上海高三数学高考二轮复习教案向量专题之平面向量与三角函数(2)含答案

沪教版（上海）高中数学度高三数学二轮复习
向量专题之
平面向量与三角函数②
教学目标
能够解决三角函数与平面向量结合（主要是数量积），判断三角形性质或结合正、余弦定理求值.
知识梳理
正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === (R 为AB
C ∆外接圆半径) 余弦定理：A bc c b a cos 22
2
2
-+=
面积公式 ：C ab S ABC sin 2
1
21高＝底⨯=
∆ 向量的加减法运算：1212()a b x x y y ±=±±， 实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==
向量数量积： 1212=cos =a b a b x x y y θ+
向量的模：2
22
222||,||a x y a a x y =
+==+
向量平行(共线)的充要条件22
向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=特别地
(
)(
)AB AC AB AC AB
AC
AB
AC
+
⊥-
.
典例精讲
例1. （★★★）设0≤θ≤2π时， OP 1→＝(cos θ，sin θ)，OP 2→＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则|P 1P 2→
|的
最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．32
D ．23
解：12||=(2+sin -cos ,2-cos -sin PP θθθθ
当cos θ=-1的时候取最大值，为23
答案：D
例2. （★★★）
已知向量0000
(cos 25,sin 25),(sin 20,cos 20)a b ==，若t 是实数，且→u ＝
a ＋t
b ，则|→u |的最小值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
2
2 D ．12
解：2
2
2
2==+2+t =1+2u u a ta b b 答案：C
例3. （★★★）在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且
8AB AC ⋅=≤≤，4S ．
(1)求x 的取值范围；
(2)就(1)中x 的取值范围，求函数2
2()()2cos 4
f x x x π
=++的最大值、最
小值．
解 (1)∵8BAC x AC AB ∠=⋅=，
，4S ≤≤ 又1
sin 2
S bc x =
，
∴cos 84tan bc x S x ==，，即 1tan x ≤≤
．
∴所求的x 的取值范围是
4
3
x π
π
≤≤
.
(2)∵
4
3
x π
π
≤≤
，
2
2()
23sin ()2cos 34
f x x x π
=+
+-
2cos 21
2sin(2)16
x x x π
=++=++，
∴
252366
x πππ≤+≤
，1
sin(2)26x π≤+≤ ∴min max ()()2()()134
f x f f x f ππ
====，.
巩固练习
（★★★）已知令（Ⅰ）求的单调增区间；
（Ⅰ）若时，恒成立，求的取值范围.
2sin (+)+tan(+)tan(-)
2242424 =2cos sin +2cos -tan(+)cot(+)
2222424 =sinx+cosx+1-1(x+
)
4
x x x x f x x x x x πππ
ππ
π
解：
（Ⅰ）由2k -
x+
2+
2
4
2
k π
π
π
ππ≤≤，得32k -
x 2+44
k ππππ≤≤ 从而，的单调增区间为3[2k -
,2+]44
k ππ
ππ,k Z ∈ （Ⅰ）由题意可知，(x)-1m f ≥在上恒成立
当时，max (x)=(
4
f f π
所以m
2cos
,tan ,2sin ,tan .2242424x x x x a b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭().f x a b =⋅()f x [0,)2
x π
∈()1f x m ->m ()f x [0,
)2
x π
∈[0,
)2
x π
∈
例5. （★★★）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，tan C =．
（1） 求cos C ；（2）若5
2
CB CA ⋅=
，且9a b +=，求c ． 解：（1
）
tan C =，
∴
sin cos C
C
=又
22sin cos 1C C +=，解得：1
cos 8
C =±，
tan 0C >，∴C 是锐角，∴1cos 8
C =
． （2）
52CB CA ⋅=
，∴5
cos 2
ab C =，∴20ab =， 又
9a b +=，22281a ab b ∴++=，2241a b ∴+=，
2222cos 36c a b ab C ∴=+-=，6c ∴=．
例6．（★★★）如
图，已知点(1 1)A ，和单位圆上半部分上的动点B ．
⑴若OA OB ⊥，求向量OB ； ⑵求||OA OB +的最大值．
解： 依题意，(cos sin )(0)B θθθπ≤≤，（不含1个或2个端点也对）
(1 1) (cos sin )(0)OA OB θθθπ==≤≤，，，，（写出1个即可）
因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=，即cos sin 0θθ+= 解得34
π
θ=，所以2( 22OB =-，.
⑵
2(1cos 1sin ) ||(1OA OB OA OB θθ
+=+++=+，，当4
π
θ=
时，||OA OB +1.
巩固练习
O
x
y A B
如图，A 是单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，∠AOP =θ（0＜θ＜π），
，四边形OAQP 的面积为S ．
（1）求
的最大值及此时θ的值θ0；
（2）设点B 的坐标为
，∠AOB =α，在（1）的条件下求cos （α+θ0）．
解：（1）
，
故的最大值是，
此时．
（2）
∠
．
课堂检测
1. （★★★）若向量a ＝(cos α,sin α)，b ＝(cos β,sin β)，则a 与b 一定满足 （ ）
A ．a 与b 的夹角等于α－β
B ．a Ⅰb
C ．a Ⅰb
D ．(a ＋b )Ⅰ(a －b )
答案：D
2.（★★★
）把函数y ＝sin2x 的图象按向量→a ＝(－π
6
，－3)平移后，得到函数y ＝Asin(ωx
＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，|ϕ|<π
2
)的图象，则ϕ和B 的值依次为
（ ）
A ．π
12
，－3
B ．π3
，3
C ．π
3
，－3
D ．－π12
，3
解：由平移向量知向量平移公式⎩⎨⎧ x '＝x －π6y '＝y －3，即⎩⎨⎧ x ＝x '＋π
6y ＝y '＋3
，代入y ＝sin2x 得y '＋3＝sin2(x '
＋π6)，即到y ＝sin(2x ＋π3)－3，由此知ϕ＝π
3，B ＝－3，故选C.
3. （★★★）已知A 、B 、C 为三个锐角，且A ＋B ＋C ＝π.若向量→p ＝(2－2sin A ，cos A
＋
sin A )与向量→q ＝(cos A －sin A ，1＋sin A )是共线向量.
（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）求函数y ＝2sin 2B ＋cos C －3B 2
的最大值.
解：（Ⅰ）∵→p 、→q 共线，∴(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(cos A －sin A )，
则sin 2A ＝34，又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π
3.
（Ⅱ）y ＝2sin 2B ＋cos C －3B
2＝2sin 2B ＋cos (π－π
3－B)－3B
2
＝2sin 2B ＋cos(π
3－2B )＝1－cos2B ＋12cos2B ＋32sin2B
＝
32sin2B －12cos2B ＋1＝sin(2B －π
6
)＋1. ∵B ∈(0，π2)，∴2B －π6∈(－π6，5π6)，∴2B －π6＝π2，解得B ＝π
3，y max ＝2.
【评析】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定
理实现边角转化，列出等式求解。

4. （★★★）如图，函数2sin(),y x x R πϕ=+∈（其中02
π
ϕ≤≤）的图像与y 轴交于点
（0，1）。

（Ⅰ）求ϕ的值；
（Ⅱ）设P 是图像上的最高点，M 、N 是图像与x 轴的交点，求PM 与PN 的夹角。

解：（I ）因为函数图像过点(0,1)，
所以2sin 1,ϕ=即1
sin .2
ϕ=
因为02
π
ϕ≤≤
，所以6
π
ϕ=
.
（II ）由函数2sin()6
y x π
π=+
及其图像，得115(,0),(,2),(,0),636
M P N --
所以11(,2),(,2),2
2
PM PN =-=-从而
cos ,||||PM PN
PM PN PM PN ⋅<>=
⋅1517
=，故,PM PN <>=15arccos 17.
5. （★★★）已知向量33(cos
,sin ),=(cos ,-sin )2222
x x x x
b ，
（1）求(x)=
+a b f a b
的最大值．
（2）若不等式1
-
++-102
a b a b λλ≤对恒成立，求实数λ的取值范围．
解：（1）=cos
cos ﹣sin
sin =cos2x=2cos 2x ﹣1，
|
|2=
2
+2+
2
=1+2cos2x+1=2+2（2cos 2x ﹣1）=4cos 2x ，
，
cosx ＞0， |
|=2cosx ．
=cosx ﹣，令t=cosx ，则y=t ﹣，在t ∠[，1]上是增函
数，当t=1时，y 取得最大值．
（2）若不等式即为
λcos2x ﹣cosx+λ﹣1≤0．λ（1+cos2x ）≤1+cosx ，，，1+cos2x ＞0，
∠λ≤=．令t=cosx ，则g （t ）=，g ′（t ）=﹣﹣＜0，
∠g （t ）在t ∠[，1]上是减函数，当t=1时，取得最小值1，所以λ≤1． 点评： 本题考查向量的运算，三角函数公式的应用，函数的性质，不等式恒成立问题，
考查换元法、分离参数法、利用导数求函数最值．
6. （★★★）设向量，其中.
（1）求的取值范围；
（2）若函数的大小.
解：（Ⅰ）Ⅰ，Ⅰ，
Ⅰ，Ⅰ，
Ⅰ，Ⅰ．
（Ⅰ）Ⅰ，
，
Ⅰ，
),1,2(),2cos ,1(==b a θ)1,sin 2
1
(),1,sin 4(θθ==d c )4
,0(π
θ∈d c b a ⋅-⋅)()(|,1|)(d c f b a f x x f ⋅⋅-=与比较2
2cos 2 2sin 12cos 2a b c d ⋅=+⋅=+=-θθθ，
2cos 2a b c d ⋅-⋅=θ04
<<
π
θ022
<<
π
θ02cos22<<θ(0,2)a b c d ⋅-⋅的取值范围是2
()|2cos 21||1cos 2|2cos f a b ⋅=+-=+=θθθ2()|2cos 21||1cos 2|2sin f c d ⋅=--=-=θθθ22
()()2(cos sin )2cos 2f a b f c d ⋅-⋅=-=θθθ
Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ
回顾总结
（1） 在三角函数与向量结合考察时，记得常考向量运算公式，如向量数列积 a ·b =|a |·|b |cos θ=2121y y x x +
(2) 向量平行(共线)的充要条件
22向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥⇔⋅=⇔+=- 12120x x y y ⇔+=
04
<<
π
θ022
<<
π
θ2cos20>θ()()f a b f c d ⋅>⋅。