恒成立与存在性问题方法总结

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函数的恒成立、存在性问题的方法总结大全(干货)

关于函数的恒成立、存在性（能成立）问题关于二次函数的恒成立、存在性（能成立）问题是常考考点，其基本原理如下：（1）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，则：0()00a f x >⎧>⇔⎨∆<⎩恒成立；0()00a f x <⎧<⇔⎨∆<⎩恒成立．（2）若表述为：“已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠”，并未限制为二次函数，则应有：00()000a a b f x c >==⎧⎧>⇔⎨⎨∆<>⎩⎩恒成立或；00()000a a b f x c <==⎧⎧<⇔⎨⎨∆<<⎩⎩恒成立或．注：在考试中容易犯错，要特别注意！！！恒成立问题与存在性（能成立）问题，在解决此类问题时，可转化为其等价形式予以解答，将此类问题的可能出现的17种情形归纳总结大全如下，并通过常考例题进行讲解：已知定义在[,]a b 上的函数()f x ，()g x ．（1）[,]x a b ∀∈，都有()f x k >（k 是常数）成立等价于min [()]f x k >（[,]x a b ∈）．（2）[,]x a b ∀∈，都有()f x k <（k 是常数）成立等价于max [()]f x k <（[,]x a b ∈）．（3）[,]x a b ∀∈，都有()()f x g x >成立等价于min [()()]0f x g x ->（[,]x a b ∈）．（4）[,]x a b ∃∈，都有()()f x g x >成立等价于max [()()]0f x g x ->（[,]x a b ∈）．（5）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12()()f x g x >成立等价于min max [()][()]f x g x >．（6）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x >成立等价于min min [()][()]f x g x >．（7）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∀∈使得12()()f x g x >成立等价于max max [()][()]f x g x >．（8）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x >成立等价于max min [()][()]f x g x >．（9）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于min minmax max [()][()][()][()]g x f x g x f x ≤⎧⎨≥⎩．（10）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于()f x 的值域与()g x 的值域交集不为∅．（11）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x k +≥（k 是常数）成立等价于min max [()][()]f x g x k +≥．（12）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于max min [()][()]g x f x k-≤且．max min [()][()]f x g x k -≤．特别地，1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x f x k -≤（k 是常数）成立等价于max min ()()f x f x k -≤．（13）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于min max [()][()]g x f x k-≥或．min max [()][()]f x g x k -≥．特别地，1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈都有12|()()|f x f x k -≥（k 是常数）成立等价于min max ()()f x f x k -≥．（14）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于min max [()][()]g x f x k-≤且．min max [()][()]f x g x k -≤．特别地，1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x f x k -≤（k 是常数）成立等价于min max ()()f x f x k -≤．（15）1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于max min [()][()]g x f x k-≥或．max min [()][()]f x g x k -≥．特别地，1[,]x a b ∃∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x f x k -≥（k 是常数）成立等价于max min ()()f x f x k -≥．（16）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≤（k 是常数）成立等价于min min [()][()]g x f x k-≤且．max max [()][()]f x g x k -≤．（17）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12|()()|f x g x k -≥（k 是常数）成立等价于max max [()][()]g x f x k-≥或．min min [()][()]f x g x k -≥．【评注】（9）1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∃∈使得12()()f x g x =成立等价于min minmax max[()][()][()][()]g x f x g x f x ≤⎧⎨≥⎩．()y g x =所在区域能包含()y f x =所在区域时，满足条件．∀⊆∃．题目中有时会这样表述：对任意的1[,]x a b ∈，都有2[,]x a b ∈，使得12()()f x g x =成立，（9）的表达的意思完全相同．所以大家要深入理解定理中的“任意的”、“都有”的内涵：即当1[,]x a b ∈时，()f x 的值域不过是()g x 的子集．【例1】（1）（2010•山东•理14）若对任意0x >，231xa x x ++恒成立，则a 的取值范围是．（2）现已知函数2()41f x x x =-+，且设12314n x x x x <<<⋯<，若有12231|()()||()()||()()|n n f x f x f x f x f x f x M --+-+⋯+-，则M 的最小值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6（3）已知21()lg(31)()()2x f x x x g x m =++=-，，若对任意1[03]x ∈，，存在2[12]x ∈，，使12()()f x g x >，则实数m 的取值范围是．（4）已知函数()f x x =，2()252()g x x mx m m R =-+-∈，对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．1[,1]9B ．(,1]-∞C ．(,1][4,)-∞+∞D ．(,1][3,)-∞+∞（5）已知函数2()1f x x x =-+，[1,2]x ∈，函数()1g x ax =-，[1,1]x ∈-，对于任意1[1,2]x ∈，总存在2[1,1]x ∈-，使得21()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,4]-∞- B ．[4,)+∞C ．(,4][4,)-∞-+∞D ．(,4)(4,)-∞-+∞（6）（2008•天津•文10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值集合为( ) A ．{|12}a a <B ．{|2}a aC ．{|23}a aD ．{2,3}（7）（2008•天津•理15）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为．）0x >，12x∴（当且仅当112353=+15，故答案为：1[,)5+∞．2()x x =-的图象是开口向上，过的抛物线，由图象可知，函数在上单调递减，在上单调递增，12314n x x x x <<<⋯<，(1)2f ∴=-，(2)f =-对应的函数值（2()41f x x x =-+图象上的点的纵坐标）之差的绝对值，结合231)||()()||()()|n n f x f x f x f x -+-+⋯+-表示函数max M ，||(1)(2)f f -5M ，故上单调递增，）法一：()2(2f x x ==-+2,2]时，x 2()3f x ，(f x ∴12)(22)2x x +=--<+，令f 单调递增，当(1,2]x ∈-，也是最大值；又(2)f 22[52m m --∈--，对于任意的的值域的子集，22m ，1m 或4m ，故选：）因为2()f x x x =-0时，()g x 在[1-[1,1]B a a =---，由题意可得，1113-，解得4a ；0时，()g x 在[1-的值域为[1,1]a a ---， 1113-，解得4a -，4][4,)+∞．故选：C ．)3xy =，得，在[,2a a 上单调递减，所以2a ，即2a 故选：B ．）log log a x c +，log a xy c ∴=，cxy a ∴=c a1122a a -⇒223a c log c +⎧⎨⎩的取值的集合为{2}．故答案为：【评注】深入理解（6）题题干中的“任意的”、“都有”的内涵：即当[,2]x a a ∈时，()f x 的值域M 不过是2[,]a a 的子集．值得关注的是：“[,2]x a a ∈”是指每一个这样的x ，2[,]y a a ∈是指存在这样的y ，理解到由函数的定义域导出值域M 是2[,]a a 的子集，由此才有：222[,][,]2a a a a ⊆．（6）与（7）唯一的差别就是：（7）中要求时唯一的，如何转化“唯一”这个条件是本题的关键，与函数的单调性联系起来来进行解答，需要有较强的转化问题的能力．【例2】已知函数2()[2sin()sin ]cos ,3f x x x x x x R π=++∈．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若存在05[0,]12x π∈，使不等式0()f x m <成立，求m 的取值范围．））x ．存在【例3】已知实数0a >，且满足以下条件：①x R ∃∈，|sin |x a >有解；②3[,]44x ππ∀∈，2sin sin 10x a x +-；求实数a 的取值范围．【解析】实数10得：1sin sin a x-2[,1]2t ∈时，2()2f t f =1sin sin ax -22a ；综上，a 的取值范围是2{1}a a <．【例4】（1）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈，函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．对任意1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x <成立．求k 的取值范围．（min min ()()g x f x <）（2）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈．函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．对任意1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x =成立，求k 的取值范围．（()f x 的值域是()g x 的值域的子集即可．）（3）已知函数2()2f x k x k =+，[0,1]x ∈．函数22()32(1)5g x x k k x =-+++，[1,0]x ∈-．存在1[0,1]x ∈，存在2[1,0]x ∈-，21()()g x f x =成立，求k 的取值范围．（()g x 的值域与()f x 的值域的交集非空．）5k ，解得5k ，则求5k ．，当[0,1]x ∈时，函数单调递增，2[,2k k k +2)[5,2210]k k ∈++，[0,1]，存在210]k +，即225222k k k k k ⎧⎨++⎩，解得5k ，则求5k ．时，函数单调递增，2,2]k k +，1)k x +++10]+，由对存，存在2x 1()f x =成2][5,2k +，即252k k +且22210k k k +，解得4114k-或1414k --．【例5】已知(2)23x f x x =-+．（1）求()f x 的解析式；（2）函数2(2)5()1x a x ag x x +-+-=-，若对任意1[24]x ∈，，总存在2[24]x ∈，，使12()()g x f x =成立，求a 取值范围．，即2()(log )2log f t t =-)(log 2log x x =-+【例6】（1）已知函数1()f x e =-，3(4)g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（）A ．]2222[+-，B ．)2222(+-，C ．]31[，D ．)31(，（2）已知函数()1x f x e =-，2()44g x x x =-+-．若有()()f a g b =，则b 的取值范围为( ) A．[2-+ B．(2-+ C ．[1,3]D ．(1,3)）()f x e =【例7】（1）（2014•江苏•10）已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为．（2）已知函数2()(f x x bx c b =++、)c R ∈且当1x时，()0f x ，当13x 时，()0f x 恒成立．（ⅰ）求b ，c 之间的关系式；（ⅱ）当3c 时，是否存在实数m 使得2()()g x f x m x =-在区间(0,)+∞上是单调函数？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．（3）（2017•天津•理8）已知函数23,1()2,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()||2x f x a +在R 上恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[-D ．39[]16- （4）已知定义域为R 的函数()f x 满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+．（①）若(2)3f =，求(1)f ；又若(0)f a =，求()f a ；（①）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数()f x 的解析表达式．【解析】（1）二次函数2()1f x x mx =+-的图象开口向上，对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，∴(1)0与(1)0f 同时成立，则必有m ，使满足题设的(g 22()()g x f x b m x c =+-+开口向上，且在0b ．20b m ∴．3c ，1)4b ∴=-．这与上式矛盾，从而能满足题设的实数【评注】本题主要考查一元二次函数的图象与性质．一元二次函数的对称性、最值、单调性是每年高考必考内容，要引起重视．）法一：当1x 时，关于x 的不等式)||2x x a +在R 2332x a x x +-+，2133322x a x x +--+，由132y x =+-的对称轴为14处取得最大值-3的对称轴为334x =处取得最小值47391616a① 时，关于x 的不等式)||2x x a +在R 上恒成立，即为22)2x a x x++， 22)2x a x +，由3232()22322x x x x =-+-=-（当且仅当21)3x =>取得最大值212222x x x =（当且仅当21)x =>取得最小值2．则32a ①由①①可得，47216a ． ()x 的图象和折线||2xa =+，1x 时，y =11145x解得4716a =-；1x >时，y 解得2a =．由图象平移可得，47216a ．故选：法三：根据题意，作出的大致图象，如图所示．【例8】（2012•陕西•理21第2问•文21第3问）设函数2()f x x bx c =++，若对任意1x ，2[1,1]x ∈-，有12|()()|4f x f x -，求b 的取值范围．|4， 4M ，即min 4M ． 2b <-时，min )|(1)f =-102b -<时，即2b 时，24M 恒成立，所以2b ；012b- 时，即20b 时，21)4M 恒成立，所以20b ；综上可得，22b -，即b 的取值范围是。

不等式恒成立存在性问题的解题方法

不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式恒成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：例1：若不等式)1(122->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立,求x 的范围; 解析：我们可以用变换主元的方法,将m 看作主变元,即将原不等式化为：0)12()1(2<---x x m ,；令)12()1()(2---=x x m m f ,则22≤≤-m 时,0)(<m f 恒成立,所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x 所以x 的范围是231,271(++-∈x ; 2、利用一元二次函数判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：1R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；2R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R,求m 的范围;解析：要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否是0;1当m-1=0时,元不等式化为2>0恒成立,满足题意；201≠-m 时,只需⎩⎨⎧<---=∆>-0)1(8)1(012m m m ,所以,)9,1[∈m ; 3、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围;这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强;一般地有：1为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔2为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔例3已知不等式022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立,求a 的取值范围;解：022>++a x x 在),1[+∞∈x 时恒成立,只要x x a 22-->在),1[+∞∈x 时恒成立;而易求得二次函数x x x h 2)(2--=在),1[+∞上的最大值为3-,所以3->a ; 例4．已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立,求实数a 的取值范围;解：将问题转化为xx x a 24-<对]4,0(∈x 恒成立; 令xx x x g 24)(-=,则min )(x g a < 由144)(2-=-=xx x x x g 可知)(x g 在]4,0(上为减函数,故0)4()(min ==g x g ∴0<a 即a 的取值范围为)0,(-∞;注：分离参数后,思路清晰,方向明确,从而能使问题得到顺利解决;4、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考,往往会使问题降次、简化;例5．对任意]1,1[-∈a ,不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立,求x 的取值范围;分析：题中的不等式是关于x 的一元二次不等式,但若把a 看成主元,则问题可转化为一次不等式044)2(2>+-+-x x a x 在]1,1[-∈a 上恒成立的问题;解：令44)2()(2+-+-=x x a x a f ,则原问题转化为0)(>a f 恒成立]1,1[-∈a ; 当2=x 时,可得0)(=a f ,不合题意;当2≠x 时,应有⎩⎨⎧>->0)1(0)1(f f 解之得31><x x 或;故x 的取值范围为),3()1,(+∞-∞ ;练习：1．已知a ax x x f -++=3)(2,若0)(],2,2[≤-∈x f x 恒成立,求a 的取值范围. ２．对于不等式1-mx 2+m-1x+3>01当| x | ≤2,上式恒成立,求实数m的取值范围；2当| m | ≤2,上式恒成立,求实数x的取值范围 .３;若不等式ax2-2x+2>0 对x∈1,4恒成立,求实数a的取值范围;二、存在性问题存在 x∈D,使得函数fx>a⇔fx max>a存在 x∈D,使得函数fx≤a⇔fx min≤a例6：：已知函数fx=x2-ax+a,若存在x∈-1,2使得fx>0,试求实数a的取值范围; 解：法一：f1=1>0,所以对a∈R,均存在x∈-1,2使得fx>0.＞０,即： f-1>0或f2>0法二：原题同解于：当x∈-1,2时,fxmax代入可得:1+2a>0或４－a>0得a>或a<4 ∴a∈R练习：1;已知3=ax-f,若存在(],2,1∈x使得()0xx(2+22)x成立,求a的取值范围.f<2.存在x∈R,使得不等式22->成立, 则a的取值范围是 .x x a三、有解问题不等式fx>a, x∈D有解解集非空⇔ fx max>a不等式fx<a, x∈D解集为空集⇔ fx min≧a方程fx=a, x∈D有解解集非空⇔ a∈{fx| x∈D}即)x时∈的值域;D(xf例7：方程x2-２x+２－a＝０在区间０,３内有解,则实数a的取值范围是 ;解：原题同解于：a＝x2-２x+２,x∈０,３的值域;a＝x－１2 +１∴a∈f1,f3即a∈１,５练习：1;22-≤解集不空, 则a的取值范围是 .x x a2.不等式22-≤解集为空集, 则a的取值范围是 .x x a。

19专题(导数应用)恒成立与存在性问题

(2)已知f(x)=lnx:
①设F(x)=f(x+2)- 2 x ，求F(x)的单调区间；
x 1
②若不等式f(x+1)≤f(2x+1)-m2+3am+4对任意a∈[-1,1]，
x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围.
【解题指南】
(2)由题意只需解不等式F′(x)＞0和F′(x)＜0即可得到单调区间；原不等式恒成立可转化为 lnx13m a 恒成4 立m ，2进一
得 f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，
∴mx－2<－x，mx－2＋x<0 在 m∈[－2,2]上恒成立．
记 g(m)＝xm－2＋x，则gg((－2)<20)<，0，即－2x2－x－2＋2＋x<x0<，0，得－2<x<23.
答案－2，23
Hale Waihona Puke 返回4.(2011·湖南高考)
[答案] B
已知函数 f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有 f(a)＝g(b)，
(2)方法一：由题意知ex-a≤0在(-∞，0］上恒成立. ∴a≥ex在(-∞，0］上恒成立. ∵ex在(-∞，0］上为增函数. ∴当x=0时，ex最大为1. ∴a≥1.同理可知ex-a≥0在［0，+∞)上恒成立. ∴a≤ex在［0，+∞)上恒成立.∴a≤1，∴a=1. 方法二：由题意知，x=0为f(x)的极小值点. ∴f′(0)=0,即e0-a=0,∴a=1，验证a=1符合题意.
∴ F(x) max ﹤0
5. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) >g(x2)恒成立，则 f(x)min> g(x)max
6. ∀x1∈D, ∀x2∈E,均有 f(x1) <g(x2)恒成立，则 f(x) max < g(x) min

高中数学x恒成立、存在性问题解决办法

恒成立、存在性问题解决办法总结1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m i n ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m ax ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；题型一、简单型1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x xab +-≤或x b x a )10(2-+-≤；方法3：变更主元（新函数），0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xax h ++=)(求导，22))((1)(xa x a x x a x h +-=-='，（单调函数）由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ． 3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴41≥m题型二、更换主元法1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

方法技巧专题16函数中恒成立与存在性问题

方法技巧专题16函数中恒成立与存在性问题在数学中，函数是一种描述两个集合之间的对应关系的工具。

函数中的公式通常包含变量，通过给定变量的值，可以计算出函数的值。

然而，在函数的研究和应用中，我们会遇到一些函数恒成立与存在性的问题。

首先，函数中的恒成立问题是指函数中一些等式对于所有变量的取值都成立。

这意味着，无论我们取函数中的任意变量值，方程都会成立。

如果我们证明了一些等式在整个定义域上都成立，那么我们就称它为函数中的恒成立等式。

例如，对于任意实数x，函数f(x)=x^2-x+6中的等式f(x)=f(2)始终成立。

我们可以验证当x取任意实数时，等式都成立。

这说明f(x)=f(2)是这个函数中的恒成立等式。

其次，函数中的存在性问题是指函数是否存在合适的定义域和值域。

函数的定义域是指所有可能的输入值，而值域是指函数输出的所有值。

在研究函数时，有时候我们需要确定一个函数是否存在，并找到合适的定义域和值域。

例如，考虑函数f(x)=1/x，在x=0时，函数的定义域不存在，因为0作为除数是不合法的。

然而，在其他任意实数x上，函数都有定义，并且值域是实数集合。

因此，函数f(x)=1/x在定义域上存在，并且值域为实数。

解决函数中恒成立与存在性问题的方法和技巧如下：1.使用代数方法：我们可以通过代数运算和等式推导来证明函数中的恒成立等式。

根据等式的性质和规律，我们可以对等式进行变形和化简，证明等式在所有变量取值下都成立。

2.使用图形方法：对于一些函数，我们可以通过绘制图形来分析函数的行为和性质。

通过观察函数的图形，我们可以判断函数是否存在，以及函数中是否存在一些等式。

3.使用定义和性质：函数的定义和性质是解决函数恒成立与存在性问题的重要依据。

我们可以运用函数的定义和性质，结合数学推理和逻辑推导，来证明函数中的恒成立等式和存在性问题。

4.使用反证法：当我们无法通过直接证明函数的恒成立等式或存在性问题时，可以尝试使用反证法。

高三数学专题——恒成立与存在性问题

高三数学专题——恒成立与存在性问题高三复专题——恒成立与存在性问题知识点总结：1.___成立问题：1) 若对于D中的任意x，都有f(x)>A，则f(x)的最小值>A；2) 若对于D中的任意x，都有f(x)<A，则f(x)的最大值<A；3) 若对于D中的任意x，都有f(x)>g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)>0，因此F(x)的最小值>0；4) 若对于D中的任意x，都有f(x)<g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)<0，因此F(x)的最大值<0；5) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有f(x1)>g(x2)，则f(x)的最小值>g(x)的最大值；6) 若对于D中的任意x1和E中的任意x2，都有f(x1)<g(x2)，则f(x)的最大值<g(x)的最小值。

2.存在性问题：1) 若存在D中的x，使得f(x)>A，则f(x)的最大值>A；2) 若存在D中的x，使得f(x)<A，则f(x)的最小值<A；3) 若存在D中的x，使得f(x)>g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)，因此F(x)的最大值>0；4) 若存在D中的x，使得f(x)<g(x)，则F(x)=f(x)-g(x)，因此F(x)的最小值<0；5) 若存在D中的x1和E中的x2，使得f(x1)>g(x2)，则f(x)的最大值>g(x)的最小值；6) 若存在D中的x1和E中的x2，使得f(x1)<g(x2)，则f(x)的最小值<g(x)的最大值。

3.相等问题：1) 若对于D中的任意x1，存在E中的某个x2，使得f(x1)=g(x2)，则{f(x)}={g(x)}；4.___成立与存在性的综合性问题：1) 若对于D中的任意x1，存在E中的某个x2，使得f(x1)>g(x2)，则f(x)的最小值>g(x)的最小值；2) 若对于D中的任意x1，存在E中的某个x2，使得f(x1)<g(x2)，则f(x)的最大值<g(x)的最大值。

浅谈高中数学中的“恒成立”与“存在性”的综合问题

浅谈高中数学中的“恒成立”与“存在性”的综合问题高中数学的学习中，恒成立与存在性是两个基本概念，也是学习和教学中一个重要的问题。

在高中数学课堂上，恒成立与存在性是非常重要的知识点，其研究内容也是极其庞大的，学生们需要正确理解这两个重要的概念，在实际应用中有效地利用。

本文将从概念界定、定义、历史背景等方面，对高中数学中“恒成立”和“存在性”问题进行浅谈。

首先，了解恒成立和存在性的定义和概念界定，以及它们之间的关系。

高中数学中，所谓的“恒成立”是指在某些条件下，某个数学定理或结论的正确性可以永远保持不变，不会因为任何环境的改变而改变，只要条件满足，定理的正确性就不会改变。

同时，“存在性”指的是某种数学定理或公式的真实存在，无论它到底是否正确，它都可以被实际检验，也就是说它是真实存在的。

其次，要正确理解恒成立与存在性的历史背景。

这两个概念在数学史上有着悠久的历史，早在古希腊和罗马时期，“恒成立”就成为了数学的基本理念，是一种对数学理论的基本信念。

而到了中世纪，数学家们发现存在性也是一种非常重要的概念，为了避免科学谬误，数学家们逐渐发现存在性也很重要。

此外，可以在高中数学学习和教学中更好地引申和应用这两个概念。

在高中数学教学中，要让学生更深刻地理解恒成立与存在性的区别，并且熟练掌握关于他们的基本概念，以便在实际的学习和应用中准确地使用这两个概念。

此外，教师还应当采取适当的方法引导学生在学习中不断检验和深入思考，以便他们能够更好地应用这两个概念，而不是单纯的熟记而已。

最后，再次强调，“恒成立”与“存在性”是高中数学学习和教学中一个重要的问题，非常值得我们重视。

正确理解这两个概念，正确掌握如何在数学研究中应用，不仅可以提高学生高中数学学习的素质，也为他们研究更深入的数学问题打下基础。

恒成立与存在性问题方法总结

恒成立与存在性问题方法总结一、构建函数构建适当的函数，将恒成立问题转化为能利用函数的性质来解决的问题。

1、构建一次函数众所周知，一次函数的图像是一条直线，要使一次函数在某一区间内恒大于（或小于）零，只需一次函数在某区间内的两个端点处恒大于（或小于）零即可。

例1：若x∈（-2，2），不等式kx+3k+1＞0恒成立，求实数k的取值范围。

解：构建函数f（x）= kx+3k+1，则原问题转化为f（x）在x∈（-2，2）内恒为正。

若k=0，则f（x）=1＞0恒成立；若k≠0，则f（x）为一次函数，问题等价于f（-2）＞0，f（2）＞0，解之得k∈（- ，+∞）。

例2：对m≤2的一切实数m，求使不等式2x-1＞m（x -1）都成立的x的取值范围。

解：原问题等价于不等式：（x -1）m-（2x-1）＜0，设f（m）=（x -1）m-（2x-1），则原问题转化为求一次函数f（m）或常数函数在［-2，2］内恒为负值时x的取值范围。

（1）当x -1=0时，x=±1。

当x=1时，f（m）＜0恒成立；当x=-1时，f（m）＜0不成立。

（2）当x -1≠0时，由一次函数的单调性知：f（m）＜0等价于f（-2）＜0，且f（2）＜0，即＜x＜；综上，所求的x∈（）。

2、构建二次函数二次函数的图像和性质是中学数学中的重点内容，利用二次函数的图像特征及相关性质来解决恒成立问题，使原本复杂的问题变得容易解决。

例3：若x≥0，lg（ax +2x+1）∈R恒成立，求实数a的取值范围。

解：构造函数g（x）= ax +2x+1，则原问题等价于：当x≥0时，g（x）恒大于0。

若a=0且x≥0，则g（x）= 2x+1＞0恒成立；若a≠0，则g（x）为二次函数，当a＜0时，显然当x≥0时不能使g（x）恒大于0，仅当a＞0时，要使当x≥0时，g（x）恒大于0，只需Δ＜0或△≥0-≤0g（0）＞0，解之得：a＞0∴a的取值范围为［0，+∞）。

求解有关恒成立、存在性问题的四种策略

求解有关恒成立、存在性问题的四种策略对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。

如何突破这一难关呢？关键是细心审题及恰当地转化。

现就如何求解恒成立、存在性问题中的参数问题加以分析。

方法1：分离参数法例1.设函数f(x)=lnx-ax,g（x）=ex-ax，其中a为实数。

若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范围。

解：因为f`(x)=-a,g`(x)=ex-a,由题意得f`（x）≤0对x∈(1,+∞)恒成立，即a≥对x∈(1,+∞)恒成立，所以a≥1。

因为g`(x)=ex-a在x∈(1,+∞)上是单调增函数，所以g`(x)>g`(1)=e-a。

又g(x)在(1,+∞)上有最小值，则必有e-a<0，即a>e。

综上，可知a的取值范围是(e,+∞)。

点评：求解问题的切入点不同，求解的难度就有差异。

在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题解法需要取交集。

一般而言：在同一问题中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集。

方法2：构造函数法例2.已知函数f(x)=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是()。

A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.［-2，1］D.[-2，0]解：当x≤0时,|f(x)|≥axx2－(2+a)x≥0，对x≤0恒成立。

记g(x)=x2－(2+a)x=（x-）2-。

当<0即a<－2时,g(x)的最小值为－，不可能满足条件。

当≥0即a≥－2时,g(x)的最小值为0，满足题意。

当x>0时,|f(x)|≥axln(1+x)－ax≥0a≤，对x>0恒成立。

令θ(x)=，则θ`(x)=。

设t=x+1,则t>1。

记L(t)=-lnt,则L`(t)=<0,所以L(t)在t∈(1,+∞)上为减函数。

不等式的恒成立与存在性问题

恒成立与存在性问题【基础知识整合】1、恒成立问题①．x D ∀∈，()a f x >恒成立，则max ()a f x >②．x D ∀∈，()a f x <恒成立，则min()a f x <③．x D ∀∈，()()f x g x >恒成立，记()() (0)F x f x g x =->，则min 0() F x >④．x D ∀∈，()()f x g x <恒成立，记()() (0)F x f x g x =-<，则max 0() F x <⑤．1122,x D x D ∀∈∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >⑥．1122,x D x D ∀∈∈，12()()f x g x <恒成立，则max min ()()f x g x <2、存在性问题①．x D ∃∈，()a f x >成立，则min ()a f x >②．x D ∃∈，()a f x <成立，则max()a f x <③．x D ∃∈，()()f x g x >成立，记()() (0)F x f x g x =->，则max 0() F x >④．x D ∃∈，()()f x g x <成立，记()() (0)F x f x g x =-<，则min 0() F x <⑤．1122,x D x D ∃∈∈，12()()f x g x >成立，则max min ()()f x g x >⑥．1122,x D x D ∃∈∈，12()()f x g x <成立，则min max ()()f x g x <3、恒成立与存在性混合不等问题①．1122,x D x D ∀∈∃∈，12()()f x g x >成立，则min min ()()f x g x >②．1122,x D x D ∀∈∃∈，12()()f x g x <成立，则max max ()()f x g x <4、恒成立与存在性混合相等问题若()f x ，()g x 的值域分别为,A B ，则①．1122,x D x D ∀∈∃∈，12()()f x g x =成立，则A B ⊆②．1122,x D x D ∃∈∃∈，12()()f x g x =成立，则A B ≠∅ 5、解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等．6、一次函数)0()(≠+=k b kx x f 若[]n m x f y ,)(在=内恒有0)(>x f ,则根据函数的图像可得⎩⎨⎧><⎩⎨⎧>>0)(00)(0n f a m f a 或可合并成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f ,同理若[]n m x f y ,)(在=内恒有0)(<x f 则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f 例1：对于满足||2p ≤的所有实数p ,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围.例2：若不等式)1(122->-x m x 的所有22≤≤-m 都成立，则x 的取值范围__________7、二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设2()(0).f x ax bx c a =++≠R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 类型2：设2()(0).f x ax bx c a =++≠（用函数图象解决，不太适用）（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立,222()00()0.bb b a aa f f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<>⎩⎩⎩或或],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立()0,()0.f f αβ<⎧⇔⎨<⎩（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立()()0,0.f f αβ>⎧⎪⇔⎨>⎪⎩],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立,222()00()0.b b b a a af f ααββαβ⎧⎧⎧-<≤-≤->⎪⎪⎪⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪>∆<<⎩⎩⎩或或【基础典例分析】例1：已知函数()log a f x x =，()2log (22)a g x x t =+-，其中0a >且1a ≠，t R ∈．（Ⅰ）若4t =，且1[,2]4x ∈时，()()()F x g x f x =-的最小值是－2，求实数a 的值；（Ⅱ）若01a <<，且1[,2]4x ∈时，有()()f x g x ≥恒成立，求实数t 的取值范围．例2：已知=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(，（Ⅰ）若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f >，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在]2,0[,21∈x x ，使得)()(21x g x f =，求实数a 的取值范围．例3：设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，a R ∈且1a ≠．曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0．若存在[)1,x ∈+∞，使得()1af x a <-，求a 的取值范围．例4：已知函数()133x x af x b+-+=+（Ⅰ）当1a b ==时，求满足()3x f x =的x 的取值；（Ⅱ）若函数()f x 是定义在R 上的奇函数；①存在R t ∈，不等式()()2222f t t f t k -<-有解，求k 的取值范围；②若()g x 满足()()()12333x x f x g x -⋅+=-⎡⎤⎣⎦，若对任意x R ∈，不等式(2)()11g x m g x ⋅-≥恒成立，求实数m 的最大值.例5：已知=)(x f x x +221,=)(x g a x -+)1ln(,⑴若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f =,求实数a 的取值范围；⑵若存在]2,0[∈x ,使得)()(x g x f >,求实数a 的取值范围；⑶若对任意]2,0[∈x ,恒有)()(x g x f >,求实数a 的取值范围；⑷若对任意]2,0[,21∈x x ,恒有)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑸若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑹若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围；⑺若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f >,求实数a 的取值范围；⑻若存在]2,0[,21∈x x ,使得)()(21x g x f =,求实数a 的取值范围.【高考真题研究】（2017天津卷理8）已知函数()23,12,1x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩，设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a + 在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）(A)47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(B)4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(C)23,2⎡⎤-⎣⎦(D)3923,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2015全国卷Ⅰ理12）设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是（）(A)[32e-，1）(B)[32e -，34）(C)[32e ，34）(D)[32e，1）（2014全国卷Ⅰ理11）已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为（）(A)(2,)+∞(B)(,2)-∞-(C)(1,)+∞(D)(,1)-∞-（2015全国卷Ⅱ理21（2））设函数()2emxf x x mx =+-．若对于任意[]12,1,1x x ∈-，都有()()121e f x f x -- ，求m 的取值范围．(2015山东卷理21（2）)设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈，若0x ∀>，()0f x 成立，求a 的取值范围.【名题精选，提升能力】1、函数2()3f x x ax =++，当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，则a 的取值范围是2、已知函数()f x =(,1]-∞上有意义，则a 的取值范围是3、若不等式()2211x m x ->-对任意[]1,1m ∈-恒成立，则x 的取值范围是4、若=)(x f x x +221，=)(x g a x -+)1ln(，对∀123,,[0,2]x x x ∈，恒有()()()123f x f x g x +>，则实数a 的取值范围是5、已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n项和，且n a =（n *∈Ν）．若不等式8nn a n λ+≤对任意n *∈Ν恒成立，则实数λ的最大值为5、设函数x x e x f 1)(22+=，x ex e x g 2)(=，对),0(,21+∞∈∀x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围为7、已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，()|||1|g x x k x =-+-，若对任意的12,x x R ∈，都有12()()f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为8、当210≤<x 时，x a x log 4<，则a 的取值范围是（）(A)(0，22)(B)(22，1)(C)(1，2)(D)(2，2)9、已知函数()931x x f x m m =-⋅++对()0 x ∈+∞，的图象恒在x 轴上方，则m 的取值范围是（）(A)22m -<<+(B)2m<(C)2m<+(D)2m ≥+10、设函数3()f x x x =+，x R ∈．若当02πθ<<时，不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（）(A)1(,1]2(B)1(,1)2(C)[1,)+∞(D)(,1]-∞11、定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递减，若()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对[]1,3x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）(A)()2,e (B)1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(C)1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦(D)12ln3,3e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦12、不等式2220x axy y -+≥对于任意]2,1[∈x 及]3,1[∈y 恒成立，则实数a 的取值范围是（）(A)a ≤22(B)a ≥22(C)a ≤311(D)a ≤2913、已知函数()()2ln 1f x a x x =+-，若对(),0,1p q ∀∈，且p q ≠，有()()112f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围为（）(A)(),18-∞(B)(],18-∞(C)[)18,+∞(D)()18,+∞14、若对[),0,x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax ee +---≤++，恒成立，则实数a 的最大值是（）(A)14(B)1(C)2(D)1215、已知函数2ln ()()()x x b f x b R x+-=∈，若存在1[,2]2x ∈，使得()'()f x x f x >-⋅，则实数b的取值范围是（）(A)(-∞(B)3(,2-∞(C)9(,)4-∞(D)(,3)-∞16、设曲线()e x f x x =--上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（）(A)[]1,2-(B)()3,+∞(C)21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(D)12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17、若曲线21:C y x =与曲线2:x C y ae =(0)a >存在公共切线，则a 的取值范围为（）(A)28[,)e+∞(B)28(0,e(C)24[,)e+∞(D)24(0,]e18、若存在两个正实数,x y ，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）(A)(),0-∞(B)30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦(C)3,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭(D)()3,0,2e⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ 19、已知函数321()3f x x x ax =++．若1()x g x e =，对任意11[,2]2x ∈，存在21[,2]2x ∈，使12'()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是（）(A)(,8]e-∞-(B)[8,)e-+∞(C))e (D)3(,]32e -20、设函数()3269f x x x x =-+，()32111(1)323a g x x x ax a +=-+->，若对任意的[]20,4x ∈，总存在[]10,4x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为（）(A)91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦(B)[)9,+∞(C)][91,9,4⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭(D)][39,9,24⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭21、设函数()()()21ln 31f x g x ax x =-=-+，若对任意[)10,x ∈+∞，都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的最大值为（）(A)94(B)2(C)92(D)422、已知()()2cos ,43f x x x g x x x =+=-+-，对于[],1a m m ∀∈+，若,03b π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，满足()()g a f b =，则m 的取值范围是（）(A)22⎡-+⎣(B)1⎡+⎣(C)2⎡+⎣(D)12⎡+⎣23、已知函数()()()221ln ,,1xf x ax a x x a Rg x e x =-++∈=--，若对于任意的()120,,x x R ∈+∞∈，不等式()()12f x g x ≤恒成立，，则实数a 的取值范围为（）(A)[)1,0-(B)[]1,0-(C)3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(D)3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦。

恒成立与存在性问题

01
总结词
一次函数性质简单，常用于基础问题。
总结词
一次函数在定义域内单调，不存在极值点。
03
02
总结词
一次函数图像为直线，单调性明显。
总结词
一次函数在定义域内单调，恒成立与存在性问题较易解决。
04
二次函数的恒成立与存在性问题实例
总结词
二次函数开口方向由二次项系数决定。
总结词
二次函数在区间$[-infty, frac{b}{2a}]$上单调递增，在区间$[-
利用三角函数的周期性、对称性、数形结合等方法，判断三角函数在某个区间内是否存在极值点或零点。
三角函数存在性问题的应用
在解决实际问题中，如物理、工程等领域，常常需要判断某个三角函数是否满足某些条
件，如是否存在最优解或可行解。
03
恒成立与存在性问题的解法
分离参数法
总结词
分离参数法是一种通过将参数分离到不等式的两边，从而简化问题的方法。
判别式法
总结词
判别式法是一种通过引入判别式来解决问题的方法。
VS
详细描述
判别式法的基本思想是通过引入判别式来简化方程的解的求解过程。这种方法在处理一元二次方程和二元二次方程组时非常有效。通过判别式，我们可以更容易地找到方程的解，并且可以更好地理解解的性质和分布。
04
实例分析
一次函数的恒成立与存在性问题实例
详细描述
分离参数法的基本思想是将参数从不等式中分离出来，单独放在不等式的另一边，这样可以更容易地找到参数的取值范围，从而解决问题。这种方法在处理包含参数的不等式问题时非常有效。
数形结合法
总结词
数形结合法是一种通过将问题转化为图形问题，从而直观地理解问题的方法。

浅谈高中数学中的“恒成立”与“存在性”的综合问题

浅谈高中数学中的“恒成立”与“存在性”的综合问题高中数学中的“恒成立”与“存在性”是高中数学中重要的概念。

它们都涉及到数学中的思维技巧，也是指导学生使用抽象来解决数学问题的重要原则。

两者有着非常重要的关系，本文将着重分析这两个概念的内涵，以及它们之间的关系，为学生未来学习数学打下基础。

“恒成立”是数学概念的重要组成部分，它表明数学定理是恒定不变的，不会随时间和空间的改变而改变。

例如，二次方程的根的求解，根据拉格朗日的二次方程定理，我们可以得出根的公式，这个公式在不同的时空中都是恒成立的。

此外，还有欧几里得定理、勾股定理、费马定理等，都是恒成立的定理。

“存在性”指的是某一定理能够被证明，可以提供证明定理存在的方式。

这一概念的基础是对定理的规则推理，通过推理这些规则，可以得出一些数学定理的存在性。

最常用的证明定理存在性的方式是证明反证法，即先假定定理的假设是错误的，考虑假设的反面，如果计算的结果恰好矛盾，则说明定理是存在的。

从数学概念的定义来看，“恒成立”与“存在性”之间存在有机结合关系。

首先，“存在性”先于“恒成立”，因为“存在性”是定理能够被证明的基础，是定理恒定的前提，而“恒成立”则是“存在性”的结果。

而“恒成立”则是证明“存在性”的重要工具，根据“恒成立”，通过运用既定的数学公式，可以将定理（或者命题）转化为更简单的推理，来证明定理的存在性。

另外，“恒成立”与“存在性”也是高中数学知识中最重要的两大原则。

从数学思维的角度上讲，“存在性”鼓励学生考虑问题的反面，用反证法思考，并有手段地证明或证伪定理，从而运用更多的数学工具来解决问题；而“恒成立”则鼓励学生把固有的数学思维方式发挥出来，从而帮助他们加深对定理的理解，提高数学思维的能力。

综上所述，“恒成立”与“存在性”的综合问题在数学思维中都起着重要的作用。

它们是数学概念的组成部分，也是证明、推理、解决数学问题的重要原则，对学生学习数学有着重要的作用。

2020 年高中数学恒成立、存在性问题解决办法

2020 年恒成立、存在性问题解决办法1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若 ,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；9、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；题型一、简单型1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xax g =)(，其中0>a ，0≠x ． 1）对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（构造新函数） 2）对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；（转化）简解：（1）由12012232++<⇒>-+-x x x a x a ax x 成立，只需满足12)(23++=x x x x ϕ的最小值大于a 即可．对12)(23++=x xx x ϕ求导，0)12(12)(2224>+++='x x x x ϕ，故)(x ϕ在]2,1[∈x 是增函数，32)1()(min ==ϕϕx ，所以a 的取值范围是320<<a ．2、设函数b x x a x h ++=)(，对任意]2,21[∈a ，都有10)(≤x h 在]1,41[∈x 恒成立，求实数b 的范围．分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数．以本题为例，实质还是通过函数求最值解决．方法1：化归最值，10)(10)(max ≤⇔≤x h x h ；方法2：变量分离，)(10x xab +-≤或x b x a )10(2-+-≤；方法3：变更主元（新函数），0101)(≤-++⋅=b x a xa ϕ，]2,21[∈a简解：方法1:对b x xax h ++=)(求导，22))((1)(xa x a x x a x h +-=-='，（单调函数）由此可知，)(x h 在]1,41[上的最大值为)41(h 与)1(h 中的较大者．⎪⎩⎪⎨⎧-≤-≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤++⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∴ab ab b a b a h h 944391011041410)1(10)41(，对于任意]2,21[∈a ，得b 的取值范围是47≤b ．3、已知两函数2)(x x f =，m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴41≥m 题型二、更换主元法1、对于满足2p ≤的所有实数p,求使不等式212x px p x ++>+恒成立的x 的取值范围。

恒成立与存在性问题的解题策略

“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题战略之袁州冬雪创作一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()mina f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另外一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A B.9、若不等式()()>在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f xg x函数()y g x=图象上方；=和图象在函数()y f x10、若不等式()()<在区间D上恒成立，则等价于在区间Df xg x上函数()=图象下方；y g xy f x=和图象在函数()恒成立问题的基本类型在数学问题研究中常常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表示形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形连系、函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题才能，在培养思维的矫捷性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为积年高考的一个热点.恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象.二、恒成立问题处理的基本战略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题.等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来处理问题的.（一）两个基本思想处理“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采纳合理有效的方法停止求解,通常可以思索操纵函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x ）的最值.这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近些年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累.（二）、赋值型——操纵特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，经常常使用赋值法求解，特别是对处理填空题、选择题能很快求得.例1．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π-对称，那末a=（）.A.1B.-1 C .2 D. -2.略解：取x=0及x=4π-，则f(0)=f(4π-),即a=-1，故选B. 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想. 例（备用）．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f ：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f ：(4,3,2,1) → ( )略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D（三）分清基本类型，运用相关基本知识，掌控基本的解题战略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形连系思想操纵一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于0)(0)(>>n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有)(0)(<<n f m f求使不等式x 关键在于该把哪一个字母当作是一个变量，另外一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题实质上是操纵了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需包管该线段两头点均在x 轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些详细的方法，在此后的解题中自觉运用.（1）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有00<∆>且a（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以操纵韦达定理以及根的分布知识求解.类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在R 上恒成立，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a .类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间],[βα上恒成立（1）当>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 (-∞ , ]上恒成立. f(x)>0a>0且<0或-b/2a>且f()>0 f(x)<0a<0且<0或-b/2a>且f()<0类型4：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 [，+∞)上恒成立. f(x)>0a>0,<0或-b/2a<且f()>0 f(x)<0a<0,<0或-b/2a<且f()<0例3．若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题，而且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立，所以，①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a aa 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a ②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述，f(x)的定义域为R 时，]9,1[∈a2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.分析：()y f x =的函数图像都在X 轴及其上方，如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤ 变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.解析一. （零点分布战略）本题可以思索f(x)的零点分布情况停止分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(22f f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(22f f a ，即a 的取值范围为[-7，2].解法二分析：（运用二次函数极值点的分布分类讨论）要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可.略解：（分类讨论）22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a .⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤ 又4a >a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤42a ∴-≤≤⑶当22a->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥- 又4a <-74a ∴-≤<- 综上所述，72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题.例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.略解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a .解法二：（运用二次函数极值点的分布）⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥()54,3a ∴≤∉+∞a∴不存在.⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==--+≥，⑶当22a ->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，综上所述2225-≤≤-a .此题属于含参数二次函数，求最值时，对于轴变区间定的情形，对轴与区间的位置停止分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采取辨别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题 3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另外一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的双方，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x)min;若对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，则g(a)>f(x)max.(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值)例 5.已知三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时知足①②的所有x 的值知足③，求m 的取值范围.略解：由①②得2<x<3,要使同时知足①②的所有x 的值知足③,即不等式0922<+-m x x 在)3,2(∈x 上恒成立，即)3,2(922∈+-<x x x m 在上恒成立，又，上大于在9)3,2(922∈+-x x x所以 9≤m例6. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .解：据奇函数关于原点对称，,1)1(=f又1)1()(]1,1[)(max ==-f x f x f 上单调递增在12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立.因此，只需122+-at t 大于或等于上在]1,1[)(-x f 的最大值1，都成立对所有又]1,1[-∈a ，即关于a 的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立，即：),2[}0{]2,(+∞--∞∈ t操纵变量分离处理恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题补例．已知()||,=-+∈R f x x x a b x ．若0b <，且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．解：当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立，故只需思索(]0,1x ∈，此时原不等式变成||b x a x--< 即b b x a x x x+<<- 故(]max min ()(),0,1b b x a x x x x+<<-∈ 又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1b x g b x+==+；对于函数(](),0,1b h x x x x=-∈ ①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1b x h b x-==-，又11b b ->+，所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-．②当10b -≤<，在(]0,1上，()b h x x x =-≥ 当x =min ()b x x-=a 存在，必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩ 即13b -≤<，此时a 的取值范围是(1b +综上，当1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +-；当13b -≤<时，a 的取值范围是(1b +；当2230b -≤<时，a 的取值范围是∅． 4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立.5、直接根据图象断定若把等式或不等式停止合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号双方函数的图象，则可以通过画图直接断定得出成果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.例7. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,恒成立，不等式对任意实数a x x x >--+21即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.解：令⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-=--+=2321121321x x x x x x y在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使a x x x >--+21，不等式对任意实数恒成立，只需3-<a .故实数.3）-∞a的取值范围是（-，注：本题中若将a--1改为对任意实数>+2，不等式axxx恒成立，求实数，同样由图象可得①a--对任意实数<1+2axxx恒成立，求实数，不等式a>3;②a-对任意实数>+21,构造函数，画出+a，不等式xx恒成立，求实数x图象，得a<3.操纵数形连系处理恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再思索在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.例8. 设常数a∈R,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，则a的取值范围为.解：1）a<=0x<=a/2<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0时，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-ax>=0时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值为-a<=2则与g(x)有交点，即：-2<=a<=0.2）a>0x<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2时，f(x)=3x+(-2x+a)=x+ax>=a/2时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a<=2时与g(x)有交点，即：0<a<=2综上所述，-2<=a<=2时f(x)=3|x|+|2x-a|与g(x)=2-x 有交点.三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，先容一些基本的解题战略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法.（一）换元引参，显露问题实质1、对于所有实数x ，不等式恒成立，求a 的取值范围.解：因为的值随着参数a 的变更而变更，若设，则上述问题实质是“当t 为何值时，不等式恒成立”.这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t 的不等式组：. 解得，即有，易得. 2、设点P （x ，y ）是圆4)1(22=-+y x 上任意一点，若不等式x+y+c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围.（二）分离参数，化归为求值域问题3、若对于任意角总有成立，求m 的范围.解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立. 根据鸿沟原理知，必须小于2cos cos )(2+=θθθf 的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值.因为2cos cos )(2+=θθθf 即时，有最小值为0，故.（三）变动主元，简化解题过程4、若对于，方程都有实根，求实根的范围.解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根，再由m 的范围来确定根x 的范围，但这样会遇到很多费事，若以m 为主元，则，由原方程知，得又，即解之得或.5、当1≤a 时，若不等式039)6(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围.（四）图象解题，形象直观6、设]40(，∈x ，若不等式ax x x >-)4(恒成立，求a 的取值范围. 解：若设)4(1x x y -=，则为上半圆.设，为过原点，a 为斜率的直线. 在同一坐标系内作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a 的取值范围为. 7、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<logax 恒成立，求a 的取值范围.解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x ∈ (1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,而且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值.故loga2>1, ∴ 1<a <2.8、已知关于x 的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求实数a 的取值范围.分析：方程可转化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号双方当作是二次函数y= x2+4x 及一次函数y=2x-6a-4，则只需思索这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可.解：令y1=x2+4x=（x+2）2-4,y2=2x-6a-4,y1的图象为一个定抛物线 y2的图象是k=2，而截距不定的直线，要使y1和y2在x 轴上方有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间.（包含l1但不包含l2）当直线为l1时，直线过点（-4，0），此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2-;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-4=0，a=32-∴a 的范围为)32,2[-- （五）合理联想，运用平几性质9、不管k 为何实数，直线与曲线恒有交点，求a 的范围.分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的实际将二方程联立，用辨别式来解题是比较坚苦的.若思索到直线过定点A （0，1），而曲线为圆,圆心C （a ，0），要使直线恒与圆有交点，那末定点A(0,1)必在圆上或圆内. 解：，C （a ，0），当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A （0，1）必在圆上或圆内，即点A （0，1）到圆心间隔不大于半径，则有，得.（六）分类讨论，防止重复遗漏10、当时，不等式恒成立，求x 的范围. 解：使用的条件，必须将m 分离出来，此时应对停止讨论.①当时，要使不等式恒成立，只要，解得. ②当时，要使不等式恒成立，只要，解得. ③当时，要使恒成立，只有. 综上①②③得. 解法2：可设，用一次函数知识来解较为简单.我们可以用改变主元的法子，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x .此类题实质上是操纵了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需包管该线段两头点均在x 轴上方（或下方）即可.11、当31<<x 时，不等式0622>+-ax x 恒成立，求实数a 的取值范围. 解：xx a 32+< 当31<<x 时，623232=≥+x x ，当x x 32=，即6=x 时等号成立. 故实数a 的取值范围:6<a（七）构造函数，体现函数思想12、（1990年全国高考题）设，其中a 为实数，n 为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a 的取值范围.解：本题即为对于，有恒成立. 这里有三种元素交织在一起，布局复杂，难以下手，若思索到求a 的范围，可先将a 分离出来，得，对于恒成立. 构造函数，则问题转化为求函数在上的值域.由于函数在上是单调增函数，则在上为单调增函数.于是有的最大值为：，从而可得.（八）操纵集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，便可操纵集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围.例13、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围. 解：1log 1a x -<<（1）当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3113a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩3a ∴≥ （2）当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤ 综上所得：103a <≤或3a ≥ 四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的.1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xa x g =)(，其中0>a ，0≠x ．对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】思路、对在分歧区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需知足)()(max min x g x f >即可．简解：令n(a)=gmax(x)=a/2；令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,故(1)对称轴x=a<1，即或0<a<1时，m(a)= fmin(x)=f(1)=2-2a ，由m(a)>n(a) 解得a<4/5,（注意到a 的范围）从而得a 的范围：0<a<4/5;(2)对称轴x=a>2时，m(a)= fmin(x)=f(2)=5-4a ，由m(a)>n(a) 解得a<10/9,（注意到a 的范围）从而得a 无解：;(3)对称轴x=a∈[1,2]时，m(a)= fmin(x)=f(a)=2-2a ，由m(a)>n(a) 解得4171+->a 或4171--<a ，（注意到a 的范围）从而得a的范围21≤<a ：;; 综合（1）（2）（3）知实数a 的取值范围是：(0，4/5)∪[1,2]2、已知两函数2)(x x f =，m x g x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴41≥m题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）题型四、数形连系（恒成立问题与二次函数接洽（零点、根的分布法））五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.1、存在实数x ，使得不等式2313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______.解：设()31f x x x =++-，由()23f x a a ≤-有解，()2min 3a a f x ⇒-≥，又()()31314x x x x ++-≥+--=，∴234a a -≥，解得41a a ≥≤-或.1、求使关于p 的不等式x p px x 212+<++在p∈[-2,2]有解的x 的取值范围.解：即关于p 的不等式012)1(2<+-+-x x p x 有解,设()()2121f p x p x x =-+-+，则()f p 在[-2,2]上的最小值小于0.(1)当x>1时，f(p)关于p 单调增加，故fmin(p)=f(-2)=x2-4x+3<0,解得1<x<3;2222(2) 当x<1时，f(p)关于p 单调减少，故fmin(p)=f(2)=x2-1<0,解得-1<x<1；(3)当x=1时，f(p)=0,故fmin(p)=f(p)<0不成立.综合（1）（2）（3）知实数x 的取值范围是：(-1，1)∪(1,3) 例、设命题P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二个根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1,1]恒成立；命题Q ：不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解；若命题P 和命题Q 都是真命题，求m 的值范围.解：(1)由P 真得：8||221+=-a x x ，注意到a 在区间[-1,1], 3||max 21=-x x ,由于|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1,1]恒成立，故有3|||35|max 212=-≥--x x m m解得： m≤-1或m≥6或0≤m≤5(1)由Q 真，不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解，得（|x-2m|-|x|）max=2m>1,解得：m>1/2由于（1）（2）都是相公命题，故m 的值范围：1/2<m≤5或m≥6. ［举例］（1）已知不等式0224>+⋅-x x a 对于+∞-∈,1[x ）恒成立，求实数a 的取值范围.（2）若不等式0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立，求实数x 的取值范围.分析：（1）由0224>+⋅-x x a 得：x x a 222+<对于+∞-∈,1[x ）恒成立，因212≥x ，所以22222≥+x x ，当22=x 22<a . （2）注意到0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立是关于a )24(2)(++⋅-=x x a a f ，则)(a f 在]3,(-∞∈a 上单调递减，则问题等价于0)3(>f ，所以2202234>⇒>+⋅-x x x 或12<x ，则x 取值范围为),1()0,(+∞-∞ .小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有分明区此外，以下充要条件应细心思考，甄别差别，恰当使用，等价转化，切不成混为一体.①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M•⇔<，x I ∈.即()f x 的上界小于或等于M ；②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M•⇔<，x I ∈. 或()f x 的下界小于或等于M ；③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M•⇔>，x I ∈.即()f x 的下界大于或等于M ；④不等式()f x M >对x I ∈时有解max()f x M ⇔>，x I ∈.. 或()f x 的上界大于或等于M ；高中数学难点强化班第四讲（140709）课后操练答案：一．填空选择题（每小题6分，共60分）1、对任意的实数x ，若不等式a x x >--+21恒成立，那末实数a 的取值范围.答案：|x+1|-|x-2| -|(x+1)-(x-2)|=-3,故实数a 的取值范围：a<-32、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是解：原不等式有解()()22sin 4sin 1sin 231sin 1a x x x x ⇒>-+=---≤≤有解，而()2minsin 232x ⎡⎤--=-⎣⎦，所以2a >-. x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）(A)1a <- (B)||1a ≤ (C)||1a < （D ）1a ≥ 解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即||a 答案：选B 4．当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是. 解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x+==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5max f x f ==，则2min 4()5x x+->-∴5m ≤-. 5．已知不等式223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0)a ∈+∞，都成立，那末实数x 的取值范围为．分析：已知参数a 的范围，要求自变量x 的范围，转换主参元x 和a 的位置，构造以a 为自变量x 作为参数的一次函数()g a ，转换成∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立再求解. ax y x解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立.设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数.220x +>恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数. 所以对∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立的充分需要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤.6．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ )A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)分析：()f x 与()g x 的函数类型，直承受参数m 的影响，所以首先要对参性质及图像解题.解析：当0m =时，()810f x x =-+>在1(,)8-∞在R 上恒成立，显然不知足题意；(如图1) 当0m <时，()g x 在R 上递减且()0g x mx =>只在(-∞而()f x 是一个启齿向下且恒过定点（0，1知足题意.当0m >时，()g x 在R 上递增且()0g x mx =>在(0,)+∞上恒成立，而()f x 是一个启齿向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数则只需()0f x >在(,0]-∞上恒成立.(如图3) 则有24024(4)80m m m m -⎧<⎪⎨⎪∆=--<⎩或402m m -≥解得48m <<或04m <≤，综上可得08m <≤即(0,8)m ∈. 故选B.７、已知两函数()2728f x x x c =--，g(x)=6x2-24x+21.（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，那末实数c 的取值范围 c≥0 ；（2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，那末实数c 的取值范围 c≥-25；（3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，那末实数c 的取值范围 c≥150 ；（4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，那末实数c 的取值范围 c≥-175 ；解析：（1）设()()()322312h x g x f x x x x c =-=--+，问题转化为[]3,3x ∈-时，()0h x ≥恒成立，故()min 0h x ≥.令()()()266126120h x x x x x '=--=+-=，得1x =-或2.由导数知识，可知()h x 在[]3,1--单调递增，在[]1,2-单调递减，在[]2,3单调递增，且()345h c -=-，()()17h x h c =-=+极大值，()()220h x h c ==-极小值，()39h c =-，∴()()min345h x h c =-=-，由450c -≥，得45c ≥.（2）据题意：存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，即为：()()()0h x g x f x =-≥在[]3,3x ∈-有解，故()max 0h x ≥，由（1）知()max 70h x c =+≥，于是得7c ≥-.（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤成立，不等式的左右两头函数的自变量分歧，1x ，2x 的取值在[]3,3-上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：max min ()(),[3,3]f x g x ••x •≤∈-.∵()()[]27228,3,3f x x c x =---∈-∴()()max 3147f x f c =-=-， ∵()26840g x x x '=+-=()()23102x x +-，∴()0g x '=在区间[]3,3-上只有一个解2x =. ∴()()min 248g x g ==-，∴14748c -≤-，即195c ≥.（4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f xg x ≤，等价于()()min 1max 2f x g x ≤，由(3)得()()min 1228f x f c ==--，()()max 23102g x g =-=，28102130c c --≤⇒≥- 点评：本题的三个小题，概况形式非常相似，究其实质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件.二．简答题（每题10分）８、（10分）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围解：)10,2[9、①对一切实数x,不等式32x x a --+>恒成立，求实数a 的范围. ②若不等式32x x a --+>有解，求实数a 的范围. ③若方程32x x a --+=有解，求实数a 的范围.解：①5-<a ②5<a ③]5,5[-∈a(Ⅰ)若()x f 的定义域Φ≠A ,试求a 的取值范围.(Ⅱ) 若()x f 在()3,2∈x 上有意义, 试求a 的取值范围.(Ⅲ)若()0>x f 的解集为()3,2,,试求a 的值.解答：这三问中,第(Ⅰ)问是能成立问题,第(Ⅱ)问是恒成立问题,第(Ⅲ)问是恰成立问题. (Ⅰ) ()x f 的定义域非空,相当于存在实数x ,使02>--x ax a 成立, 即()2x ax a x --=ϕ的最大值大于0成立,(),0444422max >+=---=a a a a x ϕ解得 4-<a 或0>a . (Ⅱ)()x f 在区间()3,2上有意义,等价于()2x ax a x --=ϕ0>在()3,2恒成立,即()x ϕ的最小值大于0.解不等式组 ()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-,03,252ϕa 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥>-,02,252ϕa ⎩⎨⎧≥---≥,093,5a a a 或⎩⎨⎧≥---<042,5a a a 解得 .29-≤a (Ⅲ)()0>x f 的解集为()3,2,等价于不等式12>--x ax a 的解集为()3,2;于是有012<-++a ax x ,这等价于方程012=-++a ax x 的两个根为2和3, 于是可解得5-=a .。

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