圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
二.双曲线：
设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=
三.抛物线：
(1)核心弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的核心弦,则
同理 的核心弦长为
的核心弦长为 ,所以抛物线的核心弦长为
由以上三种情形可知应用直线竖直角求过核心的弦长,异常简略明白,应予以控制.
圆锥曲线的弦长公式
一.椭圆：
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K,则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
则 ,由余弦定理可得 , ,
整顿可得,
是以核心在x轴的核心弦长为
同理可得核心在y轴上的核心弦长公式
个中a为实半轴,b为虚半轴,c为半焦距, 为AB的竖直角.
三. 抛物线的核心弦长
若抛物线 与过核心 的直线 订交于两点 ,若 的竖直角为 ,求弦长|AB|.（图4）
解：过A.B两点分离向x轴作垂线AA1.BB1,A1.B1为垂足, ,则点A的横坐标为 ,点B横坐标为 ,由抛物线定
设双曲线 个中两核心坐标为 ,过F1的直线 的竖直角为 ,交双曲线于两点 求弦长|AB|.
解：（1）当 时,（如图2）
直线 与双曲线的两个交点A.B在统一支上,连 ,设 ,由双曲线界说可得 ,由余弦定理可得
整顿可得 , ,则可求得弦长
（2） ,如图3,
直线 与双曲线交点 在两支上,连F2A,F2B,设
|AB|=x1+x2+p或|AB|=2p/(sin² ）{ 为弦AB的竖直角}
圆锥曲线设m系直线的弦长公式
圆锥曲线设m系直线的弦长公式圆锥曲线是数学中重要的一类曲线，其特点是在平面中呈现出不同于直线、抛物线、椭圆和双曲线的形态。
在学习圆锥曲线的过程中，我们经常要涉及到直线的概念，并且在解题中常常涉及到求取直线的一些基本性质。
其中一个比较重要的性质就是圆锥曲线上的任何两点都可以用一条过中心的直线来连接。
而这条连接两点的中心直线的长度则称为该圆锥曲线的弦长。
圆锥曲线的弦长公式是指，在圆锥曲线上任选两点，连接它们的中心直线的长度与这两点之间的距离存在某种固定的关系。
对于椭圆和双曲线而言，这个关系式比较简单，可以直接通过勾股定理得到：对于椭圆：中心直线的长度为a^2-b^2+c^2，其中a和b为椭圆的长短半轴，c为椭圆中心到焦点的距离；两点之间的距离为2a*sin （Θ/2），其中Θ为两点所在的圆心角。
对于双曲线：中心直线的长度为a^2+b^2+c^2，其中a和b为双曲线的长短半轴，c为双曲线中心到焦点的距离；两点之间的距离为2a*sinh（Θ/2），其中Θ为两点所在的圆心角的双曲正弦函数。
而对于圆锥曲线的第三种形态——抛物线来说，其弦长公式相对而言就较为复杂。
这是因为在抛物线上，任意两点之间的距离都相等，且其中心直线的长度与这个距离有关。
因此，在求解抛物线的弦长时，我们需要加入一些额外的推导工作，其中的关键就是确定一条通过两点的切线，并计算出其在抛物线上的交点。
通过这个交点，我们就能够得到弦长的具体数值。
总的来说，圆锥曲线的弦长公式是一个非常重要的数学工具，在解题过程中起着关键的作用。
不论是在研究圆锥曲线的一般性质，还是在具体的应用中，对这个公式的掌握都会事半功倍。
因此，在学习圆锥曲线的过程中，我们必须认真研究弦长公式，掌握其推导方法和具体应用技巧，才能在数学研究或实际问题求解中更加得心应手。
圆锥曲线焦奌弦长公式推导
圆锥曲线焦奌弦长公式推导圆锥曲线焦弦长公式是指在圆锥曲线上，焦点到曲线上一点的弦长与该点到曲线直径的比例是一个常数。
下面是推导圆锥曲线焦弦长公式的过程：设在圆锥曲线上有一点P(x, y)，焦点为F(f, 0)，曲线的方程为f(x, y) = 0。
我们要求点P到焦点F的弦长。
首先，我们可以得到点P到焦点F的距离为：PF = √((x - f)^2 + y^2)然后，我们设圆锥曲线的直径为2a，即曲线上的点到直径的距离为a。
因此，点P到直径的距离为：PD = a - x根据圆锥曲线的定义，我们有：PF = e * PD其中，e为离心率。
将PD代入上式，得到：√((x - f)^2 + y^2) = e * (a - x)对上式两边进行平方，得到：(x - f)^2 + y^2 = e^2 * (a - x)^2展开并整理上式，得到：x^2 - 2fx + f^2 + y^2 = e^2 * (a^2 - 2ax + x^2)移项并整理，得到：(1 - e^2) * x^2 + 2fx - 2ax + f^2 - e^2 * a^2 + y^2 = 0由于点P(x, y)在圆锥曲线上，所以上式左边为0，即：(1 - e^2) * x^2 + 2fx - 2ax + f^2 - e^2 * a^2 + y^2 = 0我们可以将上式写成标准形式：(1 - e^2) * x^2 + 2(f - a) * x + (f^2 - e^2 * a^2 + y^2) = 0注意到上式是一个二次方程，其系数满足关系：A = 1 - e^2B = 2(f - a)C = f^2 - e^2 * a^2 + y^2根据二次方程的性质，可以求出x的两个解，即x1和x2。
那么点P到焦点F的弦长为：PF = |x1 - x2|将x1和x2代入上式，即可得到圆锥曲线焦弦长公式的推导结果。
需要注意的是，具体的圆锥曲线焦弦长公式会根据不同的圆锥曲线类型（如椭圆、双曲线、抛物线等）而有所差异。
高中数学圆锥曲线弦长公式(一)
高中数学圆锥曲线弦长公式(一)高中数学圆锥曲线弦长公式1. 椭圆的弦长公式•椭圆是圆锥曲线中的一种•弦是椭圆内部的两点之间的线段•椭圆的弦长可由弦与椭圆的焦点坐标计算得到2. 椭圆弦长公式•假设椭圆的焦点为F1(0, c)和F2(0, -c)，椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•椭圆的弦长公式为：d = 2a * √(1-(Ax-Bx)²/(4a²)) + 2b * √(1-(Ay-By)²/(4b²))举例说明•假设有一个椭圆的长轴长度为6，短轴长度为4，焦点坐标为F1(0, 2)和F2(0, -2)•弦的端点坐标为A(3, -2)和B(-3, 2)•根据椭圆弦长公式：d = 26 √(1-(3+3)²/(46²)) + 24 * √²/(4*4²))•化简得：d = 12 * √(1-36/144) + 8 * √(1-16/64)•继续化简得：d = 12 * √(1-1/4) + 8 * √(1-1/4)•最终结果为：d = 12 * √(3/4) + 8 * √(3/4)•进一步化简得：d = +•因此，该椭圆的弦长为约。
3. 抛物线的弦长公式•抛物线是圆锥曲线中的一种•弦是抛物线内部的两点之间的线段•抛物线的弦长公式可通过两点间的距离计算得到举例说明•假设有一个抛物线的焦点为F(0, p)，准线方程为y = -p，焦距为2p•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•则抛物线的弦长公式为：d = √((Ax-Bx)²+(Ay-By)²)4. 双曲线的弦长公式•双曲线是圆锥曲线中的一种•弦是双曲线内部的两点之间的线段•双曲线的弦长公式可通过两点间的距离计算得到举例说明•假设有一个双曲线的焦点为F1(c, 0)和F2(-c, 0)，双曲线的长轴长度为2a，短轴长度为2b•弦的两个端点的坐标为(Ax, Ay)和(Bx, By)•则双曲线的弦长公式为：d = √((Ax-Bx)²-(Ay-By)²)以上是高中数学中圆锥曲线弦长公式的相关介绍和举例说明。
求解圆锥曲线的弦长公式的推导过程
圆锥曲线的弦长公式是：L=2π√(R^2+r^2)/2-Rr 。
推导过程如下：
1、将圆锥曲线分解成外部半径为R的大圆和内部半径为r的小圓，由于它们有相同的中心，因此可以将它们看作一条弧。
2、根据余弦定理可得出大圆和小圓之间的夹角θ=cos-1((R-r)/d) （d表示大小圓之间的距离）。
3、根据三角形周长公式可得出该三角形周长L=a+b+c （a,b,c分别表示大小圓之间夹边所对应的三条弦）。
4、由于该三角形是一个平行四边形中心旁切剖而成，因此有a=b=c=(R+r)sinθ/2
（sinθ/2表示斜对边所对应的半径所成外劈边所对应的斜对辰～也就是说斜对辰也是一条直径~ 就能通过上述方法将原始问题化整个思想流畅明了~ 正好可以使电子学习者不会陷入难以理解和无法适应学习氛围中~ 呵呵~ 终于有人能帮助你理清思想流畅明了~ 正好可以使电子学习者不会陷入难以理解和无法适应学习氛围中~ 呵呵~ 终于有人能帮助你理清思想流畅明了~~). 5、将上述步骤代入L = a + b + c , 即 L = 2 ( R + r ) sin θ / 2 . 6、根据正弦定理sin θ = 2 sin ( θ / 2 ) cos ( θ / 2 ) , 就可以将L = 4 R r cos ( θ / 2 ) . 7、再根据余弦定理cos ( θ / 2 ) = √ [ 1 - sin ^ { 2 } ( θ / 2 )] , 最后便可得出L = 4 R r √ [ 1 - ( R - r d ) ^
{ 2 } ] . 8. 最后化整即L = 4 π √(R^2+r^2)/4-Rr。
高中数学圆锥曲线弦长公式(二)
高中数学圆锥曲线弦长公式(二)高中数学圆锥曲线弦长公式1. 弦长公式弦长公式是关于圆锥曲线上两点之间弦的长度的公式，根据不同的圆锥曲线类型有不同的表达式。
下面将列举各个圆锥曲线的弦长公式，并给出相应的示例。
椭圆的弦长公式椭圆是一种圆锥曲线，其弦长公式为：L=2asin(θ2 )其中，L为弦长，a为椭圆长轴的长度，θ为弦与椭圆长轴所夹的角度。
例如，假设椭圆长轴长度为6，弦与椭圆长轴所夹角度为60°，代入公式计算得到：L=2×6sin(60°2)=2×6sin30°=6×1=6所以该椭圆上所给定的两点之间的弦长为6。
双曲线的弦长公式双曲线是一种圆锥曲线，其弦长公式为：L=2asinh(θ2 )其中，L为弦长，a为双曲线长轴的长度，θ为弦与双曲线长轴所夹的角度，sinh为双曲正弦函数。
例如，假设双曲线长轴长度为4，弦与双曲线长轴所夹角度为45°，代入公式计算得到：L=2×4sinh(45°2)=2×4sinh°=2×4×=所以该双曲线上所给定的两点之间的弦长约为。
抛物线的弦长公式抛物线是一种圆锥曲线，其弦长公式为：L=|8a2 3ℎ|其中，L为弦长，a为抛物线的焦点到顶点的距离，ℎ为弦与抛物线的对称轴之间的垂直距离。
例如，假设抛物线的焦点到顶点的距离为6，弦与抛物线的对称轴之间的垂直距离为2，代入公式计算得到：L=|8×623×2|=|2886|=48所以该抛物线上所给定的两点之间的弦长为48。
2. 总结•椭圆的弦长公式为L=2asin(θ2)；•双曲线的弦长公式为L=2asinh(θ2)；•抛物线的弦长公式为L=|8a 23ℎ|。
以上是圆锥曲线弦长公式的相关内容，通过这些公式我们可以计算出给定圆锥曲线上两点之间的弦长。
圆锥曲线弦长公式精编版
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯圆锥曲线弦长公式对于直线与圆锥曲线订交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为对于 x 的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这类整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线订交弦长是十分有效的，但是对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这类方法对比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及相关定理导出各样曲线的焦点弦长公式就更加简捷。
. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。
解：连接，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a为长半轴， b 为短半轴， c 为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：二.双曲线的焦点弦长设双曲线，此中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。
解：（ 1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点 A、B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长（ 2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，整理可得，则所以焦点在 x 轴的焦点弦长为同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式三此中 a 为实半轴， b 为虚半轴， c 为半焦距，为 AB的倾斜角。
. 抛物线的焦点弦长若抛物线与过焦点的直线订交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长 |AB| ？（图 4）解：过 A、B两点分别向 x 轴作垂线为垂足，设，，则点 A 的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为由以上三种状况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，特别简单明确，应予以掌握。
一。
弦长公式证明及应用详解
弦长公式证明及应用详解公式为： ｜AB ｜2121x x k -+=2122124)(1x x x x k -++=和：|AB|=122121224)(||11y y y y y y k-+=-+作用:应用弦长公式很方便，它所解决的问题是求直线与所有圆锥曲线所交弦的弦长，因为直线的斜率往往是已知的，这样再知道两个交点的横坐标或者纵坐标就可以直接利用公式求出来，如果不知道横纵坐标也可以直接把直线和圆锥曲线联立方程组，进而转化成一元二次方程利用韦达定理不用解方程代入公式直接求出弦长 公式证明：证法一：若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-=221221)]([)(b kx b kx x x +-++-= 2121x x k -+= 2122124)(1x x x x k-++=其实用三角函数来证明也很简单 方法如下 证法二：表示倾斜角）ααααααα(cos 1111cos cos cos sin tan222222==+=+=+k 又因为：αcos ||||21=-AB x x 所以||1||cos 1cos ||||2122121x x k x x x x AB -+=-=-=αα2122124)(1x x x x k -++= 同理:｜AB|=122121224)(||11y y y y y y k-+=-+推导方法如下：是倾斜角）αα(sin ||||21=-AB yy ; 又因为：αααααααsin 111211sin sin cos sin sin cos 222222==+=+=+k所以：｜AB ｜=122121224)(||11y y y y y y k-+=-+特殊的,在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB ｜=2P例题1:已知直线1+=x y 与双曲线14:22=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （ 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14122y x x y 得224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+35322121x x x x 得,2383209424)(1212212=+=-++=x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为1222=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点,求AB 的弦长练习2：设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53,求m 的值分析：联立直线与抛物线的方程,化简,根据根与系数的关系，求弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=122122y x x y 得03462=-+x x则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=+21322121x x x x3112)21(4)32(24)(12212212=-⨯--=-++=∴x x x x k AB解: 设),(),,2211y x B y x A （联立方程：⎩⎨⎧+==mx y x y 242得0)44(422=+-+m x m x则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+4122121m x x m x x 53)1(54)(122212212=--=-++=m m x x x x kAB4-=∴m例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长AB分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-（根据直线垂直斜率之积是-1）且AB 的中点在已知直线上解:B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=⋅∴AB l k k 1-=l k 1=∴AB k设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （ 联立方程⎩⎨⎧+-=+=32x y bx y 化简得032=-++b x x121-=+∴x x AB ∴中点)21,21(b M +--在直线0=+y x 上 1=∴b 022=-+∴x x则 ⎩⎨⎧-=-=+212121x x x x238)1(24)(12212212=+-=-++=∴x x x x k AB小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式作业:（1） 过抛物线24y x =的焦点,作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且316=AB ，求α的值 （2） 已知椭圆方程1222=+y x 及点)2,0(-B ,过左焦点1F 与B 的直线交椭圆于C 、D 两点,2F 为椭圆的右焦点,求2CDF ∆的面积。
高中数学圆锥曲线弦长公式
高中数学圆锥曲线弦长公式
摘要：
1.圆锥曲线的定义和重要性
2.圆锥曲线弦长公式的推导和应用
3.圆锥曲线弦长公式的简化方法
4.圆锥曲线弦长公式在实际问题中的应用
正文：
一、圆锥曲线的定义和重要性
圆锥曲线是一种重要的几何图形，它包括椭圆、双曲线、抛物线和它们的简化形式：圆和直线。
圆锥曲线可以通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到。
在数学和几何学中，圆锥曲线有着广泛的应用，它们是许多重要理论和问题的基础。
二、圆锥曲线弦长公式的推导和应用
圆锥曲线弦长公式是指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
求解圆锥曲线弦长公式的通用方法是将直线方程代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的。
三、圆锥曲线弦长公式的简化方法
然而，对于过焦点的圆锥曲线弦长求解，利用上述方法相比较而言有点繁琐。
这时，可以利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式，以简化运算过程。
例如，椭圆弦长公式为d(1k)x1-x2，双曲线弦长公式为
d(1k2)/a2，抛物线弦长公式为d(1k2)/a。
四、圆锥曲线弦长公式在实际问题中的应用
掌握圆锥曲线弦长公式，可以帮助我们更好地解决实际问题。
例如，在研究某个卫星绕地球的运动轨迹时，我们可以通过圆锥曲线弦长公式来计算卫星与地球之间的距离，从而更准确地预测卫星的运行轨迹。
此外，在光学、力学、天文学等领域，圆锥曲线弦长公式也有着广泛的应用。
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y kx b 代入曲线方程，化为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标 A x i , y i ,B X 2, y ，利用韦达定理及弦长公式 ^/(1 k 2)[(x 1 x 2)2 4x 1x 2]求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与 曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较 而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为 简捷.一、椭圆的焦点弦长2 2若椭圆方程为X2y2 1(a b 0)，半焦距为c>0,焦点F i ( c,0), F 2(C ,0)，设过F ia b的直线I 的倾斜角为,l 交椭圆于两点A x i , y i ,B X 2，y 2 ,求弦长AB .解：连结F 2A F 2B ，设|F i A| x,|F i B| y ，由椭圆定义得 旧円2a x’RB 2a y ，半轴，c 为半焦距)由余弦定理得x 2(2C )2 2X 2C cos(2a x)2，整理可得xb 2 ac cos ，同理可求b 2 b 2 ac cos，则 AB x ya c cosb 2 ac cos2ab 2~222~；a c cos 同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为AB2ab 22 2.2a c sin(a 为长半轴，b 为短结论：椭圆过焦点弦长公式:AB2ab 2 222a c cos2ab 2 22.2a c sin(焦点在x 轴上), (焦点在y 轴上).* V二、双曲线的焦点弦长2 2设双曲线冷二1 a 0,b 0,其中两焦点坐标为F, c,0）, F2（C,0），过F i的直线I的a b倾斜角为，交双曲线于两点Ax i，y i ,B X2，y2，求弦长|AB|.b解： (1)当arctan —aarctan —时，（如图2）aX2(2C)22X 2C cos (X 2a)2, y2(2C)2 2y 2c cos( ) (y 2a)22ab22 2 2 a c cos直线I与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连F Q A^B，设|FiA X,|F I B由双曲线定义可得F2A X 2a, F2B y 2a，由余弦定理可得整理可得xa c cosy ----------------- ，则可求得弦长a c cos时，如图3,b arctan —aarcta nb或a直线I与双曲线交点A X1,y1 ,B X2,y2在两支上，连F2AF2B,设F“A X, F“B y,a c cos c cos2则F 2A2a, F 2B y 2a ，由余弦定理可得x 2 (2c)2 2x 2c cos (x 2a)2, y 2 (2c)2 2y 2c cos (y 2a)2, 整理可得, b 2 b 2 ccos a,yc cos ABb 2 b 2 y xccos a c cos 2ab 2 2 2 . cos a 因此焦点在x 轴的焦点弦长为 2ab 2~2 2 2 a c cos 「2ab 222c cosa 2(0(arcta n —a arcta n—或a arcta nb ), a b arcta n — a).同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式 2ab 2 AB a2 . 2(0c sin 2ab 22 . 2 2 c sin a arcta n b或 a (arcta n — a b arcta n — a arcta n^).a),其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距, 为AB 的倾斜角.三、抛物线的焦点弦长若抛物线y 2 2px(p0)与过焦点F 与0)的直线l 相交于两点AX/S 2」2，若l 的倾斜角为，求弦长|AB|. 解：过A 、B 两点分别向 x 轴作垂线AA 、BB , A 、B 为垂足，设I FA X ,|FB则点A 的横坐标为px cos ，点B 横坐标为f ycos ，由抛物线定x cosy cos p2 y,P 1 cosp 1 cosp 1 cos2p1 cos 1 cos 22p.2 sin同理y22px(p 0)的焦点弦长为AB fsinx22py(p 0)的焦点弦长为AB —挙，，所以抛物线的焦点弦长为cos2p (焦点在X轴上),|AB| si2焦点在y轴上).cos由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握圆锥曲线的弦长公式、椭圆：设直线与椭圆交于P i(x i,y i),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，贝U|P1P2|=|x1-x2| . (1 K2)或|P1P2|=|y1-y2| • (1 1/K2) {K=(y2-y1)/(x2-x1)} =(1 k2)[(X i X2)24x1X2]、双曲线：设直线与双曲线交于P1(X1,y1),P2(X2,y2),且P1P2斜率为K，贝U|P1P2|=|x1-x2| . (1 K2)或|P1P2|=|y1-y2| •. (1 1/K2) {K=(y2-y1)/(x2-x1)} =(1 k2)[(x1 X2)24x1X2]三、抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x1+x2+p 或|AB|=2p/(sin2 ) { 为弦AB 的倾斜角}或A B| 2P -k2(k为弦AB所在直线的斜率)1 k⑵设直线与抛物线交于P1(X1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|X1-X2| (1 K2)或|P1 P2|=|y1-y2p. (1 1/K 2) {K=(y2-y1)/(x2-x1)}1 k2)[(x1 X2)24x1X2]。
圆锥曲线中直线相交的弦长公式
一、介绍圆锥曲线和直线相交的问题圆锥曲线是解析几何中重要的曲线之一，它包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。
而直线与圆锥曲线的相交问题一直是几何学中的一个重要研究课题。
其中，直线与圆锥曲线的相交可以形成弦，而弦长公式是研究这一问题的核心内容之一。
二、椭圆的弦长公式对于椭圆而言，它有两个焦点F1和F2，以及两个不同的半轴a和b。
若给定椭圆上一点P(x, y)和过点P的直线l，与椭圆相交于点A和点B。
连接点A和点B的线段叫做椭圆的弦。
椭圆的弦长公式可以表示为：AB = 2 * sqrt((a^2 - (a^2 * m^2))/ (1 + m^2))其中，m为直线l的斜率。
这个公式可以通过直线与椭圆方程的联立得出。
三、双曲线的弦长公式对于双曲线而言，它同样有两个焦点F1和F2，以及两个不同的半轴a和b。
双曲线上的一点P(x, y)和过点P的直线l相交于点A和点B。
连接点A和点B的线段同样称为双曲线的弦。
双曲线的弦长公式可以表示为：AB = 2 * sqrt((a^2 * m^2 - a^2)/ (m^2 - 1))其中，m为直线l的斜率。
这个公式也可以通过直线与双曲线方程的联立得出。
四、抛物线的弦长公式对于抛物线而言，它有一个焦点F和一个定点D。
同样，抛物线上的一点P(x, y)和过点P的直线l相交于点A和点B。
连接点A和点B 的线段称为抛物线的弦。
抛物线的弦长公式可以表示为：AB = 2 * |x - p|/cos(θ)其中，p为抛物线的焦点到顶点的距离，θ为直线l与x轴的夹角。
这个公式同样可以通过直线与抛物线方程的联立得出。
五、结语圆锥曲线中直线相交的弦长公式是解析几何中的重要内容，在实际问题的运用中也有着广泛的应用。
通过深入研究和灵活运用这些弦长公式，可以更好地解决相关问题，拓展几何学的应用领域。
希望本文能够对读者对圆锥曲线和弦长公式有所启发，并在相关领域的研究和实践中起到一定的促进作用。
圆锥曲线和直线相交问题是解析几何中的一个重要课题，它涉及到圆、椭圆、双曲线和抛物线等重要曲线。
圆锥曲线的弦长公式与其推导过程
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y kx b 代入曲线方程，化为关于 x 的一元二次方程，设出交点坐标A x 1, y 1 ,B x 2, y 2 , 利用韦达定理及弦长公式(1 k 2 )[( x 1 x 2 )2 4 x 1x 2 ] 求出弦长，这种整体代换、 设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的， 然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐， 若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷 .一、椭圆的焦点弦长若椭圆方程为x 2y 2 1(a b 0) ，半焦距为 c>0，焦点 F 1 ( c,0),F 2 (c,0) ，设过 F 1a 2b 2的直线 l 的倾斜角为 , l 交椭圆于两点 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 , 求弦长 AB .解：连结 F 2 A, F 2 B ，设 F 1 A x, F 1B y ，由椭圆定义得 F 2 A2a x, F 2 B 2a y ，由余弦定理得 x 2(2c)22x 2c cos( 2ax)2 ，整理可得 xb 2 ，同理可求a c cosb 2，则 ABx yb 2b 22ab2；得 ycosc cos a c cosa 2 c 2 cos 2a ca同理可求得焦点在 y 轴上的过焦点弦长为AB2ab 2（ a 为长半轴， b 为短a2c 2 sin2半轴， c 为半焦距） .2ab 2(焦点在 x 轴上 ),结论：椭圆过焦点弦长公式：AB a 2c 2 cos 22ab2(焦点在 y 轴上 ).a2c2sin2二、双曲线的焦点弦长设双曲线x2y2 1 a 0,b 0 , 其中两焦点坐标为F1(c,0), F2 (c,0)，过 F1的直线l的a2b2倾斜角为，交双曲线于两点 A x1 , y1 , B x2, y2 , 求弦长 |AB|.解：（ 1）当arctan barctanb）a a时，（如图 2直线 l 与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连F2A, F2B，设F1A x, F1B y, ，由双曲线定义可得 F2 A x2a, F2 B y2a，由余弦定理可得x2(2c)22x2c cos( x2a)2 , y2(2c) 2 2 y 2c cos() ( y 2a)2整理可得 x b 2， y b2，则可求得弦长a c cosa c cosAB x y b 2b22ab 2;c cos a c cos a2 c 2 cos2a（ 2）当b或b时，如图，0arctan arctana a直线 l 与双曲线交点A x1, y1,B x2, y2在两支上，连2A,F2B,设,,F F1 A x F1B y则 F 2 A x 2a, F 2 B y 2a ，由余弦定理可得x 2 (2c)2 2x 2c cos( x 2a)2 , y 2 (2c)22 y 2c cos( y 2a) 2 ,整理可得，xb 2, yb 2,则c cosa c cosaAB y xb 2b 22ab 2a 2 .c cosa c cosac 2 cos2因此焦点在 x 轴的焦点弦长为a 22ab2(arctan barctan b),ABc 2 cos 2 aa2ab 22 (0 arctan b或b).22a arctanc cosaa同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式a22ab 2(0arctan b或arctan b),AB c 2 sin 2a a2ab 2b arctan b2sin 2a 2 (arctan ).caa 其中 a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距，为 AB 的倾斜角 .三、 抛物线的焦点弦长若抛物线 y 22 px( p 0) 与过焦点 F ( p,0) 的直线 l 相交于两点 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 ，若l 的倾斜角为 ，求弦长 （图 2 |AB|. ）4解：过 A 、B 两点分别向 x 轴作垂线 AA 1、BB 1，A 1、 B 1 为垂足， 设 FAx, FB y ，则点 A 的横坐标为px cos ，点 B 横坐标为py cos，由抛物线定22义知pp x,pp y,即xppx cos y cos1 , y1 ,2 222coscos则 xpp 2 p2 p,y1cos1 cos 2sin 21 cos同理y 22(0) 的焦点弦长为AB2 p, px p sin 22 px2 2 py( p0) 的焦点弦长为AB,，所以抛物线的焦点弦长为cos22 p焦点在轴上，AB sin2(x)2 p(焦点在轴上).cos2y由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握.圆锥曲线的弦长公式一、椭圆：设直线与椭圆交于P 1(x1 ,y1),P 2(x2 ,y2),且 P1P2斜率为 K，则1 212|(1K 2 )或|P1P2|=|y1-y2|(1 1/K 2 ){K=(y2-y1)/(x2-x1)}|P P|=|x -x= (1k2 )[( x x2)24x x2]11二、双曲线：设直线与双曲线交于P 1(x1 ,y1),P 2(x2,y2 ),且 P1P2斜率为 K，则|P1P2 |=|x 1-x2 |(1 K 2 ) 或|P1P2|=|y1-y2|(11/K 2 ) {K=(y2-y1)/(x2-x1)} =(1 k2 )[( x1x2 )24x1x2 ]三、抛物线：(1)焦点弦：已知抛物线 y2=2px,A(x 1 ,y1),B(x 2,y2 ),AB为抛物线的焦点弦，则|AB|=x 1+x2 +p 或|AB|=2p/(sin2）{为弦 AB 的倾斜角 }或 ABk2(k为弦 AB所在直线的斜率) 2Pk 21(2)设直线与抛物线交于 P1( x1,y1 ),P2(x2,y2 ),且 P1 P2斜率为 K，则|P12 1 2|(1K2)或|P1212|(1 1/K 2)2121)}P|=|x -x P|=|y-y{K=(y-y )/(x-x = (1 k2)[( x1x2 )24x1x2 ]。
圆锥曲线弦长
圆锥曲线弦长一、前言圆锥曲线是数学中的重要概念，它包括了椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
而弦长则是圆锥曲线中一个重要的参数，它可以用来描述曲线的形状和大小。
本文将详细介绍圆锥曲线弦长的相关知识。
二、椭圆弦长1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1、F2距离之和为常数2a（a>0）的点P 的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点。
2. 椭圆弦长公式对于椭圆，如果一条直线经过焦点F1和F2，并且与椭圆相交于两个不同的点P1和P2，则这条直线称为椭圆的弦。
设这条弦长度为L，则有如下公式：L = 2 * √(a^2 - b^2)其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 椭圆弦长示例假设有一个椭圆，其半长轴a=5，半短轴b=3。
现在画一条经过焦点F1和F2的弦，如下图所示：[图片]根据公式可以计算出这条弦的长度：L = 2 * √(5^2 - 3^2) ≈ 7.746因此，这条弦的长度约为7.746。
三、双曲线弦长1. 双曲线的定义双曲线是平面上到两个定点F1、F2距离之差为常数2a（a>0）的点P的轨迹。
这两个定点称为双曲线的焦点。
2. 双曲线弦长公式对于双曲线，如果一条直线经过焦点F1和F2，并且与双曲线相交于两个不同的点P1和P2，则这条直线称为双曲线的弦。
设这条弦长度为L，则有如下公式：L = 2 * |a| * ln((L/|a|) + √((L/|a|)^2 - 1))其中，ln表示自然对数，|a|表示a的绝对值。
3. 双曲线弦长示例假设有一个双曲线，其焦距为6，离心率为3/4。
现在画一条经过焦点F1和F2的弦，如下图所示：[图片]根据公式可以计算出这条弦的长度：L = 2 * |6| * ln((L/|6|) + √((L/|6|)^2 - 1))通过数值计算可以得到，这条弦的长度约为8.184。
四、抛物线弦长1. 抛物线的定义抛物线是平面上到一个定点F距离等于点P到一条直线L距离的点P 的轨迹。
高中数学圆锥曲线弦长公式
高中数学圆锥曲线弦长公式
（原创实用版）
目录
1.圆锥曲线的定义和重要性
2.圆锥曲线弦长公式的推导和应用
3.圆锥曲线弦长公式的简化方法
4.圆锥曲线弦长公式在实际问题中的应用
正文
一、圆锥曲线的定义和重要性
圆锥曲线是一个广泛的数学概念，它包括椭圆、双曲线、抛物线和它们的简化形式：圆和直线。
这些曲线在几何学、物理学和工程学等领域都有重要的应用。
圆锥曲线的定义是通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线。
二、圆锥曲线弦长公式的推导和应用
圆锥曲线弦长公式是用于计算直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
通用方法是将直线方程代入曲线方程，化为关于 x（或关于 y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的。
三、圆锥曲线弦长公式的简化方法
为了简化圆锥曲线弦长公式的计算过程，可以利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式。
例如，对于椭圆，弦长公式可以简化为 d(1k)x1-x2，其中 d 表示焦点到直线的距离，k 为直线的斜率，x1 和 x2 为交点坐标。
四、圆锥曲线弦长公式在实际问题中的应用
圆锥曲线弦长公式在实际问题中有广泛的应用，例如在物理学中，它可以帮助我们计算天体在引力作用下的运动轨迹；在工程学中，它可以帮助我们设计光学仪器和通信系统等。
通过掌握圆锥曲线弦长公式，我们可以更好地理解和解决实际问题。
综上所述，圆锥曲线弦长公式是数学和几何学中的一个重要概念，它对于解决实际问题具有重要的意义。
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(2)设直线与抛物线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=
=
二、双曲线：
设直线与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
=
三、抛物线：
(1)焦点弦：已知抛物线y²=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则
设双曲线 其中两焦点坐标为 ，过F1的直线 的倾斜角为 ，交双曲线于两点 求弦长|AB|.
解：（1）当 时，（如图2）
直线 与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连 ，设 ，由双曲线定义可得 ，由余弦定理 ，如图3，
直线 与双曲线交点 在两支上，连F2A,F2B,设
圆锥曲线的弦长公式及其推导过程之阿布丰王创作
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线 代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标 利用韦达定理及弦长公式 求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷.
同理 的焦点弦长为
的焦点弦长为 ，所以抛物线的焦点弦长为
由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握.
圆锥曲线的弦长公式
一、椭圆：
设直线与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则
|P1P2|=|x1-x2| 或|P1P2|=|y1-y2| {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
则 ，由余弦定理可得 , ,
整理可得，
因此焦点在x轴的焦点弦长为
同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距， 为AB的倾斜角.
三、抛物线的焦点弦长
若抛物线 与过焦点 的直线 相交于两点 ，若 的倾斜角为 ，求弦长|AB|.（图4）
解：过A、B两点分别向x轴作垂线AA1、BB1，A1、B1为垂足， ，则点A的横坐标为 ，点B横坐标为 ，由抛物线定
一、椭圆的焦点弦长
若椭圆方程为 ，半焦距为c>0，焦点 ，设过 的直线 的倾斜角为 交椭圆于两点 求弦长 .
解：连结 ，设 ，由椭圆定义得 ，由余弦定理得 ，整理可得 ，同理可求得 ，则 ；
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为 （a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）.
结论：椭圆过焦点弦长公式：
二、双曲线的焦点弦长