1)－12x＝log 44x＋12x ＝log 4⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x ，∵2x＋12x ≥2，∴m ≥log 42＝12.故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.4．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，∴Q (－x ，－y )在f (x )的图象上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log ax ＋11－x≥m . 设F (x )＝log a 1＋x1－x ，x ∈[0,1)，由题意知，只要F (x )min ≥m 即可． ∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求．。

高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 4 word版含答案

第二章函数、导数及其应用考点测试4 函数及其表示一、基础小题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π答案 B解析因为g (π)＝0，所以f (g (π))＝f (0)＝0，故选B. 2．下图中可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 D解析由函数的定义知只有D 是“多对一”函数，而A 、B 、C 均为“一对多”，故选D.3．下列各组函数中是同一个函数的是( ) ①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x 2； ③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④答案 C解析 ①中f (x )＝－2x 3＝|x |－2x ，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数；③④中f (x )，g (x )表示同一个函数．4．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝x －1，④y ＝|x |，其中能构成从M 到N 的函数的是( )A ．①B ．②C ．③D ．④答案 D解析对应关系若能构成从M 到N 的函数，需满足对M 中的任意一个数，通过对应关系在N 中都有唯一的数与之对应．对于①，当x ＝4时，y ＝16∉N ，故①不能构成函数；对于②，当x ＝－1时，y ＝－1＋1＝0∉N ，故②不能构成函数；对于③，当x ＝－1时，y ＝－1－1＝－2∉N ，故③不能构成函数；对于④，当x ＝±1时，y ＝|x |＝1∈N ，当x ＝2时，y ＝|x |＝2∈N ，当x ＝4时，y ＝|x |＝4∈N ，故④能构成函数．5．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析用待定系数法，设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.6．下列从集合A 到集合B 的对应中是映射的是( ) A ．A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ≥00x <0C ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应关系f ：x →y ＝1xD ．A ＝{0,1,2,9}，B ＝{0,1,4,9,16}，对应关系f ：a →b ＝(a －1)2答案 B解析 A 项中，对于集合A 中的元素3，在f 的作用下得0，但0∉B ，即集合A 的元素3在集合B 中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B 项中，对于集合A 中任意一个非负数在集合B 中都有唯一元素1与之对应，对于集合A 中任意一个负数在集合B 中都有唯一元素0与之对应，所以这个对应是映射；C 项中，集合A 中的元素0在集合B 中没有元素与之对应，故这个对应不是映射；D 项中，在f 的作用下，集合A 中的元素0,1,2分别对应到集合B 中的元素1,0,1，但集合A 中的元素9应该对应64，而64∉B ，故这个对应不是映射．7．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1) D ．x 2＋x ＋1(x ≠1)答案 C解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)，选C.8．设集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{0,1}，则从集合A 到集合B 的映射个数为( ) A ．3 B ．6 C ．8 D ．9答案 C解析由映射定义可知构成的映射有：f (a )＝f (b )＝f (c )＝0；f (a )＝f (b )＝f (c )＝1；f (a )＝f (b )＝0，f (c )＝1；f (a )＝f (c )＝0，f (b )＝1；f (b )＝f (c )＝0，f (a )＝1；f (a )＝f (b )＝1，f (c )＝0；f (a )＝f (c )＝1，f (b )＝0；f (b )＝f (c )＝1，f (a )＝0.共8个．9．已知函数g (x )＝1－2x ，f ＝2x 2－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.答案831解析令1－2x ＝12，得x ＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×142－116＝123116＝831.10．若集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，其中a ∈N *，k ∈N *，f ：x →y ＝3x＋1，x ∈A ，y ∈B 是从定义域A 到值域B 的一个函数，则a ＋k ＝________.答案 7解析由对应法则知1→4,2→7,3→10，k →3k ＋1，又a ∈N *，∴a 4≠10，∴a 2＋3a ＝10，解得a ＝2(舍去－5)，∴a 4＝16，于是3k ＋1＝16，∴k ＝5，∴a ＋k ＝7.11．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程g ≥x 的解集为________．答案 {1,3}解析由表可知g ＝2，g ＝1，g ＝3，所以g ≥x 的解集为{1,3}．12．如图，定义在已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f ＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1答案 A解析由已知条件可知：f ＝f (a －1)＝5|a －1|＝1，∴|a －1|＝0，得a ＝1.故选A.14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 22－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析 ∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2＝3；∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝9.15．存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( )A ．f (sin2x )＝sin xB ．f (sin2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|答案 D解析对于A ，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝1，这与函数的定义不符，故A 错．在B 中，令x ＝0，得f (0)＝0；令x ＝π2，得f (0)＝π24＋π2，与函数的定义不符，故B 错．在C 中，令x ＝1，得f (2)＝2；令x ＝－1，得f (2)＝0，与函数的定义不符，故C 错．在D 中，变形为f (|x ＋1|2－1)＝|x ＋1|，令|x ＋1|2－1＝t ，得t ≥－1，|x ＋1|＝t ＋1，从而有f (t )＝t ＋1，显然这个函数关系在定义域(－1，＋∞)上是成立的，选D.16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B ．D ．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最的值为( )B ．－1或5 D ．－4或8解析当a ≥2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－1，x ＋a －1，－a 2≤x ≤－1，－3x －a －1，x <－a2，如图1可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a2－1＝3，可得a ＝8；当a <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ＋1，x >－a2，－x －a ＋1，－1≤x ≤－a 2，－3x －a －1，x <－1，如图2可知，当x ＝－a2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 2＋1＝3，可得a ＝－4.综上可知，答案为D.18．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，2]解析当a ≥0时，f (a )＝－a 2≤0，又f (0)＝0， f f a f a 2a 4a 2a 2∴0≤a ≤ 2.当－1<a <0时，f (a )＝a 2＋a ＝a (a ＋1)<0，则由f (f (a ))＝f (a 2＋a )＝(a 2＋a )2＋(a 2＋a )≤2，得a 2＋a －1≤0，得－1＋52≤a ≤－1＋52，则有－1<a <0.当a ≤－1时，f (a )＝a 2＋a ＝a (a ＋1)≥0，则由f (f (a ))＝f (a 2＋a )＝－(a 2＋a )2≤2，得a ∈R ，故a ≤－1.综上，a 的取值范围为(－∞，2]．三、模拟小题19．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(2,1)，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2的值为( )A ．1B ．2C ．12D ．0答案 B解析由图象知f (2)＝1，故f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2＝f (1)＝2.20．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5]，则方程f (x )＝1的解是( )A ．2或2B ．2或3C ．2或4D ．±2或4答案 C解析 (1)当x ∈时，由3－x 2＝1⇒x ＝2； (2)当x ∈(2,5]时，由x －3＝1⇒x ＝4. 综上所述，f (x )＝1的解为2或4.21．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，x 2－2x ，x ≥0.若f (－a )＋f (a )≤0，则a 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．答案 D解析依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a 2－2a ＋－a2＋2－a ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－a2－2－a ＋a 2＋2a ≤0，解得a ∈．22．某工厂八年来某种产品总产量y 与时间t (年)的函数关系如图，下列四种说法：①前三年中，产量的增长的速度越来越快； ②前三年中，产量的增长的速度越来越慢； ③第三年后，这种产品停止生产；④第三年后，年产量保持不变，其中说法正确的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．①③ D ．①④答案 A解析由函数图象可知，在区间上，图象凸起上升，表明年产量增长速度越来越慢；在区间(3,8]上，图象是水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，所以②③正确，故选A.23．已知函数f (x )＝22x ＋1＋sin x ，则f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝________.答案 5解析 ∵f (x )＋f (－x )＝2＋sin x ＋2－sin x ＝2＋2x ＋1＝2，且f (0)＝1，∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＝5.24．已知a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则实数a 的值为________．答案－34解析当a >0时，1＋a >1,1－a <1.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32(舍去)；当a <0时，1＋a <1,1－a >1，所以－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34.综上，a ＝－34.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式； (3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1)，求函数f (x )的解析式．解 (1)令2x ＋1＝t ，由于x >0，∴t >1且x ＝2t －1.∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝c ＝3.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋3，∴f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋3.(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg (x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg (－x ＋1)． ② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg (x ＋1)＋13lg (1－x )，x ∈(－1,1)．2．某人开汽车沿一条直线以60 km/h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离y (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图象．解 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60t ，0≤t ≤52，150，52<t ≤72，150－50⎝ ⎛⎭⎪⎫t －72，72<t ≤132.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤52，150，52<t ≤72，325－50t ，72<t ≤132.图象如下图所示．3．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，2－x ，x <0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．解 (1)∵g (2)＝1，∴f (g (2))＝f (1)＝0. ∵f (2)＝3，∴g (f (2))＝g (3)＝2.(2)f (g (x ))＝(g (x ))2－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－1，x >0，2－x2－1，x <0.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >0，x 2－4x ＋3，x <0.g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －1，f x >0，2－fx ，f x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1－1，x 2－1>0，2－x 2－1，x 2－1<0.∴g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >1或x <－1，3－x 2，－1<x <1.4．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间上有表达式f (x )＝x 2. (1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间上的表达式．解 (1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0， f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]， f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12x －12，x ∈1，2]，x 2，x ∈[0，1]，－2x ＋12，x ∈[－1，0，4x ＋22，x ∈[－2，－1.。

2022年高考考点完全题数学(理)考点通关练习题第二章函数、导数及其应用 9 Word版含答案

考点测试9 指数与指数函数一、基础小题1．化简12－(－1)0的结果为( )A．－9 B．7 C．－10 D．9 答案 B解析原式＝(26)12－1＝7.2．若函数f(x)＝(2a－5)·a x是指数函数，则f(x)在定义域内( )A．为增函数B．为减函数C．先增后减D．先减后增答案 A解析由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数，故选A.3．已知函数f(x)＝4＋a x－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )A．(1,5) B．(1,4)C．(0,4) D．(4,0)答案 A解析当x＝1时，f(x)＝5.4．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )A．1<|a|<2 B．|a|<1C．|a|> 2 D．|a|< 2答案 C解析∵x>0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，∴a2－1>1，即a2>2.∴|a|> 2.5．函数y＝2x－2－x是( )A．奇函数，在(0，＋∞)上单调递增B．奇函数，在(0，＋∞)上单调递减C．偶函数，在(－∞，0)上单调递增D．偶函数，在(－∞，0)上单调递减答案 A解析依据奇偶性的定义推断函数奇偶性，借助指数函数的图象及相关结论推断单调性．令f(x)＝2x－2－x，则f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，所以函数是奇函数，排解C、D.又函数y＝2x，y＝－2－x都是R上的增函数，由增函数加增函数还是增函数的结论可知f(x)＝2x－2－x是R上的增函数，故选择A.6．已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3，则f(2a)等于( )A．5 B．7C．9 D．11答案 B解析由f(a)＝3，得2a＋2－a＝3，∴(2a＋2－a)2＝9，即22a＋2－2a＋2＝9，所以22a＋2－2a＝7，故f(2a)＝22a＋2－2a＝7.故选B.7．下列说法中，正确的是( )①任取x∈R都有3x>2x；②当a>1时，任取x∈R都有a x>a－x；③y＝(3)－x是增函数；④y＝2|x|的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y＝2x与y＝2－x的图象关于y轴对称．A．①②④B．④⑤C．②③④D．①⑤答案 B解析 ①中令x ＝－1，则3－1<2－1，故①错；②中当x <0时，a x <a －x ，故②错；③中y ＝(3)－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x，∵0<33<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x为减函数，故③错；④中x ＝0时，y 取最小值1，故④正确；⑤用函数图象变换，可知y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，故⑤正确．8.已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，g x ，x <0.若f (x )＝a x(a >0，a ≠1)对应的图象如图所示，则g (x )＝( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－xB ．－⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．2－xD ．－2x答案 D解析由图象可知，当x >0时，函数f (x )单调递减，则0<a <1，∵f (1)＝12，∴a ＝12，即函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，当x <0时，－x >0，则f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－g (x )，即g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ＝－2x ，故g (x )＝－2x，x <0，故选D.9．已知f (x )＝a x 和g (x )＝b x是指数函数，则“f (2)>g (2)”是“a >b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析由题可得，a ，b >0且a ，b ≠1，充分性：f (2)＝a 2，g (2)＝b 2，由f (2)>g (2)知，a 2>b 2，再结合y＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，可知a >b ，故充分性成立；必要性：由题可知a >b >0，构造h (x )＝f x g x ＝a xbx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x ，明显a b >1，所以h (x )单调递增，故h (2)＝a 2b 2>h (0)＝1，所以a 2>b 2，故必要性成立．故选C.10．若函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间上的最大值是14，则实数a 的值是( ) A ．3B ．13C ．3或13D ．5或15答案 C解析设a x ＝t ，则原函数的最大值问题转化为求关于t 的函数y ＝t 2＋2t －1的最大值问题．由于函数图象的对称轴为t ＝－1，且开口向上，所以函数y ＝t 2＋2t －1在t ∈(0，＋∞)上是增函数．当a >1时，a－1≤t ≤a ，所以t ＝a 时，y 取得最大值14，即a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3(舍去－5)；当0<a <1时，a ≤t ≤a －1，所以t ＝a －1时，y 取得最大值14，即a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫舍去－15.综上，实数a 的值为3或13，选C.11．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x 的值域为________．答案 (0,2]解析 ∵x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，即值域为(0,2]．12．函数y ＝|2x－1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是________．答案 (－1,1)解析 y ＝|2x－1|的大致图象如图．由图可知，假如函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，需满足k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1. 二、高考小题13．设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈}，则A ∩B ＝( ) A ．B ．(1,3)C ．}＝{y |1≤y ≤4}，所以A ∩B ＝某食品的保鲜时间y (单位：小时)与贮存温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 11k ＝12，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是y ＝e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时)．15．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a log 23>0，而函数f (x )＝2|x |－1在(0，＋∞)上为增函数，∴f (log 25)>f (log 23)>f (0)，即b >a >c ，故选C.16．不等式2x 2－x <4的解集为________．答案 {x |－1<x <2} 解析不等式2x 2－x <4可转化为2x 2－x <22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．17．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在若函数f (x )＝4x －a ·2x＋1在上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52 解析本题考查函数的性质，函数的零点．设t ＝2x ，则f (t )＝t 2－at ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－12a ＋1＝5－2a 4，f (2)＝22－2a ＋1＝5－2a ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12与f (2)符号相同，所以要使函数f (t )＝t 2－at ＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内至少有一个零点，则有⎩⎪⎨⎪⎧12≤a2≤2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2≤0f 2≥0，解得2≤a ≤52，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52. 19．化简a 3b 23ab 2a 14b 1243ba(a >0，b >0)的结果是( )A ．baB ．abC ．a 2b D ．a b答案 D解析原式＝a 3b 2a13 b 23ab 2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 13＝a103 b 83 12 a 23 b 73 ＝a 53 ·b 43 a 23 b 73 ＝ab －1＝a b .20．已知函数f (x )＝a x，其中a >0，且a ≠1，假如以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( )A ．1B ．aC ．2D ．a 2答案 A解析 ∵以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，∴x 1＋x 2＝0.又∵f (x )＝a x，∴f (x 1)·f (x 2)＝ax 1·ax 2＝ax 1＋x 2＝a 0＝1，故选A.21．已知实数a ，b 满足12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14，则( )A ．b <2b －aB ．b >2b －aC ．a b －a答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b2 ，14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是R 上的减函数，∴12>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫22b >14⇔1<a 2b －a ，a >b －a ，排解A 、C ；取a ＝1110，b ＝3910，得b －a ＝3910－1110＝145，有a 0，且a ≠1)的图象经过点E ，B ，则a ＝( )A ． 2B ． 3C ．2D ．3答案 A解析设E (t ，a t )，易知点B 的坐标为(2t,2a t)．∵B 点在函数y ＝a x的图象上，∴2a t＝a 2t，∴a t ＝2(a t＝0舍去)， ∴平行四边形OABC 的面积＝OC ·AC ＝a t·2t ＝4t .又平行四边形OABC 的面积为8，∴t ＝2，∴a ＝ 2.故选A.23．已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．答案 g (x )＝3x －2解析设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x上，∴y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－x ＝3x －2. 24．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1,2)解析原不等式变形为m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，－1]上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2x <4，⎝ ⎛⎭⎪⎫12xx ≥4，求f (1＋log 23)的值．解由于2<1＋log 23<1＋log 24＝3，所以f (1＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×2log 213 ＝18×13＝124.2．已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x－m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ·a ＝6，b ·a 3＝24.①②②÷①得a 2＝4.又a >0，且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x.(2)由(1)知⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立转化为m ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56.故所求实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，56.3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间为(－2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此12a －164a＝－1，解得a ＝1.(3)由指数函数的性质知，要使函数f (x )的值域是(0，＋∞)，则需函数h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，由于二次函数的值域不行能为R ，所以a ＝0.4．已知函数f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x .(1)推断函数的奇偶性；(2)证明：f (x )在定义域内是增函数； (3)求f (x )的值域．解 (1)∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝10－x－10x10x ＋10－x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)证法一：f (x )＝10x－10－x10x ＋10－x ＝102x－1102x＋1＝1－2102x ＋1，令x 2>x 1，则 f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2102x 1＋1＝2×102x2－102x 1102x2＋1102x1＋1.∵x 2>x 1，∴102x 2－102x1>0，又102x2＋1>0,102x1＋1>0，f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)，∴函数f (x )在定义域内是增函数．证法二：f (x )＝10x－10－x10x ＋10－x ＝1－2102x＋1. ∵y 1＝10x为增函数，∴y 2＝102x＋1为增函数，y 3＝2102x ＋1为减函数，y 4＝－2102x＋1为增函数，f (x )＝1－2102x ＋1为增函数．∴f (x )＝10x －10－x10x ＋10－x 在定义域内是增函数．(3)令y ＝f (x )，由y ＝10x －10－x10x ＋10－x ，解得102x＝1＋y 1－y ， ∵102x>0，∴－1<y <1，即函数f (x )的值域是(－1,1)．。

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考点测试11 函数的图象一、基础小题1．已知函数f (x )＝2x－2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案 B解析函数y ＝|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥1，2－2x，x <1，故y ＝|f (x )|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，排除A 、C 、D.2．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 C 解析 y ＝lgx ＋310＝lg (x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．3．函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )答案 C解析化简f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >0，x －1x <0，作出图象可知选C.4．已知a >0，b >0且ab ＝1，则函数f (x )＝a x与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 ∵ab ＝1，且a >0，b >0，∴a ＝1b，又g (x )＝－log b x ＝－log 1ax ＝log a x ，所以f (x )与g (x )的底数相同，单调性相同，且两图象关于直线y ＝x 对称，故选B.5．已知函数f (x )＝1lnx ＋1－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析当x ＝1时，y ＝1ln 2－1<0，排除A ；当x ＝0时，y 不存在，排除D ；当x 从负方向无限趋近0时，y 趋向于－∞，排除C ，选B.6．若函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )答案 A解析由函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a >0，且a ≠1)在R 上是奇函数，得k ＝2，又f (x )是减函数，得0<a <1，则g (x )＝log a (x ＋k )＝log a (x ＋2)，定义域是(－2，＋∞)，且单调递减，故图象是A.7．已知函数y ＝f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数y ＝f (|x |)(－2≤x ≤2)的图象是( )答案 B解析解法一：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x －1，－2≤x <0，－x －12＋1，0≤x ≤2，所以y ＝f (|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋12＋1，－2≤x <0，－x －12＋1，0≤x ≤2，可知选B.解法二：由函数f (x )的图象可知，函数在y 轴右侧的图象在x 轴上方，函数在y 轴左侧的图象在x 轴下方，而y ＝f (|x |)在x >0时的图象保持不变，因此排除C 、D ，由于y ＝f (|x |)是偶函数，函数y ＝f (|x |)在y 轴右侧的图象与在y 轴左侧的图象关于y 轴对称，故选B.8．若对任意的x ∈R ，y ＝1－a |x |均有意义，则函数y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x 的大致图象是( )答案 B解析由题意得1－a |x |≥0，即a |x |≤1＝a 0恒成立，由于|x |≥0，故0<a <1.y ＝log a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x＝－log a |x |是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增函数，故选B.9.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b x ≤0，log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝( )A ．43B ．73C ．4D ．133答案 D解析由题图知，可将点(0,2)代入y ＝log c ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋19，得2＝log c19，解得c ＝13.再将点(0,2)和(－1,0)分别代入y ＝ax ＋b ，解得a ＝2，b ＝2，∴a ＋b ＋c ＝133，选D.10．如图，虚线是四个象限的角平分线，实线是函数y ＝f (x )的部分图象，则f (x )可能是( )A ．x sin xB ．x cos xC ．x 2cos x D ．x 2sin x答案 A解析由题图知f (x )是偶函数，排除B 、D.当x ≥0时，－x ≤f (x )≤x .故选A. 11．把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________．答案 y ＝(x －1)2＋3解析把函数f (x )＝(x －2)2＋2的图象向左平移1个单位，得y ＝2＋2＝(x －1)2＋2，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式为y ＝(x －1)2＋2＋1＝(x －1)2＋3.12．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log2f (x )的定义域是________．答案(2,8]f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0解析当f(x)>0时，函数g(x)＝log2的x∈(2,8]．二、高考小题13．函数y＝2x2－e|x|在的图象大致为( )答案 D解析当x∈(0,2]时，y＝f(x)＝2x2－e x，f′(x)＝4x－e x.f′(x)在(0,2)上只有一个零点x0，且当0<x<x0时，f′(x)<0；当x0<x≤2时，f′(x)>0.故f(x)在(0,2]上先减后增，又f(2)－1＝7－e2<0，所以f(2)<1.故选D.14．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D ．{x |－1<x ≤2} 答案 C解析作出函数y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图所示：其中函数f (x )与y ＝log 2(x ＋1)的图象的交点为D (1,1)，结合图象可知f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}，故选C.15．函数f (x )＝ax ＋bx ＋c 2的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >0，b >0，c ＜0B ．a <0，b >0，c >0C ．a <0，b >0，c <0D ．a <0，b <0，c <0答案 C解析函数f (x )的定义域为{x |x ≠－c }，由题中图象可知－c ＝x P >0，即c <0，排除B ；令f (x )＝0，可得x ＝－b a ，则x N ＝－b a ，又x N >0，则b a<0，所以a ，b 异号，排除A ，D.故选C.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －22，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2答案 D解析记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝x －22，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74<b <2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.17．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝2－f (x )，若函数y ＝x ＋1x与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi ＝1(x i ＋y i )＝( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m答案 B解析由f (－x )＝2－f (x )可知f (x )的图象关于点(0,1)对称，又易知y ＝x ＋1x ＝1＋1x的图象关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现，且每一对交点都关于点(0,1)对称，则x 1＋x m ＝x 2＋x m －1＝…＝0，y 1＋y m ＝y 2＋y m －1＝…＝2，∴∑mi ＝1(x i ＋y i )＝0×m 2＋2×m2＝m .故选B.18．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )答案 B解析当点P 与C 、D 重合时，易求得PA ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，有OP ⊥AB ，则x ＝π2，易求得PA ＋PB ＝2PA ＝2 2.显然1＋5>22，故当x ＝π2时，f (x )没有取到最大值，则C 、D 选项错误．当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A ，故选B.三、模拟小题19．已知函数f (x )＝4－x 2，函数g (x )(x ∈R 且x ≠0)是奇函数，当x >0时，g (x )＝log 2x ，则函数f (x )·g (x )的大致图象为( )答案 D解析因为函数f (x )＝4－x 2为偶函数，g (x )是奇函数，所以函数f (x )·g (x )为奇函数，其图象关于原点对称，排除A 、B.又当x >0时，g (x )＝log 2x ，当x >1时，g (x )>0，当0<x <1时，g (x )<0；f (x )＝4－x 2，当x >2时，f (x )<0，当0<x <2时，f (x )>0，所以C 错误，故选D.20．已知f (x )＝ax －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则y ＝f (x )，y＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是( )答案 B 解析 ∵f (x )＝ax －2>0恒成立，又f (4)g (－4)<0，所以g (－4)＝log a |－4|＝log a 4<0＝log a 1，∴0<a <1.故函数y ＝f (x )在R 上单调递减，且过点(2,1)，函数y ＝g (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故B 正确．21．已知函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln |x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x答案 A解析由函数图象可知，函数f (x )为奇函数，应排除B 、C.若函数为f (x )＝x －1x，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A.22．若函数y ＝f (x )的图象过点(1,1)，则函数y ＝f (4－x )的图象一定经过点________．答案 (3,1)解析由于函数y ＝f (4－x )的图象可以看作y ＝f (x )的图象先关于y 轴对称，再向右平移4个单位长度得到．点(1,1)关于y 轴对称的点为(－1,1)，再将此点向右平移4个单位长度，可推出函数y ＝f (4－x )的图象过定点(3,1)．23．设函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x ＋1对称，且f (－3)＋f (－7)＝1，则实数a 的值是________．答案 2解析设函数y ＝f (x )的图象上任意一点的坐标为(x ，y )，其关于直线y ＝－x ＋1对称的点的坐标为(m ，n )，则点(m ，n )在函数y ＝2x ＋a的图象上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋n 2＝－x ＋m2＋1，y －nx －m ＝1，得m ＝1－y ，n ＝1－x ，代入y ＝2x ＋a得1－x ＝21－y ＋a，即y ＝－log 2(1－x )＋a ＋1，即函数y＝f (x )＝－log 2(1－x )＋a ＋1，又f (－3)＋f (－7)＝1，所以－log 24＋a ＋1－log 28＋a ＋1＝1，解得a ＝2.24．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,4)解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，函数y ＝kx －2恒过定点M (0，－2)，k MA ＝0，k MB ＝4.当k ＝1时，直线y ＝kx －2在x >1时与直线y ＝x ＋1平行，此时有一个公共点，∴k ∈(0,1)∪(1,4)，两函数图象恰有两个交点．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈2，5].(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间；(3)由图象指出当x 取什么值时f (x )有最值．解 (1)函数f (x )的图象如图所示． (2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为，．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.2．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数； (3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －4，x ≥4，－x x －4，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为．(4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为：{x |0<x <4或x >4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，∴集合M ＝{m |0<m <4}．3．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －22－1，x ∈－∞，1]∪[3，＋∞，－x －22＋1，x ∈1，3.作出图象如图所示．原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a .于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时，a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2＋4x －3⇒x 2－3x ＋a ＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根． 4．设函数f (x )＝x ＋1x(x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y ＝b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标．解 (1)设P (u ，v )是y ＝x ＋1x上任意一点，∴v ＝u ＋1u①.设P 关于A (2,1)对称的点为Q (x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧u ＋x ＝4，v ＋y ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧u ＝4－x ，v ＝2－y .代入①得2－y ＝4－x ＋14－x ，y ＝x －2＋1x －4，∴g (x )＝x －2＋1x －4(x ∈(－∞，4)∪(4，＋∞))． (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ，y ＝x －2＋1x －4⇒x 2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0，∴Δ＝(b ＋6)2－4×(4b ＋9)＝b 2－4b ＝0，b ＝0或b ＝4. ∴当b ＝0时，得交点(3,0)；当b ＝4时，得交点(5,4)．。

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