常微分方程教程-丁同仁

常微分方程
2.1
1.
xy dx
dy
2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得
把即两边同时积分得：e e x
x y c y x x c y c y xdx dy y
2
2
,11,0,ln ,21
2
=====+==
并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.
解：对原式进行变量分离得：
3
解：原式可化为：
,0)1(.22
=++dy x dx y 。

故特解是
时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x
y c y x y x c y c y x y dy dx x y
++=====++=+=+≠=+-
1ln 11
,11,001ln 1
,11ln 0,1112y
xy dx dy
x
y 3
2
1++
=
x x y x x y x y
x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2
2
2
2
2
2
2
2
322
32
)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2
1
1
1,0111=++
=++
≠++-=+
+=+≠+∙+=+）
故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然
.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000
)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y
y
dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0
ln 0
)ln (ln :931:8.
cos ln sin ln 0
7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2
11
11,11,,,0
)()(:5332
2
2
2
2
22
2
22
2
c dx dy dx
dy x
y
cy u
d u
u dx x x y u dx x
y
dy x y ydx dy y x x c dy y
y y
y
dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c
x x x
y
c
x x u dx x
x du x
dx
du dx
du
x u dx dy ux y u x y y dx dy x
c x arctgu dx
x du u u u dx du x u dx
du x
u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e
e e e
e e e
e x y u
u x
y x u u x
y
x
y y x x
x
+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙
=--=+===-+=+-=++
=++-++=++===+-==-++-+--
两边积分解：变量分离
：。

代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得
两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。

另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：
则原方程化为：
解：令：。

两边积分得：变量分离，得：则令解：
12． 解
c
x y x arctg c
x arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dx
dy c
dx dy dx
dy t
t y x e e e e e x y
x
y
y
x +=++==++=+==+=+===+-)(,1
11
1
1,.112
22)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，2
)(1
y x dx dy +=
c
x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1
11122
2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则
令变量分离
，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X Y
X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'
22,31,313
1
,31;012,0121
212.
132
-+-=
=--=+=-==
-==+-=--+---=
15．
16． 解： ，这是齐次方程，令
17. .
7)5(721
772
17)7(,71,1,52
5,
14)5(22
c x y x c
x t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=
+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则
解：令1
8)14()1(22+++++=xy y x dx dy
原方程的解。

，是
，两边积分得分离变量，
，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx
dy
+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38
3232(9
414
9
4141412
)14(18181612222222
252
622y x xy x y dx dy +-=
，则原方程化为，，令u y x
xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=3
2
322332322232]2)[(32(2)(126326322
2
22+-=+-=x
u x u x
xu x u dx du c x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d
z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735372
233222)2()3(023)2()3,)2()31
12062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。

故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。

或）方程的解。

即是（或，得当，，，，所以，则y
y y x x xy x dx dy -+++=
3232332
解：原方程化为 令 方程组
则有 令
当
当
另外
1
231
32;;;;;)123()132(2
2
22222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy )1.......(1
231
32;;;;;;;;;;;;,22-+++===u v u v dv du v x u y 则
，，，）；令，的解为（111101230
132+=-=-⎩⎨
⎧=-+=++u Y v Z u v u v ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
++=
=+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（)2.(..........232223322，，，，，所以，，则有t
t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++==是原方程的解
或的解。

得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-c x y x y dz z dt t
t t 522222
2)2(1
2223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得
c x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为，包含在其通解中，故，或
19. 已知f(x).
解：设f(x)=y, 则原方程化为 两边求导得
，这也就是方程的解。

，两边积分得分离变量得，则原方程化为令解）（并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程
c y x x y dx x du u u u u
x u u u u x y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dx
dy y x +==--=
+-+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==--==+=-+=
=+===4
ln 142241)22(1dx du u xy (2) 0.
x ,c 2
故原方程的解为原也包含在此通解中。

0y ,c
2即,c 2两边同时积分得：
dx x 12u du 变量分离得：),(2u x 1dx du 则方程化为u,xy 令1dx
dy y x 时，方程化为0s xy 是原方程的解，当0y 或0x 当:(1)解程。

故此方程为此方程为变u)
(uf(u)x 11)(f(u)x u 1)y(f(u)dx du f(u),1dx du y 1得：y dx
du dx dy x 所以,dx dy dx dy x y 求导导得x 关于u,xy 证明：因为22).2()1(.1)(18.2
222
222
2
2
2
2
2
2
2
42
2
3
3
222
22222x
y x y x y x y x u u u
u y
x ⎰≠=x
x f x dt x f 0
)(,0,1)(的一般表达式试求函数⎰=x
y dt x f 0
1
)('1
2y y y -
=c
x y y c x dy y dx dx dy y +±==+-==
-21
;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入
把c
x y +±
=21⎰
=
x
y
dt x f 0
1
)(x
y c c x c c x c x dt c
t x
21,02)2(;;;;;;;;;;2210
±
==+±=-+±+±=+±⎰
所以得
20.求具有性质 x(t+s)=
的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0 x(0)=
= 若x(0)0 得x =-1矛盾。

所以x(0)=0. x’(t)=)
两边积分得arctg
x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]
习题2.2
求下列方程的解
1．=
解： y=e (e )
=e [-e ()+c]
=c e - ()是原方程的解。

2．
+3x=e 解：原方程可化为：
=-3x+e 所以：x=e (e e )
=e (e +c)
=c e +e 是原方程的解。

3．=-s +
解：s=e (e )
=e ()
)
()(1)
()(s x t x s x t x -+)
0(1)0()0(x x x -+)0()0(1)0(2x x x -≠2)(1)(0(')()(1[))
(1)((lim )()(lim 22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=∆-∆+∆=∆-∆+))(1)(0(')(2t x x dt t dx +=dt x t x t dx )0(')
(1)
(2
=+dx
dy x y sin +⎰dx
⎰x sin ⎰-dx c dx +x 21
x -x x cos sin +x 2
1
x x cos sin +dt
dx
t 2dt
dx
t 2⎰
-dt
3⎰t 2-⎰-dt
3c dt +t 3-51
t 5t 3-5
1
t 2dt ds t cos 2
1t 2sin ⎰-tdt cos t 2sin 2
1
⎰dt dt ⎰3c +t sin -⎰+c dt te t t sin cos sin
= e () = 是原方程的解。

4． ， n 为常数.
解：原方程可化为：
是原方程的解.
5．
+= 解：原方程可化为：=- ()
= 是原方程的解.
6． 解： =+
令
则 =u
因此：=
（*）
将带入 （*）中 得：是原方程的解.t sin -c e te t t +-sin sin sin 1sin sin -+-t ce t dx dy n x x e y n
x =-dx dy n x x e y n x
+=)(c dx e
x e e
y dx
x n
n
x dx
x n
+⎰⎰=⎰-
)(c e x x n +=dx dy 1212
--y x x
0dx dy
1212
+-y x
x ⎰
=-dx
x
x e
y 2
12c dx e
dx
x x +⎰
-2
21)
2
1
(ln 2+=x e
)(1
ln 2⎰+-
-c dx e
x
x )1(12
x
ce x +dx dy 2
3
4xy x x +=dx dy 2
3
4xy x x +=23y
x x y x y u =ux y =dx dy dx
du
x +dx du x u +2u x
21
u
dx du =dx du u =2c x u +=33
1
c x x u +=-33x
y
u =3433cx x y =-
33
3
2
()2
1()2
27.(1)12(1)1
2
(),()(1)1(1)(())1(1)dx
P x dx
x P x dx
dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e
x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰
==+⎰⎰++⎰⎰
P(x)dx 23
2
解：方程的通解为：
y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23
2
2
1
(1)()
2
11
,()(())
dy
y x c dy y dx x y dx x y dy y y
Q y y y e
y
Q y dy c -+++==+=⎰⎰
==⎰⎰+⎰⎰2
243P(y)dy
P(y)dy P(y)dy
1)dx+c)
=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。

8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为：
x=e e 23
3
1
*)
2
2
y dy c y
y cy
y ++⎰ =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

()()()19.,1
),()(())
01a
dx P x dx
a
x P x dx
P x dx
a a dy ay x a dx x x
a x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==
⎰⎰
==⎰
⎰+==⎰为常数解：（方程的通解为： y=1x+1
=x (dx+c)
x x
当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 时，方程01a a a
≠a 的通解为 y=cx+xln/x/-1 当 ，时，方程的通解为
x 1
y=cx +-
1-
33
3
1()()()310.1
1
(),()1
(())
(*)
dx P x dx x P x dx
P x dx dy
x
y x dx dy y x dx x
P x Q x x x e e x
e e Q x dx c x x dx c c
x
c
x
--+==-+=-=⎰⎰==
⎰
⎰+++
+
⎰⎰33解：方程的通解为： y=1
=x x =4x 方程的通解为：　y=4
()
()
()
2
2
3333
23
3232332311.
2()2()()2,()2(())
((2)p x xdx
x
p x p x x dy
xy x y dx xy x y dx
xy x y dx
xy x dx
y z
dz
xz x dx
P x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-⎰
⎰
==⎰
⎰+-⎰⎰2
3-2
x dy
解：两边除以y dy dy 令方程的通解为： z= =e 2
2
2)1
1)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。

222
1
211
1()()22
2ln 1
12.(ln 2)424
ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())
ln 1(())(P x dx
P x dx dx dx x
x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x x
y dy x y y dx x x dy x y dx x x y z
dz x
z dx x x
x
P x Q x x x
z e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++=-
=-=-==-==-
⎰
⎰=+⎰⎰=-+=⎰⎰解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())
ln 1424
ln 1
:()1,424
x dx c x x
c x x c x y x -+=++++=⎰方程的通解为且y=0也是解。

13
这是n=-1时的伯努利方程。

两边同除以
， 令
P(x)=
Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式
=
14 两边同乘以 令
这是n=2时的伯努利方程。

两边同除以
令 P （x ）= Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
222(2)2122xydy y x dx dy y x y dx xy x y
=--==-1
y
212
dy y y dx x =-2y z =2dz dy y dx dx
=22211dz y z
dx x x =-=-2
x
2
2
()dx
dx
x x z e
e
dx c -
⎰⎰=-+⎰2x x c +22y x x c =+2
3y dy e x dx x
+=y
e 22
()3y y
y
dy e xe e dx x +=
y e z =y
dz dy
e dx dx
=22
2233dz z xz z z dx x x x +==+2z 22
131dz z dx xz x =+1
T z =2
1dT dz
dx z dx
=-231dT T dx x x -=+3x -21
x
-
=
=
15
这是n=3时的伯努利方程。

两边同除以
令
= P(y)=-2y Q(y)= 由一阶线性方程的求解公式
= =
3321()dx dx x x T e e dx c x
--⎰⎰=+⎰321
()2x x c --+131
2x cx ---+131
()12z x cx ---+=131
()12y e x cx ---+=231
2y y x e ce x -+=2
312
y x x e c -+=33
1
dy dx xy x y =
+33dx
yx y x dy
=+3x 33
21dx y
y x dy x
=+2x z -=3
2dz dx
x dy dy
-=-3222dz y
y dy x
=--322yz y --32y -223(2)ydy
ydy
z e y e dy c ---⎰
⎰=-+⎰2
2
3(2)y y e y e dy c --+⎰2
21y y ce --++2
22(1)1y x y ce --++=222
22(1)y y y x e y ce e --++=2
2222(1)y e x x y cx -+=
16 y=+
P(x)=1 Q(x)= 由一阶线性方程的求解公式
= =
c=1 y=
17 设函数(t)于∞<t<∞上连续，(0)存在且满足关系式(t+s)=(t)
(s)
试求此函数。

令t=s=0 得(0+0)=(0)(0) 即(0)= 故或 （1） 当时 即
∞,∞)
(2) 当时 = =
=
=
于是
变量分离得
积分 由于，即t=0时 1=c=1 故
x
e 0
()x
y t dt ⎰()x dy
e y x dx =+x dy
y e dx
=+x e 11()dx dx
x y e e e dx c -⎰⎰=+⎰()x x x e e e dx c -+⎰()x e x c +0
()()x
x x x e x c e e x c dx +=++⎰()x e x c +ϕ-+'ϕϕϕϕϕϕϕϕ2(0)ϕ(0)0ϕ=(0)1ϕ=(0)0ϕ=()(0)()(0)t t t ϕϕϕϕ=+=()0t ϕ=(t ∀∈-+(0)1ϕ='0
()()
()lim
t t t t t t
ϕϕϕ∆→+∆-=∆0
()()()
lim
t t t t t
ϕϕϕ∆→∆-∆0
()(()1)
lim
t t t t
ϕϕ∆→∆-∆0
(0)(0)
()lim
t t t t
ϕϕϕ∆→∆+-∆'(0)()t ϕϕ'(0)()d t dt ϕ
ϕϕ='(0)d dt ϕϕϕ
='(0)t ce ϕϕ=(0)1ϕ=1ϕ=0ce ⇒'
(0)()t t e ϕϕ=
20.试证： （1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；
（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.
（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.
证明： （2.28）
（2.3）
（1）
设，是（2.28）的任意两个解
则
（1） （2） （1）-（2）得
即是满足方程（2.3）
所以，命题成立。

（2）
由题意得： （3） （4） 1）先证是（2.28）的一个解。

于是 得
()y y x =()y y x =
()()y cy x y x =+
c ()()dy
P x y Q x dx
=+()dy
P x y dx
=1y 2y 1
1()()dy P x y Q x dx =+2
2()()dy P x y Q x dx
=+()
1212()()d y y P x y y dx
-=-12y y y =-()
()dy x P x y dx
=()
()()()d y x P x y x Q x dx =+
y cy y =+
()()34c ⨯+()()()cdy d y
cP x y P x y Q x dx dx
+=++
()
()()()d cy y P x cy y Q x dx
+=++
故是（2.28）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成的形式 设是(2.28)的一个解
则
（4’） 于是 （4’）-（4）得
从而
即 所以，命题成立。

（3）
设，是（2.3）的任意两个解 则
（5） （6） 于是（5）得
即 其中为任意常数
也就是满足方程（2.3） （5）（6）得
即
也就是满足方程（2.3）
所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。

（5） 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方； （6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 解：设为曲线上的任一点，则过点曲线的切线方程为
y cy y =+
cy y +
1y 1
1()()dy P x y Q x dx
=+11()
()()d y y P x y y dx
-=-
()1P x dx
y y ce cy ⎰
-==
1y y cy =+
3y 4y 3
3()dy P x y dx =4
4()dy P x y dx
=c ⨯3
3()cdy cP x y dx
=33()
()()d cy P x cy dx
=c 3y cy =±3434()()dy dy
P x y P x y dx dx ±=±3434()()()d y y P x y y dx ±=±34y y y =±(,)p x y p '()Y y y X x -=-
从而此切线与两坐标轴的交点坐标为 即 横截距为 ， 纵截距为 。

由题意得： （5） 方程变形为
于是
所以，方程的通解为。

（6） 方程变形为
于是
(,0),(0,')'
y
x y xy y -
-'
y x y -
'y xy -2'y xy x -=2dy
x y x dx =-1
dy y x dx x
=-1
1
()(())dx dx
x x y e x e dx c -⎰⎰=-+⎰ln ln (())x x e x e dx c -=-+⎰1
(())x x x dx c -=-+⎰1
(())x x dx c x
=-+⎰ ()x x c =-+2x cx =-+2y x cx =-+'2
x y
y xy +-=
22dy y x
x dx =-11
22
dy y dx x =-1
1()221(())2
dx
dx
x x y e
e dx c -⎰⎰=-+⎰11
ln ln 2
21(())2
x x e
e dx c -=-+⎰112
2
1
(())2
x x dx c -
=-+⎰
所以，方程的通解为。

22．求解下列方程。

（1） 解：
=
=
=
（2）
P(x)= Q(x)=
由一阶线性方程的求解公式
=
=
=
11
2
21(())2
x x dx c -=-+⎰ 1122
()x x c =-+12
x cx =-+1
2
y x cx =-+0')1(2=+--xy y x 1
1
11'22--
--=
x y x xy y )1
1(12122⎰+⎰--⎰=---c e x e
y dx
x x
dx
x x
]/
1/111[/1/2
1222
12
c dx x x x +---
-⎰]/
1/[/1/2
322
12c x dx
x +---⎰c
x x +-/1/2'3sin cos sin 0y x x y x --=2sin sin cos cos dy y x
dx x x x
=+
1
sin cos x x
2sin cos x x 1
12sin cos sin cos sin ()cos dx dx x x
x x x y e e dx c x
-⎰⎰=+⎰sin (sin )cos x
xdx c x +⎰sin (cos )cos x x c x
-+sin tgxc x -
习题2.3
1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1.
解：
，
=1 . 则
所以此方程是恰当方程。

凑微分，
得 ：
2．
解：
， . 则
. 所以此方程为恰当方程。

凑微分， 得
3． 解： 则
. 因此此方程是恰当方程。

（1） 0)2()(2=-++dy y x dx y x 1=∂∂y M x
N
∂∂x
N y M ∂∂=
∂∂0)(22=++-xdy ydx ydy dx x C y xy x =-+233
1
0)4()3(2=---dy x y dx x y 1=∂∂y M 1=∂∂x
N
x
N y M ∂∂=
∂∂0432=--+ydy dx x xdy ydx C y xy x =+-2320])
(1[]1)([2
2
22=--+--dy y x x y dx x y x y 3
422)
(2)()1)((2)(2y x xy
y x y x y y x y y M -=-----=∂∂3
422)
(2)()(2)(2y x xy
y x y x x y x x x N -=-----=∂∂y
N
x M ∂∂=
∂∂x
y x y x u 1
)(2
2--=∂∂
（2） 对（1）做的积分，则 = （3）
对（3）做的积分，则 = = 则
故此方程的通解为 4、
解：
， .
. 则此方程为恰当方程。

凑微分，
得 ：
2
2
)
(1y x x y y u --=∂∂x )(1
)(2
2y dx x dx y x y u ϕ+--=⎰⎰---y
x y 2
)(ln y x ϕ+y dy y d y x y y x y y u )
()(2)()1(2
2ϕ+
--+---=∂∂dy y d y x y xy )()
(22
2ϕ+-+-2
2
)(1y x x y --11)
(21)(2)(1)(2
222222-=-+--=-----=y y x y xy x y y x xy y y x x y dy y d ϕy y dy y
y -=-=⎰ln )11()(ϕy
x xy
x y y x y xy y x y y y x y x y u --
=--+-=-+---=ln ln ln ln 222C y
x xy x y =-+ln
0)2(3)23(22232=+++dy y y x dx x xy xy y
M 12=∂∂xy x N
12=∂∂x
N
y M ∂∂=
∂∂036462232=+++dy y ydy x dx x dx xy 0)()()(33422=++x d x d y x d C y y x x =++32243
5.(
sin -cos +1)dx+( cos - sin +)dy=0
解： M=
sin -cos +1 N= cos - sin +
=- sin -cos - cos +sin =- sin -cos - cos +sin 所以，
=，故原方程为恰当方程 因为
sin dx-cos dx+dx+ cos dy- sin dy+dy=0
d(-cos
)+d (sin )+dx+d(-)=0
所以，d(sin
-cos +x -)=0 故所求的解为sin -cos +x -=C 求下列方程的解：
6．2x(y -1)dx+dy=0
解：
= 2x , =2x
所以，
=，故原方程为恰当方程 又2xy dx-2xdx+dy=0 所以，d(y -x )=0 故所求的解为y -x =C 7.(e +3y )dx+2xydy=0 解：e dx+3y dx+2xydy=0
y 1y x 2x y x y x 1x y 2y x
y x 21y
y 1y x 2x y x y x 1x y 2y x
y x 21y
y M ∂∂21
y
y x 3y x y x 21x x y 3x y x y x N ∂∂21
y
y x 3y x y x 21x x y 3x y x y y M ∂∂x
N
∂∂y 1y x 2x y x y x 1x y 2y x y x 21
y y x x y
y
1x y
y x y
1x y
y x y
12x e 2
x e y
M ∂∂2x e x N
∂∂2x e y M ∂∂x
N
∂∂2
x e 2
x e 2
x e 22
x e 2x 2x 2
e x dx+3x y dx+2x ydy=0
所以，d e ( x -2x+2)+d( x y )=0 即d [e ( x -2x+2)+ x y ]=0
故方程的解为e ( x -2x+2)+ x y =C 8. 2xydx+( x +1)dy=0 解：2xydx+ x dy+dy=0
d( x y)+dy=0 即d(x y+y)=0
故方程的解为x y+y=C 9、 解：两边同除以 得
即， 故方程的通解为
10、 解：方程可化为：
即，
故方程的通解为：
即： 同时，y=0也是方程的解。

11、
解：方程可化为：
即：
故方程的通解为：
12、
x 2223x 232x 232x 23222222()dx y x xdy ydx 22+=-22y x +dx y
x xdy
ydx =+-2
2dx y x arctg
d =⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛c x y x tg +=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛arg ()03=+-dy y x ydx ydy y
xdy
ydx =-2
ydy y x d =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛c y y x +=2
2
1()c y y x +=22()01=+--xdy dx xy y ()dx xy xdy ydx +=+1()()dx xy xy d +=1()dx xy
xy d =+1c x xy +=+1ln ()02=--xdy dx x y
解：方程可化为：
故方程的通解为 ：
即： 13、
解：这里 ，
方程有积分因子 两边乘以得：方程是恰当方程
故方程的通解为：
即：
14、 解：这里 因为
故方程的通解为：
即：
15、 解：这里
dx x
xdy
ydx =-2
dx x y d =⎪⎭
⎫
⎝⎛-x c x
y
-=()x c x y -=()02=++xdy dx y x x N y x M =+=,2x
N
y M ∂∂≠
∂∂x
N x N
y M 1=∂∂-∂∂x e
dx
x =⎰=1μμ()022=++dy x dx y x x ()()c dy dx xy x y x dx xy x =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+∂∂
-++⎰⎰⎰22222c y x x =+33
3
c y x x =+233()()[]()0cos sin cos =+++++dy y x x dx y x y x x ()()()y x x N y x y x x M +=+++=cos ,sin cos ()()y x x y x x
N
y M +-+=∂∂=∂∂sin cos ()()[]()()()[]c dy dx y x y x x y y x x dx y x y x x =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++∂∂
-
+++++⎰⎰⎰sin cos cos sin cos ()c y x x =+sin ()()o dy x x x y dx x x x y =+++cos sin sin cos x x x y N x x x y M cos sin ,sin cos +=-=x
N
y M ∂∂≠
∂∂
方程有积分因子： 两边乘以得：
方程为恰当方程
故通解为 ： 即： 16、 解：两边同乘以得：
故方程的通解为：
17、试导出方程具有形为和的积分因子的充要条件。

解：若方程具有为积分因子，
（是连续可导） 令
， . ， 1=-∂∂-∂∂M
x N
y M y dy
e e =⎰=μμ()()0cos sin sin cos =++-dy x x x y e dx x x x y e y y ()()c dy dx x x x y e y N dx x x x y e y
y =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∂∂-+-⎰⎰⎰sin cos sin cos ()c x e y x e y y =+-cos 1sin ()()053243=+++xdy ydx y xdy ydx x y x 2()()
0532*******
=+++ydy x dx y x ydy x dx y x (
)()
05324=+y x d y x d c y x y x =+53240),(),(=+dy Y X N dx Y X M )(xy μ)(y x +μ)(y x +μx N y M ∂∂=
∂∂)
()(μμ)(y x +μx N
x N y M y M
∂∂+∂∂=∂∂+∂∂μ
μμμ)(x
N y M x N y M
∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂μμμ)1(y x z +=dz d x z dz d x μ
μμ=
∂∂⋅=∂∂dz
d y μμ=∂∂)(y
M
x N dz d N dz d M
∂∂-∂∂=-μμμ
， ， 方程有积分因子的充要条件是：是的函数，
此时，积分因子为 .
令
， 此时的积分因子为
18. 设及
连续,试证方程为线性方程的充要条件是它有仅依赖于的积分因子.
证:必要性 若该方程为线性方程,则有
, 此方程有积分因子,只与有关 .
充分性 若该方程有只与有关的积分因子 . 则为恰当方程 ,
)()
(y
M x N dz d N M ∂∂-∂∂=-μμN
M y
M x N d -∂∂-
∂∂=
μμdz y x dz )(+=ϕ)(y x +μN
M y
M
x N -∂∂-∂∂y x +⎰
=+dz
z e y x )()(ϕμ)2(y x z ⋅=dz
d y
x z dz d x μμμ=∂∂⋅=∂∂dz d x y z dz d y μμμ⋅=∂∂⋅=∂∂)(y
M
x N dz d Ny dz d Mx
∂∂-∂∂=-μμμ)()
(y
M
x N dz d Ny Mx ∂∂-∂∂=-μμNy
Mx y
M x N d -∂∂-
∂∂=
μμ⎰
=-∂∂-∂∂dz
Ny
Mx y
M
x N e xy )(μ),(y x f y
f
∂∂0),(=-dx y x f dy x )()(x Q y x P dx
dy
+=⎰=-dx
x P e x )()(μ)(x μx x )(x μ0),()()(=-dx y x f x dy x μμ
从而
, , . 其中 .于是方程可化为 即方程为一阶线性方程.
20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0
有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])
证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u 得：
uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0
则=uf+uy +yf =+-yf
== =
而=ug+ux +xg =+- xg =
= 故
=，所以u 是方程得一个积分因子 21．假设方程（2.43）中得函数M （x,y ）N(x,y)满足关系
= Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x 和y 得连续函数，试证方程（2.43） 有积分因子u=exp(+)
dx x d y y x f x )()),()((μμ=∂-∂)
()
(x x y f μμ'-
=∂∂)()()()
()()()()(x Q y x P x Q y x x x Q dy x x f +=+'-=+'-=⎰
μμμμ)
()
()(x x x P μμ'-
=0))()((=+-dx x Q y x P dy ≠1-y uyf ∂∂y f ∂∂y u ∂∂)(g f xy f -)(g f xy y f y
-∂∂2
22)()(g f y x y
g
xy
y f xy g f x -∂∂+∂∂+-2)(g f xy y f gy y g yf -∂∂-∂∂2
)(g f x y xy xy f g y xy xy g f -∂∂∂∂-∂∂∂∂2
)
(g f xy
f
g xy g f
-∂∂-∂∂x uxg ∂∂x g ∂∂x u ∂∂)(g f xy g -)(g f xy x g x
-∂∂2
22)
()(g f y x x g
xy
x f xy g f y -∂∂-∂∂+-2)(g f xy x xy xy f xg x xy xy g xf
-∂∂∂∂-∂∂∂∂2
)
(g f xy
f g
xy g f -∂∂-∂∂y
uyf ∂∂x uxg
∂∂x
N
y M ∂∂-
∂∂⎰dx x f )(⎰dy y g )(
证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
即证
u +M =u +N
u(
-)=N - M u(
-)=Ne f(x) -M e g(y)u(
-)=e (Nf(x)-Mg(y))
由已知条件上式恒成立，故原命题得证。

22、求出伯努利方程的积分因子.
解：已知伯努利方程为：
两边同乘以，令，
线性方程有积分因子： ，故原方程的积分因子为： ，证毕！ 23、设是方程的积分因子，从而求得可微函数
，
使得试证
也是方程的积分因子的充要条件是其中是的可微函数。

证明：若，则
又 即为的一个积分因子。

24、设是方程的两个积分因子，且
x uN y uM ∂∂=∂∂)()(⇔y M ∂∂y
u ∂∂x N ∂∂x u
∂∂⇔y M ∂∂x N ∂∂x u ∂∂y
u ∂∂⇔y M ∂∂x N ∂∂⎰⎰+dy y g dx x f )()(⎰
⎰
+dy
y g dx x f )()(⇔y M ∂∂x
N
∂∂⎰⎰+dy y g dx x f )()(()();,o y y x Q y x P dx
dy
n ≠+=n y -n y z -=()()()(),11x Q n z x P n dx
dz
-+-=()()()()dx
x P n dx x P n e e ⎰=⎰=---11μ()()()()dx
x P n dx x P n e e ⎰
=⎰=---11μ()y x ,μ()()0,,=+dy y x N dx y x M ()y x U ,().Ndy Mdx dU +=μ()y x ,~μ
()()0,,=+dy y x N dx y x M ()(),,~U y x μϕμ
=()t ϕt ()u μϕμ=~()()()()()()
()()()N u M u y
M y u M u y M y M u y M μϕμϕμμϕμϕμμϕμ'+∂∂=∂∂'+∂∂=∂∂=∂∂~()()()()()()()()()()y
M M u N u y M M u N u x N x N u x N ∂∂=
'+∂∂='+∂∂=∂∂=∂∂μμϕμϕμμϕμϕμμϕμ
~~μ
~()()0,,=+dy y x N dx y x M ()()y x y x ,,,21μμ()()0,,=+dy y x N dx y x M
常数，求证（任意常数）是方程的
通解。

证明：因为是方程的积分因子
所以 为恰当方程 即 ， 下面只需证的全微分沿方程恒为零 事实上：
即当时，是方程的解。

证毕！
习题 2.4
求解下列方程 1、 解：令
，则， 从而，
于是求得方程参数形式得通解为. ≠21μμc =21μμ()()0,,=+dy y x N dx y x M 21,μμ()()0,,=+dy y x N dx y x M o Ndy Mdx i i =+μμ()2,1=i ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂x N y
M y M x N
i i i μμμ2,1=i 2
1
μμ0212122122211
222
22212122
222111221=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛x N y M x N y M N dx y M x N y M x N N dx dx y N M dx x dx y N M dx x dy y dx x dy y dx x d μμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμc ≠2
1
μμc =21μμy y x '+='13t p y dx dy 1=='=23311t t t t x +=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=()()c t t c dt t c t t d t c pdx y ++=++=++=+=⎰⎰⎰22
3
231223⎪⎩
⎪
⎨⎧++=+=c
t t y t t x 2232
2
3
2、
解：令，则，即， 从而
， 于是求得方程参数形式得通解为.
3、 解：令
，则， 从而
= ，
于是求得方程参数形式的通解为, 另外，y=0也是方程的解. 4、, 为常数 解：令
，则， ()0133='--'y x y tx p y dx
dy =='=()()013
3=--tx x tx t t t t x 1123-=-=
c t t
d t t t c pdx y +⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+=⎰⎰1122
()c dt t t t +⎪⎭⎫
⎝⎛+-=⎰23121c dt t t t +⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎰2412c t
t t ++-=
1
215225⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t t x 121521252
y e y y ''=2p y dx
dy
='=p e p y 2=()c e p d p
x p +=⎰21
()
c dp e p pe p
p p ++=⎰
221
()⎰++c dp pe e p p 2()c e p p ++=1()⎪⎩⎪⎨⎧=++=p
p
e
y y c
e p x 21()a y y 212='+a ϕtg y dx
dy
='=ϕϕϕ22
2cos 2sec 212a a tg a y ==+=
从而
，
于是求得方程参数形式的通解为. 5、 1 解：令
，则， 从而 ，
于是求得方程参数形式的通解为. 6、
解：令，则，得，
所以， 从而，
于是求得方程参数形式的通解为，
因此方程的通解为. 习题2.5
()c a d tg c dy p x +=+=⎰⎰ϕϕ
2cos 21
1c a c d a ++-=+-=⎰⎰2
2cos 14cos 42ϕ
ϕϕ()c a ++-=ϕϕ2sin 2()⎩⎨⎧=++-=ϕ
ϕϕ2
cos 22sin 2a y c
a x ='+22y x t p y dx
dy
cos =='=t t x sin cos 12=-=()c t td y +=⎰sin cos c dt t
c tdt ++=+=⎰
⎰2
2cos 1cos 2c t t ++=2sin 4
1
21⎪⎩
⎪
⎨⎧++==c t t y t
x 2sin 41
21sin ()()2221y y y '-=-'yt y ='-211-='-yt y t
t y 1
+=()
()
dt t dt t t t t dt t t t t t t d yt dy y dy dx 222222*********-=--=--=⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=-='=-c t c dt t x +=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎰1
12⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+
=+=t t y c t x 11c x c
x y -+-=
1
2．
解：两边同除以，得：
即 4．
解：两边同除以，得
令
则
即
得到
，
即
另外也是方程的解。

6． 解：
得到 ydy x xdy ydx 2=-2x ydy x xdy
ydx =-2
c y x y
d +-=221
c y x y =+22
1
xy
x y
dx dy -=
x x
y x y dx
dy -
=1u x y
=dx
du
x u dx dy +=dx du
x
u dx dy +=u
u -=1()2ln 2
1
1y c u -=2
ln 21⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=y c y x 0=y ()01=-+xdy ydx xy 0=+-xydx xdy ydx xdx y
xdy
ydx -=-2
c x y x
d +-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2
21
即
另外也是方程的解。

8. 解：令
则：
即
得到
故
即
另外也是方程的解。

10．
解：令
即
而
故两边积分得到
因此原方程的解为，。

12. 解：
c x y x =+2
2
10=y 32x
y x y dx dy +=u x y
=21u x u dx du x u dx dy +=+=2
1u x dx du x =22x dx
u du =c x
u +-=-1
121
1x
x c y +=0=y 2
1⎪⎭
⎫
⎝⎛+=dx dy dx dy x p dx
dy
=p
p x 2
1+=p dx dy
=c p p y +-=ln 2
1
2p p x 21+=c p p y +-=ln 21
2x y xe dx dy e =⎪⎭
⎫
⎝⎛+-1y x xe dx
dy
+=+1
令
则 即
故方程的解为
14．
解： 令
则 那么
求得：
故方程的解为 或可写 为 16． 解：令 则
即方程的解为 18．
u y x =+dx du
dx dy =
+
111-=-=u xe dx du dx dy xdx e
du
u =c x e u +=--22
1
c x e y x =++221
1++=y x dx
dy u y x =++1dx du
dx dy =
+
1u dx du
dx dy =-=1dx u du
=+1
()c x u +=+1ln ()c x y x +=++1ln x ce y x =++1()
y e dx
dy
x -=++211u e y =-u y ln -=()
1211-=+-u dx
du
u x ()dx x du u u 11
121+-=-c x u u ++=-`
11
12()c x y x e y +=+2()0124322=-+dy y x dx y x
解： 将方程变形后得
同除以得：
令 则
即原方程的解为
19.X(
解：方程可化为2y( 令
1
243
2
2-=y x y x dx dy 2
2223412412y x y x y x y x dy dx -=-=2
x 232
412y
y x dy dx x -=3x z =2
43
23y
y z dy dz -=23
22
3
cy y z +=23
23
2
3
cy y x +=04)(2)2=+-x dx
dy
y dx dy )(24)(
,4)()2
2dx
dy x dx dy x y x dx
dy
x dx dy +=+=
[]
[]
c x y x arctg xdx y x darctg xdx y
x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y y
y x dy y
y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y y
x y d y x d dy y x y
dx xy y e y xy x xy x
N
y M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x c
ye x c e y
x
y c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dz
y z dy dx yz x z y x dy y
x
e dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y c
x p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy dy y y x
y x
z
z
z z z z z z z z z z z y
x y x +===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-
++±==++=+∂=+∂∂=+∂
∂=∂∂=
∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰----.2,0
)(.240),()11
1,1,)1(0
)1(.231
01,0)3(24282,6,20
)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,
)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1
)(1.20.
42,2424,,
0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,2
2
2222
2
2222
2
23
223232422
3
44
224
2232
222222
2222222
222222232222所以方程的解为解：方程可化为也是解。

另外即（所以方程的解为得两边同除以解：即所以方程的解为所以方程有积分因子解：所以方程的解为方程为则解：令也得另外由（所以方程的解为，）则解：令时当时当或求导得两边对则
c y e y x e y de y x e
d
e e y x x N
y M x x N y x x y M dy y x dx y y x xy c
e t e t c dt e t y e t x c
e t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dx dy x e dx
dy
x x x x x x t t t
t t t t
t dx dy
=+=+=+∂∂-
∂∂=∂∂++=∂∂=+++++-+=++=+=+-+=++==+====-+⎰⎰323222222232
223031,2,20
)()3
2.262
)1(2
)1(0.25所以方程的解为：得
方程两边同乘所以方程有积分因子解：（，所以方程的解为：得由则解：令
27.
解： 令，
4232325
du dy u dx dx u +=+=++，则 72225du u dx u +=+，
25
722
u du dx u +=+，
9171=22142
7
dx u -+， 两边积分得 即为方程的通解。

另外，，即也是方程的解。

28. 解： 两边同除以，方程可化为：
令，则
234
465
dy x y dx x y ++=
++23u x y =+223
9ln 2314(3)72
x y y x c ++=-+7220u +=22
2307
x y ++=2222()dy
x
y x y y x dx
-=-x 222()dy y
xy y x dx x
=+-y
u x
=22222()du
x u u ux u x x dx
+=+-
即
，
两边积分得 即 为方程的解。

29.
解： 令，则 ， ， 那么
即
两边积分得
即为方程的解。

30. 解： 方程可化为
两边积分得 即 为方程的解。

31.
解： 方程可化为 两边同除以，得
332()du
x u u dx =-3
3
2du x dx u u
=-3111
(
)22(1)2(1)du x dx u u u
+-=+-4
211x ce u
-
4
222x x y cy e -=xy dy y e dx x +=xy e u =ln u
y x
=
2
ln x du
u
dy u dx
dx x -=221ln ln du u u
u ux dx x x
-+=2du
xdx u =21
2
xy x e c -+=332252
422363dy x xy x dx x y y y -+=
-+332252(422)(363)0x xy x dx x y y y dy -+--+=42322363()()()0d x x y dx x dy d y y +-++-=426323x x y y x y c ++--=4623(1)(1)x x c x y ++=+-2()()0y xdx ydy x ydx xdy ++-=2320y xdx y dy xydx x dy ++-=2y 2
()
0x ydx xdy xdx ydx y -++
=
即
令，，则
即
两边积分得
将
代入得， 即 故
32.
解： 方程可化为 两边同加上，得 （*）
再由，可知
（**）
将（*）/（**）得
即
整理得
两边积分得
即
221
()02dx
d x y x dy
++=cos x ρθ=sin y ρθ=cos 0d dctg ρρρθθ+=2sin 0sin d d θ
ρρθ-=1
sin c ρθ=-+1sin y ρθ=c y
ρ
ρ=-+2222(1)y c y ρ+=222222()(1)x y y c y ++=33101dy xy dx x y
++=+3
3
11dy xy dx x y
--=+1223
()()
1d x y xy x y dx x y
+-=+()d xy xdy ydx =+223()()(1)
1d xy dy x y x y x y dx dx x y
--=+=+22
()()
()1
d x y xy x y d xy x y ++=-2
1du uv
dv v =-21
du v
dv u v =-cu =()c x y +=。