什么是无理数
什么叫无理数
3
3 , 0 0, 3 3
想一想：
（1）a是一个实数，它的相反数 为______,绝对值为______.
(2)如果a 0,那么它的倒数 为______.(0没有倒数）
我们都知道有理数可 以用数轴上的点来表示， 那么无理数能不能用数轴 上的点来表示呢？
结论：
每一个实数都可以用数轴上的点 表示；反过来，数轴上的点都表示 一个实数。即实数与数轴上的点一 一对应。
概念形成过程的教学的实例
通过以上三个不同层次，层层深入，使学生
逐渐认识根号2的本质——无限不循环. 这时
引入无理数的概念已“水到渠成”. 思维过程：观察与比较、判断与推理、用已有 的知识解决新的问题
复习提问:
什么叫无理数? 什么叫有理数? 举例说明。
• 有理数总可以用有限小数或无限循环小数 表示。 • 反之‘任何有限小数或无限循环小数也都 是有理数。 • 无限不循环小数叫做无理数。
可见，根号2大于1.41而小于1.42.
概念形成过程的教学的实例
生4：我用计算器算得
2 1.414213562
师：用计算器直接算根号2，好！那1.414213562
是2的算术平方根吗？ 生5：因为1.4142135622 = 1.999999999 , 这说明 1.414213562不是2的算术平方根. 生（怀疑）：难道计算器算错了？
第三层次：教师主导——认识根号2的无限
不循环性. 师：既然是近似值,你能算出562后面是几吗?
法1：设
2 1.414213562 r ,
r 2 1.414213562
用计算器计算得， r 3.73095 10 10 所以
2 1.414213562373095
2.6(1)实数A
定 义：
有理数和无理数统称为实数 有理数和无理数统称为实数
即实数可以分为有理数和无理数
有理数 实数 无理数
无理数和有理数一样， 有正负之分。 无理数和有理数一样，也有正负之分。 和有理数一样 如： 3 是 正 的，−π 是 负 的。
【正数】 正数】 大于 0 的实数。 包括所有的正有理数和正无理数。 包括所有的正有理数和正无理数。 【 负数】 小于 0 的实数。 包括所有的负有理数和负无理数。 包括所有的负有理数和负无理数。
无理数是无限不循环小数. 无理数是无限不循环小数. 带根号的数不一定是无理数. 带根号的数不一定是无理数.
把下列各数分别填入相应的集合内： 把下列各数分别填入相应的集合内： 1 5 20 3 2 , 4 , 7 , π ,− , 2 , 3 , − 5 , − 3 8 , 2
4 , 9
0,
0 .3737737773 ⋅ ⋅ ⋅
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。 反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。即实 数和数轴上的点是一一对应的。 数和数轴上的点是一一对应的。
实数 a
-2
-1
Ａ
0
1
2
课堂练习
1．判断下列说法是否正确： ．判断下列说法是否正确： （1）无限小数都是无理数； ）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； ）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数。 ）带根号的数都是无理数。 2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值： 求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
议一议
1.你能把下列各数分别填入相应的集合内吗 你能把下列各数分别填入相应的集合内吗? 你能把下列各数分别填入相应的集合内吗 1 5 20 3 2 , 4 , 7 , π ,− , 2 , 3 , − 5 , − 3 8 , 2
有理数和无理数有什么区别
有理数和无理数有什么区别？
有理数和无理数有什么区别？
负数的出现，导致了减法运算，无理数的出现，导致了开方运算．引入了无理数，数的范围就由有理数扩展到了实数．对于实数的研究，必须先搞清有理数和无理数有什么区别．
主要区别有两点：
第一，把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环
环小数．
第二，所有的有理数都可以写成两个整数之比，而无理数却不能写成两个整数之比．根据这一点，有人建议给无理数摘掉“无理”的帽子，把有理数改叫“比数”，把无理数改叫“非比数”．本来嘛，无理数并不是不讲道理，只是人们最初对它太不理解罢了．
现在来看当a2是偶数时，a是偶数还是奇数．
假设a是奇数，即a=2m+1(m是自然数)，则有
a2=(2m+1)2=4m2+4m+1
因为等式右边必为奇数，而a2是偶数，所以等式不可能成立．故a 必为偶数．
设a=2m，代入a2=2b2时得到b2=2m2，故b2为偶数，因此b也是偶数。
既然a，。
七年级数学上册 2.2 有理数与无理数 什么是有理数？有理数分哪几类？素材 苏科版(2021年整理)
七年级数学上册2.2 有理数与无理数什么是有理数？有理数分哪几类？素材（新版）苏科版
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什么是有理数?有理数分哪几类？
难易度:★★★★
关键词:有理数分类
答案:
正整数、0、负整数统称为整数;正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。
分类如下：
有理数或有理数
【举一反三】
典例:把下列各数分别填入相应的括号里：
5，,-0.3，28，，+8，—19，3。
7，，0,—102，
正整数集合;负分数集合；
正有理数集合;整数集合
思路导引：正整数和正分数都是正有理数,正分数的前面添上“-”号就是负分数，因小数和分数可以互化,因此小数也叫分数；正整数的前面添上“—”号就是负整数;0既不是正数也不是负数。
标准答案：
正整数集合5,28，+8 ；
负分数集合-0.3，;
正有理数集合5，28，+8，3。
7, ；
整数集合5， 28，，+8，-19， 0,-102,。
初中数学 有理数和无理数有什么区别
初中数学有理数和无理数有什么区别
有理数和无理数是数学中两个重要的数集，它们之间有着明确的区别。
下面我将详细介绍有理数和无理数的定义、性质和区别。
1. 有理数：
有理数是可以表示为两个整数的比的数，其中分子和分母都是整数，且分母不为零。
有理数包括整数、有限小数和无限循环小数。
例如，1、2/3、-5、0.25和3.1416（无限循环小数）都是有理数。
性质：
-有理数的加法、减法、乘法和除法都是封闭的，即两个有理数之间进行运算仍然得到一个有理数。
-有理数可以用分数形式表示，且可以化简为最简分数。
-有理数可以进行精确计算，因为有理数的小数表示形式要么是有限的，要么是循环的。
2. 无理数：
无理数是不能表示为两个整数的比的数，或者说它们的小数部分是无限不循环的。
无理数包括根号2、π（圆周率）和e（自然对数的底数）等。
性质：
-无理数无法用分数形式表示，且不能被化简为有限小数或循环小数。
-无理数的小数表示是无限不循环的，没有重复的模式。
-无理数不能进行精确计算，因为它们的小数表示是无限的、不重复的。
区别：
-有理数可以表示为两个整数的比，而无理数不能。
-有理数的小数表示要么是有限的，要么是循环的，而无理数的小数表示是无限不循环的。
-有理数的运算是精确的，而无理数的运算只能进行近似计算。
在数学中，有理数和无理数都有重要的应用。
有理数广泛应用于计算、运算和实际问题的解决中，而无理数则在几何、物理和工程等领域中起着重要的作用。
希望以上内容能够帮助你深入理解有理数和无理数的定义、性质和区别。
根3是无理数的证明
根3是无理数的证明今天咱们来一起看看为什么根3是无理数呢？这就像一场有趣的数学冒险哦。
咱们先来说说什么是有理数。
有理数呀，就像是我们能很容易找到规律的数。
比如说，1呀，2呀，还有像1/2这样的分数。
你看，1就是1个，2就是2个，1/2呢，就是把1个东西平均分成2份，每份就是1/2，这些数我们都能很清楚地知道它们是多少。
那无理数呢？无理数就像是一群调皮的小怪兽，藏在数字的世界里。
根3就是其中一个。
咱们来假设根3是有理数。
那按照有理数的定义，它就可以写成一个分数的样子，就像a/b（这里的a和b都是整数，而且b不能是0哦）。
而且呢，我们可以让这个分数是最简分数，就是说a和b没有除了1以外的共同的约数，就像3/4这样，3和4除了1就没有别的数能同时整除它们了。
那如果根3 = a/b，那把两边都平方一下，就得到3 = a²/b²，然后再变一变，就成了a² = 3b²。
这时候，咱们来想个例子哦。
假如a是个整数，那a²就是a乘以a。
比如说a = 5的时候，a² = 5×5 = 25。
那a² = 3b²这个式子呢，就说明a²是3的倍数。
那什么样的整数的平方是3的倍数呢？咱们可以试试一些数。
像1的平方是1，不是3的倍数；2的平方是4，也不是3的倍数；3的平方是9，这就是3的倍数啦。
其实呀，只有a本身是3的倍数的时候，a²才会是3的倍数。
那咱们就可以说a = 3k（k也是个整数）。
把a = 3k代入到a² = 3b²里，就变成了(3k)² = 3b²，算一算就是9k² = 3b²，再变一变就是b² = 3k²。
这就和前面说a²的情况一样啦，这就说明b也是3的倍数。
可是呢，我们最开始说a/b是最简分数呀，现在a和b都是3的倍数，这就矛盾啦，就像我们说好了一件事，结果发现这件事根本做不到一样。
认识无理数ppt课件
正整数：如：1，2，3，… 零：0 负整数：如-1，-2，-3，…
正分数：如 负分数如
1 1 , ,5.2, … 2 3 ， ，-3.5,…
1 5 56
;
回顾 & 思考
☞
l 有理数：整数和分数统称为有理数。
l 分数与有限小数和无限循环小数可以互化 所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数
分数
有限小数 无限循环小数
解 :因 为 AB 是 C正三 ,且 A角 D B形 C A
所B 以 D D,则 C B D A B
由勾股定 :h理 得
h
h不可能是整数； h也不可能是分数。
B
D
C
20
;
生活中真的有很多不是有理数的数吗？
1:右图是由16个边长为1的小 正方形拼成的，任意连接这些小 正方形的若干个顶点，可得到一 些线段。试分别找出两条长度是 有理数的线段和两条长度不是有 理数的线段。
24
;
无理数：无限不循环小数
25
;
课堂小结 1．在生活中确实存在既不是整数也不是分数的数，即：不是有理数的数。
2．无理数在现实生活中是大量存在的。
3．学完本节后你有什么感受？
26
;
17
;
a
a既不是整数又不是分数，所以a一定不是 。
有理数
18
;
巧妙的组合
（1）图4-2中，以直角三角形的斜边为 边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么 样条件？ （3）b是有理数吗？
b2=5
19
S=5
S ?
2b 1
图4-2 ;
随堂练习
1.如图，正三角形的边长为2，高为h，h可能是整 数吗？可能是分数吗？
无理数的由来
无理数的由来无理数的由来公元前500年古希腊毕达哥拉斯Pythagoras学派的弟子希勃索斯Hippasus发现了一个惊人的事实一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的若正方形边长是1则对角线的长不是一个有理数这一不可公度性与毕氏学派“万物皆为数”指有理数的哲理大相径庭。
这一发现使该学派领导人惶恐、恼怒认为这将动摇他们在学术界的统治地位。
希勃索斯因此被囚禁受到百般折磨最后竞遭到沉舟身亡的惩处。
不可通约的本质是什么长期以来众说纷坛得不到正确的解释两个不可通约的比值也一直被认为是不可理喻的数。
15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”17世纪德国天文学家开普勒称之为“不可名状”的数。
然而真理毕竟是淹没不了的毕氏学派抹杀真理才是“无理”。
人们为了纪念希勃索斯这位为真理而献身的可敬学者就把不可通约的量取名为“无理数”——这便是“无理数”的由来数学不是“数”学——话说无理数黄力民“数学是一门研究数量关系和空间形式的科学”的说法在中国曾经十分流行这可能与恩格斯著作的长期影响有关。
对于数学今天人们更加认同于如下的说法“数学是一个完全自成体系的知识领域…数学仅仅讨论它本身想象中的实体及关系”《科学技术百科全书》麦格劳-希尔图书公司第1卷数学科学出版社1980235-236页“到1900年数学已经从实在性中分裂出来了它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了” 克莱因《古今数学思想》第4册上海科学技术出版社1979111页。
照此说法数学就不是“数”学了。
然而数学与生俱来的强大应用性并不因为“数学已经从实在性中分裂出来了”而有稍微的减弱。
既是抽象的又有实在的一面人们逐渐形成了对数学的主流看法——数学的现状“一方面是其内在的统一性另一方面是外界应用的更高的自觉性”数学的两种趋势是“从外部寻求新问题和在内部追求统一”美国国家研究委员会《振兴美国数学——90年代的计划》叶其孝等译世界图书出版公司1993而不再局限于给数学下一个定义。
无理数是什么意思
无理数是什么意思
无理数，也就是非有理数之实数，无理数的另一个名字叫作无限不循环小数，是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数。
要成为无理数必须同时满足以下两个条件：1、无限2、不循环。
比如说圆周率、根号2等，这些数都不是有限小数，也不是无限循环小数，所以说它们都不是有理数，它们被叫作无限不循环小数。
而且无理数也不都是带根号的数，比如说π就属于无理数。
反之，带根号的数也不一定都是无理数。
无理数是有理数领域扩充到实数域的一个重要内容。
它贯穿于我们中学乃至于大学数学的始终，对我们数学的学习起着至关重要的作用，只有我们好好的学习好无理数，才能学好数学。
而无理数的学习，需要我们好好的掌握无理数的定义。
无理数，最初来源于两直角边为1的三角形的斜边长，而在这两种无理数的定义中完全看不到几何的影子，所以刚开始接触无理数的时候，大家都觉得抽象而复杂。
无理数有两个特征。
其一：如果将无理数写成小数的形式，小数点之后的数字会有无限多个，而且不会循环。
常见的无理数有三种形式，分别是：非完全平方数的平方根、π和e。
π和e为超越数。
其二：无理数的另一特征是无限的
连分数表达式。
为什么圆周率被称为无理数
为什么圆周率被称为无理数在数学的广袤世界中，圆周率是一个极其重要的常数，它通常用希腊字母π来表示。
圆周率的值约为31415926535这个数字无限不循环，也正因如此，圆周率被定义为无理数。
那什么是无理数呢？简单来说，无理数是指不能表示为两个整数之比的数。
而圆周率之所以被认定为无理数，是因为它的小数部分没有重复的模式，也不会终止。
为了更深入地理解为什么圆周率是无理数，我们先来看一下有理数的特点。
有理数可以表示为分数形式，比如 1/2、3/4 等等。
有理数的小数表示要么是有限小数，比如 025 ；要么是无限循环小数，比如 1/3 表示为 0333然而，当我们计算圆周率时，无论计算到多么精确的程度，都无法找到其小数部分的重复规律。
从古代的数学家通过测量圆的周长和直径的比例来近似计算圆周率，到现代利用超级计算机进行极其复杂的计算，都表明圆周率的小数位是无穷无尽且不循环的。
也许您会想，会不会是因为我们还没有计算到足够多的位数，所以还没发现它的规律呢？但从数学的理论和证明来看，圆周率确实是没有规律可循的。
历史上，有许多数学家致力于研究圆周率的性质和证明它是无理数。
其中，古希腊数学家阿基米德通过圆的内接和外切正多边形来逼近圆周率的值。
我国古代数学家刘徽也提出了“割圆术”，通过不断将圆分割成更小的多边形来计算圆周率。
到了近代，数学证明的方法更加严谨和复杂。
1761 年，瑞士数学家约翰·海因里希·兰伯特证明了圆周率是无理数。
他的证明基于三角函数的性质和一些复杂的数学推理。
圆周率的无理数性质在数学和科学的许多领域都有着重要的应用。
在几何中，它用于计算圆的周长、面积和球的体积等。
在物理学中，圆周率也经常出现在各种公式和计算中。
假设圆周率不是无理数，而是有理数，那么很多基于圆周率的数学和科学理论都将需要重新构建。
例如，在计算圆的周长时，如果圆周率是一个有限或循环的小数，那么圆的周长就会具有一些特殊的限制，这与我们观察到的现实世界中的圆形物体的性质是不相符的。
初中数学 实数的有理数集和无理数集的并集是什么
初中数学实数的有理数集和无理数集的并集是什么实数是数学中一个广泛的概念，包括了整数、有理数和无理数三部分。
在初中数学中，学生通常会学习有理数和无理数的概念以及它们之间的关系。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。
有理数集用符号Q表示。
无理数是不能表示为两个整数之比的数，它们在十进制表示中没有重复循环的部分。
无理数集用符号R-Q表示，表示除了有理数集之外的实数。
有理数集Q和无理数集R-Q的并集是实数集R，即Q∪(R-Q)=R。
这是因为实数集包含了有理数和无理数两个部分。
有理数可以用分数形式表示，而无理数无法准确地表示为分数形式。
实数集R具有以下性质：1. 实数的加法和乘法封闭性：任意两个实数的和、差、积仍然是实数。
2. 实数的加法和乘法满足交换律和结合律：对于任意实数a、b和c，有a+b=b+a 和(a+b)+c=a+(b+c)，a*b=b*a 和(a*b)*c=a*(b*c)。
3. 实数的加法具有零元素：对于任意实数a，存在零元素0，使得a+0=a。
4. 实数的加法具有逆元素：对于任意实数a，存在逆元素-a，使得a+(-a)=0。
5. 实数的乘法具有单位元素：对于任意实数a，存在单位元素1，使得a*1=a。
6. 实数的乘法具有逆元素：对于任意非零实数a，存在逆元素1/a，使得a*(1/a)=1。
实数集R包括了有理数集Q和无理数集R-Q。
有理数集Q可以通过分数形式表示，包括整数和分数。
无理数集R-Q包括了无限不循环的十进制小数，如π（圆周率）和√2（2的平方根）。
这些数无法准确地表示为分数形式，因为它们的小数部分没有重复循环的模式。
通过学习实数、有理数和无理数，初中数学学生可以理解数的分类和数的运算规律，培养数学推理能力和解决实际问题的能力。
实数集R是数学中一个重要的概念，它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
无理数的集合符号
无理数的集合符号
你们知道什么是无理数吗？就像咱们生活中的一些东西，是没办法用一个很整齐的分数或者整数表示出来的。
比如说，圆周率π。
你们都见过圆吧，像咱们的盘子、车轮都是圆的。
要是想知道这个圆的周长和直径之间的关系呀，就会用到π。
这个π呢，它的值大概是3.1415926……后面还有好多好多数，而且这些数是没有规律的，永远也写不完。
像这样的数就是无理数啦。
那无理数这么特别，数学家们就想把它们都放在一起，就像把小玩具都放在一个小盒子里一样。
这个专门放无理数的“小盒子”就有个特殊的名字，它的集合符号是一个大写的字母I（有的地方也用其他的表示方法哦，但咱们先了解这个常见的）。
我给你们讲个小故事吧。
有一个数字王国，里面住着各种各样的数字。
整数们住在一排排整齐的小房子里，像1号房子住着1，2号房子住着2，特别整齐。
分数呢，也有自己的小天地，比如说1/2就住在分数区的一个小房子里。
可是呀，无理数们就没有家了，它们到处乱跑。
这可不行呀，于是数学家们就给无理数们盖了一个特别的小区，这个小区门口就写着大大的I，代表这里是无理数的家。
再比如说，根号2也是无理数。
假如你画一个边长是1的小正方形，那这个正方形的对角线的长度就是根号2。
这个根号2也是个很奇怪的数，它也像π一样，小数点后面的数没个完，也没有规律。
它也住在这个标着I的无理数小区里。
虽然无理数有点难懂，但是只要我们想象它们像一群特别的小居民住在自己的小家里，那个家就用集合符号I标记着，是不是就觉得很有趣呢？数学就像一个充满魔法的世界，里面有好多这样有趣的东西等着我们去发现呢。
数学r表示什么数集
数学r表示什么数集
在数学课本中，R：实数集合(包括有理数和无理数）；
还有Q是有理数集，RQ表示有理数集在实数集中的余集。
无理数就是无限不循环小数，不能写成两个整数之比的实数，所有的小数和整数都是实数。
集合是一个无序的不重复元素序列。
在我们高中数学课本中，集合对我们来说是一种很实用的语言。
集合的有关知识与别的数学内容有着非常重要的联系，所以认真学习、熟练掌握和使用数学集合，对整个高中学习起着最基础的作用。
集合是数学课本中的一个概念，简单来讲就是指一大堆数在一起就形成了集合。
集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素，数集就是数的集合。
Z：整数集合{…,-1,0,1,…}；N表示非负整数集；Q表示有理数集。
所有实数的集合则可称为实数系或实数连续统。
任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。
有理数集，即由所有有理数所组成的集合，数学中是用英文字母Q来表示。
有理数集指的是实数集的子集。
无理数只能写成无限不循环小数，比如√2等于1.4142…，而π等于
3.1415926…，所以根据这个特征，人们就习惯把无理数当作是无限不循环小数。
有理数可以有不同的分类：有理数分为正数、负数和零三类，零是正数与负数的分界线，大于零的是正数，小于零的是负数。
根据实数知识点总结,解释什么是实数的范围。
根据实数知识点总结，解释什么是实数的
范围。
根据实数知识点总结，解释什么是实数的范围
实数是数学中一个重要的数集，包括了所有的有理数和无理数。
实数范围涵盖了从负无穷到正无穷的所有实数。
实数集包含了有理数和无理数两部分。
有理数是可以表示为两个整数之比的数，它们可以用分数或小
数表示。
有理数范围包括整数、小数和分数。
整数是没有小数部分
的有理数，可以是正整数、负整数或零。
小数是有有限或无限循环
小数部分的有理数，例如1.5、-0.25。
分数是两个整数的比值，例
如1/2、-3/4。
有理数形成了实数集的一个子集。
无理数是不能表示为两个整数之比的数，它们的小数部分是无
限不循环的。
无理数范围包括无限不循环小数，如π（圆周率）和
√2（开根号2）。
无理数在数轴上有无限不重复的数字，它们不属
于有理数集。
因此，实数的范围包括了所有的有理数和无理数。
从负无穷到正无穷，实数集包含了整数、小数、分数以及无限不循环小数。
实数集是数学中最常用的数集之一，广泛应用于各个领域中。
希望这份解释能帮助您理解实数的范围。
如果您有任何进一步的问题，请随时向我提问。
证明根号三是无理数反证法
证明根号三是无理数反证法今天咱们来玩一个超级有趣的数学小探险，要去证明根号三是无理数哦。
那什么是无理数呢？简单说呀，就是那些不能写成两个整数相除的数。
那咱们就用反证法来试试。
反证法就像咱们在玩一个假设的游戏。
我们先假设根号三是有理数。
有理数能写成两个整数的比，就像a除以b（a和b都是整数，而且b 不能是0哦）。
那咱们就假设根号三等于a / b，而且呢，这个a和b啊，要已经是最简的形式了，就是说它们除了1以外，没有别的共同的约数了。
那要是根号三等于a / b，咱们把两边都平方一下，就得到3等于a² / b²，再变一变就是a² = 3b²。
这时候呀，咱们来想想这个a²的事儿。
比如说a要是1的话，1的平方是1，可1不是3的倍数。
要是a是2呢，2的平方是4，也不是3的倍数。
那a要是3呢，3的平方是9，这个9就是3的倍数啦。
从a² = 3b²可以看出来，a²肯定是3的倍数。
那a就肯定也是3的倍数啦。
那咱们就可以把a写成3k（k是一个整数）。
把a = 3k代入a² = 3b²里，就得到(3k)² = 3b²，也就是9k² = 3b²，再变一变就是b² = 3k²。
这时候咱们又发现，b²是3的倍数，那b肯定也是3的倍数呀。
可是咱们前面假设a和b是最简的形式，没有除了1以外的共同约数，现在又发现a和b都有3这个约数，这就矛盾啦，就像咱们自己说的话前后打架了一样。
就好比咱们说小明是最矮的那个，又说小红比小明还矮，这就是矛盾的。
所以呀，咱们最开始假设根号三是有理数是错的，那根号三就只能是无理数啦。
数学就像一个大迷宫，有时候我们假设一条路是对的，走走发现矛盾了，那就说明这条路不对，得换个方向，这样就能找到正确的答案啦。
人教版七年级下册数学：实数小结(一)
知识梳理、构建体系
对a的算术平方根、平方根、立方根概念的辨析
算术平方根
平方根
立方根
表示方法
a
a 的取值 a ≥ 0
a
a≥ 0
3a a 是任何数
性 正数 正数（一个）互为相反数（两个） 正数（一个）
0
质 负数
0 没有
0 没有
0 负数（一个）
本身问题
知识梳理、构建体系
a2 a =
几
个
a 2 a
问题1: (±2)2=_____，23=_____；
x2＝4，则x＝_____； x3＝8，则x＝_____.
1.解答中用到了什么运算？乘方运算与开 方运算有什么关系？
2.什么叫平方根？什么叫算术平方根？ 3.什么叫立方根？
知识梳理、构建体系
知识梳理、构建体系
问题2: x2＝2，则x＝_____.
带带省略号但不循环的小数有限小数或无限循环小数知识梳理构建体系对对a的算术平方根平方根立方根概念的辨析算术平方根平方根立方根本身问题表示方法a的取值性性质质a?3aa0a是任何数a0a正数0负数正数一个0没没有互为相反数两个0没没有正数一个0负数一个知识梳理构建体系2a??2a33a??33aa??0?a0??0?aa?0?aa?a?a?a???0?a??为任何数a??为任何数a几个公式知识梳理构建体系尤其这几个公式中字母的取值范围尤其这几个公式中字母的取值范围例例2
人教版七年级数学（下） 《实数小结（一）》
教学目标：
1.通过回顾平方根、算术平方根、立方根、实数 及有关概念，梳理本章概念，强化概念之间的联 系．
2.巩固开平方和开立方运算．
教学重、难点：
重点:平方根、立方根的求法，实数的有关概念 和运算，构建本章知识结构．
无理数的由来拓展部分
证 法
李子现在还那么多，
与事实矛盾
肯定不好吃！
假设错误，原结论正确
（二）学习新知
问题3:如何证明 2 是一个无理数？
（二）学习新知
问题4:怎么在数轴上找出表示 2 的点？
（三）反思提升
问题5:证明：在同一平面内，过一点，有且只有一条 直线与已知直线垂直。
（四）课堂小结
通过这节课的学习，你学到了什么本领？ 你觉得希伯斯是一个什么样的人？
（一）复习引入
问题1: 谁能说说什么是实数？
问题2:你能举出几个实数的例子吗？ 什么是有理数？
整数
分数
有理数
宇宙间一切事物的度 量都可用整数或整数 的比来表示。
毕达哥拉斯定理
勾股定理
5 3
4 勾股形
1
毕达哥拉斯定理
ac b
a2 + b2 = c2
？
不是有理数
1
（二）学习新知
问题3:如何证明 2 是一个无理数？
（五）作业
（1）梳理无理数的性质
（2）探究：
， 的值是多少？
（二）学习新知
《路边苦李》
古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，
看见一颗李子树上的果实多得把树枝都快牙断了，小伙伴们都跑
去摘，只有王戎没动。他说：“李子不好吃，我不吃”。小伙伴
摘来一尝，李子果然苦地没法吃。小伙伴们问王戎：“你没吃怎
么知道李子不好吃就没了！ 假设得到的结论
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无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
无理数是指除有理数以外的实数，当中的“理”字来自于拉丁语的rationalis，意思是“理解”，实际是拉丁文对于logos“说明”的翻译，是指无
法用两个整数的比来说明一个无理数。
无理数的定义：在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。
当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。
无理数是在实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如π、√2等。
1.性质不同
有理数是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
2.范围不同
有理数集是整数集的扩张。
在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数。
3.结构不同
有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。