厚壁圆筒应力分析剖析
压力容器应力分析_厚壁圆筒弹性应力分析
工程上一般将设计压力在10≤p≤100MPa之间的压力容器称为高压容器，而将100MPa压力以上的称为超高压容器。
高压容器不但压力高，而且同时伴有高温，例如合成氨就是在15～32MPa压力和500℃高温下进行合成反应。
一般来说，高压和超高压容器的径比K > 1.2，称此类容器为“厚壁容器”。
本章讨论的对象，是厚壁圆筒型容器。
承受压力载荷或者温差载荷的厚壁圆筒容器，其上任意点的应力，是三向应力状态。
即存在经向应力（又称轴向应力）、周向应力和径向应力。
针对厚壁筒的应力求解，将在平衡方程、几何方程、物理方程三个方面进行分析。
2.2.1 弹性应力－压力载荷引起的弹性应力（1）轴向(经向)应力ϭz222200002200002220()1i z i i i i i i i z i iP P FP P p R p R F R R p R p R p p KR K R R K R σππππσ−=−=⋅−⋅=−−−⋅===−−径比(2) 周向应力ϭ和径向应力ϭrθ三对截面：一对圆柱面，相距dr一对纵截面，相差dθ一对横截面，长度为1Ϭz作用在横截面上Ϭr作用在圆柱面上Ϭθ作用在纵截面上平衡方程（沿径向列平衡方程）()()112sin 102r r r d d r dr d rd dr θθσσθσθσ++⋅−⋅−⋅=sin 22d d θθ≈略去高阶无穷小，并使得到平衡方程r r d r drθσσσ−=几何方程()r w dw wdwdr drε+−==径向应变周向应变()r w d rd wrd r θθθεθ+−==上述表达式是Lame 在1833年推得的，又称为Lame 公式。
当仅有内压时，p o =0，有()222222211111112i o i o r z i z r p R K r p R K r p K θθσσσσσσ⎧⎛⎞=⋅−⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪⎛⎞⎪=⋅+⎜⎟⎪−⎝⎠⎨⎪⎛⎞=⋅⎪⎜⎟−⎝⎠⎪⎪=+⎪⎩246810010********σθ R i / σθ R oK可见，当K 越大时，应力的分布就越不均匀。
压力容器厚壁圆筒的弹塑性应力分析PPT课件
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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则平衡方程（不计体力）为
dr r 0
dr
r
dz 0
dz
(2-5)
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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几何方程为
rd du r, u r, zd dw z
(2-6)
变形协调方程
d d r1 r(d du ru r)1 r(r)
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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（2）两端封闭的筒体（筒体端部有端盖） 轴向应力由轴向平衡条件求得
(R o 2 R i2 )zR i2 p iR o 2 p o
即
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z
Ri2pi Ro2po Ro2 Ri2
c3
（2-19）
厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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（c）
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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将 c1 、c2 值代入式（2-13），得两端开
口的厚壁圆筒的位移表达式
u 1 E(R i2R p io 2 R R o 2 i2 p o)r 1 ER i( 2 R R o o 2 2( p iR i2)p ro)
（2-18）
t r
1 E
t r
( t
1Ri2Ro2(pi po
E
Ro2 Ri2
)
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厚壁圆筒的弹塑性应力分析
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下面列出厚壁圆筒各种受力情况（两端封闭）弹性 状态下的应力及位移计算公式
（1）厚壁圆筒同时作用内、外压
（ pi 0, p00）时
第五章__厚壁圆筒的分析2[1]
![第五章__厚壁圆筒的分析2[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/23e33f154431b90d6c85c7fb.png)
式中，A ，B 是积分常数。
当给定u uuS =时，可以用上式确定。
当给定力的边条时，用位移表示应力分量的表达式确定A ，B 。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--+-=--+-=++--=++--=+-=+-=])1()1[(1])1()1[(1][1]1)([1)]([1)(122222222222r B A E r B A E r B Ar r B A E r r B Ar rB A E r u dr du E E r rνννσνννννννννννεενσθθ （5－14） 应力法和位移法这两种解法求得的位移，积分常数之间的关系为： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+--=r B Ar u rC r C E u ])1()1[(121νν比较得： .211,1C EB C E A νν+-=-= 这是按平面应力问题进行的讨论。
平面应变问题只需做常数替换。
由：221rC C r+=σ 和 221rC C -=θσ得：12C r=+θσσ()[][]1211C EEz rzz νσσσνσεθ-=+-=⇒分析：当0=zσ或const z=σ时，r ε为常量。
即在z 方向的变形为均匀变形，垂直于轴线的平面在变形过程中保持为平面。
5-1-2 均匀厚壁圆筒如图示的厚壁圆筒内半径为a ，外半径为b 。
内压1p ，外压2p 。
边条：21,p p br rar r-=-===σσ由（5－9）式：221rC C r +=σ则有：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=+=-=+===22211221p bC C p aC C br rar rσσ联解得： ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=122222222122211p p a b b a C p b p a ab C解释系数：21222212222121221)(a p b p a b C b p C b C a p C a C +-=-⇒⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎪⎬⎫-=+-=+()⎥⎦⎤--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=⇒--=⇒)(1)(112222222212222122221221p p a b b a b p a p a b a ap C b p ap abC将21,C C 回代入（5－9）式~（5－10）式：u r r ，，，，θθεεσσ 应力分量为式（5－15）： ())(111222222221222221p p ab ba rp b p aab rC C r --+--=+=σ()2222122221222122222212221)()]([1ab p b p a rab p p b a p p rb a p b p a ab --+--=-+--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+---=--+--=222212222122222221222212221)(1)(a b p b p a r a b p p b a ab p b p a r a b p p b a r θσσ （5－15）应变分量：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---+--+-=---+--+=])1(1)()1([1])1(1)()1[(122221222212222222122221222a b p b p a r a b p p b a E ab p b p a r a b p p b a E r ννεννεθ （5－16）位移分量： ])1(1)()1([12222122221222r ab p b p a rab p p b a Eu ---+--+-=νν （5－17）分析：（1） 式（5－15）称拉梅公式，与弹性常数ν,E 无关，适用于两类平面问题； （2） 式（5－16、17）为平面应力状态下的应变分量，位移分量； （3） 在考虑平面应变问题时，（5－16）、（5－17）式ν,E 要替换。
厚壁圆筒应力分析剖析
厚壁圆筒应力分析剖析厚壁圆筒是一种常见的结构，广泛应用于各个领域，比如压力容器、热交换器等。
在使用厚壁圆筒的过程中，必须进行应力分析，以确保结构的安全性和可靠性。
首先，研究厚壁圆筒的应力分析需要考虑以下几个方面。
1.圆筒的几何形状：厚壁圆筒是由外径、厚度和长度组成的。
这些几何参数会影响圆筒内部的应力分布情况。
2.材料特性：圆筒的材料特性直接影响其应力分布。
研究厚壁圆筒时，通常会考虑材料的弹性模量和泊松比等参数。
3.加载条件：圆筒的应力分布受外部载荷的影响。
载荷的形式可以是压力、温度、重力等。
加载条件的确定对于应力分析至关重要。
接下来，我们将详细介绍厚壁圆筒的应力分析方法。
1.内外压力分析：考虑厚壁圆筒内外的压力差异。
当内外压力相等时，圆筒应力较小。
当内压大于外压时，圆筒将会受到较大的应力。
2.纵向应力分析：厚壁圆筒在纵向方向上承受的应力主要为轴向拉应力。
如果存在压力差，则拉应力沿厚度逐渐增加。
3.周向应力分析：在周向上，厚壁圆筒受到的应力主要为周向拉应力。
当圆筒内外压力不平衡时，周向应力将会增加。
4.切应力分析：切应力是圆筒内部的剪切应力分量。
在圆筒壁厚度的不同位置，切应力的大小也会有所不同。
5.应力分布图：为了更好地理解厚壁圆筒的应力分布情况，可以绘制应力分布图。
这样可以直观地了解不同部位的应力分布情况，以便进行结构优化。
总结一下，厚壁圆筒的应力分析对于确保结构安全性至关重要。
通过分析内外压力、纵向应力、周向应力和切应力，可以更好地理解圆筒的应力分布情况。
通过应力分布图，可以更直观地了解圆筒不同部位的应力情况，从而进行优化设计。
在实际工程中，应力分析的结果可以用来指导材料的选择、结构的设计以及使用中的安全操作。
第二章 厚壁圆筒的弹塑性应力分析
第二章 厚壁圆筒的弹塑性应力分析1.只受内压作用：（1）在厚壁圆筒中，筒体处于三向应力状态，其中θσ为拉应力，r σ为压应力，且沿壁厚非均匀分布；而z σ介于θσ和r σ之间，即2r z θσσσ+=，且沿壁厚均匀分布。
（2）在筒体内壁面处，θσ、r σ的绝对值比外壁面处为大，其中θσ具有最大值，且恒大于内压力i p ，其危险点将首先在内壁面上产生。
（3）θσ沿壁厚分布随径比K 值的增加趋向更不均匀，不均匀度为内、外壁周向应力之比，即2()1()2io r R r R K θθσσ==+=。
显然，不均匀度随2K 成比例，可见K 值愈大，应力分布愈不均匀。
当内壁材料开始屈服时，外壁材料远小于屈服限，因此筒体材料的强度不能得到充分的利用。
由此可知，用增加筒体壁厚（即增加K 值）的方法来降低厚壁圆筒的内壁应力，只在一定范围内有效，而内压力接近或超过材料的许用应力时，增加厚度是完全无效的。
为了提高筒壁材料的利用率，有效的办法是改变应力沿壁厚分布的不均匀性，使其趋于均化。
2.往往采用组合圆筒或单层厚壁圆筒自增强处理技术，以提高筒体的弹性承载能力。
3.温差应力：厚壁圆筒的厚壁可能从内表面或外表面被加热，由于筒壁较厚，并有一定的热阻，在筒体的内、外壁之间存在温度差，温度较高部分因受热而引起膨胀变形，同时受到温度较低部分的约束，从而使前者受压缩，而后者受拉伸，出现了温差应力或称热应力。
（1）厚壁圆筒中，温差应力与温度差t ∆成正比，而与温度本身的绝对值无关，因此在圆筒内壁或外壁进行保温以减小内、外壁的温度差，可以降低厚壁圆筒的温差应力。
（2）温差应力的分布规律为三向应力沿壁厚均为非均匀分布，其中，轴向应力是环（周）向应力与径向应力之和，即t t t z r θσσσ=+ ；在内、外壁面处，径向应力为零，轴向应力和环（周）向应力分别相等，且最大应力发生在外壁面处。
（3）温差应力是由于各部分变形相互约束而产生的，因此应力达到屈服极限而屈服时，温差应力不但不会继续增加，而且在很大程度上会得到缓和，这就是温差应力的自限性，它属于二次应力。
弹塑性力学 5_厚壁圆筒的分析
p
pl
厚壁圆筒内表 面处径向位移 与内压的关系
pe
o
ue
ul
u r a
圆筒端面条件的影响
工程中的圆筒，其端部通常为开口或闭口。 前面讨论中假设的平面应变状态，与实际情况的差别 对结果的有多大影响呢？ 弹性状态下的轴向应力
a2 z E z 2p 2 2 b a
z E z ( r )
应力组合 ( r ) 在r=a和r=b处 均有可能先达到临界值。
何处先达到与 b 和δ的选择有关 设内外筒体同时产生屈服 内筒：内表面处 p1 外表面处 q p ( r ) r b
p — 套装压力, ( r ) r b a (b c ) 2 2 p1 2 b (c a )
a 2 p1 (1 )b 2 u [ (1 )r ] 2 2 E (b a ) r
p1
+
-
r
p2
②厚壁圆筒仅受外压p2，即p1=0
b 2 p2 a2 b 2 p2 a2 r 2 2 (1 2 ), 2 2 (1 2 ) b a r b a r
当 p < pe 时，圆筒处于弹性状态；
当 p > pe 时，圆筒处于弹塑性状态。
①塑性区 a r rp
d r r 平衡方程： 0 dr r 屈服条件： r s d r s 0 dr r
q
a
rp
pp
塑性区
r s ln r C
基本方程
平衡方程： 几何方程： 物理方程：
（平面应力）
Hale Waihona Puke d r r 0 （平面应变） dr r 2 E E E ( 1 ) du u r , (1 ) dr r E 1 ( r ) r ( r ) r 2 1 E 1 E ( r ) ( r ) 2 E 1
厚壁圆筒的弹性应力分析
周向应变
对第二式求导并变换得：
第五章 高压容器设计
20
第二节 高压容器筒体的结构与强度设计
二、厚壁圆筒的弹性应力分析 （一）受内压单层厚壁圆筒中的弹性应力
物理方程 按广义虎克定律可表示为：
第五章 高压容器设计
21
第二节 高压容器筒体的结构与强度设计
二、厚壁圆筒的弹性应力分析 （一）受内压单层厚壁圆筒中的弹性应力
物理方程
第五章 高压容器设计
22
第二节 高压容器筒体的结构与强度设计
二、厚壁圆筒的弹性应力分析 （一）受内压单层厚壁圆筒中的弹性应力
(2)平衡方程
第五章 高压容器设计
23
第二节 高压容器筒体的结构与强度设计
二、厚壁圆筒的弹性应力分析 （一）受内压单层厚壁圆筒中的弹性应力
(2)平衡方程
第五章 高压容器设计
2000MPa
第五章 高压容器设计
4
第一节 概述
二、高压容器的结构特点
高压容器设计与制造技术发展的核心问题： 既要随着生产的发展能制造出大壁厚的容器 又要设法尽量减小壁厚以方便制造。
高压容器特点： 1 结构细长(长径比可达28) 2 采用平盖或球形封头(平盖仅在1m直径以下采用) 3 密封结构特殊多样(多种自紧式密封) 4 高压筒身限制开孔
第五章 高压容器设计
11
第二节 高压容器筒体的结构与强度设计
一、高压筒体的结构型式及设计选型
（二）单层式 单层厚壁高压容器有种形式： 单层卷焊式：直径工序少，周期短效率高 单层瓦片式：生产效率比单层卷焊差，费工费时 无缝钢管式：效率高，周期短 以上三种形式被三方面因素制约： 1）厚壁材料来源； 2）大型机械条件； 3）纵向和环向深厚焊逢中缺陷检测；
旋转厚壁圆筒的统一应力与变形分析
C21=-
b2p0 b2-a2
;
C22=
a2b2p0 b2-a2
。
将 C11、C12、C21 和 C22 代入套装几何条件 δ=（u2）b-（u1）b,可解得配合后的过盈量为：
δ=
2p0b（3 c2-a2) E（b2-a2）（c2-a2）
。
将 p0=102MPa，a=110mm，b=282.5mm，c=545mm，E=210GPa 代入上式，可解出 δ=0.86mm。
参考文献：
[1] 朱红,周鹤群,汪中厚. 基于 CAE 的高速转动轴过盈配合有限元分析[J].精密制造与自动化，2010,41（1）：41- 43. [2] 刘鸿文.材料力学（Ⅱ）[M]. 4 版.北京: 高等教育出版社，2004. [3] 郑小涛,轩福贞.热—机载荷下厚壁圆筒自增强压力与安定性分析[J].机械工程学报，2010,46（16）：156- 161. [4] 徐秉业,刘信声.应用弹塑性力学[M].北京: 清华大学出版社，1995.
。
代入式（12a）中，可得：
σr=-
b2p0 c2-b2
（cr22
- 1）
;
σt=
b2p0 c2-b2
（cr22
+1）
。
在曲柄内侧 r=b 处，σ1=σt，σ3=σr。由 Tresca 屈服条件 σ1- σ3=σs=280 MPa,可解出装配压力 p0=102 MPa。
轴颈可看作只受外压作用的厚壁筒，将 r=a，σr=0，r=b，σr=- p0 代入式（12a）中，解之，得：
江苏技术师范学院学报 JOURNAL OF JIANGSU TEACHERS UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
Vol.16,No.12 Dec., 2010
第三章第四节2--厚壁圆筒-应力
bardcdr dr r
微单元体
r dr
b
c
a
d 2
dr
d
r
r
d 2
厚壁圆筒
图3-17 厚壁圆筒微元体受力情况
在圆筒体半径为r处，以相距dr的二环向截面及夹角 d
的二径向截面截取任一微元体，其微元体在轴向的长度为1。
由于轴向应力对径向应力的平衡没有影响，所以图中未标出
轴向应力。
根据半径r方向力的平衡条件，有：
d 1-32KK 22-p1
相应对载荷的限制为： 或
p
K2 -1
2K 2
pmax
K2 -1
2K2
当 K 时 p m ， a0 x .5 ，其含义是，
对厚壁圆筒，其壁厚的无限增加只能换来允许承受载 荷的有限增加。即用增加壁厚来增大承载能力是有限 和有条件的。在应力低的筒体外壁处增大壁厚，对筒 体提高承载能力作用不大，甚至造成浪费或其他问题。
比较厚壁圆筒应力计算公式与薄壁圆筒壳应力计算公式，对 了解圆筒壳应力计算公式的精确度和适用范围是十分有益的。 以环向应力为例，圆筒壳环向薄膜应力为：
p R p 2((0 0 R R R R ii))2K( -1 1 Kp )
式中，R为圆筒壳平均半径。 若以厚壁圆筒应力公式进行计算，其最大环向应力为：
多层板厚壁筒体及绕带筒体的采用，可以有效 地避开单层厚壁筒体的上述局限性。
（二）、根据弹性失效准则，厚壁圆筒的承压能力是根据内壁的
强度条件决定的
承内压厚壁圆筒的应力最大部位是在内壁壁面处，根据工
程上常用的弹性失效准则，应力最大部位的应力强度达到极限值
时，结构即失去了承载能力。因而，按第三强度理论建立的内壁
厚壁圆筒平面应力问题和平面应变问题
厚壁圆筒平面应力问题和平面应变问题下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第5章 厚壁圆筒的分析
讨论：位移分量的确定，须给出位移约束条件。 设
ab r r0 和 0处, 2 v 0 r
u 0,
v 0,
则有
1 A u (1 ) 2(1 ) Br (ln r 1) (1 3 ) Br E r 2(1 ) Br 2(1 )Cr
当r = a时，r = 0， = 2p2。
这说明，在外部均匀压力作用下，无限域
开孔后，孔周边应力集中系数为2。 如果外部压力不均匀，集中系数该如何？
【例】曲梁纯弯曲问题的弹性力学解答
曲梁区域由两对圆弧坐标线和两条径线围成，设
厚度为单位1。 由于是纯弯曲，各截面M 相同，因而应力分量与 无关，为轴对称问题。 【解】应力分量
屈服条件——在轴对称平面应变条件下，
并假设泊松比 = 0.5，Tresca屈服条件与 Mises 屈 服 条 件 只 相 差 一 个 系 数 ， 即 ， Tresca屈服条件中 s 的系数为1，而Mises 屈服条件中s的系数为/ 3 。两个屈服条 2 件中都是应力偏量起控制作用，而应力偏 量代表剪应力。可以采用其中一个屈服条 件求得解答，可以将此解答中的屈服极限 s乘以相应的系数，得到相应的解答。
弹性区与塑性区交界处的塑性径向应力 rp q p p s ln a
因应力连续，上二者相等，则弹塑性极限
荷载 pp 为
rp2 s p p s ln 1 2 a 2 b rp
塑性极限荷载
当rp = b时，整个截面全部进入塑性状态，厚壁圆
弹塑性状态下的位移
弹性区位移（rp r b）
1 (1 )r s 2 2 ue (1 2 )r b 2 2 Eb r 塑性区位移（a r rp）
厚壁圆筒应力分析.ppt
19
例题
20
讨论
21
2.3 厚壁圆筒应力分析
二、温度变化引起的弹性热应力 1、热应力概念 2、厚壁圆筒的热应力 3、内压与温差同时作用引起的弹性应力 4、热应力的特点
22
2.3 厚壁圆筒应力分析
1、热应力概念 因温度变化引起的自由膨胀或收缩受到约束，在弹性体内
所引起的应力，称为热应力。
单向约束：
18
2.3 厚壁圆筒应力分析
③除 z 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。
以 为例，外壁与内壁处的 周向应力 之比为：
K值愈大不均匀程度愈严重，
rR0
2
rRi K 2 1
当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服，
因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
构件内部温度 分布不均匀
25
2.3 厚壁圆筒应力分析
2、厚壁圆筒的热应力
◆厚壁圆筒中的热应力由平衡方程、几何方程和物理方程， 结合边界条件求解。 ◆当厚壁圆筒处于对称于中心轴且沿轴向不变的温度场时， 稳态传热状态下，三向热应力的表达式为：
（详细推导见文献[11]附录）
26
2.3 厚壁圆筒应力分析
z
z
z
pi K2 1
r min 0
r max pi
max
pi
K2 1 K2 1
min
pi
2 K2 1
rr min 0
r max p0
r
z
p0
K2 K2 1
min
p0
K2 1 K2 1
压力容器应力分析-厚壁圆筒应力分析
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•③除 外，其它应力沿壁厚的不均匀程度与径比K值有关。 • 以 为例，外壁与内壁处的 • 周向应力 之比为： • K值愈大不均匀程度愈严重， • 当内壁材料开始出现屈服时， 外壁材料则没有达到屈服， • 因此筒体材料强度不能得到充分的利用。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•二、温度变化引起的弹性热应力
•一、压力载荷引起的弹性应力 • 1、轴向（经向）应力
•对两端封闭的圆筒，横截面在变形后仍保持平面。所 以，假设轴向应力沿壁厚方向均匀分布，得：
•＝ A •（2-25）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
• 2、周向应力与径向应力 •由于应力分布的不均匀性，进行应力分析时，必须从微元体 着手，分析其应力和变形及它们之间的相互关系。
•厚壁圆筒中热应力及其分布的规律为： •① 热应力大小与内外壁温差成正比
• 取决于壁厚，径比K值愈大 值也愈大，表2-2中的
•
值也愈大。
•②热应力沿壁厚方向是变化的
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•3、内压与温差同时作用引起的弹性应力
•（2-39 ）
•具体计算公式见表2-3，分布情况见图2-21。
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•a. 微元体
•b. 平衡方 程 •c. 几何方程 (位移－应变）
•d. 物理方程（应变－应力）
•e. 平衡、几何和物理方程综合—求解应力的微分方程 • （求解微分方程，积分，边界条件定常数）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
•a. 微元体 •如图2-15(c)、(d)所示，由圆柱面mn、m1n1和纵截面mm1、nn1 组成，微元在轴线方向的长度为1单位。 •b. 平衡方程
•（2-26）
•2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3厚壁圆筒应力分析
max p i
K K
2 2
1 1
min
pi
2 K
2
1
，随着 r 增加， 径向应力绝对值
逐渐减小，在外壁处 r =0； 轴向应力为一常量，沿壁厚均匀分布，且为周向应力与径向应力 和的一半，即
1 2
z
r
18
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续）
r
1 E 1 E
r
z
（2-29）
r
z
11
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力（续）
过程设备设计
e. 平衡、几何和物理方程综合 将式（2-28）中的应变换成应力
求解应力的微分方程
d r
2
并整理得到：
r
dr
2
过程设备设计
2.3 厚壁圆筒应力分析
教学重点：
（1）厚壁圆筒中三向应力的公式表达
和应力分布图；
（2）厚壁圆筒中的弹塑性区的应力分布；
（3）提高屈服承载能力的措施。
教学难点：
厚壁圆筒中三向应力公式推导。
4
2.3 厚壁圆筒应力分析
2.3.1 弹性应力
p0
过程设备设计
po pi
pi
Di
Do
a. po
b.
p 0 R i R 0
2
2
1 r
2
R R
2 0
2 i
A
B r
2
径向应力
r
pi Ri p0 R0
2
2
R R
第二章-2 厚壁圆筒应力分析
10
过程设备设计
d r d r r 2 3 0 dr dr
2
求解得到
边界条件为：
B r A 2 r
当 r Ri 时 当 r Ro 时
pi A po A
d r r r dr
2. 2 厚壁圆筒应力分析
B A 2 r
r pi r po
求解方程:用应力表示变形协调方程，并与平衡方程联立求解 A。应力表示变形协调方程：由物理方程得到
d 1 d d r 1 ( r z ) r 1 r ( z ) E E dr E dr dr 1 1 r { r r } { r } E E d 1 由变形协调方程得到 ( r ) dr r d d r 1 ( r ) dr dr r
( r d r )( r dr )d r rd 2 dr sin
d 0 2
r rd r drd d r rd d r drd r rd drd 0
r
2015/10/29
r
d r dr
一个方程，两个量，求解需 要补充方程
2.2.1 单层厚壁筒中的弹性应力
由平衡关系得到 2 2 z (R0 Ri2 ) Ri2 pi Ro po Ri2 pi Ro2 po z ( R02 Ri2 )
2 pi K 2 po pi Ri2 po Ro 2 2 K 2 1 Ro Ri
r
为压应力（负值）。
分布规律： σz 均匀分布， σθ、 σr 成 1/r2 的变化，r 增大，应力减
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厚壁圆筒应力分析剖析
一、应力分析方法
1.在应力分析中，通常采用静力学的方法，根据力学定律对厚壁圆筒
进行应力分析。
2.厚壁圆筒的应力分析可以分为轴向应力、周向应力和切向应力三个
方向上的应力分析。
二、应力计算公式
1.轴向应力：σa=(P·r)/t
其中，σa表示轴向应力，P表示圆筒受到的内外压力，r表示圆筒
内径，t表示圆筒壁厚。
2.周向应力：σc=(P·r)/(2t)
其中，σc表示周向应力。
3. 切向应力：τ = (P · ri) / t
其中，τ 表示切向应力，ri 表示圆筒中心点到任意一点的径向距离。
三、实例分析
假设有一个内径为 10cm，外径为 15cm，壁厚为 2cm 的厚壁圆筒，
内外压力分别为 5MPa 和 10MPa。
现对该厚壁圆筒进行应力分析。
1.轴向应力：
根据公式σa = (P · r) / t，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t =
2cm，计算得σa = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。
同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σa =
(10×7.5) / 2 = 37.5MP a。
2.周向应力：
根据公式σc = (P · r) / (2t)，代入 P = 5MPa，r = 7.5cm，t
= 2cm，计算得σc = (5×7.5) / (2×2) = 9.375MPa。
同理，代入 P = 10MPa，r = 7.5cm，t = 2cm，计算得σc =
(10×7.5) / (2×2) = 18.75MPa。
3.切向应力：
根据公式τ = (P · ri) / t，代入 P = 5MPa，ri = 7.5cm，t =
2cm，计算得τ = (5×7.5) / 2 = 18.75MPa。
同理，代入 P = 10MPa，ri = 7.5cm，t = 2cm，计算得τ =
(10×7.5) / 2 = 37.5MPa。
根据以上计算，可知厚壁圆筒在内外压力为5MPa和10MPa时，轴向
应力分别为18.75MPa和37.5MPa，周向应力分别为9.375MPa和18.75MPa，切向应力分别为18.75MPa和37.5MPa。
四、结论
厚壁圆筒在承受内外压力作用下，会产生轴向、周向和切向三个方向
上的应力，分别由压力大小和圆筒的尺寸决定。
在实际工程中，需要根据
应力大小来选取适当的材料和加固措施，以确保圆筒的强度与安全性。
应
力分析对于设计和评估厚壁圆筒结构的强度十分重要。