2021年全国高考数学全国甲卷(理)-压轴题

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2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(甲

卷·理科)压轴题

注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上

11．已知A ，B ，C 是半径为1的球О的球面上的三个点，且AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，则三棱锥O －ABC 的体积为( ) A ．√2

12

B ．√3

12

C ．√2

4

D ．√3

4

【命题意图】考查空间几何体的体积，球与组合体的切接问题，考查空间想象及数学运算能力 答案：A

解： AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，设O 1为AB 的中点，连接CO 1,OO 1，CO 1=√2

2

，由题意OO 1⊥平面ABC ，在Rt △OO 1C 中，

OO 1=√OC 2−CO 12

=√2

2,三棱锥O -ABC 的体积为1

3×1

2×1×1×√22=√2

12.

点评：利用直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，确定截面圆的圆心，再根据球心与截面圆的连线与截面垂直，构造直角三角形，利用勾股定理求三棱锥的高和体积.

12．设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f(x)＝ax 2＋b ．若f(0)＋f(3)＝6，则f (9

2)＝( ) A ．−94

B ．−3

2

C ．7

4

D ．5

2

【命题意图】考查函数的奇偶性，周期性，考查学生数学抽象，逻辑推理能力 答案：D

解：由题意f(x ＋1)为奇函数，则f(-x ＋1)=- f(x ＋1)，f(1)=0, f(x ＋2)为偶函数，则f(x ＋2)= f(-x ＋2)， 则f(x+2)= f(x+1+1)=-f(-x), f(2-x) =-f(-x),f(1)=0 又有f(2-x)= f(1+(1-x))=-f(x), f(-x)= f(x),f(x)为偶函数.

f(x+4)= f((x+2)+2)= f(-(x+2)＋2)=f(-x)=f(x),函数f(x)的周期为4， f(3)= f(1)=0，f(0)=-f(2).

当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b ．由f (1)=0得a+b=0, f(0)＋f(3)＝6，f (0)=6, f(2)=-6 4a+b=-6,a=-2,b=2, f (9

2)= f (1

2)=- f (3

2)=-[-2×(3

2)2+2]= 5

2.

点评：根据函数的奇偶性，求得函数为周期函数，并求出周期，根据特殊函数值列出关于a 、b 的方程组，并求出a ，b ，再利用周期性转化求特殊函数值.

16．已知函数f(x)＝2cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则满足条件(f(x)−f (−7π

4

))(f(x)−f (4π

3))>0的最小正整数x 为______．

【命题意图】考查三角函数性质及应用，考查数形结合，数学运算能力 答案：2

解：由图可知, ()f x 的最小正周期 413,23123T πππω⎛⎫

=

⨯-=∴= ⎪⎝⎭

. 因为13132,2cos 2,2,1266f k k z π

ππϕϕπ⎛⎫⎛⎫

=∴+=∴=-+∈

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

. 所以4()2cos 20,2cos 163

34426f x x f

f f f ππ

πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=-∴==-==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

. ∴(()1)(()0)0()0f x f x f x -->⇔< 或 ()1f x >.

结合图象可知, 满足()1f x >的离y 轴最近的正数区间 0,

4π⎛⎫

⊆ ⎪⎝⎭

, 无整数; ()0f x < 的离y 轴最近的正数区间为 5,

36

ππ

⎛⎫

⎪⎝⎭

, 最小正整数2x =.

点评：根据三角函数的图象，求解三角函数的解析式，利用f(x)的取值范围结合图象，充分利用所求x 为最小整数这个特征，分类讨论求解.

21．抛物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：x ＝1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M(2，0)，且⊙M 与l 相切． (1)求C ，⊙M 的方程；

(2)设A 1，A 2，A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判段直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由． 【命题意图】考查抛物线方程，直线与圆的位置关系，考查逻辑推理，数学运算的能力 解：（1）因为1x =与抛物线有两个不同的交点，故可设抛物线C 的方程为：22(0)y px p =>， 令1x =

，则y =，

x

根据抛物线的对称性，不妨设P 在x 轴上方，Q 在X

轴下方，故(1(1P Q ， 因为OP OQ ⊥

，故1102

p =⇒=， 抛物线C 的方程为：2y x =，

因为M 与l 相切，故其半径为1，故22:(2)1M x y -+=． （2）设11(A x ，1)y ，22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ．

当1A ，2A ，3A 其中某一个为坐标原点时（假设1A 为坐标原点时）， 设直线12A A 方程为0kx y -=，根据点(2,0)M 到直线距离为1

1=

，解得k =， 联立直线12A A 与抛物线方程可得3x =， 此时直线23A A 与M 的位置关系为相切，

当1A ，2A ，3A 都不是坐标原点时，即123x x x ≠≠，直线12A A 的方程为1212?()0x y y y y y ++=，

1=，即22

212

121(?1)23?0y y y y y ++=， 同理，由对称性可得，22

213

131(?1)23?0y y y y y ++=， 所以2y ，3y 是方程222111(?1)23?0y t y t y ++= 的两根， 依题意有，直线23A A 的方程为2323?()0x y y y y y ++=，

令M 到直线23A A 的距离为d ，则有22

12

2223

12

2

123213?(2)(2)?11?21()

1()?1

y y y y d y y y y ++===+++， 此时直线23A A 与M 的位置关系也为相切， 综上，直线23A A 与M 相切． 21．已知a >0且a ≠1，函数f(x)＝x a a x

(x >0)．

(1)当a ＝2时，求f(x)的单调区间；

(2)若曲线y ＝f(x)与直线y ＝1有且仅有两个父点，求a 的取值范围．

【命题意图】考查利用导数研究函数的单调性函数的零点，考查逻辑推理，数学运算能力

解：（1）2a =时，2

()2

x x f x =，

2

22

2(

)2222(22)

2()(2)22x

x

x x

x

ln x x x ln x x xln ln f x ⋅-⋅-⋅-'=

==

，