第七节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍

第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍

一、 函数变化率——边际函数

1．()x f 在()x x x ∆+00, 两点间的变化率=x y

∆∆

2．()x f 在0x

点的变化率()00lim x f x y x '

=∆∆=→∆

3. ()x f '——边际函数

4

()()0111000x f dx x f dy y dx x

x dx x x x x x '='=≈∆=====∆=

注：x ∆很小时或x ∆ 与0x 相对比很小时此式才成立。

例 1 函数2x y =求在100=x 处的

边际函数值，及它表示的具体含义 解：()20102='⇒='y x y 例2 设某产品成本函数()Q C C =（C 为总成本，Q 为产量）求边际成本。 注：

①

()Q C C '=' 边际成本 ②()0Q C ' 当产量为0Q 时的边际成本

③经济学家的解释：当产量达到0Q

时，生产0Q 前最后一个单位产品所

增添的成本。

二、 成本

1．总成本：指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。

2．①总成本

()()Q C C Q C C 21+==

②平均成本

()()

()

Q Q C Q C Q Q C Q C C 21

+===

③边际成本

()Q C C '=' ④边际成本

()()10C dt t C Q C Q +'=

⎰

3．几个关系

例 1 设某商品的成本函数为()41002

Q Q C C +==

求①当10=Q 时的总成本，平均成本， 边际成本。

②当Q 为多少时，平均成本最小？

三、 收益

1．总收益：生产出售一定数量的产

品所得到的全部收入。2．

①需求函数

()Q

P

P=

②总收益

()Q

R

R=

③平均收益

()Q

R

R=

④边际收益

()Q

R

R'

=

'

3．几个关系需求函数

①

()=

=Q

R

R()Q

P

Q⋅

②

()Q

R

R=()Q

P

=

③

()Q

R

R'

=

'()()Q

P

Q

P

Q+

'

=

④

()()Q R dQ d Q R =' ⑤()()dt t R Q R Q ⎰'=0

例 1 设某产品的价格与销售量的关系为510Q

P -=

求当30=Q 时的总收益，平均收益，边际收益。

问题：如何理解()230-='R ？ 最大值()12525=R

()8.12129=R ()12030=R

()3028.1130

0R R x x '=-≈-=∆=∆=

4．最大利润原则

设总利润为L ，则

()()()Q C Q R Q L L -== ① 最大利润的必要条件： =边际成本 ②最大利润的充分条件： ()()Q C Q R ''<''

边际收益的变化率<边际成本的变化率

例2 设某产品的需求函数为 510Q

P -=，成本函数为

Q C 250+=

求产量为多少时，总利润最大？并验证是否符合最大利润原则。 注：一般步骤

（1） 总利润最大问题

①列出利润函数

()()()Q C Q R Q L -=

②求出()0='Q L 的点0Q

③验证0Q 为极大值点

求出()Q L ''，()00<''Q L

（2） 验证是否符合最大利润原则问题 ①求出()()Q R Q R ''',，()()Q C Q C ''',

②验证

()()00Q C Q R '=' ③验证()()00Q C Q R ''<''

例3 设某工厂生产某种产品，固定成本20，000元，每生产一台产品，成本增加1000元，已知R 总收益是年产量Q 的函数

()⎪⎩⎪⎨⎧

>≤≤-==400

000,80400

02

14002

Q Q Q Q Q R R 求每年生产多少产品时，总利润最大？此时，总利润是多少？

四、 函数的相对变化率——函数的

弹性

1．（两点间的弹性）()x f 在()x x x ∆+00,两点间的相对平均变化率

()00

,//00x x y y x x x ∆∆=∆+η

2．（0x 点的弹性）()x f 在0x 点的相对变化率

()()000000//lim

0x f x x f x x y y x x x '=∆∆=→∆=η记作：(),,00x f Ex E

Ex Ey x x =

即()()0000x f x x f Ex Ey

x x '==

注：弹性应该是正值，故要由()x f 的增减性决定弹性中的+、-号。 ① ()x f