高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附
详细答案)
本文介绍了高考极坐标与参数方程大题题型，并给出了三个例子进行解答。

例1：在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为(x-
1)^2+y^2=1，求圆C的极坐标方程。

解析：将x和y用极坐标表示，得到ρ=2cosθ。

例2：已知直线l的参数方程为x=-4t+a，y=3t-1，在直角
坐标系xoy中，以O点为极轴建立极坐标系，设圆M的方程
为ρ^2-6ρsinθ=-8.求圆M的直角坐标方程和实数a的值。

解析：将ρ和θ用x和y表示，得到x+(y-3)=1，然后将直线l的参数方程化为普通方程，得到3x+4y-3a+4=0.根据圆心到直线的距
离和直线截圆所得弦长的关系，解得a=12或a=22/3.
例3：已知曲线C的参数方程为x=2+5cosα，y=1+5sinα，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。

求曲线C的极坐标方程和直线l被曲线C截得的弦长。

解析：
将x和y用极坐标表示，得到ρ=5.将直线l的极坐标方程化为普通方程，得到ρ(sinθ+cosθ)=1.由于曲线C是一个圆，因此直线l与曲线C的交点分别为A(7π/4.3+2√2)和B(3π/4.3-2√2)，弦AB的长度为4√2.
1) 曲线C的参数方程为：
x=9\cos^3\theta,\ y=3\sin^3\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。

2) 设$P(9\cos^3\alpha,3\sin^3\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|9\cos^3\alpha+3\sin^3\alpha-1|}{\sqrt{2}}$。

为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为
$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{1}{\sqrt{2}}$的形式，其中
$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且
$\tan\theta=\frac{1}{3}$。

显然，当$\cos(\alpha+\theta)=1$时，$d$取得最大值，此时$d_{\max}=5+\frac{1}{\sqrt{2}}$。

3) 曲线C的普通方程为$(x-3)^2+y^2=36$。

设直线$l$的倾斜角为$\alpha=60^\circ$，则$l$的斜率为$\tan\alpha=\sqrt{3}$。

又因为$l$过点$P(-1,0)$，所以$l$的方程为$y=\sqrt{3}(x+1)$。

圆C的极坐标方程为
$\rho=2\cos\theta+3\sin\theta$。

直线$l$与圆C的交点可以通过
联立它们的方程解得，也可以通过将它们的方程表示为参数方程，然后解方程组得到。

最终得到交点$A(-\frac{3}{2},-
\frac{3\sqrt{3}}{2})$和$B(-\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2})$。

于是$PA\cdot PB=|(-\frac{5}{2})(-\frac{3}{2})-(-
\frac{9}{4})\cdot(-\frac{3\sqrt{3}}{2})|=10\sqrt{3}$。

4) 曲线C的极坐标方程为$\rho=4\cos\theta+2\sin\theta$，直线$l$的直角坐标方程为$x+y-1=0$。

设$P(3\cos\alpha,\sin\alpha)$，则$P$到直线$l$的距离为$d=\frac{|3\cos\alpha-\sin\alpha+2|}{\sqrt{2}}$。

为求$d$的最大值，我们可以将$d$表示为
$10\cos(\alpha+\theta)+\frac{2}{\sqrt{2}}$的形式，其中
$\theta$为一个与$\alpha$无关的常数，且
$\tan\theta=\frac{1}{3}$。

显然，当$\cos(\alpha+\theta)=1$时，$d$取得最大值，此时$d_{\max}=5+\sqrt{2}$。

5) 将曲线C的参数方程代入$x^2+y^2=1$，可得
$8\cos^6\theta+27\sin^6\theta=1$，化简后得到
$64\cos^6\theta+27(1-4\cos^2\theta)^3=64\cos^6\theta-
108\cos^4\theta+54\cos^2\theta-26=0$。

这是一个关于
$\cos^2\theta$的三次方程，可以用求根公式求解得到三个实根，其中最大的一个根为$\cos^2\theta=\frac{2}{3}$。

将
$\cos^2\theta$代入曲线C的参数方程，可得点
$P(\frac{3}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$。

圆C的极坐标方程
为$\rho=2\sqrt{2}\cos\theta$。

直线$l$的斜率为$\tan\alpha=-
\sqrt{3}$，过点$P$，所以$l$的方程为$y-\frac{1}{\sqrt{2}}=-
\sqrt{3}(x-\frac{3}{\sqrt{2}})$。

直线$l$与圆C的交点可以通
过联立它们的方程解得，也可以通过将它们的方程表示为参数方程，然后解方程组得到。

最终得到交点$A(-\frac{1}{2},-
\frac{3\sqrt{2}}{2})$和
$B(\frac{7}{2\sqrt{3}},\frac{5}{2\sqrt{3}})$。

于是$PA\cdot
PB=\left|-
\frac{9}{2\sqrt{6}}+\frac{15}{2\sqrt{6}}\right|=\frac{3\sqrt{2}}{ \sqrt{3}}$。

1）直线$l$的参数方程为$x=3t,y=2t+1$，圆的极坐标方程
为$\rho=6\sin\theta$。

2）将直线$l$的参数方程代入圆的极坐标方程，得到直线
与圆的交点$A(2,3)$和$B(-2,-1)$。

设点$P$的坐标为$(2,0)$，
则$PA$的长度为$\sqrt{10}$，$PB$的长度为$\sqrt{26}$，因此$PAPB=\sqrt{10}\sqrt{26}=2\sqrt{65}$。

3）将圆的极坐标方程
$\rho=42\cos(\theta+\frac{\pi}{4})$展开，化为直角坐标方程
$x^2+y^2-4x+22y=0$。

将直线$l$的参数方程代入该方程，得
到直线与圆的交点$C(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}})$和$D(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}})$。

设点$M(x,y)$在
曲线$C_1$上运动，则$M$到曲线$C$的距离
$d=\frac{|x^2+y^2-1|}{\sqrt{2}}$。

将曲线$C_1$的极坐标方程
代入$d$的公式，得到$d=\frac{2\sqrt{2}|\cos\alpha-
\sqrt{2}\sin\alpha|}{\sqrt{5}}$。

为使$d$最小，令
$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}},\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
此时$d=\frac{2}{\sqrt{5}}$。

因此，$M$到曲线$C$的距离的
最小值为$\frac{2}{\sqrt{5}}$。

5cos(α-φ)-10，其中34=，sinφ=55，因此α-φ=时，
dmin=98，M(5，5)。

此时，在平面直角坐标系xOy中，直线l
的参数方程为，交于A，B两点。

要求：（1）求AB的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离。

解：（1）直线l的参数方程为，代入曲线C的方程得t+4t-10=，
解得t1+t2=-4，t1t2=-10，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1-t2|=214.（2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P
的直角坐标为(−2，)，所以点P在直线l上，中点M对应参数为，由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离|PM|=2.10.已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α=，要求：（1）
写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x+y=4相交于两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。

解：（1）直线的参数方程为；（2）把直线代入x2+y2=4得t2+(3+1)t-2=，解得t1t2=-2，则
点P到A,B两点的距离之积为2.11.从极点O作直线与另一直
线l：ρcosθ=4相交于点M，在OM上取一点P，使
|OM|·|OP|=12.要求：（1）求点P的轨迹方程；（2）设R为l
上的任意一点，试求|RP|的最小值。

解：（1)设动点P的坐标
为(ρ，θ)，M的坐标为(ρ，θ)，则ρρ=12.因为ρcosθ=4，所以
ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程。

(2)由(1)知P的轨迹是以(，0)
为圆心，半径为的圆，易得|RP|的最小值为1.
在极坐标系下，给定圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：
ρsin(θ－)＝42.我们需要求解以下问题：
1) 求圆O和直线l的直角坐标方程；
2) 当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的极坐标。

1) 圆O的极坐标方程为ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ＝ρcosθ＋
ρsinθ，化简得到直角坐标方程为x＋y－x－y＝0，即x＝0.直线l的极坐标方程为ρsinθ－ρcosθ＝1，化简得到直角坐标方程为y－x＝1，即y＝x＋1.
2) 将直线l的直角坐标方程代入圆O的直角坐标方程中，得到x＋y－x－y＝0和x－y＋1＝0，解得x＝1，y＝0.因此，直线l与圆O的交点的极坐标为(1，π/2)。