2021届高考数学总复习(人教A版,理科)配套题库： 数列的综合应用(含答案解析)

第5讲数列的综合应用

一、选择题

1．已知{a n}为等比数列．下面结论中正确的是()．A．a1＋a3≥2a2B．a21＋a23≥2a22

C．若a1＝a3，则a1＝a2D．若a3>a1，则a4>a2

解析设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，由于a21＋a23≥2a1a3＝2a22.

答案 B

2．满足a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，它的前n项和为S n，则满足S n>1 025的最小n值是()．

A．9 B．10 C．11 D．12

解析由于a1＝1，log2a n＋1＝log2a n＋1(n∈N*)，所以a n＋1＝2a n，a n＝2n－1，S n＝2n－1，则满足S n>1 025的最小n值是11.

答案 C

3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产

线连续生产n年的累计产量为f(n)＝1

2n(n＋1)(2n＋1)吨，但假如年产量超过150吨，将会给

环境造成危害．为疼惜环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是()．

A．5年B．6年C．7年D．8年

解析由已知可得第n年的产量a n＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令a n≥150⇒n≥52，即数列从第8项开头超过150，即这条生产线最多生产7年．

答案 C

4．在等差数列{a n}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，S n是数列{a n}前n项的和，若S n取得最大值，则n＝()．

A．7 B．8 C．9 D．10

解析设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，

所以d＝－4

33a1<0.

解不等式a n>0，即a1＋(n－1)

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－4

33a1>0，

所以n<37

4

，则n≤9，

当n≤9时，a n>0，同理可得n≥10时，a n<0.

故当n＝9时，S n取得最大值．

答案 C

5．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)等于()．

A．n(2n＋3) B．n(n＋4)

C．2n(2n＋3) D．2n(n＋4)

解析由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，

则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，

f(2)＋f(4)＋…＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋…＋(2×2n＋1)＝2n2＋3n.

答案 A

6．若数列{a n}为等比数列，且a1＝1，q＝2，则T n＝

1

a

1

a

2

＋

1

a

2

a

3

＋…＋

1

a

n

a

n＋1

的结果可化为( ) A．1－

1

4n

B．1－

1

2n

C.

2

3⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1－

1

4n

D.

2

3⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1－

1

2n

解析a n＝2n－1，设b n＝

1

a

n

a

n＋1

＝

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫1

2

2n－1，

则T n＝b1＋b2＋…＋b n＝

1

2

＋

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫1

2

3＋…＋

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫1

2

2n－1

＝

1

2⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1－

1

4n

1－

1

4

＝

2

3⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

1－

1

4n

.

答案 C