数列常见题型总结经典

高

中

数

学

《

数

列

》

常

见

、

常

考

题

型

总

结

题型一数列通项公式的求法

1．前n 项和法（知n S 求n a ）⎩⎨

⎧-=-1

1

n n n S S S a )

2()

1(≥=n n 例1、已知数列}{n a 的前n 项和212n n S n -=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 变式：已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 122-=，求数列|}{|n a 的前n 项和n T 练习：

1

234.n S 5

2.（1（2例1.例2.例

3.3.（11-n q .

（2例1、在数列}{n a 中111,1-+==n n a n n a a )2(≥n ，求数列的通项公式。答案：1

2+=n a n 练习：

1、在数列}{n a 中111

1,1-+-==n n a n n a a )2(≥n ，求n n S a 与。答案：)1(2

+=n n a n

2、求数列)2(1

232,111≥+-==-n a n n a a n n 的通项公式。

4.形如s

ra pa a n n n +=

--11

型（取倒数法）

例1.已知数列{}n a 中，21=a ，)2(1

211

≥+=

--n a a a n n n ，求通项公式n a

练习：1、若数列}{n a 中，11=a ,131+=+n n n a a a ,求通项公式n a .答案：2

31

-=n a n

2、若数列}{n a 中，11=a ，112--=-n n n n a a a a ，求通项公式n a .答案：1

21

-=n a n

5．形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型（构造新的等比数列）

（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列;（2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;

（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 方法如下：设,利用待定系数法求出A

例126.(1)若例题.所以{=∴n b (2)若①若②若令n b 例1.在数列{}n a 中，52

1-=a ，且)(3211N n a a n n n ∈+-=--．求通项公式n a

1、已知数列{}n a 中，211=a ，n n n a a 21(21+=-，求通项公式n a 。答案：12

1

++=n n n a

2、已知数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 2331⋅+=+，求通项公式n a 。答案：n n n a 23371⋅-⋅=- 题型二根据数列的性质求解（整体思想） 1、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，1006=a ，则=11S ；

2、设n S 、n T 分别是等差数列{}n a 、{}n a 的前n 项和，327++=

n n T S n n ，则=5

5b a

. 3、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若

==5

935,95S S

a a 则（） 5、在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______。 6、已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3. 7、在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为（） 8

A)例1}是等差数列；

B 例1B 12.-=S n 3.若数列{A ．15B ．4.求数列5.已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项和Sn .

C ）裂项相消法，数列的常见拆项有：1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++11

1

；

例1、求和：S =1+n

+++++

+++++ 3211

3211211 例2、求和：

n

n +++++++++11341231121 . D ）倒序相加法，

例、设2

2

1)(x

x x f +=，求：).2010()2009()2()()()((21312009120101f f f f f f f ++++++++ E ）错位相减法，

1、若数列{}n a 的通项n n n a 3)12(⋅-=，求此数列的前n 项和n S .

2.2

1123(0)n n S x x nx x -=+++

+≠（将分为1=x 和1≠x 两种情况考虑）

题型五：数列单调性最值问题

例1、数列{}n a 中，492-=n a n ，当数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值时，=n .

例2

例3 1}1+⋅n n a 的

前21A ．3B 2A ．4⋅3A ．4．{a n }是等差数列，10110,0S S ><，则使0n a <的最小的n 值是（）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

5.若数列22331,2cos ,2cos ,2cos ,,θθθ前100项之和为0，则θ的值为（）

A.()3k k Z π

π±

∈ B.2()3

k k Z π

π±

∈ C.22()3

k k Z π

π±

∈ D.以上的答案均不对 6.设2a =3,2b =6,2c =12,则数列a,b,c 成

A.等差

B.等比

C.非等差也非等比

D.既等差也等比