质点的角动量

冲量矩

t2
t1
M dt
质点角动量定理的积分形式： 对同一参考点，质点（转动物体）所受合外力 矩的冲量矩等于在这段时间内质点（转动物体）角 动量的增量。
冲量矩

t2
t1
M dt
冲量矩：反映在一段时间内力矩的时间积累作用.
说明
质点角动量定理
dL M r F dt

Lrp
3l v 4
v
m

3 l 4
O 3m
v l l v v 4 4 3l 3 4
总角动量为：
方向：沿转轴方向
3l l 3l l v L mv 3mv mv 3m lmv 4 4 4 4 3
二. 质点对固定点的角动量定理
Lrp
12
L mR
2
L mR (2 g sin )
2g 12 ( sin ) R
三、质点角动量守恒定律
law of conservation of angular momentum of particle
由角动量定理可知，
若： M 0 （条件) dL 0 dL 0 （结论） 则： 或 dt
L r p r mv
方向：由右手螺旋定则确定，
right hand screw rule
z
r
x o
m y
v
大小：
L
v

L r p sin mvr sin
r
2、质点对固定点的角动量 angular momentum
L r p r mv
dL (M r F ) dt
即：
L r mv 恒矢量
(constant vector)
若质点所受合力对某参考点的力矩总保持为零， 则质点对该点的角动量保持不变。 质点对参考点的角动量守恒定律
• 角动量守恒定律是物理学中最基本的定律之一，和动量 守恒定律一样，它不仅适用于宏观物体的运动，而且对于牛 顿第二定律不能适用的微观粒子的运动，它也适用。
(1) 角动量定理和角动量守恒定律也只是在惯性系中成立； (2) 质点在有心力场
[ F F (r )r ]中运动，其角动量守恒．
Notes:
1. 匀速直线运动质点相对任意固定点的角动量守恒 F=0 2. 匀速圆周运动质点相对圆心的角动量守恒. 3. 行星围绕太阳的椭圆运动中,相对于太阳的角动量 保持不变. 因为受到的是有心力.
于是:
d (r p) dt
dr dp pr dt dt
dr v, v p 0 dt
Lrp
dL M dt
d ( r p ) dr dp pr dt dt dt
d (r p) dp 于是: r r F dt dt
力矩和角动量须是对于惯性系中同一 固定点而言的 .
力的时间累积效应
冲量、动量、动量定理.
力矩的时间累积效应
冲量矩、角动量、角动量定理.
例: 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
又 为角动量, 则:
M r F
为力矩.
质点角动量定理微分形式
M ——对某一点的合力矩
L ——对同一点的角动量
2、角动量定理 angular momentum theorem
dL M r F dt
质点角动量定理微分形式
在惯性系中，质点对某参考点的角动量对时 间的变化率等于作用于质点的合力对同一参考 点的力矩。 质点对参考点的角动量定理
例：质点作直线运动
O
d O
r
mv
对O点： L 0 大小：mvd 对O点：L 方向：
角动量的几何含义： L r p r L mvr sin m lim r sin t 0 t
1 r r sin 2m lim 2 t 0 t S 2m lim t 0 t
N P r r (t ) r (t t )
M
O
面积，称为它的掠面速度，即
位矢 r 在单位时间内扫过的
S dS lim t 0 t dt
角动量的大小与掠面速度成正比
例： 质点以角速度 作半径 为 r 的圆运动，相对圆心的 角动量
L
p
m
o r
大小： 方向：
L mr I
2
与角速度 的方向相同。
例：长为 l 的轻杆，其两端分别固定有质量为m和3m的物体， 3 取与杆垂直的固定轴O，重物m与O轴的距离为 l ，绕轴 4 转动的线速度为 v 。求它们对转轴的总角动量。 解：两球的角速度相等
故3m质点线速度为：
把位置矢量和动量 矢量结合起来; 角动量与参考点O的 选择有关；
x
z
r
o
m y
v
L
v

r
角动量与参考系的选择有关. ※ 说明力矩和角动量时，须指明对哪一个点而言.
L 又称动量矩(moment of momentum)
SI 单位: kgm2/s or Js
注：
M 0 有两种情况: F 0 或 F 通过参考点O .
M 0
F 0 , -----> L 常矢量 F过O点( r // F )
即：
有心力
如果质点在运动中受到的力始终指向某个固定的中心，这种 力叫做有心力，该固定点称为力心，
Notes:
r
v0 r0
解：小球相对圆心所受力矩
零
M r F 0
L r mv C
（有心力)
所以，小球相对圆心的角动量守恒
r0 mv0 rmv
r0 v v0 r
• 例题: 人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动， 地球中心为椭圆的一个焦点，已知地 球平均半径 R = 6378 km，近地距离 L1= 439 km , A1 点速度 v1 =8.10 km , 远地距离 l2 =2384 km , 求A2 点的速 度v2 = ?
angular momentum law of conservation of angular momentum
角动量守恒定律
• 角动量概念的建立和转动有密切联系，在研究物体 的运动时，人们经常可以遇到质点或质点系绕某一确 定点或轴线运动的情况 . • 角动量不但能描述经典力学中的运动状态，在近 代物理理论中仍然是表征微观运动状态的重要物理量， 例如原子核的角动量，通常称为原子核的自旋，就是 描写原子核特性的。
※ 角动量守恒定律
v
L

m
r
例：行星受力方向与
矢径在一条直线上 （有心力），故对心 的角动量守恒.
r
1 r r sin r L r mv mvr sin m r sin 2m 2 t t
2m
S =来自百度文库数 t
开普勒第二定律：行星对恒星的矢径的掠面速度不变 .
m 对于 o 点的角动量是否守恒? (是)
m 对于 o’ 点的角动量是否守恒? (否) (否) mA
R
O’
y
x
m 动量是否守恒?
v
o
B
质点绕行半周时间内的绳的张力冲量是多少? (A点--B点)
解: 绕行半周时间
t
R
v
绕行半周动量增量为: mvk mvk 2mvk
由动量定理:
mg
R
v
j IT 2mvk
R IT 2mvk mg j v
例： 用细绳系一小球在光滑的水平面上作圆周运动,
圆半径 r0 , 速率 v0 . 今缓慢地拉下绳的另一端, 使圆半径逐步减小. 求圆半径缩至 r 时, 小球的 速率 v 是多大?
合力矩等于各分力矩的矢量和:
i 即 ： M M1 M 2 M n
M r Fi r F1 r Fn
2、质点对固定点的角动量 angular momentum
定义：任取一点o, 建立坐标系oxyz，设质点A 的质量为m，速度为 v ，矢径为 r，则质点A对o点 的角动量(或动量矩)为：
• 解：卫星在运行时只受地球对它的引力， 方向始终指向地心o, 力的大小只依赖于 两点距离（这种力称为有心力），对于O 点，力矩为零，
在直角坐标系中的分量形式：
dLx Mx dt
My
dLy dt
dLz Mz dt
3、另一种表述：
dL 将 M dt 变形为
Mdt dL
式中 Mdt 称为外力矩的冲量矩 impulse torque
(角冲量 angular impulse）

t2
t1
M dt L2 L1
M mgRcos
由质点的角动量定理
dL mgR cos dt
dL mgR cos dt
dL m gRcosdt
考虑到
d dt, L mRv mR2
得
LdL m gR cosd
2 3
由题设条件积分上式

L
0
LdL m gR
2
32
3


0
cosd
例：如图, 圆锥摆. 摆球 m 对O和O’点的角动量是否守恒？ 1) 对固定点O，质点m所受合外力矩: M R (mg T ) 以逆时针为正
O’
L+ l L+ R mg o
M
L R mv
o
mgR TR sin
.
m
T
mgR TR cos 0
r0 r sin 称力臂
1、力矩定义（对O点） torque
M0 r F
力的作用效果，不仅与力的大小 magnitude 有关， 还与力的方向 direction 和力的作用点 acting point 有关。力 矩是全面考虑这三要素的一个重要的概念。
力矩与参考系的选择有关；
angular momentum theorem
dp F, dt
dp F dt
dL ? dt
1、 推导过程： 由牛顿第二定律
dp F dt
由于:
用位置矢量叉乘两边
dB dA d ( A B) A B dt dt dt
dp r r F dt
第五章 角动量 • 关于对称性
（Chapter 5 Angular momentum & Symmetry）
本章的基本要求：
1. 理解质点及质点系角动量的物理意义 ； 2. 掌握质点、质点系的角动量定理 ；
3. 掌握角动量守恒定律 ；
4. 理解对称性的概念，了解守恒律与对称性的关系。
角动量
• 角动量守恒定律和动量守恒定律一样，是自然 界最基本最普遍的定律之一。
§5.1 质点的角动量
一、 质点角动量(angular momentum) 的定义
1、力对固定点的力矩 torque :
M0 r F
M
F
力 F 对O点的力矩
SI单位：N m
r

o
r0
方向：由右手螺旋法则; 即：右手四指从 r 方向绕向 F 则拇指指的就是 M 的方向 大小： M 0 M 0 F r sin r0 F ——力臂乘以力
L Rmv mvl sin
则对O 点角动量守恒(大小、方向均不变) 2) 对固定点O’，质点m 所受合外力矩:
M
o'
mgl sin 0
对O’点角动量
.
Lo ' l mv

大小 Lo’=mvl
方向随时间变化 不守恒
*合外力矩、角动量均对同一点而言
例: 如图, 圆锥摆.