基础知识检测2(9.1向量概念-9.3向量基本定理及坐标表示)
初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算法则
初中数学知识归纳向量的概念与向量的运算法则初中数学知识归纳：向量的概念与向量的运算法则向量是数学中非常重要的概念之一，在初中数学中也是必须学习和掌握的内容。
本文将对向量的概念以及向量的运算法则进行归纳总结，以帮助初中学生更好地理解和应用向量的知识。
1. 向量的概念向量是由大小和方向共同决定的量，通常用箭头表示。
在平面直角坐标系中，向量常以有向线段的形式表示，有一个始点和一个终点。
向量的大小称为向量的模，用两个竖线表示，例如∥AB∥表示向量AB的模。
2. 向量的表示方法向量可以用坐标表示，也可以用字母表示。
用字母表示时，通常用小写字母加上一个箭头表示，如a⃗，b⃗。
向量的起点可以是坐标原点，也可以是其他点。
3. 向量的运算法则3.1 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点放在同一个点，然后将它们的终点相连，得到一个新的向量，其起点与原向量的起点相同，终点与原向量的终点相同。
3.2 向量的减法向量的减法可以视为加上一个相反向量，即将减去的向量取反后进行加法运算。
3.3 向量的数乘向量的数乘即将一个向量乘以一个实数（通常是正数），得到的向量与原向量的方向相同（同向）或者相反（反向），而大小是原向量大小的几倍。
4. 向量的运算性质4.1 交换律向量的加法满足交换律，即a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗。
4.2 结合律向量的加法满足结合律，即(a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗)。
4.3 数乘结合律数乘和向量的加法满足结合律，即k(a⃗ + b⃗) = k a⃗ + k b⃗。
4.4 数乘分配律数乘和向量的加法满足分配律，即(k + m)a⃗ = k a⃗ + m a⃗。
5. 向量的数量积和向量积为了更深入地研究向量的性质和应用，还引入了向量的数量积和向量积的概念。
这两个概念超出了初中范围，在高中数学中详细讲解。
综上所述，向量是数学中重要而有用的概念，通过学习和掌握向量的概念和运算法则，我们可以更好地解决和应用相关的数学问题。
向量基本概念及坐标表示
向量基本概念及坐标表示1、向量：既有大小，又有方向的量.零向量：长度为0的向量.单位向量：长度等于1个单位的向量.平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行.相等向量：长度相等且方向相同的向量.2、 (1)向量既有大小又有方向的量。
(2)向量的模一一有向线段的长度，|a|(3)单位向量|a o| 1, a o —|a|(4)零向量0 , |0| 0在此规定下向量可以在平面(或空间)平行移动而不改变3、共线向量(平行向量) 方向相同或相反的向量。
规定零向量与任意向量平行。
(5)相等的向量长度相等方向相同b // a (b 0) 存在唯一实数，使b aOA OB OC OA OB BA3.与向量 d （12,5）平行的单位向量为 （）12 A.占,5) 13 C( 12 5、十 / 12 5 C.(一，)或(，B.D ・( 12 513' 1312 513' 13 5、平面向量基本定理（向量的分解定理）e i , e 2是平面内的两个不共线向量，a 为该平面任一向量，则存在唯一实数对1、 2，使得a 1e i2e 2 ， e i 、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
6向量的坐标表示i ，j 是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数 x ，y ，使得a x i y j ，称（x , y ）为向量a 的坐标，记作：a x ，y ，即为向量的坐标 表示。
设 a x 1， y 1， b X 2， y 2贝 y a b x 1，y 1y 1, y 2 x1y 1， X 2 y 2aX" y 1X 1, y 1若A x 1，y 1，B x 2，y 2则 AB X 2 X 1，y Y 1练习题：1.将—[2(2 a 8b) 4(4 a12A. 2a bB.C. a b D .2.如图 1所示，向量OA,OB,C ）C 的终点A, B ，C 在一条直线上，且nnOAp ，mu OBq ，O C r ，则以下等式中成立的是（A. r3 312q B.r p 2qc. r尹 2qD.2p2b ）］化简成最简式为（2b ab a f图IuurACUUU 3CB ，设4. 已知向量a (2,3),b(1,2)，若ma nb 与a 2b 共线，则m等于()n11A. 1B.2C.丄 D.-2225 •已知非零向量 u 和e 2不共线，欲使te i e 2和◎ t e ?共线，则实数t 的值为 _______ •6•平行四边形ABCD 中，M 为DC 中点，N 为BC 的中点•设AB a ， AD b ，,BJUD则MN _____________ (用a ， b 表示).7. 已知向量 a (3,1),b (1,3),c (k,7)，若(a c)//b,则k _____________ 8. 设向量a (1,2),b (2,3)，若向量 a b 与向量C (4,7)共线，则 = ______9. 两个非零向量厲，e 2不共线.ujuuur ium,「「八(1) 若 AB ee 2，BC2e 1 8e 2，CD3(©e 2)，求证：A B ，D 三点共线;(2) 求实数k ，使k e 1 e 2与2e k e ：共线.uuu10 .已知Y ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OAUUU UUU UULTUUUb 分别表示向量OC ，OD ，DC ，BC .错误!未找到引用源若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.11、设0(2是两个不共线的向量,AB 2ei ke 2 ,CB e 13e 2, CD 2e 1e 2，uuua ，OBb ，用向量a ，12.已知向量 a ( 3,2),b (2,1),c (3, 1),t R.若a tb与c共线，求实数t.。
高考向量的基本知识点总结
高考向量的基本知识点总结一、引言向量是高中数学中非常重要的概念，也是高考数学必考的知识点之一。
理解和掌握向量的基本概念和运算规则对于学生在高考中取得好成绩至关重要。
本文将从向量的定义、向量的表示、向量的运算以及向量的应用等方面进行综述。
二、向量的定义向量是有大小和方向的量。
向量通常用一个有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，而线段的方向则表示向量的方向。
在平面上，向量可以用坐标表示，例如一个二维向量可以表示为 (x, y)。
在空间中，向量可以用坐标表示为 (x, y, z)。
三、向量的表示1. 平面向量的表示平面向量的表示常用坐标表示法，例如 (a, b) 表示一个平面向量，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。
2. 空间向量的表示空间向量的表示同样使用坐标表示，例如 (a, b, c) 表示一个空间向量，其中 a、b 和 c 分别表示向量在 x、y 和 z 方向上的分量。
四、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意向量 a、b 和 c，有 a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的加法可以用坐标方式进行计算，即将对应位置的坐标相加。
2. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘法运算。
即对于任意向量 a 和实数 k，有 k a = a k。
向量的数乘可以用坐标方式进行计算，即将向量的每个坐标乘以实数 k。
3. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法和数乘运算，即 a - b = a + (-b)，其中 -b 表示向量 b 的反向向量。
五、向量的应用向量广泛应用于物理学、几何学等领域。
以下是向量在几何学中的常见应用：1. 向量的共线和共面若两个向量共线，则它们的方向相同或相反；若三个向量共面，则它们在同一平面上。
2. 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
专题02 平面向量基本定理及坐标表示(专题测试)--解析版
专题02 平面向量基本定理及坐标表示（专题测试）【基础题】1. （2020·广东东莞市·高一期末）已知向量()2,3a =，(),6b m =，且a b ⊥,则m =（ ） A ．4- B ．4C ．9-D ．9【答案】C【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,3)a =，(),6b m =，因为a b ⊥，可得2362180a b m m ⋅=⨯+⨯=+=，解得9m =-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.2. （2020·广东揭阳市·高一期中）已知(1,1)AB =-，(0,1)C ，若2CD AB =，则点D 的坐标为 A ．(2,3)- B ．(2,3)-C ．(2,1)-D ．(2,1)-【答案】D【分析】设出D 的坐标，代入2CD AB =，计算出D 点的坐标.【详解】设(),D x y ，则(),1CD x y =-，()22,2AB =-，根据2CD AB =得()(),12,2x y -=-，即212x y =⎧⎨-=-⎩，解得()2,1D -，故选D. 【点睛】本小题主要考查向量的减法和数乘计算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.3．（2020·广东汕头市·高二期末）如图所示，已知在ABC 中，D 是边AB 上的中点，则CD =（ ）A ．12BC BA -B ．12BC BA -+ C ．12BC BA --D ．12BC BA + 【答案】B【分析】利用向量减法和数乘运算求得正确结论. 【详解】1122CD BD BC BA BC BC BA =-=-=-+.故选：B 4. （2019·广东深圳市·福田外国语高中高三一模（文））向量(1,2)a =，(2,)b k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=（ ）A B ．C ．D ．5【答案】A【分析】通过向量共线求出k ，然后求解|3|a b +即可. 【详解】向量(1,2)a =，(2,)b k =-，a 与b 共线， ∴4k =-，即3(1,2)a b +=，∴2312a b +=+=故选：A .【点睛】本题考查向量的共线，向量的模的求法，属于基础题.5．（2020·东莞市光明中学高二月考）已知向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，则x 的值是（ ） A ．6- B ．83C ．6D ．83-【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数x 的等式，由此可解得实数x 的值. 【详解】向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，212x ∴=，解得6x =.故选：C.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题.6．（2020·汕头市澄海中学高二期中）已知向量()2,1a =-，()5,4b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则x 、y 可以是（ ）A ．1x =，1y =B ．0x =，1y =C ．1x =，0y =D ．1x =，1y =- 【答案】A【分析】根据()0a b c +⋅=可得x y =.【详解】因为()a b c +⊥，所以()()()3,3,330a b c x y x y +⋅=-⋅=-+=，即x y =，故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题. 7．（2020·广东深圳市·高一期末）设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且a b ⊥，则x =（ ）. A ．23-B ．23C ．1-3D ．13【答案】A【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，建立方程求解即可. 【详解】a b ⊥，()210a b x x ∴⋅=++=，解得23x =-.故选：A. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.8．（2012·广东湛江市·）已知向量()3,4a =，()sin ,cos b αα=，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示以及同角公式可得结果. 【详解】因为//a b ，所以3cos 4sin 0αα-=，所以3tan 4α=.故选：A. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了同角公式，属于基础题.9.（2020·广州市·广东实验中学高三月考（文））已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（ ） A ．1 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -的坐标和2a b -的值.【详解】由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故答案为D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．（多选题）（2020·廉江市第三中学高二月考）如果平面向量(2,0)a=，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（ ） A ．2a b = B ．22a b ⋅=C ．()-⊥a b bD ．//a b【答案】AC【分析】根据题中条件，由向量模的坐标表示，数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，逐项判定，即可得出结果. 【详解】由平面向量(2,0)a=，(1,1)b =知：在A 中，2=a ，2b =，∴=2a b ，故A 正确；在B 中，2a b，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-=，∴()-⊥a b b ，故C 正确； 在D 中，∵2011≠，∴a 与b 不平行，故D 错误. 故选：A C .【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量共线的坐标表示等，属于基础题型.【提升题】11．（2021·广东高三其他模拟）在90A ∠=︒的等腰直角ABC 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，BC AF CE λμ=+，则λ=（ ）A ．23-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】A【分析】以A 为原点建立直角坐标系，设直角边长为2，写出各点坐标，计算可得λ的值. 【详解】以A 为原点建立直角坐标系，设()2,0B ，()0,2C ，则()1,1F ，()1,0E ，则()2,2BC =-，()()()1,11,2,2AF CE λμλμλμλμ+=+-=+-，所以222λμλμ+=-⎧⎨-=⎩，所以23λ=-.故选：A12．（2020·广东高三月考）已知菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，点P 满足1()2AP AB AC =+，则PA PD ⋅=（ ）A ．0B ．3C ．3D ．92【答案】C【分析】如图，以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，由1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，由60A ∠=︒，菱形ABCD 的边长为2，可求出,,P A D 的坐标，从而可求出PA PD ⋅的值【详解】以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系， 根据1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，又因为60A ∠=︒，所以2AB BC CD DA BD =====，易求得31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)A -，(0,1)D -，331,22PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以，3PA PD ⋅=， 故选：C ．13. （2020·广东汕尾市·高一月考）已知向量()1,2a =，()2,b t =.若a b ⊥，则t =______，此时a 与a b +的夹角为______. 【答案】1-π4【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值.利用夹角公式，求得a 与a b +的夹角的余弦值，进而求得a 与a b +的夹角.【详解】由于a b ⊥，所以()()1,22,220t t ⋅=+=，解得1t =-， 所以()()2,1,3,1b a b =-+=. 设a 与a b +的夹角为θ，则()()()22221,23,152cos 25101231a a ba a bθ⋅+⋅====⋅⋅++⋅+. 由于[]0,θπ∈，所以4πθ=.故答案为：1-；π4【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，属于中档题.14（2021·全国高三其他模拟）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a =，OB b =，则AF =（ ）A ．5122a b -- B ．33232a b ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．3323a b ⎛--+ ⎝⎭ D ．3323a b ⎛-+- ⎝⎭ 【答案】D【分析】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(3O ，()1,0A -，()10B ,，(1,223F +，所以(1,3OA =--，(1,3OB =-，(2,2AF =+．设AF OA OB λμ=+，则22λμ-+=⎧⎪-=+233λμ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以33233AF OA OB ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，即3323AF a b b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进行求解.15.（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b，则函数f （x ）的值域． 【答案】（1（2） 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示可得cos 02x x -=，根据二倍角的正弦公式可得1sin 22x =，根据x 的范围可得26x π=，进一步可得tan 23x =；（2）利用平面向量的数量积的坐标表示与两角和的正弦公式可得())4fx x π=+，再根据x 的范围，结合正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）因为//a b ，所以cos 02x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan6x π==. （2）()f x a b =⋅=2cos x x x x+=+)4x π=+， 因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以2sin()(,1]42x π+∈，所以()(3,6]f x ∈. 【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了二倍角的正弦公式，考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了两角和的正弦公式，考查了利用正弦函数的图象求值域，属于中档题.【拓展题】(选用)16．（2020·山西太原市·高三期末（理））赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),22BC ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠==所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭所以()2113339,13,026,26ADAB ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭13,22AC ⎛=⎝⎭又ADAB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩ 所以1213λμ+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.。
向量知识点总结大全
向量知识点总结大全1. 向量的定义向量是指具有大小和方向的量，通常用箭头表示。
在数学中，向量可以用来表示力、速度、位移、电场、磁场等物理量。
向量通常用坐标或分量来表示，也可以用一点表示。
向量的模长是其大小，方向是指向量所指方向。
2. 向量的表示(1) 点表示法：用起始点为O，终点为A的箭头表示向量，记作→OA。
(2) 分量表示法：以向量所在的坐标系中的原点O为出发点，A(x, y)为终点，表示向量为→OA = x→i + y→j。
其中，→i和→j是标准基向量，它们的方向分别是x轴和y轴的正方向，长度为1。
(3) 等价向量：长度和方向都相同的向量称为等价向量，用→AB = →CD 表示。
3. 向量的运算(1) 向量的加法：若有两个向量→a 和→b，它们的和记作→c，即→c = →a + →b。
向量的加法满足交换律和结合律，即→a + →b = →b + →a，(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c)。
(2) 向量的数量积（点积）：若两个向量→a 和→b 的夹角为θ，则它们的数量积定义为→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ。
(3) 向量的矢量积（叉积）：对于三维向量→a = (a1, a2, a3) 和→b = (b1, b2, b3)，它们的矢量积定义为：→a × →b = (a2b3 - a3b2)→i - (a1b3 - a3b1)→j + (a1b2 - a2b1)→k，其中→i、→j、→k 分别是x、y、z轴的单位向量。
(4) 向量的数量积和矢量积的关系：→a·→b = |→a|·|→b|·cosθ，其中θ为夹角；|→a × →b| = |→a|·|→b|·sinθ，即矢量积的模长等于两个向量模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值。
4. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的大小和方向都相等。
向量坐标知识点总结
向量坐标知识点总结一、向量的概念1.1 向量的定义向量是空间中具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
在数学中，向量通常用坐标表示，称为向量坐标。
1.2 向量的表示在二维空间中，向量可以用(x, y)表示，在三维空间中，向量可以用(x, y, z)表示。
通常向量用有向线段或箭头表示。
向量的方向由箭头的方向表示，长度由箭头的长度表示。
1.3 向量的性质向量有大小和方向，但没有固定的位置。
向量的大小是由模长表示，向量的方向是由箭头的指向表示。
向量的大小和方向唯一确定一个向量。
1.4 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的模长相等，且方向相同。
即如果向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)相等，则必须满足x1=x2且y1=y2。
二、向量的运算2.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
具体表示为A+B=B+A, (A+B)+C=A+(B+C)。
2.1.1 几何法几何法求两个向量的和，可以将它们首尾相接，用三角形法则或平行四边形法则求得。
2.1.2 分量法分量法是将两个向量的x分量和y分量分别相加得到最终的向量。
2.2 向量的数乘向量的数乘是指一个数与向量的每个分量相乘得到新的向量。
具体表示为kA=(kx, ky)。
2.3 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加得到新的向量。
具体表示为k1A+k2B=k3C，其中k1,k2为实数，A,B为向量，C为新的向量。
2.4 向量的点积向量的点积也称为内积，是指两个向量相应分量的乘积再相加得到一个数。
具体表示为A·B=x1x2+y1y2。
2.5 向量的叉积向量的叉积也称为外积，是指两个向量相乘再得到一个新的向量。
它是有向量的性质，叉积的结果是一个垂直于原来两个向量组成的平面的向量。
三、向量的坐标表示3.1 向量的坐标向量在坐标系中可以表示为(x, y)或(x, y, z)。
具体表示为A(x1, y1)或B(x1, y1, z1)。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的物理量，通常用一个箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
2. 向量的表示：通常用字母加上一个箭头表示向量，如a、b、c等，也可以用粗体字母表示向量，如a、b、c等。
3. 向量的模：向量的大小叫做模，通常用|a|表示，表示向量a的大小。
4. 向量的方向：向量的方向是指向量所在的直线的方向。
通常用角度来表示，如θ，表示与x轴的夹角。
5. 坐标表示：向量也可以用坐标来表示，如(a₁, a₂, a₃)表示三维空间中的一个向量。
6. 零向量：大小为零的向量叫做零向量，通常用0表示。
7. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们就是平行向量。
8. 共线向量：如果两个向量在同一条直线上，那么它们就是共线向量。
二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。
表示为a + b = c，其中c的分量是a和b的分量相加得到的。
2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量的分量减去另一个向量的分量得到一个新的向量。
表示为a - b = c，其中c的分量是a和b的分量相减得到的。
3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个数量得到一个新的向量。
表示为ka = b，其中b的分量是a的每个分量乘以k得到的。
4. 内积：两个向量a和b的内积表示为a·b，它等于a与b的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
内积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ。
5. 外积：两个向量a和b的外积表示为a×b，它等于一个新的向量，它的大小等于a与b 所构成的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所构成的平面。
三、向量的性质1. 方向性：向量有方向性，即向量的方向是它的一个重要特征。
2. 大小性：向量有大小性，即向量有模，它的大小可以用模来表示。
平面向量基本定理及向量坐标表示
平面向量基本定理及向量坐标表示一、平面向量基本定理平面向量基本定理是平面向量运算中的重要基石。
基本定理表明，一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。
设有平面向量 a 和 b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：a和b，以及任意实数 k1 和 k2，则有：v = k1a + k2b = k1a + k2b其中，k1 和 k2 是实数，称为 a 和 b 的系数，v 是由 a 和 b 组成的平面向量。
a和b的系数，v是由a和b组成的平面向量。
这一定理的证明较为简单，可根据向量加法和数量乘法的定义进行推导。
二、向量坐标表示向量坐标表示是在向量运算中常用的表示方法。
它将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，便于进行计算和研究。
以平面向量为例，设平面上有向量 v，其起点坐标为 (x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。
则向量 v 的坐标表示为：v，其起点坐标为(x1, y1)，终点坐标为 (x2, y2)。
则向量v的坐标表示为：其中，Δx = x2 - x1，Δy = y2 - y1。
同样，可以进行类似的推导，将三维空间中的向量用坐标表示。
向量坐标表示可以便捷地进行向量的加法、减法和数量乘法等运算，是向量分析的基础。
三、小结本文介绍了平面向量基本定理及向量坐标表示。
平面向量基本定理表明一个平面向量可以通过两个非零平面向量的线性组合来表示。
向量坐标表示将向量转化为有序数对或有序三元组的形式，方便进行运算和研究。
了解和掌握平面向量基本定理和向量坐标表示，对于进一步学习和应用向量运算具有重要意义。
向量的坐标知识点总结
向量的坐标知识点总结向量是线性代数中的一个重要概念，它具有方向和大小，可以表示物体的位移、速度、加速度等物理量。
在实际应用中，向量通常使用坐标来进行表示和计算，因此对向量的坐标知识掌握至关重要。
本文将对向量的坐标知识进行总结，包括向量的定义、坐标表示、向量的运算等内容。
1. 向量的定义在数学中，向量通常可以用箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，而箭头的方向代表向量的方向。
向量的大小可以用一个实数来表示，而向量的方向可以用一个角度或者另一个向量来表示。
在二维空间中，向量可以用一个有序对表示；在三维空间中，向量可以用一个有序三元组来表示。
2. 向量的坐标表示向量通常可以用其起点和终点的坐标来表示。
在二维空间中，一个向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别代表向量的横坐标和纵坐标；在三维空间中，一个向量可以表示为(a, b, c)，其中a、b和c分别代表向量在x、y、z轴上的坐标。
3. 向量的基本运算（1）向量的加法设有两个向量a=(a1, a2, …, an)和b=(b1, b2, …, bn)，则这两个向量的和可以表示为a+b=(a1+b1, a2+b2, …, an+bn)。
向量的加法满足交换律和结合律。
（2）向量的数乘设有一个向量a=(a1, a2, …, an)，和一个实数k，那么这个向量的数乘可以表示为ka=(ka1, ka2, …, kan)。
向量的数乘满足分配律和结合律。
（3）向量的减法设有两个向量a=(a1, a2, …, an)和b=(b1, b2, …, bn)，则这两个向量的差可以表示为a-b=(a1-b1, a2-b2, …, an-bn)。
向量的减法可以转化为向量的加法，即a-b=a+(-b)。
（4）向量的数量积和向量积向量的数量积也称为点积或内积，它表示为a·b=a1b1+a2b2+…+anbn。
向量的向量积也称为叉积或外积，它表示为a×b=(a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。
人教版高中数学必修二第9章向量平行的坐标表示精品课程及练习讲解(大全必学!)
则x32y＋－y42x＝＝10，，
∴x＝35， y＝54
或x＝－35， y＝－45.
12345
16 4.若点A(－2,0)，B(3,4)，C(2，a)共线，则a＝____5____. 解析 A→B＝(5,4)，A→C＝(4，a)，因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C， 故 5a－16＝0，所以 a＝156.
5.若A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)三点在一条直线上，则下列式子一定正
确的是
√A.2m－n＝3
B.n－m＝1
C.m＝3，n＝5 D.m－2n＝3
解析 因为A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)三点在一条直线上， A→B＝(1，m－3)，A→C＝(2，n－3)， 又A→B∥A→C，所以 n－3－2(m－3)＝0，即 2m－n＝3.
跟踪训练2 设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7) 平行，则λ＝___2___.
解析 λa＋b＝λ(1,2)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)， ∵λa＋b与c平行， ∴(λ＋2)×(－7)－(2λ＋3)×(－4)＝λ－2＝0， ∴λ＝2.
三、三点共线问题
例 3 已知 A(1，－3)，B8，12，C(9,1)，求证：A，B，C 三点共线.
二、由向量平行(共线)求参数的值
例2 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？
解 方法一 ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b). 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4).
A.35
向量章节知识点总结
向量章节知识点总结1. 向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示物理量的一种数学工具，它有大小和方向两个基本特征。
常用符号表示向量，例如a→。
向量常用箭头表示法表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
1.2 向量的表示向量常用坐标表示法表示，例如a→=(a1,a2,a3)。
向量也可以用分量和方向角表示，例如a→=(a cos a,a cos a,a cos a)。
不同的表示方法都可以用来描述向量的大小和方向，选择合适的表示方法便于计算和分析。
1.3 向量的相等两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同，即a→=a→。
向量相等可以用坐标或分量表示法进行判断。
2. 向量的性质2.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a→+a→=a→+a→，(a→+a→)+a→=a→+(a→+a→)。
向量的加法可以用三角形法则或平行四边形法则进行图解，方便进行向量的几何解释。
2.2 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是向量的一种运算。
两个向量的数量积定义为它们的模的乘积与它们的夹角的余弦值，即a→⋅a→=aa cos a。
数量积有交换律和分配律，是一个标量。
2.3 向量的矢量积向量的矢量积，也称为叉积或外积，是向量的一种运算。
两个向量的矢量积定义为它们的模的乘积与它们的夹角的正弦值，即a→×a→=aa sin aa→。
矢量积有右手定则和反交换律，是一个向量。
3. 向量的运算3.1 向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘法，即aa→。
向量的数乘改变了向量的大小，但不改变它的方向。
向量的数乘有分配律和结合律。
3.2 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的角度，可以通过数量积的定义求解。
两个向量的夹角满足余弦定理，即a→⋅a→=aa cos a。
根据夹角的大小，可以判断向量的方向和位置关系。
4. 向量的应用4.1 向量在几何中的应用向量在几何中有广泛的应用，例如描述线段、平面、直线等几何图形，求解距离、角度、面积等几何性质，进行向量方程的几何解释等。
高中数学向量基础知识
高中数学向量基础知识向量是高中数学中非常重要的一个概念，它不仅在几何学中有着广泛的应用，也贯穿了代数学的许多领域。
在学习向量的过程中，我们需要掌握一些基础知识，包括向量的定义、性质、表示法以及运算规律等内容。
下面将对高中数学向量的基础知识进行详细介绍。
1. 向量的定义在几何学中，向量是指既有大小又有方向的量。
向量通常用一个有向线段来表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。
向量的大小也称为模或者长度，通常用符号||a|| 或者|a| 来表示。
向量a的起点记为A，终点记为B，则向量a可以表示为AB。
2. 向量的性质（1）平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，则这两个向量是平行向量。
平行向量具有以下性质：- 平行向量的模相等。
即若向量a和向量b平行，则 |a| = |b|。
- 平行向量的方向相同或者相反。
（2）共线向量：如果两个向量共线，那么它们一定是平行向量。
（3）相等向量：如果两个向量的大小和方向都相同，那么这两个向量是相等的。
（4）零向量：模为0的向量称为零向量，通常用0来表示。
零向量的方向是任意的。
3. 向量的表示法向量可以用不同的表示方法，包括坐标表示、数量表示（即分解成数量与方向）、三角形法则等。
（1）坐标表示：平面直角坐标系中，一个向量可以表示为一个有序偶 (x, y)。
其中 x 和 y 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的投影长度，且向量的起点通常取为原点 O。
（2）数量表示：一个向量在平面上的位置可以用模为大小的有向线段表示，通常用数的对应关系表示，例如 a = x i + y j。
（3）三角形法则：将向量的起点放在另一个向量的终点，将这两个向量和连接起点和终点的线段形成一个闭合的三角形，两边的和为第三边。
4. 向量的运算规律（1）向量加法：向量的加法遵循平行四边形法则。
即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连接，那么这个连接线段的向量即为两个向量的和。
（2）数量乘法：向量与数的乘法是指一个数乘以一个向量的长度，得到一个新的向量。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中一个非常重要的概念，它在物理、工程、计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
本文将对向量的基本知识点和相关公式进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和运用向量。
一、向量的基本概念。
1. 向量的定义。
向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
2. 向量的表示。
在二维空间中，向量通常表示为 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量表示为 (x, y, z)。
3. 向量的运算。
向量的加法和数乘是向量运算中的两个基本运算。
向量的加法是将两个向量的对应分量相加，数乘是将向量的每个分量乘以一个标量。
二、向量的基本性质。
1. 向量的模。
向量的模是指向量的大小，通常用|v| 表示，其中v 表示向量。
在二维空间中，向量 (x, y) 的模为√(x^2 + y^2)，在三维空间中类似。
2. 向量的方向角。
向量的方向角是指向量与坐标轴的夹角，通常用θ表示。
在二维空间中，向量 (x, y) 的方向角为 arctan(y/x)。
3. 向量的单位向量。
向量的单位向量是指模为1的向量，通常用 u 表示。
一个非零向量 v 的单位向量为 v/|v|。
三、向量的线性运算。
1. 向量的线性相关与线性无关。
若存在不全为0的实数 k1、k2，使得 k1v1 + k2v2 = 0，则称向量 v1、v2 线性相关；若 k1、k2 只能为0，则称 v1、v2 线性无关。
2. 向量的内积和外积。
向量的内积（点积）定义为 v1·v2 = |v1|·|v2|·cosθ，其中θ为 v1、v2 的夹角。
向量的外积（叉积）定义为 v1×v2 = |v1|·|v2|·sinθ·n，其中 n 为垂直于v1、v2 的单位向量。
四、向量的应用。
1. 向量的几何意义。
向量知识点总结
向量知识点总结向量是在数学中非常重要的概念，它在各个学科和领域中都有广泛的应用。
本文将总结向量的基本概念、性质以及相关的运算法则。
一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是有大小和方向的量，用箭头表示，常表示为字母加上一个箭头，例如a →。
向量可以位于空间中的任何位置，也可以表示为起点和终点之间的有向线段。
2. 向量的表示：向量可以用坐标表示，在二维平面上用(x, y)表示，在三维空间中用(x, y, z)表示。
也可以用点表示，表示为起点和终点的坐标差。
二、向量的性质1. 向量的长度：向量的长度又称为模，在二维平面上可以用勾股定理计算，即向量a的长度是√(x^2 + y^2)。
在三维空间中，向量a的长度是√(x^2 + y^2 + z^2)。
2. 零向量：长度为0的向量称为零向量，记为0 → 或者O →。
零向量的方向是任意的，但是没有特定的起点和终点。
3. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量，可以通过除以向量的长度得到。
常用的单位向量有i →、j →和k →，它们分别沿着x轴、y轴和z轴的正方向。
4. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们称为平行向量。
平行向量可以用数乘表示，即一个向量乘以一个实数，结果是一个平行于原向量且长度变化的新向量。
5. 直角向量：如果两个向量的内积为0，那么它们称为直角向量。
直角向量垂直于彼此，可以用点乘表示。
三、向量的运算法则1. 向量加法：向量加法满足交换律和结合律，即a → + b → =b → + a →，(a → + b →) +c → = a → + (b → + c →)。
2. 向量减法：向量减法可以通过向量加法和反向量来实现，即a → -b → = a → + (-b →)。
3. 数乘：向量与实数相乘，即将每个分量都乘以实数，得到一个新的向量。
4. 内积：内积也叫点积，表示为a → · b →。
内积满足交换律和分配律，即a → · b → = b → · a →，(a → + b →) · c → = a→ · c → + b → · c →。
向量知识点总结及讲解
向量知识点总结及讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。
在几何学中，向量通常表示为有向线段。
在向量中，大小通常表示为向量的长度，方向表示为向量的箭头指向。
2. 向量的表示向量可以用坐标、分量或者表示向量的起点和终点等方式来表示。
在二维空间中，可以使用(x, y)来表示向量，在三维空间中，可以使用(x, y, z)来表示。
3. 向量的相等当两个向量的大小和方向都相同时，这两个向量称之为相等向量，可以表示为AB=CD。
4. 零向量零向量是指大小为0，方向任意的向量，可以表示为0。
5. 单位向量单位向量是指大小为1的向量，可以将任意非零向量除以其大小得到单位向量。
6. 平行向量两个向量的方向相同或者相反，则这两个向量称之为平行向量，可以表示为AB∥CD。
7. 垂直向量当两个向量的夹角为90°时，这两个向量称之为垂直向量，可以表示为AB⊥CD。
8. 自由向量自由向量是指一个向量沿着平行的方向平移以后仍然保持原有性质的向量。
9. 定位向量定位向量是指起点固定在坐标原点上的向量，可以用终点的坐标表示。
二、向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
2. 向量减法向量减法是指将被减向量取反后与减向量进行向量加法，得到一个新的向量。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或者内积，是指将两个向量的对应分量相乘后相加得到一个数，可以表示为a·b。
4. 向量的数量积性质（1）交换律：a·b = b·a（2）结合律：a·(b+c) = a·b + a·c（3）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c5. 向量的数量积应用向量的数量积有很多应用，例如计算向量的模、判定向量的垂直性、计算夹角等。
6. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或者外积，是指将两个向量的对应分量相乘后得到一个新的向量。
向量知识点总结
向量知识点总结在数学和物理学中，向量是一种具有大小和方向的量。
它在许多领域中都有广泛应用，包括几何、力学、电磁学等。
本文将总结向量的基本概念、运算法则以及一些常见应用。
1. 向量的基本概念向量由大小和方向两个要素组成。
我们通常用箭头（→）来表示向量，如AB→。
向量可以用坐标表示，也可以用矩阵表示。
2. 向量的表示方法2.1 坐标表示：向量的坐标表示为(x, y, z)，分别代表向量在x、y、z轴上的投影长度。
2.2 矩阵表示：向量也可以用矩阵表示，如A = [a1, a2, a3]，其中a1、a2、a3为向量在不同轴上的分量。
3. 向量的运算法则3.1 向量的加法：当两个向量的方向相同时，它们的加法就是将两个向量的对应分量相加，如A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
3.2 向量的减法：向量的减法是指将被减向量的分量取相反数后与减向量相加，如A - B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
3.3 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将向量的每个分量都与一个常数相乘，如kA = (kx, ky, kz)，其中k为常数。
3.4 向量的点积：向量的点积是指两个向量对应分量乘积的和，如A · B = x1x2 + y1y2 + z1z2，结果是一个标量。
3.5 向量的叉积：向量的叉积是指两个向量相乘得到一个新的向量，如A × B = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)。
4. 向量的性质4.1 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
4.2 垂直向量：如果两个向量的点积为0，则它们是垂直向量。
4.3 单位向量：向量的长度称为其模，单位向量是模为1的向量。
5. 向量的应用5.1 几何：向量在几何中有广泛的应用，如表示线段、直线、平面的方向和距离等。
5.2 力学：向量在力学中用于描述力和速度等物理量。
向量知识点全总结
向量知识点全总结一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示空间中有方向和大小的量，通常用箭头来表示。
向量可以用坐标表示，也可以用物理量的大小和方向表示。
1.2 向量的性质（1）相等性质：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等并且方向相同。
（2）零向量：大小为0的向量称为零向量。
（3）负向量：一个向量的方向与另一个向量相反，并且大小相同，那么这个向量就是另一个向量的负向量。
1.3 向量的表示向量可以用坐标表示，一般表示为 (x，y) 或 (x，y，z)。
也可以用物理量的大小和方向表示。
1.4 向量的运算（1）向量的加法：向量a加上向量b得到向量c，即a＋b=c，也可以表示为c＝a+b。
（2）向量的减法：向量a减去向量b得到向量c，即a－b=c，也可以表示为c＝a-b。
（3）向量的数乘：一个向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，大小和原向量的方向相同。
1.5 向量的线性运算（1）向量的线性组合：给定向量α1，α2，···，αn及标量k1，k2，···，kn，它们的线性组合是指表达式k1α1+k2α2+···+knαn ，其中k1，k2，···，kn 是任意实数。
（2）基底：如果空间里的所有向量都可以由向量组β1，β2，···，βn的线性组合组成，那么向量组β1，β2，···，βn被称为空间的一组基底。
1.6 向量的模向量的模表示向量的大小，通常用|v|表示。
对于二维向量(x，y)和三维向量(x，y，z)，向量的模可以表示为：|v|=√(x^2+y^2) （二维）|v|=√(x^2+y^2+z^2) （三维）1.7 向量的方向向量的方向是指向量的朝向。
可以用夹角来表示向量的方向。
1.8 单位向量模为1的向量称为单位向量。
1.9 向量的投影向量a在向量b上的投影是向量a在向量b上的正交投影。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中常见的概念，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在几何中，向量可以表示方向和大小，而在物理和工程中，向量可用于描述物体的位移、力和速度等概念。
本文将对向量的基本概念、运算法则以及常见公式进行总结。
一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是由大小和方向共同决定的，并且在平行移动下具有相同效果的量。
向量通常用字母加上箭头表示，如a。
例如，一个位移向量表示从起点到终点的位移距离和方向。
2. 向量的表示：向量可以用坐标表示，也可以用行列式表示。
在坐标表示中，向量通常以一个起点和一个终点表示，用终点的坐标减去起点的坐标，得到向量的坐标。
在行列式表示中，向量被表示为一个一维数组。
3. 向量的性质：向量具有方向、大小和平移性质。
向量的方向可以用角度或方向余弦表示，大小可以用模长表示，平移性质表示向量的平移不会改变其大小和方向。
二、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。
即对于任意的向量a、b和c，有a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法：向量的减法等于其加法的逆运算，即a - b = a + (-b)。
其中，-b表示向量b的反方向和相同大小的向量。
3. 向量的数乘：向量的数乘满足分配律和结合律。
即对于任意的标量k和向量a、b，有k(a + b) = ka + kb和(kl)a = k(la)。
4. 向量的数量积：向量的数量积也称为点乘，它是两个向量的模长乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
两个向量a和b的数量积表示为a · b = |a||b|cosθ，其中θ表示a和b之间的夹角。
5. 向量的向量积：向量的向量积也称为叉乘，它是两个向量的模长乘积与它们之间的夹角的正弦值的乘积。
两个向量a和b的向量积表示为a × b = |a||b|sinθn，其中θ表示a和b之间的夹角，n 表示垂直于a和b所在平面的单位向量。
数学向量知识点总结
数学向量知识点总结数学向量知识点总结引言：向量是数学中重要的概念之一，它在物理、几何、代数、统计等领域都有广泛应用。
本文将从向量的定义、基本运算、坐标表示、方向角和投影等方面进行总结，以帮助读者更好地理解和运用向量。
一、向量的定义与性质向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示，如AB表示从点A指向点B的向量。
一般地，向量的定义有两种形式：一是矩阵形式，即列向量或行向量；二是符号形式，如AB、a，可以表示在欧几里得空间中的向量。
向量的性质有以下几点：1. 零向量：长度为0的向量，方向可以是任意的。
2. 平行向量：具有相同或相反方向的向量，长度可以不同。
3. 相等向量：长度和方向完全相同的向量。
4. 反向向量：长度相等，方向相反的向量。
5. 零向量的唯一性：零向量是唯一的。
6. 向量的数量积：向量数量积的结果是一个实数。
7. 向量的向量积：向量向量积的结果是一个向量。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数量乘法。
具体如下：1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即 A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的减法：向量的减法就是加上其相反向量，即A - B = A + (-B)。
3. 数量乘法：向量与一个实数的乘积，即kA，其结果是一个新的向量，长度为原向量的长度乘以实数k，方向与原向量相同（若k>0），或相反（若k<0）。
三、向量的坐标表示向量的坐标表示是将向量的长度和方向用数值表示出来，通常用坐标表示法表示。
在二维欧几里得空间中，向量可以用(x,y)表示，在三维空间中，向量可以用(x,y,z)表示。
四、向量的方向角与夹角向量的方向角是指向量与某一固定轴正方向之间的夹角，在平面直角坐标系中，向量的方向角可以由斜率求得。
夹角是指两个向量所夹的角度。
若两个向量的方向相同，则夹角为0度；若两个向量互相垂直，则夹角为90度；若两个向量方向相反，则夹角为180度，且它们互为对方向量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
总分100分时间60分钟
参考答案与试题解析
1．C
【分析】
求出 ，计算 即得．
【详解】
由题意 ， ．
故选：C．
2．B
【分析】
根据相等向量的有关概念判断．
【详解】
由相等向量的定义知（1）正确；
平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；
若 ，设 ，
则有 ，
则有 ，解可得 ；
（2）根据题意，设向量 的夹角为 ；
若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
又由 ，所以 ；
故向量 的夹角为 ．
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理和平面向量数量积的计算，涉及向量模、夹角的计算公式，属于基础题．
18．（1） 或 ；（2）
【分析】
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）
6．在三角形 中， 是 边的中点，点 在 边上且 ，则 （）
A． B．
C． D．
7．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，
A． B．
C． D．
10． 是边长为 的等边三角形，已知向量 、 满足 ， ，则下列结论中正确的有（）
A． 为单位向量B． C． D．
11．下列命题不正确的是（）
A．单位向量都相等
B．若 与 是共线向量， 与 是共线向量，则 与 是共线向量
C． ，则
D．若 与 是单位向量，则
12．已知 ， 是平面上夹角为 的两个单位向量， 在该平面上，且( ﹣ )·( ﹣ )=0，则下列结论中正确的有（）
（1）设 ，根据题意可得出关于实数 、 的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量 的坐标；
（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得 的值．
【详解】
（1）设 ，由 ，可得 ，
由题意可得 ，解得 或 .
因此， 或 ；
（2） ，
化简得 ，
即 ，解得
高一下学期数学基础知识检测（2）
考查知识点：苏教版必修第二册第一章
§9.1《向量概念》、§9.2《向量运算》、§9.3《向量基本定理及坐标表示》
一、单选题
1．已知向量 ，则与 方向相反的单位向量是（）
A． B． C． D．
2．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；
相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，
所以正确答案只有一个．
故选：B．
3．A
【分析】
根据充分条件与必要条件的概念，由向量数量积运算法则，以及向量的线性运算法则，即可得出结果.
【详解】
若向量 与 同向共线，由 ， ，可得 ；
13．
【分析】
根据与向量 同向的单位向量是 计算即可.
【详解】
∵向量 ，
，
∴与 同向的单位向量 ，
故答案为：
14．
【分析】
由向量的加减运算可得四边形 为平行四边形，再由条件可得四边形 为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值．
【详解】
在四边形 中， ，即为 ，即 ，
可得四边形 为平行四边形，又 ，
若 ，则 （）
A． B．
C． D．
8．在 中，点 在 边上，点 在 边上，且 ， ，若 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．数学家欧拉在 年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点 ､ ､ 分别是 的外心､重心､垂心，且 为 的中点，则（）
6．A
【分析】
利用平面向量的减法进行计算可得答案．
【详解】
，
故选：A
7．B
【分析】
利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.
【详解】
由题得
即 ，解得 ，即 ，
故选：B
【点睛】
方法点睛：向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解.
8．A
，即 ，
∴
∴
故答案为： .
【点睛】
求向量夹角通常用 ，还要注意角的范围.
17．（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据题意，设 ，又 不共线，根据系数关系，列出方程，即可求出 的值；
（2）根据题意，设向量 的夹角为 ；由数量积的计算公式可得 、 以及 ，又由 ，即可求出结果．
【详解】
（1）根据题意，向量 ，
（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若 ，则 ；
（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0B．1C．2D．3
3．已知 ， ，则“ ”是“向量 与 共线”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；
11．AB
【分析】
根据向量的有关知识逐项判断即可.
【详解】
解：对A，D由单位向量的定义知：单位向量的模为 ，方向是任意的，故A错误，D正确；
对B，当 时， 与 可以不共线，故B错误；
对D， ，即对角线相等，此时四边形为矩形，邻边垂直，故D正确.
故选：AB.
12．BC
【分析】
在平面上作出 ， ， ， ，作 ，则可得出 点在以 为直径的圆上，这样可判断各选项，特别是CD．由向量加法和减法法则判断AB．
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件 得 ，利用向量的线性运算结合 可得出向量间的关系.
10．ABD
【分析】
求出 可判断A选项的正误；利用向量的减法法则求出 ，利用共线向量的基本定理可判断B选项的正误；计算出 ，可判断C选项的正误；计算出 ，可判断D选项的正误.综合可得出结论.
可得四边形 为边长为4的菱形，
则 的面积为正 的面积，即为 ，
故答案为： ．
15．
【分析】
利用共线向量定理可求 的值.
【详解】
由于向量 与 平行且 为非零向量（否则 平行），
所以存在 ，使得 ，即 ，
因为向量 不平行，所以 ，解得 .
故答案为： .
16．
【分析】
先把 转化为 ，利用夹角公式求
【详解】
【详解】
（1）若 ，由于 的方向不清楚，故不能得出 或 ，故（1）不正确.
（2）由零向量与任何向量平行，当向量 与 平行时，不能得出 与 的方向相同或相反，故（2）不正确.
（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确.
（4）向量不能比较大小，故（4）不正确.
故选:D．
且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以 ，
对于选项A：因为 是 的重心， 为 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，故选项A正确；
对于选项B：因为 是 的重心， 为 的中点，所以 ，
，因为 ，所以 ，
，即 ，故选项B正确；
对于选项C： ，故选项C不正确；
对于选项D：设点 是 的外心，所以点 到三个顶点距离相等，即 ，故选项D正确；
若向量 与 反向共线，由 ， ，可得 ；
所以由“向量 与 共线”不能推出“ ”；
若 ， ， ，
则 ，所以 ，所以 ，
因为向量 与 夹角为 ，所以 ，即“向量 与 共线；
所以由“ ”能推出“向量 与 共线”；
因此，“ ”是“向量 与 共线”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．A
【分析】
根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③.
四、解答题
17．已知单位向量 的夹角 ，向量 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求向量 的夹角.
18．（1）已知平面向量 、 ，其中 ，若 ，且 ，求向量 的坐标表示；
（2）已知平面向量 、 满足 ， ， 与 的夹角为 ，且（ + ） （ ），求 的值.
高一下学期数学基础知识检测（2）
考查知识点：苏教版必修第二册第一章
【详解】
对于A选项， ， ，则 ，A选项正确；
对于B选项， ， ， ，B选项正确；
对于C选项， ，所以 与 不垂直，C选项错误；
对于D选项， ，所以， ，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.
【详解】
根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向 与 互为相反向量，故③错误．
故选： .
【点睛】
本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可.
5．D
【分析】
根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量 都是零向量时，由向量 平行得不出方向相同或相反，从而判断（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确．
【详解】
如图， ， ， ， ，则 ，即 ，B正确；
，由( ﹣ )·( ﹣ )=0得 ，点 在以 直径的圆上（可以与 重合）． 中点是 ，