第七节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍
微积分— 边际分析与弹性分析
《微积分》(第三版) 教学课件
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二、函数变化率——边际
边际函数 设函数yf(x)是可导的 则导函数f (x)称为边际函数
分析 在点xx0处 当x1时 有 y dyf (x0)xf (x0)
ff
((xxx))
f
(x)
说明
函数
f(x)在点
x
的弹性
E Ex
f
(x)
反映随
x
的变化
f(x)变化
幅度的大小 也就是f(x)对x变化反应的强烈程度或灵敏度
弹性的意义
E Ex
f
(x0)
表示在点
xx0
处
当 x 产生 1%的改变时 fx0)%
在应用问题中解释弹性的具体意义时 我们也略去 “近
R(100) 1002 6100 10600
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(3) 利润函数
总利润等于总收益与总成本之差，一般用L(q)表示.
L(q) R(q) C(q)
例4.已知某产品的成本函数为C(q) 2q2 4q 21，该产品的 单位价格为13，求该产品的总利润函数.
ff(x((0xx)00)f)
x0xx00 f(fx((0xx)00))
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x x0
EEy EExx
xf(xx0 0)
EExEEffyx((xxx00))x0f(xx0fE0E)(xx0f)(EExf0yx(x)x00)EEfx(fxEE0(yx)x)f(xEEx0f0x)(fx()xfEE)(xyxx)f (EExx)
边际分析与弹性分析
解 R(Q) 600Q 1 Q2(Q 0), R(150) 78750 2
R(Q) P(Q) 600 1 Q, R(150) 525 2
R(Q) (600Q 1 Q2 ) 600 Q, R(150) 600 150 450 2
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例 3 生产某种产品Q个单位时成本函数为C 200 0.05Q2， 求生产60个单位与生产80个单位该产品时的总成本、 平均成本及边际成本．
解 由C 200 0.05Q2，有C 200 0.05Q, C 0.1Q Q
当Q 60时，总成本为C(60) 380， 平均成本为C(60) 6.33， 边际成本为C(60) 0.1 60 6.
此时，边际收益的经济含义是：
当销售量为150吨时，再销售一吨（即Q 1）所增加的
收入为450元，低于平均收益525元．
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四、利润
总利润是指总收益减去总成本． 设总利润为L，则 L L(Q) R(Q) C(Q)， L(Q) R(Q) C(Q)
L(Q)取得最大值的必要条件为： L(Q) 0，即R(Q) C(Q)
例 1 函数 y x2 , y 2 x 在点 x 10处的边际函数值，
y(10) 20 它表示当 x 10时， x改变一个单位，
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二、成本
某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部 经济资源投入(劳动力、原料、设备等)的价格或费用总额． 它由固定成本与可变成本组成．
平均成本是生产一定量的产品，平均每单位产品的成本． 边际成本是总成本的变化率． 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下， 产品的总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数．
弹性理论在经济分析中的应用
弹性理论在经济分析中的应用弹性理论是经济学中一个重要的分析工具，它可以帮助我们了解经济变量之间的相互关系，以及它们对经济政策变化的反应。
在经济分析中，弹性理论的应用范围非常广泛，包括需求弹性、供给弹性、交叉弹性、国际贸易弹性等。
本文将介绍弹性理论在经济分析中的应用，并分析其在宏观经济政策制定和微观企业决策中的重要性。
一、需求弹性需求弹性是指价格或收入变化时，消费者对某种商品或服务的需求量变化程度。
需求弹性在经济分析中非常重要，因为它可以帮助我们预测价格变化对销售量的影响，从而制定更有效的营销策略。
例如，如果一种商品的需求富有弹性，那么降低价格可能会增加销售量，从而提高企业的利润。
相反，如果一种商品的需求缺乏弹性，那么提高价格可能会增加企业的利润。
在宏观经济政策制定中，需求弹性也具有重要的应用。
例如，政府可以通过调整税收和补贴政策来影响消费者对商品和服务的购买量。
如果一种商品的需求富有弹性，那么降低税收或增加补贴可能会增加该商品的销售量，从而刺激经济增长。
相反，如果一种商品的需求缺乏弹性，那么提高税收或减少补贴可能会减少该商品的销售量，从而抑制经济增长。
二、供给弹性供给弹性是指生产者对某种商品或服务供给量的变化程度。
供给弹性的大小可以反映生产者的灵活性和决策效率。
在宏观经济政策制定中，供给弹性可以帮助我们了解生产者的反应能力，从而制定更有效的产业政策。
例如，如果一种产业的生产供给具有很高的弹性，那么政府可以通过降低税收或增加补贴来鼓励更多的生产，从而提高该产业的就业水平和经济增长率。
三、交叉弹性交叉弹性是指两个经济变量之间的相互影响程度。
在宏观经济分析中，交叉弹性可以帮助我们了解经济变量之间的相互作用关系，从而制定更有效的经济政策。
例如，通货膨胀和失业率之间的交叉弹性可以告诉我们，政府可以通过货币政策和财政政策之间的协调来控制通货膨胀和失业率之间的平衡。
如果通货膨胀和失业率之间的交叉弹性较高，那么政府需要更加谨慎地制定货币政策和财政政策，以避免失业率进一步上升或通货膨胀加剧。
边际、弹性分析经济数学建模课件
一、边际分析边际的概念.如果一个经济指标y 是另一个经济指标x 的函数)(x f y =，那么当自变量有改变量x ∆时，对应有函数的改变量y ∆.在经济学中，当自变量在x 处有一个单位改变量时，所对应的函数改变量为该函数所表示的经济指标在x 处的边际量.例如当生产量在x 单位水平时的边际成本，就是在已生产x 单位产品水平上，再多生产一个单位产品时总成本的改变量，或者可以说是再多生产一个单位产品所花费的成本.设x 的改变量为x ∆时，经济变量y 的改变量为y ∆=)()(x f x x f -∆+，则相应于x ∆,y 的平均变化率是xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( 由边际的概念，在上式中取1=∆x 或1-=∆x 就可得到边际量的表达式.但边际概念的定义和计算使我们想到能否用函数)(x f y =的导数作为y 的边际量呢？如果按纯粹的数学概念来讲，似乎行不通，因为导数定义要求自变量增量必须趋向于零，而实际问题中自变量x 的经济意义通常是按计件的产量或销量作为单位的，改变量为小数且趋于零不合乎实际.但我们可以这样考虑，对于现代企业来讲，其产销量的数额和一个单位产品相比是一个很大数目，1个单位常常是其中微不足道的量，可以认为改变一个单位的这种增量是趋近于零的.正是这个缘故，在经济理论研究中，总是用导数xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0表示经济变量y 的边际量，即认为)(x f '的经济意义是自变量在x 处有单位改变量时所引起函数y 的改变数量.1．边际成本在经济学中，边际成本定义为产量为x 时再增加一个单位产量时所增加的成本.成本函数的平均变化率为xx C x x C x C ∆-∆+=∆∆)()( 它表示产量由x 变到x +x ∆时，成本函数的平均改变量.当成本函数()C x 可导时，根据导数定义，成本函数在x 处变化率为xx C x x C x C x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 在经济上我们认为)(x C '就是边际成本.因此，边际成本)(x C '是成本函数)(x C 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于产量为x 时再生产一个单位产品所需增加的成本，即)()1()()(x C x C x C x C -+=∆≈'在实际问题中企业为了生产要有厂房、机械、设备等固定资产，在短期成本函数中作为固定成本0C ，它是常数，而生产中使用劳力，原料、材料、水电等方面的投入随产量x 的变化而改变，生产的这部分成本是可变成本，以)(1x C 记，于是成本函数可表示为)()(10x C C x C +=此时边际成本为)()()()(110x C x C C x C '='+'=' 由此，边际成本与固定成本无关，它等于边际可变成本.在实际经济量化分析问题中，经常将产量为x 时的边际成本)(x C '和此时已花费的平均成本xx C )(做比较，由两者的意义知道，如果边际成本小于平均成本，则可以再增加产量以降低平均成本，反之如果边际成本大于平均成本，可以考虑削减产量以降低平均成本.由此可知，当边际成本等于平均成本时可使产品的平均成本最低.2．边际收入和边际利润在经济学中，边际收入定义为销量为x 时再多销售一个单位产品时所增加的收入.设收入函数)(x R R =是可导的，收入函数的变化率是xx R x x R x R x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 同边际成本道理一样，我们认为)(x R '就是边际收入.因此，边际收入)(x R '是收入函数)(x R 关于产量x 的一阶导数.，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的收入.即)()1()()(x R x R x R x R -+=∆≈'设利润函数为)(x L L =，由于利润函数是收入函数与成本函数之差，即)()()(x C x R x L -=则边际利润是)()()(x C x R x L '-'='因此，边际利润)(x L '是利润函数)(x L 关于产量x 的一阶导数，它近似等于销量为x 时再销售一个单位产品所增加（或减少）的利润.在经济学中还经常用到边际效用，边际产量、边际劳动生产率等概念，它和边际成本、边际收入、边际利润的经济解释方法大同小异，在此不再阐述.下面用具体例子说明边际概念在实际问题中的意义和作用.例 1 设某企业的产品成本函数和收入函数分别为52003000)(2x x x C ++=和20350)(2x x x R +=，其中x 为产量，单位为件，)(x C 和)(x R 的单位为千元，求：（1）边际成本、边际收入、边际利润；（2）产量20=x 时的收入和利润，并求此时的边际收入和边际利润，解释其经济意义.解 由边际的定义有（1）边际成本 x x C 52200)(+=' 边际收入 10350)(x x R +=' 边际利润 x x C x R x L 103150)()()(-='-'=' （2）当产量为20件时，其收入和利润为702020)20(20350)20(2=+⨯=R （千元） 6070807020)20()20()20(-=-=-=C R L （千元）其边际收入与边际利润为3521020350)20(=+='R （千元/件）144208352)20()20()20(=-='-'='C R L （千元/件）上面计算说明，在生产20件产品的水平上，再把产品都销售的利润为负值，即发生了亏损，亏损值为60千元；而此时的边际收入较大，即生产一件产品收入为352千元，从而得利润144千元.这样以来，该企业的生产水平由20件变到21件时，就将由亏损60千元的局面转变到盈利8460144=-千元的局面，故应该再增加产量.二、弹性分析一个简单引例.设2x y =，当x 由10变到11时，y 由100变到121.显然，自变量和函数的绝对改变量分别是x ∆=1，y ∆=21，而它们的相对改变量xx ∆和y y ∆分别为 x x ∆=%10101= y y ∆=%2110021= 这表明，当自变量x 由10变到11的相对变动为10%时，函数y 的相对变动为21%，这时两个相对改变量的比为1.2%10%21==∆∆=x x y yE 解释E 的意义：x =10时，当x 改变1%时，y 平均改变2.1%，我们称E 为从x =10到x =11时函数2x y =的平均相对变化率，也称为平均意义下函数2x y =的弹性.这个大小度量了)(x f 对x 变化反应的强烈程度.特别是在经济学中，定量描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度对科学决策至关重要.如果极限00000000/)(/)]()([lim /)(/limx x x f x f x x f x x x f y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 存在，则称此极限值为函数)(x f y =在点x 0处的点弹性，记为x x Ex Ey =，=∆∆⋅=→∆=x y x f x Ex Ey x x x )(lim 0000)()(000x f x f x ' 称)()(x f x f x Ex Ey '=为函数)(x f y =在区间Ⅰ的点弹性函数，简称弹性函数.而称00000/)(/)]()([/)(/x x x f x f x x f x x x f y ∆-∆+=∆∆ 为函数)(x f y =在以x 0与x 0+x ∆为端点的区间上的弧弹性.弧弹性表达了函数)(x f 当自变量x 从x 0变到x 0+x ∆时函数的平均相对变化率，而点弹性正是函数)(x f 在点x 0处的相对变化率.例2 求指数函数)1,0(≠>=a a a y x 的弹性函数.解 因为a a y x ln ='所以a x ax a a y x y Ex Ey x x ln ln =⋅='=.1. 需求弹性函数的弹性表达了函数)(x f 在x 处的相对变化率，粗略来说，就是当自变量的值每改变百分之一所引起函数变化的百分数.需求弹性就是在需求分析中经常用来测定需求对价格反应程度的一个经济指标.设某商品的市场需求量Q 是价格p 的函数：)(p Q Q =，)(p Q 是可导函数，则称Q Qp p Q p Q p Ep EQ '='=)()( 为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，记为p ε.可以这样解释p ε的经济意义；当商品的价格为p 时，价格改变1%时需求量变化的百分数.为什么不使用变化率而要使用这种相对变化率来表达价格改变对需求量的反应呢？由弹性定义看到，弹性与量纲无关，需求弹性与需求量和价格所用的计量单位无关.以对水果的需求为例，在我国将以m 公斤/元来度量，在美国将以n 公斤/美元来度量，这就无法比较两国需求对价格的反应.正因为弹性可不受计量单位的限制，所以在经济活动分析中广泛采用，除需求价格弹性，还有收入价格弹性,成本产量弹性等.由经济理论知道，一般商品的需求函数为价格的减函数，从而0)(<'p Q ,这说明需求价格弹性p ε一般是负的.由此，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，需求量将下跌（或上涨）约%p ε，因此在经济学中，比较商品需求弹性的大小时，是指弹性的绝对值p ε,一般在经济分析中将需求弹性记为p p εε-=. 当1=p ε时，称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；当1>p ε时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响比较大；当1<p ε时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量影响不大.在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0>∆p ）或降价（0<∆p ）对总收入的影响，利用需求弹性的概念，可以对此进行分析.设收入函数为R ，则pQ R =，此时边际收入为Q p Q p R '+=')()1(Q Qp Q '+=)1(p Q ε+= （2） 当p ∆很小时,有p Q p p R R p ∆+=∆'≈∆)1()(ε p Q p ∆-=)1(ε （3）由此可知，当1>p ε（高弹性）时，商品降价时(0<∆p )，0>∆R ，即降价可使收入增加，商品提价时(0>∆p )，0>∆R ，即提价将使总收入减少. 当1<p ε（低弹性）时，降价使总收入减少，提价使总收入增加. 当1=p ε（单位弹性）时，0=∆R ，提价或降价对总收入无影响. 上述分析使我们看到,根据商品需求弹性的不同,应制定不同的价格政策,以使收入快速增长.例3 设某种产品的需求量Q 与价格p 的关系为p p Q )41(1600)(= （1）求需求弹性；（2）当产品的价格10=p 时再增加1%，求该产品需求量变化情况.解 （1）由需求弹性公式'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅='=p pp p Q Q p )41(1600)41(1600ε p p 39.141ln -≈= 需求弹性为-1.39p ，说明产品价格p 增加1%时，需求量Q 将减少1.39p %.（2）当产品价格10=p 时,有9.131039.1-=⨯-=p ε这表示价格10=p 时，价格增加1%，产品需求量将减少13.9%；如果价格降低1%，产品的需求量将增加13.9%.这也表明此商品的需求弹性是高弹性的，适当降价会使销量大增.例4 已知某企业的产品需求弹性为2.1，如果该企业准备明年降价10%，问这种商品的销量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？题中价格的改变量是相对量,所以所求的销量和总收益的改变也采用相对改变量.解 由需求函数弹性定义知，当p ∆较小时pQ Q p dp dQ Q p p ∆∆⋅≈⋅=ε 即p p Q Q p ∆≈∆ε故当1.2=p ε，1.0-=∆pp 时，有 %21)1.0(1.2=-⨯-≈∆QQ 因为R =PQ ，由(3)式有p Q p Q R R p ∆⋅-≈∆)1(εpp p ∆-=)1(ε 当1.2=p ε时，有%11)1.0()1.21(=-⨯-≈∆RR 可见，明年企业若降价10%，企业销量将增加21%，收入将增加11%.（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
边际分析法在经济中的应用
边际分析法在经济中的应用边际分析法是一种定量分析方法,在西方经济学中,边际分析是建立微观经济学的重要工具。
可以说,边际方法把数学方法引进了经济学的研究中,使经济研究得以定量化。
标签：经济函数边际边际分析法导数在社会科学中，数学的首要应用领域无疑是经济学。
一个国家的繁荣富强是依靠高科技和经济管理的水平，而现代的科技和现代的经济管理，它的基础是数学。
数学是经济领域中的极其有用的重要工具。
研究经济数学不仅有利于改进经济工作和提高管理水平，而且有利于经济学与数学的共同发展。
经济学是成本与收益的比较。
经济学研究经济规律也就是研究经济变量相互之间的关系。
经济变量是可以取不同数值的量，如通货膨胀率、失业率、产量、收益等等。
经济变量分为自变量与因变量。
例如，如果研究投入的生产要素和产量之间的关系，可以把生产要素作为自变量，把产量作为因变量。
自变量(生产要素)变动量与因变量(产量)变动量之间的关系反映了生产中的某些规律。
边际分析法就是运用导数和微分方法研究经济运行中微增量的变化，用以分析各经济变量之间的相互关系及变化过程的一种方法。
一、经济函数1.需求函数和供给函数大家可以想像到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系，价格贵，需求量就少;价格便宜，买的人就多。
我们先不考虑其他因素，可以将它简化为一种函数关系，这样，需求量就是价格的函数。
供给，就是厂方能够为市场提供多少产品，产品价格高，厂方就增加生产，反之供给量就减少。
我们也可以把它简化为一种函数关系。
需求量与价格之间的函数就称为需求函数，供给量与价格之间的函数就称为供给函数。
我们容易理解需求量应随价格的增加而减少，而供给量应随着价格的增加而增加。
2.成本函数和收益函数成本函数是成本与产量之间关系的总称。
是指在某些固定要素价格下,生产给定产出水平的最小成本。
它决定于生产者的生产函数及生产者在投入物上支付的价格。
成本函数主要区分为短期成本函数和长期成本函数。
收益是生产者(厂商)出卖其产品而得到的收入。
经济学的数学运用
经济学的数学运用经济学是一门研究资源配置、生产、消费和分配等经济活动的科学。
它利用数学方法来分析经济现象和解决经济问题，以便更加准确地预测和决策。
下面将介绍经济学中常用的数学工具和它们的应用。
1. 边际分析边际分析是经济学中常用的数学方法之一。
它通过计算单位增量带来的收益或成本变化，来评估决策的效果。
边际分析可用于最优决策问题，即在资源有限的情况下，通过比较边际效益与边际成本，找到最合理的方案。
2. 需求与供给的弹性需求与供给的弹性是衡量市场对价格变动的敏感程度的指标。
它通过计算数量对价格变动的相对变化比率，来衡量市场的灵活性。
数学上，需求的弹性定义为需求量变动的百分比除以价格变动的百分比。
供给的弹性定义为供给量变动的百分比除以价格变动的百分比。
3. 利润最大化和成本最小化利润最大化和成本最小化是企业在市场经济中的基本目标。
数学方法可用于确定生产和销售规模，以达到最大利润或最小成本。
利润最大化可通过边际分析和最优化技术实现，成本最小化可以通过微积分和线性规划等数学方法解决。
4. 消费者福利和生产者剩余消费者福利和生产者剩余是经济学中衡量经济效益的指标。
消费者福利是消费者愿意为产品而支付的金额与实际支付金额之间的差额。
生产者剩余是生产者实际获得的收益与期望收益之间的差额。
这些指标通过积分和微积分等数学方法来计算和评估。
5. 等价交换和边际效用理论等价交换是市场经济中的基本原则之一，即在没有外部干预情况下，市场参与者通过自愿的交易达成互利的结果。
边际效用理论是经济学中用来解释消费者选择的理论，它认为消费者通过比较边际效用来做出决策。
这些理论都使用了数学方法来分析和解释经济行为。
6. 经济增长和财务规划经济增长和财务规划是宏观经济学中的重要议题。
经济增长通过计算国内生产总值（GDP）的增长率来衡量。
财务规划通过数学方法分析企业的财务状况，预测未来的盈利能力和现金流量。
综上所述，经济学的数学运用是理解和解决经济问题的重要工具。
浅谈边际分析与弹性分析在经济数学中的运用
２００９
０９ 中 · 国 电 子 商 务
１５
三 、 我 国 金 融 诚 信 体 系 的 构 建 分 析 为 了 维 护 我 国 经 济 体 系 的 有 效 运 转 ， 促 进 经 济 金 融 的 健 康 发 展 和 社 会 稳 定 ， 重 塑 诚 信 环 境 、 完 善 金 融 诚 信 体 系 已 成 为 当 务 之 急 。 （一 ）以 “三 位 一 体 ”信 用 制 度 建 设 为 突 破 口 ， 构 建 社 会 化 信 用 服 务 网 络 体 系 立 金 融 诚 信 企 业 制 度 。金 融 诚 信 企 业 是 指 经 资 信 评 １． 建 估 机 构 采 用 先 进 的 信 用 评 级 技 术 、 按 照 严 格 的 评 审 程 序 评 估 ， 符 合 一 定 信 贷 信 用 标 准 的 企 业 。资 信 评 估 机 构 应 对 借 款 人 偿 还 银 行 贷 款 的 历 史 记 录 和 影 响 借 款 人 未 来 偿 付 能 力 的 各 种 因 素 进 行 全 面 考 察 ， 对 企 业 进 行 金 融 诚 信 资 格 认 定 。 立 社 会 化 综 合 性 的 个 人 信 用 制 度 。个 人 信 用 是 整 个 ２． 建 社 会 信 用 的 基 础 ， 个 人 信 用 体 系 是 社 会 信 用 体 系 的 核 心 。建 立 个 人 信 用 制 度 不 仅 是 市 场 经 济 发 展 的 需 要 ， 更 是 人 们 思 想 观 念 与 社 会 发 展 与 时 俱 进 的 需 要 。 ３． 建 立 严 格 的 金 融 机 构 信 用 管 理 制 度 。各 商 业 银 行 要 建 立 健 全 内 控 机 制 和 信 用 管 理 制 度 ， 充 分 掌 握 企 业 信 用
第七节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍
第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍一、 函数变化率——边际函数1．()x f 在()x x x ∆+00, 两点间的变化率=x y∆∆2．()x f 在0x点的变化率()00lim x f x y x '=∆∆=→∆3. ()x f '——边际函数4()()0111000x f dx x f dy y dx xx dx x x x x x '='=≈∆=====∆=注：x ∆很小时或x ∆ 与0x 相对比很小时此式才成立。
例 1 函数2x y =求在100=x 处的边际函数值，及它表示的具体含义 解：()20102='⇒='y x y 例2 设某产品成本函数()Q C C =（C 为总成本，Q 为产量）求边际成本。
注：①()Q C C '=' 边际成本 ②()0Q C ' 当产量为0Q 时的边际成本③经济学家的解释：当产量达到0Q时，生产0Q 前最后一个单位产品所增添的成本。
二、 成本1．总成本：指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。
2．①总成本()()Q C C Q C C 21+==②平均成本()()()Q Q C Q C Q Q C Q C C 21+===③边际成本()Q C C '=' ④边际成本()()10C dt t C Q C Q +'=⎰3．几个关系例 1 设某商品的成本函数为()41002Q Q C C +==求①当10=Q 时的总成本，平均成本， 边际成本。
②当Q 为多少时，平均成本最小？三、 收益1．总收益：生产出售一定数量的产品所得到的全部收入。
2．①需求函数()QPP=②总收益()QRR=③平均收益()QRR=④边际收益()QRR'='3．几个关系需求函数①()==QRR()QPQ⋅②()QRR=()QP=③()QRR'='()()QPQPQ+'=④()()Q R dQ d Q R =' ⑤()()dt t R Q R Q ⎰'=0例 1 设某产品的价格与销售量的关系为510QP -=求当30=Q 时的总收益，平均收益，边际收益。
边际分析与弹性分析
Ey Ex
或
x x0
E f ( x0 ) Ex
即
Ey Ex
x x0
y y0 y y0 lim lim x 0 x x x 0 x x0 0
x0 . f ( x 0 ) f ( x0 )
定义 一般的，若函数y f ( x )在区间内(a , b )可导， Ey y / y y x x 且f ( x ) 0，则称 lim lim y Ex x 0 x / x x 0 x y y 为函数y f ( x )在区间(a , b )内的点弹性函数，简称 弹性函数.
一般情况下，总利润函L(Q )等于总收益函数 数 R(Q )与总成本函数 (Q )之差．即 C
L(Q ) R(Q ) C (Q ),则 边 际 利 润 为 L(Q ) R(Q ) C (Q ) 显 然, 边 际 利 润 可 由 边 际 收 与 边 际 成 本 决 定 入 , C ( Q ) R(Q ) C (Q ) C ( Q ) 时, 0 L(Q ) 0 0
当 x 1时，标志着 x 从 x0 减小一个单位.
这表明 f (x) 在点 x x0 处，当 x 产生一个单位的 改变时， y 近似改变 f ( x0 ) 个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去 “近似” 二字．
定义
设函数 y f (x) 在 x 处可导，则称导数 f (x )
例3
Q ，其 P 为 设某产品的需求函数为 P 20 5
价格，Q 为销售量，求销售量为 15 个单位时的总 收益，平均收益与边际收益．并求销售量从 15 个 单位增加到 20 个单位时收益的平均变化率． 2
解
边际分析和弹性分析在经济中的应用
天津外国语大学国际商学院本科生课程论文（设计）课程名称：宋体四号字居中论文题目：边际分析和弹性分析在经济中的应用姓名：宋体四号字居中学号：专业：年级：2012级班级：12707班任课教师：20 年月内容摘要数学在整个经济发展中起着重要的作用，从一般模型的建立到公式的推导、定理的验证，涉及到了大量的数学知识，尤其是导数的应用。
导数作为经济中常用的工具，在经济学领域有着丰富的实际背景和广泛的应用。
本文通过导数在经济领域中的成功应用，以边际分析、弹性分析问题为主，加深如何运用导数知识去分析、解决经济中的问题的理解，旨在拓宽人们分析问题的思路。
使我们可以从数学的角度得出结论，又可以在经济的理论上得到合理解释，从而达到为企业经营者科学决策提供依据的目的。
关键词：导数；经济学；边际分析；弹性分析目录一引言 (1)二边际分析 (1)（一）边际基本定义 (1)（二）边际理论的应用模型 (2)三弹性分析 (3)（一）弹性基本定义 (3)（二）需求弹性 (3)（三）弹性应用于经济学的实际意义 (4)四结论 (6)参考文献 (7)边际分析和弹性分析在经济中的应用一 引言导数是求解经济问题的最常用的工具，利用导数求解经济问题的关键在于深刻理解与掌握经济领域中的变化率问题，而其中最典型的是“边际”与“弹性”的概念。
以下我们将主要对边际分析和弹性分析以及其在经济学的应用探究。
二 边际分析（一）边际基本定义边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率。
利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析方法，是经济理论中的一个重要分析方法。
边际概念表示，当x 的改变量△x 趋于0时，y 的相应改变量△y 与△x 的比值△y/△x 的变化，即当x 在某一给定值附近有微小变化时，y 的瞬时变化。
用数学语言表达为：设函数y= f(x)在(a ， b)内可导，则称导数)('x f 为f(x)在(a ，b)内的边际函数；在0x 处的导数值)(0'x f 称为f(x)在0x 处的边际值。
边际分析与弹性分析
dQ
(p)
ER R '(Q) Q p(1 1 ) Q 1 1
EQ
R(Q)
(p) pQ
(p)
(x)从x0到x0
x两点间的平均相对变化率
或弹性.
lim
x0
y x
/ /
y x
0 0
称为f
(x)在x0处的相对变化率或弹性。
2.弹性定义：设y=f(x)可导，则
Ey Ex
y'
x y
f '(x)
x f (x)
称为y=f(x)的在x处 的弹性或相对变化率。
Ey x f '(x)表示x在x处改变1％时，函数f (x) Ex f (x) 改变了 | Ey | %
e
p 5
，求：
⑴需求弹性
⑵p=3、5、6时的需求弹性
⑶当价格在p=3处上涨2％时需求将变化百分之几？
(4) 当价格在p=3处下降3％时需求将变化百分之几？
4.收益弹性 Ey f '(x) x
R '(p)
Ex
Q
p
dQ
f
(x)
Q(1
(p))
dp
ER R '(p) p Q(1 (P)) p 1 (p)
Ep
R(p)
pQ
(1) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益增加 (1 - (P)) %
(2) 当 ER 0 在价格 p 处, 价格每上涨 1%,
Ep
收益减少 | (1 - (P)) | %
(3) 当(p) 1,即 ER 0 总收益最大
3.6 经济活动中的边际分析与弹性分析
收益函数、边际利润函数。
1、边际成本
生产一定数量的产品所需要的全部经济资源投入的费 用总额称为总成本, 设 TC(Q)为总成本,此处Q为产量.
边际成本为总成本函数关于产量Q的导数，记作MC，
即
MC TC (Q)
这说明当产量为100时，再增加一个单位产品的
生产，总成本将增加49；当产量为200时，再增加一
个单位产品，总成本将增加53.
2、边际收益 生产者出售一定量产品所得到的全部收入称为总收益,
单位产品的售价称为平均收益. 总收益对销售量的导数称
为边际收益.
一般用Q表示商品量, P为商品价格, TR表示总收益.
试求
解 因为 所以
p 5 元时的供给价格弹性.
Qs 0.8
p0 g ( p0 ) g ( p0 )
5 0.8 2 2 0.8 5
Es
p 5
该结果说明当价格在 p 5 元水平时， 若提价1%，
供给量将增加2%.
TC (100 ) 2000 45 100 0.02 100 2 6700
（2）当产量为100吨时的平均成本
6700 AC (100 ) 67 100
（3）当产量从100吨增加到200吨时，总成本的平均变化率
Q 200 100 100
，
TC TC (200 ) TC (100 )
它的经济含义是：当产销量达到 Q 时，再增加一个 单位产品的产销所增加的利润.
二、弹性分析 弹性作为一个数学概念是指相对变化率, 即相互依 存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。用比例 来说, 是自变量变化 1% 所引起因变量变化的百分数。 弹性是一种不依赖于任何单位的计量法, 即是无量纲 的。弹性分析是经济数量分析的重要组成部分之一.
边际分析与弹性分析
边际分析与弹性分析边际分析和弹性分析是经济学中重要的概念和工具。
边际分析主要研究个体或单位在其中一决策上的最后一单位收益或成本，弹性分析则是研究个体或单位对外部影响的敏感程度。
边际分析是指在边际条件下，对单位变动的最后一个单位进行分析的方法。
边际成本是指增加或减少单位产量所引起的总成本的变化，边际效益是指增加或减少单位产量所引起的总效益的变化。
在做决策时，我们通常会比较边际成本与边际效益之间的关系，当边际效益大于边际成本时，持续增加产量，反之亦然。
这种比较的方法称为边际收益递减原理。
以生产为例，边际成本和边际效益可以用来优化生产过程。
当边际成本低于边际效益时，单位的生产成本还可以通过增加产量来降低，从而带来更多的利润。
但是，随着产量的增加，边际成本将逐渐增加，当边际成本高于边际效益时，增加产量将不再有利可图。
弹性分析是指个体或单位对其中一变量变化的敏感程度。
根据弹性的概念，我们可以衡量其中一变量的变化对其他相关变量的影响。
常见的有价格弹性、收入弹性等。
价格弹性衡量了消费者对产品或服务价格变化的敏感程度。
价格弹性大于1表示消费者对价格变化非常敏感，产品或服务的需求量会随价格的变动而显著变化。
价格弹性小于1表示消费者对价格变化不太敏感，产品或服务的需求量不会随价格的变动而显著变化。
收入弹性衡量了消费者对收入变化的敏感程度。
收入弹性大于0表示产品或服务的需求量与收入正相关，收入增加时需求量也会增加，收入弹性小于0表示产品或服务的需求量与收入负相关，收入增加时需求量会减少。
边际分析和弹性分析在经济学中起着重要的作用。
通过边际分析，我们可以优化决策，确定最优的产量或资源配置方案。
而弹性分析则帮助我们了解市场需求和供给的变化，指导企业和政府制定相应的决策策略。
例如，在企业的市场定价决策中，通过对价格弹性的分析，企业可以了解到市场对产品价格变化的敏感程度，进而决定是否降价来吸引更多的顾客。
另外，在政府的税收政策制定中，通过收入弹性的分析，政府可以了解到不同收入水平的人群对税收的敏感程度，进而制定相应的税收政策来实现贫富均衡或者调控经济发展。
经济学中边际分析的作用
经济学中边际分析的作用边际分析是经济学中的常用工具和方法，它通过研究单位变动的边际效果来帮助分析人们在做出决策时所面临的选择。
在经济学中，边际分析被广泛应用于多个领域，包括微观经济学、宏观经济学、公共经济学和国际经济学等。
在下面的文章中，我们将详细探讨边际分析的作用。
首先，边际分析可以帮助人们理解资源配置的效率。
在经济学中，资源是有限的，而需求是无限的。
因此，人们必须做出选择来分配有限的资源以满足无限的需求。
边际分析能够帮助人们判断在特定资源配置下，新增一个单位资源或离开一个单位资源会对整体效果产生怎样的影响。
通过判断边际效果，人们可以合理地分配资源，以达到效率最大化的目标。
其次，边际分析对于生产和消费的决策具有重要意义。
在生产过程中，企业需要决定生产多少产品以满足市场需求。
边际分析可以帮助企业分析新增生产一个单位产品所带来的边际收益和边际成本，从而判断是否应该增加或减少产量。
在消费者决策方面，边际分析可以帮助消费者判断消费一个额外单位的产品所带来的边际效用和边际成本，从而优化消费选择。
再次，边际分析对于价格决策也起到重要作用。
边际成本是企业决定价格的重要参考因素之一、当企业决定降低价格时，边际分析能够让企业判断降低价格所带来的边际收益和边际成本，从而决定最终的价格水平。
同样，对于消费者而言，边际效用可以帮助他们判断购买一个单位产品所带来的边际收益和价格之间的关系，从而决定是否购买。
此外，边际分析对于政府的政策制定也非常重要。
在公共经济学领域，政府需要制定各种经济政策来干预市场经济，以达到一定的社会目标。
边际分析可以帮助政府判断政策的边际效果，从而优化政策的制定。
例如，在税收政策上，政府可以通过边际分析判断不同税率对经济产出和民众福利的影响，从而确定最佳的税率水平。
最后，边际分析还可以帮助人们理解经济行为中的边际效应。
边际效应是指在其中一行为中的附加影响或后果。
边际分析可以帮助人们判断经济行为的边际效应，从而更好地理解行为的动机和结果。
本节介绍导数概念在经济学中两个应用——边际分析和弹性
化率；
(4) 产量为 100 吨时，总成本的变化率(边际成本).
解 (1) 产量为 100 吨时的总成本为 C(100) 1 000 7 100 50 100 2 200 (元).
，
Ed (100) 2. 它的经济意义是：当价格为 100 时，若价格增加 1%，则需求减少 2% .
C(100) (1000 7q 50 q) |q100
7
25
Байду номын сангаас
9.5 (元).
q q100
这个结论的经济含义是：当产量为 100 吨时，再多生
产一吨所增加的成本为 9.5 元.
例2 设某产品的需求函数为 q = 100 – 5p，求边际收入函
数，以及 q = 20、50 和 70 时的边际收入 .
(2) 产量为 100 吨时的平均成本为
C(100) C(100) 22 (元/ 吨). 100
(3) 产量从 100 吨增加到 225 吨时，总成本的平均变 化率为
C C(225) C(100) 3325 2200 9 (元/ 吨).
q
225 100
125
(4) 产量为 100 吨时，总成本的变化率即边际成本为
存在，则 lim y / y lim y x x dy x f (x) x0 x / x x0 x y y dx y
称作函数 f (x) 在点 x 处的弹性，记作 E，即 E x dy . y dx
由需求函数 Q = Q(p) 可得需求弹性为
Ed
导数在经济分析应用中_边际_与_弹性_的联系与区别_曾小凤
万元 ） ， ) 为产量数，当 ) % #$$$ & " ) ’ ($ + ) （ 万元） ， 表 其平均成本为： #$$ 时， )（ #$$） * #$$ % #+（ 示前 #$$ 台设备的平均成本为 #+ 万元； 其边际成本 * ） . % #$$ % /0 (（ 万 为 (, （ #$$） %（ " ’ ($ + +) 元） ，表示产量为 #$$ 时，若再生产一台该设备 （ 第 ， 其成本增加 /0 ( 万元。 #$# 台） 由此例可知， 若设 , 为某产品销售单价， 当 (, （ 意味着扩大生产量是盈利的； 而当 (, )$ ）1 , 时， （ 扩大生产量反而亏损。因此， 企业的经 )$ ） 2 , 时， 营者应及时准确了解边际成本的变化情况，并作出 正确的科学决策 （ 而不是盲目地一味扩大生产量） ， 从而使企业获得较佳效益。 则我们称极限 + 设函数 ! " # $ % & 是可导的， )! ! % )! % " % % % ・ -! ・ ・# 7 （ 345 345 %） ) % ) % ! ! ! -% ) 6, $ ) 6, $ %第>源自 +$$/ 年 < 月
闽西职业大学学报 bGTWJF3 GH V4J64 cGNFX4GJF3 )G33IKI
CG0 > QIZXI5]IW +$$/
导数在经济分析应用中“ 边际” 与“ 弹性” 的联系与区别
曾小凤
（ 龙岩财经学校，福建 龙岩 >:/$$$）
经济学中边际与弹性的数学定义及实际意义
经济学中边际与弹性的数学定义及实际意义摘要：边际与弹性是导数在经济学中的一个重要应用，是微分学在经济分析中一种有效可行的方法。
文章从经济数学中边际和弹性的数学定义出发，结合实际通俗的解释了边际和弹性的意义。
关键词：边际；弹性；定义1 整体分析2 从实例来解释边际和弹性先看边际，比如可以研究产品的边际成本，边际受益来衡量工厂合适的生产量，还有边际效用也是解决实际问题或解释实际问题常用的方法。
比如农民一年收获了袋谷子，第一袋谷子用来维持一个月的生活，效用为10，第二袋谷子可以卖掉使他生活水平提高，效用为8，第三袋谷子可以用来酿酒，效用为4，第四袋谷子可以用来喂宠物，效用为2。
第一袋谷子的效用最高，后面依次递减。
很多实际的问题都用到了边际分析法，比如长途汽车即将出站出发时，有一名乘客要求以票价的一半价格上车，售票员考虑之后还是让他上车了。
咋一看，我们会觉得长途车车主亏了，但实际上我们应该考虑的是边际成本和边际收益这两个概念。
在这个例子中，增加这一名乘客，所需汽油费、工作人员工资、过路费和汽车的磨损等几乎都不会增加，即长途车所增加的成本几乎为0，即边际成本约等于0元。
但是增加这一名乘客，长途车车主的收入增加了乘客所付的钱（票价的一半），即边际收益为票价的一半。
这样分析的话长途车车主还是得利了。
又比如在食品保鲜技术还不是非常发达的上世纪，乳品商面对当日无法全部售完的新鲜牛奶，是选择极低价促销还是全部掉入阴沟？众多的商家选择了后者。
这与以上所提到的坐车案例处理方法截然不同。
难道那时的商人不懂得边际分析？可想而知不是。
在商人的算盘中，并不仅是计算着今天的收益，他们所要考虑的是最为重要的：今天的极低价促销对于日后的牛奶价格会产生什么影响！因为今日的低价促销所获得的较少收益足不以弥补日后由于牛奶单价的降低所带来的亏损（原本购买正价牛奶的消费者亦选择在低价促销时购买）。
可见，关于边际分析法应用讨论还需继续。
弹性使用的范围也非常广，商品可分为弹性商品和非弹性商品，弹性商品是指商品的价格变动会带动需求量跟着会发生很大的变化，比如奢侈品就是弹性商品。
48导数在经济中的应用
称为 f (x)在(x0 , x0 x)
内的平均变化率，它表示在 (x0 , x0 x) 内f (x)
的平均变化速度。
2
第二页，编辑于星期五：二十二点 三十八分。
f (x)在点 x x0 处的导数 f (x0 ) 称为 f (x) 在点 x x0 处的变化率，也称为f (x)在点 x x0 处的 边际函数值。它表示 f (x)在点 x x0处的变化速
西方经济学家对它的解释是：当产量 达到 Q0时，生产 Q0前最后一个单位产品 所增添的成本。
7
第七页，编辑于星期五：二十二点 三十八分。
2、本钱
某产品的总本钱是指生产一定数量的产品所 需的全部经济资源投入（劳力、原料、设备等） 的价格或费用总额。它由固定本钱与可变本钱组 成。
平均本钱是生产一定量产品，平均每单位 产品的本钱。
边际本钱是总本钱的变化率，即总本钱函 数的导数
8
第八页，编辑于星期五：二十二点 三十八分。
设 C为总成本, C1 为固定成本, C2 为可变
成本，C 为平均成本，C 为边际成本，Q为产
量，则有
总成本函数 C C(Q) C1 C2 (Q) 平均成本函数 C C(Q) C(Q) C1 C2 (Q)
13
第十三页，编辑于星期五：二十二点 三十八分 。
总收益与平均收益 的关系为：
R(Q) R(Q) R(Q) R(Q) Q Q
总收益与边际收益的关系为：
R(Q) d R(Q)
Q
R(Q) R(t)dt
dQ
0
14
第十四页，编辑于星期五：二十二点 三十八分 。
例1 设某产品的价格与销售量的关系为 P=10 -Q/5，求销售量为30时的总收益、平均收益
商务数学47变化率及相对变化率在经济中的应用—边际分析与弹性分析介绍
文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.第四章 导数的应用§7 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍 7.1 函数变化率——边际函数 设函数()x f y =可导，其导函数()x f '也称为边际函数（marginal function ），记为()x Mf ，即()()x f x Mf '=.差商()()xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆００称为函数()x f 在()x x ,x 00∆+（或()00x ,x x ∆+）内的平均变化率（average rate of change ），它表示在()x x ,x 00∆+（或()00x ,x x ∆+）内()x f 的平均变化速度.函数()x f 在点x x =处的导数()0x f '称为()x f 在点0x x =处的变化率，也称为()x f 在点0x x =处的边际函数值，记为()0x Mf ，即()()00x f x Mf '=.它表示函数()x f 在点0x x =处的变化速度. 由于()x x f dy y 0∆'=≈∆，当1x =∆时，()0x f y '≈∆.这说明()x f 在点0x x =处，当自变量x 产生一个单位的改变时，因变量y 近似改变()0x f '个单位.以后，在应用问题中解释边际函数值的具体意义时我们略去“近似”二字（即直接说成“()x f 在点x x =处，当自变量x产生一个单位的改变时，因变量y改变()0x f '个单位”）.下面介绍几种常见的边际函数：7.1.1 边际成本设总成本函数（total cost function ）为()()x C C x C 10+=，其中x为产量，0C 为固定成本，()x C 1为可变成本.则平均成本函数（average cost function ）为()()()xx C C x x C x C 10+==，边际成本函数（marginal cost function ）为()x MC ()()[]()x C x C C x C 110'='+='=. 【Note 】显然，总成本、平均成本、边际成本都是产量的函数；总成本、平均成本都与固定成本有关，而边际成本只与可变成本有关，与固定成本无关.由于()()()()()[]x C x C x1x x C x x C x C 2-'=-'='()()[]x C x MC x1-=，令()0x C ='，可得()Cx MC =，因此产量水平满足平均成本等于边际成本这个条件时，平均成本最低.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.边际成本（marginal cost ）为总成本的变化率，()0x C '称为当产量为0x 时的边际成本，记为()0x MC ，它表示当产量达到x 时，生产x 个单位前最后一个单位（即第x 个单位）产品所增加的成本，或生产x 个单位后增加的那个单位（即第1x 0+个单位）产品所需的成本.Example p.97） 设总成本函数()100x 30x 2.0x 001.0x C 24+++=，求边际成本函数和20x =单位时的边际成本，并且解释后者的经济意义.解 边际成本函数为()()x C x MC '= 30x 4.0x 004.03++=，20x =时的边际成本()30204.020004.020MC 3+⨯+⨯= 70=，它表示的是生产第20个或第21个单位产品时所花费的成本为70.Example p.97） 某工厂日产能力最高为1000吨，每日产品的总成本C （单位：元）是日产量q （单位：吨）的函数()q 50q 71000q C ++=，[]1000,0q ∈.求①生产100吨总成本及每吨成本.②由生产100吨改变到225吨时，总成本的平均变化率.③当日产量100吨时，总成本的变化率. 解①当日产量100吨时，总成本为()22001005010071000100C =+⨯+= （元）.平均成本为()()100100C 100C = 221002200==（元/吨）.②如果q 由100改变到225，则125100225q =-=∆（吨），而与此相应的总成本的增量为C∆()()112522003325100C 225C =-=-= (元).于是总成本的平均变化率为91251125q C ==∆∆（元/吨）.③()()q257q C dq q dC +='=，所以()5.9100257100C =+='（元/吨），它表示日产量为100吨时，总成本的变化率.7.1.2 边际收益设总收益函数（total revenue function ）为()x R R =，其中x为产量.则平均收益函数（average revenue function ）为()()xx R x R =，它表示在产量为x的水平时每生产（或出售）单位产品所得到的收入，即单位商品的售价.边际收益函数（marginal revenue function ）为()x R MR '=，它表示在产量为x的水平时，再生产（或出售）一个单位产品所得到的收入. 如果用P表示商品价格，Q表示商品量（销量），价格P可以表示为商品量Q的函数()Q f P =，则总收益函数为()()Q f Q P Q Q R ⋅=⋅=，平均收益函数为()()()P Q f QQ f Q Q R Q R ==⋅==，而边际收益函数为()()()[]'⋅='=Q f Q Q R Q MR()()()()Q R Q Q R Q f Q Q f '⋅+='⋅+=.Example p.98） 设某种产品的价格P 与销售量Q 的关系是20Q10P -=（元），求销售量分别为80和150单位时的边际收益.解 总收益函数为()Q 20Q 10Q P Q R ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=20Q Q 102-=.边际收益函数为()Q MR()10Q1020Q Q 10Q R 2-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-='=.销售量为80和150单位时的边际收益分别是()210801080MR =-=（元/单位），()1015010150MR -=5-=（元/单位）.【Note 】从Example80，再多销售一个单位产品，将增加2元的收入；销售量为150单位时，再多销售一个单位产品，将减少5元的收入.因此，可以根据边际收益来确定在某个销售水平时，再销售产品是否在经济上合算.7.1.3 边际利润 设总成本函数为()x C ，总收益函数为()x R ，则总利润函数（total profit function ）为()()()x C x R x L -=，其中x 为产量.平均利润函数（average profit function ）为()()()x C x R x L -=，边际利润函数（marginal profitfunction ）为()()()()()()x MC x MR x C x R x L x ML -='-'='=，即边际利润为边际收益与边际成本之差.Example p.99） 某工厂每月生产x 百吨的总成本函数为()x C32x 31x 7x 11140+-+=（万元），而得到的总收益为()2x x 100x R -=（万元）.试求产量为1000吨时的边际成本、边际收益与边际利润. 解边际成本函数为()()x C x MC '=232x x 14111x 31x 7x 11140+-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=，边际收益函数为()()x R x MR '= ()x 2100x x 1002-='-=，而边际利润函数为()()()x MC x MR x ML -=()()11x x 12x x 14111x 210022--=+---=.当1000x =吨，即10x =百吨时，边际成本为()7110101411110MC 2=+⨯-=（万元），边际收益为()10MR80102100=⨯-=（万元），边际利润为()()()718010MC 10MR 10ML -=-= 9=（万元）.【Note 】 由Example 10，边际收益大于边际成本，即边际利润大于零，此时再增加一百吨产品，收入将增加80万元，而成本只增加71万元，也就是将获得利润9万元，因此，当产量为10百吨时，再增加产量是合算的.文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.一般地，如果边际收益大于边际成本，即()x MR ＞()x MC ，边际利润()()()x MC x MR x ML -=＞0，那么增加产量是可获利的；反之，如果边际收益小于边际成本，即()x MR ＜()x MC ，边际利润()()()x MC x MR x ML -=＜0，那么再增加产量就要减少利润甚至亏本了.因此可以想象出，企业的最优产量（即获取最大利润的产量）应当是边际收益等于边际成本时的产量. 7.1.4 边际需求消费者对某种商品的需求是多种因素决定的，商品的价格是影响需求的主要因素，如果不考虑诸如消费者的收入情况、其他代用品的价格等影响需求的因素，那么需求量Q 就可以表示为价格P的一元函数()P f Q =.边际需求（marginal demand ）是需求量Q对价格P的导数，即边际需求()P f MQ '=. 一般来说，需求函数()P f Q =是单调减少函数，因此边际需求()P f MQ '=＜.这样，在价格的某个水平0P P =处，如果再提价一个单位，需求将减少()0P f '个单位.Example p.100） 若需求函数8P 10Q 2-=，则边际需求为4PQ MQ -='=.当8P =时，2MQ 8P -==，它表示价格8P =时，若价格提高（降低）一个单位时，需求将减少（增加）2个单位.7.2 函数的弹性在经济生活中，不仅需要研究经济指标（变量）的绝对变化，而且需要研究它们的相对变化. Example p.100） 有两种商品，第一种商品的价格为10元/单位，第二种商品的价格为200元/单位，如果这两种商品的价格都上涨了2元，则第一种商品的价格相对上涨了%20，第二种商品的价格相对上涨了%1.虽然这两种商品价格的绝对增量是相同的，但对消费者而言，容易接受第二种商品的涨价，而不容易接受第一种商品的涨价. Example p.100） 商品的需求量Q是价格P的函数，一般情形Q 是P的递减函数.当商品价格为P 时，销售商为了获取更大的收益，打算提升%1，这时，需求量减少的百分数显得格外重要.如果这个百分数过大，即需求量对价格过于敏感，就有可能由于提价而使得销售商的收益减少，在这种情况下，必须考虑提价是否合适.这里涉及的就是函数的相对增量和函数的相对变化率问题.设y 是x 的函数()x f y =，则称()()x f x x f y -∆+=∆为函数在点x 处的绝对增量（absolute increment ），而称x ∆为自变量在点x 处的绝对增量.称()()()x f x f x x f y y -∆+=∆为函数在点x 处的相对增量（relative increment ），称x x ∆为自变量在点x处的相对增量. Definition 4.8（See p.101） 设函数()x f y =在点x处可导，如果函数相对增量与自变量相对增量之比的极限文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.()()[]()xx x f x f x x f lim x x y y lim 0x 0x ∆-∆+=∆∆→∆→∆存在，则称此极限值为函数()x f y =在点x处的弹性（elasticity ），记作η，或记作()x η（在经济学中也记为yx η或yxε）.即它显然是x的函数，故也称之为弹性函数（function of elasticity ）.根据x f 在点x处可导这个条件，知()()()()x f x f x x f x x f y x x y lim x x y y lim 0x 0x '⋅=⋅'=⋅∆∆=∆∆=→∆→∆η.【.其实，它们还可以 ()x x f 称为平均函数（mean function 或average function ），所以,公式()()x x f dxx df =η表明：弹性函数等于边际函数与平均函数之比.函数()x f 在点x 处的弹性反映随x 的变化()x f 变化幅度的大小，也就是()x f 对x 变化反应的灵敏度.()00x ηη=表示在0x x =处，当x 产生%1的改变时，()x f 的改变幅度为%0η.函数弹性是一个没有单位的量，它与变量的测量单位无关，改变变量的测量单位，函数的弹性不会改变，因而具有可比性.Example p.101） 若某种商品的需求量Q与价格P的函数关系为()P411600P f Q ⎪⎭⎫⎝⎛==.①求需求弹性（elasticity of demand ）()P η；②当商品的价格10P =（元）时再增加%1，求该商品需求量的变化情况. 解①由弹性计算公式，需求弹性为()()()PP411600411600P P f P f P P ⎪⎭⎫⎝⎛'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅='⋅=η文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.P 39.141ln P 41160041ln411600P PP-≈=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛⋅=.由于P ＞0，因此需求弹性为负数，说明商品价格P 增加%1，需求量Q 将减少P%39.1.②当价格10P =元时，需求弹性()9.131039.110-=⨯-=η，表明当价格10P =元时，若价格增加%1，则商品需求量将减少%9.13.【Note 】需求弹性（elasticity of demand ）()P η（经济学中也称其为需求价格弹性[price elasticity of demand 或demand-priceelasticity ]，可记为QP ε）刻划了某种商品的需求量Q 对价格P变动反应的灵敏程度，这对于需求分析或制定价格有非常重要的意义.一般，需求函数()P f Q =为单调减少函数，需求弹性()P η＜，为避免负号的麻烦，有时用()P η表示需求弹性.Example p.102）设总成本函数()2x 2x C 2+=，其中x为产量，求产量1x =，2x =，3x =时的成本弹性.解 成本对产量的弹性函数为()x η()()222x 4x 22x 2xx x C x C x +=+⋅='⋅=，1x =，2x =，3x =时的成本弹性分别为()4.0521412122==+⨯=η，()1882422222==+⨯=η，()38.113183432322≈=+⨯=η.【Note 】因总成本函数是产量的单调增加函数，故成本弹性大于零.若总成本函数()x C C =，则成本弹性为文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.()()()()()()x C x C xx C x C x C x C x '='='⋅=η，它恰好是边际成本与平均成本之比.①若η＞1，则()x C '＞()x C ，这时的生产规模是不合算的，减少产量对企业有利；②若1=η，则()='x C ()x C ，这时称为规模报酬固定，改变生产规模不影响企业利润；③若η＜1，则()x C '＜()x C ，这时的生产规模是合算的，增加产量对企业有利.Example p.102）设需求函数()P f Q =，其中P为价格，求总收益对价格的弹性()P ε.解 总收益函数()()P f P Q P P R R ⋅=⋅==，故总收益对价格的弹性为()P ε()()()[]()()()()P f P f P P f P Pf P Pf P P R P R P '+='⋅='⋅=()()()P 1P f P f P 1η+='⋅+=，这里()P η为需求弹性. 【Note 】注意到总收益对价格的弹性（收益弹性[elasticity of revenue ]）为()()P 1P ηε+=，QP R ⋅=且需求弹性()P η＜0，所以有如下结论：①若商品的需求弹性()P η＜1-（即()P η＞1，此时称该商品富有价格弹性需求（price-elastic demand ），则收益对价格的弹性()P ε＜0，从而()P R '＜0，这时价格上涨，收益减少；价格下跌，收益增加.②若()1P -=η（即()1P =η，此时称该商品具有单位弹性需求（unit-elastic demand ），则收益对价格的弹性()0P =ε，从而()0P R ='，可以证明，此时收益取得最大值.③若()P η＞1-（即()P η＜1，此时称该商品缺乏价格弹性需求（price- inelastic demand ），则收益对价格的弹性()P ε＞0，从而()P R '＞，这时价格上涨，收益增加；价格下跌，收益减少.Example p.103）设某商品需求函数为()2P12P f Q -==.①求需求弹性函数；②求6P =时的需求弹性；③在6P =时，若价格上涨%1，总收益是增加还是减少？将变化百分之几？④P为何值时，总收益最大？文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.最大的总收益是多少？ 解 ①需求弹性函数为()()()24P P 2P 1221P P f P f P P -=--⋅='⋅=η. ②求6P =时的需求弹性为()3124666-=-=η.③因()316-=η＞1-，故在6P = 时，该商品缺乏价格弹性需求，价格上涨，收益将增加.由于收益弹性函数为()()P 1P ηε+=，故()()67.032311616≈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=ηε.所以当6P =时，价格上涨%1，总收益约增加%67.0.④总收益函数为()()2P P 122P 12P P f P P R 2-=⎪⎭⎫⎝⎛-=⋅=，()P12P R -='.令()0P R ='，则得唯一驻点12P =，()72212121212R 2=-⨯=.所以当12P =时总收益最大，最大总收益为72..欢迎下载支持.。
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第八节 变化率及相对变化率在经济中的应用——边际分析与弹性分析介绍一、 函数变化率——边际函数1．()x f 在()x x x ∆+00, 两点间的变化率=x y∆∆2．()x f 在0x点的变化率()00lim x f x y x '=∆∆=→∆3. ()x f '——边际函数4()()0111000x f dx x f dy y dx xx dx x x x x x '='=≈∆=====∆=注：x ∆很小时或x ∆ 与0x 相对比很小时此式才成立。
例 1 函数2x y =求在100=x 处的边际函数值，及它表示的具体含义 解：()20102='⇒='y x y 例2 设某产品成本函数()Q C C =（C 为总成本，Q 为产量）求边际成本。
注：①()Q C C '=' 边际成本 ②()0Q C ' 当产量为0Q 时的边际成本③经济学家的解释：当产量达到0Q时，生产0Q 前最后一个单位产品所增添的成本。
二、 成本1．总成本：指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入的价格或费用总额。
2．①总成本()()Q C C Q C C 21+==②平均成本()()()Q Q C Q C Q Q C Q C C 21+===③边际成本()Q C C '=' ④边际成本()()10C dt t C Q C Q +'=⎰3．几个关系例 1 设某商品的成本函数为()41002Q Q C C +==求①当10=Q 时的总成本，平均成本， 边际成本。
②当Q 为多少时，平均成本最小？三、 收益1．总收益：生产出售一定数量的产品所得到的全部收入。
2．①需求函数()QPP=②总收益()QRR=③平均收益()QRR=④边际收益()QRR'='3．几个关系需求函数①()==QRR()QPQ⋅②()QRR=()QP=③()QRR'='()()QPQPQ+'=④()()Q R dQ d Q R =' ⑤()()dt t R Q R Q ⎰'=0例 1 设某产品的价格与销售量的关系为510QP -=求当30=Q 时的总收益，平均收益，边际收益。
问题：如何理解()230-='R ？ 最大值()12525=R()8.12129=R ()12030=R()3028.11300R R x x '=-≈-=∆=∆=4．最大利润原则设总利润为L ，则()()()Q C Q R Q L L -== ① 最大利润的必要条件： =边际成本 ②最大利润的充分条件： ()()Q C Q R ''<''边际收益的变化率<边际成本的变化率例2 设某产品的需求函数为 510QP -=，成本函数为Q C 250+=求产量为多少时，总利润最大？并验证是否符合最大利润原则。
注：一般步骤（1） 总利润最大问题①列出利润函数()()()Q C Q R Q L -=②求出()0='Q L 的点0Q③验证0Q 为极大值点求出()Q L ''，()00<''Q L（2） 验证是否符合最大利润原则问题 ①求出()()Q R Q R ''',，()()Q C Q C ''',②验证()()00Q C Q R '=' ③验证()()00Q C Q R ''<''例3 设某工厂生产某种产品，固定成本20，000元，每生产一台产品，成本增加1000元，已知R 总收益是年产量Q 的函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-==400000,804000214002Q Q Q Q Q R R 求每年生产多少产品时，总利润最大？此时，总利润是多少？四、 函数的相对变化率——函数的弹性1．（两点间的弹性）()x f 在()x x x ∆+00,两点间的相对平均变化率()00,//00x x y y x x x ∆∆=∆+η2．（0x 点的弹性）()x f 在0x 点的相对变化率()()000000//lim0x f x x f x x y y x x x '=∆∆=→∆=η记作：(),,00x f Ex EEx Ey x x =即()()0000x f x x f Ex Eyx x '==注：弹性应该是正值，故要由()x f 的增减性决定弹性中的+、-号。
① ()x f()()0000x f x x f ExEyx x '==②()x f()()0000x f x x f ExEyx x '-==3. 弹性函数()()x f x x f ExEy '=弹性Ex Ey反映随x 的变化，()x f 变化幅度的大小，即()x f 对x 变化反映的强烈程度或灵敏度。
4．经济解释： ①()()0111000x f dxx f dyydx x x dx x x x x x '='=≈∆=====∆=自变量在点0x 增加一个单位时，函数改变了()0x f '个单位。
②()()%000%10x f x x f y y x x '≈∆=∆自变量在点0x 增加1%时，函数相对0y 改变了()()%000x f x x f '例1 求x y 23+=在3=x 处的弹性。
例 2 求xey 3100=的弹性函数ExEy及 2=x ExEy例 3 求为常数）a x y a(=的弹性函数。
五、 需求函数与供给函数 1．需求函数（1）需求：指在一定价格条件下，消费者愿意购买并有支付能力购买的商品量。
设P ——商品价格，Q ——需求量 （2）需求函数： ()P f Q = （3）常用一些简单函数拟合需求函数（减函数），建立经验曲线： 线性函数0,>-=b a aPb Q反比函数,0≠>=P k Pk Q 幂函数,0,≠>=P k a Pk Q a指数函数 0,>=-b a aeQ bP（4）边际需求：()P f Q '=' 例 若已知需求函数为4122PQ -=，求边际函数2．供给函数（1）供给：指在一定价格条件下，生产者愿意出售并有可供出售的商品量。
设P ——商品价格，Q ——供给量 （2）供给函数： ()P Q ϕ=（3）常用一些简单函数拟合供给函数，建立经验曲线：3．均衡价格均衡价格：是市场上需求量与供给量相等时的价格。
此时的需求量与供给量为，称为均衡商品量注：市场上的商品价格将围绕均衡价格摆动六、需求弹性与供给弹性（需求与供给对价格的弹性）定义 6 某商品需求函数()PfQ=在0PP=处可导。
则①该商品在()PPP∆+,两点间的需求弹性记作()00,//0P P Q Q P P P ∆∆-=∆+η②该商品在0P P =点的需求弹性记作 ()()()0000000//limP f P P f P P Q Q P P P P '-=∆∆==→∆=ηη注：弹性应该是正值，故要由()P f 的增减性决定弹性中的+、-号。
而需求函数()P f 为减函数，故取-号例1 已知某商品需求函数为PQ 1200=，求①从30=P 到50,32,25,20=P 各点间的需求弹性。
②30=P 时的需求弹性。
③解释其经济意义例2 已知某商品需求函数为PeQ 5-=，求①需求弹性函数。
②6,5,3===P P P 时的需求弹性。
2．定义7 某商品供给函数()P Q ϕ=在0P P =处可导。
则①该商品在()P P P ∆+00,两点间的供给弹性记作()00,//0P P Q Q P P P ∆∆=∆+ε②该商品在0P P =点的供给弹性记作()()()0000000//limP P P P P Q Q P P P P ϕϕεε'=∆∆==→∆=注：弹性应该是正值，故要由()P ϕ的增减性决定弹性中的+、-号。
而供给函数()P ϕ为增函数，故取+号七、 用需求弹性分析总收益（或市场销售总额）的变化 总收益=价格*销售量()P f P Q P R ⋅=⋅=()Q R R '='()()P f P f P +'=()()()()()η-=⋅'+=1]1[P f P f PP f P f①1<η 需求变动幅度<价格变动幅度②1>η 需求变动幅度>价格变动幅度③1=η 需求变动幅度=价格变动幅度（此时，0='R ，总收益取得最大值）1>即总收益的变化受需求弹性的制约，随商品需求弹性的变化而变化。
例3 设某商品需求函数为()212P P f Q -==，①求需求弹性函数②求6=P 时的需求弹性。
③在6=P 时，若价格上涨1%，总收益增加还是减少？将变化白分之几？④P 为何值时，总收益最大？最大的总收益是多少？注：由于总收益函数的增减性是不确定的，故总收益的弹性公式中+，-号是不确定的①由需求弹性η的值与1比较，只能得到总收益函数的大概情况，即只能知道是否总收益最大，或此时总收益是增加还是减少。
21 ②要想得到总收益具体变化的值，必须求总收益的弹性。
现由第①步的增减性，确定出总收益公式的+、-号，再计算 ()()P R PP R EP ER⋅'±=作业：课堂练习3——7： 1，2 习题3——7： 4, 7, 10, 13, 15。