2014年高考导数压轴题汇编解析

2014年高考导数压轴题汇编

1.[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝

2.718 28…为自然对数的底数．

(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值；

(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．

21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .

所以g ′(x )＝e x －2a .

当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．

当a ≤12

时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；

当a ≥e 2

时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；

当12

时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，

于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .

综上所述，当a ≤12

时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当12

时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e 2

时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，

则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.

同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.

故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．

由(1)知，当a ≤12

时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点； 当a ≥e 2

时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12

. 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．

因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有

g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.

由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，

则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，

解得e －2

当e －2

若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，

从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0.

又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.

故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.

由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增．

所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)

故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．

综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．

2．[2014·安徽卷] 设实数c ＞0，整数p ＞1，n ∈N *.

(1)证明：当x ＞－1且x ≠0时，(1＋x )p ＞1＋px ；

(2)数列{a n }满足a 1＞c 1p ，a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p

. 21．证明：(1)用数学归纳法证明如下．

①当p ＝2时，(1＋x )2＝1＋2x ＋x 2>1＋2x ，原不等式成立．

②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．

当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋

1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x .

所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立．

(2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p

. ①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p

成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p 成立． 由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n

易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p

a －p k ＝

1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k

－1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k

－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p ＝⎣

⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p

>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c

a p k －1＝c

a p k . 因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p

， 所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p

也成立． 综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >c 1p

均成立． 再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n

<1， 即a n ＋1

综上所述，a n >a n ＋1>c 1p

，n ∈N *. 方法二：设f (x )＝p －1p x ＋c p x 1－p ，x ≥c 1p

，则x p ≥c ， 所以f ′(x )＝p －1p ＋c p (1－p )x －p ＝p －1p ⎝⎛⎭⎫1－c x p >0. 由此可得，f (x )在[c 1p ，＋∞)上单调递增，因而，当x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p

. ①当n ＝1时，由a 1>c 1p

>0，即a p 1>c 可知 a 2＝p －1p a 1＋c p a 1－p 1＝a 1⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1－1c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p

， 故当n ＝1时，不等式a n >a n ＋1>c 1p

成立． ②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >a k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p

)， 即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p

， 所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p

均成立． 3．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝e x －ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f (x )在点A 处的切线斜率为－1.

(1)求a 的值及函数f (x )的极值；

(2)证明：当x >0时，x 2

(3)证明：对任意给定的正数c ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0，＋∞)时，恒有x 2

20．解：方法一：(1)由f (x )＝e x －ax ，得f ′(x )＝e x －a .