高二数学椭圆及其标准方程(一)练习
人教版 高中数学【选修 2-1】2.2.1椭圆及其标准方程课后习题
人教版高中数学精品资料2.2.1 椭圆及其标准方程课时演练·促提升A组1.若F1,F2是两个定点,且|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段解析:由椭圆定义知,点M的轨迹是椭圆.答案:A2.“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:方程可化为=1,表示焦点在y轴上的椭圆时,应满足>0,即m>n>0.所以是充要条件.答案:C3.设P是椭圆=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8.又|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=2c=2=4,∴|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:B4.已知椭圆的焦点坐标为(0,-1),(0,1),且过点,则椭圆方程为()A.=1B.=1C.+y2=1D.+x2=1解析:由已知椭圆焦点在y轴上,设方程为=1(a>b>0).则2a==4,故a=2.又c=1,则b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:B5.已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹是()A.圆B.椭圆C.直线D.抛物线解析:由题意,得|PF1|+|PF2|=2a(a>0是常数).∵|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a,∴动点Q的轨迹是以F1为圆心,2a为半径的圆,故选A.答案:A6.若方程=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是.解析:将方程化为=1,依题意,得8>2-m>0,解得-6<m<2.答案:-6<m<27.若椭圆=1的焦距为6,则k的值为.解析:由已知,得2c=6,∴c=3,∴c2=9,∴20-k=9或k-20=9,∴k=11或k=29.答案:11或298.若椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为.解析:由已知,得2a=8,2c=2,∴a=4,c=,∴b2=a2-c2=16-15=1,故椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=19.已知椭圆=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.解:(1)依题意知c=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2,所以a2-a2=1,即a2=1.所以a2=4.因此b2=3.从而椭圆方程为=1.(2)因为点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理,得cos ∠F1PF2==.即∠F1PF2的余弦值等于.10.已知圆A:x2+(y+6)2=400,圆A内有一定点B(0,6),动圆C过点B且与圆A内切,求动圆圆心C的轨迹方程.解:设动圆C的半径为r,则|CB|=r.因为圆C与圆A内切,所以|CA|=20-r,所以|CA|+|CB|=20>12,所以点C的轨迹是以A,B两点为焦点的椭圆.因为2a=20,2c=|AB|=12,所以a=10,c=6,b2=64.因为点A,B在y轴上,所以点C的轨迹方程为=1.B组1.已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|∶|PF2|=4∶3,则三角形PF1F2的面积等于()A.24B.26C.22D.24解析:因为a2=49,所以|PF1|+|PF2|=2a=14.又|PF1|∶|PF2|=4∶3,所以|PF1|=8,|PF2|=6.又因为|F1F2|=2c=2=10,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以PF1⊥PF2.故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=×8×6=24.答案:A2.设F1,F2是椭圆C:=1的焦点,在曲线C上满足=0的点P的个数为()A.0B.2C.3D.4解析:∵=0,∴PF1⊥PF2.∴点P为以线段F1F2为直径的圆与椭圆的交点,且此圆的半径为c==2.∵b=2,∴点P为该椭圆y轴的两个端点.答案:B3.F1,F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆上,△POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.解析:∵|OF2|=c,∴由已知得,∴c2=4,c=2.设点P的坐标为(x0,y0),由△POF2为正三角形,∴|x0|=1,|y0|=,代入椭圆方程得=1.∵a2=b2+4,∴b2+3(b2+4)=b2(b2+4),即b4=12,∴b2=2.答案:24.已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于点M,求点M的轨迹方程.解:如图,M是AQ的垂直平分线与CQ的交点,连接MA,则|MQ|=|MA|,∴|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,且|AC|=2,∴动点M的轨迹是椭圆,且其焦点为C,A.易知2a=5,2c=2,∴a=,c=1,∴b2=a2-c2=-1=,故动点M的轨迹方程为=1.5.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程;(2)若△PF1F2的面积为2,求点P坐标.解:(1)由题意知,2c=4,c=2,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,∴a=4.∴b2=a2-c2=16-4=12.∵椭圆的焦点在x轴上,∴椭圆的方程为=1.(2)设点P坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2||y0|=2,∴|y0|=,y0=±.代入椭圆方程=1,得x0=±2,∴点P坐标为(2)或(2,-)或(-2)或(-2,-).6.已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆上的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解:(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4且F1(-,0),F2(,0).①在△F1PF2中,由余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1||PF2|·sin ∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0.又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<.所以点P横坐标的范围是。
人教新课标版(A)高二选修1-1 2.1.1椭圆及其标准方程(一)同步练习题
人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程（一）同步练习题【基础演练】题型一：椭圆的定义平面内与两个定点1F 、2F 距离的和等于常数（大于|F F |21）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，请根据以上知识解决以下1~4题。
1. 到两定点1F （-2，0）和2F （2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是A. 椭圆B. 线段C. 圆D. 以上都不对2. 椭圆125y 9x 22=+的焦点为1F 、2F ，AB 是椭圆过焦点1F 的弦，则△2ABF 的周长是A. 20B. 12C. 10D. 6 3. 椭圆1y 25x 22=+上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为A. 5B. 6C. 7D. 84. 命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和()为常数且a ,0a a 2|PB ||PA |>=+； 命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件题型二：椭圆的标准方程椭圆的两种标准方程1b y a x 2222=+，1bx a y 2222=+中都有：（1）0b a >>；（2）222b a c -=或222c b a +=；（3）焦点坐标（c ±，0）或（0，c ±）；（4）2x 与2y 所对应的分母，哪个大，焦点就在哪个轴上，请用以上知识解决以下5~8题。
5. 椭圆116y 32x 22=+的焦距等于A. 312B. 8C. 6D. 46. 若方程1a y ax 222=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则a 的取值范围是A. 0a <B. 0a 1<<-C. 1a <D. 无法确定7. 椭圆0ab by ax 22=++（0b a <<）的焦点坐标是A. ()0,b a -±B. ()0,a b -±C. ()b a ,0-±D. ()a b ,0-±8. 椭圆112y 13x 22=+上一点到两个焦点的距离和为A. 26B. 24C.134D. 132题型三：椭圆的标准方程的应用 紧扣标准方程的两种方式，焦点位置取决于两个分母哪个大，特别注意看似非标准形式的标准形式，如11k y kx 222=--，这说明01k <-，另外注意c 2|PF ||PF |21>+的约束条件，请用以上知识解决以下9~10题。
20212022高中数学人教版选修21作业221椭圆及其标准方程系列一.docx
2. 2. 1椭圆及其标准方程基础巩固—、选择题1-椭圆2^ + 3/=12的两焦点之间的距离是( )A.2拆B. y［\0C. «D. 2^2［答案］D［详细分析］椭圆方程2^ + 3/=12可化为：f+ f =1,a2 = 6,胪=4, <? = 6-4 = 2, ：.2c = 2\fi.2.(2015-广东文)已知椭圆§ + 4=l(m>0)的左焦点为丹(-4,0),则〃7 =()A. 2B. 3C. 4D. 9［答案】B［详细分析］..•椭圆|| + 5=1(^>0)的左焦点为乩(-4,。
)，:.c = 4 = yl25-m2, :.m2 =9,m = 3,选B .3.(2015•海南中学期中考试)已知Fi,形是椭圆+ f =1的两个焦点，过点儿的直线交椭圆于点A, B,若|AB| = 5,则|时i| + |BFi| = ()A. 11B. 10C. 9D. 16［答案〕A［详细分析］由方程知«2=16,...2a = 8,由椭圆定义知，|*肝|奶| = 8, \BF!\ + \BF2\ =8, .\|AFi| + |AF2| + |BFi| + \BF2\ = |AFi| + |BFi| + \AB\ = 16,.•.|AFi| + |BFi|=ll,故选A.4.设定点Fi(0, - 3), F2(0,3),动点F满足条件|职| + |华| =。
+戋?>0),则点F的轨迹是()A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段［答案］D9［详细分析］I« + ->6, AlPFil + \PF2\>6 =|F I F2|,.••选D.5.设P是椭圆法+书=1上一点,P到两焦点F5 的距离之差为2,则△尸皿是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形［答案］B［详细分析］由椭圆定义，知|PF I|+|PF2|=2“=8.又|PF I|-|PF2|=2,...|PF I|=5,\PF2\ = 3.又|HF2| = 2c = 2 寸16 - 12 = 4,△PF1F2为直角三角形.6.已知椭圆的两个焦点分别是Fi、F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长FiP到Q, 使得\PQ\ = \PF2\,那么动点。
绵阳中学实验学校高二数学小练习-椭圆及其标准方程1
椭圆及其标准方程1一、选择题1．椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102．椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0)3．已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22C.282-mD.222-m4．方程122=+By Ax 表示椭圆，满足的条件是（ ）Ａ.0,0<>B A Ｂ.00<<+AB B A ，Ｃ.00><B A ， Ｄ.00>>B A ，5．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是（A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段二、填空题6．1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 7．椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为 8.P 点在椭圆452x +202y =1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点的坐标是 .三、解答题9.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23 ,25）10.已知椭圆x 2＋2y 2＝a 2(a >0)的左焦点F 1到直线y ＝x －2的距离为22，求椭圆的标准方程．（*选*）已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点．若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积。
高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程试题 新人教A版选修21
2.2.1椭圆及其标准方程一、选择题1．【题文】已知椭圆221102x y m m +=--，焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．82．【题文】已知椭圆221416x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为 （ ）A ．2B ．3C ．5D ．73．【题文】设()14,0F -，()24,0F 为定点，动点M 满足128MF MF +=，则动点M 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段4．【题文】已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长l 是 （ ）A ．．6 C ．．125．【题文】如果椭圆2218125x y +=上一点M 到此椭圆一个焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 是坐标原点，则ON 的长为 ( )A ．2B ．4C ．8D ．326．【题文】已知椭圆()22:1,2,04x C y A +=，点P 在椭圆C 上，且OP PA ⊥，其中O 为坐标原点，则点P 的坐标为（ ）A ．2,33⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭ B ．2,33⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭C ．2,33⎛-± ⎝⎭D ．233⎛⎫-± ⎪ ⎪⎝⎭7．【题文】若△ABC 顶点B ，C 的坐标分别为()4,0-，()4,0，AC ，AB 边上的中线长之和为30，则△ABC 的重心G 的轨迹方程为 ( )A.()221010036x y y +=≠ B.()221010084x y y +=≠ C.()221010036x y x +=≠ D.()221010084x y x +=≠8．【题文】已知12,F F 为椭圆22:14x C y +=的左，右焦点，点P 在C 上，123PF PF =，则12cos F PF ∠等于 （ ） A ．34 B ．13- C ．35- D ．45二、填空题9．【题文】椭圆221167x y +=上横坐标为2的点到右焦点的距离为 .10．【题文】已知方程2213+2x y k k+=-表示椭圆，则k 的取值范围为 .11．【题文】椭圆221259x y +=的左焦点为1F ，P 为椭圆上的动点，M 是圆 (221x y +-=上的动点，则1PM PF +的最大值是 .三、解答题12．【题文】已知椭圆的中心在原点，两焦点1F ，2F 在x 轴上，且过点()4,3A -．若12F A F A ⊥，求椭圆的标准方程．13．【题文】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点()2,0和点()0,1；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为()0,10P -，P 到距它较近的一个焦点的距 离等于2.14．【题文】已知定点1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆C ：22142x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭上的一个动点，线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，求动点M 的轨迹方程．2.2.1椭圆及其标准方程 参考答案及解析1. 【答案】D【解析】因为焦点在y 轴上，所以2100m m ->->，即610m <<，又 ()()22102m m ---=，所以8m =，故选D. 考点：椭圆的标准方程． 【题型】选择题 【难度】一般 2. 【答案】B【解析】设所求距离为d ，由题意得4a =．根据椭圆的定义得25253a d d a =+⇒=-=，故选B ．考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】较易 3. 【答案】D【解析】动点M 满足128MF MF +=，128F F =，故动点M 的轨迹是线段12F F .考点：椭圆的定义. 【题型】选择题 【难度】一般 4. 【答案】C【解析】如图，设椭圆的另外一个焦点为F ，由椭圆的方程知a =ABC 的周长()()4l AB AC BC AB BF AC CF a =++=+++==．考点：椭圆的定义及其应用． 【题型】选择题 【难度】一般 5. 【答案】C【解析】∵椭圆方程为2218125x y +=，∴9a =，根据椭圆的定义得2=18216MF -=， 而ON 是△12MF F 的中位线，∴216822MF ON ===，故选C ． 考点：椭圆的定义． 【题型】选择题 【难度】一般 6. 【答案】A【解析】设(),P x y ，由OP PA ⊥，得OP PA ⊥，所以()()()2,2,20OP PA x y x y x x y ⋅=⋅--=--=，与椭圆方程2214x y +=联立，解得23x =（2x =舍去），此时3y =±，即点P 的坐标为2,33⎛± ⎝⎭，故选A.考点：椭圆上点的坐标. 【题型】选择题 【难度】一般 7. 【答案】B【解析】设AC 、AB 边上的中线分别为BD 、CE ，∵23BG BD =，23CG CE =， ∴()22302033BG CG BD CE +=+=⨯=（定值）. 因此，重心G 的轨迹为以B 、C 为焦点的椭圆，220a =，4c =，∴10a =，b =，可得椭圆的方程为22110084x y +=.∵当G 点在x 轴上时，A 、B 、C 三点共线，不能构成△ABC ，∴G 的纵坐标不能是0，可得△ABC 的重心G 的轨迹方程为()221010084x y y +=≠，故选B. 考点：椭圆的定义及标准方程. 【题型】选择题 【难度】较难 8. 【答案】B【解析】由题意可知，12F F ==12222344PF PF PF PF PF +=+==，211,3PF PF ∴==，(22222212121212311cos 22313PF PF F F F PF PF PF +-+-∴∠===-⋅⨯⨯，故选B ．考点：椭圆的定义，余弦定理． 【题型】选择题 【难度】较难 9. 【答案】2.5【解析】由椭圆方程可知22216,7,9,3a b c c ==∴=∴=，右焦点为()3,0，将2x =代入椭圆方程得2214y =，所以两点间距离为2.5d ==. 考点：椭圆的定义.【题型】填空题 【难度】一般10. 【答案】132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且【解析】由椭圆的定义知30,20,32,k k k k +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩解得132,2k k k ⎧⎫-<<≠-⎨⎬⎩⎭且. 考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】一般 11. 【答案】17【解析】圆(221x y +-=的圆心为(0,C ，半径为1.由椭圆方程221259x y +=可知2225,9a b ==，所以5a =，左焦点为()14,0F -，右焦点为()24,0F .122221010PC PF PC a PF PC PF CF +=+-=+-≤+=，()()11maxmax 117PM PF PC PF +=++=.考点：椭圆的定义. 【题型】填空题 【难度】较难12. 【答案】2214015x y += 【解析】设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，焦点()1,0F c -，()2,0F c ．∵12F A F A ⊥，∴120F A F A ⋅=，而()14,3FA c =-+， ()24,3F A c =--， ∴()()24430c c -+--+=，∴225c =，即5c =.∴()15,0F -，()25,0F ．∵122a AF AF =+==∴a=，∴(22222515b a c =-=-=.∴所求椭圆的标准方程为2214015x y +=.考点：椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般13. 【答案】(1)2214x y +=(2)22110036y x += 【解析】(1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为()222210x y a b a b+=>>. ∵椭圆经过点()2,0和()0,1，∴224,1a b ==，故所求椭圆的标准方程为2214x y +=. (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为()222210y x a b a b+=>>，∵()0,10P -在椭圆上，∴10a =.又∵P 到距它较近的一个焦点的距离等于2， ∴()102c ---=，故8c =，∴22236b a c =-=.∴所求椭圆的标准方程是22110036y x +=. 考点：椭圆的定义，椭圆的标准方程. 【题型】解答题 【难度】一般14. 【答案】22413y x += 【解析】∵线段AB 的垂直平分线交BC 于M 点，∴MB MA =，又∵2MB MC +=， ∴2MA MC AC +=>，点M 的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆， 此时122,2a c ==，∴1,a =234b =, ∴所求的点M 的轨迹方程是22413y x +=. 考点：椭圆的定义及动点的轨迹方程. 【题型】解答题 【难度】一般。
高中数学选修2-1第二章第3课时同步练习§2.2.1(1)椭圆及其标准方程
§2.2.1（1）椭圆及其标准方程1、椭圆1121322=+y x 上任一点P 到两个焦点的距离的和为（ ） A 、26 B 、24 C 、2 D 、1322、椭圆2211625x y +=的焦点坐标（ ） A 、(4,0)± B 、(0,4)± C 、(3,0)± D 、(0,3)±3、 椭圆2211625x y +=的两个焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则ABC ∆ 的周长为（ ）A 、10B 、12C 、16D 、204、椭圆的两个焦点分别是)0,8()0,8(21F F 和-，且椭圆上一点到两个焦点距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（ ）A 、1122022=+y xB 、13640022=+y xC 、13610022=+y xD 、=+1003622y x 1 5、已知定点1F 、2F ，且12||8FF =，动点P 满足12||||8PF PF +=，则动点P 的轨迹是（ ）A 、椭圆B 、圆C 、直线D 、线段6、如果方程22216x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A 、3a > Ｂ、2a <-C 、3a >或2a <-D 、3a >或62a -<<-7、焦点在x 上，10a =，6b =的椭圆的标准方程为 ；焦点在y 轴上，且6,1a c ==的椭圆标准方程为 ； 焦点在y 轴上，且6,3b c ==的椭圆标准方程为 ；8、椭圆2212516x y +=上一点P 一椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为 ；9、椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，则k = ；10、焦点为12(0,4)(0,4)F F -和，且过点-的椭圆方程为 ； 11、已知椭圆的两个焦点坐标为12(2,0),(2,0)F F -，且12122||||||FF PF PF =+，求椭圆的方程。
高中数学 选修2-1椭圆导学案加课后作业及参考答案
椭圆及其标准方程（一）导学案【学习要求】1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.【学法指导】1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度【知识要点】1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2.探究点一 椭圆的定义问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？探究点二 椭圆的标准方程问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程； （2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程.例2 已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________.跟踪训练2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．m >0B ．0<m <1C ．－2<m <1D ．m >1且m ≠ 2探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.跟踪训练3 已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________【当堂检测】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >83．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为________.4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________【课堂小结】1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解. 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.【拓展提高】1．已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点，21=，则21PF F ∆的面积为（ ） A ．33B ．3C ．32D ．33 2．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程（2）若点P 在第二象限，21012,120F PF PF F ∆=∠求的面积3．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系10)3()3(2222=+++-+y x y x ，点M 的轨迹是 ，它的方程是 4． 椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求P 点横坐标的取值范围。
2020高中数学 2.1.1 椭圆及其标准方程(1)(含解析)
课时作业10 椭圆及其标准方程（1）知识点一椭圆的定义及简单应用1。
已知在平面直角坐标系中，点A（－3,0),B（3,0)，点P为一动点，且｜PA|＋|PB|＝2a(a≥0）,给出下列说法：①当a＝2时，点P的轨迹不存在；②当a＝4时，点P的轨迹是椭圆,且焦距为3；③当a＝4时,点P的轨迹是椭圆，且焦距为6;④当a＝3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆．其中正确的说法是（）A．①②B．①③C．②③D．②④答案B解析当a＝2时，2a＝4<|AB|，故点P的轨迹不存在,①正确;当a＝4时,2a＝8>｜AB｜，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为｜AB|＝6,②错误，③正确；当a＝3时，点P的轨迹为线段AB,④错误．2．已知椭圆错误!＋错误!＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则点P到另一个焦点的距离为（）A．2 B．3 C．5 D．7答案D解析由椭圆方程知a＝5，根据椭圆定义有｜PF1｜＋｜PF2|＝2a＝10.若|PF1｜＝3，则｜PF2|＝7.3．设F1，F2是椭圆错误!＋错误!＝1的焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的周长为（)A．16 B．18 C．20 D．不确定答案B解析∵a＝5,b＝3，∴c＝4又｜PF1|＋｜PF2|＝2a＝10，｜F1F2|＝2c＝8，∴△PF1F2的周长为｜PF1|＋|PF2|＋|F1F2｜＝2a＋2c＝10＋8＝18，故选B。
知识点二求椭圆的标准方程4.写出适合下列条件的椭圆的标准方程．(1）a＝5，c＝2;(2）经过P1(错误!,1)，P2（－错误!,－错误!)两点;（3）以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点,且经过点M(2,6)．解（1)由b2＝a2－c2，得b2＝25－4＝21.∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1。
(2)解法一：①当焦点在x轴上时,设椭圆方程为错误!＋错误!＝1(a>b〉0）．由已知，得错误!⇒错误!即所求椭圆的标准方程是错误!＋错误!＝1。
【重点推荐】2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程作业1 北师大版选修1-1
2.1.1 椭圆及其标准方程[基础达标]1.椭圆2x 2＋y 2＝8的焦点坐标是( ) A ．(±2，0) B ．(0，±2) C ．(±23，0) D ．(0，±23)解析：选B.椭圆标准方程为x 24＋y 28＝1，∴椭圆焦点在y 轴上，且c 2＝8－4＝4， ∴焦点坐标为(0，±2)．2.椭圆x 225＋y 2m＝1的一个焦点坐标为(3，0)，那么m 的值为( )A ．－16B ．－4C ．16D ．4解析：选C.焦点在x 轴且c ＝3，由25＝m ＋9，∴m ＝16.3.已知方程x 2k ＋1＋y23－k＝1(k∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( )A ．k <1或k >3B ．1<k <3C ．k >1D ．k <3 解析：选B.由题意知k ＋1>3－k >0，∴1<k <3.4.过点(－3，2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )A.x 215＋y 210＝1B.x 2225＋y 2100＝1C.x 210＋y 215＝1 D.x 2100＋y 2225＝1 解析：选A.c 2＝9－4＝5，由题意可设所求椭圆方程为x 2b 2＋5＋y 2b 2＝1，代入(－3，2)得9b 2＋5＋4b 2＝1，∴b 2＝10，椭圆方程为x 215＋y 210＝1. 5.如图，椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为( )A ．8B ．2C ．4 D.32解析：选C.由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，又|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8，由于N 为MF 1的中点，ON 为中位线，∴|ON |＝12|MF 2|＝4.6.已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则动点P 的轨迹方程是________．解析：由题意得：|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4>|F 1F 2|＝2， ∴动点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆，且a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，轨迹方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．解析：由于|AB |＋|F 2A |＋|F 2B |＝4a ＝20，∴|AB |＝20－(|F 2A |＋|F 2B |)＝20－12＝8. 答案：88.若方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，则实数k 的取值范围是________．解析：由方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆，可得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，5－k >0，k －2≠5－k ，解得2<k <5且k ≠72.即当2<k <72或72<k <5时，方程x 2k －2＋y 25－k＝1表示椭圆．答案：(2，72)∪(72，5)9.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，(1)PF 1⊥PF 2，且|PF 1|>|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值． (2)当∠F 1PF 2为钝角时，|PF 2|的取值范围．解：(1)∵PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2为直角，则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.∴⎩⎪⎨⎪⎧20＝|PF 1|2＋|PF 2|2，|PF 1|＋|PF 2|＝6， 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∴|PF 1||PF 2|＝2.(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则r 1＋r 2＝6. ∵∠F 1PF 2为钝角，∴cos ∠F 1PF 2<0.又∵cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－202r 1r 2<0，∴r 21＋r 22<20，∴r 1r 2>8，∴(6－r 2)r 2>8，∴2<r 2<4.即|PF 2|的取值范围是(2，4)．10.(1)等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 长为42，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过A ，B 两点，求该椭圆的标准方程．(2)在△ABC 中， ∠A ，∠B ，∠C 所对的三边分别是a ，b ，c ，且|BC |＝2，求满足b ，a ，c 成等差数列且c >a >b 的顶点A 的轨迹．解：(1)如图，设椭圆的方程为x 2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)，有|AM |＋|AC |＝2a ，|BM |＋|BC |＝2a ， 两式相加，得8＋42＝4a ，∴a ＝2＋2，|AM |＝2a －|AC |＝4＋22－4＝2 2.在直角三角形AMC 中，∵|MC |2＝|AM |2＋|AC |2＝8＋16＝24， ∴c 2＝6，b 2＝4 2. 故所求椭圆的标准方程为x 26＋42＋y 242＝1.(2)由已知条件可得b ＋c ＝2a ，则|AC |＋|AB |＝2|BC |＝4>|BC |，结合椭圆的定义知点A 在以B ，C 为焦点的一个椭圆上，且椭圆的焦距为2.以BC 所在的直线为x 轴，BC 的中点为原点O ，建立平面直角坐标系，如图所示．设顶点A 所在的椭圆方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)，则m ＝2，n 2＝22－12＝3，从而椭圆方程为x 24＋y 23＝1.又c >a >b 且A 是△ABC 的顶点，结合图形，易知x >0，y ≠0.故顶点A 的轨迹是椭圆x 24＋y 23＝1的右半部分(x >0，y ≠0)．[能力提升]1.设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2PA →，且OQ →·AB →＝1，则P 点的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) B.32x 2－3y 2＝1(x >0，y >0) C ．3x 2－32y 2＝1(x >0，y >0)D ．3x 2＋32y 2＝1(x >0，y >0)解析：选A.由题意Q 坐标为(－x ，y )(x >0，y >0)，设A (x 0，0)，B (0，y 0)， 由BP →＝2PA →得(x ，y －y 0)＝2(x 0－x ，－y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0－2xy －y 0＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x . 由OQ →·AB →＝1得(－x ，y )·(－x 0，y 0)＝1，∴x 0x ＋y 0y ＝1，把⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝3y x 0＝32x 代入上述得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．2.设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围是________．解析：方程x 2sin α＋y 2cos α＝1可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1.∵椭圆的焦点在y 轴上，∴1cos α>1sin α>0.又∵α∈(0，π2)，∴sin α>cos α>0， ∴π4<α<π2. 答案：(π4，π2)3.已知F 1，F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点．(1)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积；(2)求|PF 1|·|PF 2|的最大值．解：(1)设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >0，n >0)． 根据椭圆的定义，得m ＋n ＝20. 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3＝122，∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n )2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝20.∵|PF 1|＋|PF 2|≥2|PF 1|·|PF 2|，∴|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值是100.4．(2014·玉溪一中高二期末)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点，过F 2作垂直于x 轴的直线MF 2交椭圆于M ，设|MF 2|＝d .(1)证明：d ，b ，a 成等比数列；(2)若M 的坐标为()2，1，求椭圆C 的方程；(3)在(2)的椭圆中，过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．解：(1)证明：由条件知M 点的坐标为()c ，y 0，其中|y 0|＝d ，∴c 2a 2＋d 2b2＝1，d ＝b ·1－c 2a 2＝b 2a ，∴d b ＝ba，即d ，b ，a 成等比数列． (2)由条件知c ＝2，d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝a ·1a 2＝b 2＋2，∴⎩⎨⎧a ＝2b ＝2，∴椭圆方程为x 24＋y 22＝1.(3)设点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，当l ⊥x 轴时，A (－2，－1)、B (－2，1)，所以OA →·OB →≠0. 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋42k 2x ＋4k 2－4＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－42k21＋2k 2，x 1·x 2＝4k 2－41＋2k2，由OA →·OB →＝0得x 1·x 2＋y 1·y 2＝0， x 1·x 2＋k 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝(1＋k 2)x 1·x 2＋2k 2(x 1＋x 2)＋2k 2＝0，代入得（1＋k 2）（4k 2－4）1＋2k 2－42k 2·2k 21＋2k2＋2k 2＝0，解得k ＝± 2. 所以直线l 的方程为y ＝±2(x ＋2)．。
311椭圆及其标准方程(同步练习)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
3.1.1椭圆及其标准方程一、单选题1．若椭圆2219x y +=上一点A 到焦点1F 的距离为2，则点A 到焦点2F 的距离为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知方程22132x y k k+=+-表示椭圆，则实数k 的取值范围是（）A ．113,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．113,222⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．(),3-∞-3．设P 是椭圆221259x y +=上的点，P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离为（）A ．2B ．4C ．8D ．164．焦点坐标为()0,4-，（0，4），且长半轴6a =的椭圆方程为（）A ．2213620x y +=B ．2212036x y +=C ．2213616x y +=D ．2211636x y +=5．已知椭圆22143x y +=，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，若椭圆内一点A (1,1)，则PA PF +的最小值为（）A ．3B C 12D 1二、多选题6．已知P 是椭圆2214945x y +=上一动点，M ，N 分别是圆221(2)16x y ++=与圆221(2)16x y -+=上一动点，则（）A ．||||PM PN +的最小值为272B ．||||PM PN +的最小值为252C ．||||PM PN +的最大值为252D ．||||PM PN +的最大值为2927．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，则（）A ．a =时，满足1290F PF ∠=︒的点P 有2个B ．a 时，满足1290F PF ∠=︒的点P有4个C ．12PF F △的周长等于4aD ．12PF PF ⋅的最大值为a 28．已知椭圆E ：22194x y +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 在E 上，若12F PF △是直角三角形，则12F PF △的面积可能为（）A ．5B ．4C D 三、填空题9．若椭圆的两焦点分别为()14,0F -，()24,0F ，点P 在椭圆上，且三角形12PF F 的面积的最大值为12，则此椭圆方程是________．10．若椭圆23x m ＋221y m +＝1的焦点在y 轴上，则实数m 的取值范围是_______11．已知点()()5,0,5,0M N -，MNP △的周长是36，则MNP △的顶点P 的轨迹方程为___.四、解答题12．曲线C 任意一点P 到点()2,0F 的距离与它到直线4x =的距离之比等于2，求C 的方程.13．求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）椭圆的长半轴为10a =，半焦距长为6c =；（2）经过点(2,3)，且与椭圆229436x y +=有共同的焦点；（3）经过(2)P Q --两点．14．已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且椭圆的长轴长为（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.参考答案1．D 【分析】利用椭圆的定义有12||||2AF AF a +=，结合已知即可求A 到焦点2F 的距离.【详解】由椭圆方程知：3a =，又12||||2AF AF a +=，1||2AF =，∴21||2||624AF a AF =-=-=.故选：D 2．B根据方程表示椭圆列不等式，由此求得k 的取值范围.【详解】由于方程22132x y k k +=+-表示椭圆，所以3011203,,22232k k k k k+>⎧⎪⎛⎫⎛⎫->⇒∈--⋃-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+≠-⎩.故选：B 3．C 【分析】根据椭圆的定义即可求出．【详解】设该椭圆左焦点为1F ，右焦点为2F ，由题可知5a =，所以12210PF PF a +==，而12=PF ，所以28PF =．故选：C ．4．B 【分析】根据题意可知4,6c a ==，即可由222b a c =-求出2b ，再根据焦点位置得出椭圆方程．【详解】因为4,6c a ==，所以22220b a c =-=，而焦点在y 轴上，所以椭圆方程为2212036x y +=．故选：B ．5．A 【分析】由椭圆定义把PF 转化为P 到右焦点的距离，然后由平面上到两定点的距离之差最小的性质可得.【详解】设椭圆的右焦点为2F (1,0)，21AF =，22||||||4||4||||PA PF PA PF PA PF +=+-=+-，又2||||PA PF -≤2||AF ，222||||||||AF PA PF AF --≤≤，当2P A F ，，三点共线时取等号，||||PA PF +的最小值为3（取最小值时P 是射线2F A 与椭圆的交点），故选：A.6．AD利用圆的方程求出圆心与半径，判断圆心与椭圆的焦点坐标重合，利用圆的性质求解最值即可.【详解】解：圆221(2)16x y ++=与圆221(2)16x y -+=的圆心分别为：(2,0)A -；(2,0)B ，则A 、B 是椭圆2214945x y +=的两个焦点坐标，两个圆的半径为14，所以||||PM PN +的最大值为11129||||2224222PA PB a ++⨯=+=⨯=；||||PM PN +的最小值11127||||2224222PA PB a +-⨯=+=⨯=.故选：AD.7．ABD 【分析】对A 和B ，椭圆中使得12F PF ∠最大的点P 位于短轴的两个端点，利用余弦定理与基本不等式即可得到答案；对C ，结合椭圆定义及a 和c 的大小关系即可得到答案；对D ，结合椭圆定义及基本不等式即可得到答案.【详解】对A 和B ，2222212121212121212||||||(||||)||cos 12||||2||||PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-+-∠==-⋅⋅又 12||||2PF PF a+=∴212122cos 1||||b F PF PF PF ∠=-⋅又 21212||||||||()2PF PF PF PF +⋅≤∴2221221212222cos 111||||||||()2b b b F PF PF PF PF PF a ∠=-≥-=-+⋅当a =时，2210b a-=，两个短轴端点恰能使1290F PF ∠=︒，A 正确；当a >时，2210b a-<，P 点位于短轴端点时，12F PF ∠为钝角，根据对称性，在四个象限各有一个点能使1290F PF ∠=︒，B 正确；对C ， a c >，∴12F PF △的周长为1212||||||224PF PF F F a c a ++=+<，C 错误；对D ， 12||||2PF PF a +=，∴221212||||||||()2PF PF PF PF a +⋅≤=，D 正确.故选：ABD .8．BC 【分析】根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，求出1PF 的长，再由面积公式即可求面积，当12PF PF ⊥时，结合122PF PF a +=，()222122PF PF c +=求出12PF PF ⋅，再由面积公式即可求面积.【详解】由22194x y +=可得3a =，2b =，所以c ==根据对称性只需考虑112PF F F ⊥或12PF PF ⊥，当112PF F F ⊥时，将x =22194x y +=可得43y =±，如图：122F F c ==143PF =，所以12F PF △的面积为1423⨯=当12PF PF ⊥时，由椭圆的定义可知：1226PF PF a +==，由勾股定理可得()22212220PF PF c +==，因为()2221212122PF PF PF PF PF PF +=+-⋅，所以1220362PF PF =-⋅，解得：128PF PF ⋅=，此时12F PF △的面积为12142PF PF ⋅=，综上所述：12F PF △的面积为445故选：BC.9．221259x y +=##【分析】根据三角形12PF F 的面积的最大值求得b ，进而求得a ，从而求得椭圆方程.【详解】依题意4,28c c ==，椭圆焦点在x 轴上，三角形12PF F 的面积的最大值为181232b b ⨯⨯=⇒=，所以229165a b c =+=+=，所以椭圆方程为221259x y +=.故答案为：221259x y +=10．01m <<【分析】利用椭圆的标准方程，结合焦点在y 轴上，列出不等关系，求解即可【详解】由题意，2221,3a m b m=+=21030213m m m m +>⎧⎪∴>⎨⎪+>⎩解得：01m <<则实数m 的取值范围是01m <<故答案为：01m <<11．()2210169144x y y +=≠【分析】由于点P 满足36102610PM PN +=-=>，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且226a =的椭圆（由于P 与M 、N 不共线，故0y ≠），再利用待定系数法求解.【详解】由于点P 满足36102610PM PN +=-=>，知点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，且226a =的椭圆（由于P 与M 、N 不共线，故0y ≠），∴13a =，又5c =，∴22222135144b a c =-=-=，故MNP △的顶点P 的轨迹方程为()2210169144x y y +=≠，故答案为：()2210169144x y y +=≠.12．22184x y +=【分析】设点()P x y ，，根据条件建立等式，化简即可；【详解】设()P x y ，()()2221242x y x ⇒-+=-，化简得：22184x y +=，即C 的方程为：22184x y +=.13．（1）22110064x y +=，或22164100x y +=；（2）2211015x y +=；（3）221155x y +=。
人教版(B版)高中数学选择性必修第1册 32 椭圆的标准方程(1)
将方程③平方，再整理得： x2 y2 1 ， ④ 25 9
当 x 0时，由①可知 2 42 y2 10，即 y2 9 ，
此时方程④也成立.
问题6 设 F1，F2是平面内的两个定点，F1F2 8 ，证明平面上满 足 PF1 PF2 10 的动点 P 有无数多个，并求出P 的轨迹方
课堂小结
椭圆的定义 如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数且2a F1F2
则平面内满足PF1 PF2 2a 的动点 P的轨迹.
Байду номын сангаас
焦点所在坐标轴
x轴
y轴
焦点坐标 标准方程
a,b, c的关系
F1(c, 0) ，F2 (c, 0)
x2 y2 a2 b2 1 (a b 0)
F1(0, c) ，F2 (0, c)
即 (x 4)2 y2 (x 4)2 y2 8 x ， ② 5
化简并检验：
①+②整理得： (x 4)2 y2 5 4 x ， ③ 5
化简并检验：
①+②整理得： (x 4)2 y2 5 4 x ， ③ 5
将方程③平方，再整理得： x2 y2 1 ， ④ 25 9
化简并检验：
在平的画板上取两个定点 F1和 F2 ，在这两个点上都钉上一个
图钉，将一条长度大于 F1F2 的细绳的两端固定在两个图钉
上，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周，则 画出的图形是一个椭圆.
椭圆上的点的特征是：任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和 都等于“绳长”.
问题5 通过刚才作椭圆的方法验证了椭圆定义中的 P 点一定存
程.
由上，可以验证，如果 P 的坐标 (x, y)满足方程
2024-2025学年高二上数学课时作业22：椭圆及其标准方程
2024-2025学年高二上数学课时作业(二十二)椭圆及其标准方程[练基础]1．已知椭圆x 225＋y 216＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则点P 到另一焦点的距离为()A ．1B ．3C ．5D ．72．设P 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则|PF 2|＝()A ．32B ．52C ．72D ．1523．“2＜m ＜4”是“方程x 2m －2＋y 24－m＝1表示椭圆”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．以F 1(－1，0)，F 2(1，0)为焦点，且经过点(1，32)的椭圆的标准方程为()A ．x 23＋y 22＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 23＋y 24＝1D ．x 24＋y 2＝15．(多选)已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为()A ．x 212＋y 29＝1B ．x 245＋y 248＝1C ．x 29＋y 212＝1D ．x 248＋y 245＝16．椭圆C 上一点P 到两个焦点F 1(－2，0)，F 2(2，0)的距离之和等于6，则C 的标准方程为________．7．一动圆与圆x 2＋y 2＋6x ＋5＝0外切，同时与圆x 2＋y 2－6x －91＝0内切，则动圆圆心的轨迹方程为________．8．求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3，2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.[提能力]9．如图，F 1，F 2是平面上的两点，且|F 1F 2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F 1，F 2的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，点A ，B ，C ，D ，E 是图中两组同心圆的部分公共点．若点A 在以F 1，F 2为焦点的椭圆M 上，则()A ．点B 和C 都在椭圆M 上B ．点C 和D 都在椭圆M 上C ．点D 和E 都在椭圆M 上D ．点E 和B 都在椭圆M 上10．(多选)设椭圆C ：x 27＋y 216＝1的焦点为F 1、F 2，M 在椭圆上，则()A ．|MF 1|＋|MF 2|＝8B ．|MF 1|的最大值为7，最小值为1C ．|MF 1||MF 2|的最大值为16D ．△MF 1F 2面积的最大值为1011．若椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在x 轴上，则实数m 的取值范围是________．12．设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，若∠F 1PF 2＝60°.(1)求△F 1PF 2的面积；(2)求点P 的坐标．[培优生]13．F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，设点A (12，12)，则|MA |＋|MF 2|的最小值为()A ．4－102B ．2－102C ．4＋102D ．2＋102答案解析1．解析：设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2,由已知条件得a ＝5，由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，其中|PF 1|＝3，则|PF 2|＝7.答案：D2．解析：根据P 为椭圆C ：x 225＋y 29＝1上一点，则有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝225＝10，又|PF 1|＝3|PF 2|，所以|PF 2|＝104＝52.答案：B3．解析：∵方程x 2m －2＋y 24－m ＝1表示椭圆，－2＞0，－m ＞0，－2≠4－m .解得2＜m ＜3或3＜m ＜4，故“2＜m ＜4”是“方程x 2m －2＋y 24－m＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案：B4．解析：因为焦点在x 轴上，所以C 不正确；又因为c ＝1，故排除D代入x 23＋y 22＝1得13＝3524≠1，故A 错误，所以选B.答案：B5．解析：由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，所以c ＝3.因为2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，所以a ＝23.所以b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：AC6．解析：因椭圆C 上一点P 到两个焦点F 1(－2，0)，F 2(2，0)的距离之和等于6，则该椭圆长半轴长a ＝3，而半焦距c ＝2，于是得短半轴长b ，有b 2＝a 2－c 2＝5，所以C 的标准方程为x 29＋y 25＝1.答案：x 29＋y 25＝17．解析：圆x 2＋y 2＋6x ＋5＝0的圆心为A (－3，0)，半径为2；圆x 2＋y 2－6x －91＝0的圆心为B (3，0)，半径为10.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为x ，则|MA |＝2＋r ，|MB |＝10－r ，于是|MA |＋|MB |＝12＞|AB |＝6，所以，动圆圆心M 的轨迹是以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，长轴长为12的椭圆．a ＝6，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝27，所以M 的轨迹方程为x 236＋y 227＝1.答案：x 236＋y 227＝18．解析：(1)由焦距是4可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2).由椭圆的定义知，2a ＝32＋（2＋2）2＋32＋（2－2）2＝8，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为y 216＋x 212＝1.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为x 2169＋y 2144＝1或y 2169＋x 2144＝1.9．解析：因为|AF 1|＋|AF 2|＝3＋9＝12，所以椭圆M 中2a ＝12，因为|BF 1|＋|BF 2|＝5＋9≠12，|CF 1|＋|CF 2|＝5＋6≠12，|DF 1|＋|DF 2|＝5＋7＝12，|EF 1|＋|EF 2|＝11＋1＝12，所以D ，E 在椭圆M 上．答案：C10．解析：由椭圆方程知：a ＝4，b ＝7，c ＝3，∴|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝8，故A 正确．|MF 1|max ＝a ＋c ＝7，|MF 1|min ＝a －c ＝1，故B 正确．|MF 1||MF 2|≤（|MF 1|＋|MF 2|）24＝16，此时M 在椭圆左右顶点上，同时△MF 1F 2面积也最大，为37，故C 正确，D 错误．答案：ABC11．解析：因为椭圆x 23m ＋y 22m ＋1＝1的焦点在x 轴上，所以3m ＞2m ＋1＞0，解得m ＞1，所以实数m 的取值范围是(1，＋∞).答案：(1，＋∞)12．解析：(1)由椭圆方程，知a 2＝25，b 2＝754，则c 2＝254，c ＝52，2c ＝5.在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.①由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|，则100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.②②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，则|PF 1|·|PF 2|＝25，故△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝2534.(2)设点P(x0，y0)，则△F1PF2的面积S＝12·|F1F2|·|y0|，由(1)可得2534＝12×5|y0|，解得|y0|＝532.又点P在椭圆上，所以x2025754＝1，解得x0＝0，于是点P.13.解析：由椭圆方程得F1(－1，0)，F2(1，0)，如图，连接MF1，由于|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，所以|MF2|＝4－|MF1|，所以|MA|＋|MF2|＝|MA|＋4－|MF1|＝4＋|MA|－|MF1|，因为||MA|－|MF1||≤|AF1|，当且仅当M，A，F1三点共线时等号成立，所以－|AF1|≤|MA|－|MF1|≤|AF1|，所以|MA|＋|MF2|＝4＋|MA|－|MF1|≥4－|AF1|＝4－102.答案：A。
【同步练习】《椭圆及其标准方程》(人教A版)-1-2
221椭圆及其标准方程同步练习1 •椭圆X2 + 4y 2= 1的离心率为（）A 並B3A' 2 B.4 cdD.2 2 32 22•已知（4,2）是直线I 被椭圆36+ y 9= 1所截得的线段的中点，贝Ul 的方程是（ ）A. x — 2y = 0 B • x + 2y -4= 0 C. 2x + 3y + 4 = 0D . x + 2y — 8= 02 2 3. 过椭圆＞4 + y 2 = 1的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于 A B 两点，已知双曲线的焦点在 x 轴A-2 B'♦填空题2 24. 椭圆+ + 2 = 1的焦点为F 1, F 2,点P 在椭圆上，若| PF | = 4,则| P 冋= _____________ ，/ RPR 的大小为 _________2 2x y5. 已知F 1、F 2是椭圆孑+ £= 1的左、右焦点，点角平分线的垂线，交 F 2P 的延长线于 M 则点M 的轨迹方程是 ___________ .26. （2011 •浙江高考）设F 1, F 2分别为椭圆x 3 + y 2= 1的左，右焦点，点A , B 在椭圆上，若F 1A =5F 2B,则点A 的坐标是 ___________7. （2011 •全国课标卷）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1, H 在x轴上，离心率为过R 的直线l 交C 于A , B 两点，且△ ABF 的周长为16,那么C 的方程为 ____________ .上，对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A B 两点，则双曲线的离心率e 为（ ）P 是椭圆上任意一点，从 R 引/ RPF 的外♦解答题& (10分)(2010 •天津高考)已知椭圆£+ y2 = 1(a>b>0)的离心率e=¥，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线I与椭圆相交于不同的两点A, B.已知点A的坐标为(一a, 0)，点Q0, y o)在线段AB的垂直平分线上，且QA- Q B= 4，求y o的值.9、设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆相交于，两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为;(1)求椭圆的焦距；2)如果，求椭圆的方程.答案和解析♦选择题」1、 解析：•/ a = 1, b = f ，二 c = a 2- b 2 =¥，二 e =£=#，故选 A. 答案：A2 22、 解析：设I 与椭圆的两交点分别为(X i , y i )、(X 2, y 2)，则得y 2一 =-—，所以y -X i — X 2 36 X i — X 21 ―2.1故方程为 y — 2= — ^(X — 4)，即 x + 2y — 8= 0. 答案：D=± b x ，因为A 、B 在渐近线上，所以a=~2'答案：C♦填空题k _________ ___________ )4、解析：由椭圆的定义知| PF | + | PF | = 2a = 2X 3 = 6，因为| PF | = 4,所以| PF 2| = 2. •••/ FFF = 120° 答案：2120 °5、 解析：由题意知| MP = | F 1P | , • | PF | +1 PR| = | MF = 2a . •••点M 到点F 2的距离为定值2a .•••点M 的轨迹是以点 F 2为圆心，以2a 为半径的圆，其方程为(x — a 2— b 2)2+ y 2= 4a 2. 答案：(x — , a 2— b 2)2+ y 2= 4a 216、 解析：设 A (X 1, y" , B (X 2, y 2)，由 F( — 2, 0) , F 2( .2, 0)且 ％= 5冃B 得 X 2= "5(X 1解析: A 2, 1) , B ( 2,— 1)，设双曲线为X —2 a y—卩二1(a >0, b >0)，渐近线方程为 1=! 2,在厶PFF 2中, cos / FPF 2=| PF | 2+ | PF | 2—| 冃冋 2= 2| PF || PF = 12.b 2 c—— e — a 2， a答案：(0 ,± i) 由于△ ABF 的周长为 | AE | + | BF 2| + | AF 2| = | AIF | + | AF 2| + | BF | + | BF 2| = 4a = i6,故 a = 4. ••• b 2= 8.2 2•椭圆C 的方程为1~6+鲁=1.2 2答案箱+鲁=1♦解答题8、解:(1)由 e =£=¥，得 3a? = 4c 〔a 2 再由 c 2= a 2—b 2, 得 a = 2b . i由题意可知x 2a x 2b = 4,即ab = 2.a = 2b , 解方程组得a = 2, b = 1.|ab = 2,2 X 2所以椭圆的方程为-+ y 2= 1.⑵由⑴可知A — 2,0）.设B 点的坐标为（x i , y i ），直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y = k （x + 2）.y = k x + 2!于是A, B 两点的坐标满足方程组 x 2 217+y = j由方程组消去y 并整理，得2 2 2 2(1 + 4k )x + 16kx + (16k — 4) = 0.1+ 6 2） , y 2= 5『i .又A B 两点在椭圆上，故有2X i2 ,3 + yi =1,x i + 6〔75消去y i—X i 25=iX i + 6 .-2 2— x 2324,有X i = 0，从而y i =± i ，故点A 的坐标为（0,i ）和（0，—1).7、解析b 2 i故厂2设椭圆方程为 a 2 + 右=i(a >b >0)，由 e = #知£=¥，24k从而 yi = i +k 2. 设线段AB 的中点为M……… 8 k 2 2k 则M 的坐标为（一 2, 2）.1 + 4k 1 + 4k 以下分两种情况：① 当k = 0时，点B 的坐标为（2,0），线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA =（ y o ） , QB= （2，一 y o ）.由 QA- QB= 4，得 y o =± 2 2.② 当k z 0时，线段AB 的垂直平分线方程为 22k 1 8ky —=一 k （X + 1+^?）.由一2x i =16k — 4 1 +得X i =2— 8k 2 1 + 4k 2.—2,—令x = 0,解得y o = —6k 1 + 4k 2.2由QA= ( —2，—y o) , QB= (X1, y1 —y o). S A- 3B=—2X1 —y o(y1 —y o)2_ —2 2—8k 6k 4k 6k= 1 + 4k2 +1 + 4k2 (1+ 4k2 + 1 + 4k2)4 24 16k + 15k —1=4,整理得7k= 2，故k=±今.所以yo=±書综上，y o=± 2 .2或y o =± 2_1459、解：（1）设焦距为，由已知可得到直线的距离，故, 所以椭圆的焦距为4;（2）设，由题意知直线的方程为联立得，解得，因为，所以即得，又，故故椭圆的方程为•1 + 4k。
高二数学椭圆及其标准方程1(201909)
(4,2 3 ) ，求椭圆的标准方程。
(2)求经过两点
P1
(
1 3
,
1 3
),
P2
(0,方程。
(上3)一已点知P椭(3圆,4)，ax22PFb1y⊥22 P1F(2a，求b 该0) 椭圆的方程。
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； ；
复习
x2 y2
椭圆的 a 2 b2 1(a b 0)
标准方程
y2 a2
x2 b2
1(a b 0)
( x轴)
( y轴)
注 1、椭圆定义：|MF1|+|MF2|=2a
意
2、a>c>0； a2=b2+c2 3、焦点坐标
Y Y
F2
F1
F2
X
F1
X
例1.(1)已知 c 3 ，且椭圆过点
榆次〔建武二年省〕〖南鲁郡〗〔建武二年省〕鲁 霍出塞 乃复直阁 文和斩其使 吞河漱月 萦原抱隰 西曹之名 本官如故 岂直远在周世哉 太祖辅政 便谓为道人 遂升要重 迁秘书郎 共成唇齿 融形貌短丑 遂卒 免官 不足追咎 行荆州府 丧初而无哀貌 菩萨不杀 之镇 未涉胸衿 平北将 军 要是意向如此 牵制巨力 征役不息 上欲令瓛为晔讲 实允事机 朱隆之等转已猜疑 为侍中 开君尺短 谢{艹瀹} 慧晓举酒曰 皆还如本 抚军将军 在西豫时 坐罢 入朝不趋 因呜咽流涕 尤嗜饮食 又齿长疾侵 侍中如故 迁吏部郎 敬则以功力有馀 岂伊穷骸被德 领郡如左 领步兵校尉 得 铜 东阳 丘不与易也 中正如故 已成不须坏 州从事 孝文国富刑清 僮 尚书令王俭皆降意以接之 勿得敕如风过耳 所以温舒献辞于失政 与世祖款昵 宋泰始中 萧令君自以亲惟族长 同以象数为宗 宜列其姓业 远照民瘼 祀散骑常侍 许之
2021-2022高二人教版数学选修1-1练习：2.1.1椭圆及其标准方程 Word版含答案
►基础梳理1．椭圆的定义及标准方程．(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)椭圆的标准方程(请同学们自己填写表中空白的内容)：焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)焦点 (±c ，0) (0，±c )a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 22.只有当||PF 1＋||PF 2＝2a >||F 1F 2时，点P 的轨迹才是椭圆； 当||PF 1＋||PF 2＝2a ＝||F 1F 2时，点P 的轨迹是线段F 1F 2； 当||PF 1＋||PF 2＝2a <||F 1F 2时，点P 的轨迹不存在． 3．正确理解椭圆的两种标准形式． (1)要熟记a ，b ，c 三个量的关系．椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离和的一半，正数a ，b ，c 恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以a ＞b ，a ＞c ，且a 2＝b 2＋c 2，其中c 是焦距的一半，叫做半焦距．(2)通过标准方程可以推断焦点的位置，其方法是：看x 2，y 2的分母大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．4．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤．(1)作推断：依据条件推断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设方程：①依据上述推断设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或x 2b 2＋y 2a2＝1．②在不能确定焦点位置的状况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )． (3)找关系，依据已知条件，建立关于a ，b ，c 或m ，n 的方程组． (4)解方程组，代入所设方程即为所求．,►自测自评1．到两定点F 1(－4，0)和F 2(4，0)的距离之和为8的点M 的轨迹是线段F 1F 2．2．椭圆的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1． 3．已知a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程为x 27＋y 216＝1．4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点坐标为(4，0)，(－4，0)．1．已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，点P 是平面上一动点，且|PF 1|＋|PF 2|＝6，则点P 的轨迹是(C ) A ．圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．线段2．若椭圆的两焦点为(－2，0)，(2，0)，且过点⎝⎛⎭⎫52，－32，则该椭圆的方程是(D ) A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.y 26＋x 210＝1 解析：由题意知，所求椭圆的焦点在x 轴上，可以排解A 、B ；再把点⎝⎛⎭⎫52，－32代入方程，可知应选D. 3．过椭圆4x 2＋2y 2＝1的一个焦点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则A 、B 与椭圆的另一焦点F 2构成△ABF 2，那么△ABF 2的周长是______．答案：2 24．写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)a ＝4，b ＝3焦点在x 轴上； (2)a ＝5，c ＝2焦点在y 轴上；(3)求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点⎝⎛⎭⎫63，3和点⎝⎛⎭⎫223，1.答案：(1)x 216＋y 29＝1；(2)y 225＋x 221＝1；(3)x 2＋y 29＝1.5．设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y2b2＝1，(a ＞b ＞0)的左右两焦点，若椭圆C上的点A ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1、F 2两点的距离之和为4，求椭圆C 的方程及焦点坐标．解析：椭圆C 的焦点在x 轴上，由椭圆上的点A 到F 1，F 2两点的距离之和是4，得2a ＝4，即a ＝2.又A ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴122＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，解得b 2＝3. ∴c 2＝a 2－b 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F (±1，0)．。
椭圆的标准方程练习题
基础知识：1．椭圆的定义椭圆是平面上到两定点21F F 、距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹，定点21F F 、叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
若设动点M 到21F F 、距离之和为2a ，c F F 2||21=，则（1）当a>c>0时，动点M 的轨迹是椭圆；（2）当a=c>0时，动点M 的轨迹是线段21F F ；（3）当0<a<c 时，动点M 无轨迹。
2．椭圆的标准方程（1）方程的推导：注意根据图形的对称性建立恰当的坐标系，在化简过程中作变化222c a b -=，使方程更为简洁。
（2）两种基本形式：当焦点在x 轴上时，标准方程是)0(12222>>=+b a b y a x ，焦点坐标是)0()0(21，、，c F c F -； 当焦点在y 轴上时，标准方程是)0(12222>>=+b a b x a y ，焦点坐标是)0()0(21c F c F ，、，-。
（3）a 、b 、c 三者的关系：满足222c a b -=即222c b a +=，它们构成了一个直角三角形的三边，其中a 为斜边，b 、c 为直角边（如图1），因而有a>b>0，a>c>0，据此可由方程来确定椭圆的位置。
（4）方程的确定：根据条件确定椭圆标准方程时，常用待定系数法和定义法，首先应确定椭圆的中心和焦点位置，然后根据两个独立条件求出a 、b 的值。
例1（椭圆标准方程的推导）求平面内到点1F （-c,0）, ()2,0F c 的距离和等于2a （0a c >>）的点的轨迹方程。
令222a cb -=，其中0b >， ()222210x y a b a b+=>>例2．根据下列条件，求椭圆的标准方程。
1. 坐标轴为对称轴，并且经过两点A （0，2）和B （12）。
2. 坐标轴为对称轴，一焦点为(，且截直线32y x =-所得弦的中点的横坐标为0.5.3. 经过点（2，-3）且与椭圆229436x y +=有共同的焦点。
高二数学椭圆的标准方程及性质1(学生版)
例5、如图所示，点 分别是椭圆 长轴的左右端点，点 是椭圆的右焦点，点 在椭圆上，且位于 轴上方，
（1）求点 的坐标
（2）设 是椭圆长轴 上的一点， 到直线 的距离等于 ，求椭圆上的点到点 的距离 的最小值。
【课堂小练】
1、椭圆的中心在原点，且一个顶点和一个焦点分别是直线 与两坐标轴的交点，则椭圆的
变式练习2：椭圆的一个顶点为A（2，0），其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程
例2、我国载人航天飞船“神州七号”发射圆满成功，已知“神州七号”飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆，飞船近地点、远地点离地面分别为200公里、350公里，设地球半径为R公里，求飞船轨道的飞船。
例3、求椭圆 的内接矩形面积 的最大值，并求出此时矩形的四个顶点的坐标。
上的点的最远距离为 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点 的距离等于 的点 的坐标.
【课后练习】
1.以原点为中心，一个焦点为 ，且长轴是短轴的 倍的椭圆方程是_______________
2.椭圆 的长轴长、短轴长分别为（）
A 6，2 B 3，1 C 18，2 D ，1
3.椭圆 的长轴的端点的坐标是（）
学科教师辅导讲义
年级：高二辅导科目：数学课时数：
课题
椭圆的标准方程及性质（一）
教学目的
1、理解椭圆的定义，会推导椭圆的标准方程，掌握两种类型的椭圆的方程；
2、掌握椭圆的几何性质和它的简单应用。
教学内容
【知识梳理】
椭圆的定义及性质
定义
平面内到两个定点 的距离之和等于定长（ ）的点的轨迹
标准方程
椭圆 ： （ ）；
7.已知椭圆的中心在原点，长轴在 轴上，左焦点 与短轴的两个端点的连线相互垂直，左焦点 与长轴上左顶点 的距离为 求此椭圆的标准方程。
高二数学椭圆的标准方程(1)
椭圆的标准方程
临川二中
袁庆
圆锥曲线的形成
椭圆的定义
定义 平面内与两定点F1、F2的距离之和等于
定值(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆。
焦点：两个定点F1、F2称为焦点。 焦距：两个焦点之间的距离 F1F2 称为焦距。
椭圆的标准方程
点的位置
平面内到定点F 的距离与到定直线L 椭圆的第二定义：
2
2
6 1 1 m n 由题： m 9, n 3 3 2 1 m n
x y 即 1 9 3
2 2
也可设椭圆方程为Ax By 1( A 0, B 0)
2 2
例题讲解二
x2 y 2 例2 椭圆 1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上， 9 2 若 PF1 4，则 PF2 2
若将PF2延长交椭圆于另一点Q，
12 则PFQ 的周长为 1 Y
P
F1
O
F2
Q
X
x y 椭圆 2 2 1(m 1)上一点P到其左焦点的 例3： m m 1 距离为3，到右焦点的距离为 1.则P到右准线的 y
2
2
距离为 2
o
x
x2 y2 1 内有一点（ P 1，-1）， 变式2 在椭圆 4 3
求椭圆的方程 且经过两点（ P1 6，1），P （ ，- 2）， 2 - 3
2 2
1 6 2 1 2 a b 2 2 由题可知： a 3, b 9(舍去) 2 3 1 2 2 a b
x y 法二 可设椭圆方程为 1(m 0, n 0) m n
的距离之比为常数e (0<e<1) 的点的轨迹为椭圆.
高二数学椭圆的标准方程1
缠中说禅https:///chanlun/
[单选]结核病的传染源是排菌患者，一个涂片阳性的肺结核患者，平均每年可以传染的人数是（）A.1～2个B.2～3个C.3～5个D.5～10个E.100个 [单选]Inmarsat通信系统主要是以（）为通信对象。A.航空电台B.海岸电台C.MESD.LES [填空题]吸入液氨后应迅速使伤者脱离现场至（）。保持（）通畅。如呼吸困难，应（）。如呼吸停止，立即进行（）。 [单选]下列关于飞机过载和速压的说法，正确的是（）。A.速压反应了飞机总体受载的严重程度B.过载反应了飞机总体受载的严重程度C.过载反应了飞机表面所承受的局部气动载荷的严重程度D.飞机在飞行中不能超过最大使用过载，但允许超过最大允许速压 [单选,A2型题,A1/A2型题]外科监护病房空气消毒可选用（）A.层流通风B.紫外线灯照射C.过氧乙酸熏蒸消毒D.循环风紫外线空气消毒器E.臭氧消毒 [单选]如果居民消费价格指数上涨，那么货币购买力将()。A.上涨B.下降C.不变D.先上涨后下降 [单选]乳腺检查的正确顺序是（）A.内上、外上、外下、内下、中央、腋窝及锁骨区B.外上、外下、内上、内下、中央、腋窝及锁骨区C.中央、内下、内上、外上、外下、腋窝及锁骨区D.外上、内上、外下、外上、中央、腋窝及锁骨区E.中央、腋窝及锁骨区、外上、内上、外下、外上 [单选]中央型肺癌胸部X线的直接征象有（）A.肺不张B.肺门类圆形阴影C.局限性肺气肿D.阻塞性肺炎E.胸腔积液 [单选,A2型题,A1/A2型题]脑脊液标本抽出后，第1管通常用作何种检查（）A.物理检查B.生化检查C.细菌学检查D.细胞计数E.以上均不对 [单选]下列不属于昆虫保护性适应的是（）。A．迁飞B．保护色C．拟态D．假死 [填空题]东方电机厂QFSN—300—2型汽轮发电机油密封箱油位过高（）mm、过低（）mm报警，密封瓦油压异常过高（）MPa、过低（）MPa报警，密封瓦回油温度（）℃报警。 [单选]我国《国家赔偿法》规定，只对下列行为之一进行赔偿的是（）。A.行政机关及其工作人员行使职权造成的损害B.因行政机关及其工作人员违法行使职权造成的损害C.因对道路、桥梁管理不善造成的损害D.行政机关及其工作人员为其单位采购物品造成他人损害 [单选]出口企业和其他单位出口退（免）税资格认定的内容发生变更的，自变更之日起（）日内，向税务机关申请变更出口退（免）税资格认定。A、10日B、20日C、30日D、15日 [单选]建立人工通气的最好方法是（）A.阿托品B.冰帽C.人工呼吸，胸外心脏按压D.人工心脏起搏E.气管插管 [问答题,简答题]何谓易燃货物？ [单选]有关颈椎的描述，错误的是()A．有横突孔B．第7颈椎的棘突特别长C．寰椎椎体较大D．枢椎有齿突E．临床上常通过第7颈椎棘突来确定下位的椎骨 [单选]诺成合同和实践合同是以（）条件划分的。A.按照合同表现形式划分B.按照合同的成立是否以标的物的交付为必要条件划分C.按照当事人是否相互负有义务划分D.按照相互之间的从属关系划分 [判断题]船舶起居室失火后，火势迅速顺着上层建筑内的走廊及楼梯、门。窗向周围相邻的起居室蔓延。A.正确B.错误 [单选]右肾上腺解剖描述中，下列哪一项最确切A.右肾上腺呈半月形，位于右肾上极内上方，下腔静脉后方，膈肌脚前方B.右肾上腺呈三角形，位于右肾上极内上方，下腔静脉后方，膈肌脚前方C.右肾上腺呈半月形，位于右肾上极内上方，下腔静脉后方，膈肌脚后方D.右肾上腺呈半月形，位于右 [单选]废水处理系统中的预处理的目的是（）。A.保护废水处理厂的后续处理设备B.处理废水中悬浮状态的固体物质C.减小废水水里的波动D.使出流水质比较均匀 [单选,A1型题]一般饮片在煎煮前应先用冷水浸泡约（）A.5minB.10minC.30minD.60minE.90min [单选]在系统性红斑狼疮发病的病因中不包括以下哪项内容（）。A.环境因素B.饮食因素C.性激素D.遗传因素E.免疫功能紊乱 [判断题]进境邮寄物，带有规定禁止邮寄进境的、证单不全的、在限期内未办理检疫审批或报检手续的、经检疫不合格又无有效处理方法的，将作退回或销毁处理。（）A.正确B.错误 [单选]我国煤用振动筛的长宽比为（）。A、2：1B、3：1C、5：2D、3：2 [填空题]轿壁的机械强度试验是在5cm2的面积上，施加（）N均匀分布力，无永久变形，其弹性变量不大于15mm。 [单选]矿井中硫化氢最高允许浓度为（）。A、0.0005%B、0.0024%C、0.00066% [问答题,简答题]常见的稀土元素的价态有哪些？ [单选,A2型题,A1/A2型题]血红素合成障碍所致的贫血是（）A.缺铁性贫血B.再生障碍性贫血C.海洋性贫血D.巨幼细胞贫血E.慢性病性贫血 [单选,A2型题,A1/A2型题]抗休克时使用血管扩张剂必须（）。A.单独使用B.尽早使用C.与强心药同用D.在血容量基本补足后使用E.大剂量使用 [判断题]湖泊一般只能取舍，不能合并。A.正确B.错误 [单选,A1型题]营养性巨幼细胞贫血伴有神经系统症状时，首选维生素B的治疗方案是（）A.每天100μg肌内注射，至少2周B.每次500μg肌内注射，每周2～3次C.每天500μg肌内注射，至少2周D.每次1000μg肌内注射，每周2～3次E.每天1000μg肌内注射，至少2周 [问答题,简答题]如何理解财政政策？ [单选]施工作业水域涉及两个和两个以上海事局时，施工作业者的申请应向（）提出，或向指定的海事局提出。A.其中任一个海事局B.其共同的上一级海事局C.下一级海事局D.海事总局 [单选,A2型题,A1/A2型题]胸部触诊时语音震颤增强常见于（）。A.大叶性肺炎实变期B.胸壁皮下气肿C.肺气肿D.大量胸腔积液E.气胸 [单选]下列关于制定股利分配政策应考虑因素的表述中，错误的是()。A、按照资本保全的限制，股本和资本公积都不能发放股利B、按照企业积累的限制，法定公积金达到注册资本的50%时可以不再提取C、按照净利润的限制，五年内的亏损必须足额弥补，有剩余净利润才可以发放股利D、按照无 [单选,A1型题]清暑益气汤的君药是（）A.西洋参、淡竹叶B.黄连、知母C.西瓜翠衣、西洋参D.西瓜翠衣、黄芩E.西洋参、知母 [单选]雨期填筑路堤需借土时，取土坑距离填方坡脚不宜小于()。A．0．8mB．1mC．2mD．3m [单选]作为并购公司的企业集团暂不向目标公司支付全额价款，而是作为对目标公司所有者的负债，承诺在未来一定时期内分期、分批支付并购价款的方式属于（）。A.现金支付方式B.股票对价方式C.杠杆收购方式D.卖方融资方式 [问答题,简答题]一列数的规则如下：1、1、2、3、5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ8、13、21、34......求第30位数是多少，用递归算法实现。 [单选]下列对于业务员职责描述错误的是（）。A.送接库时，遇有箱包破损、数量不符、手续不清，应拒绝接受B.在网点卸车时，应先由客户方清点、签收，然后送箱包C.坚持经办人签名，谁签名谁负责原则，保证帐物相符、核对无误、手续完备D.箱包出库装车时，签收完毕后再进行清点装车
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高二数学椭圆及其标准方程（一）练习
【同步达纲练习】
A 级
一、选择题
1.椭圆的两个焦点分别是F 1(-8，0)和F 2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆方程是( )
A.2
x 3x 2
+100
2
y =1
B.4002x +3362y =1
C.1002x + 36
2y =1
D. 202x +12
2y =1
2.与椭圆92x +42
y =1共焦点，且过点P(3，-2)的椭圆方程是( )
A. 152x +192
y =1
B. 102x +15
2y =1
C.152x + 10
2y =1
D.
10
2x +
15
2y =1
3.椭圆m x 2+4
2
y =1的焦距是2，则m 的值是 ( )
A.5
B.8
C.5或3
D.20
4.过椭圆252x + 9
2
y =1左焦点F 1引直线l 交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则
△ABF 2的周长是( )
A.16
B.18
C.20
D.不能确定
5.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点P(
53，-4)和Q(-5
4
，3)，此椭圆的方程是( ) A. 25
2x +y 2
=1
B.x 2
+25
2
y =1
C.252x +y 2=1或x 2+25
2y =1
D.非A 、B 、C 答案
二、填空题
6.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标是 .
7.椭圆以坐标轴为对称轴，长、短半轴之和为10，焦距为45，则椭圆方程
为 .
8.P 点在椭圆452x +20
2
y =1上，F 1，F 2是椭圆的焦点，若PF 1⊥PF 2，则P 点的坐标
是 . 三、解答题
9.椭圆22a x +22
b
y =1(a ＞b ＞0)的两个焦点及其与坐标轴的一个交点正好是一个等边三角
形的三个顶点，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为3，求椭圆的方程.
10.已知椭圆92x +4
2
y =1上的点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等
差中项，求P 点坐标.
参考答案：
【同步达纲练习】
A 级
1.C
2.A
3.C
4.C
5.B
6.(0，-69) (0，69)
7. 362x +162
y =1或362y +162x =1
8.(3，4)，(3，-4)，(-3，4)，(-3，-4) 9. 122x +9
2
y =1 10.(0，2)或(0，-2)。