公开课抛物线中的三角形面积
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直角梯形减去直角三角形的面积
面积公式 “割补法”
x
△ABC
△ABD △BCD
求这些三角形的面积
△ACD
基础热身
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
y
C (0,3)
Ao Bx
(-1,0)
(3,0)
△ABC
1 SABC 2 AB CO
SABC
1 2
43
6
基础热身
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3 x
y D (1,4)
EC
(O,3)
S S -S -S △BCD= 梯形BOED △BOC △DEC
o Bx
(3,0)
△BCD
89 1 3 22
基础热身
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
(1y,4) D y=2x＋2
(O,3C)
线y 2x交于3A、B两点，点C是
抛物线的顶点.
(1)求△CAB的面积;
(0,3) B
P
o
x
(2)点P在直线AB上方且是抛物线上的 一个动点,若P的横坐标为m, △PAB的 面积为s，求s关于m的函数关系式.并 求当m为何值时， S最大.
课后思考：
(3)若把第2小题的P改为抛物线上的一个动点， 那么当S为何值时,P点有且只有2个.
E(0,2)
Ao
x
(-1,0)
△ACD
S△ACD=S △ACE+ S △DCE
1 1 11 1
2
归纳
y
yD
yD
yD
C
C
C
Ao Bx Ao B x
o B x Ao
x
先计算三角形各顶点的坐标 点的坐标—线段的长度 再计算面积
直接利用面积公式 割补法
备战中考
y
C (1,4)
如图：抛物线 y x2 与2x直 3
A
(4,-5)
“割补法”
拓展
如图，抛物线 y x2 与3xx轴4
交于A(1,0),B(- 4，0)两点，
My
与y轴交于C点（0，4）.直线
与此抛y 物线x 在第二象限交于点
D，平行于y轴的直线
D
与抛x 物m线交(于1点5M，m与 0直) 线
C（0，4）
交于点N，连接BM、CyM 、x
NC、NB，是否存在 的值，
BO
SBNCM
MN
1 2
S BNCM
1 BO 2
4 (m2 2m
MN
4)
2(m 1)2 10
B
(- 百度文库，0)
N A
O (1,0) x
y x2 3x 4
m 1, SBNCM 10
小结
三角形面积
推 广
四边形面积
．．．．．．
面积公式
底与高乘积的一半
水平宽与铅垂高乘积的一半
“割补法”
抛物线中三角形的面积
浬浦镇中 陈佳雨
知识准备
（0，4）
（3，4） D
（2,4）
（-1,0）O
（2,0）
OD
（0,2） （4,0） （0,1）
S= 6
S= 8
S=1
（-2,6） D
（2,5）
（-2,3）
直接利用面积计 算公式：
S= 1 底×高
2
S= 6
（2,7)
D （1,3) （5,3)
O
S= 8
知识准备
D
D
F
S△ABC=S直角梯形—S直角三角形
割补法
h1 D
h2
S△ABC=S △ACD+S △BCD
h1 D h2
基础热身
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
yD
C
Ao
Bx
y
yD
yD
yD
C
C
C
Ao Bx Ao B x
o B x Ao
B
使四边形BNCMm 的面积S最大？ (- 4，0)
N
A (1,0)
O
x
若存在，请求出 的值，若不 存在，请说明m理由．
x=m
解： 由题得
M (m, m2 3m 4) N (m, m)
xm
M
y
MN (m2 3m 4) (m)
m2 2m 4
D
（C 0，4）
B(4, 0) BO 4
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
y D (1,4)
SABC
1 2
AB DD
(-1,0)
A
(3,0)
o D/ B x
1
△ABD
SABC
44 2
8
基础热身
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
面积公式 “割补法”
x
△ABC
△ABD △BCD
求这些三角形的面积
△ACD
基础热身
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
y
C (0,3)
Ao Bx
(-1,0)
(3,0)
△ABC
1 SABC 2 AB CO
SABC
1 2
43
6
基础热身
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3 x
y D (1,4)
EC
(O,3)
S S -S -S △BCD= 梯形BOED △BOC △DEC
o Bx
(3,0)
△BCD
89 1 3 22
基础热身
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
(1y,4) D y=2x＋2
(O,3C)
线y 2x交于3A、B两点，点C是
抛物线的顶点.
(1)求△CAB的面积;
(0,3) B
P
o
x
(2)点P在直线AB上方且是抛物线上的 一个动点,若P的横坐标为m, △PAB的 面积为s，求s关于m的函数关系式.并 求当m为何值时， S最大.
课后思考：
(3)若把第2小题的P改为抛物线上的一个动点， 那么当S为何值时,P点有且只有2个.
E(0,2)
Ao
x
(-1,0)
△ACD
S△ACD=S △ACE+ S △DCE
1 1 11 1
2
归纳
y
yD
yD
yD
C
C
C
Ao Bx Ao B x
o B x Ao
x
先计算三角形各顶点的坐标 点的坐标—线段的长度 再计算面积
直接利用面积公式 割补法
备战中考
y
C (1,4)
如图：抛物线 y x2 与2x直 3
A
(4,-5)
“割补法”
拓展
如图，抛物线 y x2 与3xx轴4
交于A(1,0),B(- 4，0)两点，
My
与y轴交于C点（0，4）.直线
与此抛y 物线x 在第二象限交于点
D，平行于y轴的直线
D
与抛x 物m线交(于1点5M，m与 0直) 线
C（0，4）
交于点N，连接BM、CyM 、x
NC、NB，是否存在 的值，
BO
SBNCM
MN
1 2
S BNCM
1 BO 2
4 (m2 2m
MN
4)
2(m 1)2 10
B
(- 百度文库，0)
N A
O (1,0) x
y x2 3x 4
m 1, SBNCM 10
小结
三角形面积
推 广
四边形面积
．．．．．．
面积公式
底与高乘积的一半
水平宽与铅垂高乘积的一半
“割补法”
抛物线中三角形的面积
浬浦镇中 陈佳雨
知识准备
（0，4）
（3，4） D
（2,4）
（-1,0）O
（2,0）
OD
（0,2） （4,0） （0,1）
S= 6
S= 8
S=1
（-2,6） D
（2,5）
（-2,3）
直接利用面积计 算公式：
S= 1 底×高
2
S= 6
（2,7)
D （1,3) （5,3)
O
S= 8
知识准备
D
D
F
S△ABC=S直角梯形—S直角三角形
割补法
h1 D
h2
S△ABC=S △ACD+S △BCD
h1 D h2
基础热身
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
yD
C
Ao
Bx
y
yD
yD
yD
C
C
C
Ao Bx Ao B x
o B x Ao
B
使四边形BNCMm 的面积S最大？ (- 4，0)
N
A (1,0)
O
x
若存在，请求出 的值，若不 存在，请说明m理由．
x=m
解： 由题得
M (m, m2 3m 4) N (m, m)
xm
M
y
MN (m2 3m 4) (m)
m2 2m 4
D
（C 0，4）
B(4, 0) BO 4
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.
y D (1,4)
SABC
1 2
AB DD
(-1,0)
A
(3,0)
o D/ B x
1
△ABD
SABC
44 2
8
基础热身
如图：抛物线 y x2 与2x 轴3 x
交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，点D是抛物线的顶点.