固体物理晶格振动chap3

2 1 2
—— 与q之间存在着两 种不同的色散关系 —— 一维复式格子存在 两种独立的格波
两种格波的振幅
1 (m M ) 4mM 2 2 {1 [1 sin aq] 2 } mM (m M )2
( 2 m ) A ( 2 cosaq) B 0
—— 两种原子 振动的振幅A 和B一般来说 是不同的
第2n+1个M原子 M 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n ) 第2n个m原子 m2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 )
2 n Aei [t ( 2 na ) q ] 方程的解 i [t ( 2 n 1) aq ] 2 n 1 Be
A max 3 1013 rad / s
光学波的最大频率
O max

2

mM 0.2 M mM

O max
2 5 6.7 1013 rad / s M 2 6 1013 rad / s m
15/ 20
光学波的最小频率

O min
2）相应声子的能量


一种振动模式对应一个（ ω ，
q）
2. 色散关系的特点
2.1 短波极限
q

2a
两种格波的频率
2 2 ( ) max ( ) {(m M ) ( M m )} ( ) mM M 1 1 1 2 2 2 2 ( ) min ( ) {(m M ) ( M m )} ( ) mM m
第2n+1个M原子的方程 M 2 n 1 (2 2 n 1 2 n 2 2 n ) 第2n个m原子的方程 m 2 n (2 2 n 2 n 1 2 n 1 )
—— N个原胞，有2N个独立的方程 方程解的形式
2 n Aei [t (2 na ) q ] and 2 n 1 Bei[t (2 n 1) aq ]
1
O min / k BT
1
O O n min ( min ) 2.42 10 -7
声学波频率的声子数目
n
A max
(
A max
) e
1
A max / k BT
E
A max
0.198 eV
1
A A nmax ( max ) 4.93 10-4
三维晶格的振动
—— 声学波的色散关系 就是把一维链看作连续介质 时的弹性波
长声学波中相邻原子的振动
2 ( a )q mM
q 0, 0
2 m 2 B ( ) A 2 cosaq
—— 原胞中的两个原子振动的振幅相同，振动方向一致
—— 代表原胞质心的振动
长波极限 q 0 B光学波
l l l l 原胞中各原子的位置 R , R , R , R 1 2 3 n l l l l 各原子偏离格点的位移 , , , 1 2 3 n
2 q h 2aN
—— h为整数
每个波矢的线度
q

Na
允许的q值的数目

a Na
/

N
—— 晶体中的原胞数目 a. 描写晶格振动的波矢q只能取分立的值。 b. 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波 c. 总的格波数目为2N
重要结论
1. 2.
晶体中的格波的支数＝原胞内原子的自由度 一种色散关系，即ω ～q，对应一支格波 晶格振动的模式数＝晶体中原子的总自由度
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq] } mM (m M ) 2
2 1 2
4mM sin 2 ( aq) 1 (m M ) 2

mM mM 2 m 2 B ( ) A 2 cosaq , 2
B m ( ) A M
1 2 1 2 1

因为 M＞m
( ) min ( ) max
出现“频率的禁带区”
( ) min ( ) max —— 不存在格波
频率间隙
( ) min ( ) max
10/ 20
2.2 长波极限 q 0
A 声学波
应用
1 x 1 x/2
2 n Aei [t ( 2 na ) q ] 2 n 1 Be
i [t ( 2 n 1) aq ]
2aq

2aq
q

2a

2a
N (2aq) 2h
一维双原子链的布里渊区
采用周期性边界条件
N n n
2 q h 2aN
q的取值
Pn Ce n / kBT 1
n n
归一化常数
n / k BT n / k BT
C
e
n
1
n / k BT
Pn
e
n
e
Pn

Pn
e
n
e
n / k BT n / k BT
x e / kBT
m 2 A ( eiaq e iaq ) B 2 A 2 iaq iaq M B (e e ) A 2 B
(m 2 2 ) A 2 cos aqB 0 2 2 cos aqA ( M 2 ) B 0
—— 长光学波同种原子振动位相一致，相邻原子振动相反
—— 原胞质心保持不变的振动，原胞中原子之间相对运动
习题
1.
2.
对于NaCl晶体，已知其恢复力常数β ＝1.5×101N/cm。试求NaCl晶体中格波光学支的最高频率 和最低频率；声学支的最高频率。 对于NaCl晶体，其密度ρ ＝2.18g/cm3,正负离子 的平衡距离a＝2.81×10-10m，光学支格波的最 高频率是3.60×10-13rad/s 。试以一维双原子 链模型计算：
2 1 2
(m M ) 4mM {1 [1 sin 2 aq ] } mM (m M ) 2
2 1 2
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq ] } —— 声学波 mM (m M ) 2 1 (m M ) 4mM 2 2 {1 [1 sin aq ] 2 } —— 光学波 mM (m M ) 2
声学波频率的声子数目
n
A max
(
A max
) e
1
A max / k BT
E
A max
0.198 eV
1
A A nmax ( max ) 4.93 10-4
1 3) 某一特定谐振子具有激发能 n (n ) 的几率 2
Pn Ce n / k BT
根据归一化条件
A max
2 M 2
E
A max

A max
E
A max
0.0198 eV

O max


O O E max max
E
O max
0.0442 eV

O min
2 m
O O Emin min
O Emin 0.0396 eV
O max 的声子所用的电磁 3）如果用电磁波激发光学波，要激发
l l 第k个原子运动方程 mk 2 k k
1, 2, 3
—— 原子在三个方向上的位移分量 —— 一个原胞中有3n个类似的方程 方程右边是原子位移的线性齐次函数，其方程的解

三维晶格振动的动力学方程组 q取值与倒格子空间 布里渊区 例题
三维晶格振动的动力学方程组
三维复式格子 —— 一个原胞中有n个原子 原子的质量 m1 , m2 , m3 ,mn 晶体的原胞数目 N N1 N 2 N 3
第l个原胞的位置 R(l ) l1a1 l 2 a 2 l3 a 3
2
( 2 cosaq) A ( 2 M 2 ) B 0
m 2 B ( ) A 2 cos aq
2 2 m 2 B ( ) A 2 cos aq
—— 光学波
—— 声学波
1. q的取值 M和m原子振动方程 相邻原胞之间位相差 波矢q的值
A O O 2) 相应声子的能量 E max , E min 和 E max ；
3) 如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波 波长在什么波段？ 4) 在 T 300 K 下，三种声子数目各为多少？
1) 声学波的最大频率
A max
2 M
M 4 15 N / m m
T 300 K
k BT 0.026 eV
O max
光学波频率的声子数目 n
E
O max
(
O max
) e
1
O max / k BT
0.442 eV
1
O O nmax ( max ) 4.14 10-8
n
O E min 0.396 eV
O min
(
O min
) e
x
n
n
(1 x)
1
Pn e n / k BT (1 e / k BT )
1 n Pn (n ) Pn 2 n
k BT
频率为谐振子的平均能量

n
(1 e ) ne n / kBT x n 2 n nx (1 x ) 2 n 1 1 ( / kBT ) e 1 2 x e / kBT 1 频率为谐振子的能量 [ni ( q) ]i ( q) 2 1 第i个q态的平均数声子 ni ( q) i / k BT e 1