第四章 一般年金(利息理论-陈萍)
利息理论 年金
例2-7 某人从1980年1月1日起开始向希望工程 捐款，每年捐款支付3000元，到2005年1月1 日为止从未间断。该人还表示，他的捐款将 持续到2019年1月1日为止。假设年实质利率 为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻 的价值： （1）1960年1月1日； （2）1979年1月1日； （3）1980年1月1日； （4）2000年1月1日； （5）2019年1月1日； （6）2020年1月1日； （7）2060年1月1日。
2-3 永续年金
a∞
&& && a∞
1=i a∞
a∞ =1/i
（i>0）
2
(2-14A) (2-14B)
1 a∞ =v+v +…= i
（i>0）
1 − vn a∞ = lim an = lim =1/i （i>0） (2-14C) n →∞ n →∞ i
&& 1=d a∞ && a∞ =1/d a∞ =1+v+v2+…=1/d
1．付款频率小于计息频率的 情况
（1）期末付年金
1 0 1 2 …k-1 k
1 … 2k …
1 n-2k …
1 n-k …
1 n
图（2-10A） 年金支付图
假设每个计息期的实质利率为 i，则该年金的现值为： vk+ v2k+…+ v
n ⋅k k
例2-13 在利率为i时，某人存入银行10000 元，然后每年年末从银行支取1000元， 共支取12年，恰好支取完毕，计算i值。
例 2-14 推导如下的求解未知利率问题
an i =k 的初值公式
k 2 1- ( ) n i0= k
2016中级会计职称《财务管理》年金公式总结
2016 中级会计职称《财务管理》年金公式总结知识需要反复记忆，公式也是一样，需要反复记忆，在实际操作中能得心应手的运用。
大家需要注意年金公式的变形。
一、一次性款项的现值和终值单利终值和单利现值(系数互为倒数)F = P + Px i x n= PX1& i x n)P = F/ (1 + n x i )二、复利终值和复利现值(系数互为倒数)F = PX(1 + i) nP = FX(1 + i)- n复利现值系数( P/F,i,n )与复利终值系数( F/P,i,n )互为倒数三、普通年金终值系数与偿债基金系数二者是互为倒数，简单的就是到期了要还债。
偿债基金系数就是已经终值求年金。
中级会计职称考试教材已经发布，三科教材略有变动，点击查看2016 年中级会计职称考试三科教材对比情况汇总，上财名师解读教材变动及备考指导直播课 5 月 6 日直播，由上财名师为大家讲解教材变化内容，能帮助大家掌握考试重难点。
四、普通年金现值系数与投资回收期系数 二者互为倒数，就是已知现值求年金；简单的理解就是你做 了一笔投资，每年需要收回多少才能达到这个投资额，这部 分在第八章资本预算中我们还会接触到。
这里注意：普通年金终值系数和普通年金现值系数是不互为 倒数的。
五、公式变形 以下部分变形是我们教材中没有的，高顿网校小编希望大家能记住它们，在财务管理考试中能灵活应用它们。
3. 普通年金终值系数 =(复利终值系数 -1 )/折现率4. 普通年金现值系数 =(1- 复利现值系数) /折现率5. 预付年金终值和现值 =普通年金终值和现值 *(1+i )6. F = A[ ( F/A , i, n + 1) - 1],预付年金终值多复利一次 数加 1 ，系数减 1 )7. P = A[ ( P/A , i, n- 1) + 1],预付年金现值少折算一期 数减 1 ，系数加 1 )8. 递延年金 者是期初 m-2 ,然后计算终值和现值。
第四章 财务估价基础-普通年金的终值与现值
C.普通年金终值系数和偿债基金系数互为倒数 D.普通年金现值系数和投资回收系数互为倒数 正确答案：A,C,D 解析：本题的考互为倒数 互为倒数
互为倒数
【掌握技巧】“年终偿债” 例题：
1.在利率和计息期相同的条件下，以下公式中，正确的是（） A.普通年金终值系数X普通年金现值系数=1 B.普通年金终值系数X偿债基金系数=1 C.普通年金终值系数X投资回收系数=1 D.普通年金终值系数X预付年金现值系数=1 正确答案：B 解析：本题考核的知识点是“普通年金终值系数与偿债基金系数的互为倒数 关系”。选项B为正确答案。 2.下列各项中，属于年金形式的项目有（）。 A.零存整取储蓄存款的整取额 B.定期定额支付的养老金 C.年资本回收额 D.偿债基金 正确答案：B,C,D 解析：零存整取储蓄存款的零存额属于年金形式，而整取额不属于年金。 3.下列表述中，正确的有（）。 A.复利终值系数和复利现值系数互为倒数 B.普通年金终值系数和普通年金现值系数互为倒数
2015年注册会计师资格考试内部资料 财务成本管理
第四章 财务估价基础 知识点：普通年金的终值与现值
● 详细描述： 一、有关年金的相关概念 1.年金的含义 年金，是指等额、定期的系列收支。具有两个特点：一是金额相等；二
是时间间隔相等。 2.年金的种类
二、普通年金的计算 1.普通年金终值计算：（注意年金终值的含义、终值点）
2.普通年金现值的计算
3.偿债基金和资本回收额的计算 ①偿债基金的计算 简单地说，如果是已知年金终值求年金，则属于计算偿债基金问题，即 根据普通年金终值公式求解A（反向计算），这个A就是偿债基金。 根据普通年金终值计算公式：
可知：
式中的
【提示】这里注意偿债基金系数和年金终值系数是互为倒数的关系。
《利息理论》等额年金知识分析
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
111
时间 0 1 2 3
11 n-1 n
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
a ：a-angle-n n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每 ni
a 1v n
vn1
1 vn 1 vn
1v d
s ——期初付年金的积累值因子 n|i
s (1 i) (1 i)n (1 i)[1 (1 i)n1] n
(1 i)n 1 (1 i)
(1 i)n 1
(1 i) 1
d
16
a n|
和
s 的关系 n|
（1）
s a (1 i)n
n|
n|
（2） 1 1 d an sn
a
a m
m|
a n
vmna
m|
a n
a
a m
vmna
0
m
m+n
a m
m|
a n
vmna
a
38
6、可变利率年金（了解）
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到 时刻 k 这段时间的利率， i1，i2， ，it 分别表示第1， 2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
34
解：10万元每年产生的利息是7000元。
A所占的份额是 7000a 7000(7.0236) 49165 10|
B所占的份额是 7000(a a ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 20| 10|
利息理论
28
补例：某期末付年金付款如下：单数年末每次 付款100元，双数年末每次付款200元，共20年。 若在某时间t一次性付3000元的现值与前面的 年金现值相等。年利率为i，求t。
29
解：单数年末付的年金，若以1时刻为初始时刻，形 成了一个付款期大于计息期的计息20次期初付年金， a v 故在1时刻的现值为 ，在0时刻的现值为 100 a。 双数年年末付的年金，若以时刻2为初始时刻，形成 了一个付款期大于计息期的计息20次期期末付年金， a 200 所以在0时刻的现值为 。故价值方程为： s
§2.2 年金的一般型
本节主要介绍年金标准型的各种变化，如利率 的变化、计息期或计息频率、付款频率的变化等， 这些变化了的年金统称为年金的一般型。
1
2.2.1 变动利率年金
在年金标准型中，整个付款期内利率是不变的。 这里将介绍变动利率下年金的计算。一般有两种 利率变动方式。 1. 各付款期内的利率不同，即不同的付款期的 利率不同，如在第一个付款期利率为 i1 ，第二个付 款期利率为 i2 ,L ，第n个付款期利率为in 这样，所 有付款的年金现值和年金积累值分别为：
R ⋅ sk = 1
即
R=
1 sk
这样在n个计息期，每个计息期期末都有R元的付款，所有 的n次付款形成了一个n期期末付年金，年金现值 年金现值为： 年金现值
R ⋅ an = 1 ⋅ an sk
同样可得年金积累值 年金积累值为： 年金积累值
1 R ⋅ sn = ⋅ sn sk
19
1 sk 0 1
1 1 1 L sk sk 2 L k
12
例2.2.3 某人购房贷款80,000元，每月初还款一次，分10 年还清，每次还款额相等，贷款年利率为10.98％，计算 每次还款额。 解：根据已知年实际利率，计算出月实际利率
年金的公式总结范文
年金是指按照一定的时间间隔、一定的利率和一定的期限，定期支付的一笔固定金额的现金流。
年金的计算可以使用不同的公式，下面将总结一些常用的年金公式。
1.普通年金公式：普通年金是指在一定的时间间隔内，每期支付相同数额的现金流。
普通年金公式包括PV（现值）、FV（未来值）、PMT（每期支付金额）、n （总期数）、i（利率）五个变量。
普通年金公式如下：PV=PMT×[(1-(1+i)^(-n))/i]FV=PMT×[((1+i)^n-1)/i]其中PV是现值，指将未来的现金流折算到现在所对应的金额；FV是未来值，指在一定期限内所有现金流的总和；PMT是每期支付金额；n是总期数；i是利率。
2.分期付款公式：分期付款是一种特殊的年金，在分期付款中，每期支付的金额是不同的。
分期付款公式包括PV（现值）、FV（未来值）、n（总期数）三个变量，公式如下：PV=C1/(1+i)^1+C2/(1+i)^2+…+Cn/(1+i)^nFV=C1×(1+i)^1+C2×(1+i)^2+…+Cn×(1+i)^n其中PV是现值，指将未来的现金流折算到现在所对应的金额；FV是未来值，指在一定期限内所有现金流的总和；C1、C2、…、Cn是每期支付的金额；n是总期数；i是利率。
3.延期年金公式：延期年金是指在一定的时间间隔内，推迟一段时间后开始支付的现金流。
延期年金公式包括PV（现值）、FV（未来值）、PMT（每期支付金额）、d（延迟期数）、n（总期数）、i（利率）六个变量，公式如下：PV=PMT×[(1-(1+i)^(-n))/i]×(1+i)^-dFV=PMT×[((1+i)^n-1)/i]×(1+i)^-d其中PV是现值，指将未来的现金流折算到现在所对应的金额；FV是未来值，指在一定期限内所有现金流的总和；PMT是每期支付金额；d是延迟期数；n是总期数；i是利率。
保险精算学讲义(doc 90页)
保险精算学讲义(doc 90页)第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。
二、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累方式划分：（1）线性积累：单利计息（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力特别，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积累值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。
2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。
3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
2、年金的分类：（1）基本年金约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。
二、基本年金1、分类（1）付款时刻不同：初付年金/延付年金（2）付款期限不同：有限年金/永久年金2、基本年金公式推导3、变利率年金问题（1）时期变利率（第个时期利率为）（2）付款变利率（第次付款的年金始终以利率计息）三、一般年金1、分类（1）支付频率不同于计息频率（2）变额年金2、支付频率不同于计息频率年金（1）支付频率小于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（2）支付频率大于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（3）连续年金特别，在常数利息效力场合3、变额年金（1）等差年金初始投资P元，等差Q元的年金的一般公式：现时值：积累值：特别地，递增年金：P=Q=1现时值：积累值：递减年金：P=n，Q=-1现时值：积累值：（2）等比年金（下一期年金值为前一期年金值的（）倍）现时值：积累值：第四节：收益率一、收益率的概念1、贴现资金流与现金流动表2、收益率的定义：使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。
保险精算学利息理论
in=(A(n)-A(n-1))/A(n-1)
2.1.2 单利与复利
1 单利
2 复利
Eg2.1 某人1997年1月1日借款1000元，假设 借款年利息为5%，试分别以单利和复利计 算： （1）如果1999年1月1日还款，还款 总额是多少？
（2）如果1997年5月20日还款，还款 总额是多少？
2.2.2 永续年金（永久年金）
所谓永久年金是指每年收付款1单位元，而收付款的时间为永久 的无确定期限。
表示符号：
a
a (m )
a
a (m )
a 1v v2 .... 1 1
1v d
a v v2 v3 .... v 1
1v i
两者的关系 a a (1i)
考虑：每年收付款次数为m次，期首支付，每次收付款额为1的永久 m
2.1 利息基本理论
2.1.1 累积函数 时间 t
1 总额函数 A(t):t时资金累积额
2 利息 I(t)=A(t)-A(0)累积额与本金之差
A(t)=A(0)+I(t)
2 累积函数 为了反映单位本金的增值情况，引入累
积函数a(t)
a(t)=A(t)/A(0) 3 利息率
衡量资金生息水平的指标是利息率：单 位本金在单位时间内的利息。
i
III 永久递增年金
同学们自己分析，得出结论：
(Ia)
1,(Ia) id
d12
例子：
Ex2.13 某年金在第一年首收付100元，以后每隔一年均比前 一年增收100元，若年利率为8%，（1）计算收付8年后年金 现值与终值；（2）计算永久年金的现值。
Ex2.14 某年金第一年收付200元，以后每隔一年均比前一年 增收100元，增加到一次收付1000元时不再增加，并保持每 年1000元的水平连续收付，年利率为8%，给出这一年金现值 的计算表达式。
基本年金利息理论陈萍PPT学习教案
第14页/共84页
EX。一辆轿车价值为12万元，先付20%,以后按7.65%月度转换利率每月付等额 款项直至第5年末付清。试构造此项业务头3年与最后3年的分期偿还表。
3.2.3.偿债基金
借款人在偿还一笔贷款时，也可以不用分期偿还方式，而用在一个规定时期之末 的一次集中付款来偿还。在许多这种情况下，借款人要积累一笔基金，此基金足 够在规定时期之末精确的偿还贷款，这种基金就称为偿债基金。在支付偿债基金 的同时，经常需要借款人在整个贷款期间周期性地向贷款支付利息（如某些公司 债卷向投资者定期支付的息票），这样原贷款金额保持不变。
15|7%
a
15|7%
第25页/共84页
EX1 某君40岁购买一项养老保险，每年初缴纳保费 1620元，缴费期至59岁共20年。从60岁开始，每 年初保险公司给付3360元养老金直至该君死亡。
i) 若此君活到79岁，则此项投资的收益率是多少？ ii) 若此君活到99岁，则保险公司在这一保险业务上
是否合算？(答:i)3.713%; ii)5.3%)
解:在第5次付款后,未偿还贷款余额为:
B5
1000a 205|
1000 8.0607
8060.70元
借款人加付2000元后,未偿还贷款余额为:
8060.70 2000 6060.70元
设x为修正年度付款的金额,则
xa 6060.70 12|
x 6060.72 6060.72 846.38元
公司金融课件 - 第4章
PV A( P / A, i, m n) A( P / A, i, m)
永续年金的终值和现值
永续年金没有终止的时间，也没有终值。 ◆永续年金的现值可以通过普通年金现值的计算公式导出 ： 1 (1 i ) n
◆
PV A
i
n n ( 1 i ) 当 时， 的极限为0，故 的极限为0，上式
可写成：
PV A 1 i
永续增长年金的终值和现值
永续增长年金是指无限期支付的增长年金，每期现金流按照固定 速度增长，直到无穷远。假设第一期现金流为 ，每期现金流按 照固定速度 增长，贴现利率为 ，则永续增长年金的现值可以表 示如下：
A1 A1 (1 g ) A1 (1 g ) 2 PV ..... 1 2 3 (1 i) (1 i) (1 i)
本章小结
◆介绍了公司金融一个重要的概念：货币时间价值。复利不仅对本金计息，
还要对利息计息，是计算货币时间价值最重要的方法。 FV PV (1： i，代表 )n ◆基本现值等式是现金流估价的基本关系，用符号表示为 了现值和终值相互换算的关系。在基本现值等式中，知道 任意三个变量， 可以求出另外的第四个变量，实现相应的决策目的。 ◆多期现金流的终值与现值估值原理同单笔现金流的估值，不同的是，多期 现金流的终值等于各笔现金流终值的加总，而多期现金流的现值等于各笔 现金流现值的加总。 ◆年金分为普通年金、预付年金、递延年金、永续年金，永续增长年金，等 等。 ◆分期偿还贷款有多种还款方式，比如等额本金还款，等额本息还款，等等 。
终值与现值
终值 终值（future value ，FV）是指，在已知利率下， 一笔金额投资一段时期所能增长到的数量。 单期投资FV1= PV0(1+i ) 多期投资：复利计息：FVn=PV0 (1+i)n 单利计息： FVn=PV0 (1+i*n)
(新)投资金融→保险精算学基本理论讲解(DOC 93页)
第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。
二、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累方式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系Ø单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。
单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。
时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。
所以长期业务一般复利计息。
时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。
所以短期业务一般单利计息。
3、按照利息转换频率划分：（1）一年转换一次：实质利率（实质贴现率）（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力特别，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积累值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。
2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。
3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。
第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。
原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。
2、年金的分类：（1）基本年金约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。
利息理论课件09 金融课件
i 1.036 1 0.49386% 假设每月末的付款金额为X ,则有 50000=Xa60 0.0049386 X 50000 a60 0.0049386 965(元)
二、方法二
n表示总的利息结转次数.
m表示每个利息结转周期包含的支付次数.
nm表示年金的支付次数.
年金支付周期(nm) 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m 1/m
e15 e10 2e5 2 0
(e5 1)(e10 2) 0
而e5 1意味着利息力为0,
e10 2
ln 2 0.06931
10
练习: 对于某个n值,已知an n 4, 10%,
计算
n
0 at
dt
( A)0.4
(B)4
(C)40
(D)400
(E)4000
解 :
利息结转周期(n)
1 n-1
n
1 期末付年金现值
a(m) n
1
1
(v m
m
2
vm
n 1
... v m
vn )
1
n 1
1 vm v m
m
1
1 vm
1 vn
1
m[(1 i) m 1]
1 vn i(m)
i i(m)
an
2 期末付年金终值
注意 : (1)i (1) i, d (1) d
付款 1 元的永续年金的现值可表示为: m
a(m)
lim
n
a(m) n
lim
n
d d (m)
an
1 d (m)
1
(3)a ( m )
(1
i) m
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8
结论6. 若一项年金在总共n个利息转换时期内，每 1/m个利息转换时期之初支付1/m, 此项年金的
现时值为
( m) n a |
1 vn i ( m ) ( m ) an| d d
i d
( m)
，积累值为
EX 求证
a
( m) n|
n 1 i 1 ( m) s n|
…
1 v
n ( t 1) m
mv
v m (m) n 1 m a v m n 2 m| … …
n ( t 1) m
m
(m) an t m|
…
1 v m 1 v m
2m 1m
…
v2 m m
…
) a1( m m|
v1 m m
(m) an |
0
na
(m) n|
结论1.每k个利息转换时期之末付1的n期年金的
现时值为
a n|
sk |
，积累值为 sn|
sk |
（4.1.1)
5
结论2.每k个利息转换时期之初付1的n期年金的
现时值为
a n|
ak |
，积累值为 sn|
ak |
（4.1.2)
结论3.每k个利息转换时期之末付1的永久年金的
现时值为
1
isk |
（4.1.3)
(4.4.7)
25
例4.4.2 一项年金提供20笔年度付款，一年以后的 第一次付款为$1000，付款额按每年比上一年多 4%的形式增加。试求此项年金按年实质利率7% 的现时值。 4.4.2 一般变额年金
Pt 1 Bt
t 时刻未偿还 贷款余额的 瞬时减少率 必须等于本 金的偿还率。
(4.3.7)
以上分析也 是(4.3.3)式 的字面解释
4.4 变额年金及其应用
4.4.1 基本变额年金 假设年金的支付时期和利息转换时期为相等且一致。 自然，任何类型的变额年金可以这样计算：分别对 每一次付款取现时值或积累值，然后将其结果相加。 有时这是唯一可行的方法。然而，也确实有若干种 变额年金，对它们可以建立相对简单的表达式。它 们是： (1)付款金额按算术级数变化的年金 (2)付款金额按几何级数变化的年金
2. 用此新的利率，确定年金值。
2
例4.1 有一笔投资基金，在头两年每季度之初存 入$100, 其次两年，每季度之初存入$200, 若基金的利率为月度转换20%， 问第4年末的积累值是多少？ 解:先将月度转换利率化为季度转换利率.由
i 1 4
4
i 1 12
结论4.每k个利息转换时期之初付1的永久年金的
现时值为
1
iak |
（4.1.4)
例4.4 一项年金总共有r次付款1，其中第一次付款是 在第7年末支付，其余的每隔3年支付一次，年实质 利率为i，试确定此项年金的现时值。 EX 一笔$1000的投资，用以产生每年末$100的付款， 时间尽可能长，并在最后一次正规付款时附加一笔小 的最后付款。如果利率为每半年度转换7%，试确定 付款次数以及最后一次付款的总金额。
Bt an t|
p
或 Btr an| (1 i ) t st|
(4.3.5)
19
我们也知道，连续支付付款中一部分是利息，一 部分是偿还本金。设 I t 为在时刻t的瞬时利息支付 率，而 Pt 为在时刻t的瞬时本金偿还率。则应有
而
d I t Bt , Pt Bt dt
4
12
4 i j 4
12
i 12 1 12 1 3.03%
12 4
第4年末的积累值是
S 100 20.8170 9.1716 2999 100 S 16| j 8| j
3
1. 有一笔$3000的贷款将在5年内以每季度末分 期付款来偿还。倘若贷款利率为半年度转换 10%，问每季度付款的金额是多少？
n| n s i
sn 1| (n 1) i
(4.4.4)
(4.4.3)式可改写为 a n| i ( Ia ) n| nvn
字面解释：n个时期中每时期初投资1的年金现值等于各时 期赚得的利息的现时值和最后返回的本金的现时值
当P=n，Q=-1时，称为递减年金。
现时值为
第四章 一般年金
支付频率不同于利息转换频率的年金 支付期不同于利息转换时期的分期偿 还表与偿债基金 连续年金及其应用 变额年金及其应用
1
4.1 支付频率不同于利息转换 频率的年金
处理支付频率不同于利息转换频率的年金的一般 步骤是：
1. 找出转换频率与支付频率相同的利率，它应 与原始利率等价。
11
an| sk | 分期偿还表(n>k)
时期 0 k 2k … tk … n-k n 总计
付款金额 支付的利息
偿还的本金 未偿还贷款余额
0 1 1 … 1 … 1 1 n/k
0
1 vn
1 v n k
0
vn v nk
an| sk | an k | sk | an 2 k | sk |
(m) an 分期偿还表 |
时期 0 1/m 2/m … t/m … n-1/m n 总计
付款金额 支付的利息
偿还的本金 未偿还贷款余额
0 1/m 1/m … 1/m … 1/m 1/m n/k
1 v m 1 v m
n n 1 m
0
0
n
(m) an | (m) an 1 m|
21
付款金额按算术级数变化的年金
考虑一项有n个时期的延付年金，其付款金额从P>0 开始，其后每个时期增加Q。(Q可正可负，但 P+(n-1)Q>0）。每时期利率为i。则此项年金的 现时值为 A Pv ( P Q)v 2 ( P 2Q)v 3 ...
[ P (n 2)Q ]v n 1 [ P (n 1)Q ]v n
15
4.3 连续年金及其应用
4.3.1 连续年金 支付频率大于利息转换频率的年金的一种特殊形式 是支付频率趋向于无限，即连续支付。在实际中它 可以作为支付频率很高（例如日付）年金的近似。 若有一年金连续支付n个利息转换时期，在每个时 期内总支付量为1，用符号 an| , sn| 分别记其现值和积 累值。则
d
( m)
sn|
i i i i (m) n| ( m ) sn| ( m ) an| , s m m i i
结论7. 每1/m个利息转换时期支付1/m的永久年金的 现时值为 a
(m) |
1 i
(m)
及 a
(m) |
1 d (m)
…
…
1 v n(t 1) k
…
v n(t 1) k … v
2k
an tk | sk |
…
…
1 v
2k
ak | sk |
0
1 vk
n a n| k sk |
vk
an| sk |
其次考虑一项贷款， a ( m ) ，它在总共n个利息转 n| 换时期中，以每1/m个时期之末付款1/m来偿还。 付款次数为整数nm。其分期偿还表如下
an| v t dt
0 n
1 vn
, s n|
(1 i ) n 1
(1 i ) t dt
0
n
(4.3.1)
其中为利息效力，满足 e
v
16
记 st| (1 i考虑一项 投资基金，其中款项 是以每个利息转换时 期存1的速度连续存 再由(4.3.1) (1 i ) t 1 入的。基金在时刻t st| 的余额为 s t。基金余 | 于是 额瞬时变化是由于两 个原因。首先，新的 d st| 1 st| (4.3.2) 储蓄以每个利息转换 dt 时期存1的速度发生； 类似可证 其次，基金余额以效 d at| 1 at| (4.3.3) 力 赚取利息。
在偿债基金的情形下方法也是类似的，不过情况 要更复杂一些，因为下列频率均可能不同：(1)贷 款利息的支付，(2)偿债基金储蓄，(3)偿债基金的 利息转换。 （小论文：就偿债基金的各种情形，分别构造偿 债基金表。 实例：一位借款人取得一笔为期2年的$2000的贷 款。如果贷款人收取10%的实质利率，且借款人 用想一个具有8%的季度转换利率的偿债基金作每 半年度的储蓄以归还这笔贷款。）
积累值为
Pan| Q
n
an| nv i
n
(4.4.1)
A(1 i) Psn| Q
sn| n i
(4.4.2)
22
特别，当P=Q=1时，称为递增年金。
现时值为
( Ia ) n| an|
an| nvn i
(4.4.3)
n| nvn a i
积累值为
( Is ) n|
2.倘若每个季度末付款$100,问年度实质利率应 当为多少，才能在第5年末积累到$2500? 答: 191.89, 9.46%
4
支付频率小于利息转换频率的 年金的进一步分析 设k为一个支付时期内利息转换时期的个数，n为年 金以利息转换时期来度量的时期数，i为每个利息转 换时期内的利率。 假定每个支付时期包含整数个利息转换时期，这样k 和n都是整数。年金的支付次数n/k也是整数。
例4.5 在10年期间每月支付$400。设年实质利率为i (1)试确定这些付款在第一次付款前2年的现时值表达 式，(2)试确定最后一次付款后3年积累值的表达式。 EX 一笔年金为每半年付$1，一直不断付下去，且 第一笔付款为立即支付，问欲使此年金的现时值为 $10,年实质利率应为多少？