圆锥曲线最值问题及练习

圆锥曲线最值问题及练习

中学数学最值问题遍及代数、三角,立体几何及解析几何各科之中,且与生产实际联系密切，最值

问题有两个特点:①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程,各元素间关系,对称性，四边形面积,解二元二次方程组，基本不等式等)②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法,判别式法,参数法,不等式,函数的性质等)计算量大，能力要求高。 １、回到定义

例１、已知椭圆

22

1259

x y +=,A （4,０）,B （2,２)是椭圆内的两点,P 是椭圆上任一点，求：(1)求5||||4

PA PB +的最小值; (2)求|ＰA|+|PB|的最小值和最大值。

略解：(1)A 为椭圆的右焦点。作PQ ⊥右准线于点Q,则由椭圆的第二定义

||4

||5

PA e PQ ==，

∴

5

||||||||4

PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ,使其到点B 和右准线的距离之和最小,很明显,点P 应是过B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174

。 （2)由椭圆的第一定义,设C 为椭圆的左焦点，则|ＰA|＝2a-|P Ｃ｜ ∴｜P A|+|ＰB|=２a-|PC|+｜ＰＢ|=10+(|PB ｜ -|PC|）

根据三角形中，两边之差小于第三边,当P 运动到与B 、C 成一条直线时,便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|ＰB| -|PC|≤｜BC|.当P 到Ｐ"位置时，|PB| －｜PC|=|BC|,｜P A|＋|PB|有最大值,最大值为１0＋|BC|

＝

10+当P 到P"位置时,|PB| -|PC|=－|B Ｃ|,|P Ａ|＋|PB ｜有最小值，最小值为10-|BC|

＝10-

回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。(2)中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程总是最短的。 ２、利用闭区间上二次函数最值的求法

例2、在抛物线2

4x y =上求一点，使它到直线y=4x －5的距离最短。

解:设抛物线上的点)4,(2

t t P ，点P 到直线4x-y －5＝0的距离17

4)21(4175442

2

+-=+-=t t t d

当21=

t 时,17

4min =d ，故所求点为)1,21

(。 例3、已知一曲线x y 22

=，（１)设点Ａ的坐标为)0,3

2

(，求曲线上距点A 最近的点Ｐ的坐标及相应的距离 |P A|；(2）设点A 的坐标为（a,0)a ∈R,求曲线上点到点A 距离最小值d ，并写出ｄ=ｆ(a)的函数表达式。

解：(１)设M(x ，y)是曲线上任意一点，则x y 22

= )0(≥x

31)31(2)32()32(22222

++=+-=+-=x x x y x MA ∵ x ≥0

9

4

min

2=

MA

∴ 所求P 点的坐标是（0，０），相应的距离是32=AP

（2）设M （x,ｙ）是曲线上任意一点，同理有x a x y a x MA 2)()(2

2

2

2

+-=+-=

)12()]1([2-+--=a a x 0≥x

综上所述，有⎪⎩⎪⎨⎧-=a

a d 12)1a ()

1a (时当时当<≥

３、运用函数的性质

例4、在△ＡＢC 中,A ∠，B ∠,C ∠的对边分别为ａ，b,ｃ,且c=１0,

3

4

cos cos ==a b B A ,Ｐ为△ABC 内切圆上动点,求点P 到顶点A,B ，Ｃ的距离的平方和最大值与最小值。 解:由

B A A B A A A

B

a b B A 2sin 2sin 0sin cos cos sin sin sin cos cos =⇒=-⇒== ∵

134≠=a b ∴ B A 22-=π ∴△AB Ｃ为Rt △由Ｃ＝10,且3

4

=a b 知 a ＝６ b=８ 设△ABC 内切圆半径为r ，如图建立直角坐标系，则Rt △ＡBC 的内切圆M 的方程

为:4)2()2(2

2

=-+-y x 设圆M 上动点P （x,y ）(40≤≤x )，则P 点到顶点A ，B,C 的距离的平方和为:2

2

2

2

2

2

2

2

2

)6()8(x y y x y x PC PB PA ++-+++-=++=

10012163322+--+=y x y x 764])2()2[(322+--+-=x y x ＝8８-4x

∵点P 在内切圆Ｍ上，40≤≤x ,于是88088max =-= 721688min =-=

例５、直线m:y ＝kx+1和双曲线x 2-y 2＝1的左支交于A,B 两点,直线L 过点P(－2,0)和线段AB 的中点M,求L 在ｙ轴上的截距b 的取值范围。

略解：设A （x １,y 1），Ｂ(x ２,y 2),M(ｘ０,y ０)，将y=k ｘ+1代入x 2-y 2＝1得(１－k 2）x ２

－2ｋx-2=０,由题意，△>０且x １＋x 2<0,x １x 2>0

，解之得1k

<<且Ｍ22

1

(

,)11k k k

--，又由P(-２，0)，M,Q(0，b ）共线,得222

11122221b k k k k k -==-+++-,即2222b k k =-++ 下面可利用函数f(k)=-2ｋ２

＋ｋ+2

在

上是减函数，可得22b b <->。

例６、已知Ｐ是椭圆22

14

x y +=在第一象限内的点,A （2,0),B （０，1)，O 为原点,求四边形ＯAPB 的

面积的最大值。

略解：设P （2c ｏs θ,sin θ）,(０<θ<л／2)，点P 到直线AB:ｘ+２ｙ=2

的距离

|)2|

5d π

θ+--==≤=

4、判别式法

例7、定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线x y =2

上移动,记线段ＡB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标。

解：设点A 、B 的坐标分别为),(11y x ,),(22y x ，那么2

11y x =，2

22y x =①由题意，得

2

122

122

)()(3y y x x -+-= ②,又A Ｂ的中点Ｍ(ｘ,ｙ)到y 轴的距离为12

2

x x x +=③,将① ③ 代

入② 整理得02432)(42

221221=--++x x y y y y ④,∵ 21y y 为实数,