3种特殊四面体
高考中特殊四面体的研究
高考中特殊四面体的研究四面体是立体几何中最基本,也是最重要的几何体,它的地位相当于平面几何中的三角形所处的地位。
因此对四面体的研究一方面可以作为平面三角形在空间的直接类比,可得出类似的性质(如勾股定理)或结论。
另一方面又可以观察它的外接平行六面体来证明它的大批性质,很有实用价值。
在这里,将高考复习中,较为常见的几种特殊四面体的性质进行梳理并配简单应用。
一、直角四面体⒈定义:某顶点的三个面角都是直角的四面体称为直角四面体,或称对棱都互相垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体。
⒉性质:直角四面体相当于三角形中的直角三角形,它可由三条两两互相垂直的棱作为长方体的长、宽、高,补成长方体.。
或可看作一个长方体切去一个角而形成的四面体。
设四面体abcd中,∠bac=∠cad=∠dab=90°,ao⊥面bcd,那么直角四面体有如下性质:⑴直角四面体中,不含直角的面是锐角三角形,即△bcd是锐角三角形(可以用三垂线定理或余弦定理进行推证)。
⑵直角四面体的外接球的半径为r=1/2(可以补成长方体后进行证明)。
⑶直角四面体的对棱中点连线长相等,且等于外接球的半径。
⑷勾股定理的推广:s2△bcd=s2 △abc+s2△acd+s2△adb注:此结论,可看作直角三角形中勾股定理在空间直角四面体中的推广。
这一结论,在2003年的高考试题中,出现在填空题里,考查了学生类比能力。
现证明如下:如图:由已知条件有ac⊥面abd,ao⊥面bcd,得ac⊥bd,ao⊥bd。
从而.bd.⊥面aoc。
连co交bd于e,连ae,则ce⊥bd,ae⊥bd,ac⊥ae。
在rt△ace中:ae2=eo×ec从而(1/2ae×bd)2=(1/2eo×bd)(1/2ec×bd)即s2△abd=s△bod×s△bcd同理s2△abc=s△boc×s△bcds2△acd=s△cod×s△bcd三式相加s2△abd+s2△abc+s2 △acd=s2△bcd例1.(2006年高考题)如图,、是互相垂直的异面直线,mn是它们的公垂线段。
第二十三章特殊四面体的性质及应用
第二十三章 特殊四面体的性质及应用【基础知识】特殊四面体包括垂心四面体（四条高线交于一点的四面体），直角四面体（有一个三面焦是直三面角的四面体，或过同一顶点的三条棱互相垂直的四面体），拟腰四面体（两对对棱相等的四面体），等面四面体（三对对棱相等的四面体），正四面体（六条棱长相等的四面体）等．特殊四面体除了具有一般四面体的性质外，还具有各自独特的性质． 1．垂心四面体性质1垂心四面体的对棱互相垂直．反之亦然．事实上，若四面体ABCD 为垂心四面体，垂心为H ，则AH ，BH 均与CD 垂直，从而AB CD ⊥． 同理，AC BD ⊥，AD BC ⊥．反之，由AB CD ⊥，过AB 作CD 的垂面交CD 于E ，设H 为ABE △的垂心，则AH BE ⊥，AH CD ⊥，所以AH 是面BCD 的垂线．同样，BH 是面ACD 的垂线，四面体ABCD 的每两条高交于一点，每三条高不共面，所以四条高必交于同一点．于是H 为四面体的垂心，即四面体为垂心四面体． 性质2垂心四面体的高过底面的垂心，反之亦然． 事实上，由性质1，设顶点A 在底面BCD 上的射影为F ，由于AB CD ⊥，所以AB 的射影BF CD ⊥．同样CF BD ⊥，即F 为BCD △的垂心．性质3垂心四面体对棱的平方和相等．反之亦然．事实上，由性质2，知A 在面BCD 上的射影F 为BCD △的垂心．设BF 交CD 于E ，则 22222222AC AD CF DF CE DE BC BD --==-=-，即有2222AC BD AD BC +=+． 同理，2222AC BD AB CD +=+．性质4垂心四面体连接对棱中点的线段相等．反之亦然． 事实上，由性质3，设E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则()22222222222114222EF AF BF AB AC AD CD BC BD CD AB =+-=+-++--()222222AC BD BC AD AB CD =+=+=+．即证．反之，考察过对棱的相互平行的六个平面构成的平行六面体，六面体的棱长恰好等于连结四面体对棱中点的线段，因此，六面体的棱均相等，各面为菱形，菱形对角线（即四面体的对棱）互相垂直． 由于从性质1⇒性质2⇒性质3⇒性质4⇒性质1，从而性质2，3，4的反之亦然． 上述性质中的反之亦然，其实也是垂心四面体的四条判定定理．由性质4的证明中可知有 性质5垂心四面体的外接平行六面体（四面体的棱为平行六面体的侧面对角线）各面是菱形． 性质6平行于四面体任一组对棱的平面截其余四条棱的截口面为矩形． 性质7垂心四面体对棱之公垂线共点于垂心．性质8垂心四面体的外心、重心、垂心共线，且外心到重心的距离等于重心到垂心的距离． 2．直角四面体直角四面体有如下判定定理和性质：判定定理对棱都垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体．事实上，在四面体ABCD 中，若90DAC ∠=︒，则由AD BC ⊥，知AC ⊥面ABC ，从而AD AB ⊥，即90DAB ∠=︒．又由AB CD ⊥，知AB ⊥面ACD ，有90BAC ∠=︒．即证． 推论1两组对棱垂直且有一个面角为直角的四面体是直角四面体．推论2四面体一顶点到对面的射影是该面的垂心，且该顶点的三面角的面角中有一个为直角，那么这个四面体是直角四面体．显然，上述判定定理及推论的逆命题也是直角四面体的性质．为了方便讨论直角四面体的一系列性质引进一些记号：设直角四面体PABC 的直三面角是三面角P ABC -，其体积为V ，棱PA a =，PB b =，PC c =．顶点x 所时的面的面积记为x S ；以棱y 为二面角棱的二面角大小记为y θ；四面体PABC 的内切球、外接球的半径分别记为x r ．由于直角四面体是垂心四面体，因此，可得 性质1直角四面体具有垂心四面体的所有性质．性质2三对对棱中点的连线共点（设为G ，且此点称为四面体的重心）且互相平分；三对对棱中点的性质3不含直角的侧面三角形是锐角三角形，且这每一个面角的正切值等于这个面的面积的2倍与该面角所对的棱长平方之比；这每一面角的余弦值等于与此面共顶点的另两个面角余弦值之积． 性质4（1）cos cos cos P A BC B AC C AB S S S S θθθ=⋅+⋅+⋅； （2）cos A P BC S S θ=⋅，cos B P AC S S θ=⋅，cos C P AB S S θ=⋅； （3）222cos cos cos 1BC AC AB θθθ++=；（4）34AB BC AC θθθπ<++<π． 下面只给出（4）式的证明思路： 由（3）式有222cos cos cos cos cos cos cos 0BC AC AB AB AC AB AC θθθθθθθ---⋅+>==（）（）． 又cos cos 0AB AC θθ->，则cos cos 0AB AC θθ+<，故2AB AC θθπ<+．同理还有两式，相加即证（4）式左端．又()()cos cos AB AC AB AC θθθθ⎡⎤π++=-+⎣⎦，在[]0,π内余弦函数递减，有cos[]cos[]cos AB AC AB AC AB AC θθθθθθπ-+π--<-（）=（）（），即有()22cos cos BC AB AC θθθ⎡⎤>π-+⎣⎦，由此 即证得（4）式右端．由性质4（3）及幂平均、算术一几何平均值不等式，我们有推论（1）cos cos cos AB BC AC θθθ++（2）cos cos cos AB BC AC θθθ⋅⋅ （3）cos cos cos cos cos cos 1AB BC BC AC AB AC θθθθθθ⋅+⋅+⋅≤；（4）sin sin sin AB BC AC θθθ++；（5）sin sin sin AB BC AC θθθ⋅⋅； （6）sin sin sin sin sin sin 2AB BC BC AC AB AC θθθθθθ⋅+⋅+⋅≤．性质5含直角的侧面面积是它在不含直角的侧面上的射影面积与这不含直角的侧面面积的比例中项．性质62222P A B C S S S B =++．性质7二面角大小为θ（90θ≠︒）的两侧面中，含直角的侧面面积S 与不含直角的侧面面积P S 之比为cos θ．特别地，60θ=︒时，12P S S =∶∶；45θ=︒时，2P S S ∶；30θ=︒时，2P S S =∶；θ=P S S =∶ 性质P ABBCACS ==．性质916V abc ==性质10设S 为直角四面体的全面积，L 为6条棱长的乘积，则SL ≥． 性质11直角四面体的四顶点与其所对侧面重心的四条连线共点，共点于三对对棱中点连线的交点．亦即七线共点于直角四面体重心．性质12直角四面体的四顶点与其所对的侧面垂心的四条连线共点，共点于其直三面角顶点P ，此点为直角四面体的垂心．由此也可知直角四面体是垂心四面体．性质13非直三面角体的三顶点与其所对的侧面外心的三条连线共点，共点于不含直角的侧面三角形的重心．性质14过含直角的侧面三角形的外心，且与该侧面垂直的三直线共点，共点于直角四面体的外心． 性质15设A m 、B m 、C m 、P m 分别为直角四面体四顶点与所对面的重心的连线长（或称四面体的4条中线长），则()222222243A B C P m m m m a b c +++=++． 分析如图23-1，设1G 为侧面ABC △的重心，设1PG E α∠=．由三角线中线长公式，有()22214PE b c =+，()2222144AE a b c =++．又 图23-1ABEPG 1()2222222211222222cos 2cos 333333P P P P P PE PA AE m AE m AE m AE m m AE αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由此即有()222219P m a b c =++．类似可求()2222199A m a b c =++，()2222199B m a b c =++，()2222199C m a b c =++，由此即获结论． 性质16R =，且与对棱中点的连线长相等；外接球的球心是分别过直三面角的三条棱与其所对棱中点的三个平面的公共点．性质17()2AB C P A B C P S S S S abcr S S S S a b c ++-==+++++；内切球的球心是其棱不共顶点的三个二面角平分面的公共点． 性质18()2AB C P P A B C P S S S S abcr S S S S a b c+++==++-++； ()2AP B C A B C P A S S S S abcr S S S S b c a +--==++-+-； ()2BP A C B A C P B S S S S abcr S S S S a c b+--==++-+-； ()2CP A B C A B P C S S S S abcr S S S S a b c+--==++-+-． 旁切球的球心是其相切侧面与另三个延展切面所成二面角平分面（其中只须其棱不共顶点的三个二面角的平分面即可）的公共点． 证明思路只推证A r ，其余类似推证．作外切于侧面PBC 的旁切球的外切三棱台B C P BCP '''-，得新四面体AB C P '''，如图23-2．图23-2A'由()22C A B P AB C P A S S S S aS S S S a r ====''''+及()()()3313123A B C P ABCD AB C P A A A B C P r S S S S V a V a r r S S S S '''''''+++=='++++． 并注意到性质6、性质17，即可推证A r 的关系式． 推论1r 最小，P r 最大，且11112A B C P r r r r r+++=或 2A B C PA B C A B P A C P B C P r r r r r r r r r r r r r r r r r⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=推论2()32P V abc r r a b c a b c ⋅==++++或1111P A B C r r S S S =++⋅．推论3记()1122A B C P S S S S S S '==+++，则()()()()2222233333A AB BC C P P V S r S S r S S r S S r S S r '''''==-⋅=-⋅=-⋅=-⋅．推论4记四顶点到所对面的距离为A h 、B h 、C h 、P h ，则11111A B C P h h h h r +++=；11111A B C P Ph h h h r ++-=． （*）还有类似（*）式的三式．此略． 推论5令l 为四面体六条棱长之和，()12A B C P S S S S S '=+++，则)2l ≤；2S '；(39V r +≥；32V ． 性质19设am S 、bm S 、cm S 是分别过棱PA 及BC 的中点，过棱PB 及AC 的中点，过棱PC 及AB 的中点的截面面积，则am Sbm Scm S ，且222212am bm cm PS S S S ++=． 性质20设maS '、mb S '，mc S '是分别过棱BC 及PA 的中点，过棱AC 及PB 的中点，过棱AB 及PC 的中点的截面面积，则maS '=mb S '=mc S '222232ma mb mc P S S S S '''++=． 性质21设ad S 、bd S 、cd S 分别为过棱PA 与BC 垂直、过棱PB 与AC 垂直、过棱PC 与AB 垂直的截面面积，则/ad B C S S S =⋅bd A C S S S =⋅，cd A B S S S =⋅ 2222221111112ad bd cd AB C S S S S S S ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭． 性质22设at S 、bt S 、ct S 分别为过棱PA 及BPC ∠的平分线，过棱PB 及APC ∠的平分线，过棱PC 与APB ∠的平分线的截面面积，则B C at B C S S S S ⋅=+，A C bt A C S S S S ⋅=+，A Bct A BS S S S ⋅=+，且111111a t b t c t AB CS S S SSS⎫++=++⎪⎭． 性质23在直角四面体中，（1）斜面上任一点与直角顶点的连线和三条直角棱所成角的余弦的平方和等于1； （2）斜面上任一点与直角顶点的连线和三个直角面所成的角的余弦的平方和等于2； （3）斜面上每一条棱与三条直角棱所成角的余弦的平方和等于1； （4）斜面上每一条棱与三个直角面所成的角的余弦的平方和等于2； （5）三条直角棱与斜面所成角的余弦的平方和等于2；（6）三条直角棱的平方的倒数和等于直角顶点到斜面的距离的平方的倒数． 性质24直角四面体的外接平行六面体，（1）当四面体的六条棱均成为平行六面体的侧面对角线时，平行六面体是菱形六面体； （2）当四面体的直三面角的三条棱成为平行六面体的棱，其余三条棱成为平行六面体的侧面对角线时，平行六面体是长方体． 3．直棱四面体三条相连棱形成三边直角折线（即空间直角四边形）的四面体，称为直棱四面体． 显然，直棱四面体每个面都是直角三角形，若令1ADC β∠=，2ADB β∠=，3BDC β∠=， 则（1）123cos cos cos βββ⋅=； （2）321sin sin sin sin sin CD AD βββθθ==； （3）3sin cos sin ADCDθβθ=； （4）1tan tan sec AD CD θθβ⋅=．直角四面体和直棱四面体，都可以看作从长方体上截下的一部分，在部分多面体过程中，在棱、锥、台的计算中，它们经常出现．由于它有多方面的垂直关系和比较多的等量关系，有人称之为基本四面体．它们可以看作直角三角形在空间的自然推广，是工具性的四面体． 4．等腰四面体从某一顶点出发的三条棱（称为腰）相等的四面体称为等腰四面体，这一顶点称为腰顶点． 性质1等腰四面体的腰顶点在所对的面的射影为该面的外心．反之亦然． 性质2等腰四面体的腰顶点出发的三条棱与该点所对的面成等角．反之亦然． 性质3等腰四面体的底面为正三角形时，则该四面体为垂心四面体．性质4等腰四面体的底面为正三角形，且其边长为腰的压时，则该四面体是等腰直角四面体． 5．拟腰四面体两组对棱分别相等的四面体称为拟腰四面体．性质1两对对棱分别相等的四面体的充要条件是它的棱均成为侧面对角线的外接平行六面体为直平行六面体．证明设四面体ABCD 的外接平行六面体为1111ACB D AC BD -，AD BC =，AC BD =⇔侧面11A DD A 与侧面11CB BC 为全等矩形，侧面11A CC A 与侧面11DB BD 为全等矩形1111ACB D AC BD -为直平行六面体． 推论1两对对棱分别相等的四面体的充要条件是另一对对棱中点的连接线段垂直于此二棱．推论2两对对棱分别相等的四面体的充要条件是这两对对棱中点的连接线段均与第三对对棱中点的连接线段垂直．推论3两对对棱分别相等的四面体的充要条件是四面体在平行于这两对对棱中的每一对对棱的每一个平面上的射影为矩形．性质2两对对棱分别相等的四面体的充要条件是两侧面面积相等，且另两侧面面积也相等，或四侧面分成等面积的两组．证明此定理即为：在四面体ABCD 中，AD BC =，ACD BCD AC BD S S =⇔=△△，ABC ABD S S =△△． 必要性（⇒）：显然．充分性（⇐）：如图23-3，作四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -．此时A 、B 到底面11A CB D 的距离1AH 、2BH 相等，作AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，连1H E ，2H F ．图23-321则由ACD BCD S S =△△，有A E B F=，从而12AEH BFH ∠∠=，即二面角1A CD A --等于二面角1B CD B --，此时二面角A CD B --的平分面α垂直于底面11A CB D ，也就垂直于面11AC BD ，且面α交AB 于其中点1O ．又可证A 、B 两点到此平分面α的距离相等． 设此平分面α交AB 于1O ，则1O 为上底面中心．同理，由ABC ABD S S =△△，有二面角C AB D --的平分面β也垂直于两底面，也交CD 于其中点2O ．此时12O O αβ=∩且垂直于两底面，故平行六面体1111ACB D AC BD -为直平面六面体．由性质1即证得了充分性．性质3两对对棱分别相等的四面体的充要条件是另一对对棱每条棱所张的二个面角分别相等．证明此性质即为：在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD CAD CBD =⇔∠=∠，ACB ADB ∠=∠． 必要性（⇒）：显然． 充分性（⇐）：如图23-3，作四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -．由题设CAD CBD ∠=∠，又A 、B 、C 、D 四点共球O ，则ACD △和BCD △所在的平面截球O 的截面圆是等圆．而A 、B 两点到面11A CB D 的距离相等，则过CD 及AB 中点1O 的截面圆必是球O 的大圆．从而1O 、O 及CD 的中点2O 在过CD 的球O 的大圆面内．同理，1O 、O 、2O 也在过棱AB 的球O 的大圆面内．故1O 、O 、2O 三点共线于这两个大圆面的交线上．又1OO AB ⊥，2OO CD ⊥，则111OO A B ⊥，211OO C D ⊥，从而12O O 垂直于平行六面体的两底面11A CB D 、11AC BD ，故知此平行六面体为直平行六面体，由性质1，充分性获证．此性质的充分性也可以这样证：设CAD CBD α∠=∠=，ACB ADB β∠=∠=，令AC a =，AD b =，BC c =，BD d =，CD x =，AB y =．对ADC △和BDC △应用余弦定理可得()()()22222222cos a b x c d y ab cd x bc ad ac bd ab cd α+-+-==⇒-=--．① 同理，得()()()2ad bc y cd ab ac bd ---=．②由①、②可知，若0ab cd -=，则0ad bc a c -=⇒=，b d =．因此论断获证．若0ab cd -≠，则0ad bc -≠，0ac bd -≠，于是由①、②推得()222x y ac bd =-⇒或xy bd ac +=，或0xy ac by +-=．③由托勒密定理及③式，可知A 、B 、C 、D 四点共圆，与题设矛盾．因此充分性获证． 性质4两对对棱分别相等的四面体的充要条件是其外心（外接球球心）在另一对对棱中点的连线上（重心亦在此连线上）． 必要性（⇒）：设在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =，作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3．由性质1，即知此平行六面体为直平行六面体，从而上、下底面中心1O 、2O 的连线既是AB 、CD 中点的连线，又是AB 、CD 的公垂线，亦即既是AB 的中垂线，又是CD 的中垂线，因而四面体ABCD 的外心在12O O 上．充分性（⇐）：由题设，四面体的外心在一对对棱AB 、CD 的中点1O '、2O '的连线上，则12O O ''是AB 、CD 的中垂线，从而12O O ''：垂直于四面体ABCD 的外接平行六面体1111ACB D AC BD -的两底面，故此外接平行六面体是直平行六面体．由性质1，充分性获证． 性质5两对对棱分别相等的四面体的充要条件是其内心（内切球球心）在另一对对棱中点的连线上（重心亦在此连线上）． 证明必要性（⇒）：设在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =．作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3，则此平行六面体为直平行六面体，故11A DC B CD S S =△△．又AD C BD C S S =△△，则二面角1A DC A --等于二面角1B DC B --．而上、下底面中心1O 、2O 所在直线与DC 两相交线所在对角面垂直于两底面，即知此对角面平分二面角A DC B --．同理，12O O 与AB 所在对角面也平分二面角C ABD --．故四面体内心I 在12O O 上．充分性（⇐）：设四面体ABCD 的内心I 在12O O 上，则1O 到面ACD 、BCD 的距离相等，从而A 到面BCD 的距离与B 到面ACD 的距离相等（都等于点1O 到这两个面的距离的两倍）．由13V Sh =得BCD ACD S S =△△．同理ABD ABC S S =△△．由性质2即证．性质6四面体有两对对棱相等的充要条件是，以这两对对棱为棱的二面角，分别相等．证明在四面体ABCD 中，AD BC =，AC BD =的充要条件是二面角B AD C --等于二面角D BC A --，二面角B AC D --等于二面角A BD C --．必要性（⇒）：设AD θ、BC θ分别表示二面角B AD C --、二面角D BC A --的平面角的大小，由AD BC =、AC BD =，有DAC DBC △≌△，ABC BAD △≌△，如图23-4．图23-4H GI DABCEFMN于是DAC DBC ∠=∠，BAC ABD ∠=∠，BAD ABC ∠∠=．由三面角余弦公式（如cos cos cos cos sin sin AD BAC BAD DACBAD DACθ∠-∠⋅∠=∠⋅∠）或三面角全等定理，有AD BC θθ=，即二面角B AD C --等于二面角D BC A --．同理，可证二面角B AC D --等于二面角A BD C --． 充分性（⇐）：记I 为四面体ABCD 的内心，从I 向各侧面引垂线，垂足为E 、F 、G 、H ，如图23-4，设过IE 、IF 的平面交AC 于M ，过IG 、IH 的平面交BD 于N ，则EMF ∠，GNH ∠分别为二面角B AC D --、二面角A BD C --的平面角，由题设有EMF GNH ∠=∠． 在Rt IMF △和Rt ING △中，IF IG =，1122IMF EMF GNH ING ∠=∠=∠=∠，从而IM IN =．故I 在对棱AC 、BD 的公垂线段的中垂面α内．同理，I 又在对棱AD 、BC 的公垂线段的中垂面β内，故I 在α与β的交线上．作四面体ABCD 的外接平行六面体如图23-3，知α与β的交线就是平行六面体上、下底面中心1O 、2O 的连线．由性质5即证得充分性．性质7两对对棱分别相等，则四面体的内切球切侧面于第三对对棱的中垂线上． 证明此性质即为：在四面体ABCD 中，若AD BC =，AC BD =，则四面体ABCD 的内切球I 切ACD △、BCD △于CD 的中垂线上，切ACB △、ADB △于AB 的中垂线上．如图23-5，由性质6的充分性证明中可推知12O M O N =，①其中1O 、2O 为球I 切侧面ACD △、BCD △的切点，M 、N 为I 在棱AC 、BD 上的射影．图23-5O 1O 2DABCEFMNI设过1IO 、2IO 的平面交CD 于E ，连1O E 、2O E ，则由球的切线长定理，知12O E O E =．②又由ACD BDC △≌△有MCE NDE ∠∠=，而1O E CD ⊥，2O E CD ⊥，则M 、C 、E 、1O 共圆，E 、D 、N 、2O 共圆．故12MOE EO N ∠=∠．③由①、②、③知ME EN =，从而12sin sin ME ENO C O D MCE EDN===∠∠，∴12Rt Rt CO E DO E CE ED ⇒=△≌△． 故1O E ，2O E 均是CD 的中垂线段．同理，球I 切侧面ACB △，ADB △于AB 的中垂线上． 6．等面四面体我们称三组对棱分别相等的四面体为等面四面体．为了讨论问题的方便，先引进一些记号：等腰四面体ABCD 中，设BC AD a ==，AC BD b -=，AB CD c ==；设()12p a b c =++，()222212k a b c =++；以BC 、BD 、CD 为棱的两侧面所成二面角的大小依次为α、β、γ；四面体的体积记为V ，其内切、外接球半径分别记为r 、R ；顶点x 所对的面的面积记为x S ；外切于顶点x 所对的面，且与其余侧面的延展面相切的旁切球的半径记为x r ． 性质1等面四面体对棱所成角的余弦值可表示为()222cos ,b c a a a -=，()222,cos b c a b b -=，()222cos ,a b c c c -=．性质2等面四面体中，对棱中点的连线共点（此点为四面体的重心），且互相平分；连结对棱中点的每一线段均垂直于此二棱，或者说，当四面体绕这样的线段旋转180︒则与本身重合；连结对棱中点的三线段彼此互相垂直．且后两个结论的逆命题也是成立的．推论四面体为等面四面体的充要条件是三对对棱的公垂线两两相互垂直．性质3设a d 、b d 、c d 分别为等面四面体对棱中点连线的长，则a d =，b d =，c d =性质4四面体为等面四面体的充要条件是四面体各面为全等的三角形． 性质5等面四面体所有的面角均为锐角，或者说各侧面是锐角三角形．（见本章练习题A 第7题） 性质6四面体为等面四面体的充要条件是过四面体的每一顶点的三条棱长的m （m ∈R 且0m ≠）次方之和相等．分析只证充分性：令BC a =，AC b =，AB c =，AD x =，BD y =，CD z =，由m m m m m m m m m m m m b c x c a y a b z x y z ++=++=++=++，即推得a x =，b y =，c z =．推论四面体为等面四面体的充要条件是四面体的每一顶点的三条棱长之和相等．性质7四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形边长的m （m 为非零实数）次方之和相等．推论四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形的周长相等．性质8四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面三角形的三条中线长的平方和相等． 性质9四面体为等面四面体的充要条件是四面体每一顶点处的三个面角之和为180︒．性质10四面体为等面四面体的充要条件是过每对对棱的二面角相等（即三对二面角分别相等）．性质11cos cos cos 1αβγ++=．性质1222sin sin sin 3x S a b cVαβγ===（其中x 可表示A 、B 、C 、D ，后面亦同）． 性质13()()()22222222222224cos cos cos 222xa k ab k bc k c S αβγ---===． 性质14在等面四面体ABCD 中，A B C D S S S S ==== 性质15四面体为等面四面体的充分必要条件是各面的面积相等．分析四面体的各二面角的大小分别用α、β、γ、α'、β'、γ'表示，如图23-6．图23-6β'γ'α'γβαDOAB由cos cos cos D C B A S S S S αβγ⋅+⋅+⋅=及D C B A S S S S ===有cos cos cos 1αβγ++=．同理，有cos cos cos 1γβα''++=，cos cos cos 1αβγ''++=，cos cos cos 1βαγ''++=． 由上推出，cos cos αα'=，cos cos ββ'=，cos cos γγ'=，而0α<，β，γ，α'，β'，γ'<π，所以αα'=，ββ'=，γγ'=，由此即证． 性质16等面四面体的体积V =()222212k a b c =++． 分析作四面体ABCD 的外接平行六面体，使四面体的棱成为平行六面体的侧面对角线，如图23-7．由四面体对棱相等，可证得平行六面体侧面均为矩形，即为长方体，于是列方程组求得长方体共顶点的图23-7DABC性质17记等面四面体共顶点的三个面角分别为1θ、2θ、3θ，则V =分析如图23-8，设1B D Cθ∠=，2ADC θ∠=，3ADB θ∠=．又设A 点在面BCD 内的射影为E ，作A H C D⊥于H ，连EH ，则AHE γ∠=．由12B S CD AH =⋅，有2B AH S c =⋅，则2sin sin B AE AH S cγγ=⋅=⋅⋅．图23-8γabc D ABCEH注意到31212cos cos cos cos sin sin θθθγθθ-⋅=⋅，有1233A A B V S AE S S c=⋅=⋅123θθθ++=π及()222123123121cos cos cos 2cos cos cos cos θθθθθθθθ---+⋅⋅=-+()()()212312123cos cos cos cos cos θθθθθθθθ⋅--+++-⋅=⎡⎤⎣⎦1234cos cos cos θθθ⋅⋅，11sin 2A S bc θ=⋅，21sin 2B S ac θ=⋅，由此即证．性质18等面四面体的体积为 222222sin sin sin 333x x x V S S S c b a γβα=⋅=⋅=⋅；或43x V S r =⋅． 性质1912R k ==． 性质20r =性质21四面体为等面四面体的充要条件是四面体的外心（外接球球心）与重心重合（见本章例13证明部分）．或者，四面体各顶点和外心的连线与对面的交点为该面的重心．性质22四面体为等面四面体的充要条件是四面体的外心与内心（内切球球心）重合．（见本章例12） 性质23四面体为等面四面体的充要条件是四面体的内心与重心重合．或者，各顶点和内心的连线与对面的交点为该面的重心．推论若四面体的外心、内心、重心中任意两个相重合，则第三个也必和它们重合． 性质24在等面四面体中，2A B C D r r r r r =====．（提示：设顶点x 到所对面的距离为x h ，则可证2x x x h rr h r⋅=-，由此即推得）性质25四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条高长之和等于内切球半径的16倍（即16A B C D h h h h r +++=）．分析充分性：由以3x x Vh S =及16A B C D h h h h r +++=有1111316A B C D V r S S S S ⎛⎫⋅+++= ⎪⎝⎭．注意到()13A B C D V S S S S r =+++⋅， 则()111116A B C D AB C D S S S S S S S S ⎛⎫++++++= ⎪⎝⎭． 而()111116A B C D AB C D S S S S S S S S ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭≥，取等号是当且仅当A B C D S S S S ===．由此即证． 推论42x x h r r ==．注对外接球半径也有一条性质见本章例13．性质26四面体为等面四面体的充要条件是它的切点四面体（内切球切侧面的切点）为等腰四面体． 分析充分性：设O 为四面体ABCD 的内心，亦即它是切点四面体A B C D ''''的外心．当A B C D ''''为等腰四面体时，由性质2的推论推之．性质27四面体为等面四面体的充要条件是四面体的内切球与各侧面的切点为该面的外接圆圆心． 性质28四面体为等面四面体的充要条件是四面体的重心（或外心）在各侧面内的射影为该面的外接圆圆心．性质29四面体为等面四面体的充要条件是各侧面都具有相等外接圆半径的锐角三角形． 性质30四面体为等面四面体的充要条件是四面体各侧面外接圆半径与内切圆半径之积相等． 分析充分性：在四面体ABCD 中，设BC a =，AC b =，AB c =，1DA a =，1DB b =，1DC c =，R '，r '分别为侧面三角形外接、内切圆半径，则2abcR r a b c''=++．同理，1111111111112ab c a bc a b cR r a b c a b c a b c''===++++++．由此得()()()()11110c a c b b b b a c c +-++-=， ()()()()11110c c b a a a b a c c +-++-=， ()()()()11110b b c a a a a c b b +-++-=．将上述三式看作1a a -，1b b -，1c c -为未知数的三元一次方程组，它只有唯一的一个零解．即证． 性质31四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条中线长相等（中线长即为四面体的每一顶点和对面重心的连结线段长）．分析充分性：注意到中线长相等及四面体重心性质，推得重心与外心重合． 性质32性质33四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条中线长的平方和等于2649R ． 分析由性质31及25推导．性质34四面体为等面四面体的充要条件是四面体的四条高线长相等（即A B C D h h h h ===）．性质35等面四面体的过某棱及所对棱中点的截面，就是过此棱及与所对棱垂直的截面，也就是过此棱且平分此棱所在二面角的截面．性质36在等面四面体ABCD 中，设分别过棱BC 、BD 、CD 且平分α、β、γ的截面面积为a S 、S β、S γ，则cos2x S S αα=⋅，cos2x S S ββ=⋅，cos 2x S S γγ=⋅，且22222x S S S S αβγ++=．性质37四面体为等面四面体的充要条件是其棱均作为外接平行六面体的侧面对角线时，平行六面体为长方体．性质38四面体为等面四面体的充要条件是四面体在平行于两对棱的每一个平画上的射影为矩形． 性质39四面体为等面四面体的充要条件是四面体的展开图是一个引出了三条中位线的锐角三角形． 性质40四面体为等面四面体的充要条件是四面体内任意一点到各侧面的距离之和为定值．分析充分性：设定值为l ，取点为内心时有4l r =，再取点为重心时有4A B C D h h h h l +++=，再由性质25即证． 7．正四面体称六条棱相等的四面体为正四面体．性质1正四面体的每个面是正三角形．反之亦然． 性质2正四面体是三组对棱都垂直的等面四面体． 推论正四面体是两组对棱垂直的等面四面体．性质3倍，反之亦真． 性质4正四面体的各棱的中点是正八面体的六顶点． 性质5正四面体的每个三面角均是面角为60︒的三面角，因而都是全等的三面角，且每个三面角的特征，即()2S x ==．性质6正四面体的六个二面角都相等．若记其大小为θ，则1arccos 3θ=或．其逆命题亦成立．性质712倍，即2S 全=，3V =． 推论设S △为侧面三角形面积，则4228cos 2a S θ=⋅⋅△；22sin 3S a V θ=⋅⋅△；V S ⋅全．性质8正四面体的内切球与其外接球是同心球，内切球半径r =（等于高线的14）；外接球半径R =；两球面面积之比为1∶9． 性质9在各类四面体的比值R r ∶中，以正四面体的比值3R r =∶为最小． 性质10正四面体的体积与其内切球的内接正四面体的体积之比为27．且若内切球半径为r ，则其体积为3．性质11正四面体的四个旁切球半径均相等，等于内切球半径的2倍，即x r =，或等于正四面体高线的一半．性质12正四面体的内切球与各侧面的切点是侧面三角形的外心，或内心，或垂心，或重心．除外心外，其逆命题均成立．性质13正四面体的外接球球心到四面体四顶点的距离之和，小于空间中其他任一点到四顶点的距离之和．分析利用正四面体的外接球球心O 是过四面体的一棱AB 与对棱CD 中点N 的平面（共有六个这样的平面）的交点的特性，我们将指出，如果点P （空间中任一点）不在这些平面之一上即如果它不是O ，则和S PA PB PC PD =+++不是最小．由此得出结论：使S 最小的点位于所有这些平面上，因此最小值只可能在点O 达到．假定P 不在平面ABN 上，设l 为过P 平行于CD 的直线，因此垂直于平面ABN ，且设P '为l 和ABN 的交点，则PC PD P C P D ''+>+．①事实上，CPD △和CP D '△有相同的底和高，但后者是等腰三角形，它有较小的周长．又PA P A '>，PB P B '>．② 因为PA 是Rt APP '△的斜边，PB 是Rt BPP '△的斜边，把①和②中三个不等式加起来，得PA PB PC PD P A P B P C P D ''''+++>+++，这就是我们要证的．性质14四面体为正四面体的充要条件是，存在五个球与四面体的六条棱或其延长线相切． 此性质的充分性证明见本章例14．性质15正四面体内任意一点到各侧面的垂线长的和等于这四面体的高．性质16对于四个相异的平行平面，总存在一个正四面体，其顶点分别在这四个平面上．性质17以正四面体的每条棱为直径作球，设S 是所作六个球的交集，则S 中含有两点，它们的距离为性质18 性质19四面体为正四面体的充要条件是，其棱均作为外接平行六面体的侧面对角线时，平行六面体为正方体．性质20四面体为正四面体的充要条件是，其共顶点三棱作为外接平行六面体的棱时，平行六面体为一个三面角面角均为60︒的菱形六面体．性质21囚面体为正四面体的充要条件是，四面体在平行于两棱的每一个平面上的射影是正方形． 性质22四面体为正四面体的充要条件是，四面体的展开图是一个引出了三条中位线的正三角形． 性质23正四面体每条高的中点与底面三角形三顶点均构成直角四面体的四顶点，且高的中点为直三面角顶点．性质24正四面体是垂心四面体（四条高共点的四面体），且四面体的垂心、重心、内心、外心这四心合一．性质25设P 为正四面体1234A A A A 的外接球面上任一点，R 为该球的半径． （I ）42218i i PA R ==∑；（Ⅱ）若1B ，2B ，…，6B 分别为23A A ，34A A ，24A A ，12A A ，13A A ，14A A 的中点，则42218i i PB R ==∑；（Ⅲ）若i O 为i A 所对面的中心（1,2,3,4i =），则22409i PO R =∑． 证明（I ）设i O 为正四面体1234A A A A 的中心，则。
30.四面体
四面体与平行六面体一、一般四面体的性质性质1.任意四面体六个二面角的平分面交于一点，这点到四面体四个面的距离相等，称该点为四面体内切球球心（简称四面体的内心）。
内切球与四面体四个面内切。
若四面体ABCD 的体积为V ，顶点A 所对的侧面面积为A S ，类似的有,,B C D S S S ,则内切球半径3A B C DVr S S S S =+++.性质2.任意四面体六条棱的垂直平分面交于一点，这点到四面体顶点的距离相等，该点称为四面体外接球球心（简称四面体外心）。
外接球通过四面体四顶点。
性质3.任意四面体的四条中线（每一顶点与其对面重心的连线）交于一点，而且该点是中线的四等分点。
性质4.四面体体积公式一：11113333A A B B C C D D V S h S h S h S h ==== 性质5.四面体体积公式之二：1||||sin ,6V AB CD d AB CD =⋅⋅⋅<> （其中d 为AB 、CD 距离）性质6.四面体体积公式二：2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 333333C D AB A D BC A B CD B C DA B D AC A C BDS S S S S S S S S S S S V AB BC CD DA AC BDθθθθθθ======二、特殊四面体的性质（1） 正四面体：各边均相等；（2） （3） 等腰四面体：三组对边分别相等。
三、平行面体像平行四边形是平面图几何的基础一样， 平行六面体是立体几何的基本图形。
性质1.平行六面体的四条体对角线交于一点，且在这一点互相平分，称该点为平行六面体的中心； 性质2.平行六面体的所有体对角线的平方和等于所有棱的平方和。
推论1:平行六面体的所有侧面对角线的平方和等于其所有体对角线平方和的两倍。
推论2：平行六面体的每一侧棱的平方和等于等于与这一侧共面的两侧面四条对角线的平方减去与这一侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的14。
两种特殊四面体的有趣的性质
两种特殊四面体的有趣的性质作者：李文磊来源：《中学课程辅导高考版·学生版》2009年第02期三棱锥是高中阶段重要的数学模型，正四面体和直角四面体是两种非常特殊的三棱锥，它们和最基本的正方体模型与长方体模型关系密切，有很多有趣、具有数学美感的的性质.加强对它们的研究，熟悉它们的性质，不仅可以使学生熟悉很多立体几何问题的研究方法、拓展思维空间，还可以轻松地解决相关问题.一、性质探究(1) 正四面体正四面体的四个侧面都是正三角形，它是特殊的正三棱锥，是一个具有对称美的几何体.正四面体与正方体关系密切，将一个棱长为l的正方体沿相邻三个面的对角线截去四个棱锥,剩余部分为棱长为a正四面体(a=2l)，我们称这个四面体为这个正方体的内接正四面体.在这里我们利用这个正方体模型探究正四面体一些有趣性质.性质一正四面体的对棱互相垂直.正四面体的对棱就是这个正方体相对两面的两条异面的对角线，显然垂直.性质二正四面体的高h=63a.正四面体的任意侧面都与穿过它的这个正方体的体对角线垂直，并且将它分割为1:2的两段.正方体的体对角线为3l=3×22a=62a，所以正四面体的高为h=23×62a=63a，这个常数应该熟记.性质三正四面体的外接球的球心为正四面体的中心，是正四面体高的四等分点，其半径为R=34h.正四面体的中心与其外接正方体的中心重合，正四面体的外接球即为其外接正方体面体的外接球.又这个正方体的外接球半径为其体对角线的一半，正方体的体对角线为3l=3×22a=62a，所以正四面体的外接球半径R=12×62a=64a；又R:h=64a:63a=3:4，所以正四面体的外接球的球心是其高的四等分点.这是一条非常优美的性质：在正四面体中依次出现了各线段的二等分点、三等分点、四等分点.具体地说，如图：在正四面体S－ABC中，作SO⊥底面ABC,O为垂足,连接AO并延长交BC与D,O′为正四面体的中心:D为BC二等分点，O为AD的三等分点，O′为SO四等分点.性质四正四面体的内切球球心与其外接球球心重合，也是高的四等分点，其半径r=14h.正四面体的中心到底面的距离即为内切球的半径r，显然r=14h.性质五与正四面体各棱都相切的球即是其外接正方体的内切球，半径R′=12l=24a.性质六正四面体的侧棱与底面所成角的正切值为2.性质七正四面体的侧面与底面所成二面角的正切值为22.(2) 直角四面体若四面体共某一顶点三条棱互相垂直，我们称之直角四面体.如图，四面体O－ABC在点O处的三个二面角都是直角.所以四面体O－ABC是直角四面体.直角四面体与长方体关系密切，我们可以将它补形为长方体(如上图)，它的有些性质我们可以借助长方体模型进行探究.性质一直角四面体的对棱互相垂直.在长方体中，显然AO⊥底面BC，所以AO⊥BC;同理:BO⊥AC,CO⊥AB,所以，直四面体的对棱互相垂直.性质二直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心.连接AH并延长，交BC与D点，连结OD,因为OH⊥面ABC,所以OH⊥BC,易证BC⊥面AOD,所以BC⊥AH.同理可证：AC⊥BH，AB⊥CH.所以H为△ABC的垂心.性质三不含直角的底面△ABC是锐角三角形.设OA=a,OB=b,OC=c，则AB=a2+b2,AC=a2+c2,BC=b2+c 2.在△ABC中，由余弦定理：cos∠BAC=AB2+AC2－BC22 AB AC=a2(a2+b2)(a2+c2)>0.所以∠BAC是锐角.同理可得：∠ABC、∠ACB均为锐角，所以△ABC是锐角三角形.性质四外接球半径R=12a2+b2+c 2.将直角四面体补形为长方体即得.性质五内切球半径r=3VS△OAB+S△OAC+S△OBC+S△ABC.由等体积原理：V=13rS△OAB+13rS△OAC+13rS△OBC+13rS△ABC可得.性质六 S2△ OBC = S△ HBC • S△ ABC .性质七 S2△ OAB + S2△ OAC + S2△ OBC = S2△ABC .由性质六可推得.性质八 1OH2=1OA2+1OB2+1OC 2.因为V棱锥A－OBC=V棱锥O－ABC，所以13OA•S△OBC=13OH•S△ABC，所以a•12bc=OH•12a2b2+b2c2+c2a2，所以a2b2c2=OH2•(a2b2+b2c2+c2a2)，所以1OH2=a2b2+b2c2+c2a2a2b2c2，即1OH2=1OA2+1OB2+1OC 2.二、应用举例例1 (苏教版必修二P36例4改编)PA、PB、PC是从空间一点P出发的三条射线，且∠APB=∠APC=∠BPC=60°,则射线PA与PB、PC所在平面所成角的正切值为.【分析】这个几何体可以看成正四面体的一角，所求角是其侧棱与地面所成角，由正四面体性质六，其正切值为2.例2 (2006•山东［理］)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合与点P,则三棱锥P-DCE的外接球体积为 .注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
立体几何中的活跃分子——直角四面体
短论荟苹◆?歆吁(2008年第6期高中版)45立体几何中的活跃分子——直角四面俸438400红安县大赵家高中曾永三条侧棱两两相互垂直的四面体是一种特殊的四面体，我们称之为直角四面体，它具有以下性质：(1)任何一条侧棱垂直另两个侧棱构成的平面；(2)三个侧面两两垂直；(3)顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心等，立体几何中很重要的概念秘定理，都能从这个直角四正面体中衍生，因此深入研究直角四面体，对于把握空间图形中直线和平面的关系。
尤为重要．下面利用直角四面体的性质简解两道商考题．1直角四面体呈显性情形此时直角四面体作为试题图形的二个重要部分，它常与三垂线定理发生直接联系，这正是立体几何的核心内容之一．，么∑(2)征直角四咖俸卜灿甲，知点C衽坻回吼曰上的射影D点是△谢口的垂心，落在旧之上．A c=召c=口1．。
石㈣日0PcD=争，A C上曰C J z令嬲与底面嘞所成的角为毡(o≤a<詈)，所以乒8i n胁si舱，即争劬=sil l a，‘．㈣<手，．．o<乒砌<芋．．o<姗<辱，且o≤a<詈，．．．o<a<子46十。
?般-7(2008年第6期高中版)短论荟萃一嬲中，M 在底面c D E 的射／^＼＼影。
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一个俄罗斯高考题的特殊解法310002杭州师范大初教院戎松魁310003杭州市普通教育研究室李学军下题是2006年莫斯科大学数学力学系入学考试数学试卷的一个压轴题：设毒和y 是任意实数，求表达式12茹一，，一1I +I 善+，，I +I ，，I 的最／J 、值．分析此题看视简单，但要求正确答案却不容易．在俄罗斯《中学数学》杂志2007年第一期上给出了此题的一种解法，该解法巧妙地利用了数形结合的数学思想，简洁地求得了最小值，解题过程中应用了这样一个事实：在数轴上有三个点，它们的坐标分别为y ，<儿<乃，如果要在数轴上再找一个点(设坐标为y)，使这点与前三点的距离之和为最小，那么此点的作标应为托，即，，=y2时，I ，，一yl I +1)，一y2I +I ，，一儿I 有最小值，且最小值为乃一，，．．解在石不变的情况下，将此表达式变形：12茗一互一lI +I 善+，，I +l ，，I =l y 一(2善一1)I +l ，，一(一善)I+I ，，一0I ，设扎是2茗一l ，一茗，0这三个中的最大的一个，y 。
钴 四面体 八面体 析氢
钴四面体八面体析氢1.引言1.1 概述钴是一种重要的过渡金属元素，具有丰富的化学性质和广泛的应用价值。
它被广泛运用于电池、催化剂和合金等领域。
在钴的结构中，四面体和八面体是两种常见的晶体结构形式。
这两种结构具有不同的几何形状和化学性质，对于析氢反应有着重要的影响。
四面体是一种具有四个等长等角的三维几何形状，它是由四个面以及四个顶点组成。
钴的四面体结构在化学反应和催化过程中起着重要的作用。
四面体结构的钴离子具有较高的催化活性，可以有效地催化氢气的产生反应。
由于其特殊的结构和性质，钴四面体在电池和能源领域具有重要的应用潜力。
八面体是一种具有八个等长等角的三维几何形状，它由六个面以及八个顶点组成。
钴的八面体结构在催化反应和合金制备中具有广泛的应用。
八面体结构的钴原子可以形成稳定的晶格结构，提供了良好的催化活性和化学稳定性。
八面体结构的钴合金在航空航天和汽车工业中被广泛用作高温合金和催化材料。
析氢是指通过化学反应将氢气从化合物中分离出来的过程。
钴四面体和八面体结构对析氢反应具有不同的影响。
四面体结构的钴离子具有较高的活性，可以促进氢气的产生。
而八面体结构的钴原子由于其稳定性和较低的反应活性，更适合于催化反应的稳定性和长期应用。
总之，钴四面体和八面体是两种常见的钴晶体结构形式，它们在钴的性质和应用中起着重要的作用。
对于析氢反应来说，钴四面体结构的活性高，适合于催化氢气的产生；而钴八面体结构的稳定性使其更适用于催化反应的稳定性和长期应用。
随着科学技术的不断发展，钴四面体和八面体的应用前景将会进一步拓展，并为相关领域的发展带来新的机遇和挑战。
1.2文章结构文章结构的设计是为了帮助读者更好地理解和掌握所讨论的主题。
在本篇文章中，我们将按照以下结构展开讨论：1. 引言1.1 概述在引言部分，我们将简要介绍钴、四面体、八面体和析氢的基本概念，并指出它们在化学领域中的重要性和应用。
1.2 文章结构本文将按照以下顺序展开对钴、四面体、八面体和析氢的讨论：- 钴的性质和应用：首先，我们将深入探讨钴的化学性质、物理性质以及其在工业和科学研究中的广泛应用。
空间几何的性质四面体的性质及其应用
空间几何的性质四面体的性质及其应用四面体是空间中常见的立体图形，它具有一些独特的性质和应用。
本文将介绍四面体的性质及其应用。
一、四面体的定义和性质四面体是由四个三角形面组成的立体图形。
它具有以下性质：1. 定义：四面体是由四个不在同一平面上的点及连接这些点的边组成的立体。
2. 面积和体积：四面体的表面积和体积可以通过一定的公式计算得出。
其中，表面积等于四个三角形面积之和，体积等于底面积乘以高的一半。
3. 棱和顶点：四面体有六条棱和四个顶点。
任意两个顶点之间可以连接一条棱。
4. 高、中线和外接球：四面体的高是从一个顶点到相对的底面的垂直距离。
每个面的中线是连接该面上的两个中点的线段。
四面体还可以围绕外接球，外接球的球心与四面体的顶点都在同一平面上。
二、四面体的分类根据四面体的性质，我们可以将其分为以下几类：1. 正四面体：如果四面体的四个面都是等边三角形，那么它就是正四面体。
正四面体具有对称性，在空间几何学中起到重要作用。
2. 正交四面体：如果四面体的三个互相垂直的棱对同时相等，那么它就是正交四面体。
正交四面体具有一些特殊的性质，常用于计算几何和物理学中。
3. 锐角四面体和钝角四面体：根据四个顶点形成的凸四面体的内角是锐角还是钝角，可以将四面体分为两类。
在实际应用中，这些分类有助于确定四面体的稳定性和结构特征。
三、四面体的应用四面体不仅具有美学价值，还在许多领域有实际应用：1. 建筑与工程学：在建筑设计和工程施工中，四面体的结构特性可以用于设计和计算支撑结构的强度和稳定性。
2. 化学与结晶学：在化学和结晶学研究中，四面体被广泛用于分子和晶体的描述和分析。
3. 三维造型与动画：计算机图形学中，四面体被用于表示和生成三维模型和动画效果。
4. 数学与几何学：四面体是数学和几何学中研究的重要对象之一，对于解决空间几何问题和推导数学定理有重要意义。
总结：四面体是空间几何中重要的立体图形，具有独特的性质和应用。
空间中的平行四面体的性质
空间中的平行四面体的性质平行四面体是一个特殊的多面体，它由四个平行的三角面构成。
在本文中，我们将探讨空间中平行四面体的性质和特点。
一、定义和基本性质平行四面体是一个具有四个平行的三角面的多面体。
它的基本性质如下：1. 四条边两两平行，相交于四个顶点。
2. 四个面都是三角形，且两两平行。
3. 任意两个相对的面是全等三角形。
4. 任意两个相邻的面之间的夹角相等。
二、四面体的种类根据顶点的不同位置和性质，平行四面体可以分为以下几种种类：1. 正四面体：四个面都是全等正三角形的平行四面体。
2. 斜四面体：四个面不全等，即至少存在两个不全等的面的平行四面体。
3. 直角四面体：存在一个直角的平行四面体。
4. 锐角四面体：所有面上的夹角均为锐角的平行四面体。
5. 钝角四面体：至少存在一个钝角的平行四面体。
三、平行四面体的性质除了基本性质外，平行四面体还具有一些其他的性质和特点。
1. 高度和底面积关系：平行四面体的高等于它的底面的面积乘以底面到对立面的距离。
2. 体积计算公式：平行四面体的体积等于底面积乘以高度的一半。
3. 对角线关系：平行四面体的对角线分别为刚好连接两个对立顶点的线段，两个对角线的交点位于中心。
4. 对称性质：平行四面体对称于它的中心点。
四、平行四面体的应用平行四面体的性质在实际应用中有重要的意义。
1. 体积计算：平行四面体的体积计算公式可以应用于建筑、工程等领域的体积计算。
2. 结构稳定性：平行四面体在一些结构中被用于提高稳定性和均衡性，例如桥梁和塔楼的设计。
3. 几何推理：平行四面体的性质可以用于几何推理和证明，对于数学学科具有重要意义。
结论：空间中的平行四面体是一个具有四个平行的三角面的多面体，它具有诸多特点和性质，包括边的平行性、面的平行性、对称性以及体积计算等。
平行四面体的性质在实际应用中具有重要的意义，对于建筑、工程和数学等学科都有一定的应用价值。
通过研究和理解平行四面体的性质，我们可以拓展对立体几何的认识，并应用于实际问题的解决中。
一类特殊四面体的探究
案例分析新课程NEW CURRICULUM我们知道直角三角形在三角形当中是一类特殊的三角形，具有很大的研究价值，得到了很多有用的结论。
那么在推广到三维空间，在所有的四面体中也有一类比较特殊的四面体叫做直四面体，经常在各类高考模拟考试中出现，本文对其进行探讨，得到一些重要的结论.直四面体的定义：如图1所示，在四面体P -ABC 中，侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，我们称这样的四面体为直四面体，以下是基于直四面体的研究得到的结论.PCB A图1一、海伦公式的变形引理：在△ABC 中∠A ，∠B ，∠C 所对的边长分别为a ，b ，c ，s=a+b+c 2S 表示△ABC 的面积，则有S =s （s-a ）（s-b ）（s-c ）√；我们称为海伦公式，对其进行等价变形后会得到一些等价的形式。
S =s（s-a ）（s-b ）（s-c ）√=（a+b+c 2）（b+c-a 2）（a+c-b 2）（a+b-c 2）√=14［（b+c ）2-a 2］［a 2-（b-c ）2］√=14（2bc+b 2+c 2-a 2）［2bc-（b 2+c 2-a 2）］√=142（b 2c 2+c 2a 2+a 2b 2）-（a 4+b 4+c 4）√=14（a 2+b 2+c 2）2-2（a 4+b 4+c 4）√二、结论为了研究方便，如图2假设直四面体P -ABC 的侧棱PA ，PB ，PC 的长度分别为m ，n ，t ，容易证明PA ⊥面PBC ，PB ⊥面PAC ，PC ⊥面PAB ；三角形PBC ，PAC ，PAB 都是直角三角形.P CB Atn m 图2结论1：S 2P AB +S 2P BC +S 2P AC =S 2ABC证明：∵侧棱PA ，PB ，PC 的长度分别为m ，n ，t ，且三角形PBC ，PAB ，PAB 都是直角三角形.∴S PAB =12mn ；S P BC =12nt ；S P AC =12mt ；且AB =m 2+n 2√，BC =n 2+t 2√，AC=m 2+t 2√；根据海伦公式的变形可得：S =14（a 2+b 2+c 2）2-2（a 4+b 4+c 4）√可得：S △ABC =14（AB 2+BC 2+AC 2）2-2（AB 4+BC 4+AC 4）√=144（m 2+n 2+t 2）2-2［（m 2+n 2）2+（n 2+t 2）2+（m 2+t 2）2］√=144（m 2n 2+n 2t 2+m 2t 2）√=12（m 2n 2+n 2t 2+m 2t 2）√∴S 2P AB +S 2PBC +S 2P AC =S 2ABC结论2：假如在棱AB ，BC ，AC 边上分别取中点D ，E ，F ，如图3则有：S 2P DC +S 2PAE +S 2P BF =2S 2ABCPCBAE D F图3证明：∵D 是AB 的中点，且△PAB 是直角三角形；∴PD =12AB =12m 2+n 2√又∵PC ⊥面PAB ；∴PC ⊥PD ；∴△PDC 是直角三角形；∴S PDC =12PD ·PC =12m 2+n 2√·t ；同理可得：S P AE =12t 2+n 2√·m ；S P BF =12m 2+t 2√·n由前面可知：S ABC =12m 2n 2+n 2t 2+m 2t 2√即S 2P DC +S 2P AE +S 2PBF =m 2n 2+n 2t 2+m 2t 22=2S 2ABC结论3：假如在结论2中的棱AB ，BC ，AC 边上的中点D ，E ，F 分别改为棱AB ，BC ，AC 的垂足，则有：1S 2P DC +1S 2PAE +1S 2P BF =8（m 2+n 2+t 2）m 2n 2t 2证明：∵△PAB 是直角三角形，对△PAB 的面积算两次即，12mn =12AB ·PD =12m 2+n 2√·PD ，得PD=mn m 2+n 2√；又∵PC ⊥面PAB ；∴PC ⊥PD ；∴△PDC 是直角三角形；∴S P DC =12PD ·PC =12mnt m 2+n 2√；同理可得：S P AE =12mnt t 2+n 2√；S P BF =12mnt t 2+m 2√；∴1S 2P DC +1S 2P AE +1S 2P BF =8（m 2+n 2+t 2）m 2n 2t 2结论4：假设如图4侧面PAB ，PBC ，PAC 与底面ABC 的二面角分别为α，β，γ，则有sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2；cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1.一类特殊四面体的探究林龙英（广东省佛山市顺德区中等专业学校）53--All Rights Reserved.案例分析新课程NEW CURRICULUMF -等不大量共存；I -与I 2；Ag +、Cu 2+与NH 3等。
第十讲 特殊四面体及其性质2
[接上] 第十讲:特殊四面体及其性质[直角四面体的应用]例1． 求证判定 (3) 中O —ABC 是直角四面体。
证法一：设正四面体ABCD 的棱长为a ，则其高DH=3，而ＡＨ＝3a ，DO=OH＝6a ，在Rt AHO ∆中⇒212OA =a 2,同理OB=OC=OA=2a,由勾股定理易证∠AOB=∠BOC=∠COA=90，故得证。
证法二：如图三，将正四面体ABCD 镶嵌在棱长为a 的正方体中，则正四面体ABCD 中O 、H 是正方体对角线DE 的两个三等分点[3]，由定比分点公式得：O(2,,333a a a )、Ｈ（22,,333a a a ）⇒AO OB ⋅=（22,,333a a a -）⋅（22,,333a a a ）＝０，即OA ⊥OB ，同理OB ⊥OC ，OC ⊥ＯＡ，得证。
例2． (2003年湖南省高中数学竞赛题) S —ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥，Ｏ为底面ＡＢＣ内一点，若∠OSA=α,∠OSB=,β∠OSC=γ，则tan α⋅tan β⋅tan γ∈ ( )A ． ［)+∞ Ｂ．（０， Ｃ． [1，] Ｄ．（1，简析：由2．2 (1) I 有cos2a+cos 2β+cos 2γ=l ⇒sin 2α=1–cos 2α =cos 2β+cos 2γ≥2cos β⋅cos γ，同理有 sin 2β≥2cosacos γ，sin 2γ≥2cos αcos β 三式相乘有tan 2αtan 2βtan2γ≥8 ∴选(A) 或以SO 为对角线补成长、宽、高分别设为a 、b 、c 的长方体 ⇒tan α⋅tan β⋅tan γ≥ abc=例3．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，三侧面与底面所成的二面角分别为30°、45°、60°，底面积为1，则三棱锥的侧面积为 （ ）(A). 2123++ (B). 213+ (C). 212+ (D). 26 解：每一个侧面都是底面在这个侧面所在平面上的射影，由面积射影公式cos θ =SS '⇒ S 侧 = S 底·（cos30°+cos45°+cos60°）= 2123++ ∴选 ( A )解后反思：由2．2(1)Ⅲ 知cos 230+cos 245+cos 260=321≠，故此题是一道流行很广的错题! 例4． 已知直线四面体O —ABC 中，三直角面与斜面ABC 所成的二面角分别为α、β、γ，则（ ）Ａ．cos αcos βcos γ=13B ．cos 2α +cos 2β+cos 2γ=l Ｃ．sin αsin βsin γ=13 D ．sin 2α +sin 2β+sin 2γ=1 解法一：由2．2 (1) Ⅲ 知cos 2α +cos 2β+cos 2γ=l ⇔ sin 2α +sin 2β+sin 2γ=2 ． ∴选(B)解法二：由2．4有S 42＝21S ＋22S ＋23S ，两边同时除以S 42，由cos θ =SS ' 得： cos 2α +cos 2β+cos 2γ=l ．解法三：补成长方体，则α、β、γ⇔长方体对角线OH 与OA 、OB 、OC 所成的角，特殊值法，令OA ＝OB==O Ｃ=１，则方向角α＝β＝γ，且方向余弦cos α=cos β=cos γ(B)对。
空间几何中的四面体与四面体的性质
空间几何中的四面体与四面体的性质四面体是空间几何中的一个基本几何体，它由四个面组成，每个面都是一个三角形。
四面体的性质十分有趣，它们在数学和几何中有广泛的应用。
本文将介绍四面体的定义、特征以及一些重要的性质。
一、四面体的定义和构造四面体的定义很简单：它是一个具有四个面的立体，且每个面都是一个三角形。
这四个面彼此相邻，共享边。
通过四个顶点，可以唯一地确定一个四面体。
构造四面体有多种方法，下面介绍两种常见的方法。
1. 顶点法构造：选取空间中的四个点作为四面体的顶点，通过连接这四个点，就可以构造出一个四面体。
2. 剖分法构造：将一个三角形沿着一个内部点作剖分，得到四个小三角形。
这四个小三角形的边即为四面体的边，而原来的三角形则成为四面体的底面。
无论是哪种构造方法，生成的四面体都具有相同的性质和特征。
二、四面体的性质1. 顶点、边、面和体积：一个四面体有四个顶点、六条边、四个面。
其中每个面都是一个三角形，每个顶点都是三条边的交点。
四面体的体积可以通过海伦公式来计算，该公式将四面体的面积和边长联系在一起。
设四面体的底面积为S，底面和顶点的距离为h，则四面体的体积V可以通过如下公式求得：V = (1/3) * S * h。
2. 共面性：四面体的四个顶点不共面，也就是说它们不会在同一个平面上。
这个性质使得四面体与其他几何体有所区别。
3. 高度和正交性：对于任意一个面，可以通过顶点引垂线得到一条高。
同时，四面体的相邻面也满足正交关系，即相交直线互相垂直。
4. 对称轴和中线：四面体具有对称轴和中线。
对称轴是通过两个相对的棱的中点连接而成的直线，它可以将四面体分为两个对称的部分。
中线则是通过两个相对的顶点的中点连接而成的直线。
5. 欧拉公式：对于一个凸四面体，其顶点数、边数和面数满足欧拉公式：顶点数 + 面数 = 边数 + 2。
四、特殊类型的四面体1. 正四面体：四个等边三角形组成的四面体称为正四面体。
正四面体具有以下特点：所有边长相等，任意两条边的夹角为60度，底面上的高相等。
四面体的欧拉公式
四面体的欧拉公式四面体是一种由四个面和四条边所构成的立体图形，它是立体几何学中的一个基本图形。
欧拉公式是数学家欧拉在18世纪提出的一条基本公式，揭示了凸多面体的面数、边数和顶点数之间的关系。
对于四面体而言，欧拉公式可以表示为：面数+顶点数=边数+2在推导四面体的欧拉公式之前，让我们首先了解一下四面体的性质。
四面体的性质与命名：四面体的特点是四个面，每个面都是一个三角形。
四面体的四个顶点两两不在同一平面上，四个面两两相交于一个共同的边。
四面体有许多特殊的性质和命名：1.顶点：四面体中的顶点是立体图形的顶点，共有四个，用A、B、C、D等字母表示。
2.边：四面体的边是由两个顶点间的连线所形成，共有六条，用AB、AC、AD、BC、BD、CD等字母表示。
3.三角面：四面体的四个面都是三角形。
以面ABC为例，顶点A、B、C是该面的三个顶点，分别用字母A、B、C表示。
4.高：对于四面体的三个脚点和与之相对的面，可以得到三条高。
这些高线相交于一个点，称为四面体的垂心。
5.侧面：以边AB为底边的高位与侧边CD所成的面称为四面体的一个侧面，用ABC表示。
现在我们来证明四面体的欧拉公式。
证明四面体的欧拉公式：首先，我们假设四面体的面数为F，边数为E，顶点数为V。
由于四面体有四个面，所以F=4、边数等于四个面的边的总数，即E=6接下来，我们来计算顶点数V。
对于四面体而言，每个面都是一个三角形，所以四个面总共有12条边。
每个顶点是三个面的顶点，所以每个顶点对应3条边。
因此，顶点数V可以通过E/3计算得到，即V=6/3=2现在我们将F、E和V的值代入欧拉公式中：F+V=E+2由于F=4、E=6和V=2，所以4+2=6+2，即6=8我们可以看到，当代入四面体的面数、边数和顶点数时，等式的结果不一致。
这是因为欧拉公式仅适用于凸多面体，而四面体是凸多面体的一种。
如果我们将四面体的一个面切割，形成一个新的面与旧的面相交，我们可以得到一个新的多面体，它是一个正四面体。
四个面都垂直的四面体例子
四个面都垂直的四面体例子四面体是一种最简单的多面体，它有四个面，每个面都是一个三角形。
而在四面体中，如果四个面都垂直于某一个平面，则被称为四个面都垂直的四面体。
下面我们将列举10个例子来说明四个面都垂直的四面体。
1. 一种例子是正四面体。
正四面体是一种四个面都垂直的四面体，它的四个面都是等边三角形。
正四面体具有很多特殊的性质，比如它的顶点到中心的距离都相等，它的体积等于底面积乘以高的三分之一。
2. 另一种例子是直角四面体。
直角四面体是一种四个面都垂直的四面体，其中有一个角是直角。
直角四面体的底面可以是一个直角三角形，而其余三个面都是直角三角形。
3. 第三个例子是棱台。
棱台是一种四个面都垂直的四面体，它的底面是一个平行四边形，而顶面是一个平行于底面的平行四边形。
棱台的两个侧面都是直角三角形。
4. 另一个例子是棱锥。
棱锥是一种四个面都垂直的四面体，它的底面是一个正多边形，而顶面是一个与底面完全相似的正多边形。
棱锥的侧面都是直角三角形。
5. 第五个例子是正八面体。
正八面体是一种四个面都垂直的四面体，它的四个面都是等边三角形。
正八面体具有很多特殊的性质，比如它的顶点到中心的距离都相等，它的体积等于底面积乘以高的三分之一。
6. 另一个例子是正十二面体。
正十二面体是一种四个面都垂直的四面体，它的四个面都是等边三角形。
正十二面体具有很多特殊的性质，比如它的顶点到中心的距离都相等，它的体积等于底面积乘以高的三分之一。
7. 第七个例子是正二十面体。
正二十面体是一种四个面都垂直的四面体，它的四个面都是等边三角形。
正二十面体具有很多特殊的性质，比如它的顶点到中心的距离都相等，它的体积等于底面积乘以高的三分之一。
8. 另一个例子是长方体。
长方体是一种四个面都垂直的四面体，它的底面是一个长方形，而顶面也是一个长方形。
长方体的侧面都是直角三角形。
9. 第九个例子是正五面体。
正五面体是一种四个面都垂直的四面体，它的底面是一个正五边形，而顶面也是一个正五边形。
三组对棱分别相等的四面体外接球半径
三组对棱分别相等的四面体外接球半径四面体是由四个三角形面组成的几何体。
当四面体的所有棱相等时，我们称这个四面体为等边四面体。
在等边四面体中，有一个特殊的球，称为外接球，它可以恰好与四面体的四个顶点相切。
本文将探讨等边四面体外接球的半径。
首先，让我们回顾一下等边四面体的基本性质。
在等边四面体中，四个面的边长相等，四个顶点到四面体重心的距离也相等。
同时，四个顶点和重心构成了一个正四面体，也就是边长为a的正四面体。
我们可以借助球的性质来推导外接球的半径。
根据球的性质，三角形的外接圆半径等于三条边的乘积除以4倍三角形面积。
因此，我们可以通过计算等边四面体的侧面的面积和边长的关系来找到外接球的半径。
设等边四面体的边长为a，侧面的面积为S。
利用海伦公式，我们可以求得侧面的面积为S=√(3/4)a^2。
因此，外接球的半径R等于外接圆的半径，即R=a^2/(√(3)/2)a^2=(2√2)/3a。
根据上述推导，可得到等边四面体外接球的半径为(2√2)/3a。
这个结论告诉我们，在等边四面体中，外接球的半径与四面体的边长成正比。
当边长增加时，外接球的半径也增大。
同时，我们还可以通过计算等边四面体的体积来找到外接球的半径。
根据等边四面体的体积公式V=(√2/12)a^3，我们可以利用体积和半径的关系来找到外接球的半径。
等边四面体可以分解成六个全等的四面体，每个四面体的体积为V/6=(√2/72)a^3。
而外接球的体积等于四个全等的四面体的体积之和。
因此，外接球的体积为V=(√2/18)a^3。
根据球的体积公式V=(4/3)πR^3，我们可以将等边四面体外接球的体积公式转化为R=(√2/3√3)a。
因此，等边四面体外接球的半径为(√2/3√3)a。
通过上述推导，我们可以得出等边四面体外接球的半径公式为(2√2)/3a或(√2/3√3)a。
这两个公式都可以用来计算等边四面体外接球的半径，其中a代表等边四面体的边长。
总结一下，等边四面体外接球的半径与等边四面体的边长成正比。
高一数学正四面体知识点
高一数学正四面体知识点正四面体是一种特殊的多面体，具有一些独特的性质和特点。
在高一数学中，正四面体是一个重要的几何概念，学习正四面体的知识点对于理解空间几何关系和解决相关问题至关重要。
本文将为大家介绍高一数学中与正四面体相关的知识点。
一、正四面体的定义和性质正四面体是由等边三角形组成的四面体。
其定义需要满足以下条件：1. 四个面均为等边三角形；2. 任意两个面的交线是一个点，称为顶点；3. 任意两个顶点之间的线段相等。
正四面体具有以下性质：1. 所有边长相等，所有的面都是等边三角形；2. 任意两个面之间的夹角为60度；3. 所有的侧面都与底面平行；4. 顶点到底面的距离是底边的一半。
二、正四面体的体积和表面积计算1. 体积计算：正四面体的体积计算公式为V = (√2/12) * a³，其中a为边长。
证明过程：设A为底面中心点，连接A与顶点B，由于正四面体对称性，三角形ABC是等边三角形。
连接O为AB上的中线，连接C为底面上的点到顶点B的垂线，由勾股定理，AB²=BO²+AO²，得到AB²= (1/4)a²+a²，即AB=√2/2 * a。
由底面AB与顶点C的连线构成一个立体角∠ABC，因此这个角是等角，其大小为60°，同时，BC与底面上任意一条边都是垂直的，也即与该底面平行，所以这个三面角是一个锐角。
我们先求出这个三角形底边的长度，设为h，可知tan60°=h/AB,即h=AB*√3=√2/2 * a * √3=a√6/2，所以a*h= (1/4)*a²√6。
故正四面体的体积为V= (1/3)*底面面积*高= (1/3)* (1/4)*a²√3 * a√6/2 = (1/12)*a³√2。
2. 表面积计算：正四面体的表面积计算公式为S = √3 * a²，其中a为边长。
几类特殊四面体外接球半径求解的策略
几类特殊四面体外接球半径求解的策略摘要：立体几何是培养学生空间想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的重要学科，本文通过探求几类特殊四面体的几何特征，归纳出它们的外接球半径公式或求解策略，并通过高考题（含质检题、模拟题等）和竞赛题进行运用和检验，进一步发展学生的数学核心素养。
关键词：四面体；外接球；半径球问题可以综合考查学生的空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，与球相关的计算问题在高考、各类模拟考甚至竞赛试题中屡见不鲜，尤其是以三棱锥作为背景设置外接球问题较多。
三棱锥外接球问题题型丰富、灵活多变，此类问题实质是解决球的半径或确定球心的位置问题。
本文基于课堂教学，立足基础和基本技能，谈谈几类特殊四面体外接球的求解方法，以供参考。
1.易补形为长方体模型下的四面体（1）直角四面体（墙角型）的外接球半径从一个顶点出发的三条棱两两垂直的四面体称为直角四面体。
该三棱锥的特点为一顶点处引发的的三条棱两两互相垂直，将该三棱锥补形为以三条棱分别为长、宽、高的长方体，如图1.1所示。
则该三棱锥外接球半径即为长方体的外接球半径，因此不难得到该三棱锥的外接球半径 .例1（2008年高考数学福建卷第15题）若三棱锥三个侧面两两垂直，侧棱长均为，则外接球的表面积为_______.解：由于三棱锥三个侧面两两垂直，则这个三棱锥为直四面体。
由于三个侧棱长都等于，则外接球半径所以此三棱锥外接球的表面积 .点评：当三棱锥某一顶点处的三条棱两两垂直时，可将此三棱锥视为长方体的一角，进（ 2）等腰四面体的外接球半径三组对棱分别相等的四面体称为等腰四面体。
该三棱锥的特点为三组相对的棱与、与、与分别相等。
可将该三棱锥补形为如图1.2所示的长方体，其中三组相对的棱分别位于长方体的六个面的对角线上。
不妨长方体的长、宽、高分别为，则由勾股定理可知，故可得所以此三棱锥外接球的半径.例2（2018年全国高中数学联赛浙江省预赛第10题）在四面体中，已知则四面体的外接球的半径为_______.解：由于三棱锥三组对棱相等，则这个三棱锥为等腰四面体。
勒洛四面体最大距离
勒洛四面体最大距离
勒洛四面体是一种特殊的四面体，被称为“最小的不可展在球面上的
凸四面体”，在数学领域中有着重要的地位。
而勒洛四面体最大距离
是指四面体四个点之间的最大距离，是勒洛四面体的一项重要性质。
勒洛四面体最大距离的研究历史可以追溯到19世纪，当时数学家在研究几何学中的形状问题时开始注意到它。
到了20世纪，勒洛四面体的最大距离开始引起数学家的广泛关注，一些数学家通过不断优化算法
和技术，成功地求出了其最大距离，不仅让人们对几何学的理解更加
深入，也为其他数学领域提供了借鉴。
目前，勒洛四面体最大距离已知值为0.6602左右，这个数值是经过多种算法进行推导得出的。
而如何求解这个值成为了四面体有关领域研
究的一项难题，对于四面体的研究有着极为重要的意义。
除了在数学领域中的重要性之外，勒洛四面体最大距离的研究对于其
他领域也有着重要的影响。
例如，在计算机图形学、虚拟现实和游戏
领域，勒洛四面体最大距离的研究可以帮助我们更加精确地描述空间，并创建更真实的图像和场景。
总之，勒洛四面体最大距离虽然在日常生活中很少被人提及，但其在
数学和其他相关领域中的重要性不容忽视。
我们相信，在未来的研究中，勒洛四面体最大距离的研究会继续深入发展，并为世界带来更多的发现和贡献。
四个面都垂直的四面体例子
四个面都垂直的四面体例子一、四面体的定义和特点四面体是由四个面组成的立体图形，每个面都是一个三角形。
四面体的特点是：四个顶点不在同一平面上，任意三个顶点确定一个三角形面。
二、符合题意的四面体例子1. 正四面体正四面体是最简单的四面体，它的四个面都是等边三角形。
它的四个顶点构成一个四面体，并且每个顶点都与其他三个顶点连线。
正四面体具有对称性，可以通过旋转或镜像等操作得到其他相同形状的正四面体。
2. 锥形四面体锥形四面体是由一个底面和一个顶点连线而成的四面体。
底面可以是任意形状的多边形，但要求顶点与底面的每个顶点相连。
这种四面体的特点是，底面上的每条边都会与顶点相交，形成一个锥形结构。
3. 正棱锥正棱锥是一种特殊的锥形四面体，它的底面是一个正多边形，顶点与底面的每个顶点相连，并且顶点到底面中心的距离相等。
正棱锥的特点是，它的侧面都是等腰三角形，并且顶点到底面中心的连线垂直于底面。
4. 正四棱锥正四棱锥是一种特殊的正棱锥，它的底面是一个正四边形，顶点到底面中心的距离相等，并且顶点与底面的每个顶点相连。
正四棱锥的特点是，它的侧面都是等腰三角形，并且顶点到底面中心的连线垂直于底面。
5. 直角四面体直角四面体是一种特殊的四面体，其中一个面是一个直角三角形。
直角四面体的特点是，它的其余三个面都是斜边与直角边组成的直角三角形。
6. 正方体的四面体剖面正方体是一个立方体，它的六个面都是正方形。
如果我们在正方体的一个对角线上取两个顶点，并将对角线分成两段，那么这两个顶点和相邻的两个顶点构成的四面体就是正方体的四面体剖面。
7. 等腰四面体等腰四面体是一种特殊的四面体，它的底面是一个等腰三角形，顶点到底面的高相等，并且顶点与底面的每个顶点相连。
等腰四面体的特点是，它的侧面都是等腰三角形，并且顶点到底面的高垂直于底面。
8. 正三棱锥的四面体剖面正三棱锥是一种特殊的三棱锥，它的底面是一个正三角形，顶点到底面中心的距离相等，并且顶点与底面的每个顶点相连。