【精选】2020中考数学 几何综合探究 专题练习(含答案)

2020中考数学 几何综合探究 专题练习

例题1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5075135AB DC AD BC ====，，，点P 从点B 出发沿

折线段BA AD DC --以每秒5个单位长度的速度向点C 匀速运动，点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK BC ⊥，交折线段CD DA AB --于点E ，点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间是t 秒()0t >

（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长；

（2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ DC ∥?

（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD DA ，上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）

【答案】⑴507550

355

t ++=

=()s 时，点P 到达终点C ， 此时，353105QC =⨯=，所以BQ 的长为 13510530-=．

⑵如图1，若PQ DC ∥，又AD BC ∥，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD QC =, 由35QC t BA AP t =+=，

得507553t t +-=，解得125

8

t =，

经检验：当125

8

t =时，有PQ DC ∥．

⑶①当点E 在CD 上运动时，如图2，分别过点A 、D 作AF BC ⊥于点F ，DH BC ⊥于点H ， 则四边形ADHF 为矩形，且ABF DCH △≌△，

从而75FH AD ==，于是30BF CH ==，∴40DH AF ==．

又3QC t =，从而tan 34DH

QE QC C t t CH

=⋅=⋅=（注：用相似三角形求解亦可）

∴21

62

QCE S S QE QC t ==⋅=△．

②当点E 在DA 上运动时，如图1，过点D 作DH BC ⊥于点H ， 由①知4030DH CH ==，，

又3QC t =，从而330ED QH QC CH t ==-=-

∴()1

1206002

QCDE S S ED QC DH t ==+=-梯形．

例题2.

如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，413

CE CF ==，

，直线EF 交AB 的延长线于G ，

过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x =

，C

图1

C

图2

矩形AMHN 的面积为y

（1）求y 与x 之间的函数关系式；

（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？

【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长为4，4

13

CE CF ==，， ∴3BE =

又AG CF FEC GEB ∥，△∽△，4CF CE

BG BG BE

==， 又HM BE ∥

∴HMG EBG △∽△，MG HM

BG BE

=

∴44

833MG x AM x ==-，

∴()244880433y x x x x x ⎛

⎫=-=-+<≤ ⎪⎝

⎭

（2）∵()2

244831233

y x x x =-+=--+

∴当3x =时，矩形面积最大，最大面积为12

例题3.

如图，在平面直角坐标系中，点)

0A

，()

2B ，()02C ，，动点D 以每秒1个单位的速

度从点O 出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动，

过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F ，连结OA 、OF ，设运动时间为t 秒． （1）求ABC ∠的度数；

（2）当t 为何值时，AB DF ∥； （3）设四边形AEFD 的面积为S ， ①求S 关于t 的函数关系式；

②若一抛物线2y x mx =+经过动点E

，当S

【答案】（1）过点B 作BM x ⊥轴于点M

∵(

)()

022C B ，

，，∴BC OA ∥，∴ABC BAM ∠=∠，

∵2BM AM ==，

∴tan 30BAM ABC BAM ∠=

∠=∠=︒． （2）∵AB DF ∥，∴30CFD CBA ∠=∠=︒， 在直角三角形DCF 中，230CD t CFD =-∠=︒，，

∴)2CF t =-，

∵4AB =，∴4230BE t FBE =-∠=︒，，∴

242t BF -=

，

N M

H G

F

E

D

C B

A

B

)

242

2

t

t

-

-+=∴

5

7

t=．

（3）①解法一：过点E作EG x

⊥轴于点G，则

EG t=

，OG=

，

∴)

E t，，∴DE x

∥轴，

111

2

222

DEF DEA

S S S DE CD DE OD

=+=⨯+⨯=⨯=

△△

解法二：∵

BF

=，∴

CF==，

∴

ODA BFE CDF

OABC

S S S S S

=---

△

△△

梯形

)(

)

)2

24142

t t t

=-+-=

+，

②当

S<

∴1

t<，因为0

t>，所以01

t

<<

m<

例题4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A B

，的坐标分别为()()

4043

，，，，动点M N

，分别从点O B

，同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC 向终点C运动，过点N作NP BC

⊥，交AC于点P，连结MP，当两动点运动了t秒时．（1）P点的坐标为（，）（用含t的代数式表示）．

（2）记MPA

∆的面积为S，求S与t的函数关系式(04)

t

<<．

（3）当t=秒时，S有最大值，最大值是．

（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且QAN

∆为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．

【答案】（1）

3

4

4

t t

-，

（2）在MPA

∆中，4

MA t

=-，MA边上的高为

3

4

t

∴()

13

4

24

MPA

S S t t

∆

==-⋅，

即()

2

33

04

82

S t t t

=-+<<

（3）

3

2

2

，

（4）由⑶知，当S有最大值时，2

t=，此时N在BC的中

点处，如图1．

设()

Q y

，，则22222

4

AQ OA OQ y

=+=+

()2

2222

23

QN CN CQ y

=+=+-，

22222

32

AN AB BN

=+=+．

∵QAN

∆为等腰三角形，

①若AQ AN

=，则2222

432

y

+=+，此时方程无解．