线性规划模型的标准形式
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结标题：线性规划知识点总结引言概述：线性规划是运筹学中的一种最基本的数学规划方法，广泛应用于生产、运输、金融等领域。
通过线性规划，可以优化资源分配，最大化利润或者最小化成本。
本文将对线性规划的基本概念、线性规划模型、解决方法、应用领域和优缺点进行总结。
一、基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，找到使目标函数取得最大值或者最小值的决策变量的取值。
1.2 决策变量和目标函数：线性规划中，决策变量是需要确定的未知数，而目标函数则是需要优化的目标，通常是最大化利润或者最小化成本。
1.3 约束条件：线性规划模型中的约束条件是对决策变量的限制，可以是等式约束或者不等式约束，用来限制决策变量的取值范围。
二、线性规划模型2.1 标准形式和非标准形式：线性规划模型可以分为标准形式和非标准形式，标准形式要求目标函数是最小化形式，约束条件是等式约束；非标准形式则没有这些限制。
2.2 线性规划的矩阵形式：线性规划可以用矩阵形式表示，目标函数和约束条件可以用矩阵的乘法来表示，这样可以简化问题的求解过程。
2.3 整数规划和混合整数规划：在实际应用中，有时需要考虑变量的取值只能是整数的情况，这时就需要用到整数规划或者混合整数规划。
三、解决方法3.1 单纯形法：单纯形法是解决线性规划问题的经典方法，通过不断挪移顶点来找到最优解，是一种高效的求解方法。
3.2 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。
3.3 整数规划的分支定界法：对于整数规划问题，可以采用分支定界法来求解，通过不断分支和剪枝来逐步逼近最优解。
四、应用领域4.1 生产计划优化：线性规划可以用来优化生产计划，确定最佳生产量和资源分配，以最大化利润或者最小化成本。
4.2 运输网络优化：在物流领域，线性规划可以用来优化运输网络，确定最佳的运输路径和运输量，以提高运输效率。
线性规划模型的标准形式
第三部分运筹学第四章运筹学建模4.1 运筹学概述运筹学是用数学方法研究各种系统最优化问题的学科。
其研究方法是应用数学语言来描述实际系统，建立相应的数学模型，并对模型进行研究和分析，据此求得模型的最优解；其目的是制定合理运用人力、物力和财力的最优方案；为决策者提供科学决策的依据；其研究对象是各种社会系统，可以是对新的系统进行优化设计，也可以是研究已有系统的最佳运营问题。
因此，运筹学既是应用数学，也是管理科学，同时也是系统工程的基础之一。
运筹学一词最早出现于第二次世界大战期间，当时为了急待解决作战中所遇到的许多错综复杂的战略战术问题，英美一些具有不同学科和背景的科学家，组成了许多研究小组，专门从事军事行动的优化研究。
研究的典型课题有：高射炮阵地火力的最佳配置、护航舰队规模的大小以及开展反潜艇作战的侦察等方面。
由于受到战时压力的推动，加上不同学科互相渗透而产生的协同作用，在上述几个方面的研究都卓有成效，为第二次世界大战盟军的胜利起到积极作用，也为运筹学各个分支的进一步研究打下了基础。
战后，这些科学家们转向研究在民用部门应用类似方法的可能性。
因而，促进了在民用部门中应用运筹学有关方法的研究和实践。
1947年，美国数学家G．B．Dantzig提出了求解线性规划的有效方法——单纯形法。
50年代初，应用电子计算机求解线性规划问题获得了成功。
50年代末，工业先进国家的一些大型企业也陆续应用了运筹学的方法以解决企业在生产经营活动中所出现的许多问题，取得了良好效果。
60年代中期，一些银行、医院、图书馆等都已陆续认识到运筹学对帮助改进服务功能、提高服务效率所起的作用，由此带来了运筹学在服务性行业和公用事业中的广泛应用。
电子计算机技术的迅速发展，为广泛应用运筹学方法提供了有力工具，运筹学的应用又开创了新的局面。
当前，运筹学在经济管理、生产管理、工程建设、军事作战、科学试验以及社会系统等各个领域中都得到了极为广泛的应用。
线性规划标准化
线性规划标准化线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它在工程、经济、管理等领域有着广泛的应用。
在实际问题中，线性规划模型往往需要通过标准化处理，以便于使用各种优化算法进行求解。
本文将介绍线性规划标准化的方法和步骤，帮助读者更好地理解和应用线性规划模型。
1. 线性规划标准化的基本概念。
线性规划标准化是将原始的线性规划模型转化为标准形式的过程。
标准形式的线性规划模型具有以下特点，目标函数为最大化或最小化线性函数，约束条件为线性不等式或线性等式。
通过标准化处理，可以使线性规划模型更容易求解，同时也方便了对模型的分析和比较。
2. 线性规划标准化的方法。
线性规划标准化的方法主要包括两种，单纯形法和对偶理论。
单纯形法是一种通过逐步迭代寻找最优解的方法，而对偶理论则是通过对原始问题进行变换，引入对偶问题来求解原始问题。
这两种方法在实际应用中都有其优势和局限性，需要根据具体的问题特点进行选择。
3. 线性规划标准化的步骤。
线性规划标准化的步骤可以总结为以下几个关键步骤，确定最优化目标、建立约束条件、引入松弛变量、构建标准形式。
在确定最优化目标时，需要明确是最大化还是最小化目标函数；在建立约束条件时，需要将原始约束条件转化为标准形式的线性不等式或等式；引入松弛变量是为了将原始约束条件转化为等式；最后，通过构建标准形式，得到一个可以直接使用单纯形法或对偶理论求解的线性规划模型。
4. 线性规划标准化的实例分析。
为了更好地理解线性规划标准化的方法和步骤，我们以一个具体的实例来进行分析。
假设有一个生产计划问题，需要确定如何安排生产任务以最大化利润。
通过建立数学模型，并进行标准化处理，我们可以得到一个标准形式的线性规划模型，然后利用单纯形法或对偶理论进行求解，得到最优的生产计划方案。
5. 总结。
线性规划标准化是线性规划模型求解的重要步骤，它能够将原始的线性规划问题转化为标准形式，从而更容易进行求解和分析。
通过本文的介绍，相信读者对线性规划标准化的方法和步骤有了更清晰的认识，能够更好地应用于实际问题中。
线性规划标准化
线性规划标准化线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于在给定约束条件下寻找最优解。
在实际应用中，线性规划模型往往需要进行标准化处理，以便于使用各种算法进行求解。
本文将介绍线性规划标准化的基本概念、方法和步骤，帮助读者更好地理解和应用线性规划模型。
1. 基本概念。
线性规划标准化是指将线性规划模型转化为标准形式的过程。
标准形式是指目标函数为最大化，约束条件为等式的线性规划模型。
通过标准化，可以使得线性规划模型更易于求解，同时也方便了对模型的分析和比较。
2. 标准化方法。
线性规划标准化的方法主要包括两种，转换为标准型和转换为松弛型。
转换为标准型是将原始线性规划模型转化为目标函数为最大化，约束条件为等式的标准形式；转换为松弛型则是通过引入松弛变量，将原始线性规划模型转化为标准形式。
这两种方法各有优缺点，需要根据具体情况进行选择。
3. 标准化步骤。
线性规划标准化的步骤可以总结为以下几点，确定最优化问题的目标函数和约束条件；将不等式约束转化为等式约束；引入松弛变量或人工变量；将目标函数转化为最大化形式；最后得到标准形式的线性规划模型。
4. 标准化实例。
为了更好地理解线性规划标准化的过程，我们以一个具体的实例来说明。
假设有如下线性规划模型：Max z = 3x1 + 5x2。
s.t.2x1 + x2 ≤ 10。
x1 + 3x2 ≥ 15。
x1, x2 ≥ 0。
首先，我们将不等式约束转化为等式约束，得到：2x1 + x2 + s1 = 10。
x1 + 3x2 s2 = 15。
然后，引入松弛变量或人工变量，将目标函数转化为最大化形式，得到标准形式的线性规划模型：Max z = 3x1 + 5x2。
s.t.2x1 + x2 + s1 = 10。
x1 + 3x2 s2 = 15。
x1, x2, s1, s2 ≥ 0。
通过以上步骤，我们成功将原始线性规划模型转化为标准形式，为接下来的求解和分析奠定了基础。
5. 结语。
线性规划标准化是线性规划模型求解的重要准备工作，通过标准化可以使得模型更易于求解和分析。
线性规划
1
2/3 1/ 2 2/3
x4 x4 x4
1 / 3 0 0 1 1 / 3 0
4 c4 cB B
1 3 x5
1
p 4 为非基变量
x 4 的检验公式
T
c 4 0 , c B ( 3 , 5 , 0 ), p 4 ( 0 ,1 , 0 )
s .t .
1 3 x5
1/3 x4 0 x 5 1 / 3
xB B-1b
B-1P4 B-1P5 xN
如果所有的检验数都小于等于零，当前解就是最优解； 如果存在至少一个检验数大于零，且该检验数对应的列
向量B-1Pj中至少有一个正分量，则问题没有达到最优；
单纯形计算表
Cj-CBB-1Pj中B是单位矩 阵，实际计算Cj-CBPj
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
单纯形计算表
1 1
单纯形法Байду номын сангаас法
max z c B B s .t . xB B
1
b (c N c B B
1
1
N )xN
1
b B
Nx
N
xB , xN 0 1、将问题转化为标准型 2 、最优性检验 如果存在 否则计算 : ，找到一个初始可行基 ；
j 0 , 且 B p j 0 ，该问题无界，停止计 k max{ c j c B B
第3章02-线性规划模型的标准形式
第3章02线性规划模型的标准形式同学们大家好，上次我们讲了线性规划模型的结构和特征，然后在后面没给出了要定义线性规划的标准型的原因，今天我们就来介绍一下线性规划的标准型。
首先我们要说标准形式定义出来的，在不同的教材里面的定义并不相同。
在我们教材里面我们是这么定义的：我们先看目标函数，一般形式中可能是关于目标函数的最大化问题，有可能最小化问题，但在标准型里面我们定义目标函数必须是求最大化问题。
1111max(min c max c n n n nz x c x z x c x =++⇒=++ 或）我们再来看一下常约束条件。
在一般形式里面，常约束可能是等式，也可能是不等式，但在标准形式中，定义每个常约束都必须取等号。
112211221,2,,i i i i in in i i i i i in in i a x a x a x b a x a x a x b i m+++≤=≥⇒+++== （或，），再来看非负约束。
在一般形式里面，并不要求每个变量都有非负约束，但是在标准形式里面，要求每一个变量都是非负的。
1212,,0,,,,0k j j j n x x x k n x x x ≥≤⇒≥ 另外，标准形式还要求每一个右端常数项都是大于等于0的，当然这个不是很重要，因为如果右端常数项是负数，可以给这个方程左右两边乘以-1，就把它变成了整数。
最后，我们总结一下，在我们的教材里，标准形式有四个要求：目标函数是求最大化问题，所有常约束为等式，所有变量都有大于等于0，右端常数项都大于等于0。
所以，我们的标准形式可以规范地写成下面的形式。
11112212max , 1,2,,st.,,0n ni i i i in in i n z c x c x a x a x a x b i m x x x =+++++==⎧⎨≥⎩ 关于标准形式，它还有几种等价的形式需要大家熟悉。
第一种是简写形式。
也就是用和式号对标准形式进行简写，形式如下：⎪⎩⎪⎨⎧=≥===∑∑==n j x m i b x a x c z jnj i j ij nj j j ,,2,1,0 ,2,1st.max 11 ，第二种是矩阵形式。
线性规划的标准型和基本概念
（2）若线性规划问题的最优解存在，它一定可以在 可行域的某一个顶点上得到；
（3）若在两个顶点上同时得到最优解，则该两点连 线上的所有点都是最优解，即LP有无穷多最优解；
（4）若可行域非空有界，则一定有最优解。
24
线性规划的标准形式
标准线性规划模型
minZ 3x1 2x2
st. -2x1 x 2 2
x1-3x2 3
x1 0,x2 0
x2 -2x1+x2=2
4
3 2
-▽Z=(3,2)
minZ 3x1 2x2
-2x1 x 2 2
x1-3x2 3
x1 0,x2 0
Z=
Z x1
，Z x 2
=（-3,-2）
x1-3x2=3
有限资源的合理配置有两类问题 如何合理的使用有限的资源，使生产经营的效益达到最大； 在生产或经营的任务确定的条件下，合理的组织生产，安排经 营活动，使所消耗的资源数最少。
例１，某制药厂生产甲、乙两种药品，生产这两种药品要消耗某种维生 素。生产每吨药品所需要的维生素量，所占用的设备时间，以及该厂每 周可提供的资源总量如下表所示：
j=1
j=1
其中 x为n+k非负剩余变量。
(3) 右端项为负
约束两端乘以（－1） (4) 非负变量与符号不受限制的变量
若 xi的符号不受限制，则可引进非负变量xi1,xi2，令 xi = xi1-xi2，这样就可以使线性规划里所有的变量都转化为有非负限 制的变量。
例7，将下述线性规划问题化为标准型
线性规划的一般数学模型
线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下，
线性规划标准形式
线性规划标准形式线性规划是运筹学中的一种重要方法，它在管理、经济、工程等领域有着广泛的应用。
在进行线性规划问题求解时，往往需要将原始问题转化为标准形式，这样可以更方便地应用线性规划的方法进行求解。
本文将介绍线性规划的标准形式及其相关内容。
1. 线性规划的标准形式。
线性规划的标准形式可以表示为：Max z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn。
Subject to:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1。
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn ≤ b2。
...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn ≤ bm。
xi ≥ 0, i = 1, 2, ..., n。
其中，目标函数为最大化的线性表达式，约束条件为线性不等式，变量xi为决策变量，ci为系数，aij为系数矩阵，bi为常数，n为变量个数，m为约束个数。
2. 转化为标准形式的方法。
为了将原始线性规划问题转化为标准形式，可以采取以下步骤：（1）将不等式约束转化为等式约束，引入松弛变量或者人工变量，将不等式约束转化为等式约束。
（2）将目标函数转化为最大化问题，如果原始问题是最小化问题，可以通过取负号将其转化为最大化问题。
（3）引入非负约束，对于原始问题中的自由变量或者负变量，引入非负变量替代。
通过以上步骤，可以将原始线性规划问题转化为标准形式，从而方便进行后续的求解操作。
3. 求解标准形式的方法。
一旦线性规划问题被转化为标准形式，就可以利用线性规划的方法进行求解。
常用的求解方法包括单纯形法、对偶理论、内点法等。
这些方法都是基于线性规划的特殊结构和性质而设计的，可以高效地求解大规模的线性规划问题。
4. 实例分析。
为了更好地理解线性规划的标准形式，我们可以通过一个实例来进行分析。
假设有如下线性规划问题：Max z = 3x1 + 5x2。
Subject to:2x1 + x2 ≤ 6。
线性规划标准形式例题
线性规划标准形式例题线性规划是一种数学优化方法，常用于在有限资源条件下，寻找最优解决方案。
在实际应用中，线性规划可以用于生产调度、资源分配、运输优化等方面。
线性规划问题可以通过标准形式来进行建模和求解，下面我们通过一个例题来详细介绍线性规划标准形式的应用。
假设某工厂生产两种产品A和B，产品A每个单位利润为200元，产品B每个单位利润为300元。
工厂有两个生产车间，生产一个单位产品A需要在车间1花费1小时，在车间2花费2小时；生产一个单位产品B需要在车间1花费3小时，在车间2花费1小时。
每个车间每天的工作时间分别为8小时和7小时。
现在工厂希望在有限的资源下，最大化利润，该问题可以用线性规划来解决。
首先，我们需要确定决策变量。
假设工厂生产产品A的单位数量为x，生产产品B的单位数量为y，则我们的目标是最大化利润，即max Z=200x+300y。
其次，我们需要确定约束条件。
根据工厂的生产能力和资源限制，我们可以列出以下约束条件：1. 车间1的工作时间约束，x+3y≤8。
2. 车间2的工作时间约束，2x+y≤7。
3. 产量非负约束，x≥0，y≥0。
将目标函数和约束条件写成标准形式，得到线性规划的标准形式如下：max Z=200x+300y。
s.t.x+3y≤8。
2x+y≤7。
x≥0，y≥0。
现在，我们需要通过线性规划的方法来求解最优解。
我们可以使用单纯形法、对偶单纯形法、内点法等方法来求解线性规划问题。
这里我们以单纯形法为例来进行求解。
首先，将约束条件转化为等式，引入松弛变量，得到初始表格如下：x y s1 s2 b。
1 3 1 0 8。
2 1 0 1 7。
-200 -300 0 0 0。
通过单纯形法的迭代计算，得到最优解为x=2，y=2，最大利润为800元。
通过以上例题，我们可以看到线性规划标准形式的应用过程。
通过确定决策变量、建立目标函数、列出约束条件，并通过线性规划方法求解，我们可以得到最优的决策方案。
运筹学--第2节(线性规划-标准型)
分析和表述问题
目 例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造标一件时
分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工
序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利：情况如 表 的I利—润l所为示最。大问。该公司应制造A、B两种家电各多少件，利使获取
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33
x11 +x12+x13 50 x21+x22+x23 30 x31+x32+x33 10
x11 +x21+x31 = 40 x12 +x22+x32 = 15 x13 +x23+x33 = 35
假设：利润——Z
家电I的数量——x1
家电II的数量——x2
分析和表述问题
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各制造一件时 分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、B设备和调试工 序每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如 表I—l所示。问该公司每天应制造I、II两种家电各多少件，使 获取的利润为最大。
x1 , x2 , x4 , … , x7 0
练习
补充作业、运输问题
从仓库到工厂运送单位原材料的成本，工厂对原
材料的需求量，仓库目前库存分别如表所示，求成本 最低的运输方案。
工厂 仓库
1 2 3 需求
1 2 3 库存
213
50
224
线性规划的标准形式
线性规划的标准形式线性规划是运筹学中的一种重要方法，它在工程、经济学、管理学等领域都有着广泛的应用。
线性规划的标准形式是指将线性规划问题转化为一种标准的数学形式，以便于进行求解。
在本文中，我们将介绍线性规划的标准形式及其相关内容。
首先，让我们来看一下线性规划的一般形式。
线性规划问题通常可以表示为如下形式：\[\max \{c^Tx | Ax \leq b, x \geq 0\}\]其中，c为n维向量，表示目标函数的系数；x为n维向量，表示决策变量；A 为m×n的矩阵，表示约束条件的系数矩阵；b为m维向量，表示约束条件的右端向量。
接下来，我们将线性规划问题转化为标准形式。
标准形式的线性规划问题可以表示为如下形式：\[\max \{c^Tx | Ax = b, x \geq 0\}\]在标准形式中，约束条件变为了等式约束，这样可以方便地应用线性代数的方法进行求解。
为了将原始问题转化为标准形式，我们需要引入松弛变量，将不等式约束转化为等式约束。
具体地，对于每一个不等式约束$A_ix \leq b_i$，我们引入一个松弛变量$s_i \geq 0$，使得$A_ix + s_i = b_i$。
这样，原始问题就可以转化为一个等式约束的线性规划问题。
除了将不等式约束转化为等式约束，我们还需要考虑目标函数的形式。
在标准形式中，目标函数通常是最大化形式，而原始问题可能是最小化形式。
为了将最小化问题转化为最大化问题，我们可以取目标函数的相反数。
具体地，如果原始问题是$\min \{c^Tx | Ax \leq b, x \geq 0\}$，那么对应的最大化问题就是$\max \{-c^Tx | Ax \leq b, x \geq 0\}$。
在将线性规划问题转化为标准形式之后，我们就可以利用标准形式的特点进行求解。
标准形式的线性规划问题可以应用诸如单纯形法、对偶理论等方法进行求解，这些方法在数学理论上有着严格的证明，并且在计算机实现上也有着高效的算法。
线性规划的标准型
Min z 2 x1 3x2 x3 x1 x2 x3 3 s.t. x1 4 x2 7 x3 9 x 0, j 1, 2, x 符号不限 3 j
我们先看目标函数，是一个线性表达式，三个决策变量...看约束条件是否满足线 性的呢？都满足...决策变量是不是满足非负条件呢？有一个决策变量 x3 符号不 限， 通过变换可以把它变为线性规划模型，这在后面将要具体介绍线性规划的标 准化问题 接下来我们来看第三个，这一个是不是属于线性规划模型呢？ 虽然决策变量 n 个，有 m 个约束条件，约束条件也都满足线性表达式的条件， 但是目标函数不对，目标函数是决策变量的非线性表达式，是乘积的形式
一般线性规划问题的标准化
（1） 目标函数的标准化 Min Z=CX (Z’=-Z) Max Z’=-CX 目标函数有极大化和极小化两种，而极大化已经是标准形式了，所以我们只需将 极小化的目标函数进行处理，设立一个新的目标函数值 z’，令 Z’=-Z，求 z’的极 大化问题，当 z’取极大值时，z 也就取得了极小值
x1 x2 x3 3 x1 x2 x3 3
以上四个方面的变化过程就可以将一个非标准化的线性规划模型转换成一个标 准化的线性规划模型 举例 将线性规划问题划为标准型
MinZ 2 x1 3 x2 x3 x1 x2 x3 10 3x 2 x x 8 1 2 3 x1 3x2 x3 1 x1 , x2 0, x3符号不受限制
个条件： 目标函数约定是极大化 max（或极小化 min）--在这本书里，标准型是 max， 而有些书里标准型是 min，当然大家只要记住一个标准就行了，另外一个只 是它的反向 约束条件均用等式表示 每一个约束条件都是等号，我们前面给大家讲的线 性规划的矩阵形式、向量形式等时，有的是小于等于，有的是大于等于，那 么都要转变为等号 决策变量限于取非负值 决策变量必须要满足非负条件 右端常数项均为非负值 资源约束向量 b 取非负 对系数没有要求， 包括多目标函数的系数（价值系数 C） ，对约束条件的系数（系 数矩阵 A） 都没有要求， 它只要求目标函数满足... 约束条件满足...决策变量满足... 右端常数项满足 这 4 个条件希望大家记住， 我们来看标准型的不同形式有哪些。我们说线性规划 的标准型同样有 4 种描述形式 线性规划标准型的描述形式 一般形式 紧缩形式 矩阵形式 向量-矩阵形式 线性规划标准型的一般形式
运筹学03-单纯形法
C
m n
m个!n。n! m!
定义 在线性规划问题的一个基本可行解中，如果
所有的基变量都取正值，则称它为非退化解，如
果所有的基本可行解都是非退化解。称该问题为
非退化的线性规划问题；若基本可行解中，有基 变量为零，则称为退化解，该问题称为退化的线 性规划问题。
21
解的集合： 解空间
非
基
可 行 解
可本 行可 解行
16
解：① 令X3 =X4 - X5 ② 加松弛变量X6 ③加剩余变量X7 ④ 令Z'= -Z
Max Z'= X1 -2X2 +3X4 -3X5 X1 +X2 +X4 -X5 +X6=7
s.t X1 -X2 +X4 -X5 -X7 =2
X1 , X2 , X4 , … , X7 0
17
3.2 线性规划问题的解
5
向量形式
Max Z CX
s.t
n
Pj x j
b
C c1
c2
cn
j1
X 0
价值向量
x1
X
x2
xn
决策向量
a1 j
Pj
a2 j
anj
列向量
b1
b
b2
bm
右端向量
6
(4) 一般型向标准型的转化
对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可 以通过以下变换，将其转化为标准形式: 目标函数
x1
,
x2 ,
x3 ,
x4
0
(2) 求基本解
由上式得
A
3 6
5 2
1 0
10 b 1254
线性规划模型目标函数
线性规划所解决的问题具有以下共同的特征： 1. 每一个问题都用一组未知数（x1 ，x2 ，… ， xn ）表示某一方案；这些未知数的一组定值就 一 代表一个具体方案。由于实际问题的要求，通常 、 线 这些未知数取值是非负的。
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12 x2
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2 ) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
注：本问题应还有一个约束条件：x1、x2取整数.故它是一个整数 线性规划问题.这里把它当成一个线性规划来解，求得其最优解刚好 是整数：x1=9，x2=0，故它就是该整数规划的最优解.若用线性规划 解法求得的最优解不是整数，将其取整后不一定是相应整数规划的 最优解，这样的整数规划应用专门的方法求解.
引例3 问题三：投资决策问题某公司拟在某市东、西、南三 区建立门市部，拟议中有7个位置（点）Ai(i= 1,2,…,7) 可供选择。规定东区在A1、A2、A3 三个点中至多选两 个。西区A4、A5两个点中至少选一个。南区A6、A7两 个点中至少选一个。并知道如果选用Ai点，则投资为 bi元，估计每年可获利为ci元，但投资总额不得超过B 元。问应该选择哪几个点可使年利润为最大？
约束条件为：
8 25 x1 8 15 x2 1800 8 25 x 1800 1 8 15 x2 1800 x1 0, x2 0
线性规划模型
目标函数：
min z 40 x1 36 x2
线性规划标准型以及定义
(1) x0 0(此时b 0)或者
(2) x0 0, 但是x0所有非零变量xi对应的
列向量Pi线性无关.即, 若x10 0,K , xs0 0,
x0 s1
K
xn0
0,则P1,K
, Ps线性无关.
解的定义
证明: 必要性显然.
现证充分性.设x0是线性规划的基可行解,
若 x0 0, 显然.
max Z=34.2是唯一的。
（7.6，2）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
o
x1
L0： 0=3X1+5.7X2
min Z=5X1+4X2 x2
图解法
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
2
max Z min Z
x1+x2=4(≥)
2
4
无界解(无最优解)
x1+3x2=6(≥)
6
x1
x2
50 40
30 20
10
例4 max Z=3x1+4x2 2x1 x2 40 x1 1.5 x2 30 x1 x2 50 x1 0, x2 0
无可行解(即无最优解)
O
10
0
B6
2
1
B7
2
0 B8 6 1 B9 0 1
解的定义
2x1 x2 x3 x4 3 例： x1 x2 x3 x5 2
xi 0
线性规划的标准型
线性规划的标准型线性规划是运筹学中的一种重要方法，它可以用来解决优化问题，如资源分配、生产计划等。
线性规划的标准型是线性规划问题的一种基本形式，下面我们将详细介绍线性规划的标准型及其相关概念。
首先，让我们来定义线性规划的标准型。
线性规划的标准型可以表示为如下形式：\[。
\begin{array}{ll}。
\text{max} & c^Tx \\。
\text{s.t.} & Ax = b \\。
& x \geq 0。
\end{array}。
\]其中，c为n维列向量，x为n维列向量，A为m×n矩阵，b为m维列向量。
在这个标准型中，我们要求最大化目标函数c^Tx，同时满足线性等式约束Ax=b和非负约束x≥0。
接下来，让我们详细解释一下线性规划标准型中的各个部分。
首先是目标函数c^Tx。
目标函数是线性规划问题中需要最大化或最小化的函数，它由决策变量x的线性组合构成。
在标准型中，我们通常是最大化目标函数，即求解使目标函数取得最大值的决策变量取值。
其次是线性等式约束Ax=b。
线性等式约束表示决策变量x的线性组合需要满足的条件，它由系数矩阵A和约束值b确定。
在标准型中，我们要求决策变量x满足线性等式约束Ax=b，这是问题的基本约束条件。
最后是非负约束x≥0。
非负约束表示决策变量x的取值需要大于等于0，这是线性规划问题的基本性质之一。
在标准型中，我们要求决策变量x的取值都是非负的，这是问题的基本假设条件。
线性规划的标准型在实际问题中有着广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过将实际问题转化为线性规划的标准型，我们可以利用线性规划的方法求解最优的决策方案，从而达到优化资源利用、降低成本、提高效率的目的。
在实际应用中，我们通常会利用线性规划的方法对标准型进行求解，求解的过程包括确定最优解的存在性、寻找最优解的方法、计算最优解的具体数值等。
通过对线性规划标准型的求解，我们可以得到最优的决策方案，为实际问题的决策提供科学依据。
线性规划标准形式
线性规划标准形式线性规划（Linear Programming，LP）是运筹学中的一种数学优化方法，用于在给定的约束条件下，求解线性目标函数的最优解。
线性规划问题可以表示为标准形式，这种形式可以更方便地进行求解和分析。
在线性规划中，标准形式通常表示为如下形式：\[\begin{array}{ll}。
\text { maximize } & \mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \\。
\text { subject to } & \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b} \\。
& \mathbf{x} \geq \mathbf{0}。
\end{array}\]其中，\(\mathbf{x}\) 是一个包含 n 个变量的列向量，\(\mathbf{c}\) 也是一个包含 n 个元素的列向量，\(\mathbf{A}\) 是一个 m×n 的矩阵，\(\mathbf{b}\) 是一个包含 m 个元素的列向量。
目标是最大化或最小化目标函数 \(\mathbf{c}^{T}\mathbf{x}\)，同时满足线性等式约束 \(\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b}\) 和非负约束 \(\mathbf{x} \geq \mathbf{0}\)。
在标准形式中，目标函数是一个线性函数，约束条件也是线性的。
这种形式的优点在于，可以利用线性代数和凸优化等数学工具进行求解，求解算法相对较为简单且稳定。
因此，将线性规划问题转化为标准形式是非常重要的。
对于最大化问题，我们可以通过将目标函数乘以-1 转化为最小化问题。
这样，标准形式可以表示为：\[\begin{array}{ll}。
\text { minimize } & -\mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \\。
\text { subject to } & \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{b} \\。
运筹学线性规划的标准形式
设备台时利用量=1*50+1*250=300=资源限制量 原料A使用量=2*50+1*250=350<资源限制量400 原料B使用量=1*250=250=资源限制量
引入松弛变量x3,x4,x5，将数学 模型标准化：
max F 50x1 100x2 s.t. x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 x1 0, x2 0
min F 2x1 3x2 s.t.
x1 x2 x3 350 x1 x4 125 2x1 x2 x5 600 x j 0, j 1,2,5
图解法
500 400 300
200
100 2x1 3x2 0
2x1 x2 600 x1 125
图解法
400
2x1 x2 400
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A
B
x2 250
200
C
100
D
O
100
200
50x1 100x2 0
x1 x2 300
300
400
最优解的解释
最优解x1=50，x2=250表示甲产品生产50个单位，乙 产品生产250个单位时，获利最大。
进一步计算剩余变量和松弛变量:
X3=0，表示正好达到最低要求； X4=125，表示超出最低要求，多购进125吨； X5=0，表示工时数被全部利用。
另外，
关于松弛变量和剩余变量的信息也可以 从图解法中获得。
松弛变量x3=0,x4=50,x5=0
400
2 2x1 x2 400
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第三部分运筹学第四章运筹学建模4.1 运筹学概述运筹学是用数学方法研究各种系统最优化问题的学科。
其研究方法是应用数学语言来描述实际系统，建立相应的数学模型，并对模型进行研究和分析，据此求得模型的最优解；其目的是制定合理运用人力、物力和财力的最优方案；为决策者提供科学决策的依据；其研究对象是各种社会系统，可以是对新的系统进行优化设计，也可以是研究已有系统的最佳运营问题。
因此，运筹学既是应用数学，也是管理科学，同时也是系统工程的基础之一。
运筹学一词最早出现于第二次世界大战期间，当时为了急待解决作战中所遇到的许多错综复杂的战略战术问题，英美一些具有不同学科和背景的科学家，组成了许多研究小组，专门从事军事行动的优化研究。
研究的典型课题有：高射炮阵地火力的最佳配置、护航舰队规模的大小以及开展反潜艇作战的侦察等方面。
由于受到战时压力的推动，加上不同学科互相渗透而产生的协同作用，在上述几个方面的研究都卓有成效，为第二次世界大战盟军的胜利起到积极作用，也为运筹学各个分支的进一步研究打下了基础。
战后，这些科学家们转向研究在民用部门应用类似方法的可能性。
因而，促进了在民用部门中应用运筹学有关方法的研究和实践。
1947年，美国数学家G．B．Dantzig提出了求解线性规划的有效方法——单纯形法。
50年代初，应用电子计算机求解线性规划问题获得了成功。
50年代末，工业先进国家的一些大型企业也陆续应用了运筹学的方法以解决企业在生产经营活动中所出现的许多问题，取得了良好效果。
60年代中期，一些银行、医院、图书馆等都已陆续认识到运筹学对帮助改进服务功能、提高服务效率所起的作用，由此带来了运筹学在服务性行业和公用事业中的广泛应用。
电子计算机技术的迅速发展，为广泛应用运筹学方法提供了有力工具，运筹学的应用又开创了新的局面。
当前，运筹学在经济管理、生产管理、工程建设、军事作战、科学试验以及社会系统等各个领域中都得到了极为广泛的应用。
一些发达国家的企业、政府、军事等部门都拥有相当规模的运筹学研究组织，专门从事运筹学的应用研究，并为上层决策部门提供科学决策所需的信息和依据。
随着运筹学技术的推广应用，各国都先后成立了运筹学研究的专业学术机构。
早在1948年，英国成立了运筹学俱乐部，并出版运筹学的专门学术刊物。
1957年，在英国牛津大学召开了第一届国际运筹学会议。
1959年，成立了国际运筹学联合会。
我国于1956年成立了第一个运筹学小组，1980年成立了全国运筹学会，这对促进我国运筹学的应用和发展起了积极作用，特别是著名数学家华罗庚教授早在50年代中期就在一些企业和事业单位积极推广和普及优选法、统筹法等运筹学方法，取得了显著成效。
今天，我国有关高等院校不仅设置了运筹学专业，而且在管理类、财经类等的有关专业普遍开设了运筹学的必修课程。
许多专业的硕土生，也设置了运筹学作为学位课程。
运筹学的实质在于模型的建立和使用。
应用运筹学处理问题时，首先要求从系统观点来分析问题，即不仅要求提出需要解决的问题和希望达到的目标，而且还要弄清问题所处的环境和约束条件，包括：时间、地点、资金、原材料、设备、人力、能源、动力、信息、技术等的环境和约束条件，以及要处理问题中的主要因素、各种环境和约束条件之间的逻辑关系。
运筹学是一门多分支的应用学科，随着新的系统问题的不断出现，运筹学的有关分支也在不断的发展，内容在不断充实和扩大。
其主要分支有：近年来，有关运筹学的应用和理论研究都得到迅速发展。
在理论研究方面，涌现出许多新的模型方法和算法。
随着运筹学在各种专业学科中的广泛应用，结合专业特点，产生和发展了许多新的专业分支。
研究的内容有：“军事运筹学”、“运筹学在卫生医疗系统中的应用”、“运筹学在交通运输中的应用”、“运筹学在旅游观光事业中的应用”、“运筹学在体育运动中的应用”以及“能源运筹学模型”、“教育运筹学模型”、“刑事司法运筹学模型”等。
而且，运筹学与相关学科的交叉渗透还将进一步得到发展。
另一方面，随着运筹学应用逐渐向复杂的社会大系统渗透．运筹学的研究内容已出现了定量分析和定性分析相结合的发展趋势。
同时，运筹学的发展与计算机技术的发展密切相关。
计算机的飞速发展将深刻地影响着运筹学将来的发展。
随着计算机技术的提高，许多目前还不能求解的运筹学问题在将来会被解决。
运筹学的应用也会被推向越来越广的领域。
运筹学涉及到的理论和方法非常广泛，有些分支已发展完善为一门独立学科，限于篇幅，本书中只就线性规划、非线性规划的部分内容进行讨论，其他内容请读者参阅有关资料书籍。
4.2 线性规划模型的标准形线性规划是求一个 函数()n x x x f ,,21（称为目标函数）在规定条件()A x x x n ∈ ,,21（称为约束条件）下的极大值或极小值问题。
4.2.1线性规划模型的可行解和最优解定义5.1 设线性规划模型的一般式为：n n x c x c x c Z +++= 2211max(min) （5.1）约束条件（s.t.）()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥≥=≤+++≥=≤+++≥=≤+++n j x bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j mn mn m m n n n n ,2,1,0,,,22112222212111212111 （5.2）满足约束条件（5.2）的一组数()n x x x ,,21，称为该线性规划模型的可行解。
满足目标函数，即使得目标函数达到最大值或最小值的可行解，称为该线性规划模型的最优解。
把最优解代入目标函数所得到的目标函数的最大值或最小值称为最优值。
定义5.2 某个线性规划模型的全体可行解组成的集合，称为该线性规划模型的可行解域。
4.2.2线性规划模型的标准型为讨论方便，我们规定线性规划模型的标准型，而其它非标准型总可以通过一些方法化为标准型。
线性规划模型的标准型为：目标函数n n x c x c x c Z +++= 2211max （5.3）约束条件（s.t.）()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=+++=+++=+++n j x bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j mn mn m m n n n n ,2,1,022112222212111212111 （5.4）注意，在线性规划模型的标准型中，约束条件是一组线性等式，也称为约束方程组，利用向量或矩阵符号，线性规划模型的标准型还可以记为：目标函数 CX Z =max约束条件（s.t.）⎩⎨⎧≥=0X BAX其中()n c c c C ,,21=，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b B 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21，0≥X 是指X 的各分量0,,21≥n x x x 。
标准型具有以下特点： （1） 目标函数是求最大值；（2） 约束条件为线性方程组；（3） 未知变量n x x x ,,21都有非负限制。
线性规划模型的非标准型，可以通过以下三种方法化为标准型： （一） 目标函数是求最小值Z min设n n x c x c x c Z +++= 2211min ，可设Z Z -='，则求最小值问题转化为求最大值问题，即将求Z min 转化为求Z 'max ，且n n x c x c x c Z ----=' 2211max 。
（二） 约束条件为不等式如果约束条件为不等式，则可增加一个或减去一个非负变量，使约束条件变为等式，增加或减去的 这个非负变量称为松弛变量。
例如：i n in i i b x a x a x a ≤+++ 2211加一个非负变量1+n x ，使不等式变为等式：i n n in i i b x x a x a x a =+++++12211如果约束为：i n in i i b x a x a x a ≥+++ 2211则减去一个非负变量1+n x ，使不等式变为等式：i n n in i i b x x a x a x a =-++++12211（三） 模型中的某些变量没有非负限制若某个变量j x 取值可正可负，这时可设两个非负变量j x '和j x ''，令j j j x x x ''-'=，这样就可以满足标准型的要求。
4.3 线性规划模型的建立模型是线性规划解决问题的工具，线性规划方法通过对实际问题进行分析，建立其相应的线性规划模型，然后进行求解和分析，为决策提供依据。
所建立的模型是否能够恰当的反映实际问题中的主要矛盾，直接影响到所求得的解是否有意义，从而影响着决策的质量。
因此，建模是应用线性规划方法的第一步，也是最为重要的一步。
建立线性规划模型有三个基本步骤：第一步，找出问题中的所有相关的未知变量（决策变量），并用代数符号表示它们，根据变量的物理性质研究变量是否有非负性；第二步，找出问题中的目标，写成变量的线性函数，作为线性规划模型的目标函数； 第三步，找出问题中所有的限制或约束，写成变量的线性方程或线性不等式，作为线性规划模型的约束条件。
4.3.1生产计划问题生产计划问题是企业生产过程中时时遇到的问题，其最简单的一般形式可以描述如下： 用若干种原材料(设备)生产某几种产品，原材料(或设备)供应有一定的限制，要求制定一个产品生产计划，使其在给定资源限制条件下能得到最大收益。
[例题5.1] 根据以下现实情况建立线性规划模型某厂计划内将安排生产I,II 两种产品，已知生产单位重量的产品所需的设备为A 及B 、表5.1 生产设备和原料消耗表生产单位重量的产品I 可获利2万，生产单位重量的产品II 可获利5万。
问：如何安排生产可使工厂获得的利润最多？ 解：模型建立：第一步，确定决策变量：要求的未知变量是I,II 两种产品的产量，用1x ，2x 分别表示它们；第二步，确定目标函数：本问题的目标是使工厂获得的利润1225Z x x =+最大； 第三步，确定约束条件：在这个问题中，约束条件是设备及材料的限制，设备A ：1228x x +≤ 材料A ：1624x ≤ 材料B ：2515x ≤则这一问题的线性规划模型为：12max 25Z x x =+s.t. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤+0,15524682212121x x x x x x4.3.2合理下料问题下料问题是加工业中常见的一种问题，其一般的提法是把一种尺寸规格已知的原料，切割成给定尺寸的几种零件毛坯，问题是在零件毛坯数量要求给定的条件下，如何割才能使废料最少?下料问题由所考虑的尺寸的维数可以分成三维(积材)下料，二维(面料)下料和一维(棒料)下料问题，其中最简单的是棒料下料问题，现举一例来讨论如何用线性规划方法解决下料问题。