命题与简易逻辑知识总结

《命题与简易逻辑知识总结》
一、知识总结：
1．命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句．
真命题：判断为真的语句．
假命题：判断为假的语句．
2．“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论．
3．原命题：“若p ，则q ”逆命题：“若q ，则p ”
否命题：“若p ⌝，则q ⌝”逆否命题：“若q ⌝，则p ⌝”
4．四种命题的真假性之间的关系：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
5．若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．
若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．
利用集合间的包含关系：例如：若B A ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件；
6．逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨；
⑶非（not ）：命题形式p ⌝．
7．⑴全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；
全称命题p ：)(,x p M x ∈∀；全称命题p 的否定p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∃．
⑵存在量词—“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；
特称命题p ：)(,x p M x ∈∃；特称命题p 的否定p ⌝：)(,x p M x ⌝∈∀；
二、专项训练
1．命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是（ ）
A ．简单命题
B ．非p 形式的命题
C ．p 或q 形式的命题
D ．p 且q 的命题
答案：D
解析：“垂直平分”的含义是“垂直且平分”．所以是D ．
2．如果命题p 是假命题，命题q 是真命题，则下列错误的是（ ）
A ．“p 且q ”是假命题
B ．“p 或q ”是真命题
C ．“非p ”是真命题
D ．“非q ”是真命题
答案：D
解析：“p 且q ”型命题的真假是一假必假，“p 或q ”型命题的真假是一真必真，“非p ”型命题和命题p 的真假相反．所以答案是D ．
3．已知命题p 、q ，如果p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，那么q 是p 的（ ） A 必要不充分条件
B 充分不必要条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要
答案：B
解析：因为互为逆否命题的命题真假相同，所以q 是p 充分不必要条件，答案是B ．
4．命题“若090=∠C ，则ABC ∆是直角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四
个命题中，真命题的个数是（ ）
A 0
B 1
C 2
D 3
答案：C
解析：原命题是真，则逆否命题为真，逆命题为假，所以否命题为假，即有两个真命题，答案是C ．
5．下列命题中为全称命题的是（ ）
A 有些圆内接三角形是等腰三角形 ；
B 存在一个实数与它的相反数的和不为0；
C 所有矩形都有外接圆 ；
D 过直线外一点有一条直线和已知直线平行．
答案：C
解析：“所有的”、“任意一个”等属于全称量词，“存在一个”、“至少有一个”等属于存在量词，因此全称命题是C ，答案为C ．
6．下列全称命题中真命题的个数是（ ）
①末位是0的整数，可以被3整除；
②对12,2+∈∀x Z x 为奇数．
③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；
A 0
B 1
C 2
D 3
答案：C
解析：①比如10，末位是0，但不能被3整除，所以是假命题；②③是真命题．答案是C ．
7．下列特称命题中假命题的个数是（ ）
①0,≤∈∃x R x ； ②有的菱形是正方形；
③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．
A 0
B 1
C 2
D 3
答案：A
解析：①比如-1，；②正方形都是菱形③1既不是合数也不是素数．答案是A ．
8．命题“存在一个三角形，内角和不等于 180”的否定为（ ）
A 存在一个三角形，内角和等于 180
B 所有三角形，内角和都等于 180
C 所有三角形，内角和都不等于 180
D 很多三角形，内角和不等于
180．
答案：B
解析：存在命题的否定是全称命题：“所有三角形，内角和都等于 180”．答案是B ．
9．命题“a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题是 __________ ．
答案：若a+b 不是偶数，则a 、b 不都是偶数．
解析：“是”的否定是“不是”，“都是”的否定是“不都是”．
10．（1）如果命题“p 或q ”和“非p ”都是真命题，则命题q 的真假是_________．
（2）如果命题“p 且q ”和“非p ”都是假命题，则命题q 的真假是_________． 答案：（1）真；（2）假
解析：（1）“p 或q ”型命题一真则真，“非p ”型命题和命题p 真假相反．所以“非p ”为真则p 为假，又因为“p 或q ”为真，所以q 为真．
（2）“p 且q ”型命题一假必假，“非p ”型命题和命题p 真假相反．所以“非p ”为假则p 为真，又因为“p 且q ”为假，所以q 为假．
11．填空：指出下列复合命题的真假．
(1)5和7是30的约数．（ ）
(2)菱形的对角线互相垂直平分． （ ）
(3)8x －5＜2无自然数解． （ ）
答案：（1）真；（2）真；（3）假
解析：(1) “p 或q ”的形式．其中p ：5是30的约数；q ：7是30的约数，为真命题．
(2) “p 且q ”．其中p ：菱形的对角线互相垂直；q ：菱形的对角线互相平分；为真命题．
(3)是“┐p ”的形式．其中p ：8x －5＜2有自然数解．∵p ：8x －5＜2有自然数解．如x ＝0，则为真命题．故“┐p ”为假命题．
12．填空：判断下列命题真假：
（1）10≤8（ ）
（2）π为无理数且为实数（ ）
（3）2+2=5或3＞2（ ）
（4）若A ∩B=∅，则A=∅或B=∅（ ）．
答案：（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题．（4）假命题．
解析：（1）10>8；（2）π为无限不循环小数，所以是无理数且是实数；（3）“p 或q ”型命题一真则真，3＞2为真，所以命题为真；（4）若A={有理数}，B={无理数}，则A ∩B=∅．
13．求关于x 的一元二次不等式ax ax >+12对于一切实数x 都成立的充要条件．
解析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化
由题可知等价于
00000404
0a a a a a a ≠⎧⎪=>⇔=<<⇔≤<⎨⎪∆<⎩或或
14．证明：对于R y x ∈,，0xy =是
220x y +=的必要不充分条件． 解析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件
必要性：对于R y x ∈,，如果220x y +=
则0x =，0y = 即0xy =
故0xy =是
220x y +=的必要条件 不充分性：对于R y x ∈,，如果0xy =，如0x =，1y =，此时220x y +≠
故0xy =是220x y +=的不充分条件
综上所述：对于R y x ∈,，0xy =是
220x y +=的必要不充分条件． 15．p ：210x -≤≤；q ：
()110m x m m -≤≤+>．若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实
数m 的取值范围． 解析：由于p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件
于是有
12101m m -≤-⎧⎨≤+⎩9m ∴≥
16．已知p ：方程012=++mx x 有两个不等的负实根，q ：方程0
1)2(442=+-+x m x 无实根，若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．
解析：由p 命题可解得2>m ，由q 命题可解得31<<m ；
由命题p 或q 为真，p 且q 为假，所以命题p 或q 中有一个是真，另一个是假
（1）若命题p 真而q 为假则有21,3m m m >≤≥⎧⎨
⎩或3m ⇒≥
（2）若命题p 真而q 为假，则有213m m ≤<<⎧⎨
⎩12m ⇒<≤
所以213≤<≥m m 或．。