专题二数列及极限

专题二 数列与极限

数列与数学归纳法

数列与数学归纳法在中学数学中既具有相对的独立性，又具有较强的综合性，因此在历年的高考中占有较大的比重。

二期课改中提出的具体要求及活动建议如下：

1. 通过实例引入数列的有关概念；理解这些概念。

2. 掌握等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式。体验用类比的性质对等差数列和等比数列

进行研究的活动。

3. 从生活实际和数学背景中提出递推数列进行研究，加强实验探索过程和计算器的应用。会解决简

单的递推数列（即一阶线性递推数列）的有关问题。

4. 会用数列知识解决简单的实际问题，通过数列的建立及应用，具有一定的数学建模能力。

5. 知道数学归纳法的基本原理，掌握数学归纳法的一般步骤，并会用于证明与正整数有关的简单命

题和整除性问题。

6. 通过举例说明，领会“归纳—猜测—论证”的思想方法，获得对于“归纳—猜测—论证”过程的

深刻体验。

7. 通过“归纳—猜测—论证”的思维过程，具有一定的演绎推理能力和归纳、猜想、论证的能力。 数列极限

本章使学生初步接触用有限刻画无限、由已知认知未知、由近似描述精确的数学方法，使学生对变量、变化过程有更深刻的认识，帮助学生形成变量数学的思想方法，为进一步学习微积分知识提供基础。

根据二期课改中的具体要求及活动建议如下：

1．理解直观描述的数列极限的意义，会根据定义由数列的通项公式考查数列的极限。 2. 掌握数列极限的四则运算性质，会利用这些性质计算数列的极限。

3. 掌握基本的极限计算公式和三个重要极限，并会利用这些公式计算极限。

4. 知道无穷等比数列的含义，会求无穷等比数列各项的和。

5. 会利用无穷等比数列求和的方法吧循环小数化为分数，熟练应用无穷等比数列求和公式。

纵观近年来的高考试题，在选择填空题中，突出“小、巧、活”的特点，解答题以中

等以上难度的综合题为主，涉及函数、方程、不等式等内容，体现了函数与方程、等价转化、分类讨论等重要的思想以及待定系数法、配方法、换元法、归纳—猜想—证明等基本的数学方法。因此学习数列应注意：一是“熟”，公式熟、性质熟、方法熟，熟能生巧；二是“以退为进”，通过特例、特殊位置、特殊关系寻求问题的特殊解法，再考虑特殊解法是否可以迁移，或从特殊中发现具有一般性的规律。 一、数列的概念 【例题剖析】

例1．已知数列}{n a 满足⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

<≤-<≤=+.

121,122

10,21n n n n n a a a a a 若120086,7a a ==则____.

解析：234536,,777a a a ===，3T ∴=，则200816

7

a a ==；

例2．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a 必定是常数数列.然而在等比数列}{n a 中，对某些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是.

解析：(1)n

n a =-

小结：数列的通项公式并不是唯一的。

例3．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有________个点.

（1） （2） （3） （4） （5） 解析：(1)1n n -+；

例4．根据下面各个数列{}n a 的首项和递推关系，求其通项公式

⑴==+11,1n a a )(2*

N n n a n ∈+

⑵=

=+11,1n a a 1+n n

)(*N n a n ∈ ⑶==+11,1n a a 12

1+n a )(*

N n ∈

解析：⑴二阶差分数列，累加法得：2

1n a n n =-+；

⑵累乘法得：1

n a n

=；

⑶一阶线性递归数列，待定系数法得：1

1

2()2

n n a -=-；

小结：常见的数列递推关系有：

（1）形如1n n a pa q +=+ （2）形如1()n n a a f n +=+

例5．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞

→2

)

1(lim

n a n n ________.

解析：3,2n a a n -=≥，23n a n ∴=，则2

lim

3(1)n

n a n →∞=+

例6．已知数列{}n a 中，11a =，1122().n n na a a a +=++

+

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1222n n n a a a ++⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和n S .

出题背景：考查已知前n 项和与第1n +项的关系式如何来求通项公式。 解题思路：（1）

1122()n n na a a a +=+++

121(1)2()(2)n n n a a a a n -∴-=+++≥

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。

。 。 。

两式相减得 1(1)2(2)n n n na n a a n +--=≥，即1(1)(2).n n na n a n +=+≥

112.112n n n a a a a n n n +-∴

====+-又当1n =时，2122a a ==，2 1.2a ∴=而111a

= 1211121

n n a a a a

n n -∴=====-，*().n a n n N ∴=∈ （2）

122222221111(2)4(2)n n n a n a a n n n n ++⎡⎤

+==-⎢⎥++⎣⎦， 2

22222221111111

114132435

(2)n S n n ⎡⎤

∴=

-+-+-++

-⎢⎥+⎣⎦

22222211115265

1.42(1)(2)164(1)(2)n n n n n n ⎡⎤++=+--=-⎢⎥++++⎣⎦

例7．数列{}n a 满足*111,,21n n n a a a n N a +==∈+，数列{}n b 的前n 项和21212.3n

n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）设n

n n

b c a =

，是否存在m N ∈，使得9m c ≥成立，并说明理由。 出题背景：考查对给出式子的灵活变形以及对求最大项的方法的掌握。 解题思路：（1）由121n n n a a a +=

+，得

111

2n n

a a +=+， ∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭

是以1

1

1a =为首项，2为公差的等差数列，

1112(1)21,.21

n n n n a a n ∴

=+-=-∴=- 当2n ≥时，11

1222121212124.333n n n n n n b S S ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=-=---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

当1n =时，114b S ==，1

*24().3n n b n N -⎛⎫

∴=⋅∈ ⎪

⎝⎭

（2）方法一：1

1

24234(21).1321

n n n n n b c n a n --⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=

==- ⎪⎝⎭-设()m c m N ∈为数列{}n c 的最大项，则11,m m m m c c c c -+≥⎧⎨≥⎩