【精选高中试题】云南省大理州高三上学期第二次统测考试理数试题 Word版含答案

大理州2017届高中毕业生第二次复习统一检测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合{}032>-=x x x A ，则=A C U （ ）A ．]3,0[B ．)3,0(C ．),3()0,(+∞-∞D ．),3[]0,(+∞-∞ 2.i 为虚数单位，若复数))(1)(1(R a i ai z ∈+-=的虚部为3-，则=z （ ） A ．23 B ．4 C ．34 D ．53.已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则=⋅CB AE （ ） A ．4- B ．3- C ．4 D ． 524.某公司安排6位员工在“元旦（1月1日至1月3日）”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员工中甲不在1日值班的概率为（ ） A ．31 B ．32 C.43 D ．655.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线x y 3-=上，则=θ2sin （ ）A ．21 B ．23 C.21- D ．23-6.将函数x x x f 3cos 3sin )(+=的图像沿x 轴向左平移ϕ个单位后，得到一个偶函数的图像，则ϕ的一个可能取值为（ ） A ．12πB ．12π-C.4πD ．07.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果=n （ ）A ．4B ．5 C. 6 D ．78.已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,,c f b f a f D c b a ∈∀分别为某个三角形的三边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)0)(1lg()(>+=x x x f ；②x -x f cos 4)(=；③)161()(21≤≤=x x x f ；④1323)(++=x x x f其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2 C. 3 D ．49.在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，AB PA =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（ ）A ．31 B ．21 C.32 D ．43 10.已知三棱柱111C B A ABC -的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3， 60,2,22=∠==BAC AC AB ，则此球的体积等于（ ）A ．328π B ．29πC.3105π D ．334π 11.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中椭圆的离心率是（ ） A ．33 B ．23 C.22 D ．21 12.已知函数2)2ln()(x x a x f -+=在)1,0(内任取两个实数q p ,，且q p >，若不等式2)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]24,(-∞B ．]12,(-∞ C.),12[+∞ D ．),24[+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥-+209203y y x y x ，若使)0(>+=a y ax z 取得最小值的最优解有无穷多个，则实数=a ．14.32)33(+-x x 的展开式中，x 项的系数为 ．15.在平面直角坐标系y xO 中，圆C 的方程为08622=+-+x y x ，若直线22-=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围是 ．16.在ABC ∆中，角C B A ,,对应的边分别为c b a ,,，已知3231)cos(,5,4=-==A B b a ，则=B cos ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足d qa a a n n +==+11,4（d q ,为常数）. （1）当2,1==d q 时，求2017a 的值； （2）当2,3-==d q 时，记11-=n n a b ，n n b b b b S +⋅⋅⋅+++=321，证明：21<n S .18. （本小题满分12分）2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率.为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了一个有奖闯关游戏，游戏分为两个环节.第一环节“解锁”：给定6个密码，只有一个正确，参赛选手从6个密码中任选一个输入，每人最多可输三次，若密码正确，则解锁成功，该选手进入第二个环节，否则直接淘汰. 第二环节“闯关”：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得10个、20个、30个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏，也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束.设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为324354，，，选手选择继续闯关的概率均为21，且各关之间闯关成功与否互不影响. （1）求某参赛选手能进入第二环节的概率；（2）设选手甲在第二环节中所得学豆总数为X ，求X 的分布列和期望. 19. （本小题满分12分）如图（1）所示，在直角梯形ABCD 中，AD BC AB BAD BC AD 21,2,===∠π∥，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点.将ABE ∆沿BE 折起到BE A 1∆的位置，如图（2）所示.（1）证明：⊥CD 平面OC A 1；（2）若平面⊥BE A 1平面BCDE ，求平面C B A 1与平面CD A 1所成锐二面角的余弦值. 20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴的正半轴上，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于B A 、两点，且满足43-=⋅OB OA . （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若点M 在抛物线C 的准线上运动，其纵坐标的取值范围是]1,1[-，且9=⋅MB MA ，点N 是以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线的一个公共点，求点N 的纵坐标的取值范围.21. （本小题满分12分）已知函数xebxax x f +=2)(，（e 为自然对数的底数，R b a ∈,），若)(x f 在0=x 处取得极值，且0=-ey x 是曲线)(x f y =的切线. （1）求b a ,的值；（2）用{}n m ,min 表示n m ,中的最小值，设函数)0(1),(min )(>⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=x x x x f x g ，若函数2)()(cx x g x h -=为增函数，求实数c 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=t ty t x (31为参数).曲线C 的极坐标方程为θρ212sin +=.（1）求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线C 与曲线C 交于B A ,两点，与x 轴的交点为M ，求BMAM 11+的值. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲若关于x 的不等式01323≥--++t x x 的解集为R ，记实数t 的最大值为a .（1）求a ；（2）若正实数n m ,满足a n m =+54，求nm n m y 33421+++=的最小值.大理州2017届高中毕业生第二次复习统一检测理科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:ACABD 6-10: ACBDB 11、12：AD 附： 12.由2)1()1(>-+-+qp q f p f 得)(2)1()1(q p q f p f ->+-+，则)1(2)1()1(2)1(+-+>+-+q q f p p f ，所以函数x x f x g 2)()(-=在)2,1(上单调递增， 从而02222)()(≥--+=-'='x x ax f x g 在)2,1(∈x 上恒成立 即)]22)(2[(++≥x x a ，亦即max )]22)(2[(++≥x x a又函数)23(2)22)(2(2++=++=x x x x y 在]2,1[∈x 上单调递增 所以24)]22)(2[(=++max x x ，所以24≥a二、填空题13. 1 14. 81- 15.]56,0[ 16.169 附：16.由3231)cos(,5,4=-==A B b a 知0)sin(,>->A B A B ， 所以3273)3231(1)(cos 1)(22=-=--=-A B A B sin 由正弦定理得B b A a sin sin =，所以BA sin 5sin 4=，即sinB sinA 45=， 又因为)sin(cos )cos(sin )](sin[sin A B B A B B A B B A ---=--=，所以B B B cos 3273sin 3231sin 54-=，化简得B B cos 75sin 9=， 由B B cos 75sin 9=，0sin >B 知0>B cos ，由256811sin cos 75sin 9222=⇒⎩⎨⎧=+=B cos B B cos B B ，所以169cos =B . 三、解答题17.解：（1）当2,1==d q 时，21=-+n n a a ， 所以数列{}n a 是首项41=a ，公差2=d 的等差数列， 所以222)1(4+=⨯-+=n n a n ，所以40362017=a .（2）当2,3-==d q 时，231-=+n n a a 变形得）（1311-=+n n a -a 所以数列{}1-a n 是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以n n n -a 33311=⨯=-，所以n n n a b )31(11=-=，数列{}n b 是以31为首项，31为公比的等比数列，所以21)311(21311)311(31321<-=--=+⋅⋅⋅+++=n n n n b b b b S ，所以21<n S . 18.解：（1）选手能进入第二环节，说明该选手可能是第一次解锁成功，可能是第二次解锁成功，也可能是第三次才解锁成功.第一次解锁成功的概率为：61，第一次解锁成功的概率为：615165=⨯， 第一次解锁成功的概率为：61415465=⨯⨯，所以该选手能进入第二环节的概率为：21616161=++.（2）X 的所有可能取值为60,30,10,0207)321(21432154)431(2154)541()0(=-⨯⨯⨯⨯+-⨯⨯+-==X P 52)211(54)10(=-⨯==X P ，203)211(432154)30(=-⨯⨯⨯==X P ，10132********)60(=⨯⨯⨯⨯==X P 所以X 的分布列为5.1410602030510200)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .19.（1）证明：在图（1）中，因为AD BC AB 21==,E 是AD 的中点，且2π=∠BAD ，所以CD BE AC BE ∥,⊥，即在图（2）中，OC BE OA BE ⊥⊥,1，又O OC OA = 1，⊂1OA 平面OC A 1，⊂OC 平面OC A 1，从而⊥BE 平面OC A 1，又CD E B ∥，所以⊥CD 平面OC A 1. （2）由已知，平面⊥BE A 1平面BCDE ，且交线为BE ， 又由（1）知，1OA BE ⊥，所以⊥1OA 平面BCDE ，如图，以O 为原点，1,,OA OC OB 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设121===AD BC AB ，所以)0,22,0(),22,0,0(),0,0,22(),0,0,22(1C A E B -， 得)0,0,2(),22,22,0(),0,22,22(1-==-=-=A . 设平面BC A 1的法向量),,(111z y x =，平面CD A 1的法向量),,(222z y x =， 平面BC A 1与平面CD A 1的夹角为θ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,01C A n 得⎩⎨⎧=-=+01111z y y x -，取)1,1,1(=，同理，取)1,1,0(=，从而36322cos cos =⨯<=θ， 即平面BC A 1与平面CD A 1所成锐二面角的余弦值为36. 20.解：（1）设抛物线的标准方程为)0(22>=p px y ，其焦点F 的坐标为)0,2(p 直线l 的方程为2pty x +=，),(),,(2211y x B y x A ， 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧+==222p ty x px y 消去x 得：0222=--p pty y ，所以4)2)(2(,,22212122121p p ty p ty x x p y y pt y y =++=-==+，因为434322121-=-=+=⋅p y y x x ，解得1=p ，所以所求抛物线C 的标准方程为x y 22=.（2）设点11),,21(≤≤--m m M ， 由（1）知，t y y y y x x 2141212121=+-==，，，所以12221+=+t x x ，因为221m)-t m y m y x x ())(()21)(21(21=--+++=⋅，所以9)(2=-m t 得3+=m t 或3-=m t ， 因为11≤≤m -，∴42≤≤t 或24-t -≤≤，由抛物线定义可知，以线段AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切， 所以点N 的纵坐标为t y y =+221， 所以点N 的纵坐标的取值范围是]4,2[]2,4[ --.21.解：（1）xx x x e bx b a x a e e bx ax e b ax x f +-+-=+-+=')2()()()2()(222，因为)(x f 在0=x 处取得极值，所以0)0(='f ，即0=b ，此时xx e axax x f e ax x f 2)(,)(22+-='=，设直线0=-ey x 与曲线)(x f y =且于点),(00y x P ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==0002020211x x e ax ax ee ax x e ，解之得1=a . （2）记函数0,1)1()()(2>+-=--=x xx e x x x x f x F x0,11)2()(2>---='x x e x x x F x 当2≥x 时，0)(<'x F 恒成立，当20<<x 时，1]2)2([)2(2=-+≤-x x x x ， 从而0111111111)2()(2222<-=--<--≤---='x x x e x e x x x F x x所以0)(<'x F 在),0(+∞上恒成立，故)(x F 在),0(+∞上单调递减. 又0234)2(,01)1(2<-=>=e F e F ，所以0)2()1(<⋅F F ， 又曲线)(x F y =在]2,1[上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的）（2,10∈x ，使0)(0=x F 的， 所以0)(),,(;0)(),,0(00<+∞∈>∈x F x x x F x x ，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=02,011),(min )(x x e x x x x x x x x f x g x ， 从而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<--=-=022022,01)()(x x cx ex x x cx x x cx x g x h x ，所以，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-+='002,2)2(0211)(x x cx e x -x x x cx x x h x ， 由函数2)()(cx x g x h -=为增函数，且曲线)(x h y =在),0(+∞上连续不断， 知0)(≥'x h 在),(),,0(00+∞x x 上恒成立. ①当0x x >时，02)2(≥-cx ex -x x 在),(0+∞x 上恒成立， 即x e x -c 22≤在),(0+∞x 上恒成立，记x e x -x u 2)(=，则x e -x x u 3)(='， 从而)(x u 在)3,(0x 单调递减，在),3(+∞单调递增，所以3min 1)3()(e u x u -== 故“x e x -c 22≤在),(0+∞x 上恒成立”只需3min 1)(2e x u c -=≤，所以321ec -≤. ②当00x x <<时，cx x x h 211)(2-+='， 当0≤c 时，0)(>'x h 在),0(0x 上恒成立，综上所述，实数c 的取值范围为：321e c -≤. 22.解：（1）由直线l 的参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x 31（t 为参数）化为普通方程为033=--y x ，直线l 的倾斜角为3π，将曲线C 的极坐标方程θρ2sin 12+=化为直角坐标方程为1222=+y x . （2）易知直线l 与x 轴的交点为)0,1(M ，从而直线l 的参数方程的标准形式为T T y T x (23211⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=为参数). 将直线l 的方程代入1222=+y x ，得02232211(22=++-T T ）（）， 整理得04472=-+T T ，所以74,742121-=-=+T T T T ，故224)(112121212121=-+=-=+=+T T T T T T T T T T BM AM BM AM BM AM . 23.解：（1）因为01323≥--++t x x ，所以t x x ≥-++1323， 又因为3)31()23(1323=-++≥-++x x x x ，所以3≤t ，从而实数t 的最大值3=a .（2）因为)54)(33421(n m n m n m ++++)]33()2)[(33421(n m n m nm n m ++++++= 9)33334221(2=+⋅+++⋅+≥n m n m n m n m ， 所以9)33421(3≥+++nm n m ，从而3≥y ， 当且仅当n m n m 33221+=+，即31==n m 时取等号， 所以n m n m y 33421+++=的最小值为3.。