数列解题方法大全

数列方法大全

一、求通项公式

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 类型1 )(1n f a a n n +=+

解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。

例1. 已知数列{}n a 满足2

1

1=

a ，1n n a a n +=+，求n a 。 变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为

)(1

n f a a n

n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=

a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，

1321)1(32--+⋅⋅⋅+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1

___n a ⎧=⎨

⎩

12n n =≥

类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例3:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .

类型4 n

n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或

1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q

，得：

q

q a q p q a n n n n 1

11+•=++引入辅助数列{}n b （其中n

n

n q

a b =），得：q

b q p b n n 1

1+=

+再待定系数法解决。

例4:已知数列{}n a 中，651=

a ,1

1)2

1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足

⎩

⎨

⎧-==+q st p

t s 例5:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3

1

3212+=++，求n a 。 类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)

解法：这种类型一般利用

⎩⎨

⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)

2()

1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。

例6：已知数列{}n a 前n 项和2

214--

-=n n n a S .

（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a . 类型7 b an pa a n n ++=+1)001(≠≠，a 、p

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为

{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列。

例7:设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .

类型8 r

n n pa a =+1)0,0(>>n a p

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。

例8：已知数列｛n a ｝中，2

111,1n n a a

a a ⋅==+)0(>a ，求数列{}

.的通项公式n a 类型9 )

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为

q pa a n n +=+1。

例9：已知数列｛a n ｝满足：1,1

3111

=+⋅=

--a a a a n n n ，求数列｛a n ｝的通项公式。

例10：已知数列}{n a 满足性质：对于,3

24

,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项

公式.

类型10 q pn a a n n +=++1或n

n n pq a a =⋅+1

解法：这种类型一般可转化为{}12-n a 与{}n a 2是等差或等比数列求解。

例11：（I ）在数列}{n a 中，n n a n a a -==+6,111，求n a

（II ）在数列}{n a 中，n

n n a a a 3,111==+，求n a

类型11周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例12：若数列{}n a 满足⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

<≤-≤≤=+)121(,12)210(,21

n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为_______。

二、求和

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.

类型1.利用常用求和公式求和： 利用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)1(2)(11-+=+=

2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

n

3、 )1(211+==∑=n n k S n

k n 4、

)12)(1(6112

++==∑=n n n k S n k n 5、21

3)]1(21[+==∑=n n k S n

k n [例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

类型2.错位相减法求和:这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方