数列与不等式的综合问题

数列与不等式的综合问题

测试时间： 120分钟 满分：150分

解答题（本题共9小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

）

1. [2016 •银川一模]（本小题满分15分）在等差数列｛刘中，a i = 3,其前n 项和为S, 等比数

列｛b n ｝的各项均为正数，b 1 = 1，公比为q （q z 1），且b 2+ S 2= 12, q = f 2.

b 2

（1） 求 a n 与 b n ；

…1 1 1 1 2

（2） 证明：3< S +§+…+ S

<§.

b 2 + S 2= 12 ,

1 1 1

故 S

+S +…+ s n =

1

—百.（12

1 1

因为n >2所以0<市三$于

1 2 1 2 所以21 —市＜2, 1 1 1 1 2 即 3= S 1

+

S 2+…+

s n <2.（15 分）

3

3a

2. [2017 •黄冈质检]（本小题满分15分）已知数列｛◎｝的首项a 1= , a n +1 =

二,n 5

2a n + 1

a 1 a 2

a n

2 1

1

（2） 记S = + — + •••+—，若$<100，求最大正整数 n .

（1）设｛a n ｝的公差为d ,因为

q + 6 + d = 12,

所以 6 + d

q =

解得 q = 3 或 q =— 4（舍），d = 3.（4 分）

故 a n = 3+ 3（ n — 1） = 3n , b n = 3n 1

.（6 分）

⑵证明：因为S n =

n 3+ 3n

（8分）

1

所以S n 3+ 3n

1 1 n

n +1

.（10 分）

1

1 - 2

1 1 2-

3

1 1 3-4 +

…

+

1 1 n

n +1

*

€ N.

1

（1）求证：数列一一1为等比数列；

a n

1 2 1

解 (1)证明：因为——=-+

厂,

3 3 a n

所以一—1=

1

= 1 1 — 1 .

a +1

3-n 3

3 -n

1 1 3

—

3

=n + 2 x —

1

1 —-

3

1

若$<100，则n +1 —亍<100，所以最大正整数 n 的值为99.（15分）

3. [2016 •新乡许昌二调]（本小题满分15分）已知｛a n ｝是等差数列， 数的等比数列，且 a 1 = 2, b 1= 3, a s + b 5= 56, a 5+ b e = 26.

（1） 求数列｛a n ｝ , ｛b n ｝的通项公式；

2

2b n

* 一

（2）

若—x + 3x w -对任意n € N 恒成立，求实数x 的取值范围. n + 1

4

a 1 + 2d +

b 1 • q = 56,

解（1）由题意，

2

a 1 + 4d +

b 1 • q = 26,

.

4

2+ 2d + 3 • q = 56,

将a 1= 2, b 1 = 3代入，得

2

2+ 4d + 3 • q = 26,

消 d 得 2q 4— q 2— 28= 0, A （2q 2+ 7）（ q 2— 4） = 0,

I ｛b n ｝是各项都为正数的等比数列，A

q = 2,所以 d = 3 , （4 分）

a n

= 3n — 1, b n

=

3 •

n — 1

2

.（8 分）

n — 1

、r 3 ・2 ⑵记C n =

亠

n — 1

2n — 1

6+ 1

一 C n = 3•

2n + 1

2n +3

>0

a n +1

1

又因为石 1 *

1工0,所以-—1工0（ n € N ）, 所以数列

1

1为等比数列. a n （7分）

⑵由(1)

n — 1

所以丄=2X 3 n + 1.

n

3

所以s 」+1+…+

1 a

2

1 1 1

a n

= n + 2

3

+

尹…+ £

n+1

1

=n + 1 —

亍,

｛ b n ｝是各项都为正

所以C n最小值为C1 = 1, （12 分）

因为—x2+ 3x^——对任意n € N恒成立,

2n+ 1

所以—x2+ 3x w2,解得x>2 或x w 1,

所以x€ （—a, 1] U [2 ,+s） . （15 分）