常微分方程教程-丁同仁

常微分方程

2.1

1.

xy dx

dy

2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得

。

故它的特解为代入得

把即两边同时积分得：e e x

x y c y x x c y c y xdx dy y

2

2

,11,0,ln ,21

2

=====+==

并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

解：对原式进行变量分离得：

3

解：原式可化为：

,0)1(.22

=++dy x dx y 。

故特解是

时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x

y c y x y x c y c y x y dy dx x y

++=====++=+=+≠=+-

1ln 11

,11,001ln 1

,11ln 0,1112y

xy dx dy

x

y 3

2

1++

=

x x y x x y x y

x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2

2

2

2

2

2

2

2

322

32

)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2

1

1

1,0111=++

=++

≠++-=+

+=+≠+∙+=+）

故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然

.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000

)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y

y

dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

10ln 1ln ln 1ln 1,0

ln 0

)ln (ln :931:8.

cos ln sin ln 0

7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2

11

11,11,,,0

)()(:5332

2

2

2

2

22

2

22

2

c dx dy dx

dy x

y

cy u

d u

u dx x x y u dx x

y

dy x y ydx dy y x x c dy y

y y

y

dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c

x x x

y

c

x x u dx x

x du x

dx

du dx

du

x u dx dy ux y u x y y dx dy x

c x arctgu dx

x du u u u dx du x u dx

du x

u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e

e e e

e e e

e x y u

u x

y x u u x

y

x

y y x x

x

+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙

=--=+===-+=+-=++

=++-++=++===+-==-++-+--

两边积分解：变量分离

：。

代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得

两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。

另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：

则原方程化为：

解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

12． 解

c

x y x arctg c

x arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dx

dy c

dx dy dx

dy t

t y x e e e e e x y

x

y

y

x +=++==++=+==+=+===+-)(,1

11

1

1,.112

22)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，2

)(1

y x dx dy +=

c

x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t

dx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1

11122

2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则

令变量分离

，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X Y

X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'

22,31,313

1

,31;012,0121

212.

132

-+-=

=--=+=-==

-==+-=--+---=