2021届浙江新高考数学一轮复习：第二章 5 第5讲 指数与指数函数

第5讲 指数与指数函数1．根式 (1)根式的概念①若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n >1且n ∈N *.式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．②a 的n 次方根的表示：x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝n a ，当n 为奇数且n ∈N *，n >1时，x ＝±n a ，当n 为偶数且n ∈N *时.(2)根式的性质①(na )n ＝a (n ∈N *，且n >1)． ②n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0，n 为偶数. 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)； ②负分数指数幂：a －m n＝1a m n ＝1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象及性质函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象0<a <1a >1图象特征在x轴上方，过定点(0，1)当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域R值域(0，＋∞)单调性减增函数值变化规律当x＝0时，y＝1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>14.指数函数的变化特征在同一平面直角坐标系中，分别作出指数函数y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x(a＞1，b＞1，0＜c＜1，0＜d＜1)的图象，如图所示．作出直线x＝1，分别与四个图象自上而下交于点A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，得到底数的大小关系是：a＞b＞1＞c＞d＞0.根据y轴右侧的图象，也可以利用口诀：“底大图高”来记忆．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)na n＝(na)n＝a.()(2)(－1)24＝(－1)12＝－1.()(3)函数y＝a－x是R上的增函数．()(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()(5)函数y＝2x－1是指数函数．()(6)若a m<a n(a>0，且a≠1)，则m<n.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×[教材衍化]1．(必修1P59A组T4改编)化简416x8y4(x<0，y<0)＝________．解析：因为x<0，y<0，所以416x8y4＝(16x8·y4)14＝(16)14·(x8)14·(y4)14＝2x2|y|＝－2x2y.答案：－2x2y2．(必修1P55“思考”改编)函数y＝2x与y＝2－x的图象关于________对称．解析：作出y＝2x与y＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x的图象(图略)，观察可知其关于y轴对称．答案：y轴3．(必修1P56例6改编)已知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________．解析：令x －2＝0，则x ＝2，f (2)＝3，即A 的坐标为(2，3)． 答案：(2，3) [易错纠偏](1)忽略n 的范围导致式子na n (a ∈R )化简出错； (2)不能正确理解指数函数的概念致错； (3)指数函数问题时刻注意底数的两种情况； (4)复合函数问题容易忽略指数函数的值域致错． 1．计算3（1＋2）3＋4（1－2）4＝________．解析：3（1＋2）3＋4（1－2）4＝(1＋2)＋(2－1)＝2 2. 答案：2 22．若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________． 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<a ，a ≠1，a 2－3＝1，即a ＝2.答案：23．若函数f (x )＝a x 在[－1，1]上的最大值为2，则a ＝________． 解析：当a >1时，a ＝2；当0<a <1时a －1＝2， 即a ＝12.答案：2或124．函数y ＝21x －1的值域为________．解析：因为1x －1≠0，所以21x －1>0且21x －1≠1.答案：(0，1)∪(1，＋∞)指数幂的运算化简下列各式：(1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214－12－(0.01)0.5；(2)56a 13·b －2·⎝⎛⎭⎫－3a －12b －1÷()4a 23·b －312(a ，b >0)． 【解】 (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷()4a 23·b －312 ＝－54a －16b －3÷⎝⎛⎭⎫a 13b －32＝－54a －12·b －32＝－54·1ab 3＝－5ab 4ab 2.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．[提醒] 运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．化简下列各式：(1)(0.027)23＋⎝⎛⎭⎫27125－13－⎝⎛⎭⎫2790.5； (2)⎝⎛⎭⎫14－12·（4ab －1）3（0.1）－1·（a 3·b －3）12.解：(1)原式＝0.32＋⎝⎛⎭⎫1252713－ 259＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝2（4ab －1）3210a 32b －32＝16a 32b －3210a 32b －32＝85.指数函数的图象及应用(1)函数f (x )＝21－x 的大致图象为( )(2)函数f (x )＝|a x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的取值范围是________．(3)若方程|3x －1|＝k 有一解，则k 的取值范围为________． 【解析】 (1)函数f (x )＝21－x ＝2×⎝⎛⎭⎫12x，单调递减且过点(0，2)，选项A 中的图象符合要求．(2)因为根据图象得a >1，f (12)＝0，b <0.所以a ＋b ＝0，所以a ＋b ＝a －a >1－1＝0.(3)函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解．【答案】 (1)A (2)(0，＋∞) (3){0}∪[1，＋∞)应用指数函数图象的4个技巧(1)画指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a . (2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除．(3)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．1．函数y ＝xa x|x |(a >1)的图象大致是( )解析：选B.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >0，－a x ，x <0，因为a >1，依据指数函数的图象特征可知选B.2．若函数y ＝21－x ＋m 的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________． 解析：y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1的图象如图所示，则要使其图象不经过第一象限，则m ≤－2.答案：(－∞，－2]指数函数的性质及应用(高频考点)指数函数的性质主要是其单调性，特别受到高考命题专家的青睐，常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)比较指数式的大小； (2)解简单的指数方程或不等式； (3)复合函数的单调性； (4)函数的值域(最值)． 角度一 比较指数式的大小设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝1.5x 在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0，所以1.50.6>1.50＝1，即c >1.综上，b <a <c .【答案】 C角度二 解简单的指数方程或不等式设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x－7，x <0，x ，x ≥0 ，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)【解析】 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a<8，即⎝⎛⎭⎫12a<⎝⎛⎭⎫12－3，因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3，1)．故选C.【答案】 C角度三 复合函数的单调性(1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的单调减区间为________．(2)(2020·金华十校联考)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．【解析】 (1)设u ＝－x 2＋2x ＋1， 因为y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋2x ＋1的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间． 又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， 所以f (x )的减区间为(－∞，1]． (2)因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是[1，＋∞)，由函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，知[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1. 【答案】 (1)(－∞，1] (2)1 角度四 函数的值域(最值)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为( )A.13 B ．1 C ．3D.13或3 【解析】 令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2. 当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增， 所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增， 则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)． 综上知a ＝3或a ＝13.【答案】 D有关指数函数性质的问题类型及解题思路(1)比较指数幂大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．(2)求解简单的指数不等式问题，应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．[提醒] 在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．1．已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．解析：当a ＞1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x＋b 在[－1，0]上为减函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－322．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________．解析：当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－⎝⎛⎭⎫12a，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8，1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0，所以实数a 的取值范围是[－3，0)． 答案：[－3，0)[基础题组练]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A.将函数解析式与图象对比分析，因为函数f (x )＝1－e |x |是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A 满足上述两个性质．2．化简4a 23·b －13÷⎝⎛⎭⎫－23a －13b 23的结果为( )A ．－2a3bB ．－8a bC ．－6a bD ．－6ab解析：选C.原式＝⎣⎡⎦⎤4÷⎝⎛⎭⎫－23a 23－⎝⎛⎭⎫－13b －13－23＝－6ab －1＝－6a b，故选C. 3．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1解析：选B.A 中，因为函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，所以1.72.5<1.73.B 中，因为y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，所以0.6－1>0.62.C 中，因为0.8－1＝1.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．因为y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D 中，因为1.70.3>1，0<0.93.1<1，所以1.70.3>0.93.1.4．(2020·宁波效实中学高三质检)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是 ( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：选B.由f (1)＝19得a 2＝19.又a >0，所以a ＝13，因此f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.因为g (x )＝|2x －4|在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递减区间是[2，＋∞)． 5．已知函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝F (x )在区间[a ，b ]同时递增或同时递减时，把区间[a ，b ]叫作函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1，2]为函数y ＝|2x －t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围是( )A ．(0，2] B.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ C.⎣⎡⎦⎤12，2D.⎣⎡⎦⎤12，2∪[)4，＋∞解析：选C.因为函数y ＝f (x )与y ＝F (x )的图象关于y 轴对称， 所以F (x )＝f (－x )＝|2－x －t |，因为区间[1，2]为函数f (x )＝|2x －t |的“不动区间”，所以函数f (x )＝|2x －t |和函数F (x )＝|2－x －t |在[1，2]上单调性相同， 因为y ＝2x －t 和函数y ＝2－x －t 的单调性相反， 所以(2x －t )(2－x －t )≤0在[1，2]上恒成立， 即1－t (2x ＋2－x )＋t 2≤0在[1，2]上恒成立， 即2－x ≤t ≤2x 在[1，2]上恒成立， 即12≤t ≤2，故答案为C. 6．指数函数y ＝f (x )的图象经过点(m ，3)，则f (0)＋f (－m )＝________． 解析：设f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)，所以f (0)＝a 0＝1. 且f (m )＝a m ＝3.所以f (0)＋f (－m )＝1＋a －m ＝1＋1a m ＝43.答案：437．(2020·杭州中学高三月考)已知e x ＋x 3＋x ＋1＝0，1e 3y －27y 3－3y ＋1＝0，则e x ＋3y 的值为________．解析：因为e x ＋x 3＋x ＋1＝0，1e 3y －27y 3－3y ＋1＝0等价于e －3y ＋(－3y )3＋(－3y )＋1＝0，所以x ＝－3y ，即x ＋3y ＝0，所以e x＋3y＝e 0＝1.答案：18．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，（2－3a ）x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：依题意，a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，2－3a <0，（2－3a ）×1＋1≥a 1，解得23<a ≤34.答案：⎝⎛⎦⎤23，349．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2.答案：(－1，2)10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax 2－4x ＋3. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)． (2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g （x ），由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.11．已知函数f (x )＝a |x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )． (1)若f (x )为偶函数，求b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a ，b 应满足的条件． 解：(1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， 即a |x ＋b |＝a |－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2.[综合题组练]1．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2c D ．2a ＋2c <2解析：选 D.作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图，因为a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0，所以0<2a <1.所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1，所以f (c )<1，所以0<c <1.所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1，又因为f (a )>f (c )，所以1－2a >2c －1，所以2a ＋2c <2，故选D.2．(2020·衢州市高考模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（12）x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对解析：选B.作出函数y ＝f (x )图象如图所示：再作出－y ＝f (－x )，即y ＝x 2－4x ，恰好与函数图象位于y 轴左侧部分(对数函数的图象)关于原点对称，记为曲线C ，发现y ＝⎝⎛⎭⎫12x与曲线C 有且仅有一个交点，因此满足条件的对称点只有一对，图中的A 、B 就是符合题意的点．故选B. 3．(2020·杭州模拟)已知函数y ＝a x ＋b (a >0，且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，如图所示，则4a －1＋1b的最小值为________，此时a ，b 的值分别为________．解析：由函数y ＝a x ＋b (a >0且a ≠1，b >0)的图象经过点P (1，3)，得a ＋b ＝3，所以a －12＋b 2＝1，又a >1，则4a －1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a －1＋1b ⎝⎛⎭⎫a －12＋b 2＝2＋12＋2b a －1＋a －12b ≥52＋2 2b a －1·a －12b ＝92，当且仅当2b a －1＝a －12b ，即a ＝73，b ＝23时取等号，所以4a －1＋1b的最小值为92.答案：92 73，234．(2020·绍兴一中高三期中)已知函数f (x )＝e |x |，将函数f (x )的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数g (x )的图象，函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e （x －1）＋2，x ≤5，4e 6－x ＋2，x >5，若对于任意的x ∈[3，λ](λ>3)，都有h (x )≥g (x )，则实数λ的最大值为________．解析：依题意，g (x )＝f (x －3)＋2＝e |x－3|＋2，在同一坐标系中分别作出g (x )，h (x )的图象如图所示，观察可得，要使得h (x )≥g (x )，则有4e 6－x＋2≥e (x－3)＋2，故4≥e 2x －9，解得2x －9≤ln 4，故x ≤ln 2＋92，实数λ的最大值为ln 2＋92.答案：ln 2＋925．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3，0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1 ＝2(2x )2－2x －1，令t ＝2x ，x ∈[－3，0]，则t ∈⎣⎡⎦⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1，故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解，设2x ＝m >0，等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解， 记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立． 当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a <0，过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a >0，过点(0，－1)，必有一个根为正，综上得a >0.6．(2020·宁波效实中学模拟)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x，x ∈[－1，1]，函数g (x )＝[f (x )]2－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列条件： ①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)因为x ∈[－1，1]， 所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x∈⎝⎛⎭⎫13，3， 设t ＝⎝⎛⎭⎫13x∈⎝⎛⎭⎫13，3.则y ＝φ(t )＝t 2－2at ＋3＝(t －a )2＋3－a 2. 当a <13时，y min ＝h (a )＝φ⎝⎛⎭⎫13＝289－2a 3； 当13≤a ≤3时，y min ＝h (a )＝φ(a )＝3－a 2； 当a >3时，y min ＝h (a )＝φ(3)＝12－6a .所以h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a <13，3－a 2，13≤a ≤3，12－6a ，a >3.(2)假设存在m ，n 满足题意．因为m >n >3，h (a )＝12－6a 在(3，＋∞)上是减函数， 又因为h (a )的定义域为[n ，m ]， 值域为[n 2，m 2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－6m ＝n 2，12－6n ＝m 2，两式相减得6(m －n )＝(m －n )(m ＋n )，即m ＋n ＝6，与m >n >3矛盾，所以满足题意的m ，n 不存在．。