基础知识检测2(9.1向量概念-9.3向量基本定理及坐标表示)
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若 ，设 ，
则有 ，
则有 ，解可得 ；
（2）根据题意，设向量 的夹角为 ；
若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
又由 ，所以 ；
故向量 的夹角为 ．
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理和平面向量数量积的计算，涉及向量模、夹角的计算公式，属于基础题．
18．（1） 或 ；（2）
【分析】
，即 ，
∴
∴
故答案为： .
【点睛】
求向量夹角通常用 ，还要注意角的范围.
17．（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据题意，设 ，又 不共线，根据系数关系，列出方程，即可求出 的值；
（2）根据题意，设向量 的夹角为 ；由数量积的计算公式可得 、 以及 ，又由 ，即可求出结果．
【详解】
（1）根据题意，向量 ，
可得四边形 为边长为4的菱形，
则 的面积为正 的面积，即为 ，
故答案为： ．
15．
【分析】
利用共线向量定理可求 的值.
【详解】
由于向量 与 平行且 为非零向量（否则 平行），
所以存在 ，使得 ，即 ，
因为向量 不平行，所以 ，解得 .
故答案为： .
16．
【分析】
先把 转化为 ，利用夹角公式求
【详解】
若向量 与 反向共线，由 ， ，可得 ；
所以由“向量 与 共线”不能推出“ ”；
若 ， ， ，
则 ，所以 ，所以 ，
因为向量 与 夹角为 ，所以 ，即“向量 与 共线；
所以由“ ”能推出“向量 与 共线”；
因此，“ ”是“向量 与 共线”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．A
【分析】
根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③.
A． B．
C． D． ， 的夹角是钝角
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．向量 ，则与 同向的单位向量 ___________
14．在四边形ABCD中，若 ，且 ，则 的面积为_______.
15．设向量 不平行，向量 与 平行，则实数λ＝________．
16．已知 ， ， ，则 ________.
②若 都是单位向量，则 ；
③向量 与 相等．
则所有正确命题的序号是（）
A．①B．③
C．①③D．①②
5．下列关于向量的结论：
（1）若 ，则 或 ；
（2）向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量 与 同向，且 ，则 ．
其中正确的序号为（）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）
6．在三角形 中， 是 边的中点，点 在 边上且 ，则 （）
A． B．
C． D．
7．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，
13．
【分析】
根据与向量 同向的单位向量是 计算即可.
【详解】
∵向量 ，
，
∴与 同向的单位向量 ，
故答案为：
14．
【分析】
由向量的加减运算可得四边形 为平行四边形，再由条件可得四边形 为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值．
【详解】
在四边形 中， ，即为 ，即 ，
可得四边形 为平行四边形，又 ，
方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；
相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，
所以正确答案只有一个．
故选：B．
3．A
【分析】
根据充分条件与必要条件的概念，由向量数量积运算法则，以及向量的线性运算法则，即可得出结果.
【详解】
若向量 与 同向共线，由 ， ，可得 ；
【分析】
利用平面向量加法、减法以及数乘运算即可求解.
【详解】
.
故选：A
9．ABD
【分析】
向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A；由 可得 ，利用向量的线性运算 ，再结合 集合判断选项B；利用 故选项C不正确，利用外心的性质可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】
因为 是 的重心， 是 的外心， 是 的垂心，
【详解】
对于A选项， ， ，则 ，A选项正确；
对于B选项， ， ， ，B选项正确；
对于C选项， ，所以 与 不垂直，C选项错误；
对于D选项， ，所以， ，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.
§9.1《向量概念》、§9.2《向量运算》、§wk.baidu.com.3《向量基本定理及坐标表示》
总分100分时间60分钟
参考答案与试题解析
1．C
【分析】
求出 ，计算 即得．
【详解】
由题意 ， ．
故选：C．
2．B
【分析】
根据相等向量的有关概念判断．
【详解】
由相等向量的定义知（1）正确；
平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；
6．A
【分析】
利用平面向量的减法进行计算可得答案．
【详解】
，
故选：A
7．B
【分析】
利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.
【详解】
由题得
即 ，解得 ，即 ，
故选：B
【点睛】
方法点睛：向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解.
8．A
（1）设 ，根据题意可得出关于实数 、 的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量 的坐标；
（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得 的值．
【详解】
（1）设 ，由 ，可得 ，
由题意可得 ，解得 或 .
因此， 或 ；
（2） ，
化简得 ，
即 ，解得
【详解】
如图， ， ， ， ，则 ，即 ，B正确；
，由( ﹣ )·( ﹣ )=0得 ，点 在以 直径的圆上（可以与 重合）． 中点是 ，
则 ，A错；
的最大值为 ，C正确；
与 同向，由图， 与 的夹角不可能为钝角．D错误．
故选：BC．
【点睛】
思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出 ， ， ，确定 点轨迹，然后由向量的概念判断．本题也可以放到平面直角坐标系中用坐标解决．
且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以 ，
对于选项A：因为 是 的重心， 为 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，故选项A正确；
对于选项B：因为 是 的重心， 为 的中点，所以 ，
，因为 ，所以 ，
，即 ，故选项B正确；
对于选项C： ，故选项C不正确；
对于选项D：设点 是 的外心，所以点 到三个顶点距离相等，即 ，故选项D正确；
A． B．
C． D．
10． 是边长为 的等边三角形，已知向量 、 满足 ， ，则下列结论中正确的有（）
A． 为单位向量B． C． D．
11．下列命题不正确的是（）
A．单位向量都相等
B．若 与 是共线向量， 与 是共线向量，则 与 是共线向量
C． ，则
D．若 与 是单位向量，则
12．已知 ， 是平面上夹角为 的两个单位向量， 在该平面上，且( ﹣ )·( ﹣ )=0，则下列结论中正确的有（）
（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若 ，则 ；
（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0B．1C．2D．3
3．已知 ， ，则“ ”是“向量 与 共线”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；
【详解】
（1）若 ，由于 的方向不清楚，故不能得出 或 ，故（1）不正确.
（2）由零向量与任何向量平行，当向量 与 平行时，不能得出 与 的方向相同或相反，故（2）不正确.
（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确.
（4）向量不能比较大小，故（4）不正确.
故选:D．
11．AB
【分析】
根据向量的有关知识逐项判断即可.
【详解】
解：对A，D由单位向量的定义知：单位向量的模为 ，方向是任意的，故A错误，D正确；
对B，当 时， 与 可以不共线，故B错误；
对D， ，即对角线相等，此时四边形为矩形，邻边垂直，故D正确.
故选：AB.
12．BC
【分析】
在平面上作出 ， ， ， ，作 ，则可得出 点在以 为直径的圆上，这样可判断各选项，特别是CD．由向量加法和减法法则判断AB．
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件 得 ，利用向量的线性运算结合 可得出向量间的关系.
10．ABD
【分析】
求出 可判断A选项的正误；利用向量的减法法则求出 ，利用共线向量的基本定理可判断B选项的正误；计算出 ，可判断C选项的正误；计算出 ，可判断D选项的正误.综合可得出结论.
四、解答题
17．已知单位向量 的夹角 ，向量 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求向量 的夹角.
18．（1）已知平面向量 、 ，其中 ，若 ，且 ，求向量 的坐标表示；
（2）已知平面向量 、 满足 ， ， 与 的夹角为 ，且（ + ） （ ），求 的值.
高一下学期数学基础知识检测（2）
考查知识点：苏教版必修第二册第一章
若 ，则 （）
A． B．
C． D．
8．在 中，点 在 边上，点 在 边上，且 ， ，若 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．数学家欧拉在 年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点 ､ ､ 分别是 的外心､重心､垂心，且 为 的中点，则（）
高一下学期数学基础知识检测（2）
考查知识点：苏教版必修第二册第一章
§9.1《向量概念》、§9.2《向量运算》、§9.3《向量基本定理及坐标表示》
一、单选题
1．已知向量 ，则与 方向相反的单位向量是（）
A． B． C． D．
2．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
【详解】
根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向 与 互为相反向量，故③错误．
故选： .
【点睛】
本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可.
5．D
【分析】
根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量 都是零向量时，由向量 平行得不出方向相同或相反，从而判断（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确．
则有 ，
则有 ，解可得 ；
（2）根据题意，设向量 的夹角为 ；
若 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
又由 ，所以 ；
故向量 的夹角为 ．
【点睛】
本题考查了平面向量共线定理和平面向量数量积的计算，涉及向量模、夹角的计算公式，属于基础题．
18．（1） 或 ；（2）
【分析】
，即 ，
∴
∴
故答案为： .
【点睛】
求向量夹角通常用 ，还要注意角的范围.
17．（1） ；（2） .
【分析】
（1）根据题意，设 ，又 不共线，根据系数关系，列出方程，即可求出 的值；
（2）根据题意，设向量 的夹角为 ；由数量积的计算公式可得 、 以及 ，又由 ，即可求出结果．
【详解】
（1）根据题意，向量 ，
可得四边形 为边长为4的菱形，
则 的面积为正 的面积，即为 ，
故答案为： ．
15．
【分析】
利用共线向量定理可求 的值.
【详解】
由于向量 与 平行且 为非零向量（否则 平行），
所以存在 ，使得 ，即 ，
因为向量 不平行，所以 ，解得 .
故答案为： .
16．
【分析】
先把 转化为 ，利用夹角公式求
【详解】
若向量 与 反向共线，由 ， ，可得 ；
所以由“向量 与 共线”不能推出“ ”；
若 ， ， ，
则 ，所以 ，所以 ，
因为向量 与 夹角为 ，所以 ，即“向量 与 共线；
所以由“ ”能推出“向量 与 共线”；
因此，“ ”是“向量 与 共线”的充分而不必要条件.
故选：A.
4．A
【分析】
根据零向量和单位向量的概念可以判定①②，注意相等向量不仅要长度相等，方向要相同，可否定③.
A． B．
C． D． ， 的夹角是钝角
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．向量 ，则与 同向的单位向量 ___________
14．在四边形ABCD中，若 ，且 ，则 的面积为_______.
15．设向量 不平行，向量 与 平行，则实数λ＝________．
16．已知 ， ， ，则 ________.
②若 都是单位向量，则 ；
③向量 与 相等．
则所有正确命题的序号是（）
A．①B．③
C．①③D．①②
5．下列关于向量的结论：
（1）若 ，则 或 ；
（2）向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量 与 同向，且 ，则 ．
其中正确的序号为（）
A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（3）
6．在三角形 中， 是 边的中点，点 在 边上且 ，则 （）
A． B．
C． D．
7．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，
13．
【分析】
根据与向量 同向的单位向量是 计算即可.
【详解】
∵向量 ，
，
∴与 同向的单位向量 ，
故答案为：
14．
【分析】
由向量的加减运算可得四边形 为平行四边形，再由条件可得四边形 为边长为4的菱形，由三角形的面积公式计算可得所求值．
【详解】
在四边形 中， ，即为 ，即 ，
可得四边形 为平行四边形，又 ，
方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；
相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错，
所以正确答案只有一个．
故选：B．
3．A
【分析】
根据充分条件与必要条件的概念，由向量数量积运算法则，以及向量的线性运算法则，即可得出结果.
【详解】
若向量 与 同向共线，由 ， ，可得 ；
【分析】
利用平面向量加法、减法以及数乘运算即可求解.
【详解】
.
故选：A
9．ABD
【分析】
向量的线性运算结果仍为向量可判断选项A；由 可得 ，利用向量的线性运算 ，再结合 集合判断选项B；利用 故选项C不正确，利用外心的性质可判断选项D，即可得正确选项.
【详解】
因为 是 的重心， 是 的外心， 是 的垂心，
【详解】
对于A选项， ， ，则 ，A选项正确；
对于B选项， ， ， ，B选项正确；
对于C选项， ，所以 与 不垂直，C选项错误；
对于D选项， ，所以， ，D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.
§9.1《向量概念》、§9.2《向量运算》、§wk.baidu.com.3《向量基本定理及坐标表示》
总分100分时间60分钟
参考答案与试题解析
1．C
【分析】
求出 ，计算 即得．
【详解】
由题意 ， ．
故选：C．
2．B
【分析】
根据相等向量的有关概念判断．
【详解】
由相等向量的定义知（1）正确；
平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；
6．A
【分析】
利用平面向量的减法进行计算可得答案．
【详解】
，
故选：A
7．B
【分析】
利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.
【详解】
由题得
即 ，解得 ，即 ，
故选：B
【点睛】
方法点睛：向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解.
8．A
（1）设 ，根据题意可得出关于实数 、 的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量 的坐标；
（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得 的值．
【详解】
（1）设 ，由 ，可得 ，
由题意可得 ，解得 或 .
因此， 或 ；
（2） ，
化简得 ，
即 ，解得
【详解】
如图， ， ， ， ，则 ，即 ，B正确；
，由( ﹣ )·( ﹣ )=0得 ，点 在以 直径的圆上（可以与 重合）． 中点是 ，
则 ，A错；
的最大值为 ，C正确；
与 同向，由图， 与 的夹角不可能为钝角．D错误．
故选：BC．
【点睛】
思路点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量数量积．解题关键是作出图形，作出 ， ， ，确定 点轨迹，然后由向量的概念判断．本题也可以放到平面直角坐标系中用坐标解决．
且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，所以 ，
对于选项A：因为 是 的重心， 为 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，即 ，故选项A正确；
对于选项B：因为 是 的重心， 为 的中点，所以 ，
，因为 ，所以 ，
，即 ，故选项B正确；
对于选项C： ，故选项C不正确；
对于选项D：设点 是 的外心，所以点 到三个顶点距离相等，即 ，故选项D正确；
A． B．
C． D．
10． 是边长为 的等边三角形，已知向量 、 满足 ， ，则下列结论中正确的有（）
A． 为单位向量B． C． D．
11．下列命题不正确的是（）
A．单位向量都相等
B．若 与 是共线向量， 与 是共线向量，则 与 是共线向量
C． ，则
D．若 与 是单位向量，则
12．已知 ， 是平面上夹角为 的两个单位向量， 在该平面上，且( ﹣ )·( ﹣ )=0，则下列结论中正确的有（）
（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；
（3）若 ，则 ；
（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0B．1C．2D．3
3．已知 ， ，则“ ”是“向量 与 共线”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；
【详解】
（1）若 ，由于 的方向不清楚，故不能得出 或 ，故（1）不正确.
（2）由零向量与任何向量平行，当向量 与 平行时，不能得出 与 的方向相同或相反，故（2）不正确.
（3）由向量的相等的定义，起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；故（3）正确.
（4）向量不能比较大小，故（4）不正确.
故选:D．
11．AB
【分析】
根据向量的有关知识逐项判断即可.
【详解】
解：对A，D由单位向量的定义知：单位向量的模为 ，方向是任意的，故A错误，D正确；
对B，当 时， 与 可以不共线，故B错误；
对D， ，即对角线相等，此时四边形为矩形，邻边垂直，故D正确.
故选：AB.
12．BC
【分析】
在平面上作出 ， ， ， ，作 ，则可得出 点在以 为直径的圆上，这样可判断各选项，特别是CD．由向量加法和减法法则判断AB．
故选：ABD.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用已知条件 得 ，利用向量的线性运算结合 可得出向量间的关系.
10．ABD
【分析】
求出 可判断A选项的正误；利用向量的减法法则求出 ，利用共线向量的基本定理可判断B选项的正误；计算出 ，可判断C选项的正误；计算出 ，可判断D选项的正误.综合可得出结论.
四、解答题
17．已知单位向量 的夹角 ，向量 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求向量 的夹角.
18．（1）已知平面向量 、 ，其中 ，若 ，且 ，求向量 的坐标表示；
（2）已知平面向量 、 满足 ， ， 与 的夹角为 ，且（ + ） （ ），求 的值.
高一下学期数学基础知识检测（2）
考查知识点：苏教版必修第二册第一章
若 ，则 （）
A． B．
C． D．
8．在 中，点 在 边上，点 在 边上，且 ， ，若 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．数学家欧拉在 年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点 ､ ､ 分别是 的外心､重心､垂心，且 为 的中点，则（）
高一下学期数学基础知识检测（2）
考查知识点：苏教版必修第二册第一章
§9.1《向量概念》、§9.2《向量运算》、§9.3《向量基本定理及坐标表示》
一、单选题
1．已知向量 ，则与 方向相反的单位向量是（）
A． B． C． D．
2．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）
（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
【详解】
根据零向量的定义可知①正确；
根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向 与 互为相反向量，故③错误．
故选： .
【点睛】
本题考查零向量和单位向量的概念，相等向量的概念，属概念辨析，正确掌握概念即可.
5．D
【分析】
根据向量的定义可判断（1）（4）错误，向量 都是零向量时，由向量 平行得不出方向相同或相反，从而判断（2）错误，根据相等向量的定义可判断（3）正确．