一阶电路的全响应与三要素

§ 5.4 —阶电路的全响应与三要素

在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应， 电路要么只有外激励源的

作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。本节将讨论既有非零初始状态，又 有外激励源共同

作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。

5.4.1 RC 电路的全响应

电路如图5-9所示，将开关 S 闭合前，电容已经充电且电容电压

u c （0」二U 0，在t=0

时将开关S 闭合，直流电压源 U S 作用于一阶RC 电路。根据KVL 此时电路方程可表示为：

U C

图5-19 一阶RC 电路的全响应

u e

(0

•) = u e (0 _) = U o 令方程（5-9 ）的通解为

U e 二U e U C

与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则

U e =U S

t

同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为 U C = Ae^。其中.二RC 为电路的时

间常数，所以有

t

u e =U S Ae":

将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为

A 二U 。 U S

所以电容电压最终可表示为

t

U c =U S (U 0-U s )e 「

(5-20)

电容充电电流为

due U S _ U 0 -■ i = C

dt

R e

这就是一阶RC 电路的全响应。图5-20分别描述了 U s ，U 0均大于零时，在U s ・U 0、

根据换路原则，可知方程（

RC

du e dt

U e =U S

(5-19)

5-19 ）的初始条件为

U s = 0、U s :: U 0三种情况下u c 与i 的波形。

（a ） （b ）

图5-20 u c ，i 的波形图

将式（5-20 ）重新调整后，得

t

t

u c 二U °e 「U s CI-e 「）

从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。 显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即

全响应=零输入响应 +零状态响应

研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于 RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，

同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。

进一步分析式（5-20 ）可以看出右端第一项是电路微分方程的特解， 其变化规律与电路

外加激励源相同，因此被称之为为强制分量；

式（5-20）右端第二项对应于微分方程的通解，

其变化规律与外加激励源无关，仅由电路参数决定，称之为自由分量。所以，全响应又可表 示为强制分量与自由分量的叠加，即

全响应=强制分量+自由分量

从另一个角度来看，式（5-20）中有一部分随时间推移呈指数衰减， 而另一部分不衰减。

显然，衰减分量在t r

时趋于零，最后只剩下不衰减的部分，所以将衰减分量称为暂态

分量，不衰减的部分称为稳态分量，即

全响应=稳态分量+暂态分量

542 三要素法

一阶电路都只会有一个电容（或电感元件） ，尽管其它支路可能由许多的电阻、电源、 控制源等构成。但是将动态元件独立开来，

其它部分可以看成是一个端口的电阻电路，

根据

戴维南定理或诺顿定理可将复杂的网络都可以化成图 5-21所示的简单电路。下面介绍的三

要素法对于分析类复杂一阶电路相当简便。

(a)

(b)

u

C

(C) (d)

图5-21复杂一阶电路的全响应

从图5-21 ( b)可以看出，如前所述，u C的表达式可以写为

t

U c(t)二U oc [U c(0 ) -U oc]e

其中^R eq C，u oc是一端口网络N的开路电-压，由于u oc = lim u c(t)二u c(：：)，所以上式可以改写成为

t

u c(t) =u c(：：) [u c(0.)-u c(：：)]e ( 5-21)同理，根据图5-21 ( d)可以直接写出电感电流的表达式为

t

i L(t) “L(G 1(0 ) %(：：)「( 5-22)

其中—,i L(::)二业为iL的稳态分量。

R R 1

eq eq

综合上述两种情况后发现，全响应总是由初始条件、特解和时间常数三个要素来决定。

在直流电源激励下，若初始条件为f(0.)，特解为稳态解时间常数为.，则全响应

f (t)可表示为

t

f(t)十：)[f(0 J-f(：：)]e- ( 5-23)如果已经确定一阶电路的f(0 .)、f(：：)和.这三个要素，就可以根据式(5-23 )直接

写出电流激励下一阶电路的全响应，称之为三要素法。

一阶电路在正弦激励源的作用下，由于电路的特解f'(t)是时间的正弦函数，则(6-23)

式可以写为

t

f(t) = f'(t) [f(0J-f'(0 )]e_

其中f'(t)是特解，为稳态响应，f'(0.)是t = 0 .时稳态响应的初始值。

§ 5.5 —阶电路的阶跃响应和冲激响应

5.5.1 奇异函数

奇异函数也叫开关函数，在电路分析中非常有用。当电路有开关动作时，就会产生开关 信号，这些奇异函数是开关信号最接近的理想模型， 它对我们进一步分析一阶电路响应非常

重要。

(1)单位阶跃函数

作为奇异函数的一种，单位阶跃函数的数学表达式为

假如这种突变发生在t =t o (t ° 0)时刻，则单位阶跃函数又可表示为

t ::: 0 t t g

(2)单位冲激函数

常大的电流或电压。为了形象描述这种脉冲，引入了另一种奇异函数一一单位冲激函数

-：(t)，其数学定义如下:

心㈣"

'⑴=0 (当 t = 0)

单位阶跃函数又叫「•函数，如图5-29(a )所示，图5-29(b )表示强度为 K 的冲激函 数。

(a) (b)

心0 I 1 t :: 0

t 0

如图5-25 (b )所示,

；(t —t 。)起作用的时间比 ；(t )滞后了 t o ,称为延迟的单位阶

1 1

y t)

o t 1 s (t 」0)

1

o

t

在实际电路切换过程中, 可能会出现一种特殊形式的脉冲, 其在极短的时间内表示为非 1 i

L

&t)

o t

(a)单位阶跃进函数

(b)延迟的单位阶跃函数

图5-25 阶跃函数