紧束缚近似下的石墨烯能带计算

(k)t pzE0
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可解得本征能量，即石墨烯中电子的色散关系为
EE(k)pztk
p z t 3 2 c o s(3 kya ) 4 c o s(3 2k xa )c o s(2 3kya )
理想结构的石墨烯可令原子的位能 p z 0 ，则
E t 3 2 c o s(3 kya ) 4 c o s(3 2kxa )c o s(2 3kya )
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若取适当的t=2.7ev和a=1A时，可利用mathematic程序画出石墨 烯能带结构图，如图2所示
图2 石墨烯的精选能课件带结构图
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三、结论
从紧束缚近似方法在石墨烯能带结构计算 上的详细过程，通过分析石墨烯的价带与导带 相交于第一布里渊区的六个顶点上，知石墨烯 是一种零帯隙的半导体，为石墨烯具有独特的 电学性质提供了理论上的解释，同时为石墨烯 性能的进一步研究提供理论基础。
(k )t
其中 ( k ) e i k x a 2 c o s k y (3 a /2 ) e i k x ( a / 2 )
trRjA H rRB j
由（4）和（5）式组成的关于C1、C2的齐次线性方程组，它有非零解的
充要条件是
H11E H21
H2 H 21 2E精选课 件p (zk)E t
可将（3）化简得： c1H 11c2H 12c1E
(4)
同理可得： c1H 21c2H 22c2E
(5)
其中
H 1 1 1 |H |1 1 N je i k R j A r R j AH 1 N j e i k R j A r R j A p z
H 2 2 2 |H |2 1 N je i k R B j r R B j H 1 N j e i k R B j r R j B p z
石墨烯能带结构的紧束缚Biblioteka Baidu似计算
报告人：王科 学号：20122702008
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内容
• 简介 • 石墨烯电子能带计算 • 结论
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一、简介
1、石墨烯的结构
• 石墨烯（graphene）是一种由碳原子以sp2杂化轨道 组成六角蜂窝状晶格的平面薄膜，只有一个碳原子厚 度的二维材料。
• 2004年，英国曼彻斯特大学两位物理学家成功地在实 验中从石墨中分离出石墨烯，因此共同获得2010年诺 贝尔物理学奖。
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H 12H 2 11|H| 2
1 eikRjA Nj
rRjA
H1 Nj
eikRB j
rRB j
1 e ik (R B j R jA ) N jj
r R jAHr R B j (6）
在紧束缚近似下，只考虑最近邻相互作用。对于每个碳原子而言，有3 个最近邻原子。如图1所示
石墨烯属于复式六角晶格，在二维平 面上每个碳原子以sp2杂化轨道相衔接，也 就是每个碳原子与最近邻的三个碳原子间 形成三个σ键。
剩余的一个p电子轨道垂直于石墨烯平 面，与周围原子形成π键。紧束缚近似下， 石墨烯的电子结构决定于π轨道电子。
下面给出无限大、没有任何杂质和缺陷的
理想石墨烯的电子结精构选课件计算过程。
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石墨烯的一个原胞内包含两个不等价的碳原子A和B， 如图1所示，取晶格的基矢为
a 1
3a 2
i
3a j 2
a
2
3a 2
i
3a j 2
b1
2 3a
i
2 3 3a
j
b
2
2 3a
i
2
3 3a
j
由此，可以计算出石墨烯倒空间中第一布里渊区六
个顶点的坐标位置为： 图1中相对位置矢量为：
0 ,
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2、紧束缚近似
紧束缚近似是将在一个原子附近的电子看作 受该原子势场的作用为主，其他原子势场的作用 看作微扰，从而可以得到电子的原子能级和晶体 中能带之间的相互关系。在此近似中，能带的电 子波函数可以写成布洛赫波函数之和的形式：
k r
1 eikRm
Nm
i
rRm
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二、石墨烯电子能带计算
4 3 9a
,
2 3a
,
2 3 9a
1
a 2
i
3a j 2
2
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a 2
i
3a j 2
3 a i
(7)
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将（7式）代入（6）式，有
H12eik1eik2eik3
rRjA H rRB j
e i k x a 2 c o s k y (3 a / 2 ) e i k x ( a / 2 ) r R j A H r R j B
紧束缚近似下，石墨烯体系的波函数可由原子轨道线性组合得到， 可表示为
r c 1 1 c 22 1 N j[ e i k R j A c 1r R j A e i k R B jc 2r R B j] （1）
其中C1和C2为组合系数。系统波函数满足薛定谔方程 HrEr,
将（1）代入有：
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选择一组紧束缚下的归一化基矢 1,2：
1 1 N j
eikRjA
rRjA
2
1 Nj
eikRB j
rRB j
其中N为晶体的原胞数， r 为碳原子Pz轨道的波函数，矢量Rj na1ma2
为第j=（n，m）个原胞的位矢，R 矢
A j
,
R
B j
则分别为第j个原胞中A原子和B原子的位
H |c 11 c 22 E |c 11 c 22 （2）
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用 1 | 两边同时左乘（2）式，可得
1|H|c11c22c11|H|1c21|H|2
E (c 1 1 | 1 c 2 1 |2 ) （3）
通常情况下认为不同碳原子间的Pz轨道是不会发生交叠的，即 i |j ij