二次型的矩阵表示[达标训练题]
《线性代数》第5章习题解答(r)new2_1
习题五（P213－215）1．写出下列二次型的矩阵：.)(),,,().4(;),,,().3(;),,,().2(;8223),,().1(211221111122142314321222∑∑∑∑==-=+=-=+=-=++-+-=ni i n i in n i i ini in x xn x x x f x xxx x x f x x x x x x x x f yz xz xy z y x z y x f解:（1）12123111442-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（2）12121212000000000000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（3）1211221122111211111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦； （4） 111111111n n n ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦。
2.若二次型123(,,)T f x x x X AX =对任意向量123(,,)T x x x 恒有0),,(321=x x x f ,试证明:A 是零矩阵.解:取(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)T T TX X X ===等三个向量代入0,TX AX =则二次型的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A 的所有元素),3,2,1,3,2,1(0===j i a ij 从而有A =0. 3.设B A ,是ｎ阶实对称矩阵，且对任意的ｎ维向量x 有BX X AX X ''=成立，试证明：.B A = 证：设,21][,][,)',,,(n n ij n n ij n b B a A x x x X ⨯⨯=== 则AX X '中的j i x x 的系数BX X a a a ij ji ij ',2=+中j i x x 的系数为,2ij ji ij b b b =+比较j i x x 的系数知),,,2,1,(n j i b a ij ij ==所以.B A = 4．试证明：不可能有实数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a C 使1010,0101TC C ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦即⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001与⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001是不合同的. 证:用反证法.若,10011001'⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a d c b a 则推得,122-=+d b 这是不可能的.所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001与⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001是不.5. 设D C B A ,,,均为ｎ阶对称矩阵,且B A ,是合同的,D C ,是合同的,试证明:⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00与⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C00也是合同的.证: 设,','D CQ Q B AP P ==则.00000000'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡D BQ P C A Q P 所以矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡B A 00与矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C00是合同的. 6. 用正交变换法,把下列二次型化为标准形:.32414321242322213231212322212222).2(;4844).1(x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f --+++++=---++=解:(1).正交变换矩阵为,032622231322326222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=Q 标准形为;455232221y y y f -+= (2) 正交变换矩阵为,0000212121212121212121212121⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=Q 标准形为.324232221y y y y f +-+=7. 用配方法,把下列二次型化为标准形:2212121323121323(1).3226;(2).422.f x x x x x x x x f x x x x x x =--+-=-++解:(1).由已知2322321)2()(x x x x x f +-+-=，令,2333223211⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=x y x x y x x x y 则,33321221232322111⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=y x y y x y y y x 可逆线性变换矩阵为,1000121212321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C 所以标准形为;2221y y f -=(2).先令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=,33212211yx y y x y y x 则,4)(4232223211y y y y f ++--=再令⎪⎩⎪⎨⎧==-=,33223111yz y z y y z 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=,33321212321211z x z z z x z z z x 可逆线性变换矩阵为,10011112121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C 所以标准形为.44232221z z z f ++-= 8. 用初等变换法, 把下列二次型化为标准形:.22).2(;6422).1(3221232132********x x x x x x f x x x x x x x x f ++-=+-+-=解：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100101100030001100010001032321211).1(531313E A ，令,10010113531Y X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-= 则;3233132221y y y f +-= (2).令,110110111Y X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--= 则.2221y y f -= 9．已知二次型),0(233232232221>+++=a x ax x x x f 通过正交替换QY X =化为标准形,52232221y y y f ++=求参数a 及正交矩阵Q .解: 给定二次型及其标准形的矩阵分别为：,521,3030002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B a a A 由,4,10218,22==-=a a B A 得2=a （去舍2-=a ），与特征值 5,2,1321=λ=λ=λ 对应的特征向量分别为,)'1,1,0(,)'0,0,1(,)'1,1,0(321=α=α-=α 因特征向量321,,ααα是相互正交的，将它们单位化后得所求的正交巨阵.0001022222222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=Q10．求二次型11222121121(,,,)22n n n ini i i i f x x x x xx x x --+===+++∑∑ 的标准形，并指出该二次型的秩和正惯性指数。
线性代数第六章二次型试题及答案
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )= a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + …+a nn x n 2=212nii iij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]Tx x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AX X f T=，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn nn y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n … … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T=，从而BY Y f T=。
第5章 二次型(解答题)(63题)
1.设二次型()12,,,n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵110111111011A -⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式.解：()222121212231,,,222.n n n n f x x x x x x x x x x x x -=+++----2设二次型()212111,,,nnn ii n i i i f x x x axb x x -+===+∑∑ ,写出二次型f 的矩阵.解：设二次型f 的矩阵为A ,当2n m =时,ab a b A b a b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；当21n m =+时,.a b a b A a b b a b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.证明实二次型211mn ij j i j f a x ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑的秩等于矩阵()ij m nA a ⨯=的秩.证：令()()()121211,2,,,,,,,,,ni ijjmnj y a x i m Y y y X x x x =''====∑则Y AX =,而21.mii f yY Y X A AX ='''===∑因此,二次型f 的矩阵是A A ',而秩()A A '=秩()A ,所以f 的秩等于秩.A4．设A,B 是两个复n 阶对称矩阵,则A 与B 合同⇔秩A=秩B证：必要性：因为A 与B 合同,即存在可逆矩阵P 使得设A =秩A P BP '=,故秩A =秩B充分性：设秩A =秩B r =,则A 合同于000r E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 合同于000rE ⎛⎫⎪⎝⎭,由合同的对称型与传递性知A 合同与B .5.将二次型()2121213233,,,4223n f x x x x x x x x x x =--+ 化为标准型,并写出相应的非退化线性替换.答：初等变换法,对矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭的列,行做同步初等换变换（即设1T 为初等矩阵,则用11T 与1T 左,右乘A ）,将A 化为对角矩阵,即30002110020131130081000010100150011123⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,于是,非退化线性替换1122330010151123x y x y x y ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭将二次型化为标准型2221231383f y y y =-+.6.用非退化线性替换化下列二次型为标准型（并写出相应的非退化线性替换）；1）21n i i x d -∑+1ni j i j nx x ≤≤≤∑；2）_1ni i j n x x ≤≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭∑,其中,()_121n x x x x n =+++解：1）设原式为f,经过展开配方整理得()22222212123311143212nn i in n n i i n n f x x x x x x x n n n -==⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ . 令2112222311131nii n i i n n nn n y x x y x x y x x n y x ===--⎧=+⎪⎪⎪⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=⎩∑∑ , 则非退化线性替换,112312231111111231111311n n n nn n n n n x y y y y y n nx y y y yn n x y y nx y ----⎧=-----⎪-⎪⎪=----⎪-⎪⎨⎪⎪=-⎪⎪=⎪⎩, 将二次型f 化为标准型()2222121314212n n n n f y y y y n n-+=++++- 2）令112211n n n n y x xy x x y x x y x --=--=-=⎧=-⎪⎪-⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎪⎩, 则11221232111222nii n ii n n i n n i n n x y y x y y yx y y y x y ===--=-==⎧=+⎪⎪⎪⎪++⎪⎨⎪⎪⎪++⎪⎪⎩∑∑∑ , 注意到1nii yx -==∑,故原式22111122211111112n n n n n i n i i i i i j i i i i i i j n f y y y y y y y y ----=====≤≤≤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑,由1）知,线性替换112312231111112311131n n n n n n y z z z z n y z z zn y z y z ----⎧=----⎪-⎪⎪=---⎪-⎨⎪⎪=⎪⎪=⎩, 将二次型f 化为标准型()2221213221n n f z z z n -=+++- , 由1,2）可得所用非退化线性替换为11223311200013100121410123111123100001n n n n x z x z x z x z n x z n --⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭7.已知二次型()2221232323320f x x x ax x a =+++>通过正交替换化为标准形22212325f y y y =++,求出参数a 和相应的正交矩阵.解：二次型矩阵为2000303A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因()()222690E A a λλλλ-=--+-=.已知A 的特征值1231,2,5λλλ===.将11λ=代入上式,解得24a =.又0a >,故2a =.分别求出属于特征值1231,2,5λλλ===的特征值()()()1230,1,1,1,0,0,0,1,1ααα'''=-==.123,,ααα两两正交,在单位化得正交矩阵01000Q ⎛⎫⎪ ⎪ =⎝8.设()1234121314232434,,,f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++,分别在实数和复数域上将它化为规范性,并写出相应的非退化线性替换.解：11223344111122111122100120001x y x y x y x y ⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭, 则二次型化为标准型222212341344f y y y y =--- 1）在实数域上,令11223344,2,,3y z y z y z y z ====,则二次型的规范形为22221234f z z z z =---非退化线性替换为1X C Z =,其中111111311100022020011111110010221001001300020001000C ⎛⎫--- ⎪⎛⎫---⎪⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪ - ⎪ ⎪ - ⎪⎪⎝⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭.2）在复数域上,令11223344,2,,3y z y iz y iz y ====, 则二次型的规范形为22221234f z z z z =+++.非退化线性替换为1X C Z =,其中211003000i i i i C i i ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭.9.设000a b A a c b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,试求可逆矩阵T,使得T AT '为对角矩阵.解：设以A 为矩阵的二次型是()123121323,,222f x x x T XT ax x bx x cx x '==++当0a b c ===时,A=0,T=E 即为所求. 当,,a b c 不全为0时,不妨设0a ≠,令112233110110,001x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 则()()2222212132313133222222222.22b c b c cb f ay ay a b y y b c y y a y y a y y y a a a ++⎛⎫⎛⎫=++++-=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令112233102012001b c a y z b c y z a y z +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 则二次型化为标准型222123222bc f az az z a=--.可逆矩阵 1011211011001112001001001b c c a a b c b T a a +⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得22,2,bc T AT diag a a a ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭.10.秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和 证：因为对称矩阵A 的秩为r,于是存在可逆矩阵C,使11200rr d d C AC D D D ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪'==+++⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,这里,()1,2,,i D i r = 表示主对角线上第i 个元素为i d ,其余元素为零的对角矩阵.由此,得()()()11111112r A c D C c D C c D C ------'''=+++ .显然,()11ic DC --'的秩为1,且为对称矩阵,故A 可表成r 个秩为1的对称矩阵之和.11.确定实二次型222212212n n f y y y y -=-++- 的秩和符号差.解：做非退化线性替换112212212122212n n n n n nx y y x y yx y y x y y ---=+⎧⎪=-⎪⎪⎨⎪=+⎪=-⎪⎩ , 则二次型(),,f x y z ayz bxz cxy =++,故其秩为2n,符号差为零.12.设11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭是一对称矩阵,且110A ≠,则存在0EX T E ⎛⎫= ⎪⎝⎭使得,1100*A T AT ⎛⎫'=⎪⎝⎭,其中*表示阶数与22A 相同的矩阵. 证：取111120EA A T E -⎛⎫-=⎪⎝⎭, 则()11220111,.1011B C f x B B λλ-⎛⎫⎛⎫===+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.13.证明12n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 与12n i ii λλλ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭合同,其中,12,,,n i i i 是1,2, ,n 的一个排列.设两个矩阵分别为A,B 其相应的的二次型分别为2221122,A n n f x x x λλλ=+++ 1222212,n B i i i n f y y y λλλ=+++ 做非退化线性替换,1,2,t t i y x t n == 则B f 化成A f .因此,A,B 合同.14.设B C A C B ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中0111,.1011B C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()f x 是实系数多项式,证明：在实数域上存在实数12,λλ和4阶方阵12,,B B 使得1）()1122f x B B λλ=+；2）12210B B B B ==；3）221122,.B B B B ==证：()()()313E A λλλ-=-+,而A 为实对称阵,故存在正交矩阵T ,()1,1,1,3T AT diag '==-,那么()()()()()()()()()()1,1,1,311,1,1,030,0,0,1T f A T diag f f f f f diag f diag '=-=+-令()()()()12121,1,1,0,0,0,0,1.1,3.B Tdiag T B Tdiag T f f λλ''====-则,()1122,f A B B λλ=+12210B B B B ==；3）100A BD CP MP D -⎛⎫-'=⎪⎝⎭.15.设A,B,C,D 为n 阶对称矩阵,A 合同于B,C 合同于D.试问下列结论是否正确？为什么？1）（A+B ）=(C+D);2)00A C ⎛⎫⎪⎝⎭合同于00B D ⎛⎫⎪⎝⎭. 解：1）不正确. 例如,在复数域上,取10101001,,,,01010110A B C D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则A 与B 合同,C 与D 合同,但是A+B 与B+D 不合同.2 ）正确.因1122,,B Q AQ D Q CQ ''==取可逆矩阵121,1Q Q -⎛⎫ ⎪-⎝⎭则11220000.0000Q Q B A Q Q D C '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭16.设分块矩阵M=A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭是对称矩阵,其中,D 为非奇异矩阵,则矩阵M 合同与矩阵10.0A BD C N D -⎛⎫-=⎪⎝⎭证：由M M '=知,,,.A A B C D D '''===令矩阵10Ep D C E -⎛⎫=⎪⎝⎭,则100A BD CP MP D -⎛⎫-'=⎪⎝⎭,即矩阵M 与N 合同.17.n 阶矩阵是反对称矩阵的充分必要条件是：对任意n 维列向量X ,都有0X AX '=.证明：充分性：若对任意X 有0X AX '=,设(),iji n nA a e ⨯=表示第i 个分量为1其余分量为零的n 维列向量,,i j X e e =+则()()0i jije e A e e '++=,即0.iijj ij ji aa a a +++=当i=j 时,得0ii jj a a ==；当i j ≠时,得ij ji a a =-,故得A 是反对称矩阵.必要性：若,A A '=-则对任意X 有(),X AX X AX X A X X AX ''''''====-移项后,可得0X AX '=18.如果n 阶对称矩阵A 对任意n 维列向量X 都有0,X AX '=那么A=0..证：因为A A '=,对任意n 维列向量X 都有0X AX '=,由第761条知,A A '=-,即20A =,故0A =.19.n 阶实矩阵A 是对称矩阵的充分条件是2A A A '=.证：必要性：显然.下面证明充分性：设(),ijn nA a ⨯=由于2AA A '=,故有2,trAA trA '=即21111n nn nijij ji i j i j aa a =====∑∑∑∑整理得()20ij ji i ja a ≠-=∑因A 是实矩阵,故()()ij ji a a i j =≠即12,,,,n λλλ .20.设A,B 为n 阶实对称矩阵,λ是AB 的一个非实特征值,X 是AB 对应于λ的一个特征向量,则. 0X BX '=证：在ABX X λ=的两边取共轭转置得X BA X λ''=,所以X BABX X BX λ''=.即X BX X BX λλ''=,()0X BX λλ'-=.因λ是非实数,即0λλ-≠,所以0X BX '=.21.设A 为一个n 阶实对称矩阵,且0A <,则必存在实n 维向量0X ≠,使0.XBX < 证：设222211,p p r f y y y y +=++--- 的n 个实特征值为12,,,,n λλλ 则由120n A λλλ=< 知A 至少有一个实特征值为负,不妨设10.λ<由第754条的注,存在0β≠,使得10A ββλ'=<.22.设()12,,,n f x x x X AX '= 是一实二次型,若有n 维实向量12,,X X 使11220,0,X AX X AX ''><则必存在n 维实向量00,X ≠使000.X AX '= 证：设秩A=r,则存在非退化线性替换X=CY ,将二次型化为规范形222211,p p r f y y y y +=++--- 由1,p r ≤<若取1211,0,1,r r y y y y -=====则0.f =取()001,0,,0,1,0,,0,0,Y X CY '==≠ 则000.f X AX '==23.设实二次型()2221122,1n n X AX y y y Y BY X X QY QY Y Y λλλ'''''=+++==== ,矩阵A 的特征值12,n λλλ≤≤≤ 则在条件222121n x x x +++= 下,二次型f 的最小值和最大值分别是1λ和2λ.证：存在正交矩阵Q 使()12,,,n Q AQ diag B λλλ'== .作正交替换X=QY,则2221122n n X AX y y y Y BY λλλ''=+++= ,而()1,n Y Y Y BY X AX Y Y X X QY QY Y Y λλ'''''''≤=≤==,故1n X X X AX X X λλ'''≤≤. （1）条件222121n x x x +++= 即1X X '=,因此1n X AX λλ'≤≤.易知上述不等式里X AX '可达到等号,即f 的最小值和最大值分别是1,.n λλ24.设A 是n 阶实对称矩阵,则存在一正实数c,使对任一实n 维向量X 都有X AX cX X ''≤ 证：由767条（1）式,令c={}12max ,,λλ则.X AX cX X ''≤25.设A,B 是n 阶对称矩阵,12,λλ是0A B λ-=的不同根,并且()()1212,,,,,,,n n X x x x Y y y y ''== 分别是()()120,0A B X A B Y λλ-=-=的解,则0,0.X AY X BY ''==证：因为()()()1111,X BY X BY Y BX Y BX Y AX Y AX X AY X BY λλλλ''''''''''=======而12λλ≠,故0,0X BY X AY ''==.26.一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式之积的充分必要条件是：它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.证：必要性：设()()()11110,,1,2,,n n n n i i f a x a x b x b x a b i n =++++≠= 均为实数.1）若两个一次式系数成比例,即()1,2,,,i i b ka i n == 不妨设0i a ≠,则非退化线性替换()111,1,2,,,n n i i y a x a x y x i n =++⎧⎨==⎩ 化二次型21f ky =,此时f 的秩为1. 2）若两个一次实系数式不成比例,不妨设1212,a a b b ≠则连续进行下列非退化线性替换()111211,,3,,,n n n n i i y a x a x y b x b x y x i n =++⎧⎪=++⎨⎪==⎩ 及()1121,,3,,,n n ii y z z y z z y z i n =+⎧⎪=-⎨⎪==⎩ 化为二次型221212,f y y z z ==-此时f 的秩为2且符号差为0.充分性：1）若f 的秩等于1,则存在非退化线性替换X=CY 化为二次型为()()()()221212121,11,1n n n n f y y y y y y a x a x a x a x =-=-+=++++ .2）若f 的秩等于2,符号差为0,则存在非退化线性替换X=CY 化为二次型为12,,,,n x x x27.设.s p ≤其中()1,2,,i L i p q =+是12,,,n x x x 的一次齐次式,则()12,,,n f x x x 的正惯性指数,p ≤负惯性指数.q ≤证：()11221,2,,,i i i in n L b x b x b x i p q =+++=+ 再设()12,,,n f x x x 的正惯性指数为s,秩为r,则存在非退化线性替换()()11221,2,,,1i i i in n y c x c x c x i n =+++= 使()2222212121222211,,,.n p p p qs s rf x x x L L L L L y y yy +++=+++---=++--- （2）先证.s p ≤用反证法.假设,s p >注意到线性方程组1111111,111,110,0,0,0,n n p pn n s s n n n nn n b x b x b x b x c x c x c x c x ++++=⎧⎪⎪⎪++=⎪⎨++=⎪⎪⎪++=⎪⎩ 的未知量的个数为n,方程个数为,p n s n +-<故次线性方程组存在非零解()12,,,,n a a a 将它代入（2）,得()22221211,,,0.n p p q s f a a a L L y y ++=---=++=22110p p q s L L y y ++======因此,对一组不全为零的数1122,,,,n n x a x a x a === 使得120n y y y ==== ,这与非退化线性替换（1）的条件相矛盾.类似地可证得f 的负惯性指数q ≤.28.任何一个n 阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：0,0r rE E ⎛⎫ ⎪⎝⎭若n=2r ；0000,01r r E E ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭若n=2r+1. 证：设A 为n 阶可逆复对称矩阵.由于两个复对称矩阵合同的充分必要条件是其秩相等,故当n=2r 时,秩(A)=秩0,0r r E n E ⎛⎫=⎪⎝⎭因而A 合同于0;0r r E E ⎛⎫⎪⎝⎭当n=2r+1时,秩(A)=秩0000,001r r E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因而A 合同于0000001r rE E ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.29.任何一个n 阶可逆实对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一：2000000r rn r E E E -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或20000.00r r n r E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 证：设A 为n 阶可逆实对称矩阵.当A 的符号差0,≥且-1的个数为r 时,A 合同于2;rrn r E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭当A 的符号差<0,且1的个数为r 时,A 合同于11n n ij i j i j A g x x A===∑∑令2rr r r E E P E E -⎛⎫=⎪-⎝⎭,则00rr r r E E P P E E ⎛⎫⎛⎫'= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.故存在可逆矩阵20,0n r PQ E -⎛⎫= ⎪⎝⎭使22,r rrrn r n r E E Q E Q E E E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪'-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22.r rrrn r n r E E Q E Q E E E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪'-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭30设A 是反对称矩阵,则A 合同于矩阵01100110.011000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭证：用归纳法,当1n =时, ()0A =,命题显然成立.当n=2时,设1212.0a A a ⎛⎫=⎪-⎝⎭若12a =0,命题成立；若120a ≠,A 的第一行,第一列均乘以112a -,得01,10⎛⎫ ⎪-⎝⎭故A 与0110⎛⎫ ⎪-⎝⎭合同.即当1n =或2时,命题都成立.假定n k ≤时命题成立,往证1n k =+时命题成立.设11,11,11,1,1.00k k k k k k k k a a A a a a a ++++⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭若最后一行,一列元素全为零,由归纳假定,命题成立；若最后一行,一列元素不全为零,则经过行,列同时对换,假定,10,k k a +≠于是,110,k k a +-≠去乘最后一行,一列,则A 化成11110110k ka b a b ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭由此将最后两行,两列的其他元素化为零,则A 合同于1,11,10.00000010010k k b b --⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭经过行,列同时对换,将右下角的0110⎛⎫⎪-⎝⎭移到左上角.再有归纳假定即知命题对1n k =+也真,归纳法完成.31.设n 阶是对称矩阵A 是满秩的,ij A 是()ij A a =中元素ij a 的代数余子式,则二次型11n nij i j i j A g x x A===∑∑和二次型f X AX '=有相同的正,负惯性指数.证：因为A 是满秩的,设AX Y =,则1X A Y -=.于是()()1212.2n n N n ++=+++=其中,()12,,,.n Y y y y '= 而1,A A A*-=因此11111,nnijiji j f Y A Y Y A Y A y y A A-*==''===∑∑即()()1212,,,,,,.nnf x x xg y y y = 由于非退还线性替换不改变二次型的秩和符号差,故f 和g 有相同的正负惯性指数.32.如果n 阶实对称矩阵按合同分类,即两个n 阶实对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同,问共有多少类？解：设A 为n 阶实对称矩阵,秩A=r,由742条知,A 仅与下列r+1个对角矩阵之一合同：1220,1,,.00000r r r r E E E E E --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而r 又可以取0,1, ,n 之一,故按合同分类,n 阶实对称矩阵的类数为()()()12121.2n n N n ++=++++=33.设a bi λ=+为n 阶实方阵A 的任一特征值,则11min max ,22i i a μμ≤≤其中,1,,n μμ 为A A '+的 全部特征值.证：存在正交矩阵T,使()()1,,n T A A T diag μμ''+= .设β是A 属于λ的特征向量,即,A βλβ=则()()2.A A a ββλλββββ''''+=+=令()12,,,,n Y T y y y β''== 则()1,,2,n Y diag Y aY Y μμ''=21111;n nni iii i i i i j nu y y xx x +==≤≤≤=+∑∑∑()()2211min max ,nni ii i i i y a y μμ==≤≤∑∑210.ni i y =≠∑所以min 2max .i i a μμ≤≤同乘以12即得欲证的不等式.34.设A,B,AB 都是n 阶实对称矩阵,λ是AB 的一个特征根,则存在A 的一个特征根s,和B 的一个特征根t,使得.st λ=证：由A,B 都相似于对角矩阵及(),AB AB B A BA '''==故存在可逆矩阵T,使()()()()()()()()111111111,,,,,,,,,n n n n T AT diag s s T BT diag t t TAB T T A T T B T diag s t s t -----====由于11,,n n s t s t 为AB 的全部特征值,从而即得结论.35.设A 为n 实对称矩阵,A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零.36.判定下列二次型是否正定：（1）211;nnii j i i j nxx x =≤≤≤+∑∑（2）2111;nni i i i i j nx x x +=≤≤≤+∑∑解1）记二次型的矩阵为()ij A a =其中1,;1,2ij i j a i j =⎧⎪=⎨≠⎪⎩设A 的k 阶顺序主子式为,k A 则()110,1,2,,.2kk B k k n ⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭由第780条A 为正定矩阵,从而二次型为正定的. 2）记二次型的矩阵为B,并设B 的k 阶顺序主子式为.k B 而110000211100022.10000121000012B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭()110,1,2,,.2kk B k k n ⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭因此由第780条知二次型是正定的.37.设0,0B A C ⎛⎫=⎪⎝⎭其中B,C 分别为k 阶和m 阶实对称矩阵,那么1）A 为实对称矩阵；2）B,C 都是正定矩阵⇒A 为正定矩阵；3）B,C 都是半正定矩阵⇒A 为半正定矩阵.证：1）显然.2）()1,,0,n X x x '∀=≠ 其中n=k+m,令()1,,,n X Y Y '''= 其中()()1121,,,,,,k k n Y x x Yx x +''== 则12,Y Y 不全为零,于是11220,X AX Y BY Y CY '''=+>即A 为正定矩阵.3）仿照2）可证.38.当a,b,c 取何值时,二次型223123132ax bx ax cx x +++是负定的？解：设二次型矩阵为A,则0000,00.00a c a c A b A b c a c a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由于-A 正定⇔A 负定,-A 正定的条件是()()()220,0,0,a a b b a c->-->-->即当0,0,a b a c <<>时,此二次型为负定.39.设12,,,n a a a 为n 个实数,当12,,,n a a a 满足什么条件时,二次型()()()()()22221112223111,,n n n n n n f x x x a x xa xx a x x a x--=++++++++ 是正定的？ 解：由于对任意1,,n x x 都有()1,,0n f x x ≥ ,故二次型()1,,n f x x 半正定.()11122231111122,,0100001000010n n n n n n n n f x x x a x x a x x a x x a x a x a x a x --=⇔+=+==+=+⇔⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）因此f 为正定⇔()1,,0n f x x = 仅有零解⇔方程组（1）仅有零解⇔系数行列式D ()112110.n n a a a +=+-≠ 故当()121.nn a a a ≠- 时,二次型f 正定.40.设A 为正定矩阵,则1）()()1,0,,mA kA k Am Z A -*>∈都是正定矩阵；2）()10,m m g x a x a x a =+++ 其中,又至少有一个为正,则()g A 正定.证：1）设A 的全部特征值为12,,,,n λλλ 则由A 正定知()01,2,,.i i n λ>= 因为1A -是实对称矩阵,它的全部特征值为12111,,,,nλλλ 也全为正,故1A -为正定.同样；kA 实对称,其特征值()12,,0m k k k k λλλ> 全为正,故kA 为正定.m A 实对称,其特征值12,,,,m m m n λλλ 全为正,故m A 正定.因为1,A A A *-=而0,A >由前数述可知m A 正定.2）()g A 的全部特征值为()()()()12,,,,0n g g g k λλλ> 由假设知,他们的全为正,故()g A 为正定.41.设A 是实对称矩阵,则存在实数0,0,αβ>>使得22212.n n n nn b b B b b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵.证：设A 的特征值为12,,,,n λλλ ,令(),g x x a =+则()g A E A α=+的特征值为12,,,.n a a a λλλ+++ 取max{},i αλ>则E A α+的特征值全为正,E A α+正定.取1,βα=则0β>,()1.E A E A βαα+=+由10,E A αα>+正定知E A β+也正定.42.主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵.1)设A 是一对称矩阵,T 为特殊上三角矩阵,而,B T AT '=则A 与A 对应的顺序主子式有相同的值；2）如果对称矩阵A 的顺序主子式全不为零,那么一定有一特殊上三角矩阵T 使T AT '成对角形；3）利用以上结果证明：如果实对称矩阵A 的各阶顺序主子式全大于零,则A 是正定矩阵.证：1）设,k k A B 分别为A 和B 的k 阶顺序主子矩阵,下证,1,2,,.k k A B k n == 令,0kn k T T T -*⎛⎫= ⎪⎝⎭其中,i T 为特殊上三角矩阵.0,0*****i i ik k k n k n k T T T T A T B T T --⎛⎫⎛⎫''**⎛⎫⎛⎫*== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则k k k B T A T '=,两边取行列式,并注意1,k T =得.k k B A =2)设n 阶对称矩阵(),ij A a =因为110,a ≠则对A 的第一行和第一列同时进行相应的第三种初等变换 A,可化为T '其中22212.n n n n n b b B b b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 由假设及1）的结论知11111222212200.0a a ab a a =≠从而220,b ≠把1n B -看成上面的A,1n B -又可化为2220.0n bB -⎛⎫ ⎪⎝⎭这继续样下去,可以讲A 化为对角矩阵.由于每进行一次行,列的第三种初等变换,相当于右乘特殊上三角矩阵T 而左乘T ',又特殊上三角矩阵之积仍为特殊上三角矩阵,因此即得2）.3）由2）的结论知,存在特殊上三角矩阵使()12,,,,n T AT diag λλλ'= 由1）知11121111221220,0,a a a a a λλλ⎛⎫=>=>⎪⎝⎭从而20.λ>这样继续下去证得一切0,1,2,,.i i n λ>= 考虑实二次型,X AX '令X TY =则()2211,n nX AX Y T AT Y y y λλ'''==++ 因此,当0X ≠时有0Y ≠,从而得知0,X AX '>即A 为正定矩阵.43若()11n nij ijijji i j a x x aa ===∑∑是正定二次型,则f 为负定二次型,其中()111121221,111,,,.0nn nn ij j i i j n nn n na a y a a y f y y A y y a a y y y ==-∑证：令(),ijn nA a ⨯=由第402条知()1,1,,,nn ij j i i j f y y A y y ==-∑ 其中ij A 是ij a 的代数余子式.上式说明二次型f 的相应的矩阵为().A *'-由A 正定知A *正定,这样()A A **'-=-负定.故f 为负定二次型.44.设A 为正定矩阵,则1）1,nn n A a P -≤这里1n P -是A 的n-1阶顺序主子式；2）()1122.nn A a a a ≤证：1）设1,n nnA X A X a -='其中()1112,1,,,,.n n n n n n P A X a a a ---'== 于是111,00n n n nnnnA X A X A X A X a a X ---==+''由第791条知1c o c os 1c o s .c o sc o s 1A B A A C B C --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭由A 正定知1n A -正定,从而11n A --正定,1110.n n A X A X ---'>所以1.nn n A a P -≤2）反复利用1）,则2）显然成立45.设()ij T t =是n 阶实可逆矩阵,则()()22211.nij i ni i T t T t t ==≤++∏ 证：因T是n阶实可逆矩阵,所以T T '是正定矩阵,于是21122121*,*n k k nk k nkn k t t T T t ===⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪'=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑由第792条知()22211.n i ni i T T T t t ='=≤++∏ 46.设A,B,C 为三角形的内三角,则对任意实数x,y,z 有2222cos 2cos 2cos .x y z xy A xz B zy C ++≥++证：考虑二次型()222,,2cos 2cos 2cos .f x y z x y z xy A xz B yz C =++---其矩阵为1cos cos cos 1cos .cos cos 1A B A AC B C --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭由于A 的全部一阶主子式都等于一,二阶主子式都有形式21c o s ,α-因而221cos sin 0,αα-=≥唯一的三阶主子式22212cos cos cos cos cos cos ,A A B C A B C =----故二次型半正定,所以,对任意实数x,y,z 有(),,0.f x y z ≥故2222cos 2cos 2cos .x y z xy A xz B zy C ++≥++47.t 为何值时,二次型()222123123121323,,5222f x x x tx tx x tx x x x x x =+-+--是半负定的.解：设f 所对应的矩阵为A,则11.115t t A tt --⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎝⎭f 为半负定二次型A ⇔-为半正定矩阵A ⇔-的一切主子式都非负01.5105t t t -≥⎧⇔⇔≤-⎨--≥⎩48.2211nn ii i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑是半正定二次型.证：1）()2221110.nn i i i j i i i j nn x x x x ==≤≤≤⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭∑∑∑49.设A,B 都是n n ⨯实对称B,则A-B 与B-A 均为半正定矩阵.A B ⇔= 证：充分性 显然必要性,令C=A-B.设C 的n 个特征值为1,,,n λλ 那么A-B=B-A 的n 个值为1,,.n λλ-- 由于C 半正定得0,1,2,,i i n λ≥= 再由-C 半正定得0,1,2,,i i n λ-≥= 故0,1,2,,.i i n λ== 则存在正交矩阵T 使得()11,,0.n T CT diag λλ-== 所以C=A-B=0,即A=B.50.设A,B 和A-B 都是半正定矩阵,则.A B ≥ 1）当0,B =结论显然成立.2)当0,B >时,则B 为正定矩阵,由正定矩阵的充分必要条件易得存在正定矩阵G,使得2B G =.由A-B 是半正定知()11G A B G ---半正定矩阵.令 ()1111.C GA B G G AG E ----=-=-（1）由于11G AG--是实对称矩阵,因此存在正交矩阵T,使()()111,,,n T G AG T diag λλ--'= （2）其中,1,,n λλ 为11G AG --的全部特征值.由（1）,(2)得1111n T CT λλ--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（3）因为C 是半正定矩阵,由（3）得10,i λ-≥即1,1,2,,.i i n λ≥= （2）式两边取行列式得111 1.n G A G λλ--=≥ 两边乘以B ,并注意2,B G=得.A B ≥51.设半正定矩阵11122122,A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭其中1122,A A 为方阵,则1122.A A A ≤ 证：由于A 是半正定的,所以1122,A A 也是半正定的.1）若0.A =则结论显然成立.2）若0,A ≠由A 半正定知A 为正定矩阵,从而11A 为正定矩阵.令11112,0EA A T E -⎛⎫-=⎪⎝⎭则111222211120.0A T AT A A A A -⎛⎫'=⎪-⎝⎭(1)两边取行列式得11122221112A A A A A A -=∙-（2）由T AT '半正定知122221112A A A A --半正定,若()()112222221112221112A A A A A A A A ----=,则由798条知12222221112,A A A A A -≥-将它代入（2）式即得结论.52.()hadamard 设()ij A a =为n 阶实方阵,则2211n nij j i A a ==≤∑∏证：令,B A A '=则B 为半正定矩阵,在21122121*,*n k k nkk nnk k a aB a ===⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑的两边取行列式,再由799条得2211.n nij j i A B a ===≤∑∏53.设实对称矩阵A 的特征值全部大于a,实对称矩阵B 的特征值全部大于b,则A+B 的特征值全部大于a+b.证：设A 的特征值为1,,,n λλ 则A-aE 的特征值为1,,,n a a λλ-- 由假设知A-aE 的特征值全为正,故A-aE 正定.同理可证B-bE 也是正定.由于（A+B ）-(a+b)E=（A-aE ）+(B-bE),故知（A+B ）-(a+b)E 正定,则（A+B ）-(a+b)E 的特征值为λ-（a+b ）.从而λ>a+b,即A+B 的特征值全部大于a+b.54.()Schur 设n 阶矩阵()(),ij ij A a B b ==均为正定矩阵,(),ij C c =其中,ij ij ij c a b =则C 为正定矩阵.证：由B 为正定矩阵知,存在可逆矩阵P 使得.B P P '=令(),ij P p =则1.nij kikj k b pp ==∑由于是对任意()1,,0,n X x x '=≠有11111n n n nn ij ij i j ij ki kj i j i j i j k X CX a b x x a p p x x =====⎛⎫'== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑ ()()()111111111,,,k nnnnnij ki i kj j k kn n k k i j k k k kn n p x a p x p x p x p x A Y AX p x =====⎛⎫ ⎪'=== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑ 其中()11,,.k k kn n Y p x p x '= 由0X ≠及P 可逆易知0.s Y ≠由A 正定知0,s s Y AY '>从而0,X CX '>故知C 是正定矩阵.55.设A,B,是正定矩阵,AB 是正定矩阵的充分必要条件AB=BA.证：必要性,显然,下证充分条件.由于A,B 均相似于对角矩阵,且AB=BA,从而存在可逆矩阵T,使()()1111,,,,,.n n T AT diag T BT diag λλμμ--== 由A,B 为正定矩阵知0,0,1,2,,.i i i n λμ>>= 但()()111,,,n n T AB T diag λμλμ-= 所以AB 的特征值11,,n n λμλμ 都大于零,故AB 正定.56.设A 是n 阶正定矩阵,B 是n 阶实对称矩阵,则必存在n 阶可逆矩阵T,使得1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= 其中1,,n μμ 是0A B λ-=的n 个实根.证：因为A 合同于E,故存在可逆矩阵P 使得1,P AP E -=由于B 是实对称矩阵,则1P BP -也是实对称矩阵.从而存在正交矩阵Q 使得()()111,,,n QPBP Q diag μμ--= 其中1,,n μμ 为1P BP -的实特征值.令T=PQ,则1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= ()()11,,.n TA B T diag λλμλμ--=--两边取行列式有()()21,n T A B λλμλμ-=-- 故1,,n μμ 为0A B λ-=的全部实根.57.设A 是n 阶正定矩阵,AB 是n 阶实对称矩阵,则AB 是正定矩阵等价于B 的特征值全大于零.证：必要性：由第805条得知1T AT E -=,()()1,,.n T AB T diag μμ'= 由于合同不改变正定性,故0,1,2,,i i n μ>= .所以()1111T AB T T ATT BT T BT ----==可知B 的特征值全大于零.充分性：有必要性证明知（1）式的1,,n μμ 是B 的特征值,而0,1,2,,i i n μ>= ,所以()1TAB T -正定,因而可知AB 也正定.58.设A 是n 阶是矩阵,C 是n 阶正定矩阵,若存在正定矩阵B 使得 ,AB BA C '+=-则A 的全部特征值全小于零.证：由假设及第805条可知存在可逆矩阵使得,T BT E '=()1,,,n T CT diag c c '= 其中1,,n c c 都大于零.用T '左乘,T右乘,A B B A C '+=-两边得()()11,T A T T BT T BT TAT T CT --'''''''==-()()()()111,,.nT A T T A T diag c c --'''''+=-- 任取A 的一个特征值ia b λλ=+,则知11max min 0.22i i c a c -≤≤-<59.设2111,nnii n i i i f a xb x x -+===+∑∑其中a,b 为实数,问a ,b 满足什么条件时,二次型f 正定的.解：设对应的矩阵为A,k ∆为A 的k 级顺序主子式（k=1,2,...,n ）,由735条知：1）当n=2m时,有()22,1,2,,;,1,2,,.k k km k m k a k m a a b k m -+⎡⎢⎢∆==∆=-=⎣故当a >0,220a b ->时,f 为正定二次型.2）当n=2m+1时,有()()()221,1,2,,;;,1,2,,.kk m m km k m k a k m a b a a b a a b k m -++∆==∆=+∆=⎡⎢⎢⎢⎢⎣+-= , 故当a >0,0,0a b a b ->+>时f 为正定二次型.60.设,A A '=则A 可逆等价于存在矩阵B 使得AB B A '+正定.证：必要性：令1B A -=即可.充分性：由于AB B A '+正定,故对任意n 维列向量00,X ≠有()()()()0000000002.X AB B A X AX BX BX AX AX BX '''''<+=+=由此知,00,A X ≠这就是说0A X =只有零解,故A 可逆.61设A 为n 阶半正定矩阵,则1）当B 是n 阶正定矩阵时,,A B B +≥当且仅当A=0时等号成立；2）当0A ≠时1A E +>.证：1）由第805条,存在可逆矩阵T 使得1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= （1）()()111,,1.n T A B T diag λμμ-+=++ （2）由A 半正定知0,1,2,,.i i n μ>= 于是在（1）,（2）两式两边取行列式可得()()()11110,1,2,,.0.n i i n A μμμ++=⇔==⇔= (3)消去2T即得.A B B +≥由于（3）式成立等号的条件是()()()11110,1,2,,.0.n i i n A μμμ++=⇔==⇔=2)在1）中令B=E 即可.62.设A 是n 阶正定矩阵,B 为n 阶非零半正定矩阵,证明：.A B A B +>+证：由805条知存在可逆矩阵T,使得1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= 其中0,1,2,,.i i n μ≥= 并至少有一个0k μ>不然B 就等于零.于是()0.0,0.A B X A B X X A X X ''+>+=>∀≠两边消去2T ,即得所要证明.63 设A 是n 阶正定矩阵,B 是非零实反对称矩阵,则0.A B +>证：由B 是反对称矩阵及由第761条知0,X BX '=故由假设A 为正定矩阵得()00100,0.X A B X X AX X ''+=>∀≠(1)若0.A B +=则()0A B X +=由非零解0X .于是()000X A B X '+=,这与（1）式矛盾.（2）若0A B +<,则由第765条知存在10X ≠,使得()110X A B X '+<,这也与（1）式矛盾.故原命题成立.。
线性代数第 六章二次型试题及答案
特征值相同的实对称矩阵A和B一定相似，因为实对称矩阵 都能相 似对角化，特征值相同的实对称矩阵相似于同一个对角阵，根 据相似的传递性，A和B一定相似。
特征值相同的普通矩阵A和B可能相似，也可能不相似。 若A和B都能相似对角化，一定相似。 若一个能对角化，一个不能对角化，一定不相似。 若都不能对角化，可能相似，也可能相似。 例题：已知矩阵A和B，判断能否相似，
Abj=0, j=1,2,…,s b1,b2,…,bs均为Ax=0的解(r(A)+r(B)≤n) 若bj≠0且A为n阶方阵时，bj为对应特征值λj=0的特征向量 A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关。
AB=CA(b1, b2,…, br)=(C1, C2,…, Cr)
Abj=Cj,j=1,2,…,r bj为Ax=Cj的解. C1, C2,…, Cr可由A的列向量组α1, α2,…, αs线性表示.
因为（2，1，2）T是A的特征向量，所以，
，
二、化二次型为标准型
1.用配方法将下列二次型化为标准形，并判断正、负惯性指数的个数， 然后写出其规范形。
（1）Leabharlann 解：先集中含有x1的项，凑成一个完全平方，再集中含有x2的项，凑 成完全平方
=
设，， 标准型：，正惯性指数：，负惯性指数： 规范性：
(2) f(x1,x2,x3)= x12+2x22+2x1x2-2x1x3+2x2x3. 解：f(x1,x2,x3)= （x12+2x1x2-2x1x3）+2x22+2x2x3= 设 ，，标准型： 正惯性指数：，负惯性指数：，规范性： (3) f(x1,x2,x3)= -2x1x2+2x1x3+2x2x3. 解：像这种不含平方项的二次型，应先做线性变换： ，，， 设： ， 标准型：，规范性： 2.设二次型f(x1,x2,x3)=X TAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3,(b>0)，其中A的特征 值之和 为1, 特征值之积为-12.(1) 求a,b.(2) 用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准型。 解：二次型的矩阵：，因为， （2）
线性代数第六章二次型试题及答案
第六章 二次型一、基本概念n 个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数,一般形式为f(x 1,x 2,…,x n )=a 11x 12+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+…+2a 1n x 1x n + a 22x 22+2a 23x 1x 3+…+2a 1n x 1x n +…+a nn x n 2=212nii i ij i j i i ja x a x x =≠+∑∑.它可以用矩阵乘积的形式写出:构造对称矩阵A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i nj j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 21212222111211211121),,(),,( 记[]T x x x X ,,21=，则f(x 1,x 2,…,x n )= X TAX称对称阵A 为二次型f 的矩阵, 称对称阵A 的秩为二次型f 的秩.注意:一个二次型f 的矩阵A 必须是对称矩阵且满足AXX f T =，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f 和它的矩阵A （A 为对称阵）是一一对应的，因此，也把二次型f 称为对称阵A 的二次型。
实二次型 如果二次型的系数都是实数,并且变量x 1,x 2,…,x n 的变化范围也限定为实数,则称为实二次型.大纲的要求限于实二次型.标准二次型 只含平方项的二次型，即形如2222211n n x d x d x d f +++=称为二次型的标准型。
规范二次型 形如221221q p p p x x x x ++--+ 的二次型，即平方项的系数只1，-1，0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x 1,x 2,…,x n )引进新的变量y 1,y 2,…,y n ,并且把x 1,x 2,…,x n 表示为它们的齐一次线性函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111 代入f(x 1,x 2,…,x n )得到y 1,y 2,…,y n 的二次型g(y 1,y 2,…,y n ). 把上述过程称为对二次型f(x 1,x 2,…,x n )作了线性变量替换,如果其中的系数矩阵c 11 c 12 … c 1n C = c 21 c 22 … c 2n… … …c n1 c n2 … c nn 是可逆矩阵,则称为可逆线性变量替换.下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出:CY X =Y AC C Y CY A CY AX X f T T T T )()()(===记AC C B T =，则B B T =，从而BY Y f T =。
线性代数二次型习题及答案
第六章 二次型1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T2222=B C A C .令 12⎛⎫=⎪⎝⎭C C C ，则C 可逆，于是有 TT 1111111T2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同.2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T =A A .因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T=B C AC ，于是T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B即B 为对称矩阵.3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使E AM M =T记T1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使T 11diag(,,)n D μμ==Q B QT 11,,.n μμ=B M BM 其中为的特征值令P=MQ ，则有D BP PE AP P ==T T ,,A B 同时合同对角阵.4．设二次型2111()mi in n i f ax a x ==++∑，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .证：方法一 将二次型f 写成如下形式：2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑设A i = 1(,,,,)i ij in a a a ),,1(m i =则 1111111jn i ij in i m mj mj m a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A于是 1T T T TT 11(,,,,)mi m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A A A A A A A A A故 2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑=1211[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑=1T11(,,)()mj n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A=X T(A TA )X因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．方法二 设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=. 记T 1(,,)m y y =Y ，于是=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X ，则222T T T 11()m i m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X .因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ． 5．设A 为实对称可逆阵，Tf x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规范形.证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=.因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即T T T T T1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y22211i i n n y y y λλλ=++++ （*）因为A 是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规范形.⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规范形，于是T T()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---T =Y DY其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D .显然D 是正交矩阵，由T =D Q AQ ，故T=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A是正交矩阵.6．设A 为实对称阵，||0<A ，则存在非零列向量ξ，使T0<ξAξ. 证：方法一因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D其中(1,,)i i n λ=是A 的特征值，由||0<A ，故至少存在一个特征值k λ，使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξP ，则有T T0(0,,1,,0)10⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξAξP AP 1(0,,1,0,0)kn λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0k λ=< 方法二（反证法）若∀≠X 0，都有T0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与||0<A 矛盾.7．设n 元实二次型AX X T =f ，证明f 在条件122221=+++n x x x 下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．解：设f n 是λλλ,,,21 的特征值，则存在正交变换=X PY ，使2222211T T T )(n n y y y f λλλ+++=== Y AP P Y AX X设k λ是n λλλ,,,21 中最大者，当122221T =+++=n x x x X X 时，有122221T T T T =+++===n y y y Y Y PY P Y X X因此k n k n n y y y y y y f λλλλλ≤+++≤+++=)( 222212222211这说明在22221n x x x +++ =1的条件下f 的最大值不超过k λ．设 TT 10)0.,0,1,0,,0(),,,,( ==n k y y y Y 则 10T0=Y Yk n n k k y y y y f λλλλλ=+++++=22222211令00PY X =，则1T 00T0==Y Y X X并且k f λ===0T T 00T00)()(Y AP P Y AX X X这说明f 在0X 达到k λ，即f 在122221=+++n x x x 条件下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．8．设A 正定，P 可逆，则TP AP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使T=A Q Q ， 于是 TTTT()==P AP P Q QP QP QP ，显然QP 为可逆矩阵，且T T T T ()()==P AP QP QP P AP ，即T P AP 是实对称阵，故T P AP 正定.9．设A 为实对称矩阵，则A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵B ，使AB +A B T正定．证：先证必要性取1-=B A ，因为A 为实对称矩阵，则2E A A E A B AB =+=+-T 1T )(当然A B AB T+是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．若A 不是可逆阵，则r （A ）<n ，于是存在00,≠=X AX 使00因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有0 )()()(0T T 00T 00T T 0=+=+AX B X BX AX X A B AB X这与AB T+AB B A 是正定矩阵矛盾．10．设A 为正定阵，则2*13-++A A A 仍为正定阵.证：因为A 是正定阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值全大于零，易见2*1,,-A A A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,-A A A 全是正定矩阵，2*13-++A A A 为实对称阵. 对∀≠X 0，有T 2*1T 2T *T 1(3)0--++=++>X A A A X X A X X A X X A X即 2*13-++A A A 的正定矩阵.11．设A 正定，B 为半正定，则+A B 正定.证：显然,A B 为实对称阵，故+A B 为实对称阵. 对∀≠X 0，T0>X AX ，T 0≥X BX ，因T ()0+>X A B X ，故+A B 为正定矩阵.12．设n 阶实对称阵,A B 的特征值全大于0，A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定.证：设,A B 的特征值分别为,(1,,)i i i n λμ=.由题设知0,0,1,,i i i n λμ>>=.因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)i n =P P P P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ=P AP即 ,i i i i λ=A P P P 为A 的特征向量，1,,i n =. 由已知条件i P 也是B 的特征向量，故1,,,i i ii i n μ==BP P因此 ()i i i i i i μλμ==ABP A P P ，这说明i i λμ是AB 的特征值，且0i i λμ>，1,,i n =.又因为 T 111diag(,,,,),i i n n λμλμλμ-==ABP P P P .故 11diag(,,,,)i i n n λμλμλμ=AB P P ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13．设n n ij a ⨯=)(A 为正定矩阵，n b b b ,,,21 为非零实数，记()ij i j n n a b b ⨯=B则方阵B 为正定矩阵．证：方法一 因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即ji ij a a =，所以i j ji j i ij b b a b b a =，这说明B 是对称矩阵，显然211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭B =1111110000n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任给的n 维向量1(,,)T 0n x x =≠X ，因n b b b ,,,21 为非零实数，所以),,(11n n x b x b T 0≠，又因为A 是正定矩阵，因此有1111110000T Tn n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X BX X X =),,(11n n x b x b 1111n n nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11n n b x b x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0> 即B 是正定矩阵．方法二 记211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B则因为A 是实对称矩阵，显然B 是实对称矩阵，B 的k 阶顺序主子阵k B 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100n b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭而得到，即=k B 1111110000k k k kk k a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 计算k B 的行列式，有012>=∏=k k A B ni i b故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则0>+B A .证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n 阶实矩阵M ，如果对任意非零列向量X ，均有0T >MX X可推出M 的特征值(或者其实部)大于零． 由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有0>M ．因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X ，均有,0)(T >+X B A X而A +B 显然是实矩阵，故0>+B A .15．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，则r (B TAB )=r (B )．证：考虑线性方程组T00==BX B ABX 与，显然线性方程组0=BXT 0=B ABX 的解一定是的解．考虑线性方程组T0=B ABX ，若0X 是线性方程组T 0=B ABX 的任一解，因此有0T 0=B ABX ．上式两端左乘有T0XT 00()()0=BX A BX因为A 是正定矩阵，因此必有00=BX ，故线性方程组0=BX 与 T0=B ABX 是同解方程组，所以必有r (B T AB )= r (B ).16．设A 为实对称阵，则存在实数k ，使||0k +>A E . 证：因为A 为实对称阵，则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i i λλλ-=P AP .其中i λ为A 的特征值，且为实数，1,,2i =. 于是11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()ni i k λ==+∏取1max{||1}i i nk λ≤≤=+，则1()0nii k λ=+>∏，故 ||0k +>A E . 17．设A 为n 阶正定阵，则对任意实数0k >，均有||nk k +>A E . 证：因为A 为正定矩阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值0,1,,i i n λ>=. 则存在正交矩阵P ，使1111,iin n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP A P P 于是对任意0k >，有11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()n i i k λ==+∏1ni k =>∏n k =.18．设A 为半正定阵，则对任意实数0k >，均有||0k +>A E . 证：因为A 为半正定矩阵，故A 为实对称矩阵，且A 的特征值0i λ≥，1,,i n =. 则存在正交矩阵P ，使11d i a g(,,,,)i n λλλ-=P AP ，11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P于是对任意0k >，有11||||d i a g (,,,,)||i n k k k k λλλ-+=+++A E P P1()ni i k λ==+∏n k ≥0>.19．A 为n 阶实矩阵，λ为正实数，记Tλ=+B E A A ，则B 正定. 证：TTTT()λλ=+=+=B E A A E A A B ，故B 是实对称矩阵. 对∀≠X 0，有(,)0,(,)0>≥X X AX AX ，因此有TTT()λ=+X BX X E A A X T T Tλ=+X X X A AX (,)(,)λ=+X X AX AX 0>故 Tλ=+B E A A 为正定矩阵.20．A 是m ⨯n 实矩阵，若A A T 是正定矩阵的充分必要条件为A 是列满秩矩阵． 证：先证必要性方法一设A A T 是正定矩阵，故00∀≠X ，有0)()()(0T 00T T0>=AX AX X A A X由此00≠AX ，即线性方程组0=AX 仅有零解，所以r (A )=n ，即A 是列满秩矩阵．方法二因为A A T 是正定矩阵，故r(A A T )=n ，由于n r r n ≤≤≤)()(T A A A所以r (A )=n ． 即A 是列满秩矩阵．再证充分性：因A 是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，0∀≠X ，X 为实向量，有0≠AX ．因此0),()()()(T T T >==AX AX AX AX X A A X显然A A T 是实对称矩阵，所以A A T是正定矩阵．21．设A 为n 阶实对称阵，且满足2640-+=A A E ，则A 为正定阵.证：设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的属于特征值λ的特征向量，故≠ξ0，则22,λλ==A ξξA ξξ由 2640-+=A A E 有 264-+=A ξAξξ02(64)λλ-+=ξ0由 ≠ξ0，故 2640λλ-+=.30λ=>.因为A 为实对称矩阵，故A 为正定阵.22．设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为T T 12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，求一正交变换=X PY ，将二次型Tf =X AX 化成标准形.解：设T3123(,,)x x x =ξ为A 的属于特征值3的特征向量，由于A 是实对称矩阵，故123,,ξξξ满足正交条件12312310000110x x x x x x ⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩ 解之可取3(0,1,1)=-ξ，将其单位化有T T T123(1,0,0),,===P P P令123100(,,)0⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪⎝P P P P.则在正交变换=X PY下，将f化成标准形为T T T222123()23f y y y===++X AX Y P AP Y23．设1222424aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭A二次型Tf=X AX经正交变换=X PY化成标准形239f y=，求所作的正交变换.解：由f的标准形为239f y=，故A的特征值为1230,9λλλ===.故2122||24(9)24aaλλλλλλ---=--=----E A令0λ=，则12224024aa----=---解之4a=-.由此122244244-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭A对于12λλ==有1221220244000244000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A可得A的两个正交的特征向量12222,112-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ对于39λ=，可得A 的特征向量为122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量单位化得1232211112,1,2333122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P则1232211(,,)2123122-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P P P P 为正交矩阵， 正交变换=X PY 为22112123122-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭X Y .注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P 不惟一.24．已知二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =++-++正定，求k .解：二次型的表示矩阵1120101kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A由A 正定，应有A 的各阶顺序主子式全大于0. 故 102||0k k A ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2220(2)0k k k k ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩. 解之 10k -<<.25．试问：三元方程2221231213231233332220x x x x x x x x x x x x +++++---=，在三维空间中代表何种几何曲面.解：记222123121323123333222f x x x x x x x x x x x x =+++++---则 111232233311(,,)131(1,1,1)113x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设 311131113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .则2||(2)(5)λλλ-=--E A . 故A 的特征值为1232,5λλλ===.对于122λλ==，求得特征向量为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ.由Schmidt 正交化得1212111,201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ββ.对于35λ=得特征向量3111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，标准化得123,,0⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P 令123(,,)0⎛ ==⎝P P P P 则在正交变换=X PY 下2221233225f y y y =++于是0f =为2221233225(20y y y ++-= 为椭球面.26．求出二次型222123123123(2)(2)(2)f x x x x x x x x x =-+++-+++-的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有2221231213234442f x x x x x x x x x =++--+2221231213234424x x x x x x x x x +++-+- 2221231213234244x x x x x x x x x ++++--222123121323666666x x x x x x x x x =++---2221231213236()x x x x x x x x x =++---2221232323113336[()]22442x x x x x x x =--++-22123231196()()222x x x x x =--+- 令 1123223331122y x x x y x x y x⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即 11223311122011001y x y x y x ⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则可逆变换为1122331112011001x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭在此可逆线性变换下f 的标准形为2212962f y y =+. 27．用初等变换和配方法分别将二次型（1）222112412142432442f x x x x x x x x x =--++-+ （2）2122313262f x x x x x x =-+化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换. 解：先用配方法求解（1）2221112142424(44)322f x x x x x x x x x =-+--++2221242424(22)66x x x x x x x =--+++-222124244(22)(3)3x x x x x x =--++--令 11242243344223y x x x y x x y x y x =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11242243344243x y y y x y y x y x y =++⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩令 1204010300100001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211243f y y y =-+-若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11223344y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 则原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221124f y y y =-+-.（2）先线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩原二次型化成22212132313232()6622f y y y y y y y y y y =--+++221213232248y y y y y y =--+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩. 令1110110001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，2101012001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭P则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P z 化成标准形2222123226f z z z =-+若再令112233w w w ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 即11223322z w z w z w ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令22⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P Qw 化成规范形2222123f w w w =-+.用初等变换法求解（1）设1202230100002102--⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪ ⎪-⎝⎭A41202100023010100()0000001021020001--⎛⎫⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121221021000010321000000001023020001r r c c +⨯+⨯--⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪⎪⎪--⎝⎭4141(2)(2)10001000010321000000001003062001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭42423310001000010021000000001000034301r r c c +⨯+⨯-⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭3310001000010021000000001000013033r c -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→- ⎝⎭令 T11000210000104301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，T21000210000100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=P则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211233f y y y =-+-. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221124f z z z =-+-.（2）设011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A3011100()103010130001⎛⎫⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A E 3232(1)(1)010100103010036011r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭ 313133010100100010006311r r c c +⨯+⨯⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1212210100100010006311r r c c ++⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭21211()21()2200110111000222006311r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭112233,,,10000100001r c r c r c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎝令 T111011022311⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭P ，T200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝P 则原二次型2f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22221231262f y y y =-+ 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2222123f z z z =-+28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）2221122332343f x x x x x =+++（2）222221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+解：先用配方法求解（1）222112233423()33f x x x x x =+++22212332523()33x x x x =+++ 令 112233323y x y x x y x =⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即 112233323x y x y y x y =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩令 1002013001⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P则二次型1f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形 22211235233f y y y =++ 若再令1122333z z z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即1122335y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 令35⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221123f z z z =++.（2）22222112142342334(22)22f x x x x x x x x x x x x =+-+++-+ 221243233424()222x x x x x x x x x x =+-+-++ 2222124324244()()(2)3x x x x x x x x x =+-+-+--+令 11242243234442y x x x y x x y x x x y x =+-⎧⎪=-⎪⎨=-++⎪⎪=⎩ 即11242243234442x y y y x y y x y y y x y =--⎧⎪=+⎪⎨=++⎪⎪=⎩令 110101020*******--⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型2f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形2222212343f y y y y =-++若再令11223344z y z yz y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即112233443y z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 原二次型2f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形222221234f z z z z =-++. 用初等变换法求解（1）设200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A3200100()032010023001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A E 32322()32()320010003001052000133r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪⎪−−−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112310000010000010155r c r c ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ - ⎝⎭令TT1200100010,0020130⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ - ⎪ ⎝⎭⎝P P 则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211235233f y y y =++. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221123f z z z =++.（2）设1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 41101100011100100()0111001010110001-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121(1)(1)10011000001111000111001011110001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭414110001000001111000111001001101001r r c c ++⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 323210001000001111000112111001201001r r c c ++⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭343410001000000111000032011101201001r r c c ++⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3232(2)(2)10001000000111000030211101001001r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭242410001000020101010030211101001001r r c c ++⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 42421()21()210001000020001010030211111100010222r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭223344100010000100000010333300010r cr cr c⎛⎫⎪→ ⎪-⎪-⎝令T1100001012111111022⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎪-⎪⎝⎭PT2100000⎛⎫⎪=⎝P则原二次型2f可经可逆线性变换1=x P y化成标准形2222212341232f y y y y=++-.2f可经可逆线性变换2=x P z化成规范形222221234f z z z z=++-用正交变换法求解（1）1f的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，由200||032(1)(2)(5)023λλλλλλλ--=--=-----E A，知A的特征值为1,2,5.对11λ=，解123100002200220xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，取111⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭T，单位化122⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，对22λ=，解123000001200210xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1231xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取21⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P，对35λ=解123300002200220xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取311⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭T，单位化得322⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭P，令0102222⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，则P为正交阵，经正交变换=X PY，原二次型f化为T22212325f y y y==++X AX.（2）2f的矩阵为1101111001111011-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪-⎝⎭A由11011110||01111011λλλλλ-----=----E A2(1)(3)(1)λλλ=+--知A的特征值为1,3,1,1-.对11λ=-，解12342101012100,0121010120xxxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取11111⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭T单位化得112121212⎛⎫⎪⎪⎪-⎪= ⎪⎪-⎪⎪⎪⎝⎭P，对23λ=，解12342101012100,0121010120xxxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.取 21111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得 212121212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P . 对341λλ==，解12340101010100,010*******x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12123410011001x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取 341001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T ， 再令340202,00⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭P P 令11022110221102211022⎛⎫- ⎪ --⎪= ⎪- ⎪ ⎝P ，则P 为正交阵，经正交变换=X PY ， 原二次型f 化为T 222212343f y y y y ==-+++X AX .29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）2221223121326422f x x x x x x x =---++解：二次型1f 的矩阵为211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭AA 的各阶顺序全子式2112120,110,1603801614---<=>-=-<--. 所以二次型1f 是负定二次型.（2）22222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：二次型2f 的矩阵为11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1110,2013->=>-，1121306029--=>，11211303240209613619---=>--- 所以二次型2f 是正定二次型.（3）222231234131423147644f x x x x x x x x x x =+++++-解：二次型3f 的矩阵为10320120321402007⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1010,1001>=>，103012103214-=>-，1320120330321402007-=-<-. 所以二次型3f 是不定二次型.30．求一可逆线性变换=X CY ，把二次型2221123121325424f x x x x x x x =++--化成规范形2221123f y y y =++，同时也把二次型22221231313233322242f x x x x x x x x x =++--- 化成标准形2222112233f k y k y k y =++.解：记T1f =X AX ，其中212150204--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A31213121121220021290115022040121001112010*********r r r r c c c c ++++⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭A E 323229292009002160091101292019001r r c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123343410001000156610363004r r r c c c ⨯⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭取566106004⎛⎫⎪⎪⎪⎪=⎪ ⎪3 ⎪⎪⎝⎭P ，则T =P AP E 记 T2f =X B X ，其中3012032122⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B则T150036601210032063361225133006644⎛⎫⎫⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P BP5066106113100234⎛⎫⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314413444142⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎭2311113442⎛⎫== ⎪⎭B 其中231132⎛⎫ = ⎪⎭B 显然12,B B 都是实对称矩阵，它们的特征值为14倍的关系，特征向量相同.231||13λλλ---=--EB 30(3)12(4)1(3)20(4)4λλλλλ---=----2(4)0λλ=-= 则2B 的特征值为230,4λλλ===，故1B 的特征值为0,1,1. 以下求2B 的特征向量.对于10λ=，求得11⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α，单位化后11212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪γ 对于234λλ==，求得2311,001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα由Schmidt 标准正交化后得23121,20⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭γγ令123112211(,,)220⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪Q γγγ. 则Q 为正交矩阵，且有T T T 10()11⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q B Q Q P BP Q令51162211103622304⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭CPQ 23130⎫⎪⎪=⎪⎪⎭于是 TTT==Q P APQ Q EQ E即 T=C AC ET 011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C BC在可逆线性变换=X CY 下2221123f y y y =++22223f y y =+.（注：经验算本题所得C 是正确的，需要注意的是C 并不惟一）31．求一可逆线性变换=X PY ，将二次型f 化成二次型g .2221231213232938410f x x x x x x x x x =+++--222123121323236448g y y y y y y y y y =++--+解：Tf =X A X ，242495253-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， T g =Y BY ，222234246--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 将,A B 分别作合同变换如下：21313221323122242200200495011010253011000100121121010010011001001001r r r r r r c c c c c c -++-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 在可逆线性变换1=X C Z 下22122f z z =+ 其中 1121011001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 21313221323122220020023401201024602400100111111010010012001001001r r r r r r c c c c c c ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 在可逆线性变换2=YC Z 下22122g z z =+.其中 2111012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C由 12-=Z C Y 得1112-==X C Z C C Y令 1112121111136011012003001001001-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P C C 在可逆线性变换=X PY 下22122f g z z ==+.32．A 是正定矩阵，AB 是实对称矩阵，则AB 是正定矩阵的充分必要条件是B 的特征值全大于零．证：先证必要性．设λ 为B 的任一特征值，对应的特征向量为,,0≠X X 则 且有X BX λ=用A X T 左乘上式有AX X X AB X T T )(λ=因为AB ，A 都是正定矩阵，故0,0)(T T >>AX X X AB X于是0>λ，即B 的特征值全大于零．再证充分性．因为A 是正定矩阵，所以A 合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P ，使E AP P =T （1）由AB 是对称矩阵，知P AB P )(T也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q ，使),,,,diag(])([1T T n i μμμ ==D Q P AB P Q （2）即有),,,,d i a g ()()(1TT n i μμμ ==D PQ B A P Q （3）其中n i μμμ,,,,1 是P AB P )(T的特征值． 在（1）的两端左乘TQ ，右乘Q 有E PQ A P Q E Q AP P Q ==))(()(T T T T 即这说明)()(TTPQ A P Q 与互逆，也就是说1T T )()(-=PQ A P Q将上式代入（3），说明矩阵B 与对角阵D 相似，故它们的特征值相等；由条件知B 的特征值全大于零，因此对角阵D 的特征值也全大于零． 由（2）知AB 与D 合同，因此AB 的特征值全大于零．33．设,A B 为n 阶实正定阵，证明：存在可逆阵P ，使T =P A P E 且T 12diag(,,,)n λλλ=P BP ，其中120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的n 个实根.证：因A 正定，故存在可逆矩阵1P ，使T 11=P AP E因B 正定，故存在可逆矩阵2P ，使T 22=B P P于是T T T T 1112212121()()==P BP P P P P P P P P易见T11P BP 为正定矩阵，不妨设它的特征值为120n λλλ≥≥≥>.则 TTT11111||||λλ-=-E P BP P AP P BP T11||||||λ=-P A B P 故 T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B 即 120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的几个实根.由 T11P BP 为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使 T T 1112()diag(,,,)n λλλ=Q P BP Q 令 1=P P Q，则 TT 12,diag(,,,)n λλλ==P AP E P BP34．设A 为n 阶实正定阵，B 为n 阶实半正定阵，则||||+≥A B A . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T =C AC E . 因为B 是n 阶半正定阵，则TC BC 仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q ，使得1T T T 1()()diag(,,,,)i n D -===Q C BC Q Q C BC Q λλλ其中 0,1,,i i n λ≥=为TC BC 的特征值，且有T T ()=Q C AC Q E令=P CQ ，则P 为可逆矩阵，于是T T ,==P AP E P BP DT T T ()+=+=+P A B P P AP P BP E D上式两端取行列式，得T1||||||||(1)1ni i λ=+=+=+≥∏P A B P E D ||||||T =P A P因 T||||0=>P P ， 故 ||||+≥A B A .35．设,A B 均为实正定阵，证明：方程||0λ-=A B 的根全大于0.证：由33题知T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B . 其中T11P BP 为正交矩阵，它的特征值0i λ>，1,,i n =，故||0λ-=A B 的根全大于0.36．设A 为n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B ，使2B A =． 证：因为A 是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P ，使12-1Tn λλλ⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP P AP D 其中n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值，它们全大于零．令),,,2,1(n i i i ==λδ 则21111222222n n n n δλδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D而 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 B =12Tn δδδ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P P显然B 为正定矩阵，且2B A =．37．设A 为n 阶可逆实方阵，证明：A 可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．证：因为A 是n 阶可逆实方阵，故TA A 是正定矩阵，所以存在n 阶正定矩阵B ，使T 2=A A B .于是有1T 11T T 11T 21()()()()------===AB AB B A AB B B B E这说明1-AB 是正交阵. 令 1-=A B Q则 =A Q B ，其中Q 是正交矩阵，B 是正定矩阵.38．A 、B 为n 阶正定矩阵，则AB 也为n 阶正定矩阵的充分必要条件是： AB =BA ，即A 与B 可交换．证：方法一 先证必要性．由于A 、B 、AB 都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有AB AB B B A A ===T T T )(,,于是BA A B AB AB ===T T T )(即A 与B 可交换．再证充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．因为,A B 是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P 、Q ，使Q Q B P P A T T ,==于是Q PQ P AB T T =上式左乘Q ，右乘1-Q 得)()()(T T T T T 1PQ PQ PQ QP Q AB Q ==-这说明AB 与对称矩阵)()(TTT PQ PQ 相似；因为P TQ 是可逆矩阵，故矩阵)()(T T T PQ PQ 是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定． 方法二必要性同方法一，以下证明充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．由于A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使A=Q TQ于是T T T T 1()λλλ--=-=-E AB E Q QB E Q QBQ QT T 1T T T 1T T T 1T()()()()λλλ---=-=-=-Q E Q Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQT 00λλ-=⇔-=E AB E QBQ这说明AB 与TQBQ 有相同的特征值．因为B 是正定矩阵，易见TQBQ 也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．39．设A 、B 为实对称矩阵，且A 为正定矩阵，证明：AB 的特征值全是实数． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=， 于是有T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ即T||0||0λλ-=⇔-=E AB E QBQ .因为B 是实对称矩阵，所以TQBQ 也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB 的特征值也都是实数．40．设A 是正定矩阵，B 是实反对称矩阵，则AB 的特征值的实部为零． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ因为B 是实反对称矩阵，所以TQBQ 也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故AB 的特征值实部也为零．41．设A 是正定矩阵，B 是半正定的实对称矩阵，则AB 的特征值是非负的实数． 证：由于A 是正定的，所以1-A 也是正定的，于是存在可逆矩阵P ，使得P P A T 1=-，因此1T T T 11T T 111T 11T 111T 1()()()()()λλλλλλλλ-------------=-=-=-=-=-=-=-E AB A A B A P P B A P E P BP PA P P E P BP A A E P BP E P BP E P BP即0)(01T 1=-⇔=---BP P E AB E λλ.由于B 是半正定的实对称矩阵，故1T1)(--BPP 是半正定的实对称矩阵，因此0)(1T 1=---BP P E λ的根是非负实数．于是0=-AB E λ的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．42．求证实二次型∑∑==++=n r ns sr n xx s r krs x x f 111)(),,( 的秩和符号差与k 无关．证：二次型的矩阵为22334(1)2344652(2)3465963(3)(1)2(2)3(3)22k k k nk n k k k nk n k k k nk n nk n nk n nk n n k n +++++⎛⎫ ⎪+++++ ⎪+++++= ⎪⎪⎪+++++++⎝⎭A。
二次型测试题
．
．
5
( )．
A. 正定
T
B. 负定
T
C. 不定
T
D. 以上都不对
)．
13、 设二次型 f X AX ,其中 A A , X x1, x2 ,, xn ,则 f 正定的充分必要条件是 (
A. A 的行列式 A 0 C. f 的秩为 n
1
B. f 的负惯性指数为 0 D. A M T M , M 为 n 阶可逆矩阵
C. A B
D. A B
新浪微博：万学丁勇
18、 n 阶方阵 A 与 B 的特征多项式相同,则 A. A 、 B 同时可逆或不可逆
( )． B. A 、 B 有相同的特征值和特征向量
C. A 、 B 与同一对角矩阵相似
19、n 阶实对称矩阵 A 合同于矩阵 B 的充要条件是
D. 矩阵 E A 与 E B 相等
二、填空题
2 2 2
பைடு நூலகம்
1 2 3 B. 2 5 4 3 4 6 5 2 1 D. 2 1 3 1 3 0
1、已知二次型 f x1 , x2 , x3 2 x1 3 x2 3 x3 2ax2 x3 通过正交变换化成标准
．
2 2 12、设二次型 f x1 , x2 , x3 xT Ax ax12 2 x2 2 x3 2bx1 x3 b 0 ,其中二次型矩阵 A
的特征值之和为 1,特征值之积为 12 ,则 a
2 2 2
,b
．
5-1 二次型及其矩阵表示习题评讲
５－１ 二次型及其矩阵表示习题评讲１、将下列二次型写成矩阵形式，并求二次型的秩：（１）８ｘ１２－７ｘ２２－８ｘ３２－２ｘ１ｘ２＋８ｘ２ｘ３；解：ｆ（Ｘ）＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----840471018⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x 。
Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----840471018→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---018210471→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32570210471→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---8200210471； 二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）＝３。
（２）ｘ１２＋ｘ２２＋ｘ３２－ｘ１ｘ２－ｘ１ｘ３－ｘ２ｘ３；解：ｆ（Ｘ）＝[]321x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------121212112121211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321x x x Ａ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------121212112121211→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----0002112121211→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0004343021211 二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）＝２。
（３）ｘ１ｘ２＋ｘ１ｘ３＋ｘ１ｘ４＋ｘ２ｘ３＋ｘ２ｘ４＋ｘ３ｘ４；解：ｆ（Ｘ）＝[]4321x x x x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0212121210212121210212121210⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x xＡ＝⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0212121210212121210212121210→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0212121210212121210211111→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---2100002100002101111 二次型ｆ的秩＝秩（Ａ）＝４。
２、设Ａ为ｎ阶实对称矩阵，且对任意ｎ维列向量Ｘ，都有ＸＴＡＸ＝０，证明：Ａ＝０。
证明：对ｎ阶实对称矩阵Ａ＝()ij a ，因为对任意ｎ维列向量Ｘ，都有ＸＴＡＸ＝０，令εｉ＝（０，…，０，１，０，…１），１≤ｉ≤ｎ。
有关矩阵,二次型相关习题
有关矩阵，二次型相关习题
1.设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且
（1）求A的所有特征值与特征向量；
（2）求矩阵A。
2.设二次型f(x1,x2,x3=ax12+ax22+(a-1x32+2 x1 x3-2 x2 x
3.
（1）求二次型f的矩阵的所有特征值；
（2）若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值。
3.设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=（1，-1，1）T是A的属于λ1的一个特征向量，记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵。
（1）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
（2）求矩阵B。
4.设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=（-1，2，-1）T，α2=（0，-1，1）T是线性方程组Ax=0的两个解。
（1）求A的特征值与特征向量；
（2）求正交矩阵Q和对角矩阵Λ，使得QTAQ=Λ。
5.设矩阵A=，P=，B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵。
6.设矩阵A=，其行列式|A|=-1，又A的伴随矩阵A*有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=（-1，-1，1）T，求a,b,c和λ0的值。
二次型化为标准型例题4个未知数
二次型化为标准型例题4个未知数我们来看一个关于二次型化为标准型的例题，这个例题涉及到4个未知数，我们将通过具体的步骤和方法来解决这个问题。
首先，我们来看一下这个例题的具体内容：已知二次型$f(x_1,x_2,x_3,x_4) = 2x_1^2 + 3x_2^2 + 4x_3^2 + 5x_4^2 + 6x_1x_2 + 7x_1x_3 + 8x_1x_4 + 9x_2x_3 + 10x_2x_4 + 11x_3x_4$，要求将其化为标准型。
接下来，我们将按照一定的步骤来完成这个化标准型的过程。
首先，我们需要将二次型的矩阵表示出来，即将二次型的系数整理成一个矩阵的形式。
对于这个例题，我们可以得到二次型的矩阵表示为：$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 6 & 7 & 8 \\ 4 & 7 & 10 & 11 \\ 5 & 8 & 11 & 14 \end{bmatrix}$。
接下来，我们需要求出这个矩阵的特征值和特征向量。
通过计算，我们可以得到这个矩阵的特征值为$λ_1 = 0, λ_2 = 1, λ_3 = 24, λ_4 = 7$，对应的特征向量分别为$v_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, v_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ -2 \end{bmatrix}, v_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}, v_4 =\begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \\ -3 \end{bmatrix}$。
然后，我们需要进行正交相似变换，将二次型化为标准型。
通过正交相似变换的公式$y = Q^T x$，其中$Q$是由特征向量组成的矩阵，$x$是原二次型的变量向量，$y$是新的变量向量。
二次型与对称矩阵_习题讲义
2 0 2
得A的特征值1 2 2, 3 3.
对于1 2 2,解齐次线性方程组(2E A)x 0, 得其基础解系1 (2,0,1) ',2 (0,1,0) '.
对于3 3,解齐次线性方程组(3E A)x 0, 得其基础解系3 (1,0, 2) '.
2 0 0
解：二次型f
(
x1
,
x2
,
x3
)的矩阵A
0
3
a
0 a 3
又由f 的标准型可知A的特征值为1 1, 2 2, 3 5,
故
A
123
10,即：2(9
a2 )
10
2
0
0
但a
0, 故a
2,
此时A
0
3
2
0 2 3
11
(1)当 1时,由方程组(E A)x 0得对应的单位
5 1 3
解：(1)该二次型的矩阵A
1
5
3
3 3 c
由题设知R(A) 2,因此 A 0,解得c 3．
14
易证,此时R(A) 2, A的特征多项式
5 1 3 E A 1 5 3 ( 4)( 9)
3 3 3
故所求特征值为1 0, 2 4, 3 9．
(2)由以上讨论知, f 的一个标准型为f 4 y22 9 y32 , 由此可知f (x1, x2 , x3 ) 1(即4 y22 9 y32 1) 所给出的曲面是椭圆柱面．
0
1
2
1 2
0
1 2
13
例6．已知二次型f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22 cx32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3的秩为2． (1)求参数c及此二次型的矩阵的特征值．
第七章二次型练习题十四
第七章 二次型练 习 十 四一、选择题：（1）、下列矩阵中，正定矩阵是（ ）（A ）121253130⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 1232573710⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 120253032-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (D) 1232573712⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（2）、矩阵1000301A m n m m ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪-⎝⎭为正定矩阵，则m 必满足（ ） （A ）12m > (B) 32m < (C) 2m >- (D)m 与n 有关，不能确定 （3）、n 元二次型T X AX 正定的充分必要条件是（ ）（A ）存在正交矩阵P 使TP AP E = （B ）负惯性指数为零（C ）A 的特征值大于零 （D ） 存在n 阶矩阵c 使T A c c =二、填空题：（1）二次型 222(,,)4424f x y z x xy y xz z yz =+++++，用矩阵表示为______（2） 二次型2222123412341324(,,,)2342f x x x x x x x x x x x x =+++++的符号差为______（3）实二次型2221231222f y y y =--的规范形为______三、判断下列二次型的正定性 （1）22212312232524x x x x x x x +++-（2）222123121323255448f x x x x x x x x x =+++--四、设二次型222123123122313(,,)222f x x x x x x x x x x x x αβ=+++++经正交变换X PY =化成22232f y y =+，其中123(,,)T X x x x =和123(,,)T Y y y y =是三维列向量。
P 是3阶正交矩阵，试求常数,αβ的值及所用的正交变换矩阵P 。
五、证明若A 为n 阶可逆实矩阵，则TA A 是正定矩阵。
第四章 二次型真题
第四章 二次型99103 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 .设A 是n 阶矩阵，A ≠0, A * 为A 的伴随矩阵， E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值λ, 则2( *) A E +必有特征值 .95108 设三阶实对称矩阵A 的特征值为对应于的特征向量为求A .02103 填空题已知实二次型222123123121323,,)()444f x x a x x x x x x x x x =+++++(x 经正交变换可化成标准形21f =6y ，则a = 202203 填空题矩阵022222222A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是 404304 填空题二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为 2 。
9503 已知二次型（1）写出二次型f 的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵01103 选择题设1111111111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，4000000000000000B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 与B (A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 不合同且不相似。
[ A ] 02303 选择题设A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()1'PAP -属于特征值λ的特征向量是（A ）1P-α； (B) 'P α； (C)P α； (D)()1'P -α。
[ B ] 03404 选择题设矩阵001010100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知矩阵A 相似于B ，则()2R A E -与()R A E -之和等于(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5。
[ C ]01108 计算题 已知3阶矩阵A 与3维向量x ，使得向量组2 A A x,x,x 线性无关，且满足32 32A A A -x =x x（1）记()2 PA A =x,x,x ，求3阶矩阵B ，使得1A PBP -=；（2）计算行列式A E+。
线性代数第六章二次型试题及答案
第六章二次型齐一次线性函数一、基本概念n个变量的二次型是它们的二次齐次多项式函数，一般形式为2 2f(X1,X2,…，Xi)= a ii x i +2a i2X l X2+2a i3X l X3 +…+2ai n X l X n+ a22X2+2a23X l X3+n2 2…+2a in X l X n+ …+a n X n =送a ii X i+2送a ij XX j.i 3 iuj它可以用矩阵乘积的形式写出：构造对称矩阵A也盹… am ' f X1\n n*21 a?2 a?n X2 f(X1,X2，…X n) a j X i X j =(X1,X2，…X n)* * ai=1 j =10n1 a n2 a nn丿帆记X 二X i，X2，…X T，贝y f(X 1 ,X2,…，X)= X T AX称对称阵A为二次型f的矩阵，称对称阵A的秩为二次型f的秩.注意：一个二次型f的矩阵A必须是对称矩阵且满足f二X T AX，此时二次型的矩阵是唯一的，即二次型f和它的矩阵A (A为对称阵)是对应的，因此, 也把二次型f称为对称阵A的二次型。
实二次型如果二次型的系数都是实数，并且变量X1,X 2,…,X n的变化范围也限定为实数，则称为实二次型•大纲的要求限于实二次型•标准二次型只含平方项的二次型，即形如 f = d1X12d2X f d n X2称为二次型的标准型。
规范二次型形如X；•…Xp -X： 1 -…X：.q的二次型，即平方项的系数只1, -1 , 0，称为二次型的规范型。
二、可逆线性变量替换和矩阵的合同关系对二次型f(x1,x2,…,x)引进新的变量y1,y2,…,y,并且把X1,X2,…,x)表示为它们的其中第六章二次型齐一次线性函数X1 =5°1 +0!2丫2 十…+Gny nX2 =C2°1 +0^2 i 乜丫.1 :X n =6“1 - C n2y2 亠亠C nn『n代入f(X1,x2，…,X)得到y1 ,y2,…,y的二次型gM,y2,…,y).把上述过程称为对二次型f(X1,X2,…,Xi)作了线性变量替换，如果其中的系数矩阵厂C11 C12 …01^\C= C21 C22 (2)<Cn1 C n2…是可逆矩阵，则称为可逆线性变量替换•下面讲的都是可逆线性变量替换.变换式可用矩阵乘积写出：X二CYf =X T AX=(CY)T A(CY)=Y T(C T AC)Y记B = C T AC，贝y B T= B，从而f 二Y T BY。
二次型的矩阵怎么求 例题
二次型的矩阵怎么求例题
要求一个二次型的矩阵，首先需要明确二次型的定义。
二次型
是一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以表示为一个n维向量
x和一个对称矩阵A的乘积，即x^T A x。
对于一个给定的二次型，我们可以通过矩阵A的特定形式来表示它。
假设我们有一个二次型Q(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 + 4z^2 +
2xy + 2xz + 2yz。
我们可以将这个二次型表示为向量x和矩阵A的
乘积形式，其中x = [x, y, z]^T，A是我们要求的矩阵。
为了求出
矩阵A，我们需要将二次型中的系数分别填入矩阵A的对应位置。
首先，矩阵A是一个对称矩阵，所以A的主对角线元素对应二
次型中各个变量的平方系数，而A的非主对角线元素对应二次型中
各个变量的交叉系数的一半。
在这个例子中，矩阵A应该是一个
3x3的对称矩阵，其元素应该满足A = [[2, 1, 1], [1, 3, 1], [1, 1, 4]]。
因此，对于给定的二次型，我们可以通过整理系数得到矩阵A
的形式。
这个矩阵A就是我们所求的二次型的矩阵表示形式。
总结起来，要求一个二次型的矩阵表示，首先将二次型表示为向量x和矩阵A的乘积形式，然后根据二次型中各个变量的系数填入矩阵A的对应位置，最终得到对称矩阵A。
这个矩阵A就是所求的二次型的矩阵表示形式。
大学高等代数二次型试题
第五章 二次型§1 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示设P 是一个数域,一个系数在P 中的n x x ,,1 的二次齐次多项式2221211112121122222(,,,)222n n n n n nn nf x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++ (1) 称为数域P 上的一个n 元二次型,简称二次型.令,ij ji a a i j =<由于i j j i x x x x =,所以二次型(1)可写成22121111212112121222222112211(,,,)n n n n nnnn n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x ===++++++++++++=∑∑其系数排成一个nn ⨯矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭(2)它称为二次型的矩阵.因为,,1,2,,ij ji a a i j n ==,所以A A =',这样的矩阵是对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的.令()()11121111112212122222112222121211121122,,,,,,n n n n n n n n n n ij i ji j n n nn n n n nn n a a a x a x a x a x a a a x a x a x a x X AX x x x x x x a x x a a a x a x a x a x ==+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪+++ ⎪⎪ ⎪'=== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑或AX X x x x f n '=),,,(21 . (3)例1写出21231121323(,,)5226f x x x x x x x x x x =++-的矩阵及矩阵形式.注意二次型(1)的矩阵A 的元素,当j i ≠时ji ij a a =正是它的j i x x 项的系数的一半,而ii a 是2i x 项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此可得,若二次型12(,,,)n f x x x X AX X BX ''==,且B B A A ='=',,则B A =. 定义1设n n y y x x ,,;,,11 是两组文字,系数在P 中关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n n n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 22112222121212121111,,(4)称为由n x x ,,1 到n y y ,,1 的一个线性替换,或简称线性替换.如果系 数行列式0≠ijc ,那么线性替换(4)就称为非退化的.线性替换把二次型变成二次型.令⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nn n n n n y y y Y c c c c c c c c c C 21212222111211,,于是线性替换(2)可以写成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n nn n n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2121222211121121 或者.经过一个非退化的线性替换,二次型变成二次型,替换后的二次型与原二次型之间有什么关系?下面就来讨论.二、矩阵的合同关系设A A AX X x x x f n '='=,),,,(21 是一个二次型,作非退化线性替换 得到一个n y y y ,,,21 的二次型BY Y ',因12(,,,)()()().n f x x x X AX CY A CY Y C ACY Y C AC Y Y BY '''''''=====容易看出矩阵AC C '也是对称的,由此即得AC C B '=.这是前后两个二次型的矩阵间的关系。
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第五章 二次型§1 二次型的矩阵表示[达标训练题]A 组一、填空题1．下列各式中 等于22212154x x x x ++.（A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21215221),(x x x x ；（B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21215311),(x x x x ；（C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21215481),(x x x x ；（D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--21215221),(x x x x . 2．上题中 是二次型22212154x x x x ++的矩阵. 3．二次型222121462x x x x ++的矩阵是 .4．二次型23323121432122),,,(x x x x x x x x x x x f ++-=的矩阵是 .5 二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21214221),(x x x x 的矩阵是 . 6．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4331对应的二次型是 . 7．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2131对应的二次型是 . 8．二次型经线性替换化为 . 二、判断题1．二次型AX X f '=经线性替换化为二次型BY Y g '=，B A ,是对称矩阵，则 ①B A ,等价；②B A ,合同.2．二次型AX X f '=经非退化线性替换化为二次型BY Y g '=，B A ,是对称矩阵，则①B A ,等价；②B A ,合同.3．若二次型BX X AX X f '='=，则B A =. 4．B A ,合同，则B A ,等价. 5．B A ,等价，则B A ,合同. 三、解答题1．若21,A A 合同，21,B B 合同，证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22B A 合同. 2．证明：如果A 是n 级对称矩阵，且对任意n 维向量X ，有0='A X X ，则0=A .B 组1．（选择）实方阵A 与单位矩阵E 合同，则必有 成立. （A ）0<A ；（B ）0=A ；（C ）0>A ；（D ）不能确定. 2．证明：E E -,在复数域上合同，但在实数域上不合同. 3． 举例说明，B A ,合同，存在可逆矩阵,C 使AC C B '=，这里的C 不是唯一的.§1 二次型的矩阵表示[达标训练题解答]A 组一、填空题1．（A ）（B ）（C ）（D ）； 2.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； 3.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4332；4.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000001121010102110；5.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4001； 6， 22212146x x x x ++； 7.22212122x x x x ++; 8.二次型. 二、判断题 1.F ； 2.T ； 3.F ；4.T ； 5.F. 三、解答题1．证明 根据条件存在可逆的21,C C ，使2222111,B BC C A C A C ='='，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100C C C ，则C 可逆，且⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'2211B A C B A C .故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛22B A 合同.2．证明：如果取Ti X )0,0,1,0,0()( =利用已知条件可以得出),2,1(0n i a ii ==，在取T j i X )0,0,1,0()()( =，利用已知条件容易得出)(0j i a ij ≠=.证毕.B 组1．（C ）2. 证明：在复数域上取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=i i C ，即得E EC C -='.而在实数域上对任意的可逆矩阵C ，EC C '的主对角线上元素是C 的行向量元素的平方和，不可能是-1.故E EC C -='不成立.3．例如，取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==2001B A ，⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21212121C ，则B AE E AC C ='='.§2 标准形[达标训练题]A 组1． 分别用配方法和合同变换法将下列二次型化为标准形，并求所用的线性替换：（1）32312122216223x x x x x x x x -+--；（2）323121224x x x x x x --.2． 求证⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ii λλλ21合同.其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列.3． 用合同变换将下列对称矩阵为对角矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022,542452322B A4． 证明：秩为r 的对称矩阵可以表示成r 个秩为1的对称矩阵之和.B 组1． 化下列二次型为标准形，并写出所用的非退化的线性替换：（1）323121232221844532x x x x x x x x x --+++；（2）112221+-+++n n n n x x x x x x .2． 证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A AA A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211112221100A A A A A 合同，其中11A 为可逆的对称矩阵.§2 标准形[达标训练题解答]A 组1．解（1）用配方法：23223212332223231213322213231212221)21(4)()41(4)222(6223x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=++--+-++=-+--⎪⎩⎪⎨⎧==+=+-33232132121z x z x x z x x x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=3332232112123z x z z x z z z x ， 则22213231212221416223z z x x x x x x x x -=-+--.(2)用合同变换法二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=031331111A ，对A 施行合同变换： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----10021102311000040001100010111020040001100010001031331111，所以令CY X =，则2221323121222146223y y x x x x x x x x -=-+--.其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10021102311C .（2）配方法 令⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211xy x x y x x y ，则23222123222312322233121322221323121242)21(42)41(4444224z z z y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x --=---=--+-=--=--其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=332231141yz y z y y z .对两个线性替换合成得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=33323118583z x z x z z x .合同变换法：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=011102120A ，对A 施行合同变换：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1001032115121151000500041004121141211412102150004100011001011142124100010001011102120，所以令CY X =，2322213231215154224y y y x x x x x x --=--，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10010321151211C . 2.证明：因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n λλλ21对应的二次型是2222211)(n n x x x X f λλλ+++= .作非退化的线性线性替换：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===in n i i x y x y x y 2121，则二次型化为2222121)(n i i i y y y X f n λλλ+++= ，而2222121)(n i i i y y y X f n λλλ+++= 的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i i i λλλ 21.故⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n λλλ 21与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n i ii λλλ21合同.其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的一个排列.3． 解：（1）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100321031113500030002100010111320230002100010001542452222E A ，取⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10032103111C ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='3532AC C . （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100210211000010002100010011020210002100010001020212022E B .， 取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100210211C ，则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='012BC C . 4． 证明：设A 为秩为r 的矩阵，则存在可逆矩阵C ，使Cd d C A r ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛'=001，令rr r DD D d d d d++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2111000000，则C D C C D C C D C A r '++'+'= 21，其中),,2,1(r I C D C i ='为秩为1 的矩阵.B 组1． 解（1）323121232221844532x x x x x x x x x --+++23232232113)4()(2x x x x x x --++-= 令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321y y y C x x x ，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100410311C . （2）112221+-+++n n n n x x x x x x ，令2211n y y x +=,2,1++=n n n y y x211++-=n n n y y x yy y x nn 2,,212-= ，则2221224232221112221n n n n n n y y y y y y x x x x x x -++-+-=+++-+- .所用的非退化的线性替换为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==2121212121212121, C CY X 2 . 证明：因为=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⎪⎪⎭⎫⎝⎛--212111122211211212111100E A A E A A A A E A A E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211112221100A A A A A ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211A A A A 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1211112221100A A A A A 合同.§3 唯一性[达标训练题]A 组一、填空题1．秩为r 的复二次型的规范形 ，秩为r 的复对称矩阵合同于对角矩阵 .2．复n 对称矩阵B A ,合同的充要条件是 ，B A ,等价的充要条件是 ，二次型Y B Y AX X '',经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .3． n 级实对称矩阵B A ,合同的充要条件是 ，B A ,等价的充要条件是 ，二次型Y B Y AX X '',经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .4． n 级复对称矩阵按合同分类共有 类. 5．n 级实对称矩阵按合同分类共有 类. 二、解答题1． 写出下列复二次型的规范形(1)22212)1()(ix x x i x f +--=; (2) 4321432122),,,(x x x x x x x x f +=. 2.将实二次型323121321622),,(x x x x x x x x x f -+=化为标准形，并求其秩、正负惯性指标和符号差.2． 实二次型的秩为r ，正负惯性指标分别为q p ,，证明r 与q p -有相同的奇偶性，且r q p r ≤-≤-. 4．nn KS S ⨯∈='，证明；存在nn KA ⨯∈，使A A S '=.B 组1． 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=906010604,233354345B A ，证明；B A ,在实数域上合同，并且求一实可逆矩阵P 使B AP P ='.2． 证明：任何一个n 级可逆复对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一..12,1000000;2,00+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛v n E E v n E E v v v v3． 证明：一个n 级实可逆矩阵必合同于下列形式的矩阵之一,000000,00000022⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--v n v vv n v v E E E E E E4． 设n 元实二次型f f -,可以经过非退化的线性替换互化，问f 的符号差应满足什么条件.§3 唯一性[达标训练题解答]A 组一、填空题 1.221r y y ++ ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0011 ； 2.有相同的秩，秩相同；3.秩与惯性指标形同，秩与惯性指标相同；4.1+n ；5.)1(21+n n .二、 解答题1．解（1）22212)1()(ix x x i x f +--=矩阵的秩为 2 ，所以它的规范型是2221y y + .(2) 4321432122),,,(x x x x x x x x f +=的秩为 4 ，所以它的规范型是24232221y y y y +++.2．解 利用配方法或合同变换法容易求出它的规范型为：232221y y y -+，故其秩是3，正惯性指标2，负惯性指标为1，符号差1.3．证明：因为,2p r q p -=-所以r 与q p -有相同的奇偶性.又因为r q r p ≤≤≤≤0,0，所以r q p r ≤-≤-.4．证明：设矩阵的秩为r ，则BC C S '=，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011 B ，显然B B =2，因此BC A A A BC BC BBC C BC C S ='='='='=,)()(.B 组1．解 容易利用合同变换把⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=906010604,233354345B A 化成与它们合同的标准型.然后求出可逆矩阵 P 使B AP P ='.2．证明：法一）由复对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩，于是对可逆的复对称矩阵如果是偶数级的合同于00v vE E ⎛⎫⎪⎝⎭，如果是奇数级的则合同于0000.001vv E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭法二）对于2n v =11221100022v v v v v v v v v v v v v v v v v E E E E E E E E E E E E E E E E E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭v v v v v v v v v v v v v v v v v E E E E E E E E E E E E E E E E E --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 在复数域上v v v v v v v v E E E E iE E iE E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭利用传递性，2n v =得证.21n v =+，只需考察000001v v E E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭即可.3．证明：由111110*********222⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭设实对称矩阵A 的正、负惯性指标分别是,p q当2np q v===，A 与矩阵vv E E ⎛⎫ ⎪-⎝⎭合同，于是A 与矩阵v v E E ⎛⎫⎪⎝⎭合同；p q n p v >=-=时 2q n qq E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭与2q qn q E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，A 与矩阵200v v n v E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭合同；v p q n p =<=-00vn v E E -⎛⎫ ⎪-⎝⎭与2v vn v E E E -⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎝⎭合同A 与20000v v n v E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭合同.4．显然秩相同，符号差相反.§4 正定二次型[达标训练题]A 组一、填空题1． 二次型),,,(21n x x x f 称为正定的，如果对于任意一组 的 n c c c ,,,21 都有),,,(21n c c c f ，f 的规范形是 .2． 二次型),,,(21n x x x f 称为半正定的如果对任意一组 n c c c ,,,21 都有),,,(21n c c c f ，其规范形为 .3．负定二次型的规范形是 .4．设B A ,是n 级正定矩阵，下列矩阵 是正定的.)0,(),0(,,,,,,,,1*>+≠'±''-l k lB kA C AC C B A AB A A kA A A A A n . 二、解答题1. 用三种方法证明二次型323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=是正定的.2． t 取何值时，二次型32312123222132122232),,(x tx x x x x x x x x x x f +-+++=是正定的.3．若A 是可逆方阵，证明A A A A '',正定.B 组1． 判断下列二次型是否正定（1）∑≠=ji ji n x x x x x f ),,,(21 ；（2）∑∑≠=+=j i ni ji in x x x x x x f 1221),,,( .2． 假设二次型),,,(21n x x x f 对任意的一组全不为0的实数n c c c ,,,21 ，都有0),,,(21>n c c c f ，问),,,(21n x x x f 是否为正定.3． 证明n 级实对称矩阵A 正定的充分必要条件是它的任意主子式全大于零.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.4． 证明n 级实对称矩阵A 半正定的充分必要条件是它的任意主子式非负.所谓主子式是指行标与列标相同的子式.5． 设)(ij a A =是一个n 级正定矩阵，证明nn a a a A 2211≤，等号成立的充要条件是A 为对角形矩阵.§4 正定二次型[达标训练题解答]A 组一、填空题1．非零的，0>，22221n y y y +++ ；2.实，非零的，0≥，)(22221n r y y y r ≤+++ ； 3.22221n y y y ---- ；4.)0,(),0(,,,,1*>+≠''-l k lB kA C AC C A A A A n . 二、解答题1．解：（1）配方法=--+++=323121232221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f 2221(2x x +)22232312123x x x x x x x --++2323322235)9434((3x x x x x ++-+=2321)(2x x x --+2323235)32(3x x x +-=232221y y y ++. 所以正定.（2）合同变换法对二次型矩阵进行合同变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1530152310151312110001000110032103111350030002100010111320230002100010001542452222，即二次型矩阵 是正定的，从而二次型正定.（3）求二次型矩阵的特征值，容易得出二次型矩阵的特征多项式为)9)(2)(1(---x x x .矩阵的特征值都是大于0的，从而二次型正定.2．解：二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121111t t A ，12,1,1221++-==∆=∆t t A显然当2121012.,02+<<-⇔<-->t t t e i A 时二次型正定. 3． 证明：利用若实对称矩阵与单位矩阵合同则正定得出结论显然成立.B 组1．解（1）二次型矩阵的k 级主子式为0)21(021212102121210)(≠-==∆k k k k.因此二次型不是正定、半正定的，也不是负定半负定的.（2）二次型矩阵的k 级主子式为0)211()21(121212112121211)(>-+==∆k k k k，所以二次型正定.2．解：正定二次型指二次型),,,(21n x x x f 对任意的一组不全为0的实数n c c c ,,,21 ，都有0),,,(21>n c c c f .因此该题给出的条件不能说明),,,(21n x x x f 是否为正定.同时容易举出反例.3．证明n 级对称矩阵正定，而)0(212112*********n i i i a a a a a a a a a A k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k k k k k k k ≤<<<≤⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 为A 的任意主子式所对应的一个k 级矩阵，二次型),,,(21n x x x f ，为正定，则对于任意不全为0 的实数n c c c ,,,21 都有0),,,(21>n c c c f ，从而对于任意不全为零的实数n i i i c c c ,,,21 都有)0.,0,,0,,0,,0,,0(1> k i i c c f 但对于文字为ni i i x x x ,,,21 而矩阵为k A 的二次型)0,,0,,0,0,0,,0(),,,(121 k n i i i i i x x f x x x g =，显然是正定的，故k A 的行列式大于0.4．证明 必要性 令n k n i i i k ,,2,1,021 =≤<<<≤且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n nn n a a a a a a a a a A 21222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k k k i i i i i i i i i i i i i i i i i i k a a a a a a a a a A 2112221212111.设它们对应的二次型分别是),,,,(21n x x x f ),,(11k i i x x f . 若A 是半正定，即f 半正定，从而1f 半正定.于是存在实可逆矩阵k C ，使⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛='k ii k k kC A C λλ 1)0(≥j i λ，从而02≥='k k k k kA C C A C ，故得0≥k A .充分性 设A 的主子式全大于或等于0， 令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m m a a a a B 1111，则mm m m mmm m m mm m p p p a a a a a a a a a B E ++++=+++=+--λλλλλλλ111212222111211.其中i p 是m B 的一切i 级主子式之和. 故0≥i p ，从而当0>λ时0>+m m bB E λ.即对一切正实数λ，A E +λ正定.如果A 不是半正定，则存在不为0 的实向量Tn c c c X ),,,(210 =有00<-='a AX X ，于是取01200>='=∑=ni icaX X aλ，0)(00=+'X A E X λ，这与对一切正实数λ，A E +λ正定矛盾.故A 是半正定的.5．证明：设)(ij a A =是一个n 级正定矩阵，首先我们证明二次型0),,(1111111nnnnn n n y y y a a y a a y y f=负定.事实上⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'--Y A Y Y O AY A E Y Y A 11100，从而Y A Y A f 1-'-=，所以f 负定.其次我们证明1-≤n nn A a A ，其中1-n A 是1-n 级顺序主子式.由于11,11,11,11,1111,1,11,11,111,111000------------+=+=n nn nnn n n n n n n n n n n n n n n n n A a D a a a a a a a a a a a a a a a A其中),,(1,1,11,11,111,111,11-------==n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a f D.由于A 正定，从而1-n A 正定.因此由上面证明可知0≤D .即1-≤n nn A a A .显然当A 的第一行第一列除11a 外全为0 时等号成立.最后利用数学归纳法，就可以证明本题的结论.即nn a a a A 2211≤，且等号成立的充要条件是A 为对角形矩阵第五章 测试题A 卷一、填空题1．二次型⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2121213821),(),(x x x x x x f 的矩阵是 ，当 时，线性替换CY X =是非退化的.2．21222132166),,(x x x x x x x f ++=的矩阵是 ，矩阵表示式是 .3．若B A ,是n 级正定矩阵，则AB B A B A ,,,1-'-中 不是正定的.4．两个实二次型经非退化的线性替换可以互化的充要条件是 .5．实二次型),,,(21n x x x f 是不定的，其规范形是 （q r ,分别是f 的秩与正惯性指标）.二、解答题1．用非退化的线性替换化下列二次型为标准形： （1）（配方法）4332214321),,,(x x x x x x x x x x f ++=；（2）（合同变换法）433221242322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++++++=. 2．t 取何值时，3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=正定. 3．设A 是实反对称矩阵，证明2A E -正定.4．证明：22,(0)a b ac bc c bc c A B c b c bc c c ⎛⎫+++⎛⎫==≠⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭合同.5．令R a a a n ∈,,,21 ，证明：212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=--正定的充要条件是0)1(1211≠-++n n a a a . B 卷一、选择填空1．A 是n 级反对称矩阵，对任意的n 维向量X 都有AX X '. （A ）0>；（B ）0<；（C ）等于0；（D ）不确定.2．实二次型可以分解为两个不成比例的实系数多项式，则它必有 .（A ） 秩为2；（B ）秩为0；（C ）秩为2符号差为0；（D ）秩为1.3．二次型f 经非退化的线性替换化为g ，则它们的矩阵B A ,满足 .（A ）等价； （B ）合同； （C ）存在P ， 使AP P B 1-=；（D ）存在Q P ,，使Q P PAQ B ,(=可逆）.二、 解答题1． 设A 为实对称方阵，证明，当ε充分小时，A E ε+是正定的. 2． 设S 是n 级复对称矩阵，证明存在复矩阵A ，使A A S '=.3． 设A 是n 级实对称矩阵，证明，存在实数c ，使对任一n 维向量X ，都有X cX AX X '≤'第五章 测试题解答一、 填空题1.0,3521≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C ；2.XX ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6331,6331；3.B A -；4.有相同的秩与正惯性指标； 5.rp p y y y y ---+++ 11. 二、解答题1．解：用配方法4332214321),,,(x x x x x x x x x x f ++=令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-=+=43433212211y y x y x y y x y y x ，则2423222124243232231242443232332222331214323323122214332214141)21()21()21(41)41()41()41(z z z z y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y x x x x x x -+-=--+---=-+-+++-+-=-+---=++其中⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=44433322311212121y z y y z y y z y y z .对两个线性替换合成得到⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛432432111002121000211102111x x x x z z z z .2．解：用合同变换法：433221242322214321222),,,(x x x x x x x x x x x x x x f ++++++=的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1100112002110011，下面对矩阵作合同变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10001311023210232114000031000030000110000311003210032111100131000030000110001100010001111001120023000011000010000100011110011100100000110000100001000011100111001110011故作线性替换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==1000110210211,313232C CY X ，二次型化为242322214313y y y y +-+.2.解：二次型3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----t 11112125，显然其一级、二级顺序主子式大于零，其行列式为2-t 故当2>t 时二次型3231212322213212245),,(x x x x x x tx x x x x x f --+++=正定. 3． 证明： A 是实反对称矩阵， 容易证明2A E - 是实对称矩阵，对任意的n 维向量0≠x 有，0)()()()(2>'+'='+'=-'Ax Ax x x x A A E x x A E x .故 2A E -正定.4． 证明:对矩阵a b A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭作合同变换 222a b ac bc ac bc c bc c A Bb c bc c bc c c ⎛⎫⎛⎫+++⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭)0(22,2≠⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=c c c bc c bc c bc ac B c b b a A5． 证明：充分性：令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=n n n x x a y x a x y x a x y 132222111 ，则二次型212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=-- 化为221n y y ++ ，容易计算线性替换的矩阵行列式等于0)1(1211≠-++n n a a a ，所以所给的线性替换是非退化的，因此二次型是正定的.必要性 若0)1(1211=-++n n a a a ,则线性替换不是非退化的,因此存在不全为0 的12,,,n x x x ,使1122231110,0,0,0n n n n n x a x x a x x a x x a x --+=+=+=+=故与正定矛盾,所以0)1(1211≠-++n n a a aB 组一、选择填空 1.（C ）；2.（C ）； 3.（A ）（B ）（D ）.二、解答题1．证明 由于对任意的正实数ε，)1(A E A E +=+εεε成立，所以当ε充分小时ε1充分大，利用北大高等代数教材习题知：AE +ε1为正定矩阵.故A E ε+是正定的.2．证明：设S 是n 级复对称矩阵，则存在可逆的复矩阵C 使A A C E C E C E E C C E C S r r r r r '=⎪⎪⎭⎫⎝⎛'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=)0()0(000.3.设A 是n 级实对称矩阵，证明，存在实数c ，使对任一n 维向量X ，都有X cX AX X '≤'证明：j nj i i j i nj i ijnj i j i ijx x a x x ax x aAX X ∑∑∑===≤=='1,1,1,=+≤∑=nj i ji x x a 1,222XX c x an x n x n a ni i n j j n i i '==+∑∑∑===121212)(2，其中ij a a max =.。