高考复数的知识题型总结归类

高考复数的知识题型总结

一、复数的有关概念

(1)复数

1.定义：形如a+6i (a, 6WR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位,满足f= —1.

二i,产三-1, Z，n-3=-i, 小= 1.)

2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+6i (a, 6CR),叫做复数的代数形式，a叫做复数z的实部，6叫做复数z的虚部.(注意b是虚部而不是bi)

(2)复数集

1.定义：全体复数所成的集合叫做复数集.

2.表示：大写字母C.

(3)复数的分类

’3正实数

L= 0

，-- 是实数QT上;实数0

复数z=a+例—负实数

一纯虚数hi

、3n是虚数1&工°为£2

”非纯虚数的虚敷

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

（4 ）复数相等的充要条件

a+ 6i = c+ 力=a=c 且b=d

a+6i = 0=a=6=0. （a, b, c, d 均为实数）

说明：要求复数相等要先将复数化为2=&+历（a, 6£R）的形式，即分离实部和虚部.

二、复平面的概念

点Z的横坐标是a,纵坐标是6,复数*a+6f（a、6£R）可用点Z（a, 6）表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.

（1）实轴上的点都表示实数.

(2)虚轴上的点都表示纯虚数.

(3)原点对应的有序实数对为(0, 0)

三、复数的两种几何意义

(1)复数z=a+bi (a, Z>GR) -*对应复平而内的点Z (a, b).

(2)复数z=a+6i (a, b£R) -*平而向量一OZ

复数Z=a+罚(a1亡犬)

—寸应

点—―->向量无对应

四、复数的模

复数z=a+6i (a, 6CR)对应的向量为OZ ,则&的模叫做复数z的模，记作;z ,且|z|=^7F 注意：两个虚数是不可以比较大小的，但它们的模表示实数，可以比较大小.

五、复数的运算

设％=a+6，，z^c+di(a^ b、c、d£R)是任意两个复数，

%与Z2 的加法运算律：^+^2= (a^bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i.

%与Z2 的减法运算律：4-纥=(a+6f)-(c+d£) = (a-c) + (Zy^£

Z1 与诙的乘法运算律：21.乏二(a^bi) (c^di)-(ac— bd)^(bc^ad) i.

cic + bd ^bc- ad .

Z,与否的除法运算律：2一生二（/方）・（6人）=1+/2 /+/ （分母要利用平方

差实数化）

六、共甄复数

1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共枕复数，虚部

不等于0的两个共枕复数也叫做共枕虚数.

通常记复数Z的共辗复数为5 o例如z=3 + 5i与5=3 — 5i互为共辄复数

2.共辗复数的性质

（1）实数的共规复数仍然是它本身

⑵2区=团:团，

（3）两个共规复数对应的点关于实轴对称

七、常用结论

.

⑴"i,

（2）（l-i）2=-2i

⑶- = -/

(5)— = -/ 1 + Z

(6)(。+瓦)(。一")=M +62

题型分类

题型一：复数定义的考查

1.设有下面四个命题：

2.p,：若复数n满足建p则ZER；Z

3.p二:若复数Z满足z?wR，则ZEN；

4.p s：若复数z1，z二满足则4 =

5.p4：若复数z e R，则5 e R -

6.其中的真命题为（）

A.内，p

3B. pi，内 C. pc，

Ps

D. p,» p

4

解：若复数z满足:WH,则zwR,故命题内为真命题：

内：复数z = i满足Z?=-1F R,则zWE，故命题p,为假命题；P?：若复数q=i,勺=2i满足W R，但z】于向，故命题内为假命题；P4：若复数zWE,则之二zeR,故命题P4为真命题.

故选B.

2. F列命题：

①若a£R,则（a+1） i是纯虚数；

②若a, 6WR,且a>6,则a+i〉6+i；

③若（/一4） + （H+3x+2） i是纯虚数，则实数*=±2；

④实数集是复数集的真子集.

其中正确的是（）

A.①

B.②

C.③

D.®

解：对于复数a+6i （a, 5GR）,当a=0且6W0时，为纯虚数.

①，若a= - l,则（a+1） i不是纯虚数，即①错误

②，两个虚数不能比较大小，则②错误.

③，若x=—2,则/一4 = 0, H+3x+2=0,此时（/-4） + （x'+3x+2） i=0,不是纯虚数，则③错误.

④，显然正确.故选D.

3.给出下列命题:

①若ZE。，则zbO：

②若a, b-R，且比>力，则a + Z>b + i；

③若a ER,则（a+ I）i是纯虚数：

④若z = -i，则* +1在复平面内对应的点位于第一象限.

其中正确的命题是________ （填上所有正确命题的序号）.

解：

①若ZEC,则/文0不成立.比如F = —1<0；

②因为复数不能比较大小，所以a + i>b+i不成立；