2021届浙江新高考数学一轮复习：第二章 5 第5讲 指数与指数函数

第5讲 指数与指数函数

1．根式 (1)根式的概念

①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子n

a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．

②a 的n 次方根的表示：

x n

＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *

，n >1时，

x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *

时.

(2)根式的性质

①(n

a )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，

－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念

①正分数指数幂：a m n

＝n

a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －m n

＝1a m n ＝1

n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；

③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋

s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质

函数

y ＝a x (a >0，且a ≠1)

图象

0

a >1

图象特征

在x轴上方，过定点(0，1)

当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质

定义域R

值域(0，＋∞)

单调性减增

函数值

变化

规律

当x＝0时，y＝1

当x<0时，y>1；

当x>0时，0

当x<0时，0

当x>0时，y>1

4.指数函数的变化特征

在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，

y＝d x(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．

作出直线x＝1，分别与四个图象自上而下交于点A(1，a)，B(1，b)，

C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：a＞b＞1＞c＞d＞0.根据y

轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)

n

a n＝(

n

a)n＝a.()

(2)(－1)

2

4＝(－1)

1

2＝－1.()

(3)函数y＝a－x是R上的增函数．()

(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()

(5)函数y＝2x－1是指数函数．()

(6)若a m0，且a≠1)，则m

答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×

[教材衍化]

1．(必修1P59A组T4改编)化简

4

16x8y4(x<0，y<0)＝________．

解析：因为x<0，y<0，所以416x8y4＝(16x8·y4)

1

4＝(16)

1

4·(x8)

1

4·(y4)

1

4＝2x2|y|＝－2x2y.

答案：－2x2y

2．(必修1P55“思考”改编)函数y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．

解析：作出y＝2x与y＝2－x＝⎝⎛⎭⎫

1

2

x

的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．答案：y轴

3．(必修1P56例6改编)已知函数f (x )＝a x －

2＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________．

解析：令x －2＝0，则x ＝2，f (2)＝3，即A 的坐标为(2，3)． 答案：(2，3) [易错纠偏]

(1)忽略n 的范围导致式子n

a n (a ∈R )化简出错； (2)不能正确理解指数函数的概念致错； (3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况； (4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错． 1．计算3

（1＋

2）3＋

4

（1－2）4＝________．

解析：3（1＋2）3＋4

（1－2）4＝(1＋2)＋(2－1)＝2 2. 答案：2 2

2．若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪

⎧0

答案：2

3．若函数f (x )＝a x 在[－1，1]上的最大值为2，则a ＝________． 解析：当a >1时，a ＝2；当0

1＝2， 即a ＝1

2.

答案：2或1

2

4．函数y ＝2

1x －1

的值域为________．

解析：因为1

x －1≠0，

所以2

1x －1

>0且2

1x －1

≠1.

答案：(0，1)∪(1，＋∞)

指数幂的运算

化简下列各式：