第四章 一般年金(利息理论-陈萍)

2. 用此新的利率，确定年金值。
2
例4.1 有一笔投资基金，在头两年每季度之初存 入$100, 其次两年，每季度之初存入$200, 若基金的利率为月度转换20%， 问第4年末的积累值是多少？ 解:先将月度转换利率化为季度转换利率.由
i 1 4
4
i 1 12
(m) an 分期偿还表 |
时期 0 1/m 2/m … t/m … n-1/m n 总计
付款金额 支付的利息
偿还的本金 未偿还贷款余额
0 1/m 1/m … 1/m … 1/m 1/m n/k
1 v m 1 v m
n n 1 m
0
0
n
(m) an | (m) an 1 m|
第四章 一般年金


支付频率不同于利息转换频率的年金 支付期不同于利息转换时期的分期偿 还表与偿债基金 连续年金及其应用 变额年金及其应用
1
4.1 支付频率不同于利息转换 频率的年金
处理支付频率不同于利息转换频率的年金的一般 步骤是：
1. 找出转换频率与支付频率相同的利率，它应 与原始利率等价。
结论1.每k个利息转换时期之末付1的n期年金的
现时值为
a n|
sk |
，积累值为 sn|
sk |
（4.1.1)
5
结论2.每k个利息转换时期之初付1的n期年金的
现时值为
a n|
ak |
，积累值为 sn|
ak |
（4.1.2)
结论3.每k个利息转换时期之末付1的永久年金的
现时值为
1
isk |
（4.1.3)
…
1 v
n ( t 1) m
mv
v m (m) n 1 m a v m n 2 m| … …
n ( t 1) m
m
(m) an t m|
…
1 v m 1 v m
2m 1m
…
v2 m m
…
) a1( m m|
v1 m m
(m) an |
0
na
(m) n|
(4.3.6)
d d d 1 v n t Bt an t| dt dt dt d (1 i ) t n (1 i ) t n ln(1 i ) dt (1 i ) t n v n t an t| 1 Bt 1 Pt
结论4.每k个利息转换时期之初付1的永久年金的
现时值为
1
iak |
（4.1.4)
例4.4 一项年金总共有r次付款1，其中第一次付款是 在第7年末支付，其余的每隔3年支付一次，年实质 利率为i，试确定此项年金的现时值。 EX 一笔$1000的投资，用以产生每年末$100的付款， 时间尽可能长，并在最后一次正规付款时附加一笔小 的最后付款。如果利率为每半年度转换7%，试确定 付款次数以及最后一次付款的总金额。
(4.1.5)
8
结论6. 若一项年金在总共n个利息转换时期内，每 1/m个利息转换时期之初支付1/m, 此项年金的
现时值为
( m) n a |
1 vn i ( m ) ( m ) an| d d
i d
( m)
，积累值为
EX 求证
a
( m) n|
n 1 i 1 ( m) s n|
d
( m)
sn|
i i i i (m) n| ( m ) sn| ( m ) an| , s m m i i
结论7. 每1/m个利息转换时期支付1/m的永久年金的 现时值为 a
(m) |

1 i
(m)
及 a
(m) |

1 d (m)
n| n s i

sn 1| (n 1) i
(4.4.4)
(4.4.3)式可改写为 a n| i ( Ia ) n| nvn
字面解释：n个时期中每时期初投资1的年金现值等于各时 期赚得的利息的现时值和最后返回的本金的现时值
当P=n，Q=-1时，称为递减年金。
现时值为
积累值为
Pan| Q
n
an| nv i
n
(4.4.1)
A(1 i) Psn| Q
sn| n i
(4.4.2)
22
特别，当P=Q=1时，称为递增年金。
现时值为
( Ia ) n| an|
an| nvn i
(4.4.3)
n| nvn a i
积累值为
( Is ) n|
4
12
4 i j 4
12
i 12 1 12 1 3.03%
12 4
第4年末的积累值是
S 100 20.8170 9.1716 2999 100 S 16| j 8| j
3


1. 有一笔$3000的贷款将在5年内以每季度末分 期付款来偿还。倘若贷款利率为半年度转换 10%，问每季度付款的金额是多少？
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付款金额按算术级数变化的年金
考虑一项有n个时期的延付年金，其付款金额从P>0 开始，其后每个时期增加Q。(Q可正可负，但 P+(n-1)Q>0）。每时期利率为i。则此项年金的 现时值为 A Pv ( P Q)v 2 ( P 2Q)v 3 ...
[ P (n 2)Q ]v n 1 [ P (n 1)Q ]v n
考虑一项有n个时期的延付年金，其第一次付款额为 1而其后各次则按公比为(1+k)的几何级数增长。每时 期利率为i。则此项年金的现时值为
v v (1 k ) ... v (1 k )
2 n
n 1
n 1 k n 1 k 1 1 1 i 1 i v ik 1 k 1 1 i
11
an| sk | 分期偿还表(n>k)
时期 0 k 2k … tk … n-k n 总计
付款金额 支付的利息
偿还的本金 未偿还贷款余额
0 1 1 … 1 … 1 1 n/k
0
1 vn
1 v Biblioteka Baidu k
0
vn v nk
an| sk | an k | sk | an 2 k | sk |
支付频率大于利息转换频率的 年金的进一步分析 设m为一个利息转换时期内支付时期的数目，n为年 金以利息转换时期来度量的时期数，i为每个利息转 换时期内的利率。 假定每个利息转换时期包含整数个支付时期，这样m 和n都是整数。年金的支付次数nm也是整数。
结论5.若一项年金在总共n个利息转换时期内，每 1/m个利息转换时期之末支付1/m,此项年金的 n n 1 v ( m) 现时值为 an| ( m ) ，积累值为 s ( m ) 1 i 1 n| i i ( m)
Pt 1 Bt
t 时刻未偿还 贷款余额的 瞬时减少率 必须等于本 金的偿还率。
(4.3.7)
以上分析也 是(4.3.3)式 的字面解释
4.4 变额年金及其应用
4.4.1 基本变额年金 假设年金的支付时期和利息转换时期为相等且一致。 自然，任何类型的变额年金可以这样计算：分别对 每一次付款取现时值或积累值，然后将其结果相加。 有时这是唯一可行的方法。然而，也确实有若干种 变额年金，对它们可以建立相对简单的表达式。它 们是： (1)付款金额按算术级数变化的年金 (2)付款金额按几何级数变化的年金
Bt an t|
p
或 Btr an| (1 i ) t st|
(4.3.5)
19
我们也知道，连续支付付款中一部分是利息，一 部分是偿还本金。设 I t 为在时刻t的瞬时利息支付 率，而 Pt 为在时刻t的瞬时本金偿还率。则应有
而
d I t Bt , Pt Bt dt
d st| (1 i )t dt
dt
可以将连续年金的值严格地利用利息效力来 表示。此时公式(4.3.1)化为
a n| 1 e n ,
sn| e n 1


(4.3.4)
它可以看作连续支付且利息以强度连续转换的 年金。
18
4.3.2 连续支付分期偿还 可以建立以连续支付来分期偿还贷款的公式。这些 公式具有概念和理论上的价值，但在实际中使用并 不广泛。 首先看一下支付率为常数的情形。考虑一项贷款 an| , 它在n时期内，以每时期内总支付量为1的支付率连 续偿还。则时刻t的未偿还贷款余额为
…
…
1 v n(t 1) k
…
v n(t 1) k … v
2k
an tk | sk |
…
…
1 v
2k
ak | sk |
0
1 vk
n a n| k sk |
vk
an| sk |
其次考虑一项贷款， a ( m ) ，它在总共n个利息转 n| 换时期中，以每1/m个时期之末付款1/m来偿还。 付款次数为整数nm。其分期偿还表如下
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4.3 连续年金及其应用
4.3.1 连续年金 支付频率大于利息转换频率的年金的一种特殊形式 是支付频率趋向于无限，即连续支付。在实际中它 可以作为支付频率很高（例如日付）年金的近似。 若有一年金连续支付n个利息转换时期，在每个时 期内总支付量为1，用符号 an| , sn| 分别记其现值和积 累值。则
在偿债基金的情形下方法也是类似的，不过情况 要更复杂一些，因为下列频率均可能不同：(1)贷 款利息的支付，(2)偿债基金储蓄，(3)偿债基金的 利息转换。 （小论文：就偿债基金的各种情形，分别构造偿 债基金表。 实例：一位借款人取得一笔为期2年的$2000的贷 款。如果贷款人收取10%的实质利率，且借款人 用想一个具有8%的季度转换利率的偿债基金作每 半年度的储蓄以归还这笔贷款。）
2.倘若每个季度末付款$100,问年度实质利率应 当为多少，才能在第5年末积累到$2500? 答: 191.89, 9.46%
4
支付频率小于利息转换频率的 年金的进一步分析 设k为一个支付时期内利息转换时期的个数，n为年 金以利息转换时期来度量的时期数，i为每个利息转 换时期内的利率。 假定每个支付时期包含整数个利息转换时期，这样k 和n都是整数。年金的支付次数n/k也是整数。
an| v t dt
0 n
1 vn

, s n|
(1 i ) n 1


(1 i ) t dt
0
n
(4.3.1)
其中为利息效力，满足 e
v
16
记 st| (1 i )u du
0
t
对t求导得
字面解释：考虑一项 投资基金，其中款项 是以每个利息转换时 期存1的速度连续存 再由(4.3.1) (1 i ) t 1 入的。基金在时刻t st| 的余额为 s t。基金余 | 于是 额瞬时变化是由于两 个原因。首先，新的 d st| 1 st| (4.3.2) 储蓄以每个利息转换 dt 时期存1的速度发生； 类似可证 其次，基金余额以效 d at| 1 at| (4.3.3) 力 赚取利息。
( Da ) n| nan|
积累值为
an| nv i
n

n an| i
(4.4.5)
( Ds ) n|
n(1 i ) n sn| i
(4.4.6)
例4.4.1 有一项延付年金，其付款从1开始每年增 加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。
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付款金额按几何级数变化的年金
(4.4.7)
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例4.4.2 一项年金提供20笔年度付款，一年以后的 第一次付款为$1000，付款额按每年比上一年多 4%的形式增加。试求此项年金按年实质利率7% 的现时值。 4.4.2 一般变额年金
例4.5 在10年期间每月支付$400。设年实质利率为i (1)试确定这些付款在第一次付款前2年的现时值表达 式，(2)试确定最后一次付款后3年积累值的表达式。 EX 一笔年金为每半年付$1，一直不断付下去，且 第一笔付款为立即支付，问欲使此年金的现时值为 $10,年实质利率应为多少？
4.2 支付期不同于利息转换时期的分期 偿还表与偿债基金 首先考虑一项贷款， an| sk | ，它以在总共n个利息转 换时期中每k个时期付款1来偿还。付款次数为整数 n/k。其分期偿还表如下