数列的综合性问题题型与研究方法

数列的综合性问题题型与研究方法

综观近年来的高考试卷，数学综合问题是考查的重点和热点，重点考查利用数列的有关知识解决数列递推数列求通项公式和数学求和等数列问题。会应用等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式等知识，是解决此类综合应用问题的关键。

考点一、数列求和问题

高考中，数列求和问题常与函数、不等式、三角、几何等知识结合，重点考查分组求和、拆项相消、错位相减等求和方法，常以小题或大题的一问的形式出现，是难度中档的题目。

1.分组求和问题

若给出的数列不是特殊数列，但把数列的每一项分成两项，或把数列的项重新组合，使之转化为特殊数列，再利用特殊数列的前n 和公式求前n 项和。

2.拆项相消求和问题

若数列中的每一项都可分成两项的差，求和时中间的一些项正好相互抵消，于是将前n 项和转化为首尾若干项和，常用裂项消去法.常用的拆项公式有：

11n n a a -=1111()n n

d a a --（n a 是公差为d 的等差数列）， n a

n a =(1)!n n +=(1)!!n n +-，

n a =1(1)(2)n n n ++ =111[]2(1)(1)(2)

n n n n -+++， n a =(1)n n + =1[(1)(2)(1)(1)]3

n n n n n n ++--+，等等。 3.错位相减求和问题

对等比数列与等差数列对应项乘积构成的新数列的求和问题，常用错位相减法，即两边同乘以等比数列的公比，然后前后两个和式错位相减即合并同类相，化为等比数列求和问题，用等比数列求和公式求和，注意第一个和式的第一项与第二和式的最后一项相减时符号变化，求和时注意够成等比数列第一项与项数及不构成等比的几项，结果要化为最简形式。

考点二、递推数列问题

递推数列求通项问题，常与函数、方程、不等式、三角、几何等知识结合，重点考查利用第n 与前n 项和关系、构造等比等差数列、累积累差等求数列通项公式方法，考查将非特殊数列问题转化为特殊数列问题及利用等比等差数列通项公式解题能力和分析问题解决问题能力，常出现小题或大题的第一小题中，是有一定难度的题目。

1. 利用n a =1112n

n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩解题 对已知数列的前n 项和，求通向公式问题，常用公式n a =11

12n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩直接求出通项公式；对给出数列n 项和与若干项的关系求通项公式问题，若利用上

述公式易转化转化为关于n a 的递推公式，则先求出n a 的递推公式，再通过构造

数列或累积或累差求出通项公式；若利用上述公式易转化为关于n S 的递推公式，

则先求出n S 的递推公式，再求出n S 的通项公式，再用上述公式，直接求出n a 的通项公式.再利用上述公式求通项公式时，注意要分n =1和n ≠1分别求解，验证n =1时是否适合n ≠1的解析式，若不适合则写成分段函数形式，若适合则用一个式子表示。

2.构造等差数列或等比数列求数列通项公式

对所给的数列条件通过取倒数、两边同除以某个式子、重新组合等变形方法，化为(1)f n +—()f n =d (d 为常数)（(1)f n +/()f n =q （q 为常数））的形式，常构造等差（等比）数列n b =()f n ，先利用等差（等比）数列通项公式求出n b 的通项公式，再利用n a 与()f n 的关系，求出n a 的通项公式，注意结合结论寻找条件

变形方向。

3.利用累加累乘求通项公式

若将数列所给条件通过变形化为1n a +—n a =()g n 形式，常用通过累加消去你中间项求出n a 的通项公式；若将数列所给条件通过适当变形可化为

1n a +/n a =()g n 形式，常通过累积消去中间项求出n a 的通项公式。

考点三、数列与不等式、函数等综合应用

数列综合问题，常以数列知识为载体，与函数、不等式证明、比较大小、数学归纳法、实际问题、解析几何、三角等知识综合，考查运用数列定义、性质、公式和相关数学知识及数学建模解决实际问题和数学问题的能力，考查形式灵活多样，是高考考查的重点和难点，常为难题或高考压轴题。

对数列与其他知识的综合问题，首先，要认真审题，能清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各有什么问题；其次，要把大问题分解成若干个小问题或若干步，每个小问题或每步分别是数列问题、函数问题、不等式问题等；再次，对个小问题或每步运用相关知识和方法求解，是整个问题得到解决.再解决数列综合问题时，要善于运用函数与方程的数学思想处理数列问题；要善于运用转化与化归思想，将实际问题或非分等比等差问题转化为等比等差问题处理；要善于运用猜想与归纳这一利器。