电动力学
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2) 该方程可直接由毕萨定律推出（见教材 p16－19） 3) 它有三个分量方程，但 B 0 ,故只有两个独立，它只对稳 恒电流成立。
四．磁场的通量和散度方程
1. 通量：
S
BdS 0
杨世平 电动力学
证明：
第一章 电磁现象的普遍规律
1-12
V
其中利用了 J x, t ＝0, 此题也可用分量方法证明。
杨世平 电动力学
第一章 电磁现象的普遍规律
1-7
§2.电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1. 电流强度和电流密度（矢量）
Q I ： 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位安培） ；I
若是一个小面元，则用 dI 表示， dI
t
dQ
t
J ：方向：沿导体内一点电荷流动方向
大小： 单位时间垂直通过单位面积的电量。
2. 散度方程： B 0 证明：
S
B d S B dV 0 ，因为 V 任意，所以 B 0 ，
V
它可以从毕萨定律直接证明。 说明： 1) 静磁场为无源场（指通量而言） ，磁力线闭合； 2) 它不仅适用于静磁场，它也适用于变化磁场。
L
B dl B d S 0 J d S
S
s
因为 s 为任意回路所围面积，所以被积函数相等 说明： 1) 磁场为有旋场，但在无 J 分布区，旋度场为零， J 必须是连续函数，
J 不连续区只要用环路定理；
0 J1dV1 r 12 J1dV1 在 r12 处产生的 dB1 3 4 r12
J 2dV2 受到的作用力为；
0 J 2 J1 r12 dF12 J 2 dV2 dB1 dV1dV2 3 4 r12
0 J 2 dV2 r12 J 2dV2 在 r21 处产生的 dB2 3 4 r21
0 I1 I 2 dl2 dl1 r12 证明： dF12 I 2 dl dB1 3 4 r12 dl r dl dl 2 12 1 2 dl1 r 12 II F12 0 1 2 3 L L 2 1 4 r12 dl 1 dl2 r 12 II 0 1 2 3 L1 r12 4 L2
J1dV1 受到的作用力为：
0 J1 J 2 r21 dF21 J1dV1 dB2 dV1dV2 3 4 r21
在一般情况下， dF 12 dF 21 因此两个电流元之间相互作用力不满足牛顿第三定律。 原因：实际上不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。 5. 两通电闭合导线回路之间的相互作用力（习题 10）
0 4
V
dV J x dl
L
J x 1 1 1 （ J J x J ） r r r r J x 0 dV （斯托克斯公式） dS S 4 V r J x 0 2 J x dS dV V 4 S r r 2 （ A A A ）
S V
0 J x dS
S
说明： ⑴ 静磁场沿任一闭合回路 L 的环量等于真空磁导率乘以从 L 中 穿过的电流强度。 ⑵ 它反应了电流与磁感应强度在某区域内的关系， 对于某些具有 很高对称性的问题可求出 B 2. 旋度方程 B 0 J 由
五．静磁场的基本方程
微分形式： B 0 J ， B 0 积分形式：
L
B d L 0 I ,
S
BdS 0
反映静磁场为无源有旋场， 磁力线总是闭合的。 它的激发源是流动的 电荷（电流） 。 注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体存在 可无宏观静电场） 。 例 1．见教材 p18 例题 例 2．习题 5
J x dV r V dl （ 为 J x 所在区域） L V r3
r 1 （ 3 ） r r
0 4
1 dV J x dl V L r
⑵ 若空间各点 与 t 无关，则 无关。
二、 磁场以及有关的两个定律
1. 磁场：由于发现通过导线间有相互作用力，因此与静电场类比。 假定导线周围存在着一种场，因它与永久磁铁性质类似， 称为磁场。磁场也是物质存在的形式，用磁感应强度 B 来 描述。 2. 毕——萨定律（电流决定磁场的实验定律） 闭合导线： 电流元
杨世平 电动力学
第一章 电磁现象的普遍规律
1-10
r12 r12 dl dS 0 2 3 3 L2 S r12 r12 dl1 dl2 r21 II 同理可得 F21 0 1 2 3 L2 r21 4 L1
J
dQ tdS cos
J
I 与 J 的关系
I
S
dI ，J dI J dS cos J dS dS cos dI J dS ，
S
此外对单一粒子构成的体系 2. 电荷守恒的实验定律
J v
语言描述：封闭系统内的总电荷严格保持不变。对于开放系统， 单位时间流出电荷总量等于 V 内电量的减少率。 积分形式： 单位时间流出封闭曲面总电量为 流入为负） ，闭合曲面内电量的减少率为
S
J dS （流出为正，
dQ ， dt dQ d Q dV ∴ dV dV 又 ∵ V V V dt dt t J 所以有： S dS V t dV dQ 0 ，总电荷守恒。 若为全空间，总电量不随时间变化，故 dt
杨世平 电动力学
第一章 电磁现象的普遍规律
1-13
dp J x , t dV 证明：由 p t x , t x dV ,得 V V dt
x ,t dp d x , t xdV ' xdV ' J x , t xdV ' V V V dt dt t J 0 ， 且 f g f g f g 由 t x J x, t x J x , t 则有 J x, t x x J x, t x J x, t x J x , t 得 dp J x, t x dV J x, t xdV V V dt d S J x , t x J x , t ldV S V S d S J x, t x V J x, t dV J x, t dV
0 Idl r dB 4 r 3 0 Idl r B L 4 r 3 0 JdV r dB ］ 4 r3 B 0 4
闭合电流
闭合导体: 体电流元
闭合电流 3.
V
J r dV r3
安培作用力定律（通电物体在磁场中受力大小的实验定律） 线电流元 体电流元
J x r dV dV V V r3 r r 0 J x 3 3 J x dV dV 0 r 4 V V r r 这里注意其中： J x 0 ， 3 0 r B d S B dV 0 S V 4
dF Idl B dF JdV B
杨世平 电动力学
第一章 电磁现象的普遍规律
1-9
闭合回路： F
Idl B
L
或F
J BdV
V
4. 两电流元之间的相互作用力。 设两电流元为 J1dV1 , J 2 dV2 ，它们相距 r 12 r 21
∵ r21 r12
∴F 12 F 21
三、 安培环路定理和磁场的旋度方程 1. 环路定理 B dl 0 I （ I J dS 为 L 中所环连的电流强
L S
度 J J x ） 。
Βιβλιοθήκη Baidu 0 B 证明： L dl 4
0 4
21 dS J x dV S r V
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第一章 电磁现象的普遍规律
1-11
J x J x dS （ dV S r 0 ） V r 0 dS J x 4 x x dV V 4 S 0 J x x x dV dS
微分形式：∵
J dS JdV dV S V V t
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第一章 电磁现象的普遍规律
1-8
而 V 是任意的， ∴
J 0 ，或 J t t ⑴ 反映空间某点 与 J 之间的变化关系，电流线一般不闭合。 0, J 0 为稳恒电流， t 稳恒电流分布无源（流线闭合） ， ， J 均与 t 无关，它产生的场也与 t
四．磁场的通量和散度方程
1. 通量：
S
BdS 0
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证明：
第一章 电磁现象的普遍规律
1-12
V
其中利用了 J x, t ＝0, 此题也可用分量方法证明。
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第一章 电磁现象的普遍规律
1-7
§2.电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1. 电流强度和电流密度（矢量）
Q I ： 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位安培） ；I
若是一个小面元，则用 dI 表示， dI
t
dQ
t
J ：方向：沿导体内一点电荷流动方向
大小： 单位时间垂直通过单位面积的电量。
2. 散度方程： B 0 证明：
S
B d S B dV 0 ，因为 V 任意，所以 B 0 ，
V
它可以从毕萨定律直接证明。 说明： 1) 静磁场为无源场（指通量而言） ，磁力线闭合； 2) 它不仅适用于静磁场，它也适用于变化磁场。
L
B dl B d S 0 J d S
S
s
因为 s 为任意回路所围面积，所以被积函数相等 说明： 1) 磁场为有旋场，但在无 J 分布区，旋度场为零， J 必须是连续函数，
J 不连续区只要用环路定理；
0 J1dV1 r 12 J1dV1 在 r12 处产生的 dB1 3 4 r12
J 2dV2 受到的作用力为；
0 J 2 J1 r12 dF12 J 2 dV2 dB1 dV1dV2 3 4 r12
0 J 2 dV2 r12 J 2dV2 在 r21 处产生的 dB2 3 4 r21
0 I1 I 2 dl2 dl1 r12 证明： dF12 I 2 dl dB1 3 4 r12 dl r dl dl 2 12 1 2 dl1 r 12 II F12 0 1 2 3 L L 2 1 4 r12 dl 1 dl2 r 12 II 0 1 2 3 L1 r12 4 L2
J1dV1 受到的作用力为：
0 J1 J 2 r21 dF21 J1dV1 dB2 dV1dV2 3 4 r21
在一般情况下， dF 12 dF 21 因此两个电流元之间相互作用力不满足牛顿第三定律。 原因：实际上不存在两个独立的电流元，只存在闭合回路。 5. 两通电闭合导线回路之间的相互作用力（习题 10）
0 4
V
dV J x dl
L
J x 1 1 1 （ J J x J ） r r r r J x 0 dV （斯托克斯公式） dS S 4 V r J x 0 2 J x dS dV V 4 S r r 2 （ A A A ）
S V
0 J x dS
S
说明： ⑴ 静磁场沿任一闭合回路 L 的环量等于真空磁导率乘以从 L 中 穿过的电流强度。 ⑵ 它反应了电流与磁感应强度在某区域内的关系， 对于某些具有 很高对称性的问题可求出 B 2. 旋度方程 B 0 J 由
五．静磁场的基本方程
微分形式： B 0 J ， B 0 积分形式：
L
B d L 0 I ,
S
BdS 0
反映静磁场为无源有旋场， 磁力线总是闭合的。 它的激发源是流动的 电荷（电流） 。 注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体存在 可无宏观静电场） 。 例 1．见教材 p18 例题 例 2．习题 5
J x dV r V dl （ 为 J x 所在区域） L V r3
r 1 （ 3 ） r r
0 4
1 dV J x dl V L r
⑵ 若空间各点 与 t 无关，则 无关。
二、 磁场以及有关的两个定律
1. 磁场：由于发现通过导线间有相互作用力，因此与静电场类比。 假定导线周围存在着一种场，因它与永久磁铁性质类似， 称为磁场。磁场也是物质存在的形式，用磁感应强度 B 来 描述。 2. 毕——萨定律（电流决定磁场的实验定律） 闭合导线： 电流元
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第一章 电磁现象的普遍规律
1-10
r12 r12 dl dS 0 2 3 3 L2 S r12 r12 dl1 dl2 r21 II 同理可得 F21 0 1 2 3 L2 r21 4 L1
J
dQ tdS cos
J
I 与 J 的关系
I
S
dI ，J dI J dS cos J dS dS cos dI J dS ，
S
此外对单一粒子构成的体系 2. 电荷守恒的实验定律
J v
语言描述：封闭系统内的总电荷严格保持不变。对于开放系统， 单位时间流出电荷总量等于 V 内电量的减少率。 积分形式： 单位时间流出封闭曲面总电量为 流入为负） ，闭合曲面内电量的减少率为
S
J dS （流出为正，
dQ ， dt dQ d Q dV ∴ dV dV 又 ∵ V V V dt dt t J 所以有： S dS V t dV dQ 0 ，总电荷守恒。 若为全空间，总电量不随时间变化，故 dt
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第一章 电磁现象的普遍规律
1-13
dp J x , t dV 证明：由 p t x , t x dV ,得 V V dt
x ,t dp d x , t xdV ' xdV ' J x , t xdV ' V V V dt dt t J 0 ， 且 f g f g f g 由 t x J x, t x J x , t 则有 J x, t x x J x, t x J x, t x J x , t 得 dp J x, t x dV J x, t xdV V V dt d S J x , t x J x , t ldV S V S d S J x, t x V J x, t dV J x, t dV
0 Idl r dB 4 r 3 0 Idl r B L 4 r 3 0 JdV r dB ］ 4 r3 B 0 4
闭合电流
闭合导体: 体电流元
闭合电流 3.
V
J r dV r3
安培作用力定律（通电物体在磁场中受力大小的实验定律） 线电流元 体电流元
J x r dV dV V V r3 r r 0 J x 3 3 J x dV dV 0 r 4 V V r r 这里注意其中： J x 0 ， 3 0 r B d S B dV 0 S V 4
dF Idl B dF JdV B
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第一章 电磁现象的普遍规律
1-9
闭合回路： F
Idl B
L
或F
J BdV
V
4. 两电流元之间的相互作用力。 设两电流元为 J1dV1 , J 2 dV2 ，它们相距 r 12 r 21
∵ r21 r12
∴F 12 F 21
三、 安培环路定理和磁场的旋度方程 1. 环路定理 B dl 0 I （ I J dS 为 L 中所环连的电流强
L S
度 J J x ） 。
Βιβλιοθήκη Baidu 0 B 证明： L dl 4
0 4
21 dS J x dV S r V
杨世平 电动力学
第一章 电磁现象的普遍规律
1-11
J x J x dS （ dV S r 0 ） V r 0 dS J x 4 x x dV V 4 S 0 J x x x dV dS
微分形式：∵
J dS JdV dV S V V t
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第一章 电磁现象的普遍规律
1-8
而 V 是任意的， ∴
J 0 ，或 J t t ⑴ 反映空间某点 与 J 之间的变化关系，电流线一般不闭合。 0, J 0 为稳恒电流， t 稳恒电流分布无源（流线闭合） ， ， J 均与 t 无关，它产生的场也与 t