高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2 利用基本不等式求最值学案 新人教A版必修第

第2课时 利用基本不等式求最值

1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．

基本不等式与最值 已知x ，y 都是正数，

(1)如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14

S 2

.

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x 、y >0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a >0，b >0，且a ＋b ＝16，则ab ≤64.( ) (2)若ab ＝2，则a ＋b 的最小值为2 2.( ) (3)当x >1时，函数y ＝x ＋1

x －1

≥2x x －1

，所以函数y 的最小值是2x

x －1

.( )

(4)若x ∈R ，则x 2

＋2＋

1

x 2

＋2

≥2.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×

题型一利用基本不等式求最值

【典例1】 (1)若x >0，求y ＝4x ＋9

x

的最小值；

(2)设0

2

，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；

(3)已知x >2，求x ＋

4

x －2

的最小值； (4)已知x >0，y >0，且1x ＋9

y

＝1，求x ＋y 的最小值．

[思路导引] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．

[解] (1)∵x >0， ∴由基本不等式得

y ＝4x ＋9

x

≥2

4x ·9

x

＝236＝12，

当且仅当4x ＝9x ，即x ＝32时，y ＝4x ＋9

x 取最小值12.

(2)∵0

2，∴3－2x >0，

∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢

⎡⎦

⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92.

当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝3

4时取“＝”．

∴y 的最大值为9

2.

(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋

4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2 ≥2

(x －2)·

4

x －2＋2＝6. 当且仅当x －2＝4

x －2

， 即x ＝4时，x ＋

4

x －2

取最小值6. (4)∵x >0，y >0，1x ＋9

y

＝1，

∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y

≥10＋29＝16.

当且仅当y x ＝

9x y 且1x ＋9

y

＝1时等号成立， 即x ＝4，y ＝12时等号成立．

∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.

[变式] (1)本例(3)中，把“x >2”改为“x <2”，则x ＋

4

x －2

的最值又如何？ (2)本例(3)中，条件不变，改为求x 2－2x ＋4

x －2

的最小值．

[解] (1)∵x <2，∴2－x >0， ∴x ＋

4x －2＝x －2＋4x －2＋2＝－⎣⎢⎡⎦

⎥⎤(2－x )＋42－x ＋2≤－2 (2－x )·4

2－x

＋2＝－2.

当且仅当2－x ＝4

2－x

，即x ＝0时，

x ＋4

x －2

取最大值－2. (2)x 2－2x ＋4x －2＝(x －2)2＋2(x －2)＋4x －2

＝x －2＋

4

x －2

＋2≥2 (x －2)·

4

x －2

＋2＝6 当且仅当x －2＝

4

x －2

，即x ＝4时，原式有最小值6.

(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．

(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同． [针对训练]

1．已知x ，y >0，且满足x 3＋y

4＝1，则xy 的最大值为________．

[解析] ∵x ，y >0， ∴x 3＋y 4

＝1≥2 xy

12

， 得xy ≤3，当且仅当x 3＝y 4即x ＝3

2

，y ＝2时，取“＝”号，

∴xy 的最大值为3.

[答案] 3

2．已知x ，y >0，且x ＋y ＝4，则1x ＋3

y

的最小值为________．

[解析] ∵x ，y >0，

∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫y x

＋3x y ≥4＋23，

当且仅当y x ＝

3x

y

， 即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号， 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32. [答案] 1＋

3

2

3．若x <3，则实数f (x )＝

4

x －3

＋x 的最大值为________． [解析] ∵x <3，∴x －3<0， ∴f (x )＝

4x －3＋x ＝4x －3

＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢

⎡⎦

⎥

⎤43－x ＋(3－x )＋3

≤－2

4

3－x

·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当4

3－x ＝3－x ，即x ＝1时取“＝”号．

∴f (x )的最大值为－1. [答案] －1

题型二利用基本不等式解决实际问题

【典例2】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．

(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面