恒成立与存在性问题方法总结

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高三数学复习中的恒成立与存在性问题，涉及一次函数、

二次函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结

合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能

力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的

作用，因此也成为历年高考的一个热点，恒成立与存在性问

题的处理途径有多种，下面是小编整理的恒成立与存在性问

题方法总结，欢迎来参考！

▲一、构建函数

构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性

质来解决的问题。

1、构建一次函数

众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数

在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间

内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。

例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求

实数k的取值范围。

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解：构建函数f（x）= kx+3k+1，则原问题转化为f（x）

在x∈（-2，2）内恒为正。若k=0，则f（x）=1＞0恒成立；

若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f

（2）＞0，

解之得k∈（- ，+∞）。

例2：对≤2的一切实数，求使不等式2x-1＞（x -1）

都成立的x的取值范围。

解：原问题等价于不等式：（x -1）-（2x-1）＜0，设f

（）=（x -1）-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（）

或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。

（1）当x -1=0时，x=±1。

当x=1时，f（）＜0恒成立；当x=-1时，f（）＜0不

成立。

（2）当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（）

＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜；综上，

所求的x∈（）。

2、构建二次函数

二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用

二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本

复杂的问题变得容易解决。

例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求实数a

的取值范围。

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