立体几何割补法

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备战2024高考数学二轮复习讲义第3讲-割补思想在立体几何中的应用

第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。

割补法重在割与补，巧妙对几何体过几何图形实割与补，变整体的为局部，化不规则为规则，化陌生为熟悉，化抽象为直观。

割补法在立体几何中体现的主要的题型就是几何体的切等问题。

【应用一】割的思想在多面体的体积及几何体的内切球中的运用割的思想主要体现两种题型：一是求复杂几何体的体积、表面积等问题，此类问题通过割把复杂的几何体割成几个简单的几何体。

二是求几何体内切球的半径、体积等问题。

此类问题主要是通过球心与几何体的各点割成锥，然后运用等积法求半径。

【例1.1】已知一个三棱锥的所有棱长均为2，则该三棱锥的内切球的体积为________．【例1.2】【2020年新课标3卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．【思维提升】以三棱锥P －ABC 为例，求其内切球的半径．方法：等体积法，三棱锥P －ABC 体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，球心为O ，建立等式：V P －ABC ＝V O －ABC ＋V O －PAB ＋V O －PAC ＋V O －PBC ⇒V P －ABC ＝13△ABC ·r ＋13S△PAB·r ＋13S △PAC ·r ＋13S △PBC ·r ＝13(S △ABC ＋S △PAB ＋S △PAC ＋S △PBC )·r ；第三步：解出r ＝3V P －ABC S O －ABC ＋S O －PAB ＋S O －PAC ＋S O －PBC ＝3VS 表．秒杀公式(万能公式)：r ＝3V S 表【例1.3】（2023·河北唐山·统考三模）（多选）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体)EF ABCD -．底面长方形ABCD 中3BC =，4AB =，上棱长2EF =，且EF 平面ABCD ，高（即EF 到平面ABCD 的距离）为1，O 是底面的中心，则（）A ．EO 平面BCF【变式1.1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）如图①，在平行四边形ABCD中，AB ===ABD △沿BD 折起，使得点A 到达点P 处（如图②），=PC P BCD -的内切球半径为______.【变式1.2】（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知一正四面体棱长为4，其内部放置有一正方体，且正方体可以在正四面体内部绕一点任意转动，则正方体在转动过程中占据的空间体积最大为__________．【变式1.3】（2022·江苏通州·高三期末）将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A ′－BD －C ，设三棱锥A ′－BDC 的外接球和内切球的半径分别为r 1，r 2，球心分别为O 1，O 2.若正方形ABCD 的边长为1，则21r r =________；O 1O 2＝__________.【应用二】补的思想在立体几何中几何体外接球中的应用解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．2．记住几个常用的结论：（1）正方体的棱长为a，球的半径为R.①对于正方体的外接球，2R；②对于正方体的内切球，2R＝a；③对于球与正方体的各棱相切，2R.（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，球的半径为R，则2R=.（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．构造法在定几何体外接球球心中的应用（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体【例2.1】（2022·广东潮州·高三期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB=BD，已知动点E从C点出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B，则该棱锥的外接球的表面积为_________．【思维提升】墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2．)，秒杀公式：R 2＝a 2＋b 2＋c 24．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：【例2.2】（2022·广东·铁一中学高三期末）已知四面体A BCD -中，5AB CD ==，10AC BD ==，13BC AD ==，则其外接球的体积为______.【思维提升】棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于长方体的体对角线长，即2222R a b c =++(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝x2＋y2＋z28(三棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．【变式2.1】（2023·湖南邵阳·统考三模）三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，4,223,PA AC AB AC AB ===⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为__________.【变式2.2】已知三棱锥A BCD -，三组对棱两两相等，且1AB CD ==，3AD BC ==，若三棱锥A BCD -的外接球表面积为92π．则AC =________．【变式2.3】已知三棱锥A －BCD 的四个顶点A ，B ，C ，D 都在球O 的表面上，AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AC ＝3，BC ＝2，CD ＝5，则球O 的表面积为()A ．12πB ．7πC ．9πD ．8π【变式2.4】(2019全国Ⅰ)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为()．A．62πD．6π8πB．64πC．6巩固练习1、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．2、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）A．1233++D．63+C．633+B．12433、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底面ABCD为正方形，4EF=，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（）A．22πB．42πC．82πD．2π3A ．18B ．275、正四面体的各条棱长都为．6、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝3，AC ＝BD ＝4，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为________．7、在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的体积为____．8、（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥-P ABC 的棱长均为4，先在三棱锥-P ABC 内放入一个内切球1O ，然后再放入一个球2O ，使得球2O 与球1O 及三棱锥-P ABC 的三个侧面都相切，则球2O 的表面积为__________.第3讲割补思想在立体几何中的应用割补法是数学中最重要的思想方法之一，主要分为割形与补行，是将复杂的，不规则的不易认识的几何体或几何图形，分割或补充成简单的、规则的、易于认识的几何体或图形，从而达到解决问题的目的。

立体几何中的“割”与“补”

立体几何中的“割”与“补”作者：郑晓华来源：《新课程学习·中》2015年第04期在解决有些立体几何问题时，将图形进行适当的“割”与“补”，使之变成我们熟悉的简单几何体，从而获得新的解题途径，这也是解决立体几何问题的基本思想方法之一。

例一：求证棱长为a的正四面体内任意一点到各面距离之和为一常数a。

证明：用分割的思想，如图1，任取正四面体内一点E，连接EA，EB，EC，ED.可以将正四面体A-BCD分割成四个小四面体E-ABC，E-ACD，E-ABD，E-BCD，并且分别设它们的高为h1，h2，h3，h4.易知，h1，h2，h3，h4就是E点到各面的距离则VA-BCD=VE-ABC+VE-ACD+VE-ABD+VE-BCD即S△BCD·h=S△ABC·h1+S△ACD·h2+S△ABD·h3+S△BCD·h4而正四面体的每个面都是全等的三角形所以有S△BCD·h=S△BCD·（h1+h2+h3+h4），即h1+h2+h3+h4=h=a例二：直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1 的中点，求直线EF和BC1所成的角。

解：本题考查异面直线所成的角。

如图2，将其补成正方体，连接AB1、AD1，则AB1∥EF、AD1∥BC，则∠B1AD1就是异面直线EF和BC1所成的角，而△AB1D1是正三角形，所以∠B1AD1=60°。

例三：在正四面体ABCD中，AB⊥AC，BC⊥CD，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，BC=6，∠DBC=30°，求AC和BD所成角的余弦。

解：如图3，过B作BE∥CD且BE=CD，将三棱锥A-BCD补成一个四棱锥A-BECD，则∠ACE即为AC与BD所成的角。

由题设条件，得AC=3，CE=BD=4AE2=AD2=AF2+DF2=AF2+CF2+CD2=30所以cos∠ACE==例四：求棱长为a的正四面体的外接球半径。

割补法在立体几何解题中的应用

例
.
2
〔19 93 年理工农医类高考题 ( 26 )〕
IA BI C I 一 A B C 是直三梭柱 , 过点 A , 、 B 、 C l 的平面和平面 A B C 的交线记为 L 。 ( 1) 判定直线 IA C I 和 L 的
BC 位里关系 , 并加以证明 ; (2 ) 若 A A : = 1 , A B ~ 4 ,
. 中学理科教学
割补法在立体几何解题中的应用
白银公司一中赵保铎
几何体彼此之间有着密切的联系 , 解题时只要
细心观察 , 广泛联想 , 不难发现其转化契机 . 所谓割
补法 , 即补体法和分割法的合称 , 就是实现几何体之
~ 3 , 匕 A B C ~ 90 。 , 求顶点 A l 到直线 L 的距离。
分析 : 解此题 , 作出平
面 A I EC ; 和平面 A B C 的交线 L 是关键 . 如图 (3 ) , 补作一个直三棱柱人B r 卜一 A I B , D , , 使其成为一个直四棱柱 A C B I) 一
粤公垂线 E D 一 h , 求证三棱锥的体积 v 一 LZ h 。
一一 ~ 一一
一一 -
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’、
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6 一一’
分析 : 与现行立几教
材分割三棱柱的情况相
反 , 也可以把一个三棱锥补成一个体积是其三倍的三棱柱。如图 ( 4 ) ,连 B E 、

割补法

图1-1图1-2A'中学数学解题思想方法--割补法（2）1内容概述在求不规则的几何体的体积时，有些题目采用“补形法”比较容易；有些题目采用“分割法”更为恰当；还有些题目既能采用“补形法”解决，也能采用“分割法”解决；还有些题目既要采用“补形法”，同时采用“分割法”才易解决.本讲将重点讲解割补法的灵活应用以及专题总结.2例题示范例1 如图1-1，A A '⊥底面ABC ，////AA BB CC ''',且345AB BC AC ===，，，624AA BB CC '''===，，，求几何体C B A ABC '''-的体积解：补上一个相同的几何体如图1-2所示，则新几何体的体积等于两个原几何体的体积.即=2V V 新原.因为A A '⊥底面ABC ，////AA BB CC '''，所以新几何体ABC DEF -为直三棱柱，且因为624AA BB CC '''===，，，所以新几何体底面ABC 的高8AD =.345AB BC AC ===Q ，，，222AB BC AC ∴+=，90ABC ︒∴∠=1=S 482ABC V AD AB BC AD ∆∴⋅=⋅⋅=新所以原几何体的体积为24.图1-3图1-4图2-1解：（法二）在AA '上取一点D 使2AD BB '==，在CC '上取一点E 使2CE BB '==,连结DB '，B E ',DE 平面如图1-3所示，////AA BB CC '''Q,A A '⊥底面ABCABC DB E '∴-为直三棱柱345AB BC AC ===Q ，，，222AB BC AC ∴+=，90ABC ︒∴∠=1=S 122ABC DB E ABC V AD AB BC AD '-∆∴⋅=⋅⋅=，过点B '作B F DE F '⊥于,如图1-4所示， A A '⊥Q底面ABC ,A A DB E ''∴⊥底面 A A B F ''∴⊥ A A DE D '⋂=QB F DEC A '''∴⊥平面所以四棱锥B DEC A '''-的体积为 111=S ()12332B DEC A DEC A VBF A D C E DE BF '''''-''⋅=⋅+⋅⋅= 所以几何体C B A ABC '''-的体积为24B DEC A ABC DB EV V''''--+=评析：本题所给几何体不是一个规则的几何体，可以看成一个直三棱柱被一个平面所截而成的.根据题目特点我们既可以选择“补形法”补成直三棱柱，如图1-2所示，计算出直三棱柱的体积，再利用直三棱柱和已知几何体的关系求解；也可以采用“分割法”，把所给几何体分割成直三棱柱和四棱锥，如图1-3所示来解决 . 本题解法一采取的解题方法为补形法，解法二所采取的解题方法为分割法.两种方法都比较自然，由于题目所给条件，本题采用解法一较为简捷.例2 如图2-1，A A '⊥平面ABC ，//////AA BB CC DD '''',四边形ABCD 为正方形,且213AB AA CC BB ''''=====，，DD ，求几何体D C B A ABCD ''''-的体积图2-2解：在DD '上截取DE AA CC ''==,延长BB '至F ，使BB CC ''=. A A '⊥Q平面ABC ，//////AA BB CC DD '''',四边形ABCD 为正方形,且2AB AA CC ''===，ABCD A EC F ''∴-正方体. A C E A C F S S ''''∆∆∴=13BB ''==Q ，DD1B F E ''∴==D所以所求几何体的体积ABCD A EC F F A B C D A C E V V V V ''''''''---=-+3311833A C E A C F AB S D E S B F AB ''''∆∆''=-⋅⋅+⋅⋅== 评析：本题所给几何体可以看成用一个平面截长方体而成.由于AA CC ''=，因此可以考虑在DD '上截取DE AA CC ''==,延长BB '至F ，使BB CC ''=，这样就出现了一个正方体ABCD A EC F ''-.与几何体D C B A ABCD ''''-相比，正方体ABCD A EC F ''-多出一个三棱锥F A B C '''-,少了一个三棱锥D A C E '''-，这样我们用正方体ABCD A EC F ''-的体积减去三棱锥F A B C '''-的体积同时加上三棱锥D A C E '''-的体积就是所求不规则几何体的体积. 本题灵活运用“割补思想”采用“补形法”与“分割法”相结合的解题策略，化难为易.近几年高考中求几何体体积经常以三视图的形式呈现，这样既考察三视图，又考察空间几何体的体积计算.本题可以用三视图的形式呈现，这样更符合近几年高考趋势，具体如下：一个几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积.111图3-1EAB CDF图3-3HABCDF图3-2GEAB CDF例3某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________ .解：由几何体的三视图还原成直观图如图3-1，可知DA ⊥平面ABC ,////AD CE BF ,AC AB ⊥,5AD CE ==2BF =,34AC AB ==，.延长BF 至G ，使BG AD =,连结,DG EG .所以原几何体可以看成三棱柱ABC DEG -,割去三棱锥F DEG -而成，如图3-2。

割补法在立体几何中的应用

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文科立体几何中的割补法教学 2019年精选文档

文科立体几何中的“割补法”教学立体几何是高中数学知识体系的重要知识模块之一，它也是历年高考必考的重点内容，且题型、难度与分值比例长期保持相对稳定，主要是集中考查空间位置关系的形化和量化，尤其是文科的教学中更关注空间中平行与垂直的关系。

但在教学实践中，我发现文科学生对垂直的证明，如线线垂直、线面垂直的证明或一些相关的计算题，如一类三棱锥的外接球的表面积、体积的计算往往不尽如人意，常常在这方面失分。

那么，如何更好掌握相关知识呢？结合教学实际，我提倡使用“割补法”，即以正方体或长方体为载体，在其中“裁剪”，找出合适的线线、线面、面面位置关系加以研究。

一、从“形”上割补1.割。

正方体是空间各种位置关系的“集合体”，通常可以通过将不规则或者特殊图形切割，构造为正方体关系，由此将题目难度降低。

例1（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（B）（A）372（B）360（C）292（D）280分析：由三视图可知该几何体是两个叠加的长方体，只需割成两个长方体即可，要注意其长宽高。

．例2（2010福建）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。

过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G。

（2）设AB=2AA1=2a。

在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE-D1DCGH内的概率为p。

当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。

分析：第（2）问是借考几何概形来考察几何体的体积，也即P=，而A1ABFE-D1DCGH=VABCD-A1B1C1D1-VBEF-C1HG，即把所求几何体的体积看成长方体的体积割去三棱柱的体积，而该三棱柱是倒放的。

当且仅当时等号成立所以，p的最小值等于2.补。

高考试卷中考查的立体几何图形，大多可以还原为立体几何图形，通过辅助方法，将不熟悉的图形还原为正方体关系，可找出相应题型要求。

割补法在立体几何中的运用

割补法在立体几何中的运用通过将某一图形分割或补充为比较简单的图形或特殊的图形来研究的方法称为割补法。

在高中立体几何的棱柱的侧面积公式的证明，棱锥的体积公式的推证中，已经接触过这—解题的思想方法，它是解决空间问题常用的方法。

对于某些较复杂的问题或拟柱体问题，如果割补法运用得当，可以把复杂问题转化为较简单的问题，从而可以简化运算及论证过程。

下面结合例子谈谈割补法在解题中的应用。

一、利用割补法求两异面直线所成的角例1，已知直线L上有两定点A、B，AC L，BD L，若AB=AC=BD= ，且AC、BD所成的角为120°，求AB、CD所成的角。

分析：根据条件所得的图形不够直观，难以得出交角，故把它补成—个直三棱柱，如图1：由CF||AB可得：DCF就是两异面直线AB、CD所成的角。

通过解三角形即可求得AB、CD 所成的角。

注：此题通过把原图补成—个直三棱柱，相当于把AB平移到CF，则两异面直线所成的角就明显了。

例2，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别是非a、b、c、d（a>b），求AC与BD所成的角的余弦。

分析：在长方体ABCD-A1B1C1D1的相邻处补上一个全等的长方体，如图2：连结C1B2，AB2，则B2C1//BD，可得：AClB2就是ACl与BD所成的角。

在AB2C1中AB2= C1B2=Cl A=cos AClB2=注：在原幾何体中亭吐一只类似的几何体，就能起到线段的平移作用。

二、利用割补法求体积例3，如图3 在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长3的正方形，EF//AB，EF= ，EF与平面AC的距离为2，则该多面体的体积为（）（A）（B）5 （C）6 （D）法一，分析：多面体ABCDEF是属于拟柱体类的几何体，把它补成—个三棱柱，则V多面体ABCDEF=VBCF-AGD-VE-AG= ×3×2×3- × ×3×2× =正确答案为D法二，分析：如图4，连结BE，CE，则平面BEC把这一多面体分割为四棱锥E-ABCD和三棱锥E-BCF，V多面体ABCDEF=VE-ABCD+VE-BCF由于VE-ABCD= ×9×2=6V多面体ABCDEF>6从而确定正确答案为D。

立体几何巧思妙解之割补法

立体几何巧思妙解之割补法在立体几何解题中，对于一些不规则几何体，若能采用割补法，往往能起到化繁为简、一目了然的作用。

一、求异面直线所成的角例1、如图1，正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（）000090604530A B C D分析：平移直线法是求解异面直线所成角最基本的方法。

如图1，只要AC 的中点G ，连EG ，FG ，解△EFG 即可.应该是情理之中的事。

若把三棱锥巧妙补形特殊的正方体，定会叫人惊喜不已。

巧思妙解：如图2，把正三棱锥S-ABC 补成一个正方体11AGBH ACB S -，1//,EF AA ∴异面直线EF 与SA 所成的角为0145A AS ∠=。

故选C 。

二、体积问题例2、如图3，已知三棱锥子P —ABC，10,PA BC PB AC PC AB ======锥子P —ABC 的体积为（）。

4080160240A B C D分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可用海伦公式求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。

若能换个角度来思考，注意到三棱锥的有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。

巧思妙解：如图4所示，把三棱锥P —ABC 补成一个长方体AEBG —FPDC ，易知三棱锥P —ABC 的各边分别是长方体的面对角线。

PE=x,EB=y,EA=z 不妨令，则由已知有：2222221001366,8,10164x y x z x y z y z ⎧+=⎪+=⇒===⎨⎪+=⎩，从而知 416810468101606P ABC AEBG FPDC P AEB C ABG B PDC A FPC AEBG FPDC P AEBV V V V V V V V --------=----=-=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= 例3、如图5，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（）（A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）23分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，变换角度思考将这个组合几何体分割成特殊的几个几何体求解，则问题可迎刃而解。

怎样利用割补法解立体几何中的问题.

例5. 如图：在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB=90。， BC=5，AC=9，CC1=12
求：CB1与 AC1所成的角的大小
A
B
C
如图,补一个相同的直三棱柱, 连结C1B2，AB2，则CB1∥C1B2
∴ ∠AC1B2（或其补角）就是
A1 C1
A2 C2
AC1和 CB1所成的角。 B1 可得：AC1=15，C1B2=13，AB2=√682
注意！
复杂的几何体都是由简单几何体
组成，在求体积时，注意利用分割的思想。另外，应注意改变对几何体的观察角度，以得到最佳求积法。
例3. 如图：已知在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中,棱长为 a , M、N 分别为 AA1、CC1 的中点,
求：四棱锥 A－MB1ND 的体积
A
D
A
D
B
C
B
C
(
3 3

2a)2

2 3
3a
V正四面体

1 3

S

h
A1

1 3

3 4

(
2a)2

2 3
3a

1 3
a3
B C1
0
E
D
例2.如图：在棱长为 a 的正方体ABCD--A1B1C1D1中取点A1、C1、B、D，依次连结成一个多面体，
求：此多面体的体积。
A1 B1
A B
解二：用分割法
D1
求：四面体 ABCD 的体积。
A
D E
B
取 BC 的中点 E，
则 AE⊥BC，DE⊥BC。
V V V C

割补法在高中立体几何解题中的应用分析

积是多少？
图４
对于这道题目，学生绘制图４的图像，分析这几种情况：
（１）取ＢＣ的中点为Ｄ，连接ＤＡ和ＤＰ，过Ｐ作ＨＰ ⊥ ＤＡ，易证 △ＡＢＣ的垂足为Ｈ，则三棱锥ＰＡＢＣ的高为
ＨＰ，由棱锥体积公式Ｖ
＝
图１学生可以这样分析：这道题目可以将图形补充成一个正
方体，设这个正方体为ＡＢＣＤＰＱＲＳ，如图１所示那么求二面角就是求正方体的侧面ＡＢＱＰ与对面角ＰＱＣＤ所成的角，这个角为４５°，因此，我们所求的二面角大小就是４５°。
再将这个特殊的几何体分割为若干部分。
（一）从 “形上割补 ”
例５设ｍ、ｌ为两条直线，α 为一个平面，那么以下命题
正确的选项为
（）
Ａ．若ｌ ⊥ ｍ，ｍａ，则ｌ ⊥α
Ｂ．若ｌ ⊥α，ｌ ∥ ｍ，则ｍ ⊥α
Ｃ．若ｌ ∥α，ｍａ，则１∥ ｍＤ．若ｌ ∥α，ｍ ∥ａ，则ｌ ∥ ｍ
周刊
割补法在高中立体几何解题中的应用分析
高博扬
摘要：高中数学中的立体几何是一门逻辑性和实用性都很强的科目，对于高中生而言，学习起来是比较吃力的，因此，高中生要懂得灵活运用数学中的各种方法来研究题目并使问题最终得到解决。割补法就是立体几何中一种非常实用的解题方法，学生可以利用割补几何体的方法来找出已知的几何体和未知几何体之间的内在联系。割补法是解决空间问题最常用的方法之一，掌握好这种几何方法对于学生的学习来说有着非常重要的帮助。本文分析探究了学生在高中立体几何学习中割补法的应用，希望对高中生立体几何解题能力的提升提供一定的参考和建议。

非常好的课件利用割补法解立体几何中的问题

在△AC1B2中，有余弦定理得：
B2
cos AC1B2
AC12 C1B22 AB22 2 • AC1 • C1B2
48 65
0
∴ AC1和B1C所成的角为∠AC1B2的补角.
其值为：arccos
48 65
3、如图：在正方体 AC1 中，E 为 B1C1 的中点，
求：异面直线 A1C 和 BE 所成的角.
2. 如图：在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB=90。， BC=5，AC=9，CC1=12
求：CB1与 AC1所成的角的大小
A C
A1 C1
A2 C2
B
如图,补一个相同的直三棱柱,
连结C1B2，AB2，则CB1∥C1B2
∴ ∠AC1B2（或其补角）就是
AC1和 CB1所成的角。 B1 可得：AC1=15，C1B2=13，AB2=√682
S 底面积： ADN
1 2
•a
•
a 2
a2 4
高：为点 M 到平面 ADN的距离 h=a
∴VA－DMN
1 3
•
a2 4
•
a
1 12
a3
V 2V ∴ 四棱锥=
A－ DMN=
1 6
a
3
4、在四面体 ABCD 中，AB=AC=DB=DC=10， BC=AD=12，
求：四面体 ABCD 的体积.
A
D E
B
复杂的几何体都是由简单几何体组成，在求体积
01
时，注意利用分割的思想。另外，应注意改变对
几何体的观察角度，以得到最佳求积法.
在立体几何中利用补形的方法可以既简单又巧妙
02
地解决很多问题.

割补法在立体几何中的妙用

割补法在立体几何中的妙用姓名_____________________割补法是数学中常用而独特的方法，通过对几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联系，从而显露出原几何体中不易被发现的隐含条件（线、面关系）。

这种方法蕴含了一种重要的数学思想---------“构造思想”。

同时也反映了对立统一的辩证思想，掌握这种方法对培养同学们的数学素质及创新意识有重要意义。

同时熟练此方法通常可以起到化繁为简、一目了然的作用，从而将一些试题轻松“秒杀”！【课前预习】目标：能将常见几何体补成正方体或长方体，能将不规则几何体分割成常见棱柱、棱锥周练②“难”题再现：1（6）．如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为（ ★ ） A ．O ABC -是正三棱锥 B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45 D ．二面角D OB A --为452（10）．如图所示，b 、c 在平面α内，a ∩c=B ，b ∩c=A ，且a⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，E 在线段AB 上（C ，D ，E均异于A ，B ），则△CDE 是（ ★ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形请将下列几何体（条件开放）补体成为正方体或长方体yxzOAB CD以下题目均由学习小组提供【课堂互动】1、求异面直线所成角（由**小组提供）直三棱柱111ABC A B C -中，190,5,9,12ACB BC AC CC ∠====，求1CB 与1AC 的夹角2、求线面角（由**小组提供）如图S 为正三角形所在平面ABC 外一点，且SA SB SC AB ===，,E F 分别为,SC AB 中点，则异面直线EF 与面ABC 所成角为3、求二面角（由**小组提供）如图，ABCD 为正方形，PD ⊥面ABCD ，PD AD =，求面PAB 与面PCD 所成角4、体积问题①（由**组提供）四面体SABC的三组对棱分别相等，依次为，求四面体的体积②（由**小组提供）在四棱锥O ABCD -中，90DOC ∠=，面ODA ⊥面ODC ，底面ABCD 为菱形，122OD OC ==，求四棱锥的体积5、球的相关问题①（由**小组提供）将边长为2的正ABC 沿高AD 折成直二面角B AD C --，求三棱柱B ACD -外接球的表面积②（由**小组提供），四个顶点都在同一球面上，求球的体积③（由**小组提供）正三棱锥高为1，底面边长为求该内切球的体积④（由**小组提供）已知点,,,A B C D 在同一球面上，AB ⊥面BCD ，BC CD ⊥，若6,8AB AC AD ===，则,B C 两点间的球面距离【达标训练】《导学案-作业本》相关练习和补充作业【自我评价】。

割补法在立体几何中的应用

《割补法在立体几何中的应用》学案操冬生1.观看投影：正方体的分割2.问题一：○1求棱长为2的正四面体的体积。

分析：将正四面体通过补形使其成为正方体，然后将正方体的体积减去四个易求体积的小三棱锥的体积。

解：如图，将正四面体补形成一个正方体，则正方体的棱长为1，则：V 正四面体＝V 正方体－4V 三棱锥＝1－31121314=⨯⨯⨯。

C C 1D 1○2求棱长为2的正四面体的外接球表面积。

○3求棱长为2的正四面体的内切球半径。

○4 求棱长为2的正四面体的内部任一点到各个面的距离之和○5.在正方体D C B A ABCD ''''-中，求异面直线B D '、和C B '所成的角？问题二：四面体S--ABC 中，三组对棱分别相等，且依次为2 5， 13，5 ○1.求该四面体的体积。

○2.求该四面体的外接球表面积。

○3.求该四面体的内切球半径。

○4.在长方体D C B A ABCD ''''-中，求异面直线B D '、和C B '所成的角？○5.拓展：有两个有相同内切球的多面体，其表面积之比为m:n ，它们的体积比为_____________ 问题3：○1.斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为S ，AA 1到此侧面的距离是a ，求此三棱柱的体积？○2.已知三棱锥的两个侧面都是边长为 6 的等边三角形，另一个侧面是等腰直角三角形。

求此三棱锥的体积。

B SAC问题4：在高考中的应用1.（2008海南理科12）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a + b 的最大值为（）A. 22B. 32C. 4D. 522、（2008海南理科18）如图，已知点P 在正方体ABC D －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA=60°。

试谈立体几何求积中的割补法

。
求证三校锥
=
的体积V
,
含l
`
人
此题考查学生的基本知识和基本技能中
, 。
个
C
, ,
棱柱 P G K 一 AB C
_
再把补仁的这块
四杖锥 P
一B C KG
,
割开来计算
形
,
上面已证得它的底面为正方
“ , ,
高为
几
。
直线和平面的位置关系体积计算的推理能力在评分标准及井案
,
上尸A
二
GB / P A G B 门刀C
’
( 又刀D
一
l)
方法
展
,
.
这种以动的观点来研究几何
, .
对进一
Bj
二
步培养学生的空间想象能方无疑是很有帮助的
,
J 发促进思维自
y
尸。二二一 , , 。 ,
l 无即得 V
’
,
,
一 ,
刀
。
/ / 尸月 J ~
、` 飞
2了上刀C
二
_
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尸A 二刀C 二 ZJ
、 C 万J 飞
兀
为
。
正方形
,
就是把所求儿何体
厂
,
,
经若
使之成为我们熟知的即
已
有现
E D一BC 刃D
J . ` 、 t . 矛
!
今 E D 一面B C K

高考备考专题复习：立体几何中的切割与补形课件

1 1 2 2 2 1 [3 1 2 2 3 (2 2)2 ] r
32
32
4
解得
r
2 3
3
，
该几何体的外接球半径与内切球半径之比为
3 2
33 3 2
3 3
答案：3 3 3 ．
2
课堂小结
（1）几何体的“切割”与“补形”的基本思想是将不规则的、复杂的或不熟悉的几何体进行 “割”或“补”，使之成为有规则的、简洁的或熟悉的几何体。（2）“割”或“补”成长方体（正方体）是最常见的割补方法，故要熟记长方体（正方体）的基本性质、公式及有关结论。
E
C
∴ 1 6 3 1 1 3 2 r 3 1 6 3 r ∴ r 6 2
3
3
3
∴ S球 =4（
6 2）2 =8 5 2
6
，
V球 =
4(
3
6 2)3
四. 四面体的外接球半径问题——补形法
例5.在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC 两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a，那么这个球面的面积是_______.
解析：此题直接求解，
计算将很繁琐。
这个三棱锥可补形成长方体，这样求解就简便得多了。
易得长方体对角线长为 3 ，所以球的半径为 3 ，因此球的体积为29 。
2
A
O C
P
B
2．一个几何体的三视图如图所示，三视图都是腰长为2
的等腰直角三角形，则该几何体的外接球半径与内切球
半径之比为
.
解：依题意知几何体是正三棱锥，且三条侧棱两两垂直，故可将其补形为正方体，如图所示，正方体的棱长为 2 ，故外接球的半径为 3 ，设内切球的半径为r，由切割法可得：

立体几何--割补法3

分割法
5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为 a,E、F分别是棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积。 D C
1 1
A1
B1
F E
C
A
B
4.如图表示以AB=4，BC=3的长方形ABCD为底面的长方体被平面斜着截断的几何体，EFGH是它的截面，已知AE=5，BF=8，CG=12. 1）试判断截面四边形的形状,并证明你的结论；G 2）求DH的长； 3）求这个几何体的体积.
14 如图8-12，球面上有四个点P、 A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。
19、已知圆锥的底面半径为5，高为10，在这个圆锥内有一个内接圆柱，求圆锥底面半径多大时，才能使它有最大的侧面积，并求最大侧面积。
a b
例3.自球面上的一点P作球的两两垂直的三条弦PA、PB、PC，球半径为R，求PA2＋PB2＋PC2
12、斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形ABC，∠C=90º ，BC=2，点B1在下底面ABC上的射影D恰好是 BC的中点，侧棱与底面的夹角为60º ，侧面A1ABB1与侧面B1BCC1的夹角为30º ，求斜三棱柱的侧面积和体积。来自E HFD A
C
B
用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱。 E E
F D F D
A B C C
A
B
1 ∴V几何体= 2 V三棱柱
例5．如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中， E、F分别是BB1、CD的中点，设AA1＝2，求三棱锥F－A1ED1的体积。
D1
C1
A1
B1
E
A
H