数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新).

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数学分析期末考试复习题及参考答案

数学分析 --复习资料一、单选题1、设 f (x) = x (x + 1)(x + 2) … (x +2004) , 则 f ' (0) = ( )A. 0B. 2003!C. 2004!D. 2005!参考答案： C2、设,则交换积分次序后为 ( )。

A.B.C.D.参考答案： A3、( )A. -2B. 2C. 0D. 发散参考答案： D4、幂级数的收敛域为( )。

A.B.C.D.参考答案： B5、 f (x) 在 x0 点连续的充分条件是( )。

A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f-' (x0 ) 、f+' (x0 ) 存在D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： C6、已知,f (x) = ( )A.B.C.D.参考答案： C7、积分=A. 1；B. ；C. ；D. 。

参考答案： D8、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： D9、设,则( )。

A.B.C.D.参考答案： C10、下面广义积分发散的一个是A. ；B. ；C. ；D. 。

参考答案： C11、使函数序列一致收敛的区域为A. ；B. ；C. ；D. 。

其中。

参考答案： B12、锥面被柱面所截部分的面积是( )。

A.B.C.D.参考答案： B13、( )；A.B.C.D.参考答案： C14、幂级数的收敛域为( )；A. (-1,1)B.C.D.参考答案： B15、函数连续,则在[a,b]上=( )A.B.C.D.参考答案： B16、级数为( )级数。

A. 收敛B. 绝对收敛C. 条件收敛D. 发散参考答案： B17、 f (x) 在 x0 点连续,则下列命题不成立的是( )。

A. f (x0 +0) 、f (x0 - 0) 存在B. f (x) 在 x0 点的极限存在C. f (x) 在 x0 点的某邻域内有界D. f (x) 在 x0 点的某空心邻域内连续参考答案： D18、函数在 [a,b] 上可积的充要条件是( )A."e>0,$ s>0和d>0使得对任一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s B."e>0,s>0, d>0使得对某一分法D，当l（D）<d时，对应于wi³e的那些区间Dxi长度之和∑Dxi< s C."e>0,$d>0使得对任一分法D，当l（D）D."e>0, s>0，$ d>0使得对任一分法D，当l（D）参考答案： D19、已知, 则( )；A.B.C.D.参考答案： C20、幂级数的收敛半径为A. ；B. 1；C. 2；D.参考答案： D21、A. AB. BC. CD. D参考答案： C22、函数f (x) = ln (ln x) 的定义域是( )A. x > 0B. x ≥ 0C. x > 1D. x ≥ 1参考答案： C23、( )；A.B.C.D.参考答案： C24、下列反常积分收敛的是( )。

2019-2020第一学期数学分析期末考试试题

2019-2020本科数学系期末考试试题数学分析（一）（A 卷）本试卷共4道大题，满分100分．一、选择题（本大题10分，每小题2分）1. 设数列{}n x 单调增，{}n y 单调减，且0lim =−∞→n n n x y ，则（ A ）（A ）{}n x 、{}n y 均收敛（B ）{}n x 收敛，{}n y 发散（C ）{}n x 发散，{}n y 收敛（D ）{}n x 、{}n y 均发散2. 设函数)(1)(3x x x f ϕ−=，其中)(x ϕ在1=x 处连续，则0)1(=ϕ是)(x f 在1=x 处可导的( A )（A ）充分必要条件（B ）必要但非充分条件（C ）充分但非必要条件（D ）既非充分也非必要条件 3. 设0()0f x '=是)(x f 在0x 取得极值的（ D ）（A ）充分条件；（B ）必要条件；（C ）充要条件；（D ）既非充分条件也非必要条件.4. 设()353−=x y ，下述结论正确的是（ A ）（A ）()0,3是曲线)(x f y =的拐点；（B ）3=x 是)(x f 的极值点；（C ）因为)3(f ''不存在，所以()0,3不是曲线)(x f y =的拐点；（D ）当3<x 时，曲线)(x f y =为凹的，当3>x 时，曲线)(x f y =为凸的.5. 设xe e xf xx1arctan 11)(11+−=，则0=x 是)(x f 的（ C ）（A ）连续点（B ）第一类（非可去）间断点（C ）可去间断点（D ）第二类间断点6. 设)(x f y =且21)(0='x f ，则当0>∆x 时，在0x 处dy 是（ B ） (A) 与x ∆等价的无穷 (B) 与x ∆同阶但不等价的无穷小； (C) 比x ∆高阶的无穷 (D) 比x ∆低阶的无穷小二、填空题（本大题10分，每小题2分）1. 若)(0x f '存在，则=−−→000)()(limx x x f x x xf x x 000()()f x x f x '−．2. 曲线21xy xe =的渐近线方程是 0x =．3. 设⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttcos 2sin ，则曲线上点(0,1)M 处的法线方程是12=+y x ．4. 设x x x f 2sin )(2=，则)2()20(πf = 19202π⋅ ．三、计算题（本大题35分，每小题5分）1.（5分）求极限20sin )1()cos 1(limx e x x x x −−→答案与评阅要点：由于 0→x 时，2~cos 12x x − ，22~sin x x ，x e x ~1−所以 21)(2lim sin )1()cos 1(lim 22020−=⋅−⋅=−−→→x x x x x e x x x x x2.（5分）求极限()tan 2lim sin xx x π→；答案与评阅要点：令()tan sin xy x =,ln tan ln sin y x x =.22221cos ln sin sin lim ln lim lim cot csc x x x xx x y x x πππ→→→⋅==−2lim sin cos 0x x x π→=−⋅=，所以原式=01e =. 3.（5分）求极限30sin (1)lim x x e x x x x→−+ 答案与评阅要点：2331()2!3!xx x e x o x =++++，33sin ()3!x x x o x =−+3333001()sin (1)16lim lim 6xx x x o x e x x x x x →→+−+== 4.（5分）计算不定积分33tan sec x xdx ⎰答案与评阅要点：⎰xdx x 33sec tan ⎰=x xd x sec sec tan 22⎰−=x xd x sec sec )1(sec 22.sec 31sec 5135C x x +−=5.（5分）计算不定积分⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos答案与评阅要点：⎰+−dx xx xx 5cos sin sin cos ⎰++=5cos sin )cos (sin x x x x d .)cos (sin 4554C x x ++=6.（5分）计算不定积分⎰−dxxx 224答案与评阅要点：设2sin ()22x t t ππ=−<<，则2cos .dx tdt =⎰−dx xx 224⎰=tdt t tcos 2cos 2sin 42dt t ⎰−=)2cos 1(2C t t +−=2sin 2 .4212arcsin22C x x x +−−=7.（5分）计算不定积分⎰xdx x ln 3答案与评阅要点：⎰xdxx ln 3⎰=)4(ln 4x xd ⎰−=dx x x x 3441ln 41.161ln 4144C x x x +−=四、证明题（本大题45分）1.(10分)设函数()f x 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='b f a f ．证明存在一点),(b a ∈ξ，使得)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ．答案与评阅要点：因为2()()()()()()2222a b a b f a bf f a f a a a ξ''+++'=+−+−1()2a b a ξ+<< 2()()()()()()2222a b a b f a bf f b f b b b ξ''+++'=+−+−2()2a b b ξ+<<（5分）两式相减，因为0)()(='='b f a f ，得2211()()[()()]()08f b f a f f b a ξξ''''−+−−=，记12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=，则2222112111()()()()()(()())()()()884f b f a f f b a f f b a f b a ξξξξξ''''''''''−=−−≤+−≤−即)()()(4)(2a fb f a b f −−≥''ξ，证明完毕．（5分）2.(10分)证明数列{}n x 收敛，其中11x =，113()2n n nx x x +=+，1,2,n =，并求lim n n x →∞．答案与评阅要点：1131()22n n n x x x +=+≥=，21313()022n n n n n n nx x x x x x x +−−=+−=≤，故有1n n x x +≤（5分）故{}n x 单调减有下界，从而lim n n x →∞存在设lim n n x A →∞=，在113()2n n nx x x +=+两边取极限得13()2A A A =+，从而A =5分）3.（15分）设函数()f x 定义在区间(,)a b 上：（1）（5分）用εδ−方法叙述()f x 在(,)a b 上一致连续的概念；（2）（5分）设01a <<，证明1()sin f x x=在(,1)a 上一致连续；（3）（5分）证明1()sinf x x=在(0,1)上非一致连续．答案与评阅要点：（1）对0ε∀>，0δ∃>，对12,(,)x x a b ∀∈，只要12x x δ−<，就有12()()f x f x ε−<（5分）（2）对0ε∀>，取2a δε=，12,(,1)x x a ∀∈，只要12x x δ−<，12121212111111()()sinsin 2cos sin 22x x x x f x f x x x +−−=−= 121222121211x x x x x x x x a a δε−−≤−=<<=故1()sinf x x=在(,1)a 上一致连续．（5分）（1）在(0,1)内取2n x n π=，2(1)n x n π'=+，取012ε=，对0δ∀>，只要n 充分大总有2(1)n n x x n n δπ'−=<+，而1201()()sin sin 122n n f x f x ππε+−=−=>，故1()sinf x x=在(0,1)非一致连续．（5分） 4.（10分）(1)（5分）叙述函数极限lim ()x f x →+∞的归结原则，并应用它lim sin x x →+∞不存在． (2)（5分）叙述极限lim ()x f x →+∞存在的柯西收敛准则;并证明lim sin x x →+∞不存在.证明：(1)设()f x 在[,)a +∞有定义．lim ()x f x →+∞存在的充分必要条件是：对任意含于[,)a +∞,当lim n n x →∞=+∞时当lim n n x →∞=+∞时且趋于+∞的数列{}n x ，极限lim ()n n f x →∞存在且相等．取2,2,2n n x n x n πππ'''==+则lim lim 2,n n n x n π→∞→∞'==+∞lim lim(2),2n n n x n ππ→∞→∞''=+=+∞但lim ()lim sin(2)0,n n n f x n π→∞→∞'==lim ()limsin(2)1,2n n n f x n ππ→∞→∞''=+=lim ()lim (),n n n n f x f x →∞→∞'''≠故lim ()x f x →+∞不存在．（5分）(2)设函数()f x 在[,)a +∞有定义,则极限lim ()x f x →+∞存在的充要条件是:对于任何0,ε>存在正数0(),M M a >>当12,x x M >时有12|()()|.f x f x ε−<对于012ε=及任意正整数M,取122,2,2x M x M πππ=+=则有1,x M >2,x M >且有1201|()()|sin 2sin 21,22f x f x M M πππε⎛⎫−=+−=>= ⎪⎝⎭所以lim sin x x →+∞不存在.（5分）试题来源：微信公众号学术之星。

数学分析(1)期末模拟考试题(证明部分新)

数列极限类 1. 证明: 112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 证因为11211122222+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++≤+n n n n n n n n n又11limlim22=+=+∞→∞→n n nn n n n ,由迫敛原理得112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n . 2. 设() ,2,121,1111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=>=+n a a a a a a n n n ,证明{}n a 有极限,并求此极限的值. 证由均值不等式得a a a a a a a a n n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2212111,即{}n a 有下界. 又0212121=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ,即{}n a 单调减,于是A a n n =∞→lim 存在,且由极限的保号性可得1≥A .对已知递推公式,令∞→n 和极限的唯一性得⎪⎭⎫⎝⎛+=A a A A 21, 解得a A =(负根舍去),即有a a n n =∞→lim .单调性的证明也可如下完成:11211212221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n a a a a a a ,或n n n n n a a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+2121. 3. 设() ,2,16,1011=+==+n x x x n n ,试证数列{}n x 存在极限,并求此极限.证由4166,10121==+==x x x 知, 21x x >.假设1+>k k x x ,则21166+++=+>+=k k k k x x x x ,由归纳法知{}n x 为单调下降数列.又显然有0>n x ,所以{}n x 有下界.由单调有界原理知,数列{}n x 收敛.所以可令a x n n =∞→lim ,对n n x x +=+61两边取极限得0662=--⇒+=a a a a ,解得3=a 或2-=a (舍去),故3lim =∞→n n x .4. 设+N ∈∃N ,当N n >时,有n n b A a ≤≤且()0lim =-∞→n n n a b .求证极限n n a ∞→lim 与n n b ∞→lim 存在且等于A .证由n n b A a ≤≤得n n n a b a A -≤-≤0,由迫敛原理得A a n n =∞→lim ,再由()0lim =-∞→n n n a b 及A a n n =∞→lim 可得n n b ∞→lim 存在且等于A .5. 设()n n n n n n y x y y x x b y a x +==>=>=++21,,0,01111.求证: (1) {}n x 与{}n y 均有极限; (2) n n n n y x ∞→∞→=lim lim .证因为()1121++=+≤=n n n n n n y y x y x x ,所以()()n n n n n n y y y y x y =+≤+=+21211,即{}n y 单调减少有下界,而n n n n n n n x x x y x x y y =≥=≥≥++111,即{}n x 单调增加有上界.所以{}n x 与{}n y 都收敛.在()121+=+n n n y y x 两边取极限得n n n n y x ∞→∞→=lim lim .6. 设0>n a ,且1lim1<=+∞→q a a nn n ,求证{}n a 收敛且0lim =∞→n n a .证因为1lim1<=+∞→q a a nn n ,对给定的+N ∈∃>-=00,021N qε,当0N n >时,有()n n n n n n a a r r q q q a a q q q q a a <⇒<=+=-+<<--⇒-<-+++111121212121, 所以,当0N n >时,有112210a r a r ra a n n n n ---<<<<< ,由迫敛原理得0lim =∞→n n a .闭区间上连续函数的性质7. 证明方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根. 证令()1sin ++=x x x f ,则()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,且22ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ,222ππ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ,即022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f .由根的存在性定理得至少存在一点∈ξ⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ,使得()0=ξf ,即方程01sin =++x x 在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根.8. 证明方程12=⋅xx 至少有一个小于1的正根.(10分)证令()12-=xx x f ,则f 在[]1,0上连续且()()()011110<-=⋅-=⋅f f ,由闭区间上连续函数的零点存在定理,()1,0∈∃ξ，使得()12012=⋅⇒=-⋅=ξξξξξf .9. 设函数f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x .若f 在[)+∞,0上能取到负值,试证明:(1) [)+∞∈∃,00x ,使得()00=x f ; (2) f 在[)+∞,0上有负的最小值.证由条件可设[)+∞∈',0x 且()0<'x f ,由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得()021>>M f ,由根的存在性定理,得()[)+∞⊂'∈∃,0,0M x x ,使得()00=x f .(1)得证. (2) 由()1lim =+∞→x f x ,存在)(0x M M '>>使得当M x ≥时,有()021>>x f .又f 在[]M .0上连续,故[]M ,0∈∃ξ,使得()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.而当[)+∞∈,M x 时,()021>>x f ,故对[)+∞∈∀,0x 有()≥x f ()[](){}()0min ,0<'<=∈x f x f f M x ξ.所以结论成立.10. 设n 为正整数,n a a a 221,,, 为n 2个实常数,且02<n a .求证多项式函数()n n n n n a x a x a x x P 21212122++++=--在()+∞∞-,内至少有两个零点.证因为()0022<=n n a P ,又()()+∞=+∞=+∞→-∞→x P x P n x n x 22lim ,lim ,所以存在0>M ,使得()()0,022>>-M P M P n n ,又n P 2在[]0,M -和[]M ,0上都连续,由根的存在性定理,()0,1M -∈∃ξ和()M ,02∈∃ξ,使得()()02212==ξξn n P P ,所以,结论成立.11. 设()xt x x t x t x f sin sin sin sin lim -→⎪⎭⎫⎝⎛=,求()x f 的表达式,并指明()x f 的间断点及其类型.解: ()xx xx x t x x t xt xx t ex x t x t x f sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1lim sin sin lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛=-→-→,所以0=x 为第一类可去间断点;() ,2,1±±==k k x π为第二类无穷间断点.12. 设()x f 在[]b a ,上连续,且满足()b x f a <<,求证:()b a x ,0∈∃,使得()00x x f =.证明:令()()x x f x F -=,则()x F 在[]b a ,上连续,()()()()()()0<-⋅-=⋅b b f a a f b F a F .由连续函数的零点定理,必存在()b a x ,0∈∃,使得()00=x F ,故()b a x ,0∈∃使得()00x x f =.13. 设()x f 是[]a 2,0上的连续函数,且满足条件()()a f f 20=.证明存在[]a x ,00∈,使得()()a x f x f +=00.证明: 令()()()a x f x f x F +-=,则()x F 在[]a ,0上连续,且()()()a f f F -=00,()()()()()()()02002=-=+⇒-=a f f a F F a f a f a F .若()()00==a F F ,则存在00=x 或a x =0使得()()a x f x f +=00.若()0F 与()a F 都不为零,则()()00<⋅a F F由连续函数的零点定理,必存在()a x ，00∈∃,使得()00=x F ,故()a x ,00∈∃使得()()a x f x f +=00.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号).14. 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,且满足()1lim =+∞→x f x ,若存在()+∞∈,00x ,使得()00<x f ,求证:(1) ()+∞∈∃,0ξ使得()0=ξf ; (2) ()x f 在[)+∞,0上有负的最小值.证明: (1) 因为()1lim =+∞→x f x ,由函数的局部保不等式性,存在充分大的0>M (不妨设0x M >),使得M x >时,有()21>x f ,所以当M x >1时,()x f 在[]10,x x 上连续且()()010<⋅x f x f ,由连续函数的零点存在定理,存在[]()+∞⊂∈∃,0,10x x ξ使得()0=ξf .(2) 又()x f 在[]0,0x 上连续,故由最值定理,存在[]1,0x ∈η,使当[]1,0x x ∈时,()()ηf x f ≥,而()()00<≤x f f η,且[)+∞∈,1x x 时,()()ηf x f >>>021.所以()x f 在[)+∞,0上有负的最小值()ηf .15. 设()nx a x a x a x f n sin 2sin sin 21+++= ,若()x x f sin ≤,求证1221≤+++n na a a .证法1（用导数定义）因为 ()()n n na a a f nx na x a x a x f +++='⇒+++=' 212120cos 2cos 2cos . 又()()0000sin 0=⇒=≤f f ,所以()()()()1sin lim lim 00lim0000=≤=--='→→→xx x x f x f x f f x x x ,所以1221≤+++n na a a .证法2（用重要极限1）()1sin lim sin lim 2sin lim sin lim lim 0002010=≤+++=→→→→→xx x nxa x x a x x a x x f x x n x x x 所以1sin lim 2021=≤+++→xx na a a x n .导数与微分证明16. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 3x x xx x f 证明: ()x f 在0=x 处可微; ()x f '在0=x 处不可微证因为()()()01sin lim 00lim0200==--='→→xx x f x f f x x ,所以函数()x f 在处可导,由可导与可微的关系知()x f 在0=x 处可微;又当0≠x 时, ()xx x x x f 1cos 1sin32-=', 而()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-'-'→→x x x x f x f x x 1cos 1sin 3lim 00lim00极限不存在,故()x f '在0=x 处不可导, 由可导与可微的关系知()x f '在0=x 处不可微; 17. 设()0x f ''存在,证明: ()()()()0200002limx f hx f h x f h x f h ''=--++→ 证:()()()()()()()()()()()[]()0000000000020000)21lim 212lim 2limx f x f x f h x f h x f h x f h x f h h x f h x f h x f h x f h x f h h h ''=''+''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--'+'-+'=-'-+'=--++→→→ 18. 设()x f 为()+∞∞-,内的可导函数,周期为T .求证:()x f '也是以T 为周期的函数.证明:因为()()()()x f T x f x f T x f '=+'⇒=+,所以()x f '也是以T 为周期的函数. 中值定理的应用 19. 设01210=++++n a a a n ,证明多项式()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.证作辅助函数()12101121+++++=n n x a n x a x a x F ,则()x F 在闭区间[]1,0满足罗尔中值定理的三个条件,故存在()1,0∈ξ使得()010=+++='n n a a a F ξξξ ,故()n n x a x a a x f +++= 10在()1,0内至少有一个零点.20. 设g f ,都是可导函数,且()()x g x f '<',证明当a x >时,()()()()a g x g a f x f -<-证因为()()⇒'<'≤x g x f 0()x g 严格单调增.当a x >时, ()()a g x g >. 又由柯西中值定理得,存在()x a ,∈ξ使得()()()()()()()()()()()()()()()()a g x g a f x f g f a g x g a f x f g f a g x g a f x f -<-⇒<''=--⇒''=--1ξξξξ.21. 对任意的[)+∞∈,0x ,有()x x ≤+1ln ,且等号只在0=x 时成立.证明: 令()()(),001ln =⇒-+=f x x x f 存在()x ,0∈ξ,使得()()x f x f ξ'=,而()()001<⇒<+-='x f f ξξξ,当且仅当0=x 时()00=f ,所以结论成立.22. 设()x f 在[]a ,0上连续,在()a ,0内可导,且满足()()00==a f f ,求证:存在()a ,0∈ξ,使得()()02='+ξξξf f .提示:令()()x f x x F 2=,用罗尔中值定理可证.23. 设函数f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内二阶可导,连结点()()a f a A ,与点()()()b f b B ,的直线交曲线()x f y =于点()()c f c M ,,其中b c a <<.证明:存在()b a ,∈ξ,使得()0=''ξf .证因为B M A ,,三点共线,所以()()()()()()cb c f b f a c a f c f a b a f b f --=--=--. 在[]c a ,及[]b c ,上分别应用中值定理得: 存在()c a ,1∈η,使()()()a c a f c f f --='1η;存在()b c ,2∈η,使()()()cb c f b f f --='2η,即()()21ηηf f '='.由于f 二阶可导,故函数f '在区间[]21,ηη上满足罗尔中值定理的条件,故()()b a ,,21⊂∈∃ηηξ,使得()0=''ξf .24. 设10<<<b a ,证明不等式:abab a b 2arctan arctan -<-. 提示:在[]b a ,上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25. 设b a <<0,证明不等式aba b a b b a a 1ln ln 222<--<+.26. 设()1,0∈x ,证明不等式()x x x x 2arctan 1ln <++<. 证将要证的不等式变形为()2arctan 1ln 1<++<xxx ,令()()x x x f arctan 1ln ++=,则()()()x f x f ,1,0,00∈∀=在[]x ,0上满足拉格朗日中值定理的条件,于是()(),01,0⊂∈∃x ξ使得()211110arctan 1ln ξξ+++=-++x x x , 又由x +11与211x +在[]1,0上的连续性与单调性可得11121,111212<+<<+<ξξ,所以 ()2arctan 1ln 1<++<xxx ,故要证的不等式成立.27. 已知()x f 在0=x 的某邻域内有二阶连续导数,且()()()00,00,00≠''≠'≠f f f ,证明:存在唯一的一组实数321,,λλλ,使当0→h 时,()()()()032321f h f h f h f -++λλλ是比2h 高阶的无穷小量.证法1 （洛比达法则）()()()()()()()()()()()()0942123924lim 23322lim032lim3213210321023210f h f h f h f h h f h f h f h f h f h f h f h h h ''++=''+''+'''+'+'=-++→→→λλλλλλλλλλλλ令()()009421321=''++f λλλ,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0940321321321321λλλλλλλλλ (2) 因为0941321111≠,故(2)有唯一非零解.故结论成立.28. 设函数f 在),(+∞a 内可导,且()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在.证明()0lim ='+∞→x f x .证当a x >时,由条件知,函数f 在区间[]1,+x x 上连续可导,故()1,+∈∃x x ξ,使得()()()ξf x f x f '=-+1.因为()x f x +∞→lim 及()x f x '+∞→lim 都存在,所以()x f x '+∞→lim =()()()[]()()0lim 1lim 1lim lim =-+=-+='+∞→+∞→+∞→+∞→x f x f x f x f f x x x ξξ.29. 证明;当2021π<<<x x 时,1212tan tan x x x x >证令()x x x f tan =,则 ()xx xx x xx x x f 2222cos 2sin 21tan sec -=-='. 令()()⎪⎭⎫⎝⎛∈>-='⇒-=2,0,02cos 12sin 21πx x x g x x x g ,所以()x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π内单调增,则当0>x 时, ()()00=>g x g ,从而()0>'x f ,所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内单调增, 则当2021π<<<x x 时, ()()1212112212tan tan tan tan x x x x x x x x x f x f >⇒>⇒>.用单调性证明不等式30. 证明;当0>x 时, ()xx x +>+1arctan 1ln证令()()()x x x x f arctan 1ln 1-++=,()()()()2221211;111ln 1x xx x f x x x f +++=''+-++=',当0>x 时,()0>''x f ,所以()x f '在()+∞,0内单调增,故当0>x 时, ()()00='>'f x f 因而得()x f 在()+∞,0内单调增, 故当0>x 时, ()()()xxx f x f +>+⇒=>1arctan 1ln 00. 31. 设e x 31≤≤,证明不等式:()1ln ln 23ln 122≤-≤-x x .32. 设0>x ，证明不等式11≤--xe x。

数学分析(1)期末模拟考试题(填空部分)

填空题一、函数 1. 设()(]()⎩⎨⎧+∞∈∞-∈=.,0,,0,,0x x x x f ()(]()⎩⎨⎧+∞∈-∞-∈=.,0,,0,,02x x x x g 则()()=x g f 答: ()()0=x g f ; ()()=x f g (]()()⎩⎨⎧=+∞∈-∞-∈x g x x x .,0,,0,,022. 函数101log 5y x =-的定义域为 ()()()(),44,55,66,-∞⋃⋃⋃+∞ .3. 设函数()()2sin 1f x x =+,则()f f x =⎡⎤⎣⎦ ()22sin sin11x⎡⎤++⎣⎦.4.函数1ln x y x-=+的定义域为 ()(]0,11,4⋃ .5. 函数()239,33x f x x x ≤=-<<⎪⎩的定义域是 ()4,4- .6. 函数()5sin y x π=的最小周期是 2 .7. ()()()28f x x x =--,则()3f f =⎡⎤⎣⎦ 6 .8. 99log 3log y =+的反函数是 429x - .9. 若()11x f e x -=+，则()f x 的定义域为 ()1,-+∞ .二、数列极限1.22lim 1nn n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭4e .2. 极限()=-+∞→n n n n 2lim1/2 .3. 设R k ∈,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→nn n k 1lim ke- .4. 已知a 为常数,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→nn a n a n lim ae 2 .5. 已知极限9lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→nn a n a n ,则常数=a 3ln .6. 极限()=+-+-∞→2sin212lim1πn n nnn 2 .7. 极限=⎪⎭⎫⎝⎛-++++∞→2221lim n n n n 21- .8. 极限()[]=⋅-∞→πn nn cos 21lim 0 . 9. 极限=+∑=∞→nk n kn 121lim1 .10. 极限=∑=∞→nnk n k221lim0 .11. 2limn →∞= 3 .12. 123lim 22n nn n→∞++++⎛⎫-=⎪+⎝⎭-1/2.三、函数极限 1. 35lim 1xx k e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则k =53.2. 0lim cot 2x x x →= 1/2 .3. 设82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ,则常数=a 2ln .4. 极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛+→xx x x 1sin lim 1 .5. 极限()[]=++→x x x 21ln 1lim 2e .6. 设82lim 2=⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ,则常数=a2ln 21 .7. 0sin limx x x→= 1 ,01lim sinx x x→= 0 .8. 2112lim 11x x x →⎛⎫-= ⎪--⎝⎭12 .9. 设函数()221lim1xxt t t e f x e→-=+,则()f x = 1,01,0x x -≤⎧⎨>⎩ .10 若lim100ln 1x x →=+,则()0lim x f x →= 200 .10. 当0x →时x 的32阶无穷小量.11若当x →∞时,()222351px f x qx x -=+++为无穷大量,则p 为任意常数 ,q 为非零常数 .四、连续函数1. 函数()23f x x x =--的连续区间是 [)()1,33,⋃+∞ ,间断点是 .2 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=.0,,0,arcsin 12tan x ae x x e x f x x 在0=x 处连续,则常数=a 1- .3 设函数()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤>-=.0,,0,2arcsin12tan x ae x xe xf xx在0=x 处连续,则=a -2 . 4 若()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=.0,,0,12sin 2x a x xe x xf ax 在()+∞∞-,内连续,则=a -2 .5 函数()()211xef x x x -=-的可去间断点为 0 .五、导数与微分 1 sin 2y x =,则()11y= 112cos 2x - .2 若等式35x dx ad ⎛⎫=-⎪⎝⎭成立,则a = -5 . 3 设(ln y x x=+,则y '= (ln x ++4 若()k a f =',则()()=-+→sinhlima f h a f h k .5 若()k a f =',则()()()=++--→h h a f h a f h 1ln limk 2- .6 若()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→txx x t t f 211lim ,则()='t f ()t e t212+ . 7 设()x y y =在任意点()+∞-∈,1x 满足()x x xy y ∆+∆+=∆ 1,若()20=y ,则()='1y 2 .8 设1lnarctan 22+-=x xxee e y ,则==1x dxdy112+-e e .9设x y xarcsin 2=,则='y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅211arcsin 2ln 2xx x. 10 ='⎪⎭⎫ ⎝⎛-xe x x cos sin xe x /cos 2 . 11设xay 1arctan=,则='y xaxa 1a r c t a n21ln +-.12设()()()321131x x x y --+=,则='y ()()()()()()1313113113222323-+--++--x xx x xxx x .13设函数()x y y =由方程22ln arctanyx xy +=确定,则()='x yyx y x -+ .14=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x x d ln . 15设()1ln 2++=x x y ,则=dy 16设函数0,sin >=x xy x,则=dy ()dx x x x x xx⎥⎦⎤⎢⎣⎡+sin ln cos sin . 17设f 为可导函数,⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f y 1cos ,则=dy dx x f x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-1cos 1sin2123. 18. 函数x x y sin 2=的100阶导数是 x x x x x sin 9900cos 200sin 2-- .19. 设()2312+-=x x x f ,则()()=x fn ()()().2,1,1!2!111≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡----++x n n x n n n n. 20. 设()x y y =在任意点[]1,1-∈x 满足()()x xy xy ∆++⋅∆=∆ 21c o s ,其中[]1,1-∈∆+x x .若()00=y ,则()=1y 4a r c s i n π.(注:需微分方程的知识)21. 设()x y y =在任意点()+∞-∈,1x 满足()x xx y y ∆++∆⋅=∆ 1.若()20=y ,则()='1y2 .(注:需微分方程的知识).22. 设()x f 在0x 的某邻域内有定义,且a x ,20≠为常数.若满足()()()()2000021x x a x x x x f -+-+=∆π,则()='0x f()021x +π .23. 设非负函数()x y y =由方程222y x e xy +=确定,则==0x dydx 21 .24 设()xx x f -+=12,则()()=x fn()11!3+-⋅n x n .25．若()x f 为奇函数，且()50='x f ，则()=-'0x f 5 。

数学分析(1)期末模拟考试题(单项选择部分)

单项选择题一、函数 1. 设()⎩⎨⎧>≤=.1,0,1,1x x x f 则()[]{}x f f f 等于( B ).(A) 0; (B) 1; (C) ⎩⎨⎧>≤.1,0,1,1x x ; (D) ⎩⎨⎧>≤.1,1,1,0x x2. 设()⎩⎨⎧>+≤-=.0,2,0,2x x x x x g ()⎩⎨⎧≥-<=.,,0,2x x x x x f 则()[]=x f g ( D ).(A) ⎩⎨⎧≥-<+.0,2,0,22x x x x ; (B) ⎩⎨⎧≥+<-.0,2,0,22x x x x ; (C) ⎩⎨⎧≥-<-.0,2,0,22x x x x ; (D) ⎩⎨⎧≥+<+.0,2,0,22x x x x3. 若f 为连续奇函数,则()x f sin 为( A ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.4. 若f 为连续奇函数,则()x f cos 为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.5. 若()()()x f x f x g --=,则g 为( A ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.6. 若f 为连续偶函数,则()x x f sin -为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.7. 若f 为连续偶函数,g 为非负偶函数,则g f 为( B ).(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非负偶函数; (D) 既不是非正的函数,也不是非负的函数.8. 设()xex x x f cos sin ⋅=,则在()+∞∞-,上()x f 是( D )(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 周期函数 (D) 偶函数. 8. 设()⎩⎨⎧>+≤=.0,,0,22x x x x x x f 则( D ).(A) ()()⎩⎨⎧>+-≤-=-.0,,0,22x x x x x x f (B) ()⎩⎨⎧>-≤+-=-.0,,0),(22x x x x x x f(C) ()⎩⎨⎧>-≤=-.0,,0,22x x x x x x f (D) ()⎩⎨⎧≥<-=-.0,,0,22x x x x x x f9.设()1,0∈x 则下列选项正确的是( B ).(A) ()x x ln ln sin <; (B) ()x x ln ln sin >; (C) ()x x ln ln sin ≤; (D) (A)、（B ）、（C ）都不正确.10 设1121x f x x ⎛⎫-=⎪-⎝⎭,则()f x =( C )(A)11x+; (B) 1x-; (C)11x-; (D) 以上都不对.11 下列各对函数中,相同的是( D )(A) ()cos f x x =与()g x = (B) ()f x =()g x =;(C) ()x f x x=与()1g x =; (D) ()()2ln 1x x f x x-与()()ln 1x g x x-=.12. 将函数()22f x x =--表示为分段函数时,()f x =( B ) (A) 4,0,x x x x -≥⎧⎨<⎩; (B) 4,2,2x x x x -≥⎧⎨<⎩; (C) 4,04,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩; (D) 4,24,0x x x x -≥⎧⎨+<⎩ .13. 设()132x f x x -=-与()g x 的图形关于直线y x =对称,则()g x =( A )(A)123x x ++; (B) 132x x --; (C)312x x++; (D)213x x--.14. 已知()f x 的定义区间是()0,1,则函数( D )的定义区间仍为()0,1. (A) ()()11f x f x ++-; (B) ()2f x ; (C) ()()11f x f x +⋅-; (D) 11x f x -⎛⎫⎪+⎝⎭. 15. 函数()y f x =与()y f x =-的图形关于( A )(A) x 轴对称; (B) y 轴对称; (C) 原点对称; (D) y x =对称.16. 设函数(()log 0,1a y x a a =+>≠,则该函数是( A )(A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 非奇非偶函数; (D) 既是奇函数又是偶函数.二、数列极限1. 已知2lim >=∞→A a n n ,则正确的选项是( B ).(A) 对+N ∈∀n ,有2>n x ; (B) +N ∈∃N ,当N n >时,有2>n a ;(C) N N N >∃N ∈∀+0,,使20=N x ; (D) 对2,≠N ∈∀+n a n .2. 设+N ∈∃N ,当N n >时,恒有n n b a >,已知A a n n =∞→lim ,B b n n =∞→lim .则正确的选项是: ( A ).(A) B A ≥; (B) B A ≠; (C) B A >; (D) A 和B 的大小关系不定. 3. 若()0tan 1lim1cos1≠=---∞→a neknn π,则 ( A )(A) 2=k 且π21=a ; (B) 2-=k 且π21=a ;(C) 2=k 且π21-=a ; (D) 2-=k 且π21-=a ;4. 设32lim 1knn en -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则k =( C )(A) 3/2; (B) 2/3; (C) -3/2; (D) -2/3.5. 设数列{}n x 与{}n y 满足lim 0n n n x y →∞=,则下列命题正确的是( D )(A) 若{}n x 发散,则{}n y 必然发散; (B) 若{}n x 无界,则{}n y 必然有界; (C) 若{}n x 有界,则{}n y 必为无穷小量; (D) 若1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为无穷小量,则{}n y 必为无穷小量.三、函数极限 1. 极限=+-∞→3321213limx x x ( D ).(A)323; (B) 323-; (C) 323±; (D) 不存在.2. 极限=⎪⎭⎫ ⎝⎛-→210sin lim x x x x ( A )(A) 13e-; (B) 13e ; (C) 3e -; (D) 不存在.3. 极限=-→xxx x sin lim( B ).(A) 等于1; (B) 等于1-; (C) 不存在; (D) 等于21.4. 极限()=+-+∞→122lim22x x x x ( D )(A) 221; (B) 21; (C) 221-; (D) 不存在.5. 极限=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1x x e x ( A )(A) 1; (B) 1-; (C) 0; (D) 不存在. 6 若极限()x f x x 0lim →存在,则( B )(A)()()00lim x f x f x x =+→;(B) ,0>∃M 及0>δ,当()δ;00x Ux ∈时,()M x f ≤;(C) ,0>∃M 及0>δ,当()δ;0x U x ∈时,()f x M >; (D),0>∃M ()M x f ≤.7. 若()A x f x x =-→0lim ,且0<A ,则( C )(A) ∃0>δ,当()δ;0x U x ∈时,恒有()0<x f ; (B) ∃0>δ,当δ<-0x x 时,恒有()0<x f ; (C) ∃0>δ,当00<-<-x x δ时,恒有()0<x f ; (D) ∃0>δ,当δ->-0x x 时,恒有()0<x f . 8．设f 在()U 内有定义.()x f x +∞→lim存在的充要条件是:对数列{}⊂n x()U且=∞→n n x lim,()lim n n f x →∞都且相等.正确的选项是( C )(A) 0x ,∃,0x ,∞,∀; (B) ∞,∀ ,∞,0x ,∃;(C) ∞+,∀,∞+,+∞,∃; (D) ∞+,∃,∞+,0x ,∃.9. 设k 为正整数,极限=-++→xkx x e xe 2132lim( D )(A)32; (B) 0; (C) 与k 的奇偶性有关; (D) 不存在.10 若()32211lim21x xa bx x →∞+++=-+,则常数,a b 分别为( C ).(A) 0,2; (B) 1,-2; (C) -1,-2; (D) 以上对不对. 11 已知212lim31x x ax x →-+=-,则当1x →时,22x ax -+( B )(A) 与1x -是等价无穷小; (B) 与1x -是同阶无穷小但不等价; (C) 是比1x -较高阶的无穷小量; (D) 是比1x -教低阶的无穷小量.12. 若()()()97350211lim81x x ax x→∞++=+,则常数a =( C )(A) 1; (B) 8; (C) 2; (D) 以上都不对.13. 函数()()1122,1ln 1,11,sin ,1x ex f x x x x x x -+⎧<-⎪⎪=--<<⎨⎪≤⎪⎩当( D )时为无穷大量.(A) x →-∞; (B) x →+∞; (C) 1x →; (D) 1x →-. 14. 若()()lim ,lim x ax af xg x →→=∞=∞,下列式子成立的是( D )(A) ()()lim x a f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦; (B) ()()lim 0x a f x g x →-=⎡⎤⎣⎦; (C) ()()1lim0x af xg x →=+; (D) ()1lim0x af x →=.15. 设()232xxf x =+-,则当0x →时( B )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 ; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小量; (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量. 16. 下列各式正确的是( C )(A) 01lim 11x x x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭; (B) 01lim 1xx e x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ;(C) 11lim 1xx e x -→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭; (D) 1lim 1xx e x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.17. 当0x →时,等价的无穷小量是( A )(A) x ; (B) 2x ; (C) 2x ; (D) 22x .18. 若当0x →时,11x ax e bx +-+是2x 的高阶无穷小,则( D )(A) 0,0a b ==; (B) 1,1a b ==; (C) 11,22a b =-=; (D) 11,22a b ==-.四、连续函数 1. 设函数()bxea x x f +=在()+∞∞-,内连续,且()0lim =-∞→x f x ,则常数b a ,满足( D ).(A) 0,0<<b a ; (B) 0,0>>b a ; (C) 0,0>≤b a ; (D) 0,0<≥b a .2. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.0,0,0,sin 11x x xex f x则0=x 是函数()x f 的( D )(A) 连续点; (B) 第一类间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.3. 设()xxe x e x xf 2152sin 1++++=,则0=x 是()x f 的（ B ）（A ）可去间断点；（B ）跳跃间断点；（C ）无穷间断点；（D ）震荡间断点. 4. 设函数()⎪⎩⎪⎨⎧==≠≠-=-.10,01,0,111x x x x e x f x x或且则( B )(A) 0=x 与1=x 均为()x f 的可去间断点;(B) 0=x 为()x f 的无穷间断点;1=x 为()x f 的第一类间断点,但不为可去间断点; (C) 0=x 为()x f 的无穷间断点;1=x 为()x f 的可去间断点; (D) 0=x 和1=x 均为()x f 的第一类间断点.5. 设()x f 与()x ϕ均为()+∞∞-,上有定义的函数,()x f y =在()+∞∞-,上连续且()0≠x f ,()x y ϕ=有间断点,则下列选项中正确的是( D )(A)()[]x f ϕ有间断点；(B)()()x f ϕ有间断点; (C) ()[]2x ϕ有间断点; (D)()()x f x ϕ有间断点.6. 设()x y y =是二阶常系数微分方程xe qy y p y 3=+'+''满足处始条件()()000='=y y 的特解,则当0→x 时,函数()()x y x 21ln +的极限( C ).(A) 不存在; (B) 等于1 ; (C) 等于2; (D) 等于3. 7. 方程x e x =--21在()+∞,0内实根的个数为( B ). (A) 0; (B) 1; (C) 2; (D) 3.8 函数()()1,12ln 10,11,2x x x f x x x ⎧>≠⎪-⎪⎪==⎨⎪=⎪⎪⎩且的连续区间是( C )(A) [)1,+∞; (B) ()1,+∞; (C) [)()1,2,2,+∞; (D) ()()1,2,2,+∞.9. 设()ln,1,1,1x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩则()f x 在1x =处( D ) (A) 不连续; (B) 连续但不可导; (C) 连续且()10f '=; (D) 连续且()11f '=.10. 设()21cos sin ,0,1,0x x x f x xx x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩则0x =是()f x 的( D ) (A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 振荡间断点; (D) 连续点.11 设函数()()1,0,0mx kx x f x a x ⎧⎪+≠=⎨=⎪⎩,若函数()fx 在0x =连续,则常数a =( D ).(A) m e ; (B) k e ; (C) km e -; (D) km e .五、导数与微分 1. 若极限()()A eh a f ha f hh =-+--→1lim222,则函数()x f 在a x =处( A )(A) 不一定可导; (B) 不一定可导,但()A a f ='+; (C) 不一定可导,但 ()2A a f ='-; (D) 不一定可导,但()A a f ='-.2. 若极限()1lim1h f a f a h A →+∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭=-,则函数()x f 在a x =处( C ) (A) 可导,且()2A a f =' (B) 不一定可导,但()2A a f ='+;(C) 不一定可导,但 ()2A a f ='-; (D) 不一定可导,但()A a f ='-.3. 若极限()()A eh a f ha f hh =-+--→1lim222,()()B ha f ha f h =--→22lim则函数()x f 在a x =处( B )(A) 不可导; (B) ()A B a f -='+; (C) ()A B a f -='-; (D) ()B A a f -='-. 4. 设函数f 是可导函数,则( A )(A) f 为奇函数时,f '为偶函数; (B) f 为单调函数时,f '为单调函数; (C) f 为非负函数时,f '也为非负函数; (D) f '为连续函数.5. 设()x f ,0>δ在区间()δδ,-内有定义,若当∈x ()δδ,-时,恒有()2x x f ≤,则0=x 必是f 的( C )(A) 间断点; (B) 连续而不可导的点; (C) 可导点,且()00='f ; (D) 可导的点,且()0≠'x f .6. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2,1,112x x x x x f 则在1=x 处,函数()x f ( ) (A) 不连续 (B) 连续但不可导 (C) 可导,但导数不连续 (D) 可导,且导数连续7. 设雨滴为球体状,若雨滴聚集水份的速率与表面积成正比,则在雨滴行成过程中(一直保持球体状),雨滴半径的增加率( D )(A) 与球体体积的立方根成正比 (B) 与球体半径成正比 (C) 与球体体积成正比 (D) 为一常数.解因为表面积()24,S r t π=体积()343Vrt π=，其中t 为时间,球体体积增长的速率()()24V rt r t π''=，而已知()24V kSk rt π'==，故答案为D 。

数学分析1期末考试讲解(可编辑修改word版)

《数学分析Ⅰ》题目讲解⎝一、单项选择题（每小题 2 分，共 14 分）1、设数列{x }满足x = 1 ⎛x + 1 ⎫ 且lim x = ，则n为【】n +1 2 n ⎪ x n ⎭ n →∞ nxA 、0B 、1C 、1 2D 、22、已知f (x ) = ⎧ tan x ⎪, ⎨ ⎩⎪ 1, x ≠ 0, x = 0, 则 x = 0是 f (x )的【】⎪A 、第一类不连续点B 、第二类不连续点C 、连续点D 、可去不连续点3、已知 f (x ) = ⎧ x s in 1 , ⎨x ⎪⎩0, x > 0，则 x ≤ 0 f (x )在 x = 0处A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若limf (x)存在，下列说法一定正确的是x x0A 、 fB 、 fC 、 fD 、 f (x )在x 0的任一邻域内有界(x )在x 0的某一邻域内无界(x )在x 0的某一邻域内有界(x )在x 0的任一邻域内无界5、若 f (x )在 x = 0处连续，并且lim h →0 f (h 2)h2 = c ，则【】A 、 fB 、 fC 、 fD 、 f (0) (0) (0) (0) = 0且= 0且 = c 且= c 且f - '(0)存在f + '(0)存在f - '(0)存在f + '(0)存在6、若f (x)在点x0处存在左、右导数，则f (x)在点x0处必然【】A、可导B、不可导C、连续D、不连续7、下列叙述错误的是【】A、若fB、若f (x)在点x0可导，则f(x)在点x0可导，则f(x)在点x0可微；(x)在点x0连续；C、若f (x)在点x0可导，则( f (x0))′= 0；D、设f (x)在点x可导，则x0是极值点当仅当f ′(x0) = 0.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D二、填空题（每小题 3 分，共 21 分）⎡x31、lim ⎢ + 5x + 63 +⎛1- 1 ⎫x ⎤⎪⎥=x→∞⎢⎣ 4x +1 ⎝x ⎭⎥⎦2、曲线y = ln x上平行于直线y = 1x +1的切线的方5程为3、设f '(a) =1，则limh→0 f (a + 2h) -hf (a - 3h)=4、曲线y = 2x +e-x2 的斜渐近线为f (x) = x3- 9x2+ 24x -15的极小值点x5、函数_6、已知当x → 0时ln(1+ ax)与e x-1等价，则a7、(5x)( n) =参考答案：1. 1+1；4 e2. y = 1 (x5-5)+ ln 5；3. 5；4. y = 2x；5. 4；6. 1；7. (ln n5)5x三、计算题（每小题 6 分，共 36 分）1、计算lim ⎛ 1+1 + + 1 ⎫.n→∞n +1 n + n +⎪⎝⎭1、计算lim ⎛ 1+ 1 + + 1 ⎫ n →∞ n +1 n + n + ⎪⎝⎭解：设x = 1 + 1 + +1，由于 nn +1 n +nn≤ x ≤ n，nn +1 n.n lim nn →∞ = 1，lim n →∞ n = 1 n +1，（4 分）由夹逼性，lim x n →∞=1，即原极限为 1。

数学分析期末考试题1、2(第二份有答案)

一、判断题（每小题2分，共20分）1.开域是非空连通开集，闭域是非空连通闭集．（）2.当二元函数的重极限与两个累次极限都存在时，三者必相等．（）3.连续函数的全增量等于偏增量之和．（）4.xy y x f =),(在原点不可微．（）5.若),(),(y x f y x f yxxy 与都存在，则),(),(y x f y x f yx xy =．（） 6.dy y x xyy )1(sin 21+⎰+∞在)1,0(内不一致收敛．（） 7.平面图形都是可求面积的．（） 8.学过的各种积分都可以以一种统一的形式来定义. （） 9.第二型曲面积分也有与之相对应的“积分中值定理”．（） 10.二重积分定义中分割T 的细度T不能用}{max 1i ni σ∆≤≤来代替．（）二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dz ．2.设32),,(yzxy z y x f +=，则f 在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad ． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为．三、计算题（每小题5分，共20分） 1．求极限xyy x y x )(lim 22)0,0(),(+→．2．设),(y x z z =是由方程ze z y x=++所确定的隐函数，求xyz ．3．设]1,0[]1,0[⨯=A ，求⎰⎰++=A y x ydxdyI 2322)1(. 4．计算抛物线)0()(2>=+a ax y x 与x 轴所围的面积.四、(10分)密度22),,(yx z y x +=ρ的物体V 由曲面222yxz +=与2=z 所围成，求该物体关于z 轴的转动惯量．五、（10分）求第二类曲面积分⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222其中S 是球面2222)()()(R c z b y a x =-+-+-并取外侧为正向．六、（第1小题8分，第2小题7分，共15分）． 1. 求曲线6222=++z y x ，22yx z +=在点（1，1，2）处的切线方程和法平面方程． 2．证明：22114π=+⎰+∞dx x ．七、（10分）应用积分号下的积分法，求积分)0(ln )1cos(ln 10>>-⎰a b dx xxx x ab ．二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设)sin(y x e z xy+=，则其全微分=dzdy x y x x e dx y x y x y e xyxy )]cos()sin([)]cos()sin([+++++++． 2.设32),,(yz xy z y x f +=，则f在点)1,1,2(0-P 处的梯度=)(0P grad (1,-3,-3)． 3.设L 为沿抛物线22x y =,从)0,0(O 到)2,1(B 的一段，则⎰=+Lydx xdy2 ． 4.边长为a 密度为b 的立方体关于其任一棱的转动惯量等于b a 532．5.曲面273222=-+z y x 在点（3,1,1）处的法线方程为111193--=-=-z y x ．三、计算题（每小题5分，共20分）1．求极限xyy x y x )(lim 22)0,0(),(+→．解：先求其对数的极限)ln(lim 22)0,0(),(y x xy y x +→．由于)0,(0ln )ln(2222222+→=+→≤+r r y x r r y x xy 令，所以)ln(lim 22)0,0(),(y x xy y x +→=0，故xyy x y x )(lim 22)0,0(),(+→=1．2．设),(y x z z =是由方程ze z y x =++所确定的隐函数，求xyz ．解：方程ze z y x =++两边对x ，y求偏导数，得x z e x z z ∂∂=∂∂+1 yze y z z∂∂=∂∂+1 解得11-=∂∂=∂∂ze y z x z 32)1()1()11(-=∂∂⋅--=-∂∂=z z z z z xy e ey z e e e y z 。

数学分析1期末考试讲解

《数学分析Ⅰ》题目讲解一、单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim nn x →∞=，则为【】A 、0B 、1C 、12 D 、22、已知tan,0,()1,0,xxf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x=是()f x的【】A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0x xf x xx⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()f x在0x=处【】A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若0lim ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是【】A 、()f x 在0x 的任一邻域内有界 B 、()f x 在0x 的某一邻域内无界 C 、()f x 在0x 的某一邻域内有界 D 、()f x 在0x 的任一邻域内无界5、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则【】 A 、(0)0f =且(0)f -'存在 B 、(0)0f =且(0)f +'存在 C 、(0)f c =且(0)f -'存在 D 、(0)f c =且(0)f +'存在6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【】A 、可导B 、不可导C 、连续D 、不连续7、下列叙述错误的是【】A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当0()0f x =′.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C7.D二、填空题（每小题3分，共21分）1、33561lim 141x x x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2、曲线ln y x =上平行于直线115y x =+的切线的方程为3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h→+--=4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x =______ _6、已知当0x →时ln(1)ax +与1xe -等价，则a = 7、()()5n x=参考答案：1. 114e+；2. ()15ln55y x =-+；3. 5；4. 2y x =；5. 4；6. 1；7. ()ln 55nx三、计算题（每小题6分，共36分）1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.1、计算111lim 1n n n nn →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭ 解：设1111n x n n n n=++++++，由于1n n nx n n ≤≤++，lim 1n n n →∞=+，lim 11n nn →∞=+ ，（4分）由夹逼性，lim 1n n x →∞=，即原极限为1。

《数学分析》试题(含答案)

考试科目：数学分析(I)一、求极限、导数或高阶导数(每小题5分，共35分)1.n lim →∞⎛⎫++……解：n n n 11(1)(1)lim lim n n n n →∞++⎛⎫≤+≤……，故原式1=2.2.()222n x x x n x x x x 2x 2lim =lim =lim =lim =022ln 22ln 22n →∞→∞→∞→∞. 3.()42220011-cos 12lim =lim =sin ln 1+2x x xx x x x x x x →→•.4. 11limarcsin()1ln x x x x→--解：111limarcsin()arcsin 1ln 26x x x x π→-==-. 5.设(0)xxy x x =>,求y '.1(ln (ln 1))xx x x y x x x x x -'=++.6. 设函数)(x y y =是由参数方程⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 确定，求2t dydxπ=和t dy dxπ=。

21t dy dxπ==.7. 设函数f 二阶可导，1()1x y f x -=+，22d y dx解：221()(1)1dy x f dx x x -'=++， 22344141()()(1)1(1)1d y x x f f dx x x x x --'''=-+++++.二、解答题（每小题8分，共32分）1. 已知001a <<，)n+1a n 0≥，求证n a 的极限存在并求其极限.解: 易知{}n a 单调增有上界1，故由单调收敛定理及n+1n n lim a =→∞知n n lima =1.→∞2. 讨论函数()211sin x x f x e x-=的间断点及其类型. 解: 0x =为可去间断点，=1x ±为第二类间断点.3. 求函数()(4)f x x =-的极值点与极值。

华东师范大学大一数学分析期末考试题

xx0 g(x)
xx0 g (x)
xx0 g(x)
A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件
三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）
D、既非充分也非必要条件
14、 lim (1 a)(1 a2 )(1 a2n ),(| a | 1) n
15、求函数 y 2x 的单调区间 1 x2
16、 lim xln(1 x) ln x x
学院：数学与计算机科学学院适用班级：
题号一二三四五六七八九
分数
总分
评卷人
一、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1、函数 f (x) ln 1 x 的定义域是 1 x
2、 lim sin 5x x0 3x
第
1
3、 lim
n
1n
4、若 f 可导，且 y f (2x), 则 dy =
17、已知 y ln(arccos 1 ) 求 y x
18、求 d
x 1
x2
四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）
19、已知数列xn ，它由递推公式
xn1
1 2
(xn
a xn
) 确定， a
0 ，且 x1 可取任意正实数，
证明：数列
x
n
收敛，并求
lim
n
xn
20、 ex 1 x ， (x 0)
五、综合题（15 分）
21、并作图
学号
班级
专业
C、 f (x) 在 x 0的左右极限存在但不相等 D、 f (x) 在 x 0的左右极限不存在
页
n n 1
5、设 f (x) 在 x0 点可导，且在 x0 点取极大值，则 f (x0 ) =

数学分析下册期末考试卷及参考答案

数学分析下册期末考试卷及参考答案Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#数学分析下册期末模拟试卷及参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）1、已知u =则u x∂=∂ ，u y ∂=∂ ，du = 。

2、设22L y a +=2：x ，则Lxdy ydx -=⎰ 。

3、设L ⎧⎨⎩x=3cost ，：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ⎰22L（x +y ）= 。

4、改变累次积分32dy f dx ⎰⎰3y （x ，y ）的次序为。

5、设1D x y +≤：，则1)Ddxdy ⎰⎰= 。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。

( )2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）可微，则函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续。

( )3、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。

( ) 4、(,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =⎰⎰。

( ) 5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ）在D 上可积。

( ) 三、计算题（每小题9分，共45分）1、用格林公式计算曲线积分(sin 3)(cos 3)x x AO I e y y dx e y dy =-+-⎰ ，其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。

、计算三重积分22()V x y dxdydz +⎰⎰⎰，其中是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。

(完整word版)数学分析试题库--证明题--答案

数学分析题库（1—22章)五．证明题1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件：（1)对任何B b A a ∈∈,有b a <；（2）对任何0>ε,存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y 。

证明：.inf sup B A =证由(1)可得B A inf sup ≤.为了证B A inf sup =,用反证法。

若B A inf sup ，设B y A x A B ∈∈∃=-,,sup inf 0ε，使得0ε≥-x y 。

2.设A ，B 是非空数集，记B A S ⋃=,证明：（1）{}B A S sup ,sup max sup =；（2）{}B A S inf ,inf min inf =证（1）若A ，B 中有一集合无上界，不妨设A 无上界,则S 也是无上界数集,于是+∞=+∞=S A sup ,sup ，结论成立。

若A ，B 都是有上界数集，且A B sup sup ≤，现设法证明:sup sup A S =（ⅰ）S x ∈∀，无论A x ∈或B x ∈,有;sup A x ≤ （ⅱ）000,,sup ,x A x A εε∀∃∈->>于是,0S x ∈0sup .x A >同理可证（2）. 3。

按N -ε定义证明352325lim 22=--+∞→n n n n 证 35232522---+n n n)23(3432-+=n n≤2234n n⋅ （n>4） n32=，取⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4,132max εN ，当n>N 时,35232522---+n n n 〈ε。

注扩大分式是采用扩大分子或缩小分母的方法.这里先限定n>4，扩大之后的分式nn G 32)(=仍是无穷小数列。

4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞→lim 的正面陈述？并验证｜2n ｜和|n )1(-|是发散数列。

答 a a n n ≠∞→lim 的正面陈述:0ε∃〉0，+∈∀N N ，n '∃≥N ，使得｜a a n -'｜≥0ε数列{n a }发散⇔R a ∈∀,a a n n ≠∞→lim .（1）a n a n ∀=.2，0ε∃=41，+∈∀N N ，只要取⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+='N a n ,21max ，便可使||2a n -'≥||2a n -'≥||212a a -⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥41，于是{2n ｝为发散数列。

数学分析期末考试模拟题2

数学分析期末考试模拟题2一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、函数)(x f 在 [a,b] 上可积，那么（） A ．)(x f 在[a,b]上有界 B ．)(x f 在[a,b]上连续C ．)(x f 在[a,b]上单调D ．)(x f 在[a,b]上只有一个间断点 2、函数)(x f 在 [a,b] 上连续，则在[a,b]上有（） A ．)()(x f dx x f dx d ba=⎰ B ．)()(x f dt t f dx d xa=⎰C ．)()(x f dt t f dxd bx-=⎰D ．)()(x f dt t f dxd bx=⎰3、在[a ，+∞]上恒有)()(x g x f ≥，则（） A ．⎰+∞a dx x f )(收敛⎰+∞adx x g )(也收敛 B ．⎰+∞adx x g )(发散⎰+∞adx x f )(也发散C ．⎰+∞a dx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散 D ．无法判断4、级数∑∞=1n n a 收敛是（）对p =1,2…，0)(lim 21=++++++∞→p n n n n a a aA ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．无关条件5、若级数∑∞=+111n nα收敛，则必有（）A ．0≤αB ．0≥αC ．0<αD ．0>α6、)()(1x ax f n n∑∞==在[a ，b]一致收敛，且a n (x)可导（n =1,2…），那么（）A ． f （x ）在[a ，b]可导，且∑∞==1'')()(n nx ax fB ． f （x ）在[a ，b]可导，但)('x f 不一定等于∑∞=1')(n n x aC ．∑∞=1')(n n x a 点点收敛，但不一定一致收敛D ．∑∞=1')(n n x a 不一定点点收敛7、下列命题正确的是（）A ．)(1x a n n ∑∞=在[a ，b]绝对收敛必一致收敛B ．)(1x a n n ∑∞=在[a ，b] 一致收敛必绝对收敛C ．)(1x a n n ∑∞=在[a ，b] 条件收敛必收敛D ．若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x a n n ∑∞=在[a ，b]必绝对收敛8、∑∞=--1)11()1(n n n x n的收敛域为（）A ． (-1,1)B ．(-1,1]C ． [-1,1]D ． [-1,1）9、下列命题正确的是（） A ．重极限存在，累次极限也存在并相等 B ．累次极限存在，重极限也存在但不一定相等 C ．重极限不存在，累次极限也不存在 D ．重极限存在，累次极限也可能不存在 10、函数f(x,y)在（x 0,,y 0）可偏导，则（）A ． f(x,y)在（x 0,,y 0）可微B ．f(x,y)在（x 0,,y 0）连续C ． f(x,y)在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在D ．以上全不对二、计算题：（每小题6分，共30分） 1、)0(21lim1>++++∞→p nnp pppn2、计算由曲线2x y =和2y x =围成的面积3、求极限)1sin 11(lim2222)0,0(),(xy yx yx y x +-+++→4、已知),(yxx f z =，求yzx z ∂∂∂∂,5、计算nn nn xn ∑∞=--112)1(的收敛半径和收敛域．三、讨论判断题（每小题10分，共30分）1、讨论dxx xqp p⎰∞++--01|1|的敛散性2、判断∑∞=--+122)11(n n n 的敛散性3、判断∑∞=+-121sin )1(n nn nx 的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设f(x)是以T 为周期的函数，且在[0，T]上可积，证明⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(2、设级数∑∞=1n n nx α收敛，则当0αα>时，级数∑∞=1n n nx α也收敛．。

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数列极限类1.证明: .证因为又,由迫敛原理得.2.设,证明有极限,并求此极限的值.证由均值不等式得,即有下界.又,即单调减,于是存在,且由极限的保号性可得.对已知递推公式,令和极限的唯一性得,解得(负根舍去,即有.单调性的证明也可如下完成:,或.3.设,试证数列存在极限,并求此极限.证由知, .假设,则,由归纳法知为单调下降数列.又显然有,所以有下界.由单调有界原理知,数列收敛.所以可令,对两边取极限得,解得或(舍去,故.4.设,当时,有且.求证极限与存在且等于.证由得,由迫敛原理得,再由及可得存在且等于.5. 设.求证: (1 与均有极限; (2 .证因为,所以,即单调减少有下界,而,即单调增加有上界.所以与都收敛.在两边取极限得.6. 设,且,求证收敛且.证因为,对给定的,当时,有,所以,当时,有,由迫敛原理得.闭区间上连续函数的性质7.证明方程在内至少有一个根.证令,则在上连续,且,,即.由根的存在性定理得至少存在一点,使得,即方程在内至少有一个根.8.证明方程至少有一个小于的正根.(10分证令,则在上连续且,由闭区间上连续函数的零点存在定理,，使得.9. 设函数在上连续,且满足.若在上能取到负值,试证明:(1 ,使得; (2 在上有负的最小值.证由条件可设且,由,存在使得,由根的存在性定理,得,使得.(1得证.(2 由,存在使得当时,有.又在上连续,故,使得.而当时,,故对有.所以结论成立.10. 设为正整数,为个实常数,且.求证多项式函数在内至少有两个零点.证因为,又,所以存在,使得,又在和上都连续,由根的存在性定理,和,使得,所以,结论成立.11. 设,求的表达式,并指明的间断点及其类型. 解: ,所以为第一类可去间断点;为第二类无穷间断点.12. 设在上连续,且满足,求证:,使得.证明:令,则在上连续,.由连续函数的零点定理,必存在,使得,故使得. 13. 设是上的连续函数,且满足条件.证明存在,使得.证明: 令,则在上连续,且,.若,则存在或使得.若与都不为零,则由连续函数的零点定理,必存在,使得,故使得.(注:两个数的和为零,则这两个数要么同时为零,要么,它们异号.14. 设函数在上连续,且满足,若存在,使得,求证:(1 使得;(2 在上有负的最小值.证明: (1 因为,由函数的局部保不等式性,存在充分大的(不妨设,使得时,有,所以当时,在上连续且,由连续函数的零点存在定理,存在使得.(2 又在上连续,故由最值定理,存在,使当时,,而,且时,.所以在上有负的最小值.15. 设,若,求证.证法1（用导数定义）因为.又,所以,所以.证法2（用重要极限1）所以.导数与微分证明16.设证明: 在处可微; 在处不可微证因为,所以函数在处可导,由可导与可微的关系知在处可微;又当时, ,而极限不存在,故在处不可导, 由可导与可微的关系知在处不可微;17. 设存在,证明:证:18. 设为内的可导函数,周期为.求证:也是以为周期的函数. 证明:因为,所以也是以为周期的函数.中值定理的应用19.设,证明多项式在内至少有一个零点.证作辅助函数,则在闭区间满足罗尔中值定理的三个条件,故存在使得,故在内至少有一个零点.20.设都是可导函数,且,证明当时,证因为严格单调增.当时, .又由柯西中值定理得,存在使得.21. 对任意的,有,且等号只在时成立.证明: 令存在,使得,而,当且仅当时,所以结论成立.22. 设在上连续,在内可导,且满足,求证:存在,使得.提示:令,用罗尔中值定理可证.23.设函数在上连续,在内二阶可导,连结点与点的直线交曲线于点,其中.证明:存在,使得. 证因为三点共线,所以.在及上分别应用中值定理得:存在,使;存在,使,即.由于二阶可导,故函数在区间上满足罗尔中值定理的条件,故,使得.24. 设,证明不等式:.提示:在上用拉格朗日中值定理,注意将分母放大!25. 设,证明不等式.26. 设,证明不等式.证将要证的不等式变形为,令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,于是使得,又由与在上的连续性与单调性可得,所以,故要证的不等式成立.27. 已知在的某邻域内有二阶连续导数,且,证明:存在唯一的一组实数,使当时,是比高阶的无穷小量.证法1 （洛比达法则）令,并由要证可知,前三式的分子的极限都应是零,可得到(2因为,故(2有唯一非零解.故结论成立.28.设函数在内可导,且及都存在.证明. 证当时,由条件知,函数在区间上连续可导,故,使得.因为及都存在,所以=.29. 证明;当时,证令,则.令,所以在内单调增,则当时, ,从而,所以在内单调增,则当时, .用单调性证明不等式30. 证明;当时,证令,,当时,,所以在内单调增,故当时,因而得在内单调增, 故当时, .31. 设,证明不等式:.32. 设，证明不等式。

证明：令，则，且，于是在区间上严格单调增，故当时，，即，故。

用最值证明不等式33.证明: 令,则,令得函数在上有唯一驻点,而,所以.34. 证明对任意的,不等式成立.证明: 设,令,得函数在内的唯一驻点,而,又,因此,所以.35. 证明不等式,其中.证法1 用贝努利不等式.证法2 设,令,可知函数有唯一驻点.当时,,当时,,所以是函数的最小值,故,即有,其中.. 36. 设,则.证要证的不等式等价于,令,则问题转化成为讨论函数在内的上界和下界.因为为讨论函数在是否有驻点.令,当时,在内为减函数,又由当时,,而在内为减函数又所以.也就是说在内为严格单调减函数,无驻点.,所以. 证毕.37.设在上连续,在内可导,且,求证在内单调.证明: 因为,故在内不变号,若,则在内严格单调增. 若,则在内严格单调减.函数的凹凸性应用38.设在内二阶可导,且.证明对于内的任意两点及,有.证不妨设,因为,故在内凹函数,由凹函数的定义得:对于内的任意两点及,有.39. 设在上连续，在存在阶导数，对都有，则在内至多有个零点。

证（用反证法）若在内有个零点，由Roll中值定理，存在，使得，同理，存在，使得，依此类推，存在使得又由Roll中值定理，存在，使得此与条件矛盾。

40. 设在上有阶导数，，且存在互不相同的点，使得，则存在使得。

证令，由条件知有互不相同的零点，由上题可得，存在，使得。

泰勒公式41.设函数.证明: .证当时,，又,所以,42. 设在上有二阶导数,且,其中为非负常数,对任意的,证明:.证将在处展开成泰勒公式,将代入上式得所以,移项并用三角不等式得.43.假设(1其中.又设,试证明.证由于存在,因此具有佩亚诺余项的阶麦克劳林公式为. (2(1式两边分别减去(2式的两边,并除以得所以,又,所以.44.设在内具有二阶连续的导数且,试证明:(1 对于内的任一,存在唯一的,使得成立; (2* .证 (1 任给非零,由拉格朗日中值定理得.因为在内连续且,所以在内不变号,不妨设,则在内严格单调增,故唯一.(2 方法1 对于非零的,由拉格朗日中值定理得由此可得,由因为所以.方法2 将在处展开成为泰勒公式得到在与之间.所以,即有，所以，由的连续性可得,于是.45.设在内具有二阶导数且,试证明:(1 对于内的任一,存在唯一的,使得成立;(2* .(注:该题是上一题目的减弱条件下的结论,应注意证明方法的差异及其原因证 (1 对任意非零的,由拉格朗日中值定理得.因为在内二阶可导且,所以由导数介值定理可知,在内不变号,则在内单调,于是在内唯一.(2 对于非零的,由拉格朗日中值定理得由此可得,因而.上式两边取极限,并对右边用洛比达法则得到左边右边左边最后得到.46. 应用致密性定理证明：若函数在闭区间上连续,则在上有界.证明: 如果在上无界,则对任何正整数,存在,使得.依次取,则得到数列.由致密性定理,它含有收敛子数列,记.由及数列极限的保不等式性,.利用在点连续,推得(1另一方面,由的选取方法又有,这与(1式矛盾.所以在上有上界.类似地可证在上有下界.从而在上有界.47. 用有限覆盖定理证明:若函数在上无界,则必存在上某点,使得在该点的任意邻域内无界.证用反证法,若对任意的,存在,使得在中有界,则令,它成为的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理,存在为的有限开覆盖.由于在每个内有界,因此在上有界,这与题目的条件矛盾.。